隐函数的定理及其应用论文原稿
分析方法第十八章隐函数定理及其应用
分析方法第十八章隐函数定理及其应用隐函数定理是微积分中的一个重要工具，用于研究隐含在方程中的函数的性质。
它的应用非常广泛，涉及到物理、经济、生态等领域的多个问题。
本文将对隐函数定理进行分析，并探讨其在实际问题中的应用。
首先，让我们来了解什么是隐函数定理。
隐函数定理是微积分中的一个重要定理，用于研究隐含在方程中的函数的性质。
具体而言，隐函数定理指出，如果一个方程组满足一定条件，那么在该方程组的一些解附近，可以找到一个连续可微的函数来表示其中一个变量，而其他变量可以表示为该函数的函数。
简单来说，通过隐函数定理，我们可以找到一个表达式来表示方程中的其中一变量，而不需要对其他变量进行明确的表达。
隐函数定理的应用非常广泛。
在物理学中，隐函数定理常常用于研究物体的运动轨迹以及力学系统的动力学方程。
例如，当我们考虑一个物体在空气中自由下落的过程时，我们可以建立一个方程组来描述空气摩擦对物体的影响。
通过隐函数定理，我们可以得到物体下落的具体函数表达式，进而研究其速度、加速度等参数的变化规律。
在经济学中，隐函数定理常用于分析供需关系、市场均衡等经济问题。
例如，当我们考虑一个市场中商品供需的关系时，我们可以建立一个供需方程组来描述供给量与需求量的关系。
通过隐函数定理，我们可以找到一个函数来表示市场价格与供给量和需求量之间的关系，从而分析价格的变化对供需的影响。
在生态学中，隐函数定理被应用于研究物种之间的相互作用。
例如，当我们考虑一个食物链系统中物种数量的变化时，我们可以建立一个方程组来描述物种之间的捕食关系。
通过隐函数定理，我们可以找到一个函数来表示物种数量与时间的关系，进而研究物种的数量变化趋势以及物种之间相互作用的影响。
总而言之，隐函数定理是微积分中重要的工具，广泛应用于实际问题的分析中。
通过该定理，我们可以建立方程组，从中找到隐含的函数表示方式，并利用这些函数表达式来研究各种实际问题。
无论是物理、经济还是生态领域，隐函数定理都扮演着重要的角色，帮助我们深入了解和解决各种复杂的问题。
《隐函数定理及应用》课件
对隐函数定理应用的反思与展望
在应用隐函数定理的过程中，我发现理论与实践相结合是非常重要的。通过解决实际问题，我能够更好地理解和掌握隐函数 定理的应用技巧和方法。同时，我也意识到在应用过程中需要注意一些细节问题，如初始条件的设定、参数的取值范围等， 以确保结果的准确性和可靠性。
展望未来，我认为隐函数定理还有很大的应用潜力。随着科学技术的发展，越来越多的领域需要用到隐函数定理来解决实际 问题。因此，我希望能够进一步深入研究隐函数定理的原理和应用技巧，为未来的科学研究和技术创新做出更大的贡献。同 时，我也希望能够将隐函数定理应用到更多的领域中，为解决实际问题提供更加有效的方法和工具。
隐函数定理的数学表达
如果一个方程组满足一定条件，则存在一个 唯一的隐函数，使得方程组的解满足该隐函 数的性质。
隐函数定理的重要性
数学分析的基础
隐函数定理是数学分析中的基础 定理之一，对于研究函数的性质 、极限、连续性等方面具有重要 意义。
应用广泛
隐函数定理在经济学、物理学、 工程学等领域都有广泛的应用， 例如在研究经济均衡、物理场论 、电路分析等方面都需要用到隐 函数定理。
详细描述
在计算某些复杂图形的面积时，有时候需要 将图形转化为更容易处理的形状。利用隐函 数定理，可以证明这种转化是可行的，并且 能够准确地计算出图形的面积。例如，在计 算某些曲线围成的区域的面积时，可以利用 隐函数定理将问题转化为求极坐标系下面积
的问题，从而简化计算过程。
04
隐函数定理的推广与展 望
际问题，提高工程设计的可靠性和安全性。
05
总结与思考
对隐函数定理的理解与思考
隐函数定理是微分学中的重要定理之一，它揭示了函数之间的关系和变化规律。通过学习隐函数定理 ，我深入理解了函数的可微性和连续性的关系，以及如何利用导数研究函数的性质。
一个隐函数定理
一个隐函数定理隐函数定理：一、概述1. 隐函数定理是一种数学定理，用于描述一类非线性方程组（nonlinear system of equations）解的存在性和稳定性。
它发展自早期的拉格朗日定理，记录了在涉及隐函数方程的解存在性、唯一性以及正定（positive definiteness）三个方面的非线性精密的函数的定义。
2. 隐函数定理的结果是一种概括，可以用于假设推断和数学猜想中。
例如，它可用于分析变量、方程和函数之间的关系，最终得到一组可以决定整个系统行为的相互关系和决定性参数。
二、术语1. 隐函数：一种由多个变量组成的函数，在给定参数下具有明确定义的行为，它可以被用作一种乘数。
另外，一些隐函数可以用来描述系统中发生的事件，下面几种变量即可构成一个隐函数。
2. 方程：指由变量、常数以及函数组成的方程，它可以用来描述给定状态下特定问题的解决方案。
3. 无穷系统：指分子可以任意变化，而无需考虑局部行为的系统，在理论上它不存在限制，但实际上存在某种物理规律限制。
三、应用1. 隐函数定理可以用于求解复杂的非线性方程，以及有关微观物理的一些系统，例如经典力学、场论和量子力学等。
2. 它还可以用于描述隐式概念，如无穷（infinity）、无穷小（infinitesimal）和零（zero）的概念，用这种方式可以全面了解数学系统中存在的概念关系。
3. 此外，隐函数定理也被用于估算人类行为，例如影响消费者决策的隐藏变量、交易行为及相关指标。
研究者可以利用隐函数定理来描述不同变量之间的行为关系，从而预测和估计市场的行为趋势。
总结1. 隐函数定理是描述一类非线性方程组解的存在性和稳定性的数学定理，它可以用于分析变量、方程式和函数之间的关系。
2. 除了可以用于求解复杂的非线性方程，它还可以用于描述隐式概念，并被用于为估算人类行为提供一种理论框架。
3. 隐函数定理也可以结合其它技术，用于对复杂数学系统中变量、方程和函数之间的关系进行可行性分析，从而提供一组可以决定整个系统行为的相互关系和决定性参数。
隐函数的定理及其应用论文原稿
隐函数的定理及其应用摘 要：本文主要讨论了隐函数和隐函数组的相关定理,并举例说明其应用.关键词：隐函数 隐函数组 可微性 导数引言我们在初中时就开始接触到函数,在我们眼中,函数就是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素.在之前我们所接触到的函数,其表达式大多是自变量的某个算式,如21,(sin sin sin )xyz y x u e xy yz zx =+=++这种形式的函数即为显函数.然而我们在很多地方也会遇到另一种形式的函数,它的自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所确定的.简单来说,若能由函数方程(,)0F x y =, ①确定y 为x 的函数()y f x =,即(,())0F x f x ≡,就称y 是x 的隐函数.1.关于隐函数的一些定理1.1 隐函数存在惟一性若(1)函数F 在以000(,)P x y 为内点的某一区域0D R ⊂上连续；(2)00(,)0F x y =(通常称为初始条件)；(3)在D 内存在连续的偏导数(,)y F x y ；(4)00(,)0y F x y ≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内,方程(,)0F x y =惟一地确定了一个定义在某区间00(,)x x αα-+内的函数(隐函数)()y f x =,使得(1) 00()f x y =,x ∈00(,)x x αα-+时(,())x f x ∈0()U P 且(,())0F x f x ≡；(2) ()f x 在00(,)x x αα-+内连续.需要注意的是,上述定理中的条件仅仅是充分的.如方程330y x -=在点(0,0)不满足条件(4)((0,0)0y F =),但它仍能确定惟一的连续函数y x =.当然,由于条件(4)不满足,往往会导致定理结论的失效.事实上,条件(3)和(4)只是用来保证存在0P 的某一邻域,在此邻域内F 关于变量y 是严格单调的.因此对本定理的结论来说,可以把后两个条件减弱为：F 在0P 的某邻域内关于y 严格单调.采用较强的条件(3)和(4)只是为了在实际应用中便于检验.如果把定理的条件(3)和(4)改为(,)x F x y 连续,且00(,)0x F x y ≠,这时结论是存在惟一的连续函数()x g y =. 1.2 隐函数的可微性定理设(,)F x y 满足隐函数存在惟一性定理中的条件(1)-(4),又设在D 内还存在连续的偏导数(,)x F x y ,则由方程①所确定的隐函数()y f x =在其定义域00(,)x x αα-+内有连续导函数,且'(,)()(,)x y F x y f x F x y =-. ② 若已知方程①确定存在连续可微的隐函数,则可对方程①应用复合求导法得到隐函数的导数,因为把(,())F x f x 看作(,)F x y 与()y f x =的复合函数时,有'(,)(,)0x y F x y F x y y +=当(,)0y F x y ≠时,由它即可推得与②相同的结果.对于隐函数的高阶导数,可以用和上面一样的方法求得,此时只要假定函数F 存在相应的连续的高阶偏导数.我们可以类似的推出由方程12(,,,,)0n F x x x y =所确定的n 元隐函数的概念.1.3 n 元隐函数的惟一存在与连续可微性定理若(1) 函数12(,,,,)n F x x x y 在以点0000012(,,,,)n P x x x y 为内点的区域1n D R +⊂上连续；(2) 000012(,,,,)0n F x x x y =；(3) 偏导数12,,,n x x x y F F F F 在D 内存在且连续；(4) 000012(,,,,)0y n F x x x y ≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内,方程12(,,,,)0n F x x x y =惟一地确定了一个定义在000012(,,,)n Q x x x 的某邻域0()n U Q R ⊂内的n 元连续函数(隐函数)12(,,,)n y f x x x =,使得 (1) 当120(,,,)()n x x x U Q ∈时,12120(,,,,(,,,))()n n x x x f x x x U P ∈,且 1212(,,,,(,,,))0n n F x x x f x x x ≡, 000012(,,,)n y f x x x =.(2) 12(,,,)n y f x x x =在0()U Q 内有连续偏导数：12,,n x x x f f f ,而且1212,,,n n x x x x x x y y yF F F f f f F F F =-=-=-. 例1 设方程 1(,)sin 02F x y y x y =--= ③ 由于F 及,x y F F 在平面上任一点都连续,且(0,0)0F =,1(,)1cos 02y F x y y =->,故依上述定理,方程③确定了一个连续可导隐函数()y f x =,按公式②,其导数为'(,)12()1(,)2cos 1cos 2x y F x y f x F x y yy =-==--. 上述都是由一个方程所组成的隐函数,下面来讨论由方程组所确定的隐函数组.设(,,,)F x y u v 和(,,,)G x y u v 为定义在区域4V R ⊂上的两个四元函数.若存在平面区域D ,对于D 中每一点分别有区间J 和K 上惟一的一对值,u J v K ⊂⊂,它们与,x y 一起满足方程组(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩④ 则说方程组④确定了两个定义在2D R ⊂上,值域分别落在J 和K 内的函数.我们称这两个函数为由方程组④所确定的隐函数组.若分别记这两个函数为(,)u f x y =,(,)v g x y =,则在D 上成立恒等式(,)y y u x =,(,)v v u x =.为了探索由方程组④所确定隐函数组所需要的条件,不妨假设④中的函数F 和G 是可微的,而且由④所确定的两个隐函数u 与v 也是可微的.那么通过对方程组④关于,x y 分别求偏导数,得到00x u x v x x u x v x F F u F v G G u G v ++=⎧⎨++=⎩ ⑤00y u y v y yu y v y F F u F v G G u G v ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ⑥ 要想从⑤解出x u 与x v ,从⑥解出y u 与y v ,充分条件是它们的系数行列式不为零,即0u vu v F F G G ≠ ⑦⑦式左边的行列式称为函数F 和G 关于变量u ,v 的函数行列式(或雅可比Jacobi 行列式),亦可记作(,)(,)F G u v ∂∂.条件⑦在隐函数组定理中所起作用与隐函数存在惟一性的条件(4)相当. 1.4 隐函数组定理若(1) V 和(,,,)G x y u v 在以点0()U Q 为内点的区域4V R ⊂内连续；(2) 0000(,,,)0F x y u v =,0000(,,,)0G x y u v =(初始条件)；(3) 在V 内F ,G 具有一阶连续偏导数；(4) 0(,)0(,)P F G u v ∂≠∂在0P 点不等于零, 则在点0P 的某一(四维空间)邻域0()U P V ⊂内,方程组④惟一确定了定义在点000(,)Q x y 的某一(二维空间)邻域0()U Q 内的两个二元隐函数000(,)u f x y =,000(,)v g x y =,使得(1) 000000(,);(,)u f x y v g x y ==且当()0,()x y U Q ∈时0(,,(,),(,))()x y f x y g x y U P ∈,(,,(,),(,))0(,,(,),(,))0F x y f x y g x yG x y f x y g x y ≡≡ (2) (,),(,)f x y g x y 在0()U Q 内连续；(3) (,),(,)f x y g x y 在0()U Q 内有一阶连续偏导数,且1(,)(,)v F G x J x v ∂∂=-∂∂,1(,)(,)v F G x J u x ∂∂=-∂∂, 1(,)(,)v F G y J y v ∂∂=-∂∂,1(,)(,)v F G y J u y ∂∂=-∂∂. 应该注意的是,本定理中若将条件(4)改为0(,)0(,)P F G u v ∂≠∂,则方程组④所确定的隐函数组相应是(,),(,)y y u x v v u x ==；其他情形均可类似推得.总之,当我们遇到由方程组定义隐函数组及隐函数组求导的问题时,首先应明确那些变量是自变量,那些变量是因变量,然后再进行有关讨论和运算.2. 隐函数在几何方面的应用2.1 平面曲线的切线与法线设平面曲线由方程①给出,它在点000(,)P x y 的某邻域内满足隐函数定理条件,于是在0P 附近所确定的连续可微隐函数()y f x =或(()x g y =)和方程①在0P 附近表示同一曲线,从而该曲线在点0P 处存在切线和法线,其方程分别为'000()()y y f x x x -=-(或'000()()x x g y y y -=-)与 00'01()()y y x x f x -=--(或00'01()()x x y y g y -=--) 由于'x y F f F =-(或'y xF g F =-),所以曲线①在点0P 处的切线和法线方程分别为 切线： 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=, ⑧法线： 000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y ---=. ⑨例2 求笛卡儿叶形线332()90x y xy +-=在点(2,1)处的切线与法线.解 设33(,)2()9F x y x y xy =+-,于是269x F x y =-,269y F y x =-在全平面连续,且(2,1)150x F =≠,(2,1)120y F =-≠.依次由公式⑧与⑨分别求得曲线在点(2,1)处的切线与法线方程分别为15(2)12(1)0x y ---=即5460x y --=,12(2)15(1)0x y ----=即45130x y +-=.2.2 空间曲线的切线与法平面下面我们讨论由参数方程L ：(),(),(),x x t y y t z z t t αβ===≤≤ ⑴表示的空间曲线L 上的某一点0000(,,)P x y z 处的切线和法平面方程,其中00()x x t =,00()y t =,00()z t =,0t αβ≤≤,并假定⑴式中的三个函数在0t 处可导,且'2'2'2000[()][()][()]0x t y t z t ++≠.则曲线L 在0P 处的切线方程为000'''000()()()x x y y z z x t y t z t ---==. ⑵ 由此可见当'0()x t ,'0()y t ,'0()z t 不全为零时,它们是该切线的方向数.过点0P 可以作无数条直线与切线l 垂直,且这些直线都在同一平面上,称这平面为曲线L 在0P 处的法平面n .它通过点0P ,且以为它的法线,所以法平面n 的方程为'''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-=当空间曲线方程L 由方程组L ：(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩⑶ 给出时,若它在点0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理条件(这里不妨设条件(4)是0(,)0(,)P F G u v ∂≠∂),则方程组⑴在点0P 附近所能确定惟一连续可微的隐函数组()x z ϕ=,()y z ψ=,使得0000(),()x z y z ϕψ==,且(,)(,)(,)(,)F G dx z y F G dzx y ∂∂=-∂∂,(,)(,)(,)(,)F G dy x z F G dz x y ∂∂=-∂∂.L 在0P 附近的参数方程为(),(),x z y z z z ϕψ===那么由⑵式曲线在0P 处的切线方程为000001P P x x y y z z dx dy dz dz ---== 即 000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)P P P x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂. 曲线在0P 处的法平面方程为000000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)P P P F G F G F G x x y y z z y z z x x y ∂∂∂-+-+-=∂∂∂ 同理我们可以推得：当(,)(,)F G y z ∂∂或(,)(,)F G z x ∂∂在0P 处不等于零时,曲线在点0P 处的切线与法平面方程仍分别取上述形式.由此可见,当000(,)(,)(,),,(,)(,)(,)P P P F G F G F G y z z x x y ∂∂∂∂∂∂不全为零时,它们是空间曲线⑶在0P 处的切线的方向数.例3 求平面22250x y z ++=与锥面222x y z +=所截出的曲线在点(3,4,5)处的切线与法平面方程.解 设 222(,,)50F x y z x y z =++-, 222(,,)G x y z x y z =+-.它们在点(3,4,5)处的偏导数和雅可比行列式之值为：6F x ∂=∂,8F y ∂=∂,10F z∂=∂, 6G x ∂=∂,8G y ∂=∂,10G z∂=-∂(,)160(,)F G y z ∂=-∂,(,)120(,)F G z x ∂=∂,(,)0(,)F G x y ∂=∂. 所以曲线在点(3,4,5)处的切线方程是：3451601200x y z ---==-,即 3(3)4(4)05x y z -+-=⎧⎨=⎩. 法平面方程为4(3)3(4)0(5)0x y z --+-+-=,即430x y -=.2.3曲面的切平面和法线设曲面由方程(,,)0F x y z = ⑷给出,它在点0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理条件(不妨设000(,,)0z F x y z ≠).于是方程⑷在点0P 附近确定惟一连续可微的隐函数(,)z f x y =使得000(,)z f x y =,且(,,)(,,)x z F x y z z x F x y z ∂=-∂,(,,)(,,)y z F x y z z y F x y z ∂=-∂. 由于在点0P 附近⑷与(,)z f x y =表示同一曲面,该曲面在0P 处有切平面与法线,分别是000000000000000(,,)(,,)()()(,,)(,,)y x z z F x y z F x y z z z x x y y F x y z F x y z -=---- 与 000000000000000(,,)(,,)1(,,)(,,)x y z z x x y y z z F x y z F x y z F x y z F x y z ---==---. 它们也可写成如下形式：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=与 000000000000(,,)(,,)(,,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---==. 这种形式对于000(,,)0x F x y z ≠或000(,,)0y F x y z ≠也同样合适.例4 求椭球面222236x y z ++=在()1,1,1处的切平面方程与法线方程. 解 设222(,,)236F x y z x y z =++-.由于2x F x =,4y F y =,6z F z =在全空间上处处连续.在()1,1,1处2x F =,4y F =,6z F =.因此由上面的公式可得出切平面方程2(1)4(1)6(1)0x y z -+-+-=,即 236x y z ++=和法线方程 111123x y z ---==.结语从初中起我们就接触到了简单的函数,在高中时又进一步加深了学习,但我们以前接触到的都是很明显的函数,但我们碰到了不像以前见过的那么一目了然的函数,它就是我们本文所研究的隐函数.历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,隐函数概念对数学发展的影响,可以说是作用非凡.隐函数在很多地方有重要的应用,比如上面例题中所举的在各种求值问题中的应用.当然隐函数在其它方面也有很多的用处,本文就不一一举例说明了.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社,2001.[2] 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毕业论文：隐函数定理及其应用
