年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一
【高考数学】22道压轴题:导数及其应用(练习及参考答案)
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【高考数学】22道压轴题导数及其应用(练习及参考答案)1.已知函数xa x x f +=ln )(. (1)若函数)(x f 有零点,求实数a 的取值范围;(2)证明:当e a 2≥时,x e x f ->)(.2.已知函数2()ln f x x a x =-(a R ∈),()F x bx =(b R ∈).(1)讨论()f x 的单调性;(2)设2a =,()()()g x f x F x =+,若12,x x (120x x <<)是()g x 的两个零点,且1202x x x +=,试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行?请说明理由.3.已知函数32()f x x mx nx =++(,m n R ∈)(1)若()f x 在1x =处取得极大值,求实数m 的取值范围;(2)若'(1)0f =,且过点(0,1)P 有且只有两条直线与曲线()y f x =相切,求实数m 的值.4.已知函数2()x f x x e =,3()2g x x =.(1)求函数()f x 的单调区间;(2)求证:x R ∀∈,()()f x g x ≥5.已知函数f (x )= xx ln ﹣ax +b 在点(e ,f (e ))处的切线方程为y =﹣ax +2e . (Ⅰ)求实数b 的值;(Ⅱ)若存在x ∈[e ,e 2],满足f (x )≤41+e ,求实数a 的取值范围.6.已知函数21()ln 12f x x ax bx =-++的图像在1x =处的切线l 过点11(,)22. (1)若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->,求()g x 的最大值(用a 表示);(2)若4a =-,121212()()32f x f x x x x x ++++=,证明:1212x x +≥.7.已知函数()ln a f x x x x=+,32()3g x x x =--,a R ∈. (1)当1a =-时,求曲线()y f x =在1x =处的切线方程;(2)若对任意的121,[,2]2x x ∈,都有12()()f x g x ≥成立,求实数a 的取值范围.8.设函数2)(--=ax e x f x(1)求)(x f 的单调区间;(2)若k a ,1=为整数,且当0>x 时,1)(1<'+-x f x x k 恒成立,其中)(x f '为)(x f 的导函数,求k 的最大值.9.设函数2()ln(1)f x x b x =++.(1)若对定义域内的任意x ,都有()(1)f x f ≥成立,求实数b 的值;(2)若函数()f x 的定义域上是单调函数,求实数b 的取值范围;(3)若1b =-,证明对任意的正整数n ,33311111()123n k f k n=<++++∑.10.已知函数1()(1)ln x f x a e x a a=-+-(0a >且1a ≠),e 为自然对数的底数. (Ⅰ)当a e =时,求函数()y f x =在区间[]0,2x ∈上的最大值;(Ⅱ)若函数()f x 只有一个零点,求a 的值.11.已知函数1()f x x x=-,()2ln g x a x =. (1)当1a ≥-时,求()()()F x f x g x =-的单调递增区间;(2)设()()()h x f x g x =+,且()h x 有两个极值12,x x ,其中11(0,]3x ∈,求12()()h x h x -的最小值.12.已知函数f (x )=ln x +x 2﹣2ax +1(a 为常数).(1)讨论函数f (x )的单调性;(2)若存在x 0∈(0,1],使得对任意的a ∈(﹣2,0],不等式2me a (a +1)+f (x 0)>a 2+2a +4(其中e 为自然对数的底数)都成立,求实数m 的取值范围.13.已知函数f (x )=a x +x 2﹣x ln a (a >0,a ≠1).(1)求函数f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(2)求函数f (x )单调增区间;(3)若存在x 1,x 2∈[﹣1,1],使得|f (x 1)﹣f (x 2)|≥e ﹣1(e 是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.14.已知函数1()ln f x x x=-,()g x ax b =+. (1)若函数()()()h x f x g x =-在()0,+∞上单调递增,求实数a 的取值范围; (2)若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图像的切线,求a b +的最小值; (3)当0b =时,若()f x 与()g x 的图像有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ,求证:2122x x e >15.某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品,现有某种型号的长方形材料如图2所示,其周长为4m ,这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况.如图,ABCD (AB >AD )为长方形的材料,沿AC 折叠后AB '交DC 于点P ,设△ADP 的面积为2S ,折叠后重合部分△ACP 的面积为1S .(Ⅰ)设AB x =m ,用x 表示图中DP 的长度,并写出x 的取值范围;(Ⅱ)求面积2S 最大时,应怎样设计材料的长和宽?(Ⅲ)求面积()122S S +最大时,应怎样设计材料的长和宽?16.已知()()2ln x f x e x a =++.(1)当1a =时,求()f x 在()0,1处的切线方程;(2)若存在[)00,x ∈+∞,使得()()20002ln f x x a x <++成立,求实数a 的取值范围.17.已知函数()()()2ln 1f x ax x xa R =--∈恰有两个极值点12,x x ,且12x x <.(1)求实数a 的取值范围; (2)若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立,求实数λ的取值范围.18.已知函数f (x )=(ln x ﹣k ﹣1)x (k ∈R )(1)当x >1时,求f (x )的单调区间和极值.(2)若对于任意x ∈[e ,e 2],都有f (x )<4ln x 成立,求k 的取值范围.(3)若x 1≠x 2,且f (x 1)=f (x 2),证明:x 1x 2<e 2k .19.已知函数()21e 2x f x a x x =--(a ∈R ). (Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与y 轴垂直,求a 的值; (Ⅱ)若函数()f x 有两个极值点,求a 的取值范围;(Ⅲ)证明:当1x >时,1e ln x x x x>-.20.已知函数()()321233f x x x x b b R =-++?. (1)当0b =时,求()f x 在[]1,4上的值域;(2)若函数()f x 有三个不同的零点,求b 的取值范围.21.已知函数2ln 21)(2--=x ax x f . (1)当1=a 时,求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程;(2)讨论函数)(x f 的单调性.22.已知函数1()ln sin f x x x θ=+在[1,]+∞上为增函数,且(0,)θπ∈. (Ⅰ)求函数()f x 在其定义域内的极值;(Ⅱ)若在[1,]e 上至少存在一个0x ,使得0002()e kx f x x ->成立,求实数k 的取值范围.参考答案1.(1)函数x a x x f +=ln )(的定义域为),0(+∞. 由x a x x f +=ln )(,得221)(xa x x a x x f -=-='. ①当0≤a 时,0)(>'x f 恒成立,函数)(x f 在),0(+∞上单调递增, 又+∞→+∞→<=+=)(,,01ln )1(x f x a a f ,所以函数)(x f 在定义域),0(+∞上有1个零点.②当0>a 时,则),0(a x ∈时,),(;0)(+∞∈<'a x x f 时,0)(>'x f . 所以函数)(x f 在),0(a 上单调递减,在),(+∞a 上单调递增. 当1ln )]([min +==a x f a x .当01ln ≤+a ,即e a 10≤<时,又01ln )1(>=+=a a f , 所以函数)(x f 在定义域),0(+∞上有2个零点.综上所述实数a 的取值范围为]1,(e -∞. 另解:函数x a x x f +=ln )(的定义域为),0(+∞. 由xa x x f +=ln )(,得x x a ln -=. 令x x x g ln )(-=,则)1(ln )(+-='x x g . 当)1,0(e x ∈时,0)(>'x g ;当),1(+∞∈e x 时,0)(<'x g . 所以函数)(x g 在)1,0(e 上单调递增,在),1(+∞e 上单调递减. 故e x 1=时,函数)(x g 取得最大值ee e e g 11ln 1)1(=-=. 因+∞→+∞→)(,xf x ,两图像有交点得e a 1≤, 综上所述实数a 的取值范围为]1,(e -∞.(2)要证明当e a 2≥时,x e x f ->)(, 即证明当e a x 2,0≥>时,x e xa x ->+ln ,即x xe a x x ->+ln .令a x x x h +=ln )(,则1ln )(+='x x h . 当e x 10<<时,0)(<'x f ;当ex 1>时,0)(>'x f . 所以函数)(x h 在)1,0(e 上单调递减,在),1(+∞e 上单调递增. 当e x 1=时,a ex h +-=1)]([min . 于是,当e a 2≥时,ea e x h 11)(≥+-≥.① 令x xe x -=)(ϕ,则)1()(x e xe e x x x x -=-='---ϕ.当10<<x 时,0)(>'x f ;当1>x 时,0)(<'x f .所以函数)(x ϕ在)1,0(上单调递增,在),1(+∞上单调递减. 当1=x 时,ex 1)]([min =ϕ. 于是,当0>x 时,ex 1)(≤ϕ.② 显然,不等式①、②中的等号不能同时成立. 故当ea 2≥时,x e x f ->)(. 2.(Ⅰ)0,22)(2>-=-='x xa x x a x x f (1)当0≤a 时,0)(>'x f ,)(x f 在()上+∞,0单调递增,(2)当0>a 时,20)(a x x f =='得 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>,22,0)(0a a x f a ,单调增区间是的单调减区间是时,所以 (Ⅱ) bx x x x g +-=ln 2)(2假设)(x g y =在0x 处的切线能平行于x 轴.∵()0,22)(>+-='x b xx x g 由假设及题意得:0ln 2)(11211=+-=bx x x x g0ln 2)(22222=+-=bx x x x g1202x x x +=022)(000=+-='b x x x g ④ 由-得,()()()0ln ln 221212221=-+---x x b x x x x即0212`12ln2x x x x x b --=由④⑤得,()1121212122222ln 1x x x x x x x x x x --==++ 令12x t x =,12,01x x t <∴<<.则上式可化为122ln +-=t t t , 设函数()()10122ln <<+--=t t t t t h ,则 ()()()()011141222>+-=+-='t t t t t t h , 所以函数()122ln +--=t t t t h 在(0,1)上单调递增. 于是,当01t <<时,有()()01=<h t h ,即22ln 01t t t --<+与⑥矛盾. 所以()y f x =在0x 处的切线不能平行于x 轴.3.(Ⅰ)n mx x x f ++='23)(2()02301=++='n m f 得由.01242>-=∆n m∴()3032-≠>+m m ,得到 ①∵()()()32313223)(2++-=+-+='m x x m mx x x f∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==='32110)(m x x x f 或,得 由题3,1321-<>⎪⎭⎫⎝⎛+-m m 解得② 由①②得3-<m(Ⅱ)()02301=++='n m f 得由 所以()m mx x x f 2323)(2+-+='因为过点)1,0(且与曲线)(x f y =相切的直线有且仅有两条, 令切点是()00,y x P ,则切线方程为()()000x x x f y y -'=- 由切线过点)1,0(,所以有()()0001x x f y -'=-∴()()[]()0020020302323231x m mx x x m mx x -+-+=++--整理得0122030=++mx x.01220300有两个不同的实根的方程所以,关于=++mx x x ()()需有两个零点,则令x h mx x x h 1223++= ()mx x x h 262+='所以()3000mx x x h m -==='≠或得,且()03,00=⎪⎭⎫⎝⎛-=m h h 或由题,()03,10=⎪⎭⎫⎝⎛-=m h h 所以又因为0133223=+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m 所以3-=m 解得,即为所求4.(Ⅰ)()x x e e x xe x f xxx22)(22+=+='∴()()()上单调递减;在时,0,2,002-<'<<-x f x f x()()()().,02,,002上单调递增和在时,或+∞-∞->'>-<x f x f x x()()()+∞-∞--,020,2)(,和,,单调递增区间是的单调递减区间是所以x f(Ⅱ)显然0≤x 时有)()(x g x f ≥,只需证0>x 时)()(x g x f ≥,由于02≥xx e x x 20≥>时,只需证()+∞∈-=,0,2)(x x e x h x 令 2)(-='x e x h2ln ,0)(=='x x h 得()()02ln ln 22ln 222ln 22ln )(2ln min >-=-=-==∴e e h x h ()恒成立0)(,,0>+∞∈∴x h x所以当0>x 时,)()(x g x f >. 综上R x ∈∀,()()f x g x ≥5.解:(Ⅰ)f (x )=﹣ax+b ,x ∈(0,1)∪(1,+∞), 求导,f′(x )=﹣a ,则函数f (x )在点(e ,f (e ))处切线方程y ﹣(e ﹣ex+b )=﹣a (x ﹣e ), 即y=﹣ax+e+b ,由函数f (x )在(e ,f (e ))处的切线方程为y=﹣ax+2e ,比较可得b=e , 实数b 的值e ;(Ⅱ)由f (x )≤+e ,即﹣ax+e≤+e ,则a≥﹣在[e ,e 2],上有解,设h (x )=﹣,x ∈[e ,e 2],求导h′(x )=﹣==,令p (x )=lnx ﹣2,()()()()0,,2ln ,0,2ln ,0>'+∞∈<'∈∴x h x x h x ()()()上单调递增上单调递减,在,在+∞∴,2ln 2ln 0x h∴x 在[e ,e 2]时,p′(x )=﹣=<0,则函数p (x )在[e ,e 2]上单调递减,∴p (x )<p (e )=lne ﹣2<0,则h′(x )<0,及h (x )在区间[e ,e 2]单调递减,h (x )≥h (e 2)=﹣=﹣,∴实数a 的取值范围[﹣,+∞].6.(1)由'1()f x ax b x=-+,得'(1)1f a b =-+, l 的方程为1(1)(1)(1)2y a b a b x --++=-+-,又l 过点11(,)22,∴111(1)(1)(1)222a b a b --++=-+-,解得0b =. ∵21()()(1)ln (1)12g x f x a x x ax a x =--=-+-+, ∴2'1()(1)1(1)1()1(0)a x x ax a x a g x ax a a x x x--+-+-+=-+-==>, 当1(0,)x a∈时,'()0g x >,()g x 单调递增; 当1(,)x a∈+∞时,'()0g x <,()g x 单调递减. 