隐函数的定理及其应用论文原稿

隐函数的定理及其应用

摘 要：本文主要讨论了隐函数和隐函数组的相关定理,并举例说明其应用.

关键词：隐函数 隐函数组 可微性 导数

引言

我们在初中时就开始接触到函数,在我们眼中,函数就是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素.在之前我们所接触到的函数,其表达式大多是自变量的某个算式,如

21,(sin sin sin )xyz y x u e xy yz zx =+=++

这种形式的函数即为显函数.然而我们在很多地方也会遇到另一种形式的函数,它的自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所确定的.简单来说,若能由函数方程

(,)0F x y =, ①

确定y 为x 的函数()y f x =,即(,())0F x f x ≡,就称y 是x 的隐函数.

1.关于隐函数的一些定理

1.1 隐函数存在惟一性

若(1)函数F 在以000(,)P x y 为内点的某一区域0D R ⊂上连续；

(2)00(,)0F x y =(通常称为初始条件)；

(3)在D 内存在连续的偏导数(,)y F x y ；

(4)00(,)0y F x y ≠,

则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内,方程(,)0F x y =惟一地确定了一个定义在某区间00(,)x x αα-+内的函数(隐函数)()y f x =,使得

(1) 00()f x y =,x ∈00(,)x x αα-+时(,())x f x ∈0()U P 且(,())0F x f x ≡；

(2) ()f x 在00(,)x x αα-+内连续.

需要注意的是,上述定理中的条件仅仅是充分的.如方程33

0y x -=在点(0,0)不满足条件

(4)((0,0)0y F =),但它仍能确定惟一的连续函数y x =.当然,由于条件(4)不满足,往往会导致定理结论的失效.

事实上,条件(3)和(4)只是用来保证存在0P 的某一邻域,在此邻域内F 关于变量y 是严格单调的.因此对本定理的结论来说,可以把后两个条件减弱为：F 在0P 的某邻域内关于y 严格单调.采用较强的条件(3)和(4)只是为了在实际应用中便于检验.

如果把定理的条件(3)和(4)改为(,)x F x y 连续,且00(,)0x F x y ≠,这时结论是存在惟一的连续函数()x g y =. 1.2 隐函数的可微性定理

设(,)F x y 满足隐函数存在惟一性定理中的条件(1)-(4),又设在D 内还存在连续的偏导数(,)x F x y ,则由方程①所确定的隐函数()y f x =在其定义域00(,)x x αα-+内有连续导函数,且

'(,)()(,)

x y F x y f x F x y =-. ② 若已知方程①确定存在连续可微的隐函数,则可对方程①应用复合求导法得到隐函数的导数,因为把(,())F x f x 看作(,)F x y 与()y f x =的复合函数时,有

'(,)(,)0x y F x y F x y y +=

当(,)0y F x y ≠时,由它即可推得与②相同的结果.

对于隐函数的高阶导数,可以用和上面一样的方法求得,此时只要假定函数F 存在相应的连续的高阶偏导数.

我们可以类似的推出由方程12(,,,,)0n F x x x y =所确定的n 元隐函数的概念.

1.3 n 元隐函数的惟一存在与连续可微性定理

若(1) 函数12(,,

,,)n F x x x y 在以点0000012(,,,,)n P x x x y 为内点的区域1n D R +⊂上连续；

(2) 000012(,,,,)0n F x x x y =；

(3) 偏导数12,,,n x x x y F F F F 在D 内存在且连续；

(4) 000012(,,,,)0y n F x x x y ≠,

则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内,方程12(,,,,)0n F x x x y =惟一地确定了一个定义在

000012(,,

,)n Q x x x 的某邻域0()n U Q R ⊂内的n 元连续函数(隐函数)12(,,

,)n y f x x x =,使得 (1) 当120(,,

,)()n x x x U Q ∈时,12120(,,,,(,,,))()n n x x x f x x x U P ∈,且 1212(,,,,(,,

,))0n n F x x x f x x x ≡, 000012(,,,)n y f x x x =.

(2) 12(,,,)n y f x x x =在0()U Q 内有连续偏导数：12,,n x x x f f f ,而且

1212,,,n n x x x x x x y y y

F F F f f f F F F =-

=-=-. 例1 设方程 1(,)sin 02

F x y y x y =--= ③ 由于F 及,x y F F 在平面上任一点都连续,且(0,0)0F =,1(,)1cos 02

y F x y y =->,故依上述定理,方程③确定了一个连续可导隐函数()y f x =,按公式②,其导数为

'(,)12()1(,)2cos 1cos 2

x y F x y f x F x y y

y =-==--. 上述都是由一个方程所组成的隐函数,下面来讨论由方程组所确定的隐函数组.

设(,,,)F x y u v 和(,,,)G x y u v 为定义在区域4V R ⊂上的两个四元函数.若存在平面区域D ,对于D 中每一点分别有区间J 和K 上惟一的一对值,u J v K ⊂⊂,它们与,x y 一起满足方程组

(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩

④ 则说方程组④确定了两个定义在2

D R ⊂上,值域分别落在J 和K 内的函数.我们称这两个函数为由方程组④所确定的隐函数组.若分别记这两个函数为(,)u f x y =,(,)v g x y =,则在D 上成立恒等式(,)y y u x =,(,)v v u x =.