摘要隐函数定理是数学分析和高等数学中的一个重要定理，它不仅是数学分析和高等代数中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如泛函分析、常微分方程、微分几何等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理有着十分广泛的应用，在经济学、优化理论、条件极值等中均有重要作用. 对本课题的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.本文简略地论述了隐函数的概念、隐函数定理的内容及证明方法、以及隐函数定理在各个方面的应用. 本文从隐函数定理出发，给出了推论隐函数组定理和反函数组定理以及他们的证明过程. 这些推论使隐函数定理的应用更加广泛. 并针对隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、以及优化理论这几个方面的应用做了系统的论述.关键词：隐函数定理；应用；优化理论；证明AbstractImplicit function theorem of mathematical analysis and higher mathematics is one of the important theorem, it is not only the mathematical analysis and higher algebra in the theoretical foundation of the many, and it also for many branches of mathematics, such as functional analysis, ordinary differential equation, differential several further research how to provide the solid theoretical basis. Implicit function theorem has a very wide range of application, in ec onomics, optimization theory, such as extreme conditions which is an important role. This topic research, can deepen our understanding of the differential calculus and understanding.This paper briefly discusses the concept of implicit function, the content of the implicit function theorem and prove method, and implicit function theorem in all aspects of the application. This paper, from the implicit function theorem are given, and the corollary of implicit function theorem and the group FanHanShu group theorem and proof of their process. These claims that the application of implicit function theorem and more extensive. And in the light of implicit function theorem in the calculation of the derivative and partial derivative, geometric application, conditional extreme, and the several aspects optimization theory of the application of the system is also discussed in the paper.Key words:implicit function theorem; Application; Optimization theory; proof目录摘要 (I)Abstract .................................................................................................................................... I I绪论 (1)第1章隐函数 (2)1. 1 隐函数 (2)1. 2 隐函数组的概念 (2)1. 3 反函数组的概念 (3)第2章隐函数定理 (4)2. 1 隐函数定理 (4)2. 2 隐函数组定理 (6)2. 3 反函数组定理 (7)第3章隐函数定理的应用 (9)3. 1 计算导数和偏导数 (9)3. 1. 1 隐函数的导数 (9)3. 1. 2 隐函数组的导数 (9)3. 1. 3 对数求导法 (10)3. 1. 4 由参数方程所确定的函数的导数 (10)3. 2 几何应用 (11)3. 2. 1 空间曲线的切线与法平面 (11)3. 2. 2 空间曲面的切平面与法线 (14)3. 3 条件极值 (15)3. 3. 1 无条件极值 (15)3. 3. 2 拉格朗日乘数法 (16)3. 4 最优化问题 (18)3. 4. 1 无约束最优化问题 (18)3. 4. 2 约束最优化问题 (19)结论 (21)参考文献 (22)致谢 (23)绪论通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式表示的，这种形式的函数我们称之为显函数. 但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个或多个方程来确定的，由此便产生了隐函数. 隐函数的产生为许多数学问题的解决带来了极大的方便，本文就隐函数的存在性定理、连续性定理、可微性定理做了系统的研究. 隐函数定理是高等数学和数学分析中的一个非常重要的定理，它不但是高等数学和数学分析中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如微分几何、常微分方程、泛函分析等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理的应用范围十分广泛，在数学分析、几何、优化理论、条件极值中均有重要作用. 对隐函数定理及其应用的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.现今国内外很多学者都在研究隐函数定理及其应用这个课题，也把它的有关知识作为一种工具用于证明、计算其它定理. 我国数学家陈文源、范令先教授在1986年出版《隐函数定理》一书，在书中提出许多独到见解，并由隐函数定理得出许多推论. 法国数学家扎芒斯凯在1989年出版《普通数学》一书，其中对隐函数定理进行了更深层次的研究. 我国学者史艳维在2010年发表期刊《关于隐函数定理和Peano定理的一点注记》，其中给出了隐函数定理的另一种证明方法. 我国学者王锋、李蕴洁在2005年发表期刊《隐函数定理在经济学比较静态分析中的应用》，更好的诠释了隐函数定理在其他领域内的应用.本文主要论述了隐函数定理及隐函数定理的一些推论，并给出了隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、最优化问题这四个方面上的应用.第1章 隐函数隐函数与我们以前接触的函数有所不同，它是数学分析中相对于显函数而言的一种函数变现形式. 在这一章里，我们将具体地研究隐函数.1.1 隐函数以前接触的函数)(x f （对应关系）多是用自变量的数学表达式表示的，一般称这样的函数为显函数. 如2)(+=x x f ，)(x f =x cos 等.定义1. 1[1] 若自变量x 与因变量y 之间的对应关系f 是由某个方程0),(=y x F 所确定的，即有两个非空数集A 与B ，对任意A x ∈,通过方程0),(=y x F 对应唯一一个B y ∈,这种对应关系称为由方程0),(=y x F 所确定的隐函数. 记为)(x f y =，A x ∈，B y ∈则成立恒等式0))(,(=x f x F ，A x ∈例如，二元方程02454),(=--=y x y x F 在R 上确定（从中解得）一个隐函数. 隐函数不一定能写成)(x f y =的形式，如122=+y x ，因此隐函数不一定是函数，而是方程. 其实总的来说，函数都是方程，而方程却不一定是函数[2].1.2 隐函数组的概念定义1.2[3] 设),,,(v u y x F 和),,,(v u y x G 为定义在区域∈V 4R 上的两个四元函数，若存在平面区域D ,对于D 中每一点),(y x ，分别在区间J 和K 上有唯一一对值J u ∈,K v ∈,它们与x ，y 一起满足方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F (1-1) 则称方程组(1-1)确定了两个定义在区域D 上，值域分别在J 和K 内的函数，称这两个函数为方程组(1-1)所确定的隐函数组. 若分别记这两个函数为),(y x f u =，),(y x g v =则在D 上成立恒等式0)),(),,(,,(≡y x g y x f y x F ，0)),(),,(,,(≡y x g y x f y x G1.3反函数组的概念定义1.3[4] 设有函数组,(yvu=，)xv=(1-2)),(yxu如果能从此函数组(1-2)中，把x，y分别用u，v的二元函数表示出来，即(vu,yy=(1-3)(v),ux=，)x则称(1-3)为函数组(1-2)的反函数组.第2章 隐函数定理在第一章中我们已经介绍了隐函数的概念，设有方程0),(=y x F ，那么在什么条件下，此方程能确定一个隐函数)(x f y =？在本章里，我们将讨论隐函数的存在性、连续性与可微性，不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要，同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.2.1 隐函数定理定理2. 1[5] 若函数),(y x F 满足下列条件(1)0),(00=y x F(2)在点),(000y x P 的一个邻域⊂)(0P U 2R 中,函数),(y x F 连续(3)0),(00≠y x F y则有下列结论成立：①在点),(000y x P 的某个邻域⊂⊂)()(00P U P V 2R 内, 方程0),(=y x F 唯一确定了一个定义在某区间),(00ρρ+-x x 内的隐函数)(x f y =，满足)(00x f y =且0))(,(≡x f x F ；②)(x f y =在区间),(00ρρ+-x x 内连续；③)(x f y =在区间),(00ρρ+-x x 内具有连续的导数，满足),(),()('y x F y x F dx dy x f y x-== 证 为了不失一般性，不妨设0),(00>y x F y .首先证明隐函数)(x f y =的存在性与惟一性.由0),(00≠y x F y ，我们知道),(y x F y 是连续的，由),(y x F y 的连续性与局部保号性可知，存在闭矩形域=D )(],[],[0'0'0'0'0p U y y x x ⊂+-⨯+-ρρρρ有0),(>y x F y )),((D y x ∈∀所以，对任意的],['0'0ρρ+-∈x x x ，),(y x F 在],['0'0ρρ+-y y 上严格单调增加. 因为0),(00=y x F ，所以可得0),(,0),('00'00>+<-ρρy x F y x F又由于),(),,('0'0ρρ+-y x F y x F 在],['0'0ρρ+-x x 上是连续的，所以存在)(0'ρρρ<>，使得)),((0),(,0),(00'0'0ρρρρ+-∈>+<-x x x y x F y x F 所以，对于每一个固定的),(00ρρ+-∈x x x ，),(y x F 在],['0'0ρρ+-y y 上都是严格单调增加的连续函数，并且有0),(,0),('0'0>+<-ρρy x F y x F因为零点存在定理，存在惟一的],['0'0ρρ+-∈y y y ，使得0),(=y x F . 因此由y 与x 的对应关系就确定了一个函数)(x f y =，其定义域为),(00ρρ+-x x ，值域包含于],['0'0ρρ+-y y ，记为：),(),()('0'0000ρρρρ+-⨯+-=y y x x P V从而结论①得以证明.其次证明隐函数)(x f y =的连续性. 任意取),(00ρρ+-∈x x x ，对于任意给定的充分小的0>ε，可以得到0),(,0),(>+<-εεy x F y x F因为连续函数的保号性可知，存在0>δ，当),(),(00ρρδδ+-⊂+-∈x x x x x 时，有0),(,0),(>+<-εεy x F y x F因此，当),(δδ+-∈x x x 时，由),(y x F 关于y 的单调性，相应于x 的隐函数值)(x f 满足εε+<<-y x f y )(，于是ε<-|)(|y x f ，即ε<-|)()(|x f x f ，所以)(x f y =在),(00ρρ+-x x 连续.最后证明隐函数)(x f y =的可微性.任取x 和x x ∆+都属于),(00ρρ+-x x ，它们相对应的隐函数值为)(x f y =和)(x x f y y ∆+=∆+，那么0),(,0),(=∆+∆+=y y x x F y x F由多元函数微分中值定理，可得y y y x x F x y y x x F y x F y y x x F y x ∆∆+∆++∆∆+∆+=-∆+∆+=),(),(),(),(0θθθθ 在这里， 10<<θ. 因此，当y x ∆∆,充分小时),(),(y y x x F y y x x F x y y x∆+∆+∆+∆+-=∆∆θθθθ. 因为),(y x F x 和),(y x F y 是连续的，取极限0→∆x 可得),(),()('y x F y x F dx dy x f y x-== 且)('x f 在),(00ρρ+-x x 内连续.相应的，我们能够得出由方程0),,,,(21=y x x x F n 所确定的n 元隐函数的存在定理：定理2. 2[6] 如果满足下列条件(1)0),,,,(000201=y x x x F n ； (2)在点),,,,(0002010y x x x P n 的一个邻域⊂)(0P U 1+n R 内,函数),,,,(21y x x x F n 连续； (3) 0),,,(00201≠y x x x F n n y ，那么则有以下结论成立：①在点),,,,(0002010y x x x P n 的某个邻域)()(00P U P V ⊂内, 方程0),,,,(21=y x x x F n 惟一确定了一个定义在点),,,(002010n x x x R 某邻域n R R U ⊂)(0内的隐函数),,,(21n x x x f y =，满足),,,(002010n x x x f y =，且0)),,,(,,,,(2121≡n n x x x f x x x F ；②),,,(21n x x x f y =在邻域n R R U ⊂)(0内连续；③),,,(21n x x x f y =在邻域n R R U ⊂)(0内具有连续的偏导数，满足n i y x x x F y x x x F x y n y n x i i ,,2,1,),,,,(),,,,(2121 =-=∂∂. 例2. 1 验证方程0),(=+=x y e xe y x F 在原点)0,0(的某邻域内确定唯一的连续函数)(x f y =.证 由于),(y x F 与x y y e xe F +='都在2R 上连续，当然在点)0,0(的邻域内连续，且01)0,0(,0)0,0(≠='=y F F由此可知方程0),(=y x F 在点)0,0(的某邻域内确定唯一连续的隐函数)(x f y =.2.2 隐函数组定理下面我们将给出由方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ，所确定的隐函数组⎩⎨⎧==),(),(y x g v y x f u ，的存在定理.定理2. 3[7] 设),,,(),,,,(v u y x G v u y x F 以及它们的一阶偏导数在以点),,,(00000v u y x P 为内点的某区域⊂V 4R 内连续，且满足(1)0),,,(,0),,,(00000000==v u y x G v u y x F (2)0),(),(0≠=∂∂=P v u vu G G F F v u G F J 则方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ，在0P 的某邻域)(0P U 内唯一确定两个隐函数),(y x f u =，),(y x g v =，有下列结论成立：①),(),,(000000y x g v y x f u ==，则有⎩⎨⎧≡≡0)),(),,(,,(0),(),,(,,(y x g y x f y x G y x g y x f y x F ②),(),,(y x g v y x f u ==在邻域20)(R R U ⊂内具有连续的一阶偏导数，且),(),(1,),(),(1x u G F J x v v x G F J x u ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂ ),(),(1,),(),(1y u G F J y v v y G F J y u ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂例2. 2[8] 验证方程组⎩⎨⎧=+--=++-42822222v u y x v u y x 在点)1,2,1,3(-的邻域内确定隐函数组，并求x u ∂∂，xv ∂∂. 解 令 82),,,(-++-=v u y x v u y x F ，42),,,(2222-+--=v u y x v u y x G 则：0)1,2,1,3(,0)1,2,1,3(=-=-F GF 与G 以及它们的一阶偏导数都连续 且)(22211),(),(v u v u v u G F +=-=∂∂，06),(),()1,2,1,3(≠=∂∂-v u G F 所以由隐函数组定理可知题设方程组确定隐函数组⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u 在方程两端同时对x 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂+∂∂+022201x v v x u u x x v x u 解得v u u x x u +-=∂∂，vu u x x v ++-=∂∂2.3 反函数组定理定理2. 4[9] 若函数组),(),,(y x v v y x u u ==满足如下条件：(1)),(),,(y x v v y x u u ==均具有连续的偏导数 (2)0),(),(≠∂∂=y x v u J 则函数组),(),,(y x v v y x u u ==可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组),(),,(v u y y v u x x ==且有y v J u x ∂∂=∂∂1，y u J v x ∂∂-=∂∂1，x v J u y ∂∂-=∂∂1，xu J v y ∂∂=∂∂1 及),(),(1),(),(y x v u v u y x ∂∂=∂∂或1),(),(),(),(=∂∂⋅∂∂v u y x y x v u 定理2. 