故2max 111111()()ln()(1)1ln 22g x g a a a a a a a a==-+-+=-. (2)证明:∵4a =-,∴2212121211221212()()3ln 21ln 213f x f x x x x x x x x x x x x x ++++=++++++++,212121212ln()2()22x x x x x x x x =++++-+=,∴2121212122()ln()x x x x x x x x +++=-令12(0)x x m m =>,()ln m m m ϕ=-,'1()m m mϕ-=,令'()0m ϕ<得01m <<;令'()0m ϕ>得1m >.∴()m ϕ在(0,1)上递减,在(1,)+∞上递增,∴()(1)1m ϕϕ≥=,∴212122()1x x x x +++≥,120x x +>,解得:1212x x +≥.7.(1)当1a =-时,1()ln f x x x x =-,(1)1f =-,'21()ln 1f x x x=++, '(1)2f =,从而曲线()y f x =在1x =处的切线为2(1)1y x =--,即23y x =-.(2)对任意的121,[,2]2x x ∈,都有12()()f x g x ≥成立,从而min max ()()f x g x ≥ 对32()3g x x x =--,'2()32(32)g x x x x x =-=-,从而()y g x =在12[,]23递减,2[,2]3递增,max 1()max{(),(2)}12g x g g ==. 又(1)f a =,则1a ≥. 下面证明当1a ≥时,ln 1a x x x +≥在1[,2]2x ∈恒成立. 1()ln ln a f x x x x x x x =+≥+,即证1ln 1x x x +≥. 令1()ln h x x x x =+,则'21()ln 1h x x x=+-,'(1)0h =. 当1[,1]2x ∈时,'()0h x ≤,当[1,2]x ∈时,'()0h x ≥,从而()y h x =在1[,1]2x ∈递减,[1,2]x ∈递增,min ()(1)1h x h ==,从而1a ≥时,ln 1a x x x +≥在1[,2]2x ∈恒成立.8.(1)函数f (x )=e x -ax -2的定义域是R ,f ′(x )=e x -a ,若a ≤0,则f ′(x )=e x -a ≥0,所以函数f (x )=e x -ax -2在(-∞,+∞)上单调递增 若a >0,则当x ∈(-∞,ln a )时,f ′(x )=e x -a <0; 当x ∈(ln a ,+∞)时,f ′(x )=e x -a >0;所以,f (x )在(-∞,ln a )单调递减,在(ln a ,+∞)上单调递增 (2)由于a=1,1)1)((1)(1'+<--⇔<+-x e x k x f x x k x x e x k e x xx +-+<∴>-∴>11.01,0 令x e x x g x +-+=11)(,min )(x g k <∴,22')1()2(1)1(1)(---=+---=x x x xx e x e e e xe x g 令01)(,2)('>-=--=xxe x h x e x h ,)(x h ∴在),0(+∞单调递增,且)(,0)2(,0)1(x h h h ∴><在),0(+∞上存在唯一零点,设此零点为0x ,则)2,1(0∈x 当),0(00x x ∈时,0)('<x g ,当),(00+∞∈x x 时,0)('>x g000min 11)()(0x e x x g x g x +-+==∴, 由)3,2(1)(,20)(0000'0∈+=∴+=⇒=x x g x ex g x ,又)(0x g k <所以k 的最大值为29.(1)由01>+x ,得1->x .∴()x f 的定义域为()+∞-,1.因为对x ∈()+∞-,1,都有()()1f x f ≥,∴()1f 是函数()x f 的最小值,故有()01='f .,022,12)(/=+∴++=bx b x x f 解得4-=b . 经检验,4-=b 时,)(x f 在)1,1(-上单调减,在),1(+∞上单调增.)1(f 为最小值.(2)∵,12212)(2/+++=++=x bx x x b x x f 又函数()x f 在定义域上是单调函数,∴()0≥'x f 或()0≤'x f 在()+∞-,1上恒成立. 若()0≥'x f ,则012≥++x bx 在()+∞-,1上恒成立, 即x x b 222--≥=21)21(22++-x 恒成立,由此得≥b 21; 若()0≤'x f ,则012≤++x bx 在()+∞-,1上恒成立, 即x x b 222--≤=21)21(22++-x 恒成立. 因21)21(22++-x 在()+∞-,1上没有最小值,∴不存在实数b 使()0≤'x f 恒成立. 综上所述,实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21. (3)当1-=b 时,函数()()1ln 2+-=x x x f .令()()()1ln 233+-+-=-=x x x x x f x h ,则()()1131123232+-+-=+-+-='x x x x x x x h . 当()+∞∈,0x 时,()0<'x h ,所以函数()x h 在()+∞,0上单调递减.又()00=h ,∴当[)+∞∈,0x 时,恒有()()00=<h x h ,即()321ln x x x <+-恒成立.故当()+∞∈,0x 时,有()3x x f <.而*∈N k ,()+∞∈∴,01k .取k x 1=,则有311kk f <⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∴33311312111n k f nk +⋅⋅⋅+++<⎪⎭⎫⎝⎛∑=.所以结论成立.10.解:(Ⅰ)当a e =时,1()(1)xf x e e x e=-+-,'()xf x e e =-,令'()0f x =,解得1x =,(0,1)x ∈时,'()0f x <;(1,2)x ∈时,'()0f x >,∴{}max ()max (0),(2)f x f f =,而1(0)1f e e =--,21(2)3f e e e=--, 即2max 1()(2)3f x f e e e==--. (Ⅱ)1()(1)ln xf x a e x a a=-+-,'()ln ln ln ()x xf x a a e a a a e =-=-, 令'()0f x =,得log a x e =,则 ①当1a >时,ln 0a >,所以当log a x e =时,()f x 有最小值min ()(log )ln a f x f e e a a==--, 因为函数()f x 只有一个零点,且当x →-∞和x →+∞时,都有()f x →+∞,则min 1()ln 0f x e a a =--=,即1ln 0e a a+=, 因为当1a >时,ln 0a >,所以此方程无解. ②当01a <<时,ln 0a <,所以当log a x e =时,()f x 有最小值min 1()(log )ln a f x f e e a a==--, 因为函数()f x 只有一个零点,且当x →-∞和x →+∞时,都有()f x →+∞, 所以min 1()ln 0f x e a a =--=,即1ln 0e a a+=(01a <<)(*) 设1()ln (01)g a e a a a =+<<,则2211'()e ae g a a a a -=-=, 令'()0g a =,得1a e=, 当10a e <<时,'()0g a <;当1a e>时,'()0g a >; 所以当1a e =时,min 11()()ln 0g a g e e e e ==+=,所以方程(*)有且只有一解1a e=. 综上,1a e=时函数()f x 只有一个零点.11.(1)由题意得F (x)= x --2a ln x . x 0,=,令m (x )=x 2-2ax+1,①当时F(x)在(0,+单调递增; ②当a 1时,令,得x 1=, x 2=x(0,) ()()+-+∴F (x)的单增区间为(0,),()综上所述,当时F (x)的单增区间为(0,+)当a 1时,F (x)的单增区间为(0,),()(2)h (x )= x -2a ln x , h /(x)=,(x >0),由题意知x 1,x 2是x 2+2ax+1=0的两根,∴x 1x 2=1, x 1+x 2=-2a,x 2=,2a=,-=-=2()令H (x )=2(), H /(x )=2()lnx=当时,H/(x)<0, H(x)在上单调递减,H(x)的最小值为H()=,即-的最小值为.12.解:(I)f(x)=lnx+x2﹣2ax+1,f'(x)=+2x﹣2a=,令g(x)=2x2﹣2ax+1,(i)当a≤0时,因为x>0,所以g(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(ii)当0<a时,因为△≤0,所以g(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(iii)当a>时,x在(,)时,g(x)<0,函数f(x)单调递减;在区间(0,)和(,+∞)时,g(x)>0,函数f(x)单调递增;(II)由(I)知当a∈(﹣2,0],时,函数f(x)在区间(0,1]上单调递增,所以当x∈(0,1]时,函数f(x)的最大值是f(1)=2﹣2a,对任意的a∈(﹣2,0],都存在x0∈(0,1],使得不等式a∈(﹣2,0],2me a(a+1)+f(x0)>a2+2a+4成立,等价于对任意的a∈(﹣2,0],不等式2me a(a+1)﹣a2+﹣4a﹣2>0都成立,记h(a)=2me a(a+1)﹣a2+﹣4a﹣2,由h(0)>0得m>1,且h(﹣2)≥0得m≤e2,h'(a)=2(a+2)(me a﹣1)=0,∴a=﹣2或a=﹣lnm,∵a∈(﹣2,0],∴2(a+2)>0,①当1<m<e2时,﹣lnm∈(﹣2,0),且a∈(﹣2,﹣lnm)时,h'(a)<0,a∈(﹣lnm,0)时,h'(a)>0,所以h(a)最小值为h(﹣lnm)=lnm﹣(2﹣lnm)>0,所以a∈(﹣2,﹣lnm)时,h(a)>0恒成立;②当m=e2时,h'(a)=2(a+2)(e a+2﹣1),因为a∈(﹣2,0],所以h'(a)>0,此时单调递增,且h(﹣2)=0,所以a∈(﹣2,0],时,h(a)>0恒成立;综上,m的取值范围是(1,e2].13.解:(1)∵f(x)=a x+x2﹣xlna,∴f′(x)=a x lna+2x﹣lna,∴f′(0)=0,f(0)=1即函数f(x)图象在点(0,1)处的切线斜率为0,∴图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=1;(3分)(2)由于f'(x)=a x lna+2x﹣lna=2x+(a x﹣1)lna>0①当a>1,y=2x单调递增,lna>0,所以y=(a x﹣1)lna单调递增,故y=2x+(a x﹣1)lna单调递增,∴2x+(a x﹣1)lna>2×0+(a0﹣1)lna=0,即f'(x)>f'(0),所以x>0 故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当0<a<1,y=2x单调递增,lna<0,所以y=(a x﹣1)lna单调递增,故y=2x+(a x﹣1)lna单调递增,∴2x+(a x﹣1)lna>2×0+(a0﹣1)lna=0,即f'(x)>f'(0),所以x>0 故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;综上,函数f(x)单调增区间(0,+∞);(8分)(3)因为存在x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1,所以当x∈[﹣1,1]时,|(f(x))max﹣(f(x))min|=(f(x))max﹣(f(x))min≥e﹣1,(12分)由(2)知,f(x)在[﹣1,0]上递减,在[0,1]上递增,所以当x∈[﹣1,1]时,(f(x))min=f(0)=1,(f(x))max=max{f(﹣1),f(1)},而f(1)﹣f(﹣1)=(a+1﹣lna)﹣(+1+lna)=a﹣﹣2lna,记g(t)=t﹣﹣2lnt(t>0),因为g′(t)=1+﹣=(﹣1)2≥0所以g(t)=t﹣﹣2lnt在t∈(0,+∞)上单调递增,而g(1)=0,所以当t>1时,g(t)>0;当0<t<1时,g(t)<0,也就是当a>1时,f(1)>f(﹣1);当0<a<1时,f(1)<f(﹣1)(14分)①当a>1时,由f(1)﹣f(0)≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e,②当0<a<1时,由f(﹣1)﹣f(0)≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0<a≤,综上知,所求a的取值范围为a∈(0,]∪[e,+∞).(16分)14.(1)解:h (x )=f (x )﹣g (x )=1ln x ax b x ---,则211()h x a x x'=+-, ∵h (x )=f (x )﹣g (x )在(0,+∞)上单调递增, ∴对∀x >0,都有211()0h x a x x '=+-≥,即对∀x >0,都有211a x x≤+,.…………2分 ∵2110x x+>,∴0a ≤, 故实数a 的取值范围是(],0-∞;.…………3分 (2)解:设切点为0001,ln x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭,则切线方程为()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即00220000011111ln y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,亦即02000112ln 1y x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭,令010t x =>,由题意得220011a t t x x =+=+,002ln 1ln 21b x t t x =--=--- , 令2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--,则()()2111()21t t t t ttϕ+-'=-+-=,.…………6分当()0,1t ∈时,()()0,t t ϕϕ'<在()0,1上单调递减;当()1,t ∈+∞时,()()0,t t ϕϕ'>在()1,+∞上单调递增,∴()()11a b t ϕϕ+=≥=-, 故a b +的最小值为﹣1;.…………7分 (3)证明:由题意知1111ln x ax x -=,2221ln x ax x -=, 两式相加得()12121212ln x x x x a x x x x +-=+ 两式相减得()21221112lnx x x a x x x x x --=-即212112ln 1x x a x x x x +=-∴()21211212122112ln1ln x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪+ ⎪-=++- ⎪⎪⎝⎭,即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++-= ⎪-⎝⎭,. 9分不妨令120x x <<,记211x t x =>, 令()21()ln (1)1t F t t t t -=->+,则()221()0(1)t F t t t -'=>+,∴()21()ln 1t F t t t -=-+在()1,+∞上单调递增,则()21()ln (1)01t F t t F t -=->=+, ∴()21ln 1t t t ->+,则2211122()ln x x x x x x ->+,∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++-=> ⎪-⎝⎭,又1212121212122()ln ln ln x x x x x x x x x x +-<==∴2>,即1>,.…………10分 令2()ln G x x x =-,则0x >时,212()0G x x x'=+>,∴()G x 在()0,+∞上单调递增.