变步长四阶龙格库塔法原理
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h ( ) 2 n+1
作为结果；
2. 如果 < ε ，反复将步长加倍，直到 > ε为止， 这时再将步长折半一次，就得到所要的结果. 这种通过加倍或折半处理步长的方法称为变步长方法 变步长方法. 变步长方法 表面上看，为了选择步长，每一步的计算量增加了， 但总体考虑往往是合算的.
5
( 从节点 xn 出发，先以 h为步长求出一个近似值 ynh) ， +1
2
由于公式的局部截断误差为 O(h5 )，故有
( y(xn+1) ynh) ≈ ch5 , +1
（3.14）
然后将步长折半，即取 h 为步长从 xn 跨两步到 xn+1， 2 5 h 再求得一个近似值 y( 2) ，每跨一步的截断误差是 c h ， n+1 2 因此有
y(xn+1) y
h ( ) 2 n+1
h ≈ 2c , 2
5
（3.15）
比较（3.14）式和（3.15）式我们看到，步长折半后， 1 误差大约减少到 ， 16
3
即有
y(xn+1) y y(xn+1) y
h ( ) 2 n+1 (h) n+1
1 ≈ . 16
由此易得下列事后估计式
y(xn+1) y
h ( ) 2 n+1 h ( ) 1 ( 2 ≈ [ yn+1 ynh) ]. +1 15
这样，可以通过检查步长，折半前后两次计算结果的偏差
= y
h ( ) 2 n+1 ( ynh) +1
来判定所选的步长是否合适. 具体地说，将区分以下两种情况处理：
4
1. 对于给定的精度 ε，如果 > ε ，反复将步长折半 进行计算，直至 < ε 为止. 这时取最终得到的 y
9.3百度文库4
变步长的龙格变步长的龙格-库塔方法
单从每一步看，步长越小，截断误差就越小，但随着 步长的缩小，在一定求解范围内所要完成的步数就增加了. 步数的增加不但引起计算量的增大，而且可能导致舍 入误差的严重积累. 因此同积分的数值计算一样，微分方程的数值解法也 有个选择步长的问题. 在选择步长时，需要考虑两个问题： 1° 怎样衡量和检验计算结果的精度？
1
2° 如何依据所获得的精度处理步长？ 考察经典的四阶龙格-库塔公式
h yn+1 = yn + 6 (K1 + 2K2 + 2K3 + K4 ), K1 = f (xn , yn ), h h K2 = f (xn + , yn + K1), （3.13） 2 2 K = f (x + h , y + h K ), n n 2 3 2 2 K4 = f (xn + h, yn + hK3 ).
作为结果；
2. 如果 < ε ，反复将步长加倍，直到 > ε为止， 这时再将步长折半一次，就得到所要的结果. 这种通过加倍或折半处理步长的方法称为变步长方法 变步长方法. 变步长方法 表面上看，为了选择步长，每一步的计算量增加了， 但总体考虑往往是合算的.
5
( 从节点 xn 出发，先以 h为步长求出一个近似值 ynh) ， +1
2
由于公式的局部截断误差为 O(h5 )，故有
( y(xn+1) ynh) ≈ ch5 , +1
（3.14）
然后将步长折半，即取 h 为步长从 xn 跨两步到 xn+1， 2 5 h 再求得一个近似值 y( 2) ，每跨一步的截断误差是 c h ， n+1 2 因此有
y(xn+1) y
h ( ) 2 n+1
h ≈ 2c , 2
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（3.15）
比较（3.14）式和（3.15）式我们看到，步长折半后， 1 误差大约减少到 ， 16
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即有
y(xn+1) y y(xn+1) y
h ( ) 2 n+1 (h) n+1
1 ≈ . 16
由此易得下列事后估计式
y(xn+1) y
h ( ) 2 n+1 h ( ) 1 ( 2 ≈ [ yn+1 ynh) ]. +1 15
这样，可以通过检查步长，折半前后两次计算结果的偏差
= y
h ( ) 2 n+1 ( ynh) +1
来判定所选的步长是否合适. 具体地说，将区分以下两种情况处理：
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1. 对于给定的精度 ε，如果 > ε ，反复将步长折半 进行计算，直至 < ε 为止. 这时取最终得到的 y
9.3百度文库4
变步长的龙格变步长的龙格-库塔方法
单从每一步看，步长越小，截断误差就越小，但随着 步长的缩小，在一定求解范围内所要完成的步数就增加了. 步数的增加不但引起计算量的增大，而且可能导致舍 入误差的严重积累. 因此同积分的数值计算一样，微分方程的数值解法也 有个选择步长的问题. 在选择步长时，需要考虑两个问题： 1° 怎样衡量和检验计算结果的精度？
1
2° 如何依据所获得的精度处理步长？ 考察经典的四阶龙格-库塔公式
h yn+1 = yn + 6 (K1 + 2K2 + 2K3 + K4 ), K1 = f (xn , yn ), h h K2 = f (xn + , yn + K1), （3.13） 2 2 K = f (x + h , y + h K ), n n 2 3 2 2 K4 = f (xn + h, yn + hK3 ).