5 若函数组⎪⎩⎪⎨⎧==),,(),,(212111n n nn x x x y y x x x y y 满足如下条件：(1)n y y y ,21,均具有连续的偏导数 (2)0),,(),,(2121≠∂∂n n x x x y y y则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组⎪⎩⎪⎨⎧==),,(),,(212111n n nn y y y x x y y y x x 且有1),,(),,(),,(),,(21212121=∂∂⋅∂∂n n n n x x x y y y y y y x x x例2. 2 [10]在3R 中的一点，其直角坐标),,(z y x 与相应球坐标),,(θϕr 的变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 其中πθπϕ20,0,0≤≤≤≤+∞<<r ，则函数组（除去z 轴上的点）可确定反函数组.证 由于0sin 0sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos sin cos ),,(),,(2≠=--=∂∂ϕϕϕϕθϕθϕθθϕθϕθϕθϕr r r r r r r z y x由反函数组定理，函数组（除去z 轴上的点）可确定θϕ,,r 分别是z y x ,,的函数，事实上，函数组的反函数组为222z y x r ++=，x y arctan =ϕ，rzarccos =θ.第3章 隐函数定理的应用3.1 计算导数和偏导数3.1.1 隐函数的导数[11]设方程0),(=y x F 确定一个单值可导函数)(x f y =，将)(x f y =代入方程得恒等式0))(,(≡x y x F ，在恒等式两边对x 求导，便得到一个含有y '的方程，解出y '就求出了隐函数)(x f y =的导数，在恒等式两边对x 求导时，必须注意y 是x 的函数，要利用复合函数求导法.例3. 1 求由方程0103=-+y x 所确定的隐函数y 对x 的导数.解 我们在方程两端对x 求导，注意y 是x 的函数，于是3y 则是x 的复合函数，运用复合函数求导法可得0312='+y y 所以231y y -='. 3.1.2 隐函数组的导数[12]对方程组的各个方程两边对某自变量求导，遇见因变量就把它看作自变量的函数，最后解方程组，就可得到隐函数对各个自变量的导数或偏导数.例3. 2 求函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xyy x f 的偏导数.解 (1)当022≠+y x 时，有2222322222)()(2)(),(y x yx y y x x xy y x y y x f x +-=+⋅-+=' 2222322222)()(2)(),(y x xy y y x y xy y x x y x f y +-=+⋅-+=' (2)当022=+y x 时，根据偏导定义有：0lim )0,0()0,(lim)0,0(00=∆-=∆-∆='→∆→∆xx f x f f x x x 000lim )0,0()0,(lim )0,0(00=∆-=∆-∆='→∆→∆y y f y f f x x y综合(1) (2)得：⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-='0,00,)(),(222222223y x y x y x y x y y x f x ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-='0,00,)(),(222222223y x y x y x xy x y x f y 3.1.3 对数求导法某些显函数的导数直接去求十分繁琐，有时可以通过取对数的方法使其化为隐函数的形式，再用隐函数求导法去求导数，使其变得简单些，这样的求导方法我们称为对数求导法.例3. 3 计算3)3()2)(1(---=x x x y 的导数.解 先在两端取自然对数，得：)3ln 2ln 1(ln 31ln -+-+-=x x x y再应用隐函数求导法，在上式两端对x 求导，得)312111(311-+-+-='x x x y y 所以得)312111()3()2)(1(313-+-+----='x x x x x x y3.1.4 由参数方程所确定的函数的导数设由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕϕ确定了y 是x 的函数，)(x y y =则称这个函数为有参数方程所确定的函数，其中t 为参数，下面讨论由参数方程所确定的函数求导法：设函数)(t x ϕ=具有单调连续的反函数)(x t t =，且此反函数能与函数)(t y ϕ=复合成复合函数，则由上面参数方程所确定的函数)(x y y =就可以看成是由)(t y ϕ=，)(x t t =复合而成的函数))(()(x t x y y ϕ==，假设)(t x ϕ=，)(t y ϕ=都可导且0)(≠'t ϕ，则由复合函数求导法则和反函数求导公式有：dt dy dx dy =；dtdydx dt =；)()(1t t dtdx ϕϕ''= 即dtdxdt dyt t dx dy =''=)()(ϕϕ若)(),(t y t x ϕϕ==都二阶可导，则有：322))(()()()()()(t t t t t dx dy dx d dx y d ϕϕϕϕϕ''''-'''== 例3. 4已知抛物体的运动轨迹的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==22121gt t v y t v x 求抛物体在此时刻t 的运动速度的大小和方向.解 先求速度的大小，由于速度的水平分量为1v dt dx =，垂直分量为gt v dtdy-=2，所以抛物体运动速度大小为222122)()()(gt v v dtdydt dx v -+=+=再求速度的方向，即轨道的切线方向，设α是切线的倾角，则由导数的几何意义有12tan v gtv dtdx dt dydx dy -===α所以抛物体刚射出（即0=t ）时1200tan v v dx dyt t ====α当gv t 2=时 0tan 22====gv t gv t dx dyα这说明，这时运动方向是水平的，即抛物体达到最高点.3.2 几何应用3.2.1 空间曲线的切线与法平面[13] 3. 2. 1. 1空间曲线由参数方程给出的情况设空间曲线C 的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(:t z z t y y t x x C []βα,∈t (3-1)取定曲线C 上点))(),(),((),,(0000000t z t y t x z y x P =，设式(3-1)中3个函数都在0t 点可导. 且[][][]0)()()(202020≠'+'+'t z t y t x在0P 的附近取动点C z z y y x x P ∈∆+∆+∆+),,(000，则割线P P 0方程为zz z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000 其中)()(00t x t t x x -∆+=∆，)()(00t y t t y y -∆+=∆，)()(00t z t t z z -∆+=∆. 以t ∆除以上式分母得tx x x ∆∆-0=t y y y ∆∆-0=t zz z ∆∆-0当0→∆t 时，0P P →,且)(0t x t x '=∆∆，)(0t y t y '=∆∆，)(0t z tz'=∆∆. 所以曲线C 在0P 处得切线方程为)(00t x x x '-=)(00t y y y '-=)(00t z z z '- 其切向量))(),(),((000t z t y t x l '''=.因为曲线C 在点0P 的法平面是垂直于切线的，所以法平面的法向量与l平行，设法平面的法向量为n ，则n=))(),(),((000t z t y t x '''. 从而过0P 点的法平面方程为0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x特别地，如果空间曲线C 的参数方程以x 为参数，即：⎪⎩⎪⎨⎧===)()(:x z z x y y x x C []βα,∈x 则C 在点),,(0000z y x P 的切线方程为)()(100000z z z z x y y y x x '-='-=- 切向量为))(),(,1(00t z t y l ''=，C 在点0P 处的法平面方程为：0))(())(()(00000=-'+-'+-z z t z y y t y x x如果C 为平面曲线)(x f y =，[]b a x ,∈，则过点),(000y x P 切线方程为：)(1000x f y y x x '-=-或))((000x x x f y y -'=- 切向量为))(,1(0x f l '=.例 3.5[13] 求螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 在30π=t 处的切线方程与法平面方程.解 由b z t a y t a x ==-=',cos ,sin ，则切线方程为：bb z a a y a a x 33cos3sin 3sin3cos πππππ-=-=--即b bz a a y aa x 3223232π-=-=--因此法平面方程为：0)3()23(2)2(23=-+-+--b z b a y a a x a π3. 2. 1. 2 空间曲线为两曲面交线的情况设空间曲线L 由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F (3-2)给出，设它在点),,(0000z y x P 的邻域内满足隐函数组定理的条件（这里不妨设0),(),(0≠∂∂p y x G F ），则由隐函数存在定理可知在方程组(3-2)点0P 附近可确定唯一连续导数的隐函数组)(z x x =，)(z y y =，z z =（亦即L 的参数方程），满足：)(),(0000z y y z x x ==且00),(),(),(),()(0p p y x G F y z G F z x ∂∂∂∂-=' 0),(),(),(),()(0p p y x G F z x G F z y ∂∂∂∂-='故曲线L 在点0P 的切线方程为：),(),(0p z y G F x x ∂∂-=),(),(0p x z G F y y ∂∂-=),(),(0p y x G F z z ∂∂- (3-3)曲线L 在点0P 的法平面方程为：)(),(),(00x x z y G F p -∂∂+)(),(),(00y y x z G F p -∂∂+)(),(),(00z z y x G F p -∂∂=0 (3-4)同理，可证当0),(),(0≠∂∂p z y G F 或0),(),(0≠∂∂p x z G F 时，曲线L 在点0P 的切线方程为(3-3)式，曲线L 在点0P 的法平面方程为仍为(3-4)式.例3. 6 求曲线⎩⎨⎧=+-=++45323222z y x xz y x 在点)1,1,1(P 处的切线与法平面方程.解 令⎩⎨⎧-+-=-++=4532),,(3),,(222z y x z y x G x z y x z y x F ，首先求偏导数，得：32-=x F x ，y F y 2=，z F z 2=，2=x G ，3-=y G ，5=z G 则曲线在点P 的切线方向向量为：)1,9,16(3221,2512,5322,,-=⎪⎪⎭⎫--- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x x z x z z y z y G G F F G G F F G G F F 故切线方程为1191161--=-=-z y x 法平面方程为24916=-+z y x3.2.2 空间曲面的切平面与法线[14]定义3. 1在空间曲面∑上，过点),,(0000z y x P 的任一曲线在点0P 处的切线都在同一平面上，则此平面称为曲面∑在点0P 的切平面.先讨论曲面∑的方程为0),,(=z y x F 的情形，其次把显式给出的曲面方程),(y x f z =作为它的特殊情形. 设曲面∑由方程0),,(=z y x F 给出，其中F 具有一阶连续的偏导数，在曲面∑上，过点),,(0000z y x P 的任一曲线的参数方程为)(),(),(t z z t y y t x x === βα≤≤t ，其中)(),(),(t z t y t x 均可导，则曲线在点0P 处的切线方向向量为))(),(),((000t z t y t x '''=τ，由于曲线在曲面∑上，故有0))(),(),((≡t z t y t x F ，对上式两端关于t 求导，得：0)()()()()()(000000=''+''+''t z P F t y P F t x P F z y x即 ))(),(),((000t z t y t x '''0))()()((000='+'+'P F P F P F z y x这表明向量))(),(),(((000P F P F P F z y x '''与曲面上过点0P 的任一曲线的切线都垂直，故所有切线都在以向量))(),(),(((000P F P F P F z y x '''为法向量且过点0P 的平面内，从而曲面∑过点0P 的切平面的法向量为：))(),(),(((000P F P F P F n z y x '''=于是过曲面∑上点),,(0000z y x P 处的切平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z P F y y P F x x P F z y x过点),,(0000z y x P 处的法线方程为：)(00P F x x x '-=)(00P F y y y '-=)(00P F z z z '- 上述讨论中，都假设)(),(),((000P F P F P F z y x '''不全为零，现在来考虑曲面∑的方程为),(y x f z =的情形，其中f 都有连续的偏导数，令),(),,(y x f z z y x F -=使方程变形为0),,(=z y x F则：1)(),,()(),,()(000000=''-=''-='P F y x f P F y x f P F z o y y x x所以曲面∑在点0P 的法向量为：)1),,(),,((000o y x y x f y x f n '-'-=故曲面∑在点0P 的切平面方程为：0000000))(,())(,(z z y y y x f x x y x f y x -=-'+-'曲面∑在点0P 的法线方程为：),(000y x f x x x '-=),(000y x f y y y '-=10--z z ，其中),(000y x f z =曲面∑：),(y x f z =上的法向量可以是)1,,(y x f f n '-'-= ，也可以是)1,,(-''=y x f f n，但当曲面∑的法向量向上时（即法向量正向与z 轴正向夹角γ满足大于0小于2π时）∑的法向量应为)1,,(y x f f n '-'-=.例3. 7[15] 求球面14222=++z y x 在点)3,2,1(处的切平面及法线方程. 解 设14),,(222-++=z y x z y x F ，则6)3,2,1(,4)3,2,1(2)3,2,1(,2),,(2),,(,2),,(======z y x z y x F F F z z y x F y z y x F x z y x F球面在点)3,2,1(处的法向量为{}6,4,2，所以球面在点)3,2,1(的切平面方程为：0)3(6)2(4)1(2=-+-+-z y x即：01432=-++z y x法线方程为：332211-=-=-z y x .3.3 条件极值3.3.1 无条件极值 3. 3. 1. 1 极值的概念定义3.2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 内有定义，如果对)(),(0P U y x ∈∀都有),(),(0o y x f y x f ≤或（),(),(0o y x f y x f ≥）则称),(0o y x f 为函数),(y x f 的一个极大值（或极小值），此时点0P 称为),(y x f 的极大值点（或极小值点），函数的极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点.3. 3. 1. 2 极值存在的条件(1)极值存在的必要条件定理3.2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 处具有偏导数，且在点),(000y x P 处有极值，则在该点的偏导数为零，即0),(0=o x y x f ，0),(0=o y y x f证 不妨设函数),(y x f z =在点),(000y x P 处有极大值（极小值的情形可类似证明），由极大值定义，在点),(000y x P 的某邻域内异于点),(000y x P 的点),(y x P 都适合不等式),(y x f ﹤),(0o y x f ，特别的，在该邻域内取0y y =，0x x ≠的点，也有),(0y x f ﹤),(0o y x f ，这表明一元函数),(0y x f 在0x x =处取得极大值，因此必有0),(0=o x y x f ，同理，0),(0=o y y x f(2)极值存在的充分条件定理：设函数),(y x f z =在驻点),(00y x 的邻域内具有连续的一阶与二阶偏导数，记：),(0o xx y x f A =，),(0o xy y x f B =，),(0o yy y x f C =，①当AC B -2﹤0时，),(y x f 在点),(00y x 具有极值，且当A ﹤0时有极大值，当A ﹥0时有极小值. ②当AC B -2﹥0时),(y x f 在点),(00y x 没有极值. ③当AC B -2=0时，),(y x f 在点),(00y x 可能有极值，需另作讨论.例3.8[17]求函数22324y xy x x z -+-=的极值.解 方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=+-=∂∂02202832y x y z y x x xz ，求得驻点为)0,0(和)2,2(再求出二阶偏导数8622-=∂∂x x z ，22=∂∂∂y x z ，222-=∂∂yz在点)0,0(处，2,2,8-==-=C B A ,0122<-=-AC B ,08<-=A ,故函数在点)0,0(处取得极大值0)0,0(=f ，在点)2,2(处，2,2,4-===C B A ，0122>=-AC B 故点)2,2(不是函数的极值点.3.3.2 拉格朗日乘数法自变量有附加条件限制多元函数的极值称为条件极值，比如函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ(3-5)下取得的极值就是条件极值. 现在讨论函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ取得极值的必要条件.设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内),(y x f ，),(y x ϕ均有连续的一阶偏导数，且0),(0≠o y y x ϕ，则方程0),(=y x ϕ能唯一确定y 是x 的具有连续导数的单值函数)(x y y =，将其代入函数),(y x f z =，得一元函数))(,(x y x f z =，于是二元函数))(,(x y x f z =在点0x 取得极大值的问题，由一元可导函数取得极大值的必要条件知应有：0),(),(00000=+===x x y x x x dxdy y x f y x f dxdz (3-6)又由隐函数求导公式，有：)0000,(),(0y x y x dxdy y x x x ϕϕ-==代入(3-6)式中得：0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ即：0),(),(),(),(00000000=⋅-y x y x y x f y x f y y x ϕϕ (3-7)(3-5)、(3-7)式就是),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下，在点),(00y x 取得极值的必要条件. 令),(),(0000y x y x f y y ϕλ-=即：0),(),(0000=+y x y x f y y λϕ (3-8) 则(3-7)式变为0),(),(0000=+y x y x f x x λϕ (3-9)由(3-5) (3-8) (3-9)式得函数),(y x f 在),(00y x 取得条件极值的必要条件是：⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(000000000y x y x y x f y x y x f o y y x x ϕλϕλϕ (3-10)实际上(3-10)式可看作函数),(),(),,(y x y x f y x F λϕλ+=，在点),,(00λy x 取得无条件极值的必要条件. 