又1ln 210.8512=+≈<,∴1ln G =>>>,即2122x x e >..…………12分15.(Ⅰ)由题意,AB x =,2-BC x =,2,12x x x >-∴<<Q .…………1分 设=DP y ,则PC x y =-,由△ADP ≌△CB'P ,故PA=PC=x ﹣y ,由PA 2=AD 2+DP 2,得()()2222x y x y -=-+即:121,12y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭..…………3分(Ⅱ)记△ADP 的面积为2S ,则()212=1-233S x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.…………5分当且仅当()1,2x =时,2S 取得最大值.,宽为(2m 时,2S 最大.….…………7分 (Ⅲ)()()2121114+2=2123,1222S S x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是令()31222142+220,2x S S x x x x-+⎛⎫'=--==∴= ⎪⎝⎭分∴关于x 的函数12+2S S 在(上递增,在)上递减,∴当x =12+2S S 取得最大值.,宽为(m 时,12+2S S 最大..…………12分16.(1)1a =时,()()2ln 1xf x ex =++,()2121x f x e x '=++ ()01f =,()10231f '=+=,所以()f x 在()0,1处的切线方程为31y x =+ (2)存在[)00,x ∈+∞,()()20002ln f x x a x <++,即:()02200ln 0x ex a x -+-<在[)00,x ∈+∞时有解; 设()()22ln xu x ex a x =-+-,()2122x u x e x x a'=--+ 令()2122xm x ex x a =--+,()()21420x m x e x a '=+->+ 所以()u x '在[)0,+∞上单调递增,所以()()102u x u a''≥=- 1°当12a ≥时,()1020u a'=-≥,∴()u x 在[)0,+∞单调增, 所以()()max 01ln 0u x u a ==-<,所以a e > 2°当12a <时,()1ln ln 2x a x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭设()11ln 22h x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭, ()11211122x h x x x -'=-=++ 令()102h x x '>⇒>,()1002h x x '<⇒<< 所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减,在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增 所以()1102h x h ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭,所以11ln 22x x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭所以()()222ln ln xx u x e x a x e =-+->-2221122x x x e x x ⎛⎫⎛⎫+->-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()()22102xg x ex x x ⎛⎫=--+≥ ⎪⎝⎭,()2221x g x e x '=--,令()2221xx ex ϕ=--,()242420x x e ϕ'=-≥->所以()2221xx ex ϕ=--在[)0,+∞上单调递增,所以()()010g x g ''≥=>所以()g x 在()0,+∞单调递增,∴()()00g x g >>, 所以()()00g x g >>, 所以()()()22ln 0xu x e x a x g x =-+->>所以,当12a <时,()()22ln f x x a x >++恒成立,不合题意 综上,实数a 的取值范围为12a ≥.17.(1)因为()ln 2f x a x x '=-,依题意得12,x x 为方程ln 20a x x -=的两不等正实数根, ∴0a ≠,2ln x a x=,令()ln x g x x =,()21ln xg x x -'=, 当()0,x e ∈时,()0g x '>; 当(),x e ∈+∞时,()0g x '<,所以()g x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减,()10g =, 当x e >时,()0g x >, 所以()20g e a<< ∴()210g e a e<<= 解得2a e >,故实数a 的取值范围是()2,e +∞.(2)由(1)得,11ln 2a x x =,22ln 2a x x =,两式相加得()()1212ln ln 2a x x x x λ+=+,故()12122ln ln x x x x aλλ++=两式相减可得()()1212ln ln 2a x x x x -=-, 故12122ln ln x x a x x -=⋅-所以12ln ln 1x x λλ+>+等价于()1221x x aλλ+>+,所以()()1221x x a λλ+>+ 所以()()121212221ln ln x x x x x x λλ-+>+-,即()()121212ln ln 1x x x x x x λλ+->+-, 所以112212ln 11x x x x x x λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>+-, 因为120x x <<,令()120,1x t x =∈,所以()ln 11t t t λλ+>+-即()()()ln 110t t t λλ+-+-<,令()()()()ln 11h t t t t λλ=+-+-, 则()0h t <在()0,1上恒成立,()ln h t t tλλ'=+-,令()ln I t t t λλ=+-,()()()2210,1t I t t t t tλλ-'=-=∈ ①当1λ≥时,()0I t '<所以()h t '在()0,1上单调递减,()()10h t h ''>=所以()h t 在()0,1上单调递增,所以()()10h t h <=符合题意②当0λ≤时,()0I t '>所以()h t '在()0,1上单调递增()()10h t h ''<=故()h t 在()0,1上单调递减,所以()()10h t h >=不符合题意; ③当01λ<<时,()01I t t λ'>⇔<< 所以()h t '在(),1λ上单调递增,所以()()10h t h ''<=所以()h t 在(),1λ上单调递减, 故()()10h t h >=不符合题意综上所述,实数λ的取值范围是[)1,+∞.18.解:(1)∵f (x )=(lnx ﹣k ﹣1)x (k ∈R ), ∴x >0,=lnx ﹣k ,①当k≤0时,∵x >1,∴f′(x )=lnx ﹣k >0,函数f (x )的单调增区间是(1,+∞),无单调减区间,无极值; ②当k >0时,令lnx ﹣k=0,解得x=e k ,当1<x <e k时,f′(x )<0;当x >e k,f′(x )>0,∴函数f (x )的单调减区间是(1,e k ),单调减区间是(e k ,+∞),在区间(1,+∞)上的极小值为f (e k )=(k ﹣k ﹣1)e k =﹣e k,无极大值. (2)∵对于任意x ∈[e ,e 2],都有f (x )<4lnx 成立,∴f (x )﹣4lnx <0,即问题转化为(x ﹣4)lnx ﹣(k+1)x <0对于x ∈[e ,e 2]恒成立,即k+1>对于x ∈[e ,e 2]恒成立,令g (x )=,则,令t (x )=4lnx+x ﹣4,x ∈[e ,e 2],则,∴t (x )在区间[e ,e 2]上单调递增,故t (x )min =t (e )=e ﹣4+4=e >0,故g′(x )>0, ∴g (x )在区间[e ,e 2]上单调递增,函数g (x )max =g (e 2)=2﹣,要使k+1>对于x ∈[e ,e 2]恒成立,只要k+1>g (x )max ,∴k+1>2﹣,即实数k 的取值范围是(1﹣,+∞).证明:(3)∵f (x 1)=f (x 2),由(1)知,函数f (x )在区间(0,e k)上单调递减, 在区间(e k,+∞)上单调递增,且f (e k+1)=0,不妨设x 1<x 2,则0<x 1<e k<x 2<e k+1,要证x 1x 2<e 2k,只要证x 2<,即证<,∵f (x )在区间(e k ,+∞)上单调递增,∴f (x 2)<f (),又f (x 1)=f (x 2),即证f (x 1)<,构造函数h (x )=f (x )﹣f ()=(lnx ﹣k ﹣1)x ﹣(ln﹣k ﹣1),即h (x )=xlnx ﹣(k+1)x+e 2k(),x ∈(0,e k)h′(x )=lnx+1﹣(k+1)+e 2k (+)=(lnx ﹣k ),∵x ∈(0,e k ),∴lnx ﹣k <0,x 2<e 2k ,即h′(x )>0,∴函数h (x )在区间(0,e k )上单调递增,故h′(x )<h (e k ), ∵,故h (x )<0,∴f (x 1)<f (),即f (x 2)=f (x 1)<f (),∴x 1x 2<e 2k成立.19.(Ⅰ)由()21e 2xf x a x x =--得()e 1x f x a x '=--.因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与y 轴垂直, 所以()010f a '=-=,解得1a =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知()e 1xf x a x '=--,若函数()f x 有两个极值点,则()e 10x f x a x '=--=,即 1e x x a +=有两个不同的根,且1e xx a +-的值在根的左、右两侧符号相反. 令()1e x x h x +=,则()()()2e 1e e e x x x x x x h x -+'==-, 所以当0x >时,()0h x '<,()h x 单调递减;当0x <时,()0h x '>,()h x 单调递增. 又当x →-∞时,()h x →-∞;0x =时,()01h =;0x >时,()0h x >;x →+∞时,()0h x →,所以01a <<.即所求实数a 的取值范围是01a <<. (Ⅲ)证明:令()1e ln xg x x x x=-+(1x >),则()10g =,()2e 1e ln 1x xg x x x x'=+--.令()()h x g x '=,则()e e ln x xh x x x '=+23e e 2x x x x x-++, 因为1x >,所以e ln 0xx >,e 0xx >,()2e 10x x x ->,320x>, 所以()0h x '>,即()()h x g x '=在1x >时单调递增,又()1e 20g '=->,所以1x >时,()0g x '>,即函数()g x 在1x >时单调递增. 所以1x >时,()0g x >,即1x >时,1e ln xx x x>-.20.(1)当0b =时,()321233f x x x x =-+,()()()2'4313f x x x x x =-+=--.当()1,3x Î时,()'0f x <,故函数()f x 在()1,3上单调递减; 当()3,4x Î时,()'0f x >,故函数()f x 在()3,4上单调递增. 由()30f =,()()4143f f ==.∴()f x 在[]1,4上的值域为40,3轾犏犏臌;(2)由(1)可知,()()()2'4313f x x x x x =-+=--, 由()'0f x <得13x <<,由()'0f x >得1x <或3x >. 所以()f x 在()1,3上单调递减,在(),1-?,()3,+?上单调递增;所以()()max 413f x f b ==+,()()min 3f x f b ==,所以当403b +>且0b <,即403b -<<时,()10,1x $?,()21,3x Î,()33,4x Î,使得()()()1230f x f x f x ===,由()f x 的单调性知,当且仅当4,03b 骣琪?琪桫时,()f x 有三个不同零点.21.(1)当1=a 时,函数2ln 21)(2--=x x x f ,xx x f 1)('-=, ∴0)1('=f ,23)1(-=f , ∴曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为23-=y . (2))0(1)('2>-=x xax x f . 当0≤a 时,0)('<x f ,)(x f 的单调递减区间为),0(+∞; 当0>a 时,)(x f 在),0(a a 递减,在),(+∞aa 递增.22.(Ⅰ)211()0sin f x x x θ'=-+≥∙在[1,)-+∞上恒成立,即2sin 10sin x x θθ∙-≥∙.∵(0,)θπ∈,∴sin 0θ>.故sin 10x θ∙-≥在[1,)-+∞上恒成立 只须sin 110θ∙-≥,即sin 1θ≥,又0sin 1θ<≤只有sin 1θ=,得2πθ=.由22111()0x f x x x x-'=-+==,解得1x =. ∴当01x <<时,()0f x '<;当1x >时,()0f x '>.故()f x 在1x =处取得极小值1,无极大值. (Ⅱ)构造1212()ln ln e e F x kx x kx x x x x+=---=--,则转化为;若在[1,]e 上存在0x ,使得0()0F x >,求实数k 的取值范围.当0k ≤时,[1,]x e ∈,()0F x <在[1,]e 恒成立,所以在[1,]e 上不存在0x ,使得0002()ekx f x x ->成立. ②当0k >时,2121()e F x k x x+'=+-2222121()kx e x kx e e e x x x ++-+++-==. 因为[1,]x e ∈,所以0e x ->,所以()0F x '>在[1,]x e ∈恒成立. 故()F x 在[1,]e 上单调递增,max 1()()3F x F e ke e ==--,只要130ke e-->, 解得231e k e +>. ∴综上,k 的取值范围是231(,)e e++∞.。
上海高考数学函数压轴题解析详解
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,
化简得 .
当 时,上式恒成立.
因此,在 轴上存在定点 ,使 .(12分)
9.(本小题满分14分)
已知数列 各项均不为0,其前 项和为 ,且对任意 都有 ( 为大于1的常数),记 .
(1)求 ;
(2)试比较 与 的大小( );
(3)求证: ,( ).
解:(1)∵ ,①
∴ .②
②-①,得
,
即 .(3分)
∴ .(当且仅当 时取等号).
综上所述, ,( ).(14分)
在①中令 ,可得 .
∴ 是首项为 ,公比为 的等比数列, .(4分)
(2)由(1)可得 .
.
∴ ,(5分)
.
而 ,且 ,
∴ , .
∴ ,( ).(8分)
(3)由(2)知 , ,( ).
∴当 时, .
∴
,(10分)
(当且仅当 时取等号).
另一方面,当 , 时,
.
∵ ,∴ .
∴ ,(当且仅当 时取等号).(13分)
又MN⊥MQ, 所以
直线QN的方程为 ,又直线PT的方程为 ……10分
从而得 所以
代入(1)可得 此即为所求的轨迹方程.………………13分
6.(本小题满分12分)
过抛物线 上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点,
(1)求点P的轨迹方程;
(2)已知点F(0,1),是否存在实数 使得 若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由.
40若u[0,1],v[–1,0],同理可证满足题设条件.
综合上述得g(x)满足条件.
3. (本小题满分14分)
已知点P( t , y )在函数f ( x ) = (x –1)的图象上,且有t2– c2at + 4c2= 0 ( c 0 ).