因此为了便于记忆，求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点，可以构造辅助函数),(),(),,(y x y x f y x F λϕλ+=，其中λ为某一常数，称为拉格朗日乘数，称函数),,(λy x F 为拉格朗日函数，分别求),,(λy x F 对λ,,y x 的偏导数，并使它们同时为零，得联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(),,(0),(),(),,(0),(),(),,(y x y x F y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ϕλλϕλλϕλλ解此方程组得λ,,y x ，其中y x ,就是可能极值点的坐标，上述方法称为拉格朗日乘数法.例3. 9[18] 求函数222),,(cz by ax z y x f ++=，)0,0,0(>>>c b a 在条件1=++z y x 下的最小值.解 作拉格朗日函数)1(),,,(222-+++++=z y x cz by ax z y x L λλ对L 求偏导并令其为零，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+=+=+0020202z y x cz by ax λλλ 解得唯一稳定点：acbc ab ab z ac bc ab ac y ac bc ab bc x ++=++=++=,, 故所求最小值为： 2min )()(ac bc ab ab ac bc abc f ++++=3.4 最优化问题在现实中，我们通常要解决“投资最少”“成本最低”“效益最高”等问题，称这样的问题为最优化问题，这类问题在数学上可以归结为求某个函数在一定条件下的最大值或最小值问题. 最优化问题通常可以分为无约束最优化问题和有约束最优化问题.3.4.1 无约束最优化问题无约束最优化问题的数学表达式就是：在自变量的取值范围D 上，求一组n x x x 21,使：),(max ),(21),(2121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=或： ),(min ),(21),(2121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=这也是一个在D 上求函数),(21n x x x f 的最大值或最小值问题.例3. 10 用铁板做一个体积为22m 的有盖长方体水箱，问当长，宽，高分别为多少时，才能使用料最省？解 设水箱的长为x m,宽为y m ，则高为xy2m 水箱所用材料的面积为：)0,0(),22(2)22(2>>++=++=y x y x xy xy x xy y xy A 这样所给问题就转化为在域{}0,0),(>>y x y x D 上求使此函数达到最小的y x ,用求最大值、最小值的方法即可求得即解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=0)2(2),(0)2(2),(22yx y x A x y y x A y x得：332,2==y x根据题意可知，水箱所用材料面积A 的最小值一定存在，且在开区域{}0,0),(>>y x y x D 内取得，同时函数在D 内只有唯一驻点)2,2(33，因此可以肯定当332,2==y x ，A 取得最小值，即当水箱长、宽、高分别为32m 、32m 、32m 时，水箱所用材料最省.3.4.2 约束最优化问题在约束最优化问题中，约束条件又可分为等式约束条件和不等式约束条件，在此我们只讨论等式约束条件的情形. 这时对应的最优化问题的数学表达式就是：在自变量的取值范围D 上，求一组满足约束条件0),(21=n x x x ϕ的**2*1,,n x x x ，使),(max ),(21),(**2*121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=或),(min ),(21),(**2*121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=，这也是一个有条件地求函数),(21n x x x f 在D 上的最大值或最小值问题.求解有约束最优化问题有两种方法：一种方法是利用约束条件，将有约束最优化问题化为无约束最优化问题再求解. 令一种方法是拉格朗日乘数法.例3. 11 求表面积为2a 而体积最大的长方体的体积.解 设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,则问题就是求函数yxxyzV=z>,0,0(,>>)0在条件0)(2),,(2=-++=a zx yz xy z y x ϕ下的最大值利用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数[]2)(2),,,(a zx yz xy xyz z y z F -+++=λλ 对λ,,,z y x 分别求导，并令其同时为零，得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=0222),,(0)(2),,,(0)(2),,,(0)(2),,,(2a xy yz xy z y x y x xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F z y x ϕλλλλλλ 解此方程组得a z y x 66===，这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得，即表面积为2a 的长方体中，以棱长为a 66的正方体的体积最大，最大体积为3366a V =.结论本篇文章主要介绍的是隐函数定理及其应用，重点在于应用，难点在于如何将理论知识更深刻、更具体、更形象的运用在实际解题中．绪论中主要介绍了隐函数的历史发展、隐函数定理在数学分析中的重要地位，以及在现代生活中人们对隐函数的具体认识及其主要用途．本文介绍了隐函数存在性定理、连续性定理及可微性定理，并予以严谨的证明。
隐函数定理及其应用
隐函数定理及其应用作者：孙海微来源：《新教育时代·教师版》2019年第12期摘要：本文给出了隐函数的定义，隐函数存在唯一性和可微性定理的内容，它们使隐函数定理的应用更具普遍性。
在讨论隐函数的应用时主要对隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用这两个方面的应用做了详细叙述。
关键词：隐函数定理导数几何应用一、隐函数1.隐函数的概念在这之前我们学习过的函数，它们的表达式大部分是自变量的某个式子，如y=cosx，y=x+2等这样的函数叫做显函数。
定义1.1 设，函数F：E→R.对于方程F（x，y）=0，（1）若存在集合，对任意x∈I，有且只有y∈J，使得（x，y）∈E，且使方程（1）成立，则称方程（1）确定了一个定义在I上，值域含于J的隐函数.如方程xy+y-1=0能确定一个定义在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上的隐函数y=f（x）.所以，隐函数必须在确立它的方程以及的成立范围后才有意义.[1]2.隐函数组的概念定义1.2 设有方程组其中F（x，y，u，v）和G（x，y，u，v）为定义在V∈R4上的两个四元函数，若存在平面区域，对于D中每一点（x，y），有唯一的（u，v）∈E，使得（x，y，u，v）∈V，且满足方程组（1-1），则称方程组（1-1）确定了隐函数组u=f（x，y），v=g（x，y）并在D上成立恒等式F（x，y，f（x，y），g（x，y））≡0，G（x，y，f（x，y），g（x，y））≡0.二、隐函数定理下面我们将给出隐函数定理的存在唯一性与可微性，即针对后面研究做好基础准备.[2]1.隐函数存在唯一性定理定理2.1 若函数F（x，y）满足下列条件：（i） F在以P（x0，y0）为内点的某一区域上连续，（ii） F（x0，y0）=0（通常称为初始条件），（iii） F在D内存在连续的偏导数Fy（x，y），（iv） Fy（x0，y0）≠0，证明先证隐函数f的存在性与惟一性由条件（iv），不妨设Fy（x0，y0）>0.由条件（iii）Fy 在D上连续，在点P0的某一封闭的正方邻域，使得在其上每一点都有结果Fy（x，y）>0.（由连续函数的局部保号性）因而，对每个固定的x∈[x0-β，x0+β]，F（x，y），作为y的一元函数，必然在[y0-β，y0+β]上严格增且连续.由初始条件（ii）可知F（x0，y0-β）0.[3]再由的连续性条件（i），又可知道F（x0，y0-β）与F（x0，y0+β）在[x0-β，x0+β]上也是连续的.因此由保号性存在α>0（α≤β），当x∈（x0-α，x0+α）时恒有F（x0，y0-β）0.对（x0-α，x0+α）上每个固定值，同样有，.根據前面已指出的在[y0-β，y0+β]上严格递增并且连续，由介值性定理知，存在惟一的满足.由在（x0-α，x0+α）中的任意性，就能证明存在独一无二的一个隐函数y=f（x），它的定义域为（x0-α，x0+α），值域含于（y0-β，y0+β）.若记U（P0）=（x0-α，x0+α）×（y0-β，y0+β）=，则y=f（x）在U（P0）上满足结论1°的所有要求再证明f的连续性.对于（x0-α，x0+α）上的任意点，.则由上述结论可知.任给ε>0，且ε足够小，使得.由及F（x，y）关于y严格递增，可得.根据保号性，可知存在的某邻域（x0-α，x0+α），使得当时同样有，.因此存在唯一的y，使得F（x，y）=0，即y=f（x），.这就说明了当时，，即在连续.由得任意性，可得f（x）在（x0-α，x0+α）上连续.2.隐函数可微性定理定理2.2 设F（x，y）满足隐函数存在唯一性定理中的条件（i）-（iv），又设在D上还存在连续的偏导数Fx（x，y），则由方程（1）所确定的隐函数y=f（x）在其定义域（x0-α，x0+α）上有连续导函数，且.证明设x与x+△x都属于（x0-α，x0+α），它们所对应的函数值y=f（x）与y+△y=f（x+△x）都含于（y0-β，y0+β）内.由于F（x，y）=0，F（x+△x，y+△y）=0因此由Fx，Fy的连续性以及二元函数中值定理，有0=F（x+△x，y+△y）-F（x，y）=Fx （x+θ△x，y+θ△y）△x+Fy（x+θ△x，y+θ△y）△y其中0注意到式子等号右端是连续函数Fx（x，y），Fy（x，y）与f（x）的复合函数，而且Fy （x，y）在U（P0）上不等于零故有，且f′（x）在（x0-α，x0+α）上连续.三、隐函数定理的应用1.计算导数和偏导数隐函数的导数隐函数求导一般有两种方法.（1）公式法.利用可微性定理中的公式.注意这时当作独立变量处理.（2）两边求导法：方程两边分别求导.注意这时要分清谁是自变量，谁是函数，自变量是相互独立的，函数看作中间变量，用复合函数求导法则求导.例1 设y=f（x）是由方程x2y+3x4y3-4=0所确定的隐函数，求.解方程两边对x求导，得.解得.例2 设z=x2+y2，其中y=f（x）是由方程x2-xy+y2=0所确定的隐函数，求及.解由方程得2x-y-xy′+2yy′=0，两边对x求导，得由z=x2+y2得故.2.几何应用（1）平面曲线的切线与法线设平面曲线由方程F（x，y）=0给出，它在点P0（x0，y0）的某邻域上隐函数定理条件成立，所以在点P0附近所确定的连续可微隐函数y=f（x）（或x=g（y））和方程F（x，y）=0 ，在点P0附近表示相同曲线，从而该曲线在点P0存在切线与法线，其方程分别为y-y0=f′（x0）（x-x0）（或x-x0=g′（y0）（y-y0））与（或）.由于（或），所以曲线F（x，y）=0在点P0的切线与法线方程为切线：Fx（x0，y0）（x-x0）+Fy（x0，y0）（y-y0）=0.法线：Fy（x0，y0）（x-x0）-Fx （x0，y0）（y-y0）=0例4 求2（x3+y3）-9xy=0在点（2，1）的切线与法线.解设F（x，y）=2（x3+y3）-9xy，于是Fx=6x2-9y，Fy=6y2-9x在整个平面上连续，且Fx（2，1）=15≠0，Fy（2，1）=-12≠0.所以，由切线和法线的公式可求曲线在点（2，1）的切线与法线方程分别是15（x-2）-12（y-1）=0 即 5x-4y-6=0，-12（x-2）-15（y-1）=0 即4x+5y-13=0.结语本文从隐函数定理出发，给出了推论隐函数组定理及其证明过程，由此，我们知道了隐函数定理在很多方面都有着广泛的用途，并针对隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用等方面的应用做了系统的论述。
浅谈隐函数及其应用
浅谈隐函数及其应用分类号：学校代码：11460学号：11201910南京晓庄学院本科生毕业论文浅谈隐函数及其应用On the implicit function and its application所属院(部)：信息工程学院学生姓名：王林林指导教师：马圣容研究起止日期：二○一四年十一月至二○一五年五月【摘要】本文从隐函数定理的内容、隐函数的概念、证明方法，以及隐函数定理的应用几个方面进行了简单的介绍。
首先从隐函数定理出发，介绍并证明隐函数组定理和反函数组定理。
通过这些推论，我们知道了隐函数定理的在很多方面都有着广泛的用途。
最后讨论了隐函数定理在计算偏导数和导数、几何应用这几个方面的应用并做了具体的论述.【关键词】隐函数定理；应用；导数；证明【Abstract】 In this paper, the contents of the implicit function theorem, the concept ofimplicit function, the proof method, and the application of the implicit function theorem are briefly introduced.. From the implicit function theorem, we introduce and prove the implicit function theorem and inverse function group theorem.. Through these inferences, we know that the implicit function theorem is widely used in many aspects.. At last, the application of the implicit function theorem in the calculation of partial derivative and derivative, and its application in geometrical application are discussed.【Key words】implicit function theorem; Application; Optimization theory; proof目录摘要 (I)Abstract (II)绪论 (1)第1章隐函数 (2)1. 1 隐函数 (2)1. 2 隐函数组的概念 (2)1. 3 反函数组的概念 (3)第2章隐函数定理 (4)2. 1 隐函数定理 (4)2. 2 隐函数组定理 (6)2. 3 反函数组定理 (7)第3章隐函数定理的应用 (9)3. 1 计算导数和偏导数 (9)3. 1. 1 隐函数的导数 (9)3. 1. 2 隐函数组的导数 (9)3. 1. 3 对数求导法 (10)3. 1. 4 由参数方程所确定的函数的导数 (10)3. 2 几何应用 (11)3. 2. 1 空间曲线的切线与法平面 (11)3. 2. 2 空间曲面的切平面与法线 (13)结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)绪论我们平时所遇到的大多是显函数，但是在实际问题中，有些问题显函数是无法解决的。
隐函数的导数论文
本科学年论文论文题目：隐函数的导数学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级：09届应数本一班指导教师：完成日期：2010年 12 月 10 日隐函数的导数内容摘要本文章将给出隐函数的概念和隐函数的求导法则。
且在一个二元方程所确定的隐函数的基础上进一步推广，并证明隐函数的存在性，连续性，隐函数在几何方面的应用等,并通过实例加以验证.Content summarySummary this article will give a notion of implicit and hidden functions of derivation rules. And in a binary equation by implicit function on the basis of the further promotion, and to prove the existence of implicit function, continuity, implicit function in the application of geometric aspects and, through the instance to be verified.关键词：隐函数的存在性隐函数的求导法则隐函数的应用Tags: hidden functions of implicit function derivation rules implicit application of the目录一．隐函数的定义 (1)二.隐函数的存在性 (1)三.隐含数求导法则 (1)(一).应用复合函数求导法 (2)(二).对数求导法 (2)四.隐含数导数在几何方面的应用 (4)参考文献 (6)序言在高等数学教学过程中，隐函数求导问题是一个非常重要的内容，因为导数是数学教学的基础，同时隐函数的求导问题一直是困扰数学学习的一个难点问题，隐函数求导中的诸多问题至今还未解决，隐函数求导问题是数学研究中非常重要的一个课题.本文中对隐函数求导常用的方法做了汇总，并通过实例加以验证，文章对隐函数的探讨限于一阶导数，并对隐函数的存在性及可导加以说明。
数学分析学年论文隐函数有关定理及其应用
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)前言 (1)1 隐函数 (1)1.1隐函数的定义 (1)1.2. 隐函数存在定理 (2)1.3. 隐函数的可导条件 (2)2.隐函数组 (4)2.1 隐函数组概念 (4)2.2 隐函数组存在条件 (4)3 隐函数的几何应用 (6)3.1 平面曲线的切线与法线 (6)3.2 空间曲线的切线与法平面 (6)3.3空间曲面的切平面与法线 (8)参考文献 (9)摘 要：本文主要介绍了隐函数与隐函数组的相关定理,并讨论了此类定理在求平面的法线及切平面方面的应用.关键词：隐函数;唯一性;隐函数组;可微性Theorem and application of Implicit functionAbstract ：we will discussion of Implicit function existence,and differentiability and the Geometry application in the solution of the normal to plane and tangent plant.Keywords :Implicit function; uniqueness; implicit function group; differentiable前言这篇论文我们将重点介绍有关隐函数定理的的条件及隐函数存在的条件,掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用,会把实际问题抽象为条件极值并予以解决,这样既是解决实际问题的需要,也为后来的函数系统的完善打下基础.1 隐函数1.1隐函数的定义设,X R Y R ⊂⊂,函数:.F X Y R ⨯→对于方程(,)0F x y = ()1若存在集合I X J Y ⊂⊂与对于任何x I ∈,恒有唯一确定的y J ∈,它与x 一起满足方程(1),则称由方程(1)确定一个在I 上,值域含于J 的隐函数.若把它记为(),,,f x y x I y J =∈∈则成立恒等式(,())0F x f x ≡,x I ∈.例如方程10xy y +-=能确定一个定义在(,1)(1,)-∞-⋃-+∞上的隐函数.1.2. 隐函数存在定理（1） 定理1 若满足下列条件隐函数的存在定理。
隐函数论文tWord文档
∴－2≤x≤－1或4≤x≤5．
∴函数f(x2－3x－5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]．
练习.函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是___。
分析：因为 相当于 中的x，所以 ，解得
或 。
这类问题只要紧紧抓住：将函数 中的 看作一个整体，相当于 中的x这一特性，问题就会迎刃而解。
二、已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域
参考文献：
［1］汪浩.数学分析.上海科技出版社，2001.6.
［2］傅海伦.数学教育概论.北京科学出版社，2004.