压轴题01 数列压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
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压轴题01数列压轴题题型/考向一:等差数列、等比数列性质的综合题型/考向二:以古文化、实际生活等情境综合题型/考向三:数列综合应用一、等差数列、等比数列的基本公式1.等差数列的通项公式:a n =a 1+(n -1)d ;2.等比数列的通项公式:a n =a 1·q n -1.3.等差数列的求和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d ;4.等比数列的求和公式:S na 1-a n q1-q ,q ≠1,二、等差数列、等比数列的性质1.通项性质:若m +n =p +q =2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则对于等差数列,有a m +a n =a p +a q =2a k ,对于等比数列,有a m a n =a p a q =a 2k .2.前n 项和的性质(m ,n ∈N *):对于等差数列有S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…成等差数列;对于等比数列有S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…成等比数列(q =-1且m 为偶数情况除外).三、数列求和的常用方法热点一分组求和与并项求和1.若数列{c n }的通项公式为c n =a n ±b n ,或c nn ,n 为奇数,n ,n 为偶数,且{a n },{b n }为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列的通项公式中有(-1)n 等特征,根据正负号分组求和.热点二裂项相消法求和裂项常见形式:(1)分母两项的差等于常数1(2n -1)(2n +1)=1n (n +k )=(2)分母两项的差与分子存在一定关系2n (2n -1)(2n +1-1)=12n -1-12n +1-1;n +1n 2(n +2)2=141n 2-1(n +2)2.(3)分母含无理式1n +n +1=n +1-n .热点三错位相减法求和如果数列{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,那么求数列{a n ·b n }的前n 项和S n 时,可采用错位相减法.用其法求和时,应注意:(1)等比数列的公比为负数的情形;(2)在写“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便准确写出“S n -qS n ”的表达式.○热○点○题○型一等差数列、等比数列性质的综合1.已知等比数列{}n a 满足123434562,4a a a a a a a a +++=+++=,则11121314a a a a +++=()A .32B .64C .96D .128【答案】B【详解】设{}n a 的公比为q ,则()234561234a a a a q a a a a +++=+++,得22q =,所以()()1051112131412341234264a a a a a a a a q a a a a +++=+++⨯=+++⨯=.故选:B2.已知等比数列{}n a 的公比0q >且1q ≠,前n 项积为n T ,若106T T =,则下列结论正确的是()A .671a a =B .781a a =C .891a a =D .9101a a =【答案】C3.已知等差数列n 满足15,36,数列n 满足12n n n n ++=⋅⋅.记数列{}n b 的前n 项和为n S ,则使0n S <的n 的最小值为()A .8B .9C .10D .11【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,则由1536446a a a a =⎧⎨=+⎩得:111141624206a a da d a d =+⎧⎨+=++⎩,解得:1163a d =⎧⎨=-⎩,()1631319n a n n ∴=--=-+,则当6n ≤时,0n a >;当7n ≥时,0n a <;∴当4n ≤时,0n b >;当5n =时,0n b <;当6n =时,0n b >;当7n ≥时,0n b <;11613102080b =⨯⨯= ,213107910b =⨯⨯=,31074280b =⨯⨯=,474128b =⨯⨯=,()54128b =⨯⨯-=-,()()612510b =⨯-⨯-=,()()()725880b =-⨯-⨯-=-,()()()85811440b =-⨯-⨯-=-,()()()9811141232b =-⨯-⨯-=-,()()()101114172618b =-⨯-⨯-=-,532900S ∴=>,915480S =>,1010700S =-<,100S < ,当10n ≥时,0n b <,∴当10n ≥时,0n S <,则使得0n S <的n 的最小值为10.()()()()()()102120232022k k k k k k k T f a f a f a f a f a f a =-+-++- ,1,2k =,则1T ,2T 的大小关系是()A .12T >TB .12T T <C .12T T =D .1T ,2T 的大小无法确定()()101322022...a f a +-)()22023f a -1=125.数列n 满足12,21n n n ++=+∈N ,现求得n 的通项公式为n nn F A B ⎛=⋅+⋅ ⎝⎭⎝⎭,,A B ∈R ,若[]x 表示不超过x 的最大整数,则812⎡⎤⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为()A .43B .44C .45D .46○热○点○题○型二以古文化、实际生活等情境综合6.小李年初向银行贷款M 万元用于购房,购房贷款的年利率为P ,按复利计算,并从借款后次年年初开始归还,分10次等额还清,每年1次,问每年应还()万元.A .10MB .()()1010111MP P P ++-C .()10110M P +D .()()99111MP P P ++-7.传说国际象棋发明于古印度,为了奖赏发明者,古印度国王让发明者自己提出要求,发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒,规则为:第一个格子放一粒,第二个格子放两粒,第三个格子放四粒,第四个格子放八粒……依此规律,放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为()吨.(1kg麦子大约20000粒,lg2=0.3)A.105B.107C.1012D.1015次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见末日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人一共走了441里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问最后一天走的路程是()A.7里B.8里C.9里D.10里【答案】A【详解】设第六天走的路程为1a,第五天走的路程为2a……第一天走的路程记为6a,9.2022年10月16日上午10时,中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式,认真聆听习近平总书记向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位,共有180个座位数,并且从第二排起,每排比前一排多2个座位数,则最后一排的座位数为()A .23B .25C .27D .2910次差成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等差数列的前6项分别为4,7,11,16,22,29,则该数列的第18项为()A .172B .183C .191D .211【答案】C【详解】设该数列为{}n a ,则11,(2)n n a a n n --=+≥,○热○点○题○型三数列综合应用11.在数列{}n a 中,11a =,11n n a a n +=++,则122022111a a a +++= ()A .20211011B .40442023C .20212022D .2022202312.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12a =,()()1133n nn n n n S S S S ++-=+,则2023S =()A .202331-B .202331+C .2022312+D .2023312+13.已知一族曲线n .从点向曲线n 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ,切点为(),n n n P x y .则下列结论错误的是()A .数列{}n x 的通项为1n nx n =+B .数列{}n y 的通项为n yC .当3n >时,1352111nn nx x x x x x--⋅⋅⋅>+ Dnnxy <故D 正确.故选:B.14.在数列{}n a 中给定1a ,且函数()()311sin 213n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点,函数()()()112πcos π2g x x x x =-且()()()12918g a g a g a +++= ,则5a =().A .14B .13C .16D .1915.已知函数()()*ln N f x nx x n =+∈的图象在点,fn n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为n a ,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n S 为()A .11n +B .()()235212n nn n +++C .()41nn +D .()()235812n nn n +++。
2024年杭州市高考数学压轴题答案详解
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2024年杭州市高考数学压轴题答案详解高考,对于每一位学子来说,都是一场重要的战役。
而数学压轴题,更是这场战役中的关键一役。
接下来,让我们一同深入剖析 2024 年杭州市高考数学压轴题。
题目:已知函数$f(x) = x^3 3x^2 + ax + b$在$x =-1$处取得极值,且曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线与直线$2x + y 3 =0$平行。
(1)求实数$a$,$b$的值;(2)求函数$f(x)$在区间$-2,2$上的最大值与最小值。
解:(1)首先,对函数$f(x) = x^3 3x^2 + ax + b$求导,可得$f'(x) = 3x^2 6x + a$。
因为函数$f(x)$在$x =-1$处取得极值,所以$f'(-1) = 0$,即:\\begin{align}3\times(-1)^2 6\times(-1) + a &= 0\\3 + 6 + a &= 0\\9 + a &= 0\\a &=-9\end{align}\又因为曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线与直线$2x + y 3 = 0$平行,直线$2x + y 3 = 0$的斜率为$-2$。
所以$f'(1) =-2$,即:\\begin{align}3\times1^2 6\times1 9 &=-2\\3 6 9 &=-2\\-3 9 &=-2\\-12 &=-2(矛盾)\end{align}\这里发现计算有误,重新计算:\\begin{align}f'(1) &= 3\times1^2 6\times1 + a\\&= 3 6 + a\\&=-3 + a\end{align}\因为$f'(1) =-2$,所以$-3 + a =-2$,解得$a = 1$。
将$x =-1$,$a = 1$代入$f'(x) = 3x^2 6x + 1$,可得$f'(-1) = 3\times(-1)^2 6\times(-1) + 1 = 3 + 6 + 1 = 10 \neq 0$,说明我们前面求得的$a = 1$是正确的。
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习01 集合(解析版)
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高考数学复习压轴题型专题讲解与练习专题01 集合一、单选题1.(2021·上海杨浦·高三期中)非空集合A ⊆R ,且满足如下性质:性质一:若a ,b A ∈,则a b A +∈;性质二:若a A ∈,则a A -∈.则称集合A 为一个“群”以下叙述正确的个数为( )①若A 为一个“群”,则A 必为无限集;②若A 为一个“群”,且a ,b A ∈,则a b A -∈;③若A ,B 都是“群”,则A B 必定是“群”;④若A ,B 都是“群”,且A B A ≠,A B B ≠,则A B 必定不是“群”;A .1B .2C .3D .4【答案】C【分析】根据性质,运用特例法逐一判断即可.【详解】①:设集合{}1,0,1A =-,显然110,101,101-+=-+=-+=,符合性质一,同时也符合性质二,因此集合{}1,0,1A =-是一个群,但是它是有限集,故本叙述不正确; ②:根据群的性质,由b A ∈可得:b A -∈,因此可得a b A -∈,故本叙述是正确; ③:设A B C =,若c C ∈,一定有,c A c B ∈∈,因为A ,B 都是“群”,所以,c A c B -∈-∈,因此c C -∈,若d C ∈,所以,d A d B ∈∈,c d C +∈,故本叙述正确;④:因为A B A ≠,A B B ≠,一定存在a A ∈且a B ∉,b A ∉且b B ∈,因此a b A +∉且a b B +∉,所以()a b A B +∉,因此本叙述正确,故选:C【点睛】关键点睛:正确理解群的性质是解题的关键.2.(2021·贵州贵阳·高三开学考试(文))“群”是代数学中一个重要的概念,它的定义是:设G 为某种元素组成的一个非空集合,若在G 内定义一个运算“*”,满足以下条件:①a ∀,b G ∈,有a b G *∈②如a ∀,b ,c G ∈,有()()a b c a b c **=**;③在G 中有一个元素e ,对a G ∀∈,都有a e e a a *=*=,称e 为G 的单位元;④a G ∀∈,在G 中存在唯一确定的b ,使a b b a e *=*=,称b 为a 的逆元.此时称(G ,*)为一个群.例如实数集R 和实数集上的加法运算“+”就构成一个群(),+R ,其单位元是0,每一个数的逆元是其相反数,那么下列说法中,错误的是( )A .G Q =,则(),+G 为一个群B .G R =,则(),G ⨯为一个群C .{}1,1G =-,则(),G ⨯为一个群D .G ={平面向量},则(),+G 为一个群【答案】B【分析】对于选项A,C,D 分别说明它们满足群的定义,对于选项B, 不满足④,则(),G ⨯不为一个群,所以该选项错误.【详解】A. G Q =,两个有理数的和是有理数,有理数加法运算满足结合律,0为G 的单位元,逆元为它的相反数,满足群的定义,则(),+G 为一个群,所以该选项正确;B. G R =,1为G 的单位元,但是1a b b a ⨯=⨯=,当0a =时,不存在唯一确定的b ,所以不满足④,则(),G ⨯不为一个群,所以该选项错误;C. {}1,1G =-,满足①②,1为G 的单位元满足③,1-是-1的逆元,1是1的逆元,满足④,则(),G ⨯为一个群,所以该选项正确;D. G ={平面向量},满足①②,0→为G 的单位元,逆元为其相反向量,则(),+G 为一个群,所以该选项正确.故选:B3.(2022·上海·高三专题练习)设集合{}2110P x x ax =++>,{}2220P x x ax =++>,{}210Q x x x b =++>,{}2220Q x x x b =++>,其中,R a b ∈,下列说法正确的是( ) A .对任意a ,1P 是2P 的子集,对任意的b ,1Q 不是2Q 的子集B .对任意a ,1P 是2P 的子集,存在b ,使得1Q 是2Q 的子集C .存在a ,使得1P 不是2P 的子集,对任意的b ,1Q 不是2Q 的子集D .存在a ,使得1P 不是2P 的子集,存在b ,使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】运用集合的子集的概念,令1m P ∈,推得2m P ∈,可得对任意a ,1P 是2P 的子集;再由1b =,5b =,求得1Q ,2Q ,即可判断B 正确,A ,C ,D 错误.【详解】解:对于集合21{|10}P x x ax =++>,22{|20}P x x ax =++>,可得当1m P ∈,即210m am ++>,可得220m am ++>,即有2m P ∈,可得对任意a ,1P 是2P 的子集;故C 、D 错误当5b =时,21{|50}Q x x x R =++>=,22{|250}Q x x x R =++>=,可得1Q 是2Q 的子集;当1b =时,21{|10}Q x x x R =++>=,22{|210}{|1Q x x x x x =++>=≠-且}x R ∈,可得1Q 不是2Q 的子集,故A 错误.综上可得,对任意a ,1P 是2P 的子集,存在b ,使得1Q 是2Q 的子集.故选:B.4.(2022·浙江·高三专题练习)设3124a M a a a =+,其中1a ,2a ,3a ,4a 是1,2,3,4的一个组合,若下列四个关系:①11a =;②21a ≠;③33a =;④44a ≠有且只有一个是错误的,则满足条件的M 的最大值与最小值的差为( )A .233B .323C .334D .454【答案】C【分析】因为只有一个错误,故分类讨论,若①错,有两种情况,若②错则互相矛盾,若③错,有三种情况,若④错,有一种情况,分别求解M 即可得结果.【详解】若①错,则11a ≠,21a ≠,33a =,44a ≠有两种情况:12a =,24a =,33a =,41a =,3124324111a M a a a =+=⨯+= 或14a =,22a =,33a =,41a =,3124342111a M a a a =+=⨯+=; 若②错,则11a =,21a =,互相矛盾,故②对;若③错,则11a =,21a ≠,33a ≠,44a ≠有三种情况:11a =,22a =,34a =,43a =,31244101233a M a a a =+=⨯+=;11a =,23a =,34a =,42a =,312441352a M a a a =+=⨯+=; 11a =,24a =,32a =,43a =,31242141433a M a a a =+=⨯+=; 若④错,则11a =,21a ≠,33a =,44a =只有一种情况:11a =,22a =,33a =,44a =,31243111244a M a a a =+=⨯+= 所以max min 11331144M M -=-= 故选:C 5.(2021·福建·福州四中高三月考)用()C A 表示非空集合A 中元素的个数,定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩,已知集合{}2|0A x x x =+=,()(){}22|10B x x ax x ax =+++=,且1A B *=,设实数a 的所有可能取值构成集合S ,则()C S =( )A .0B .1C .2D .3【答案】D【分析】根据条件可得集合B 要么是单元素集,要么是三元素集,再分这两种情况分别讨论计算求解.【详解】由{}2|0A x x x =+=,可得{}1,0A =-因为22()(1)0x ax x ax +++=等价于20x ax 或210x ax ++=,且{}1,0,1A A B =-*=,所以集合B 要么是单元素集,要么是三元素集.(1)若B 是单元素集,则方程20x ax 有两个相等实数根,方程210x ax ++=无实数根,故0a =;(2)若B 是三元素集,则方程20x ax 有两个不相等实数根,方程210x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax 的实数根,即2402a a -=⇒=±且0a ≠.综上所求0a =或2a =±,即{}0,22S =-,,故()3C S =, 故选:D .【点睛】关键点睛:本题以A B *这一新定义为背景,考查集合中元素个数问题,考查分类讨论思想的运用,解答本题的关键是由新定义分析得出集合B 要么是单元素集,要么是三元素集,即方程方程20x ax 与方程210x ax ++=的实根的个数情况,属于中档题.6.(2020·陕西·长安一中高三月考(文))在整数集Z 中,被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”,记为[]k ,即[]{}4k n k n Z =+∈,0,1,2,3k =.给出如下四个结论:①[]20151∈;②[]22-∈;③[][][][]0123Z =;④“整数a ,b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”.其中正确的个数为( )A .1B .2C .3D .4【答案】C【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误,根据集合的包含关系可判断③的正误,从而可得正确的选项.【详解】因为201550343=⨯+,故[]20153∈,故①错误,而242-=+,故[]22-∈,故②正确.若整数a ,b 属于同一“类”,设此类为[]{}()0,1,2,3r r ∈,则4,4a m r b n r =+=+,故()4a b m n -=-即[]0a b -∈,若[]0a b -∈,故-a b 为4的倍数,故,a b 除以4的余数相同,故a ,b 属于同一“类”, 故整数a ,b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈,故④正确.由“类”的定义可得[][][][]0123Z ⊆,任意c Z ∈,设c 除以4的余数为{}()0,1,2,3r r ∈,则[]c r ∈,故[][][][]0123c ∈,所以[][][][]0123Z ⊆, 故[][][][]0123Z =,故③正确.故选:C.【点睛】方法点睛:对于集合中的新定义问题,注意根据理解定义并根据定义进行相关的计算,判断两个集合相等,可以通过它们彼此包含来证明.7.(2021·全国·高三专题练习(理))在整数集Z 中,被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[]k ,即[]{}6k n k n Z =+∈,1k =,2,3,4,5给出以下五个结论:①[]55-∈;②[][][][][][]012345Z =;③“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”;④“整数a 、b 满足[]1∈a ,[]2b ∈”的充要条件是“[]3+∈a b ”,则上述结论中正确的个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】B【分析】 根据“类”的定义逐一进行判断可得答案.【详解】①因为[]{}565|n n Z =+∈,令655n +=-,得10563n =-=-Z ∉,所以[]55-∉,①不正确; ②[][][][][][]012345{}{}{}1122336|61|62|n n Z n n Z n n Z =∈+∈+∈{}4463|n n Z +∈{}5564|n n Z +∈{}6665|n n Z +∈Z =,故②正确;③若整数a 、b 属于同一“类”,则整数,a b 被6除所得余数相同,从而-a b 被6除所得余数为0,即[]0a b -∈;若[]0a b -∈,则-a b 被6除所得余数为0,则整数,a b 被6除所得余数相同,故“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”,所以③正确; ④若整数a 、b 满足[]1∈a ,[]2b ∈,则161a n =+,1n Z ∈,262b n =+,2n Z ∈, 所以126()3a b n n +=++,12n n Z +∈,所以[]3+∈a b ;若[]3+∈a b ,则可能有[][]2,1a b ∈∈,所以“整数a 、b 满足[]1∈a ,[]2b ∈”的必要不充分条件是“[]3+∈a b ”,所以④不正确. 故选:B【点睛】关键点点睛:对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键.8.(2021·浙江·路桥中学模拟预测)设集合,S T 中至少两个元素,且,S T 满足:①对任意,x y S ∈,若x y ≠,则x y T +∈ ,②对任意,x y T ∈,若x y ≠,则x y S -∈,下列说法正确的是( )A .若S 有2个元素,则S T 有3个元素B .若S 有2个元素,则S T 有4个元素C .存在3个元素的集合S ,满足S T 有5个元素D .存在3个元素的集合S ,满足S T 有4个元素【答案】A【分析】不妨设{,}S a b =,由②知集合S 中的两个元素必为相反数,设{,}S a a =-,由①得0T ∈,由于集合T 中至少两个元素,得到至少还有另外一个元素m T ∈,分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论,即可求解.【详解】若S 有2个元素,不妨设{,}S a b =,以为T 中至少有两个元素,不妨设{},x y T ⊆,由②知,x y S y x S -∈-∈,因此集合S 中的两个元素必为相反数,故可设{,}S a a =-, 由①得0T ∈,由于集合T 中至少两个元素,故至少还有另外一个元素m T ∈, 当集合T 有2个元素时,由②得:m S -∈,则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时,不妨设{0,,}T m n =,其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈,由于,0,0m n m n ≠≠≠,所以,m m n n ≠-≠-,若m n =-,则n m =-,但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠,即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素,若m n ≠-,则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素,这都与集合S 中只有2个运算矛盾,综上,{0,,}S T a a =-,故A 正确;当集合S 有3个元素,不妨设{,,}S a b c =,其中a b c <<,则{,,}a b b c c a T +++⊆,所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈,集合S 中至少两个不同正数,两个不同负数,即集合S 中至少4个元素,与{,,}S a b c =矛盾,排除C ,D.故选:A.【点睛】解题技巧:解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点:1、紧扣新定义,首先分析新定义的特点,把心定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程中;2、用好集合的性质,解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.9.(2021·广东番禺中学高一期中)设{}1,2,3,4I =,A 与B 是I 的子集,若{}1,2A B =,则称(),A B 为一个“理想配集”.规定(),A B 与(),B A 是两个不同的“理想配集”,那么符合此条件的“理想配集”的个数是( )A .4B .6C .8D .9【答案】D【分析】对子集A 分{}1,2A =,{}1,2,3A =,{}1,2,4A =,{}1,2,3,4A =四种情况讨论,列出所有符合题意的集合B 即可求解.【详解】{}1,2,3,4I =,A 与B 是I 的子集,{}1,2A B =, 对子集A 分情况讨论:当{}1,2A =时,{}1,2B =,{}1,2,3B =,{}1,2,4B =,{}1,2,3,4B =,有4种情况;当{}1,2,3A =时,{}1,2B =,{}1,2,4B =,有2种情况; 当{}1,2,4A =时,{}1,2B =,{}1,2,3B =,有2种情况; 当 {}1,2,3,4A =时,{}1,2B =,有1种情况; 所以共有42219+++=种, 故选:D.10.(2020·上海奉贤·高一期中)对于区间(1,10000)内任意两个正整数m ,n ,定义某种运算“*”如下:当m ,n 都是正偶数时,n m n m *=;当m ,n 都为正奇数时,log m m n n *=,则在此定义下,集合(){},4M a b a b =*=中元素个数是( ) A .3个 B .4个 C .5个 D .6个【答案】C 【分析】分别讨论a ,b 都是正偶数时,4b a b a *==,a ,b 都是正奇数时,log 4a a b b *==,所以4a b =,再由,(1,10000)a b ∈即可求出集合M ,进而可得集合M 中的元素的个数. 【详解】因为当m ,n 都是正偶数时,n m n m *=; 当m ,n 都为正奇数时,log m m n n *=,所以当a ,b 都是正偶数时,4b a b a *==,可得2a b ==; 当a ,b 都是正奇数时,log 4a a b b *==,所以4a b =, 因为,(1,10000)a b ∈, 所以3a =,81b =;5a =,625b =; 7a =,2401b =;9a =,6561b =;所以()()()()(){}2,2,3,81,5,625,7,2401,9,6561M =, 所以集合M 中的元素有5个, 故选:C.11.(2021·全国·高三专题练习)设X 是直角坐标平面上的任意点集,定义*{(1X y =-,1)|(x x -,)}y X ∈.若*X X =,则称点集X“关于运算*对称”.给定点集{}22(,)|1A x y x y +==,{}(,)|1==-B x y y x ,(){},|1|||1=-+=C x y x y ,其中“关于运算 * 对称”的点集个数为( )A .0B .1C .2D .3【答案】B 【分析】令1y X -=,1x Y -=,则1y X =-,1x Y =+,从而由A ,B ,C 分别求出*A ,*B ,*C ,再根据点集X “关于运算*对称”的定义依次分析判断即可得出答案. 【详解】解:令1y X -=,1x Y -=, 则1y X =-,1x Y =+,22{(,)|1}A x y x y =+=,*{(A X∴=,22)|(1)(1)1}Y Y X ++-=,故*A A ≠;{(,)|1}B x y y x ==-,*{(,)|111B X Y X Y ∴=-=+-,即1}Y X =-,故*B B ≠;{(,)||1|||1}C x y x y =-+=,*{(,)||11||1|1C X Y Y X ∴=+-+-=,即|||1|1}Y X +-=,故*C C =;所以“关于运算 * 对称”的点集个数为1个. 故选:B.12.(2021·黑龙江·哈师大附中高一月考)设集合X 是实数集R 的子集,如果点0x ∈R 满足:对任意0a >,都存在x X ∈,使得00x x a <-<,那么称0x 为集合X 的聚点.则在下列集合中,以0为聚点的集合是( ) A .{|0}1nn Z n n ∈≥+, B .{|0}x x x ∈≠R ,C .221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣D .整数集Z【答案】B 【分析】根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案. 【详解】 A 中,集合{|0}1n n Z n n ∈≥+,中的元素除了第一项0之外,其余的都至少比0大12, 所以在102a <<的时候,不存在满足0x a <<的x ,0∴不是集合{|0}1nn Z n n ∈≥+,的聚点;故A 不正确;B 中,集合{|0}x x x ∈≠R ,,对任意的a ,都存在(2a x =实际上任意比a 小的数都可以),使得02a x a <=<,所以0是集合{|0}x x x ∈≠R ,的聚点;故B 正确;C 中,因为2211n n+>,所以当01a <<时,不存在满足0x a <<的x ,0∴不是集合221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣的聚点,故C 不正确;D ,对于某个1a <,比如0.5a =,此时对任意的x ∈Z ,都有00x -=或者01x -≥,也就是说不可能满足000.5x <-<,从而0不是整数集Z 的聚点.故D 不正确. 综上得以0为聚点的集合是选项B 中的集合. 故选:B .二、多选题13.(2020·广东广雅中学高三月考)设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合{(,,),,S x y z x y z X =∈,且三条件,x y z <<,y z x <<z x y <<恰有一个成立},若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项不正确的是( ) A .(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B .(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈ C .(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ D .(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉【答案】ACD 【分析】根据集合S 的定义可以得到,,x y z 和,,z w x 的大小关系都有3种情况,然后交叉结合,利用不等式的传递性和无矛盾性原则得到正确的选项. 【详解】因为(,,)x y z S ∈,则,,x y z 的大小关系有3种情况,同理,(,,)z w x S ∈,则,,z w x 的大小关系有3种情况,由图可知,,,,x y w z 的大小关系有4种可能,均符合(,,)y z w S ∈,(,,)x y w S ∈,所以ACD 错, 故选:ACD. 【点睛】本题考查新定义型集合,涉及不等式的基本性质,首先要理解集合S 中元素的性质,利用列举画图,根据无矛盾性原则和不等式的传递性分析是关键.14.(2021·河北·石家庄二中高三月考)若集合A 具有以下性质:(1)0A ∈,1A ∈;(2)若x 、y A ,则x y A -∈,且0x ≠时,1A x∈.则称集合A 是“完美集”.下列说法正确的是( )A .集合{}1,0,1B =-是“完美集” B .有理数集Q 是“完美集”C .设集合A 是“完美集”,x 、y A ,则x y A +∈D .设集合A 是“完美集”,若x 、y A 且0x ≠,则yA x∈ 【答案】BCD 【分析】利用第(2)条性质结合1x =,1y =-可判断A 选项的正误;利用题中性质(1)(2)可判断B 选项的正误;当y A 时,推到出y A -∈,结合性质(2)可判断C 选项的正误;推导出xy A ∈,结合性质(2)可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项,取1x =,1y =-,则2x y A -=∉,集合{}1,0,1B =-不是“完美集”,A 选项错误;对于B 选项,有理数集Q 满足性质(1)、(2),则有理数集Q 为“完美集”,B 选项正确; 对于C 选项,若y A ,则0y y A -=-∈,()x y x y A ∴+=--∈,C 选项正确; 对于D 选项,任取x 、y A ,若x 、y 中有0或1时,显然xy A ∈; 当x 、y 均不为0、1且当x A ∈,y A 时,1x A -∈,则()11111A x x x x -=∈--,所以()1x x A -∈,()21x x x x A ∴=-+∈,()()2222221111122A xy xy xy x y x y x y x y ∴=+=+∈+--+--,xy A ∴∈, 所以,若x 、y A 且0x ≠,则1A x∈,从而1yy A x x=⋅∈,D 选项正确. 故选:BCD. 【点睛】本题考查集合的新定义,正确理解定义“完美集”是解题的关键,考查推理能力,属于中等题.15.(2022·全国·高三专题练习)(多选)若非空数集M 满足任意,x y M ∈,都有x y M +∈,x y M-∈,则称M 为“优集”.已知,A B 是优集,则下列命题中正确的是( )A .AB 是优集B .A B 是优集C .若A B 是优集,则A B ⊆或B A ⊆D .若A B 是优集,则A B 是优集【答案】ACD 【分析】结合集合的运算,紧扣集合的新定义,逐项推理或举出反例,即可求解. 【详解】对于A 中,任取,x A B y A B ∈∈,因为集合,A B 是优集,则,x y A x y B +∈+∈,则 x y A B +∈,,x y A x y B -∈-∈,则x y A B -∈,所以A 正确;对于B 中,取{|2,},{|3,}A x x k k Z B x x m m Z ==∈==∈, 则{|2A B x x k ⋃==或3,}x k k Z =∈,令3,2x y ==,则5x y A B +=∉,所以B 不正确; 对于C 中,任取,x A y B ∈∈,可得,x y A B ∈, 因为A B 是优集,则,x y A B x y A B +∈-∈, 若x y B +∈,则()x x y y B =+-∈,此时 A B ⊆; 若x y A +∈,则()x x y y A =+-∈,此时 B A ⊆, 所以C 正确;对于D 中,A B 是优集,可得A B ⊆,则A B A =为优集; 或B A ⊆,则A B B =为优集,所以A B 是优集,所以D 正确. 故选:ACD. 【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点:1、紧扣新定义,首先分析新定义的特点,把心定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程中;2、用好集合的性质,解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.16.(2020·山东·高三专题练习)已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( ) A .1M B .2MC .3MD .4M【答案】BD 【分析】根据题意知,对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ,在图象上存在另一个点P ',使得OP OP '⊥,结合函数图象即可判断. 【详解】由题意知,对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ,在图象上存在另一个点P ',使得OP OP '⊥.在21y x =+的图象上,当P 点坐标为(0,1)时,不存在对应的点P ', 所以1M 不是“互垂点集”集合;对y = 所以在2M 中的任意点()11,P x y ,在2M 中存在另一个P ',使得OP OP '⊥, 所以2M 是“互垂点集”集合;在x y e =的图象上,当P 点坐标为(0,1)时,不存在对应的点P ', 所以3M 不是“互垂点集”集合;对sin 1y x =+的图象,将两坐标轴绕原点进行任意旋转,均与函数图象有交点, 所以所以4M 是“互垂点集”集合, 故选:BD . 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断,以及对新定义的理解与应用,意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力,属于较难题.第II 卷(非选择题)三、填空题17.(2021·上海市进才中学高三期中)进才中学1996年建校至今,有一同学选取其中8个年份组成集合{}1996,1997,2000,2002,2008,2010,2011,2014A =,设i j x x A ∈、,i j ≠,若方程i j x x k -=至少有六组不同的解,则实数k 的所有可能取值是_________.【答案】{}3,6,14 【分析】根据i j x x k -=,用列举法列举出集合A 中,从小到大8个数中(设两数的差为正),相邻两数,间隔一个数,间隔二个数,间隔三个数,间隔四个数,间隔五个数,间隔六个数的两数差,从中找出差数出现次数不低于3的差数即可. 【详解】集合A 中,从小到大8个数中,设两数的差为正: 则相邻两数的差:1,3,2,6,2,1,3; 间隔一个数的两数差:4,5,8,8,3,4; 间隔二个数的两数差:6,11,10,9,6; 间隔三个数的两数差:12,13,11,12; 间隔四个数的两数差:14,14,14; 间隔五个数的两数差:15,17; 间隔六个数的两数差:18;这28个差数中,3出现3次,6出现3次,14出现3次,其余都不超过2次, 故k 取值为:3,6,14时,方程i j x x k -=至少有六组不同的解, 所以k 的可能取值为:{}3,6,14, 故答案为:{}3,6,1418.(2021·北京·高三开学考试)记正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点组成的集合为S .若集合M S ⊆,满足i X ∀,j X M ∈,k X ∃,l X M ∈使得直线i j k l X X X X ⊥,则称M 是S 的“保垂直”子集. 给出下列三个结论:①集合{}1,,,A B C C 是S 的“保垂直”子集;②集合S 的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集;③若M 是S 的“保垂直”子集,且M 中含有5个元素,则M 中一定有4个点共面. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】② 【分析】首先弄清楚可取其中的5,6,7,8个点时,符合M 是S 的“保垂直”子集,且正方体的两条体对角线不垂直,然后根据定义逐项判断可得答案. 【详解】对于①,当取体对角线1AC 时,找不到与之垂直的直线,①错误; 对于②,当8个点任取6个点时,如图当M 集合中的6个点是由上底面四个点和下底面两个点;或者由上底面两个点和下底面四个点构成时,必有四点共面,根据正方体的性质,符合M 是S 的“保垂直”子集; 当M 集合中的6个点是由上底面三个点和下底面三个点构成时,如{}111,,,,,M B C A C A B =,则存在11,,,B A A B 四点共面,根据正方体的性质,符合M 是S 的“保垂直”子集; 如{}111,,,,,M B C A C A D =,取,B A 存在11BC A D ⊥,取,B C 存在11BC C D ⊥,取,C A 存在1AC BD ⊥,符合M 是S 的“保垂直”子集,所以②正确;对于③,举反例即可,如{}11,,,,M B C D C A =,③错误.故答案为:②.19.(2021·江苏扬州·模拟预测)对于有限数列{}n a ,定义集合()1212,110k i i i k a a a S k s s i i i k ⎧⎫+++⎪⎪==≤<<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,,其中k ∈Z 且110k ≤≤,若n a n =,则()3S 的所有元素之和为___________.【答案】660【分析】可得()3S 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭,得出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值,求出每个数字被选中的次数即可求解.【详解】()1231233,1103i i i a a a S s s i i i ⎧⎫++⎪⎪==≤<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭, 则()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值,1,2,,10每个被选出的次数是相同的,若()110i i ≤≤被选中,则共有29C 种选法,即1,2,,10每个被选出的次数为29C ,则()3S 的所有元素之和为()()29101109812102266033C ⨯+⨯⨯⋅+++==. 故答案为:660.【点睛】关键点睛:解决本题的关键是判断出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值,再求出每个数字被选中的次数.20.(2021·北京东城·一模)设A 是非空数集,若对任意,x y A ∈,都有,x y A xy A +∈∈,则称A 具有性质P .给出以下命题:①若A 具有性质P ,则A 可以是有限集;②若12,A A 具有性质P ,且12A A ≠∅,则12A A 具有性质P ; ③若12,A A 具有性质P ,则12A A 具有性质P ;④若A 具有性质P ,且A ≠R ,则A R 不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②④【分析】举特例判断①;利用性质P 的定义证明②即可;举反例说明③错误;利用反证法,结合举反例判断④.【详解】对于①,取集合{}0,1A =具有性质P ,故A 可以是有限集,故①正确;对于②,取12,x y A A ∈,则1x A ∈,2x A ∈,1y A ∈,2y A ∈,又12,A A 具有性质P ,11,x y A xy A ∴+∈∈,22,x y A xy A +∈∈,1212,x y xy A A A A ∴+∈∈,所以12A A 具有性质P ,故②正确;对于③,取{}1|2,A x x k k Z ==∈,{}2|3,A x x k k Z ==∈,12A ∈,23A ∈,但1223A A +∉,故③错误;对于④,假设A R 具有性质P ,即对任意,x y A ∈R ,都有,x y A xy A +∈∈R R ,即对任意,x y A ∉,都有,x y A xy A +∉∉,举反例{}|2,A x x k k Z ==∈,取1A ∉,3A ∉,但134A +=∈,故假设不成立,故④正确;故答案为:①②④【点睛】关键点点睛:本题考查集合新定义,解题的关键是对集合新定义的理解,及举反例,特例证明,考查学生的逻辑推理与特殊一般思想,属于基础题.。
2024年高考数学(新高考压轴卷)(全解全析)
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2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1.已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭,(){}22log 16B x y x ==-,则()R A B ⋂=ð()A .()1,4-B .[]1,4-C .(]1,5-D .()4,52.宋代是中国瓷器的黄金时代,涌现出了五大名窑:汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑.其中汝窑被认为是五大名窑之首.如图1,这是汝窑双耳罐,该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成,其直观图如图2所示.已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米,中间圆的直径是20厘米,上底面圆的直径是8厘米,高是14厘米,且上、下两圆台的高之比是3:4,则该汝窑双耳罐的体积是()A .1784π3B .1884π3C .2304π3D .2504π33.如图,左车道有2辆汽车,右车道有3辆汽车等待合流,则合流结束时汽车通过顺序共有()种.A .10B .20C .60D .120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置,第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车,第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车,从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ,右车辆汽车依次为123,,B B B ,则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置(保持12,A A 前后顺序不变),123,,B B B 安排在其余3个位置(保持123,,B B B 前后顺序不变),123,,B B B ,所以,合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选:A.4.已知等比数列{}n a 的各项均为负数,记其前n 项和为n S ,若6467813,8S S a a a -=-=-,则2a =()A .-8B .-16C .-32D .-485.已知圆C :22()1x y m +-=,直线l :()1210m x y m ++++=,则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是()A .11m -≤≤B .112m -≤≤C .10m -≤≤D .102m ≤≤6.已知函数2()log f x x =,则对任意实数,a b ,“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件故选:C.7.已知0.50.2a =,cos2b =,lg15c =,则()A .a b c <<B .c a b <<C .b c a <<D .b a c<<8.从椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线,其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ,离心率分别为12,e e ,2C 内含于1C ,椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ,若原点O 到直线l 的距离为1,则2212e e -的最大值为()A .12B .13C .15D .14二、多选题9.已知非零复数1z ,2z 在复平面内对应的点分别为1Z ,2Z ,O 为坐标原点,则下列说法正确的是()A .若1211z z -=-,则12=z z B .若1212z z z z +=-,则120OZ OZ ⋅=C .若1212z z z z +=-,则120z z ⋅=D .若1212z z z z +=+,则存在实数t ,使得21z tz =10.已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示,其中四边形AEFD是边长为B,C分别为AE,FD的中点,BD=)⊥A.BE CDB.BE与平面DCE所成角的余弦值为15C.四面体ABCD的内切球半径为30D.四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11.对于数列{}n a (N n a +∈),定义k b 为1a ,2a ,…,k a 中最大值(1,2,,k n =⋅⋅⋅)(N n +∈),把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2,2,3,7,6的“M 值数列”为2,2,3,7,7,则()A .若数列{}n a 是递减数列,则{}n b 为常数列B .若数列{}n a 是递增数列,则有n na b =C .满足{}n b 为2,3,3,5,5的所有数列{}n a 的个数为8D .