［3］侯建军.谈高职数学教学中应用能力的培养.职业教育研究，2006.5.
［4］孙本旺.数学分析中的典型例题和解题方法.湖南科学技术出版社，2001.7.
2010年3月26日
(2)当 时，则
总之,在求函数的定义域时,要以基本函数的定义域为基础,遵循以上几条规则.当函数的解析式中含有参数时,要对参数分情况讨论,面面俱到,缺一不可；对于实际问题,函数的定义域除满足解析式之外还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍注意,以防定义域的扩大而前功尽弃。函数的定义域是指自变量的取值范围，求隐函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），
解法是：先由f[g(x)]定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求得f[h(x)]的定义域．
例3若函数f(x+1)的定义域为[－ ，2]，求f(x2)的定义域．
分析：已知f(x+1)的定义域为[－ ，2]，x满足－ ≤x≤2，于是 ＜x＋1＜3，得到f(x)的定义域，然后f(x2)的定义域由f(x)的定义域可得．
解：由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，即0≤(x－1)2≤4，1≤(x－1)2＋1≤5即1≤x2－2x＋2≤5．
数学分析18.1隐函数定理及应用之隐函数
第十七章隐函数定理及其定理1隐函数一、隐函数的概念设E ur2,函数F:E-r2.如果存在集合|,JuE,对任何XGI,有惟一确定的yej,使得(x,y)GE,且满足方程F(x,y)=O,则称F(x,y)=O确定了一个定义在I上，值域含于J的隐函数.若把它记为y=f(x),xWI,yEJ,则有F(x,f(x))三0,xWI.注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+l.二、隐函数存在性条件的分析隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线，「•要使隐函数存在，至少要存在点Po(x o,y o),使F(x o,yo)=O,y0=f(x0).要使隐函数y=f(x)在点P°连续，需F在点P°可微，且(Fx(Po),Fy(P°))TO,O),即曲面z=F(x,y)在点P。
存在切平面.要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P。
可微，则在F可微的假设下，通过F(x,y)=O在P°处对x求导，由链式法则得：Fx(P°)+Fy(P。
)字匚=0.dx当FyR)尹0时,可得字j=-耍2,同理，当V dxi F…(PJFx(Po)尹。
时，可得刑,『=-轶牛r x V r0/三、隐函数定理定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：(1)F在以Po(x o,yo)为内点的某一区域DUR?上连续；(2)F(x°,yo)=O(通常称为初始条件)；(3)F在D内存在连续的偏导数Fy(x,y)；(4)Fygyo)尹0.则1、存在点的P。
某邻域U(P°)uD,在U(Po)上方程F(x,y)=O惟一地决定了一个定义在某区间(x0-a,x0+a)上的(隐)函数y=f(x),使得当xG(x0-a,x0+a)时,(x,f(x))e U(P0),且F(x,f(x))三0,y0=f(x0);2、f(x)在(Xo-a,xo+a)上连续.证：1、由条件⑷,不妨设F y(x o,y o)>O(若F y(x o,y o)<O,则讨论-F(x,y)=O).由条件⑶Fy在D上连续，及连续函数的局部保号性知，存在点Po的某一闭方邻域[x0-P,x0+p]x[y o-p,y o+p]<=D,使得在其上每一点都有Fy(x,y)>0.对每个固定的xE[Xo-B,xo+。
数学分析18.4隐函数定理及其应用之条件极值
第十八章 隐函数定理及其定理4条件极值引例：设计一个容量为V, 而表面积最小的长方形开口水箱. 设水箱的长、宽、高分别为x,y,z ，则表面积为S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy. 即面积函数的自变量要符合定义域的要求(x>0,y>0,z>0)，且须满足 xyz=V, 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.一般形式：在条件组φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求 目标函数y=( x 1,…,x n )的极值.解法：1、消元法，如引例中的条件可化为z=xyV,代入函数S 得： F(x,y)=S(x,y,xy V)=2V(x 1+y1)+xy. 由(F x ,F y )=(0,0)求得稳定点(32V ,32V ), 可求得最小面积S=3324V .2、拉格朗日乘数法：欲求函数z=f(x,y)的极值，限制条件为C: φ(x,y)=0. 把C 看作(x,y)的曲线方程，设C 上一点P 0(x 0,y 0)为f 满足条件的极值点, 且在点P 0的某邻域上φ(x,y)=0能惟一确定可微的隐函数y=g(x), 则 x=x 0必为z=f(x,g(x))=h(x)的极值点. 由f 在P 0可微, g 在x 0可微, 可得 h ’(x 0)=f x (x 0,y 0)+f y (x 0,y 0)g ’(x 0)=0, 且当φ满足隐函数定理条件时，有 g ’(x 0)=-),(),(0000y x y x y x ϕϕ, 代入上式得：f x (P 0)φy (P 0)-f y (P 0)φx (P 0)=0. 几何意义上，上式表示曲面z=f(x,y)的等高线f(x,y)=f(P 0)与曲线C 在P 0有公共切线.从而存在某常数λ0, 使得在P 0处满足：⎪⎭⎪⎬⎫==+=+0)(0)()(0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ，引入辅助变量λ和辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+ λφ(x,y), 可得⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=0)(),,(0)()(),,(0)()(),,(0000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕλϕλλϕλλλ, 即将条件极值问题转化为L 的无条件极值问题，称为拉格朗日乘数法， 其中函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.注：一般条件极值问题的拉格朗日函数：(λ1,…,λn 为拉格朗日乘数) L(x 1,…,x n ,λ1,…,λm )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ.定理18.6：设在条件φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求 函数y=( x 1,…,x n )的极值问题, 其中f 与φk 在区域D 上有连续的一阶偏导数.若D 的内点P 0(01x ,…,0.n x )是上述问题的极值点，且雅可比矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋯∂∂⋯⋯∂∂⋯∂∂n mm n x x x x ϕϕϕϕ1111的秩为m, 则存在m 个常数01λ,…,0.m λ,使得 (01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为拉格朗日函数L(x 1,…,x n ,λ1,…,λn )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ的稳定点, 即(01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为n+m 个方程⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋯=⋯⋯=⋯==∂∂+∂∂⋯⋯=∂∂+∂∂∑∑==0),,(0),,(011111111111n m n mk n k k nx mk k k x x x L x x L x x f L x x f L m n ϕϕϕλϕλλλ的解.例1：用拉格朗日乘数法重新求本节开头提到的水箱设计问题. 解：所求问题的拉格朗日函数为L(x,y,z,λ)=2(xz+yz)+xy+λ(V-xyz)，列方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-+==-+==-+=00220202xyz V L xy y x L xz x z L yz y z L z yx λλλλ，解得：x=y=2z=32V ,λ=324V .∴水箱表面积最小值为：23333)2()22(222V V V V ++=3324V .注：由例1可得不等式：2(xz+yz)+xy ≥3324V =32)(4xyz , x>0,y>0,z>0.例2：抛物面x 2+y 2=z 被平面x+y+z=1截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.解：实质为求f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在条件x 2+y 2-z=0及x+y+z-1=0下的最值. 令L(x,y,z,λ,μ)=x 2+y 2+z 2+λ(x 2+y 2-z)+μ(x+y+z-1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=0100202202222z y x L z y x L z L y y L x x L z y x μλμλμλμλ, 解得：λ=-3±35,μ=-7±311,x=y=231±-,z=2∓3.又f(231±-,231±-,z=2∓3)=9∓53. ∴椭圆到原点的最长距离为39+, 最短距离39-.例3：求f(x,y,z)=xyz 在条件x 1+y 1+z 1=r1,(x>0, y>0, z>0, r>0)下的极小值，并证明不等式3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc , 其中a,b,c 为任意正实数. 解：令L(x,y,z,λ)=xyz+λ(x 1+y 1+z 1-r1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-==-==-=01111000222r z y x L zxy L y xz L xyz L z y x λλλλ，解得：x=y=z=3r, λ=(3r)4.把x 1+y1+z 1=r1看作隐函数z=z(x,y) (满足隐函数定理条件)， 记F(x,y)=xyz(x,y)=f(x,y,z), 它是f 与z=z(x,y)的复合函数. 则有z x =-21x -/21z -=-22x z , z y =-22yz ; F x =yz+xyz x =yz-x yz 2, F y =xz-y xz 2; F xx =yz x +yz x +xyz xx =332x yz , F yy =332yxz , F xy =z+yz y +xz x +xyz xy =z-y z 2-x z 2+xy z 32;∵(F xx F yy -F xy 2)(3r,3r,3r)=27r 2>0, ∴f(3r,3r,3r)=(3r)3极小值, 也是最小值. 即有xyz ≥(3r)3, (x>0, y>0, z>0, 且x1+y1+z 1=r1).令x=a,y=b,x=c, 则r=(a 1+b 1+c 1)-1, 即有abc ≥[3(a 1+b 1+c 1)-1]3,或3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc (a>0, b>0, c>0).习题1、应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值： (1)f(x,y)=x 2+y 2, 若x+y-1=0；(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)； (3)f(x,y,z)=xyz, 若x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0.解：(1)令L(x,y,λ)=x 2+y 2+λ(x+y-1), 列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=010202y x L y L x L y x λλλ,解得：λ=-1, x=y=21. 又当x →∞, y →∞时，f →∞， ∴函数在唯一的稳定点取得极小值f(21,21)=21. (2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)；令L(x,y,z,t,λ)=x+y+z+t+λ(xyzt-c 4), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+==+=0010101014c xyzt L xyz L xyt L xzt L yzt L tz y x λλλλλ, 解得：x=y=z=t=c.又当n 个正数的积一定时，其和必有最小值，∴函数在唯一的稳定点取得最小值也是极小值f(c,c,c,c)=4c.(3)令L(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(x 2+y 2+z 2-1)+μ(x+y+z), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++==-++==++==++==++=001020202222z y x L z y x L z xy L y xz L x yz L zy x μλμλμλμλ, 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==616261z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=616261z y x . ∵f 在有界集{(x,y,y)|x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0}上连续，∴存在最值.又f(61,61,-62)=f(-62,-61,61)=f(61,-62,61)=-631,f(-61,-61,62)=f(62,-61,-61)=f(-61,62,-61)=631, ∴f 在(61,61,-62),(-62,-61,61),(61,-62,61)取得极小值-631,在(-61,-61,62),(62,-61,-61),(-61,62,-61)取得极大值631.2、(1)求表面积一定而体积最大的长方体； (2)求体积一定而表面积最小的长方体.解：设长、宽、高分别为x,y,z ，则体积V=xyz, 表面积S=2xy+2yz+2zx,(1)记L(x,y,z,λ)=xyz+λ(2xy+2yz+2zx-S), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=02220)(20)(20)(2S zx yz xy L y x xy L z x xz L z y yz L z yxλλλλ,解得：x=y=z=6S, ∴体积最大的长方体必在唯一的稳定点取得，即 表面积一定的长方体为正方体时，V=36⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S =66SS最大. (2)记L(x,y,z,λ)=2xy+2yz+2zx+λ(xyz-V), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=0022022022V xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z yx λλλλ,解得：x=y=z=3V , ∴表面积最小的长方体必在唯一的稳定点取得，即 体积一定的长方体为正方体时，表面积S=632V 最小.3、求空间一点(x 0,y 0,z 0)到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.解：由题意，相当于求f(x,y,z)=d 2=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2在条件 Ax+By+Cz+D=0下的最小值问题.由几何学知，空间定点到平面的最短距离存在，可设L(x,y,z,λ)=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2+λ( Ax+By+Cz+D), 列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++==+-==+-==+-=00)(20)(20)(2000D Cz By Ax L C z z L B y y L A x x L z y x λλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++=-+++++=-+++++=-222000022200002220000)()()(C B A D Cz By Ax C z z C B A D Cz By Ax B y y C B A D Cz By Ax A x x ， ∴f 的最小值必在惟一的稳定点取得，即 d=202020)()()(z z y y x x -+-+-=222000||CB A D Cz By Ax +++++为所求最短距离.4、证明：在n 个正数的和为定值条件x 1+x 2+…+x n =a 下，这n 个正数的乘积x 1x 2…x n 的最大值为n nna . 并由此结果推出n 个正数的几何平均值不大于算术平均值n n x x x ⋯21≤nx x x n+⋯++21.证：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 1x 2…x n +λ(x 1+x 2+…+x n -a), (x 1,x 2,…,x n >0)列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+⋯++==+⋯=⋯⋯=+⋯⋯=⋯⋯=+⋯==+⋯=-+-000002112111214313221a x x x L x x x L x x x x x L x x x x L x x x L n n x nk k x n x n x n k λλλλλ, 解得：x 1=x 2=…=x n =n a. ∴最大值必在惟一的稳定点取得，即f(n a ,n a ,…,n a )=n nna 最大.又x 1x 2…x n ≤n n n a ，∴n n x x x ⋯21≤na =n x x x n+⋯++21.5、设a 1,a 2,…,a n 为已知的n 个正数，求f(x 1,x 2,…,x n )=∑=nk k k x a 1在限制条件x 12+x 22+…+x n 2≤1下的最大值. 解：记x 12+x 22+…+x n 2=r ≤1, L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=∑=nk k k x a 1+λ(x 12+x 22+…+x n 2-r),列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+⋯++==+=⋯⋯=+==+=rx x x L x a L x a L x a L n nn x x x n22221221102020221λλλλ, 解得：x i =∑=±nk kiaa r 12, (i=1,2,…,n)可知，当x i =∑=±nk kiaa r 12, 且r=1时，取得最大值f M =∑=nk ka12.6、求函数f(x 1,x 2,…,x n )=x 12+x 22+…+x n 2在条件∑=nk k kx a1=1(a k >0,k=1,2,…,n)下的最小值. 解：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 12+x 22+…+x n 2+λ(∑=nk k kx a1-1),列方程组有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+=⋯⋯=+==+=∑=10202021221121n k k k n n x x x x a L a x L a x L a x L n λλλλ, 解得：x i =∑=n k k i a a 12, (i=1,2,…,n)，∴函数在唯一的稳定点取得最小值F m =∑=nk ka121.7、利用条件极值方法证明不等式xy 2z 3≤10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x , x,y,z>0.证 ：记L(x,y,z,λ)=xy 2z 3+λ(x+y+z-a), (x,y,z>0, a>0),列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=00302022332a z y x L z xy L xyz L z y L z yxλλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===236a z a y a x , 又当n 个正数的和一定时，其积必有最大值，∴xy 2z 3≤32236⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a =6633322⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯a =10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x .。