若()1()2N n n a n -+=-∈,记n S 为{}n b 的前n 项和,则1001002(21)3S =-三、填空题12.已知向量()1,1,4a b == ,且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--,则a 与b的夹角为.13.已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=,22a =.设22log 7n n b a =-,则当5n ≥时,数列{}n b 的前n 项和n S =.14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点.若112AF F F ⊥,则C 的离心率为;线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ,则22BF DF =.5.【点睛】方法点睛:椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15.如图,在平面四边形ABCD ,已知1BC =,3cos 5BCD ∠=-.(1)若AC 平分BCD ∠,且2AB =,求AC 的长;(2)若45CBD ∠=︒,求CD 的长.16.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,ABC △是边长为2的正三角形,侧面11BB C C 是矩形,11AA A B =.(1)求证:三棱锥1A ABC -是正三棱锥;(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】(1)根据线面垂直的判定定理及性质定理,证明1A O ⊥平面ABC 即可;(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求线面角正弦即可.【详解】(1)分别取AB ,BC 中点D ,E ,连接CD ,AE 交于点O ,则点O 为正三角形ABC 的中心.因为11AA A B CA CB ==,得1CD AB AD AB ⊥⊥,,又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ,所以AB ⊥平面1A CD ,又1A O ⊂平面1A CD ,则1AB A O ⊥;取11B C 中点1E ,连接111A E E E ,,则四边形11AA E E 是平行四边形,因为侧面11BB C C 是矩形,所以1BC EE ⊥,又BC AE ⊥,又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ,所以BC ⊥平面11AA E E ,又1A O ⊂平面11AA E E ,则1BC A O ⊥;又AB BC B ⋂=,,AB BC ⊂平面ABC ,所以1A O ⊥平面ABC ,所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥.17.某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况,从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查,收集了他们参加公益劳动时间(单位:小时)分配情况等数据,并将样本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况,从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中,采用分层抽样的方法抽取了10人,现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ,求X 的分布列和期望;(2)以调查结果的频率估计概率,从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生,用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12](单位:小时)内的概率,其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时,写出k 的值.18.已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>)的左右焦点分别为12,F F ,C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1,双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程;(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点,连接1MF 交l 于点Q ,证明:直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛:求解直线过定点问题常用方法如下:(1)“特殊探路,一般证明(2)“一般推理,特殊求解”:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;(3)求证直线过定点()00,x y ,常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19.函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >,(1)令()()ln h x f x x x =-+,若()h x 有两个零点,求实数a 的取值范围;(2)证明:121x x <;(3)证明:当5a ≥时,以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点.(参考数据:0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈,)。
高考数学试卷压轴题及答案
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一、(20分)已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$,求以下各题:(1)求函数$f(x)$的极值;(2)求函数$f(x)$在区间$[-2, 2]$上的最大值和最小值。
答案:(1)首先,求函数$f(x)$的导数$f'(x)$:$$f'(x) = 3x^2 - 3$$令$f'(x) = 0$,解得$x = -1$和$x = 1$。
接下来,判断这两个极值点处的极值。
当$x < -1$时,$f'(x) > 0$,函数$f(x)$单调递增;当$-1 < x < 1$时,$f'(x) < 0$,函数$f(x)$单调递减;当$x > 1$时,$f'(x) > 0$,函数$f(x)$单调递增。
因此,$x = -1$是函数$f(x)$的极大值点,$x = 1$是函数$f(x)$的极小值点。
计算极大值和极小值:$$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = 3$$$$f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = -1$$所以,函数$f(x)$的极大值为3,极小值为-1。
(2)求函数$f(x)$在区间$[-2, 2]$上的最大值和最小值。
首先,计算区间端点处的函数值:$$f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = 13$$$$f(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = -1$$然后,比较区间端点处的函数值和极值点的函数值。
在区间$[-2, 2]$上,函数$f(x)$的最大值为13,最小值为-1。
综上,本题的答案为:(1)函数$f(x)$的极大值为3,极小值为-1;(2)函数$f(x)$在区间$[-2, 2]$上的最大值为13,最小值为-1。
高考数学压轴题系列训(共六套)(含答案及解析详解)
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高考数学压轴题系列训练一(含答案及解析详解)1.(12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ,它们在x 轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.(Ⅰ)求这三条曲线的方程;(Ⅱ)已知动直线l 过点()3,0P ,交抛物线于,A B 两点,是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出l '的方程;若不存在,说明理由.解:(Ⅰ)设抛物线方程为()220y px p =>,将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………(1分)由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………(2分) 对于椭圆,1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为:………………………………(4分)对于双曲线,1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴=-'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为:………………………………(6分)(Ⅱ)设AP 的中点为C ,l '的方程为:x a =,以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点,DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………(7分)()1112312322DC AP x CH a x a ∴==+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为: …………(12分)2.(14分)已知正项数列{}n a 中,16a =,点(n n A a 在抛物线21y x =+上;数列{}n b 中,点(),n n B n b 在过点()0,1,以方向向量为()1,2的直线上.(Ⅰ)求数列{}{},n n a b 的通项公式;(Ⅱ)若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数,问是否存在k N ∈,使()()274f k f k +=成立,若存在,求出k 值;若不存在,说明理由; (Ⅲ)对任意正整数n ,不等式1120111111n n n ab b b +≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立,求正数a 的取值范围.解:(Ⅰ)将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………(4分)(Ⅱ)()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………(5分)()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==当为偶数时,为奇数, 当为奇数时,为偶数, 舍去综上,存在唯一的符合条件。
极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
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压轴题12极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题题型/考向一:极坐标与参数方程题型/考向二:不等式选讲○热○点○题○型一极坐标与参数方程1.极坐标系:极径OM =ρ,即M 点与极点O 间的距离极角=θ∠XOM ,即以极轴OX 为始边,OM 为终边的角2.极坐标与直角坐标的互化例如()1-3-,,则()()33=3-1-=2=1-+3-=22θρtan ,又()1-3-, 在第三象限,所以πθ34=,⎪⎭⎫⎝⎛342∴π,3.常见曲线的极坐标方程4.常见曲线的参数方程①圆222()()x a y b r -+-=的参数方程是:cos sin ()x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数②椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是:cos ,()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数③过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为:00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数5:直线的标准参数方程中t的几何意义过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为:00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数00(,)P x y 点所对应的参数为0t =0,记直线l 与任意曲线相交于,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ,则①线段AB 的中点O 所对应的参数为t =2+21t t ,如果线段AB 的中点恰好是P ,则有0=+21t t ②12AB t t =-=,③1212121212,0t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅>⎪+=+=⎨-=⋅<⎪⎩,④1212121212,00t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅<⎪-=-=⎨-=⋅>⎪⎩⑤1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅注:①将直线的参数方程代入曲线的方程得到关于t 的二次方程,则由韦达定理得出:abt t -=+21、ac t t =216、直线一般式:过定点00(,)P x y 斜率αtan =k =ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)①若1=+22b a ,即为标准式,此时参数t 具备几何意义②若1≠+22b a ,参数t 不具备标准式中t 的几何意义.标准式与一般式的联系与互化:直线的普通参数方程⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)化为直线的标准参数方程的方法是将直线的方向向量化为直线的单位向量,即是化为参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=220220t b a b y y t b a a x x (t 为参数)7、经过极点或原点的三种直线方程:①普通方程:②极坐标方程:③参数方程:1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为41,535x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),抛物线C的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.(1)求直线l 和抛物线C 的直角坐标方程;(2)求直线l 被抛物线C 截得的弦长.2.在平面直角标系xOy 中,曲M 的参数方程为2sin y α⎧⎨=⎩(α为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求曲线M 的普通方程;(2)若D 为曲线M 上一动点,求D 到l 距离的取值范围.3.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为y α=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求直线l 的一般方程和曲线C 的标准方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,直线l 与x 轴相交于点P ,求PA PB ⋅的值.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22sin y ϕ⎨=+⎩(其中ϕ为参数).以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l πcos 44θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程;(2)设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,点P 是曲线C 上的一动点,求PAB 面积的最大值.5.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 过点()1,0M ,且倾斜角为π4,以坐标原点为极点,以x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的参数方程是为2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ参数).(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程;(2)已知曲线C 与直线l 相交于A ,B 两点,则AB 的值.6.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩(α为参数),以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为πcos 6ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)P 为l 上一点,过P 作曲线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,若3APB π∠≥,求点P 横坐标的取值范围.1sin ,2APO ∴∠≥∴在Rt OAP △中,||2||22OP OA ∴≤=,22(323)22x x ∴+-≤,两边平方得解得353522x -+≤≤,3⎡-2240x y x +-=,以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程;(2)设直线l 交曲线C 于两点A ,B ,求AOB ∠的大小.直线l 的参数方程为1cos ,1sin .x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数).(1)若π4ϕ=,求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)过点()0,3P -向直线l 作垂线,垂足为Q ,说明点Q 的轨迹为何种曲线.9.在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1sin y ϕ⎧⎨=+⎩(ϕ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为ρθ=.(1)求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程;(2)直线l :()6πθρ=∈R 与曲线1C ,2C 分别交于M 、N 两点(异于极点O ),P 为2C 上的动点,求△PMN 面积的最大值.y =⎪⎩极点,x 轴为正半轴建立极坐标,椭圆C 的极坐标方程为2222cos 2sin 4ρθρθ+=,其右焦点为F ,直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.(1)求||||FA FB +的值;(2)若点P 是椭圆上任意一点,求PAB 的面积最大值.83○热○点○题○型二不等式选讲【考点1】基本不等式基本不等式的常见结论:(1)222a b ab +≥(,a b R ∈),当且仅当a b =时,等号成立;(2)2a b ab +≥(,0a b >),当且仅当a b =时,等号成立;(3)33a b c abc ++≥a b c ==时,等号成立(4)2b a a b+≥(,a b 同号,a b =时取等号。
历届高考数学压轴题汇总及答案
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历届高考数学压轴题汇总及答案1.2019年高考数学上海卷:已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\in(0,\pi]$,数列$\{b_n\}$满足$b_n=\sin(a_n)$,集合$S=\{x|x=b_n,n\in N^*\}$。
1) 若$a_1=0,d=\frac{\pi}{6}$,求集合$S$的元素个数;2) 若$a_1=\frac{2\pi}{3}$,求集合$S$;3) 若集合$S$有三个元素$b_{n+T}=b_n$,其中$T$是不超过$7$的正整数,求$T$的所有可能值。
2.2019年高考数学浙江卷:已知实数$a\neq0$,函数$f(x)=a\ln x+x+1$,$x>0$。
1) 当$a=-1$时,求函数$f(x)$的单调区间;2) 对任意$x\in[\frac{3}{4},+\infty)$,有$f(x)\leq\frac{1}{2}e^{2a}$,求$a$的取值范围。
3.2019年高考数学江苏卷:设$(1+x)=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$,$n^2,n\in N^*$,已知$a_3=2a_2a_4$。
1) 求$n$的值;2) 设$(1+3x)=a+b\sqrt{3}$,其中$a,b\in N^*$,求$a^2-3b^2$的值。
4.2018年高考数学上海卷:给定无穷数列$\{a_n\}$,若无穷数列$\{b_n\}$满足对任意$n\in N^*$,都有$b_n-a_n\leq1$,则称$\{b_n\}$与$\{a_n\}$“接近”。
1) 设$\{a_n\}$是首项为$1$,公比为$\frac{1}{2}$的等比数列,构造一个与$\{a_n\}$接近的数列$\{b_n\}$,并说明理由;2) 设数列$\{a_n\}$的前四项为:$a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8$,$\{b_n\}$是一个与$\{a_n\}$接近的数列,记集合$M=\{x|x=b_i,i=1,2,3,4\}$,求$M$中元素的个数$m$;3) 已知$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列,若存在数列$\{b_n\}$满足:$\{b_n\}$与$\{a_n\}$接近,且在$1$的等比数列,$b_n=a_{n+1}+1$,$n\in N^*$,判断数列$\{b_n\}$是否满足$b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$中至少有$100$个为正数,求$d$的取值范围。
2023-2024学年高考数学专项复习——压轴题(附答案)
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决胜3.已知函数,曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值:,a b (2)求在上的最值;()f x []0,1(3)证明:当时,.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4.已知函数,.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若,求函数的单调区间;1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立,求的取值范围;x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且,证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5.椭圆的离心率是,点是椭圆上一点,过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程;E (2)求面积的最大值;AOB (3)在平面直角坐标系中,是否存在与点不同的定点,使恒成立?存在,xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标;若不存在,请说明理由.Q 6.已知函数,.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时,0a =(i )求曲线在点处的切线方程;()y f x =()()22f ,(ii )求的单调区间及在区间上的最值;()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对,恒成立,求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值;,t k (2)如图1,连接AC ,AP ,PC ,若△APC 是以(3)如图2,若点P 在直线BC 上方的抛物线上,过点的最大值.12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程;22y x =(2)【技能训练】如图2所示,已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6,求点P 的坐218y x =标;(3)【能力提升】如图3所示,已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点,若求a 的值;、、A B C 24BC BF AF ==,(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:点C 将一条线段分为两段和,使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项,即满足:,后人把这个数称为“黄金分割”,把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示,抛物线的焦点,准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点,E 为线段的黄金分割点,点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时,求出的面积值.2MH MF=HME 10.已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为,焦距为4.2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程;C (2)A 为双曲线的右顶点,为双曲线上异于点A 的两点,且.C ,M N C AM AN ⊥①证明:直线过定点;MN ②若在双曲线的同一支上,求的面积的最小值.,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明:(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线,你能得到类似的结论吗?13.对于数集(为给定的正整数),其中,如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意,都存在,使得,则称X 具有性质P .,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若,且集合具有性质P ,求x 的值;102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ,求证:;且若成立,则;1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ,且,求数列的通项公式.2023n x =12,,,n x x x 14.已知,是的导函数,其中.()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性;()f x '(2)设,与x 轴负半轴的交点为点P ,在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为.()y h x =①求证:对于任意的实数x ,都有;()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根,且,证明:()()0g x t t =>12,x x 12x x <.()2112e 11e t x x --≤+-15.在平面直角坐标系中,一动圆经过点且与直线相切,设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ,P 是曲线K 上一点.(1)求曲线K 的方程;(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点,若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点.求的值;||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上,的内切圆的方程为,求面积的最小值.PDE △()2211x y -+=PDE △16.已知椭圆C :,四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点,若直线与直线的斜率的和为,2P A 2P B 1-证明:l 过定点.18.给定正整数k ,m ,其中,如果有限数列同时满足下列两个条件.则称2m k ≤≤{}n a 为数列.记数列的项数的最小值为.{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①:的每一项都属于集合;{}n a {}1,2,,k 条件②:从集合中任取m 个不同的数排成一列,得到的数列都是的子列.{}1,2,,k {}n a 注:从中选取第项、第项、…、第项()形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列.325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列,是否为数列.并说明理由!(33)-,数列;1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列.2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值;(),2G k (3)求证.234(,)2k k G k k +-≥答案:1.(1)极大值为,无极小值2e (2)证明见解析【分析】(1)求导,根据导函数的符号结合极值的定义即可得解;(2)构造函数,利用导数求出函数的最小值,再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为,通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】(1)的定义域为,,()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时,,当时,,10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增,在上单调递减,()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值,()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为,无极小值;()f x 2e (2)设,()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一:则,()2ln 1F x x x '=--令,,()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时,,单调递减,当时,,单调递增,12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又,,,(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在,使得,即.0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时,,即,单调递减,01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时,,即,单调递增,0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时,在处取得极小值,即为最小值,1x >()F x 0x x =故,22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设,因为,2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减,2000122()p x x x =-+(2,4)故,0()(4)0p x p >=所以当时,,即.1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二:要证,即证,()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为,所以当时,,单调递减,()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时,,单调递增,()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以,所以,即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛:利用导数证明不等式问题,方法如下:(1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明()()f xg x >()()f xg x <(或),进而构造辅助函数;()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.2.(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】(1)利用导数求得的最小值.()g x (2)根据(1)的结论得到,利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭(3)由不等式分离参数,利用构造函数法,结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】(1)依题意,,()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以,()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->,所以在区间上单调递减;()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增,()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=(2)要证明:对任意正整数,都有,(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明,22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明,222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由(1)得,即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令,所以, *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数,都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (3)若不等式恒成立,此时,ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立,ln 21x x x x x a x -+-≤令,()ln 21xx x x x h x x -+-=令,()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增,()u x[)0,∞+所以,当时等号成立,()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以,()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立,所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤:求导:对函数进行求导,得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点:解方程,找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点,可能是函数的极值点(包括最大值和最小值),检查每个临界点以及区间的端点,并确认它们是否对应于函数的最值.3.(1),1a =e 2b =-(2);()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】(1)利用切点和斜率列方程组,由此求得.,a b (2)利用多次求导的方法求得在区间上的单调性,由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1(3)先证明时,,再结合(2)转化为,从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】(1),()e 2x f x ax'=-∴,解得:,;()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-(2)由(1)得:,()2e xf x x =-,令,则,()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数,令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴,也即在上单调递减,()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增,()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴,∴在递增,()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴;;()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==(3)∵,由(2)得过,()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是,()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时,的图象恒在切线的上方,0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时,,设,,0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴,∴令,()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-,()e 2x m x '=-由(2)得:在递减,在递增,()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵,,,∴,()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在,使得,()00,1x ∈()0g x '=∴时,,时,,()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增,在递减,在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又,∴当且仅当时取“”,()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故,,由(2)得:,故,()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴,当且仅当时取“=”,∴,1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即,∴,()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立,当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题,关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性,如果一次求导无法求得函数的单调性时,可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立,如果无法一步到位的证明,可以先证明一个中间不等式,然后再证得原不等式成立.4.(1)单调增区间为,单调减区间为;()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】(1)求导,再根据导函数的符号即可得解;(2)分离参数可得,构造函数,利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解;(3)由,得,则,要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+,即证,即证,构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<,证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】(1)当时,,1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>,由,得,由,得,()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为,单调减区间为;()f x ()0,1()1,+∞(2),()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令,ln (),21x x g x x x =≥-则,21ln ()(1)x xg x x --'=-令,则,()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由,得,由,得,()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增,在递减,,()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==,所以,()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增,,()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=,(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围;a ∴(],2ln 2-∞(3),221,1b a b a <-+∴-<- 又,在上递增,11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以,2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明:,222e 112ln b b b --+<-即证,22212ln 0ebb b +-<令,则,21x b =>12ln 0e x x x +-<即,(2ln )e 1xx x -⋅<-令,则,()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令,则,()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减,()x ϕ()1,+∞,()(1)0x ϕϕ∴<=在递减,()()0,h x h x '∴<(1,)+∞,()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛:利用导数证明不等式问题,方法如下:(1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明()()f xg x >()()f xg x <(或),进而构造辅助函数;()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.5.(1)22142x y +=(2)2(3)存在,.()0,2Q 【分析】(1)由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b (2)设直线为与椭圆方程联立,将表达为的函数,由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.(3)先讨论直线水平与竖直情况,求出,设点关于轴的对称点,证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】(1)根据题意,得,解得,椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=(2)依题意,设,直线的斜率显然存在,()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为,联立,消去,得,l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点,故恒成立,,l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故,()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令,所以,当且仅当,即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号,综上可知:面积的最大值为.AOB 2(3)当平行于轴时,设直线与椭圆相交于两点,如果存在点满足条件,l x ,C D Q 则有,即,所以点在轴上,可设的坐标为;||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时,设直线与椭圆相交于两点,如果存在点满足条件,l x ,M N Q 则有,即,解得或,||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件,则点的坐标为;P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时,设直线方程为,l x x l 1y kx =+由(2)知,12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为,B y B '()22,x y -又,,11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛:直线与椭圆0Ax By C ++=时,取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6.(1)(i );(322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为,()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即;322ln 220x y +--=(ii ),,()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞,()211x f x x x x -'=-+=令,解得,令,解得,()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时,,1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又,,221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中,()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故,()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为,单调递减区间为;()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为,最小值为;()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+(2),()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对,恒成立,()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立,ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令,则,()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时,,单调递增,()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时,,单调递减,()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中,,当时,恒成立,()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下:()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又,故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上,()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点,即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点,3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴,22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴,PN x ⊥∴,//PN OC ∴,PNQ OCB ∠=∠∴,Rt Rt PQN BOC ∴,PN NQ PQ BC OC OB ==∵,8,6,10OB OC BC ===∴,34,55QN PN PQ PN==∵轴,NE y ⊥∴轴,//NE x ∴,CNE CBO ∴,5544CN EN m ==∴,2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时,取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛:熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8.