隐函数定理及其应用
隐函数定理及其应用隐函数定理是微积分中的一个重要定理，它给出了一种判断方程是否能用函数解析的方法。
这个定理的意义非常深远，不仅能够解决许多数学上的问题，也能够应用到现实生活中。
本文将就隐函数定理的含义、证明方法和应用进行一番探讨。
一、隐函数定理的含义隐函数定理是关于方程解析性的一个判断准则。
一般而言，对于含有多个未知量的方程组，除非它具有非常特殊的结构，否则很难用显式的函数式来进行解析。
但是，通过隐函数定理，我们可以判断一个方程是否能够用函数来解析，进而简化计算。
具体而言，如果一个方程F(x, y) = 0在某个点(x0, y0)的周围满足一些条件，那么可以找到一个函数y(x)在这个点的周围也满足F(x, y(x)) = 0，并且该函数在这个点处有一个连续的变化率。
换言之，我们可以把y表示为x的函数，从而简化问题。
这就是隐函数定理的核心内容。
二、隐函数定理的证明方法隐函数定理的证明方法一般涉及到微积分、连续性和偏导数等多个数学概念。
这里我们简要介绍一下隐函数定理的证明方法。
首先，假设我们有一个方程F(x, y) = 0，我们要在某个点(x0, y0)处求解y的表达式。
为此，我们可以求出F(x, y)对x和y的偏导数，分别记为Fx(x0, y0)和Fy(x0, y0)。
接下来，我们可以根据Fx和Fy的值，求出在点(x0, y0)处y关于x的导数。
具体而言，我们可以构造一个增量Δx，然后计算出对应的Δy和ΔF，从而利用导数的定义式求出y关于x的导数。
这里需要用到泰勒公式等微积分方法。
最后，利用导数的连续性，我们就可以得到y在点(x0, y0)处的连续变化率，进而求得隐函数y(x)的表达式。
三、隐函数定理的应用隐函数定理的应用非常广泛，特别是在自然科学和工程学科中。
下面我们简单介绍一下隐函数定理的几个典型应用。
1. 曲面的参数方程在空间几何中，我们经常会遇到三维曲面的问题。
虽然我们可以通过数学方法求解曲面的方程，但是一般来说，这样的方程十分复杂，难以直观地理解。
隐函数存在定理的推广及应用
隐函数存在定理的推广及应用摘要：近年来，随着对隐函数存在定理研究的不断深入，取得了许多好的研究成果，尤其是解析函数隐函数存在定理的推广和复变函数隐函数存在定理的推广，对隐函数存在定理的应用也有研究．本首先对隐函数和隐函数存在定理进行介绍，随后介绍了解析函数、复变函数和的推广，进而得到了推广的结果．最后介绍了隐函数存在定理在初等数学中的应用.10140关键字：隐函数存在定理；解析函数隐函数存在定理；隐含数组；应用Spread and application of the existence of implicit function theoremAbstract: In recent years, with the deepening of the implicit function theorem, made a lot of good research results, Especially if there is an implicit function of analytic functions and complex function Promotion the implicitfunction theorem of existence theorem, the existence of implicit function theorem applied also studied. This paper first introduces the existence of implicit function theorem and implicit function, and then describes the analytic functions of complex variable functions and matrix implicit function theorem promotion, then gets a promotion results. Finally, the implicit function theorem in elementary mathematics.Key words: Implicit function theorem; Analytic function implicit function theorem；Implicit function group；Application目录摘要1引言21．预备知识31.1 隐函数的概念31.2 隐函数存在定理31.3 隐函数可微性定理31.4 隐函数组定理32．隐函数存在定理的推广42.1 解析函数隐函数存在定理4如果存在集合I,J⊂E，对于x∈I,有惟一确定的y∈J,使得(x,y)∈E,且满足方程（1），则称方程（1）确定了一个定义在I上，值域含于J的隐函数.若把它记为y=f(x) ,x∈I,y∈J,则成立恒等式F(x,f(x))≡0 ,x∈I.1.2 隐函数存在定理若函数F(x,y)满足下列条件：（i）F在以P_0 (x_0,y_0)为内点的某一区域D⊂R 上连续，（ii）F(x_0,y_0 )=0(通常)).1.4 隐函数组定理若（i）F(x,y,u,v)与G(x,y,u,v)在以点P_0 (x_0,y_0,u_0,v_0)为内点的区域V⊂R 上连续，(ii)F(x_0,y_0,u_0,v_0 )=0,G(x_0,y_0,u_0,v_0 )=0(初始条件)，（iii）在V上F,G具有一阶连续函数偏导数，证明：为了证明定理，将问题{█(F(u,v)=0@v(0)=0)┤(1.1)化为{█(v=g(u,v)@v(0)=0)┤(1.2)其中g(u,v)=v-(F(u,v))/(F_v=1)一般地，有c_n=p_n (a_10,a_20,a_11,…a_0n)其中p_n是a_10,a_20,a_11,…a_0n的多项式，其系数为非负整数由此推得：引理2.1.1：问题（1.2）至多有一个解析解。
第 十 八 章 隐 函 数 定 理 及 其 应 用 - 河南教育学院
2o f ( x ) 在 ( x0 − α , x0 + α ) 上连续． 上连续．
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既是充分条件, 注1 定理 18.1 的条件 (i) ～ (iv) 既是充分条件 又 是一组十分重要的条件. 例如： 是一组十分重要的条件 例如： ① F ( x , y ) = y 3 − x 3 = 0 , F y ( 0,0 ) = 0 , 在点 ( 0 , 0 ) 虽 不满足条件 (iv)，但仍能确定惟一的隐函数 y = x . ， 双纽线), ② F ( x , y ) = ( x 2 + y 2 ) 2 − x 2 + y 2 = 0 (双纽线 在 双纽线 点 ( 0 , 0 ) 同样不满足 如图18－ 条件 (iv); 如图 －3
x 2 + y 2 + 1 = 0 显然不能确定任何隐函数． 例如 显然不能确定任何隐函数．
注3 隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的
x 2 + y 2 = 1 可确定如下两 取值范围． 取值范围．例如由方程
个函数： 个函数：
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y = f1 ( x ) ( =
1 − x2 ),
x ∈ [−1 , 1 ], y ∈ [ 0 , 1 ] ;
Fx ( x , y ) f ′( x ) = − , ( x, y) ∈ I × J . Fy ( x , y )
( 注: 其中
I = ( x0 − α , x0 + α ) 与 J = ( y0 − β , y0 + β )
(2)
示于定理18.1 的证明 (d) ). 示于定理
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存在二阶连续偏导数时， 注1 当 F ( x , y ) 存在二阶连续偏导数时，所得隐函 数也二阶可导．应用两次复合求导法， 数也二阶可导．应用两次复合求导法，得
隐函数的理论与应用文献综述
毕业论文文献综述数学与应用数学 隐函数的理论与应用一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式（或分段函数用不同的解析式）表示的，如，2y 3x x =+，223z x xy y =+-.x 12x 1,0y x +≥⎧=⎨-<⎩，当x 0时当时，这种形式的函数我们称之为显函数.但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个（或多个）方程F(x ,y)=0或F(x,y,z)=0来确定的，这时我们称由F(x ,y)=0或F(x,y,z)=0确定的函数为隐函数.本人通过查阅相关文献来对隐函数做一个论述.下面先来介绍隐函数，隐函数组的基本概念.定义[1]：设X R ⊂,Y R ⊂，函数F :X Y R ⨯→.对于方程F(x,y)=0 （1）若存在集合I X ⊂与J Y ⊂，使得对于任何x I ∈，恒有惟一确定的y J ∈，它与x 一起满足方程（1），则称由方程（1）确定一个定义在I 上，值域含于J 的隐函数.定义[2]：设F(x,y,z)和(,,)G x y z 为定义在区域3V R ⊂上的两个三元函数。
若存在区间I ,对于I 内任意一点x ,分别有区间J 和K 上唯一的一对值y J ∈,z K ∈, 它们与x 一起满足方程组(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩（2）； 则说方程组(2)确定了两个定义在区间I 上,值域分别落在J 和K 内的函数.我们称这两个函数为由方程组(2)所确定的隐函数组,若分别记这两个函数为()y y x =,()z z x =,则在区间I 上成立恒等式(,(),())0F x y x z x ≡和(,(),())0G x y x z x ≡.隐函数存在性条件[3]：隐函数必须在指出确定它的方程以及x ，y 的取值范围后才有意义.在理解了隐函数，隐函数组定义及存在条件的基础上，我们要开始解决隐函数存在定理及推广问题，隐函数组定理，隐函数的求导法则，隐函数的极值问题.本论文的目的是在原有知识体系的基础上加以整理和归纳，概括出隐函数的求导方法，并辅以典型的例题来论证方法的可行性和实用性，进而介绍了隐函数的求导方法在几何方面和日常实际中的应用，使我们所学知识加以巩固和提高，起到“温故”而“知新”的作用.二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）如果方程(,)0f x y =能确定y 与x 的对应关系，那么称这个方程为隐函数[4]. 本人通过查阅相关的文献、资料，对隐函数的知识做了总结和归纳，并利用隐函数的知识解决实际问题.隐函数存在惟一性定理[1] 若满足下列条件：（i ）函数F 在以000(,)P x y 为内点的某一区域2D R ⊂上连续； （ii ）00(,)0F x y =（通常称为初始条件）； （iii ）在D 内存在连续的偏导数(,)y F x y ； （iv ）00(,)0y F x y ≠，则在点0P 的某领域0()U P D ⊂内，方程(,)0F x y =惟一地确定了一个定义在某区间00(,)x x αα-+内的函数（隐函数）()y f x =，使得① 0000(),(,)f x y x x x αα=∈-+时0(,())()x f x U P ∈且(,())0F x f x ≡；② ()f x 在00(,)x x αα-+内连续. 隐函数存在定理的推广定理1[5] 设(,)F x y 在00(,)x y 的一个领域内连续，满足 1）00(,)0F x y =2）存在正数0M σ>>及0δ>，使以下（A ）、（B ）两条件至少有一个成立 （A ）0,(,),,(,)D F x y D F x y M σ≥≤ 00[,]y y y δδ∀∈-+ （B ）0,(,),,(,)D F x y D F x y M σ≤-≥- 00[,]y y y δδ∀∈-+ 这里0,(,)D F x y 等是关于y 的Dini 导数.那么存在00[,]x x δδ-+上的连续函数()x ϕ，使00(),(,())0x y F x x ϕϕ==. 定理2[6] 函数(,)F x y 是带域{(,)|,}G x y a x b y =≤≤-∞<<∞上的有界函数，(,)F y g 的导数处处存在，且满足'0(,)m F x y M <≤≤，(,)F x g 在[,]a b 上Lebesgue 可测，则存在()[,]y x L a b ∈%，使得(,())0F x y x =%.定理3[7] 若函数(,)Z F x y =满足下列条件:（1）函数F 在以000(,)P x y 为内点的某一区域2D R <上连续； （2）00(,)0F x y =；（3）在D 内存在关于y 的直到1n +阶的连续偏导数,且'()000(,)0,,(,)0n y y F x y F x y ==L ;（4）(1)00(,)0n yF x y +≠.则当n 为偶数时,在点0P 的某领域0()U P D <内,方程(,)0F x y =惟一地确定了一个定义在某区间00(,)x A x A -+内的函数(隐函数)()y f x =,使得（1）0000(),(,)f x y x x A x A =∈-+时0(,())()x f x U P ∈且(,())0F x f x ≡； （2）()f x 在00(,)x A x A -+内连续;注:当n 为奇数时,无法判断隐函数的存在性,也无法判断惟一性. 隐函数组定理[8] 设方程组F(x,y,u,v)=0(,,,)0G x y u v ⎧⎨=⎩ （3），若（3）中的F 与G 满足：（i ）在4V R ⊂上连续，00000(,,,)int p x y u v V ∈；（ii ）00()()0F p G p ==； （iii ）在V 内存在一阶连续偏导数； （iv ）00000()()|0()()u v p u v F p F p J G p G p =≠，则01、000()()()P Q W V ∃=⨯⊂U U U 000000((,),(,))Q x y W u v =使0(,)()x y Q ∀∈U ，10(,)()u v W ∃∈U ，即有(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，0(,)()x y Q ∈U ，0(,)()u v W ∈U 满足0000(,),(,)u u x y v v x y ==及(,,(,),(,))0(,,(,),(,))0F x y u x y v x yG x y u x y v x y =⎧⎨=⎩，0(,)()x y Q ∈U ；02、(,),(,)u u x y v v x y ==在0()Q U 内连续；03、(,),(,)u u x y v v x y ==在0()Q U 内存在一阶连续偏导数，且1(,),(,)1(,),(,)u F G x J x v u F G yJ y v ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩1(,),(,)1(,).(,)v F G x Ju x v F G yJ u y ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩隐函数求导的方法[9] 1、显化法把隐函数化为显函数后，再利用显函数求导数的方法来求隐函数的导数.此种方法常用于较容易化为显函数的隐函数的求导，但是此种方法由于受有些隐函数不能或较难化为显函数限制，而不是很常用.例：方程222(0)x y R y +=>确定了y 是x 的函数，求y 对x 的导数.解：原方程化为y ='xy ==但是，不是所有的隐函数都能化为显函数，例如：方程：sin ln 1y x y +=就不能用显化法.2、公式法利用公式：'''x xyF y F =-来求隐函数的导数的方法[10].这种方法要求先把确定隐函数的方程写成(,)0F x y =的形式，再对(,)0F x y =的两边同时分别对,x y 求导数，然后再利用该公式求出'x y .而且在对(,)F x y 的两边同时分别求导数时，需要先后把,y x 看作常数(其实是根据,x y 为(,)F x y 的独立变量)这对初学者来说不容易分辨.而且此方法的计算量较大.例：方程：222(0)x y R y +=>确定了y 是x 的函数，求y 对x 的导数. 解：令222(,)F x y x y R =+- （*）对（*）式两边同时对x 的导数，得：'2x F x =对（*）式两边同时对y 的导数，得：'2y F y =再由公式'''x xy F y F =-x y =-=.注：由上面的计算过程我们可以看出：第一，本题计算较为复杂；第二，在对(,)F x y 求对的x 导数时，将y 看作常数，在对(,)F x y 求对y 的导数时，将x 看作常数.3、微商法利用对确定隐函数的方程两边同时求微分，再根据函数的微分与函数的导数之间的关系（y 对x 的导数即为y 的微分与x 的微分的商）求出隐函数的导数的方法.此种方法与公式法有着同样的缺点，即：在求微分的过程中需要分别把,x y 看作独立变量，而且该方法比公式法的计算过程更复杂一些.例：方程：2ln()0yx xy x+-=确定了y 是x 的函数，求y 对x 的导数. 解：对上方程的两边同时求微分，得12()0yxdx d xy y x xy x+-=-12()()0y xdx d xy d y x xy x ⎡⎤⇒+-=⎢⎥⎣⎦- 21120y xdx ydx xdy dy dx y x x xy x ⎡⎤⇒++-+=⎢⎥⎣⎦- 21120dy dy y x y x y dx x dx x xy x ⎡⎤⇒++-+=⎢⎥⎣⎦- ''21120x x y x y xy y y x x xy x ⎡⎤⇒++-+=⎢⎥⎣⎦- 22'1(12)1x x y x y x x--⇒=-.4.参数法引入参数把隐函数转换成由参数方程所确定的函数，再利用参数方程组所确定的函数的求导法则来求该隐函数的导数的方法.该方法在把隐函数转换成由参数方程组所确定的函数时，步骤较为复杂，因此一般很少使用.例：方程ln()0x ye x y ++-=确定了y 是x 的函数，求y 对x 的导数.解：令ln x ye t x y t +=⇒+= （1）又由ln()0ln()x yt ex y x y t x y e +-+-=⇒-=-⇒-= （2）联立（1）、（2）解得(ln )/2(ln )/2ttx t e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ （t 为参数） 1/21/2t t dx e dt dt tdy e dt dt t--⎧⎡⎤⎛⎫=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⇒⎨⎡⎤⎛⎫⎪+ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩'111()/1()x y t t x x y dy e x y dty e dt e dt dx t t e x y dt+--+⎡⎤⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫⇒=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.5、复合法把隐函数转换成复合函数，再利用复合函数求导法则来求该隐函数的导数的方法.该方法的原理类似于对数求导法原理，但比对数求导法适用性更广泛.例：方程()0x y yx +-=确定了y 是x 的函数，求y 对x 的导数.解：()0x y yx +-=()x y yx +⇒=ln (y x x y ⇒=+y ⇒='ln x y x =-. 6、直接法直接把确定隐函数的方程中的y 看成是x 的函数,再对方程的两边同时求对x 的导数，从而得到一个含有'x y 的方程，由此方程解出'x y 的方法.该方法具有很好的适用性，因此也被广泛使用，但是该方法要求使用者比较熟悉复合函数的求导法、对数求导法等一些基本的导数知识，而且若能够把此方法和复合法灵活地结合起来使用，将是求导数问题的一个极其有用的工具.例：方程：sin ln 1y x y +=确定了y 是x 的函数，求y 对x 的导数.解：分析：因为方程已经确定了y 是x 的函数，所以不妨假设y 可以表示成：()y f x =的形式，故原方程中的y 都可以换成()f x ，于是，原方程变为：()sin ln ()1f x x f x +=，此为只含有x 的一元方程，对此方程的两边同时求对x 的导数，即可得到一个含有',(),()x f x f x 的方程，解此方程即可得到'()f x ，而''()x y f x =，从而得到'x y .但在具体的求解过程中就不必要把y 写成()f x ，只需把y 看成是()f x 即可.''1sin cos 0xx y x y x y y++=2'cos 1sin x y x y y x -⇒=+.隐函数极值定理定理1[11] 设函数(,)f x y 在00(,)x y 的邻域内具有二阶连续偏导数,且0000(,)0,(,)0,(,)0x y f x y f x y f x y ==≠，则当0000(,)0(,)xx y f x y f x y >时,由方程(,)0f x y =确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极大值;当0000(,)0(,)xx y f x y f x y <时, 由方程(,)0f x y =确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极小值.定理2[12] 设函数12(,,,,)n f x x x y L 在点0000012(,,,,)0n p x x x y =L 的邻域内具有一阶、二阶连续偏导数,且000012(,,,,)0(1,2,,)i x n f x x x y n n ==L L ，00001212(,,,,)0,(,,,,)0n y n f x x x y f x x x y =≠L L .由方程12(,,,,)0n f x x x y =L 所确定的n 元函数为12(,,,)n y y x x x =L ，则 当0()()ij H p h =为正定矩阵时,12(,,,)n y y x x x =L 在0p 处取得极小值; 当0()()ij H p h =为负定矩阵时,12(,,,)n y y x x x =L 在0p 处取得极大值; 当0()()ij H p h =为不定矩阵时,12(,,,)n y y x x x =L 在0p 处不取得极值.其中000012000012(,,,,),,1,2,,(,,,,)i j x x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y =-=L L L .隐函数的极值求法（一）隐函数(,)0F x y =确定的函数的极值求解步骤归纳如下[13]：⑴利用隐函数求导方法求出'(,)(,)f x y yg x y =.⑵求出函数的定义域内特殊的点：导数等于零的点（驻点），即(,)0,(,)0f x y g x y =≠的点；导数不存在的点(,)0,(,)0f x y g x y ≠=的点；有的隐函数还存在同时既是导数等于零的点又是导数不存在的点.⑶对于(,)0,(,)0f x y g x y =≠的点一般用第二充分条件判断；对于(,)0,(,)0f x y g x y ≠=的点可用反证法说明或从函数方程来考虑，对于(,)0,(,)0f x y g x y ==的点只能从函数本身来考虑．例：设函数()y f x =是由方程3330x y axy +-=(0)a >确定，试求出()f x 的极值.解：方程3330x y axy +-=两边对x 求导得22''0x y y ay axy +--=，化简得2'2ay x y y ax-=-.令'0y =，即2ay x =，代人方程3330x y axy +-=解得11x y =；220,0x y ==.'y 不存在的点，即2ax y =，代人方程3330x y axy +-=解得33x y ==440,0x y ==.对于11x y =，利用极值的第二充分条件：''(,)2|0x y y a=-<，所以()f x 在1x =f =对于220,0x y ==，不能用第一、第二充分条件来判断，由于原来函数是连续的，且可以取到0y >和0y <的值，所以0x =不是原来函数的极值点.对于33x y ，若3y 是函数的极小（或大）值，则存在δ，当)x U δ∈时，y >y <，由2'2ay x y y ax-=-，在此领域内当y >函数是单调的（当y <可以得到y >y <3x =不是函数的极值点.（二）几何判别法[14]对于隐函数的极值问题,通常是根据隐函数求导法求出隐函数的一阶和二阶导数,再根据多元显函数取极值的必要和充分条件,求得隐函数的极值.利用方向导数讨论隐函数极值却很少见到.所以我们在方向导数的基础上,得到了隐函数的几何判别法,丰富了隐函数极值的判别理论.定理：设(,,)F x y z 在点0000(,,)Q x y z 的某邻域0()U Q 内具有一阶连续偏导数，且0000()0,()0,()0,()0x y z F Q F Q F Q F Q ===≠，则(,,)0F x y z =在0()U Q 内唯一地确定了一个定义在000(,)P x y 的某邻域0()U P 内的隐函数为(,)z f x y =.任意的点0(,,)()Q x y z U Q ⊂，对应00(,)()P x y U P ⊂，用T 表示方向0P P u u u r，过Q 作(,,)0F x y z =的切平面P ，0P 在平面P 上的对应点为0c Q ，用c T 表示方向0c Q Q u u u u u r，则(,)cos sin f x y CT C∂=∂ 其中C 表示c T 与z 轴正向的夹角.推论：在定理2的条件下,若02PC <<，则隐函数(,)z f x y =在0P 取得极小值；若2PC P <<，则隐函数(,)z f x y =在0P 取得极大值. 下面来看一下隐函数在几何，经济方面的应用. （一）在几何中的应用[15]例：求一条平面二次曲线L ，使过点A 与点B ，且分别在点A 与点B 处与直线,AC BC 相切（图1），并证明直线CP 在曲线L 上点P 处的法线上，其中点P 为点C 到曲线的最近点.解：（1）先求二次曲线L 的方程. 设直线,,AB AC BC 的方程分别为:(,)0AB l x y ax by c =++=，1111:(,)0AC l x y a x b y c =++=， （1） 2222:(,)0BC l x y a x b y c =++=，其中直线AB 与AC 相交于点A ，直线AB 与BC 相交于B ，11()()()()0l A l B l A l B ====.令212(,)(,)(,)(1)(,)(0)F x y Ll x y l x y L l x y L =+-≠，则(,)0F x y =是二元二次方程，表示一条圆锥曲线L （即不过圆锥顶点的任意平面截圆锥所得的曲线）.由于12()()0,()0l A l A l A ==≠曲线L 在点A 处的法向量（即该点处与切向量垂直的向量）{}()(),()y x y n A F A F A =，其中122112999()(1)2()999x A l l l F A L l l L l La l A x x x ⎧⎫⎡⎤=++-=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，12()()y F A Lb l A =于是，法向量{}{}21121()(),()(),()y y x y n A F A F A Ll A a b Ll A n ===，而{}111,y n a b =是直线AC 在点A 处的法向量，故曲线L 在点A 处与直线AC 相切.同理可得曲线L 在点B 处与直线BC 相切.因此，所求平面二次曲线的方程为212:(,)(,)(1)(,)0L Ll x y l x y L l x y +-=其中12(,),(,),(,)l x y l x y l x y 由（1）式确定.（2）下证直线CP 在曲线L 上点P 处的法线上.设点(,)P x y 为点00(,)C x y 到曲线L 的最近点，则点P 的坐标满足方程(,)0F x y =，并使距离d =.构造Lagrange 函数 2200(,)()()(,)T x y x x y y KF x y =-+-+，则点P 的坐标还满足方程组002()02()0x x yy T x x KF T y y KF =-+=⎧⎪⎨=-+=⎪⎩，因此 002x yx x y y K F F ---== （2） 又曲线(,)0F x y =在点P 处的法向量为{},y x y N F F =，而向量{}00,CP x x y y =--u u u r ，由（2）式知2K CP N =-u u u r u u r ，即CP 在曲线L 上点P 处的法线上. （二）在经济方面的应用[16]以一个简单的国民收入模型为例介绍了隐函数定理及在其基础之上推导出来的比较静态分析一般形式体系在经济学比较静态分析中的应用.三、总结部分（将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测）本文论述了隐函数，隐函数组的定义及定理，并在了解了隐函数存在定理及推广问题的基础上，对隐函数求导方法和隐函数极值求法做出了归纳与总结.通过本文分析可以看出：隐函数的求导方法和极值的求法虽然有一定的规律可循，但也决不能死搬硬套，因为有的题目可能有很多解法，有的简单，有的复杂，因此只有在做题过程中不断总结，摸索，领悟题目的含义和各种方法的精髓，才能更好地把握隐函数的求导方法和极值的求法.再者介绍了一些隐函数知识在实际问题中的应用.如果在实际工作中，我们能经常利用数学的思想去思考问题，往往能突破我们思维上的禁锢，拓宽考虑问题的思路，可以为实际问题的顺利解决提供了较大的帮助.四、参考文献（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）[1]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].高等教育出版社,2001.[2]吴耀强.隐函数组存在性在几何方面的一个定理及其应用[J].宿州教育学院学报,2006,6:9-1.[3][美]阿泼斯托尔（Apostol,T.M.）.数学分析（英文版第2版）[M].机械工业出版社.2004.[4]杨则燊，边馥萍.高等数学[M].天津大学出版社，2005.[5]刘季浦.关于隐函数存在定理[J].岳阳大学学报,1993,4:6-1.[6]王江云.隐函数存在定理的推广[J].学术交流，1994:1.[7]胡华.隐函数定理的一个推广及其应用[J].广西民族学院学报（自然科学版），2000,5:6-2.[8]李保荣.隐函数组定理证明的教学刍议[J].邵阳学院学报（自然科学版）,2010,3:7-1.[9]陈志惠.关于隐函数求导问题的归纳与总结[J].牡丹江教育学院学报，2010:121-3.[10]Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis[M]. China Machine Press.2004.1.[11]单国莉.隐函数极值存在的条件及应用实例[J].烟台师范学院学报(自然科学版),2005:21-3.[12]陈维杜,王漱石.极值和条件极值[J].湖州师范学院学报.1990:5.[13]冯秀红.隐函数的极值求法[J].高师理科学刊,2010,5:30-3.[14]常健,高丽.判定隐函数极值的几何方法[J].江西科学,2007,4:25-2.[15]陆全,肖亚兰,叶正麟.隐函数求导在曲线、曲面设计中的应用[J].高等数学研究,2005:18-2.[16]王锋,李蕴洁.隐函数定理在经济学比较静态分析中的应用[J].云南大学学院学报，经济学院学报，2005,3:20-3.。
隐函数有关定理及其应用
1 隐函数1.1隐函数的定义设,X R Y R ⊂⊂,函数:.F X Y R ⨯→对于方程(,)0F x y = ()1若存在集合I X J Y ⊂⊂与对于任何x I ∈,恒有唯一确定的y J ∈,它与x 一起满足方程(1),则称由方程(1)确定一个在I 上,值域含于J 的隐函数.若把它记为(),,,f x y x I y J =∈∈则成立恒等式(,())0F x f x ≡,x I ∈.例如方程10xy y +-=能确定一个定义在(,1)(1,)-∞-⋃-+∞上的隐函数.1.2. 隐函数存在定理定理1 若满足下列条件1）(,)F x y 在以000(,)P x y 为内点的某一区域2R D ⊂上连续; 2）00(,)0F x y =;3）(,)y F x y 在D 内连续;4）0,()0y o F x y ≠.则在0()U P D ⊂内,方程(,)0F x y =惟一地确定了一个定义在00(,)x x αα-+内的隐函数()y f x =,使得00001(),(,)f x y x x x αα=∈-+时0(,())()x f x U P ∈且(,())0F x f x ≡. 02()f x 在00(,)x x αα-+内连续.这里有几点需要注意，i ）定理的条件只是充分的,ii ）.定理的条件（3）,（4）还可减弱.iii ）定理的条件（3）,（4）换为：x F 连续,0()0x F P ≠,则可确定隐函数()x f y =.1.3. 隐函数的可导条件定理2 若(1)(,)F x y 在以000(,)P x y 为内点的某一区域2R D ⊂上连续; (2)(,)F x y ;(3)(,)(,)y x F x y F x y 在D 内连续;(4)0()0y F P ≠.则(,)0F x y =确定的隐函数()y f x =,在00(,)x x αα-+内有连续的导数,且 ()xyF f x F '=-.若已知(,)0F x y =存在连续可微的隐函数()y f x =,利用复合函数求导法则,也求出'()f x .例 1 讨论笛卡儿叶形线3330x y axy +-=所确定的函数()yf x =的一阶与二阶导数解 由隐函数定理知,在使得23()0y F y ax =-≠的点(,)x y 附近,方程确定隐函数()y f x =.方程两边对x 求导并整理可得,22ay x y y ax -'=- 2()0y ax -≠ .两边再对x 求导,并将上式代入可得：3232()a xyy y ay ''=--.例2 讨论方程323(,,)0F x y z xyz x y z =++-=在原点附近所确定的二元隐数及其偏导数.解 (0,0,0)0,(0,0,0)10z F F ==-≠且,,x y z F F F F 处处连续,因此在原点(0,0,0)附近能惟一地确定连续可微的隐函数(,)z f x y =,且可求得它的偏导数如下：32213x z x y F yz z F xyz ∂+=-=∂- , 322313y z y z F xz y F xyz∂+=-=∂-. 2.隐函数组2.1 隐函数组概念设(,,,),(,,,)F x y u v G x y u v 为定义在4R 上的四元函数.若存在2D R ⊂,对任意(,)x y D ∈,都有惟一确定的,u v ,使(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩成立,则在D 上定义了两个函数：(,),(,)u f x y v g x y ==.称它们是由方程确定的隐函数组.2.2 隐函数组存在条件定理3 若（1） (,,,),(,,,)F x y u v G x y u v 在以00000(,,,)P x y u v =为内点的区域4V R ⊂内连续（2） 00000000(,,,)0,(,,,)0F x y u v G x y u v ==;（3） 在V 内,,F G 有连续的偏导数;（4）(,)(,)F G J U V ∂=∂在点0P 不等于零. 则在点0P 的某一邻域0()U P V ⊂内,方程组惟一地确定了定义点000(,)Q x y 的某一邻域0()U Q 内的两个二元隐函数：(,),(,)u f x y v g x y ==.使得1. 000000(,),(,),u f x y v g x y ==(,,(,),(,))0F x y f x y g x y ≡(,,(,),(,))0.G x y f x y g x y ≡.2 .(,),(,)u f x y v g x y ==在0()U Q 内有连续的偏导数,且：1(,)1(,),,(,)(,)u u x F G F G J x v y J y v ∂∂∂∂=-⋅=-⋅∂∂∂∂1(,)1(,),(,)(,)v v x y F G F G J u x J u y ∂∂∂∂=-⋅=-⋅∂∂∂∂例3 讨论方程组2222(,,,)0(,,,)10F x y u v u v x yG x y u v u v x y ⎧=+--=⎨=-+-+=⎩ 在点0(2,1,1,2)P 的邻域能确定怎样的隐函数组,并求其偏导数.解 00()()0F P G P ==且2,1,2,2.x y u v x F x F F u F v G y =-=-===-,,y G x =- 1,1u v G G =-=.在点0P 处的所有雅可比行列式中仅有(,)0(,)F G x v ∂=∂因此,仅有(,)x v 不能断定能否作为以(,)y u 为自变量的隐函数.除此之外,在点0P 附近,任意两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.如,要求(,),(,)x f u v y g u v ==的偏导数,对方程组分别关于,u v 求偏导数,得22010u u u u u xx y yx xy --=⎧⎨---=⎩, 22010v v v v v xxy xy yx --=⎧⎨--=⎩分别解之,得221,2u xu x x y +=- 221;2v xvx x y -=- 222,2u x yu y x y +=--222.2v x yvy x y -=-3 隐函数的几何应用本节的重点是掌握用隐函数和隐函数组求导法求平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面以及求曲面的切平面与法线．3.1 平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程为 (,)0F x y =,F 在000(,)P x y 的某邻域内满足隐函数定理的条件.隐函数 ()y f x =在0x 的导数 '000()()/()x y f x F P F P =-.曲线在0x 的切线方程为0000()()()()0x y F P x x F P y y -+-=.法线方程为0000()()()()0y x F P x x F P y y ---=.例4 求曲线 332()90x y xy +-=在(2,1)处的切线与法线. 解 设33(,)2()9F x y x y xy =+-,则2269,69x y F x y F y x =-=-处处连续, 且(2,1)15,(2,1)12x y F F ==-.因此曲线在(2,1)处的切线与法线分别为5460,x y --=及45130x y +-=3.2 空间曲线的切线与法平面设有空间曲线 []0:(),(),(),,,L x x t y t z z t t P L αβ===∈∈.且 []000000000(,,)((),(),()),,P x y z P x t y t z t t αβ=∈.再设L 为光滑曲线.在L 上任取一点0000(,,)P x x y y z z +∆+∆+∆,则割线 0P P 的方程为00,x x y yz z x y z ---==∆∆∆因此：00o x x y y z zx y z z t t---==∆∆∆∆∆∆令 0t ∆→,则由L 为光滑曲线知,0p p →.所以L 在0p 的切线方程是000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''.过0p 与切线垂直的平面称为L 在0p 的法平面,其方程为 000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=.(,,)0:(,,)0F x y z LG x y z =⎧⎨=⎩ 且在0000(,,)P x y z 的某一个邻域内满足隐函数组定理的条件（不妨设0(0(,)P x y ∂≠∂F,G)） 方程组在0P 附近确定惟一连续可微的隐函数组：(),()x z y z ϕψ==.则()()x z y z z z ϕψ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.且 (,)(,),(,)(,)x z F G d z y F G d x y ∂∂=-∂∂ (,)(,)(,)(,)y z F G d x z F G d x y ∂∂=∂∂ 所以L 在0P 的切线方程是000(,)(,)(,)(,)(,)(,)x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂. 例5：求曲线22222250x y z x y z⎧++=⎪⎨+=⎪⎩在(3,4,5)处的切线与法平面. 解：令22222250,F x y z G x y z =++-=+-.在(3,4,5)处,6,x F = 8,y F = 10,z F = 6,x G = 8,y G = 10z G =- (,)160,(,)F G y z ∂=-∂ (,)120,(,)F G z x ∂=∂ (,)0(,)F G x y ∂=∂ 所求切线为3451601200x y z ---==- . 所求法平面为430x y -= .3.3空间曲面的切平面与法线设曲面S 的方程是：0000(,,)0,(,,)F x y z P x y z S =∈.在0()U p 内满足隐函数定理的条件,不妨设0()0z F p ≠.方程在0p 附近确定隐函数 (,)z f x y =,且0000()(,),()x x z F p f x y F p =- 0000()(,)()y y z F p f x y F p =-由此得S 在0p 处的切平面为000000()()()()()()0y x z F P x x F P y y F P z z -+-+-=.法线为000000()()()x y z x x y y z z F P F P F P ---==.例6．求曲面：222236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面与法线方程. 解：设222(,,)236F x y z x y z =++-,则在(1,1,1)处,2,4,6x y z F F F ===. 因此,切平面方程2(1)4(1)6(1)0x y z -+-+-=即236x y z ++=. 所得法线方程：111123x y z ---==.。
隐函数定理及其应用
隐函数定理及其应用张桂静摘要：隐函数定理和反函数定理在多元函数微分学中占有中心地位，在现代数学中有广泛的应用。
本文从两种不同的角度，用两种有别于一般教科书上的不同的方法证明隐函数定理，进而导出反函数定理，接着介绍其在微分学中的一些应用。
关键词：隐函数定理 不动点原理 压缩映像隐函数定理是微积分学中最重要的定理之一，现代数学中有不少部分都与这个定理紧密相关，例如微积分拓扑、微积分几何、微积分方程、变分学、数值分析，分歧理论等，都从不同角度，不同的程度地受这个定理的思想和方法的深刻影响而且，有些内容对隐函数定理的兴趣似乎还在增加。
自然，数学分析教程中无法把这个定理的有关材料讲得太多，它的各种应用大多散见于其他科目中，由于预备知识和表达形式的阻碍，初学者学起来比较困难一、隐含数定理及其证明如果f 是平面上的连续可微实函数，f 在点（a,b ）满足方程f(a,b)=0且，那么在（a,b ）的某个邻域内，f(a,b)=0能把y 与用x 解出来，类似地，如果在（a,b ），就能在（a,b ）附近把x 解出而用y 表示，上面这个不正是的陈述，是隐函数定理的最简单情形。
隐函数存在形式研究隐函数的首要问题，以方程设F(x,y)=0为例，已有以下 （隐函数存在定理） 设二元函数满足下列条件：此定理常用几何方法或逐次逼近法证明，它们各有优点，但都比较繁，例如逐次逼近法如下： 证 先把方程 ()0,=y x F 改写成()()()y x y y x F y x F y y y y y ,,,000,00ϕ+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=，于是()()0,,0,.00,00==y x y x y ϕϕ。
由于,y ϕ 及 ϕ 在D 中连续，任给 1,0<>λλ，可取ε足够小，使在D 中()λϕ<y x y ,,。
又取 δ 充分小，使在()εδδ≤≤-0x x时，有()()ελϕ-<1,0y x 。
浅谈隐函数及其应用毕业论文[管理资料]
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分类号：学校代码：11460学号：11201910南京晓庄学院本科生毕业论文浅谈隐函数及其应用On the implicit function and its application所属院(部)：信息工程学院学生姓名：王林林指导教师：马圣容研究起止日期：二○一四年十一月至二○一五年五月【摘要】本文从隐函数定理的内容、隐函数的概念、证明方法，以及隐函数定理的应用几个方面进行了简单的介绍。
首先从隐函数定理出发，介绍并证明隐函数组定理和反函数组定理。
通过这些推论，我们知道了隐函数定理的在很多方面都有着广泛的用途。
最后讨论了隐函数定理在计算偏导数和导数、几何应用这几个方面的应用并做了具体的论述.【关键词】隐函数定理；应用；导数；证明【Abstract】In this paper, the contents of the implicit function theorem, the concept of implicit function, the proof method, and the application of the implicit function theorem are briefly introduced.. From the implicit function theorem, we introduce and prove the implicit function theorem and inverse function group theorem.. Through these inferences, we know that the implicit function theorem is widely used in many aspects.. At last, the application of the implicit function theorem in the calculation of partial derivative and derivative, and its application in geometrical application are discussed.【Key words】implicit function theorem; Application; Optimization theory; proof目录摘要..................................................... 错误!未定义书签。
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隐函数的定理及其应用摘 要：本文主要讨论了隐函数和隐函数组的相关定理,并举例说明其应用.关键词：隐函数 隐函数组 可微性 导数引言我们在初中时就开始接触到函数,在我们眼中,函数就是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素.在之前我们所接触到的函数,其表达式大多是自变量的某个算式,如21,(sin sin sin )xyz y x u e xy yz zx =+=++这种形式的函数即为显函数.然而我们在很多地方也会遇到另一种形式的函数,它的自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所确定的.简单来说,若能由函数方程(,)0F x y =, ①确定y 为x 的函数()y f x =,即(,())0F x f x ≡,就称y 是x 的隐函数.1.关于隐函数的一些定理1.1 隐函数存在惟一性若(1)函数F 在以000(,)P x y 为内点的某一区域0D R ⊂上连续；(2)00(,)0F x y =(通常称为初始条件)；(3)在D 内存在连续的偏导数(,)y F x y ；(4)00(,)0y F x y ≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内,方程(,)0F x y =惟一地确定了一个定义在某区间00(,)x x αα-+内的函数(隐函数)()y f x =,使得(1) 00()f x y =,x ∈00(,)x x αα-+时(,())x f x ∈0()U P 且(,())0F x f x ≡；(2) ()f x 在00(,)x x αα-+内连续.需要注意的是,上述定理中的条件仅仅是充分的.如方程330y x -=在点(0,0)不满足条件(4)((0,0)0y F =),但它仍能确定惟一的连续函数y x =.当然,由于条件(4)不满足,往往会导致定理结论的失效.事实上,条件(3)和(4)只是用来保证存在0P 的某一邻域,在此邻域内F 关于变量y 是严格单调的.因此对本定理的结论来说,可以把后两个条件减弱为：F 在0P 的某邻域内关于y 严格单调.采用较强的条件(3)和(4)只是为了在实际应用中便于检验.如果把定理的条件(3)和(4)改为(,)x F x y 连续,且00(,)0x F x y ≠,这时结论是存在惟一的连续函数()x g y =. 1.2 隐函数的可微性定理设(,)F x y 满足隐函数存在惟一性定理中的条件(1)-(4),又设在D 内还存在连续的偏导数(,)x F x y ,则由方程①所确定的隐函数()y f x =在其定义域00(,)x x αα-+内有连续导函数,且'(,)()(,)x y F x y f x F x y =-. ② 若已知方程①确定存在连续可微的隐函数,则可对方程①应用复合求导法得到隐函数的导数,因为把(,())F x f x 看作(,)F x y 与()y f x =的复合函数时,有'(,)(,)0x y F x y F x y y +=当(,)0y F x y ≠时,由它即可推得与②相同的结果.对于隐函数的高阶导数,可以用和上面一样的方法求得,此时只要假定函数F 存在相应的连续的高阶偏导数.我们可以类似的推出由方程12(,,,,)0n F x x x y =所确定的n 元隐函数的概念.1.3 n 元隐函数的惟一存在与连续可微性定理若(1) 函数12(,,,,)n F x x x y 在以点0000012(,,,,)n P x x x y 为内点的区域1n D R +⊂上连续；(2) 000012(,,,,)0n F x x x y =；(3) 偏导数12,,,n x x x y F F F F 在D 内存在且连续；(4) 000012(,,,,)0y n F x x x y ≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内,方程12(,,,,)0n F x x x y =惟一地确定了一个定义在000012(,,,)n Q x x x 的某邻域0()n U Q R ⊂内的n 元连续函数(隐函数)12(,,,)n y f x x x =,使得 (1) 当120(,,,)()n x x x U Q ∈时,12120(,,,,(,,,))()n n x x x f x x x U P ∈,且 1212(,,,,(,,,))0n n F x x x f x x x ≡, 000012(,,,)n y f x x x =.(2) 12(,,,)n y f x x x =在0()U Q 内有连续偏导数：12,,n x x x f f f ,而且1212,,,n n x x x x x x y y yF F F f f f F F F =-=-=-. 例1 设方程 1(,)sin 02F x y y x y =--= ③ 由于F 及,x y F F 在平面上任一点都连续,且(0,0)0F =,1(,)1cos 02y F x y y =->,故依上述定理,方程③确定了一个连续可导隐函数()y f x =,按公式②,其导数为'(,)12()1(,)2cos 1cos 2x y F x y f x F x y yy =-==--. 上述都是由一个方程所组成的隐函数,下面来讨论由方程组所确定的隐函数组.设(,,,)F x y u v 和(,,,)G x y u v 为定义在区域4V R ⊂上的两个四元函数.若存在平面区域D ,对于D 中每一点分别有区间J 和K 上惟一的一对值,u J v K ⊂⊂,它们与,x y 一起满足方程组(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩④ 则说方程组④确定了两个定义在2D R ⊂上,值域分别落在J 和K 内的函数.我们称这两个函数为由方程组④所确定的隐函数组.若分别记这两个函数为(,)u f x y =,(,)v g x y =,则在D 上成立恒等式(,)y y u x =,(,)v v u x =.为了探索由方程组④所确定隐函数组所需要的条件,不妨假设④中的函数F 和G 是可微的,而且由④所确定的两个隐函数u 与v 也是可微的.那么通过对方程组④关于,x y 分别求偏导数,得到00x u x v x x u x v x F F u F v G G u G v ++=⎧⎨++=⎩ ⑤00y u y v y yu y v y F F u F v G G u G v ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ⑥ 要想从⑤解出x u 与x v ,从⑥解出y u 与y v ,充分条件是它们的系数行列式不为零,即0u vu v F F G G ≠ ⑦⑦式左边的行列式称为函数F 和G 关于变量u ,v 的函数行列式(或雅可比Jacobi 行列式),亦可记作(,)(,)F G u v ∂∂.条件⑦在隐函数组定理中所起作用与隐函数存在惟一性的条件(4)相当. 1.4 隐函数组定理若(1) V 和(,,,)G x y u v 在以点0()U Q 为内点的区域4V R ⊂内连续；(2) 0000(,,,)0F x y u v =,0000(,,,)0G x y u v =(初始条件)；(3) 在V 内F ,G 具有一阶连续偏导数；(4) 0(,)0(,)P F G u v ∂≠∂在0P 点不等于零, 则在点0P 的某一(四维空间)邻域0()U P V ⊂内,方程组④惟一确定了定义在点000(,)Q x y 的某一(二维空间)邻域0()U Q 内的两个二元隐函数000(,)u f x y =,000(,)v g x y =,使得(1) 000000(,);(,)u f x y v g x y ==且当()0,()x y U Q ∈时0(,,(,),(,))()x y f x y g x y U P ∈,(,,(,),(,))0(,,(,),(,))0F x y f x y g x yG x y f x y g x y ≡≡ (2) (,),(,)f x y g x y 在0()U Q 内连续；(3) (,),(,)f x y g x y 在0()U Q 内有一阶连续偏导数,且1(,)(,)v F G x J x v ∂∂=-∂∂,1(,)(,)v F G x J u x ∂∂=-∂∂, 1(,)(,)v F G y J y v ∂∂=-∂∂,1(,)(,)v F G y J u y ∂∂=-∂∂. 应该注意的是,本定理中若将条件(4)改为0(,)0(,)P F G u v ∂≠∂,则方程组④所确定的隐函数组相应是(,),(,)y y u x v v u x ==；其他情形均可类似推得.总之,当我们遇到由方程组定义隐函数组及隐函数组求导的问题时,首先应明确那些变量是自变量,那些变量是因变量,然后再进行有关讨论和运算.2. 隐函数在几何方面的应用2.1 平面曲线的切线与法线设平面曲线由方程①给出,它在点000(,)P x y 的某邻域内满足隐函数定理条件,于是在0P 附近所确定的连续可微隐函数()y f x =或(()x g y =)和方程①在0P 附近表示同一曲线,从而该曲线在点0P 处存在切线和法线,其方程分别为'000()()y y f x x x -=-(或'000()()x x g y y y -=-)与 00'01()()y y x x f x -=--(或00'01()()x x y y g y -=--) 由于'x y F f F =-(或'y xF g F =-),所以曲线①在点0P 处的切线和法线方程分别为 切线： 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=, ⑧法线： 000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y ---=. ⑨例2 求笛卡儿叶形线332()90x y xy +-=在点(2,1)处的切线与法线.解 设33(,)2()9F x y x y xy =+-,于是269x F x y =-,269y F y x =-在全平面连续,且(2,1)150x F =≠,(2,1)120y F =-≠.依次由公式⑧与⑨分别求得曲线在点(2,1)处的切线与法线方程分别为15(2)12(1)0x y ---=即5460x y --=,12(2)15(1)0x y ----=即45130x y +-=.2.2 空间曲线的切线与法平面下面我们讨论由参数方程L ：(),(),(),x x t y y t z z t t αβ===≤≤ ⑴表示的空间曲线L 上的某一点0000(,,)P x y z 处的切线和法平面方程,其中00()x x t =,00()y t =,00()z t =,0t αβ≤≤,并假定⑴式中的三个函数在0t 处可导,且'2'2'2000[()][()][()]0x t y t z t ++≠.则曲线L 在0P 处的切线方程为000'''000()()()x x y y z z x t y t z t ---==. ⑵ 由此可见当'0()x t ,'0()y t ,'0()z t 不全为零时,它们是该切线的方向数.过点0P 可以作无数条直线与切线l 垂直,且这些直线都在同一平面上,称这平面为曲线L 在0P 处的法平面n .它通过点0P ,且以为它的法线,所以法平面n 的方程为'''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-=当空间曲线方程L 由方程组L ：(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩⑶ 给出时,若它在点0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理条件(这里不妨设条件(4)是0(,)0(,)P F G u v ∂≠∂),则方程组⑴在点0P 附近所能确定惟一连续可微的隐函数组()x z ϕ=,()y z ψ=,使得0000(),()x z y z ϕψ==,且(,)(,)(,)(,)F G dx z y F G dzx y ∂∂=-∂∂,(,)(,)(,)(,)F G dy x z F G dz x y ∂∂=-∂∂.L 在0P 附近的参数方程为(),(),x z y z z z ϕψ===那么由⑵式曲线在0P 处的切线方程为000001P P x x y y z z dx dy dz dz ---== 即 000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)P P P x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂. 曲线在0P 处的法平面方程为000000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)P P P F G F G F G x x y y z z y z z x x y ∂∂∂-+-+-=∂∂∂ 同理我们可以推得：当(,)(,)F G y z ∂∂或(,)(,)F G z x ∂∂在0P 处不等于零时,曲线在点0P 处的切线与法平面方程仍分别取上述形式.由此可见,当000(,)(,)(,),,(,)(,)(,)P P P F G F G F G y z z x x y ∂∂∂∂∂∂不全为零时,它们是空间曲线⑶在0P 处的切线的方向数.例3 求平面22250x y z ++=与锥面222x y z +=所截出的曲线在点(3,4,5)处的切线与法平面方程.解 设 222(,,)50F x y z x y z =++-, 222(,,)G x y z x y z =+-.它们在点(3,4,5)处的偏导数和雅可比行列式之值为：6F x ∂=∂,8F y ∂=∂,10F z∂=∂, 6G x ∂=∂,8G y ∂=∂,10G z∂=-∂(,)160(,)F G y z ∂=-∂,(,)120(,)F G z x ∂=∂,(,)0(,)F G x y ∂=∂. 所以曲线在点(3,4,5)处的切线方程是：3451601200x y z ---==-,即 3(3)4(4)05x y z -+-=⎧⎨=⎩. 法平面方程为4(3)3(4)0(5)0x y z --+-+-=,即430x y -=.2.3曲面的切平面和法线设曲面由方程(,,)0F x y z = ⑷给出,它在点0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理条件(不妨设000(,,)0z F x y z ≠).于是方程⑷在点0P 附近确定惟一连续可微的隐函数(,)z f x y =使得000(,)z f x y =,且(,,)(,,)x z F x y z z x F x y z ∂=-∂,(,,)(,,)y z F x y z z y F x y z ∂=-∂. 由于在点0P 附近⑷与(,)z f x y =表示同一曲面,该曲面在0P 处有切平面与法线,分别是000000000000000(,,)(,,)()()(,,)(,,)y x z z F x y z F x y z z z x x y y F x y z F x y z -=---- 与 000000000000000(,,)(,,)1(,,)(,,)x y z z x x y y z z F x y z F x y z F x y z F x y z ---==---. 它们也可写成如下形式：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=与 000000000000(,,)(,,)(,,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---==. 这种形式对于000(,,)0x F x y z ≠或000(,,)0y F x y z ≠也同样合适.例4 求椭球面222236x y z ++=在()1,1,1处的切平面方程与法线方程. 解 设222(,,)236F x y z x y z =++-.由于2x F x =,4y F y =,6z F z =在全空间上处处连续.在()1,1,1处2x F =,4y F =,6z F =.因此由上面的公式可得出切平面方程2(1)4(1)6(1)0x y z -+-+-=,即 236x y z ++=和法线方程 111123x y z ---==.结语从初中起我们就接触到了简单的函数,在高中时又进一步加深了学习,但我们以前接触到的都是很明显的函数,但我们碰到了不像以前见过的那么一目了然的函数,它就是我们本文所研究的隐函数.历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,隐函数概念对数学发展的影响,可以说是作用非凡.隐函数在很多地方有重要的应用,比如上面例题中所举的在各种求值问题中的应用.当然隐函数在其它方面也有很多的用处,本文就不一一举例说明了.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社,2001.[2] 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