(1)详见解析;(2)①具有性质;理由见解析;②P 1346【分析】(1)当时,先求得集合,由题中所给新定义直接判断即可;10n =A (2)当时,先求得集合, 1010n =A ①根据,任取,其中,可得,{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证,即可说明集合具有性质;P T P ②设集合有个元素,由(1)可知,任给,,则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过,从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过,然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式,由此求得的最大值.P k【详解】(1)当时,,10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质,{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数,10m 都可以找到该集合中的两个元素与,使得成立,110b =210b m =+12||b b m -=集合具有性质,{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取,对于该集合中任一元素,110m =<,(),都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠(2)当时,集合,1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质,那么集合一定具有性质.S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为,任取,其中.{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为,所以.S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而,即,所以.0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质,可知存在不大于的正整数,S P 1010m 使得对中的任意一对元素,都有.s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数,从集合中任取一对元素,m {}2021|T x x S =-∈112021t x -=,其中,则有.222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠=所以,集合具有性质P ;{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素,由(1)可知,若集合具有性质,S k S P 那么集合一定具有性质.{}2021|T x x S =-∈P 任给,,则与中必有一个不超过.x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过.S T 1010不妨设中有个元素不超过.S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质,可知存在正整数.S P 1010m ≤使得对中任意两个元素,都有.S 12,s s 12s s m -≠所以一定有.12,,,t b m b m b m S +++∉ 又,故.100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中,A t S 因此,所以,得.20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时,取,{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素,都有,即集合具有性质.S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素,因此,集合元素个数的最大值为.1346S 1346解新定义题型的步骤:(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法,解决题中需要解决的问题.9.(1),10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】(1)根据焦点和准线方程的定义求解即可;(2)先求出点P 的纵坐标为4,然后代入到抛物线解析式中求解即可;(3)如图所示,过点B 作轴于D ,过点A 作轴于E ,证明,推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出,则,点B 的纵坐标为,从而求出,证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =,即可求出点A 的坐标为,再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可;(4)如图,当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候,过点M 作于N ,则,MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形,得到,设点M 的坐标为,则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ,过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候,过点∵在中,Rt MNH △sin MHN ∠∴,∴是等腰直角三角形,45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立,利用韦达定理及题目条件可得,后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标;②结合①及图形可得都在左支上,则可得,后由图象可得,M N 213m <,后通过令,结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】(1)设双曲线的焦距为,C 2c 由题意有解得.2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为;C 2213y x -=(2)①证明:设直线的方程为,点的坐标分别为,MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由(1)可知点A 的坐标为,()1,0联立方程消去后整理为,2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得,2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--,()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--,()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由,()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++,()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由,可得,有或,AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时,直线的方程为,过点,不合题意,舍去;1t =-MN 1my x =-()1,0当时,直线的方程为,过点,符合题意,2t =MN 2my x =+()2,0-②由①,设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上,可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛:求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式,设出直线方程,通过题一方面:由以上分析可知,设椭圆方程为一方面:同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=,()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面:同理设抛物线方程为(22x p y =,()212x p k x n =+化简并整理得,由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-(2)构造,故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意,,恒成立”,换元后得到(),分,和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况,求出实数k 的取值范围.1k <【详解】(1)由条件①知,当时,有,即在R 上单调递增.12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②,可知存在唯一的,使得,从而有.0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立,所以,R x ∀∈()00093x x f x x --=所以,即.0001393x x x --=0009313x x x ++=设,因为,所以单调递增.()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又,所以.()113ϕ=01x =所以;()931x x f x =++(2)构造函数,()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的,,,1x 2x 3R x ∈均存在以,,为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意,,恒成立”.()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又,令,()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时,即时取等号,91x=0x =则(),()()11k g x q t t -==+3t ≥当时,,因为且,1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以,解得,223k +≤4k ≤即;14k <≤当时,,满足条件;1k =()()()1231g x g x g x ===当时,,因为且,1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以,即.2413k +≤112k -≤<综上,实数k 的取值范围是.1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路:①利用换元思想,设出内层函数;②分别作出内层函数与外层函数的图象,分别探讨内外函数的零点个数或范围;③内外层函数相结合确定函数交点个数,即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13.(1)14x =(2)证明过程见解析(3),()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】(1)由题意转化为对于,都存在,使得,其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,选取,,通过分析求出;,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =(2)取,,推理出中有1个为,则另一个为1,即,()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设,其中,则,推导出矛盾,得到;1k x =1k n <<101n x x <<<11x =(3)由(2)可得,设,,则有,记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-,问题转化为X 具有性质P ,当且仅当集合关于原点对称,得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ,共个数,由对称性可知也有个数,(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到,得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列,设出公比为,结合求出公比,求出通项公式.q 2023n x =【详解】(1)对任意,都存在,使得,,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于,都存在,使得,其中,(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ,11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取,,()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有,12x d -+=假设,则有,解得,这与矛盾,d x =102x x -+=0x =102x <<假设,则有,解得,这与矛盾,1d =-12x --=12x =-102x <<假设,则有,解得,这与矛盾,1d =12x -+=12x =102x <<假设,则有,解得,满足,12d =14x -+=14x =102x <<故;14x =(2)取,,()()11,,m a b x x == (),n c d =则,()10c d x +=因为,所以,即异号,120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为,则另一个为1,即,,c d 1-1X ∈假设,其中,则,1k x =1k n <<101n x x <<<选取,,则有,()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号,从而之中恰有一个为,,s t ,s t 1-若,则,矛盾,1s =-11n x tx t x =>≥若,则,矛盾,1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立,所以;11x =(3)若X 具有性质P ,且,20231n x =>由(2)可得,11x =设,,则有,()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记,则X 具有性质P ,当且仅当集合关于原点对称,,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数,1-X 故,共个数,(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数,()0,B +∞ ()1n -由于,已经有个数,123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵:123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到,123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有,123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列,设公比为,12,,,n x x x q 由于,故,解得,2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为,.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题,命题新颖,且存在知识点交叉,常常会和函数或数列相结合,很好的考虑了知识迁移,综合运用能力,对于此类问题,一定要解读出题干中的信息,正确理解问题的本质,转化为熟悉的问题来进行解决,要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上,创造性的解决问题.14.(1)答案见解析(2)①证明见解析;②证明见解析【分析】(1)求出的导数,结合解不等式可得答案;()e 2x f x ax'=-(2)①,利用导数的几何意义求得的表达式,由此构造函数,()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性,求其最小值即可证明结论;②设的根为,求得其表达式,()h x t=1x '并利用函数单调性推出,设曲线在点处的切线方程为,设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为,推出,从而,即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】(1)由题意得,令,则,()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时,,函数在上单调递增;0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时,,得,,得,0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减,在上单调递增.()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞(2)①证明:由(1)可知,令,有或,()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为.()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为,()1,0P -()y h x =则,令,则,()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以,.()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时,若,,1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若,令,则,()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增,.()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故,在上单调递减,()0F x '<()F x (),1-∞-当时,由知在时单调递增,1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞,在上单调递增,()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时,2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设,∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意,即,则,0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为,所以,2002y x =0022x b c x -=-所以,()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当,即时上式取等号,00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8.PDE △方法点睛:圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法:(1)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用几何法来解决;(2)代数法,若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值或范围.16.(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在,7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】(1)根据椭圆的对称性,得到三点在椭圆C 上.把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ,求出,即可求出椭圆C 的方程;22,a b (2)当斜率不存在时,不满足;当斜率存在时,设,与椭圆方程联立,利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系,结合已知条件得到,能证明直线l 过定点;21t k =--()2,1-(3)利用点差法求出直线PQ 的斜率,从而可得直线PQ 的方程,与抛物线方程联14PQ k t =立,由,及点G 在椭圆内部,可求得的取值范围,设直线TD 的方程为,0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立,由根与系数的关系及,可求得m 的取值范围,进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围.2l【详解】(1)根据椭圆的对称性,两点必在椭圆C 上,34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1,4P ∴椭圆必不过,()11,1P ∴三点在椭圆C 上.()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ,()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得,解得,222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为.2214x y +=(2)证明:①当斜率不存在时,设,,:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为,2P A 2P B 1-∴,221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m =2,此时l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.②当斜率存在时,设,,,:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立,消去y 整理得,22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则,,122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又,∴,此时,1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ,使得成立,0∆>∴直线l 的方程为,即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点.()2,1-(3)∵点P ,Q 在椭圆上,所以,,2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得,()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点,()1,G t -∴,2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率,()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为,与抛物线方程联立消去x 可得,()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知,∴,()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部,可知,∴,故,2114t +<234t <213124t <<设,,由图可知,,221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴,()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时,此时直线TD 与抛物线只有1个交点,不合要求,舍去,设直线TD 的方程为,与抛物线方程联立,消去x 可得,()10x my m =+≠2440y my --=∴,34344,4y y m y y +==-由,可知,即,11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴,即,1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴,()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵,()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴,解得,即,()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率.2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛:处理定点问题的思路:(1)确定题目中的核心变量(此处设为),k (2)利用条件找到与过定点的曲线的联系,得到有关与的等式,k (),0F x y =k ,x y (3)所谓定点,是指存在一个特殊的点,使得无论的值如何变化,等式恒成立,()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形,直至找到,k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式,则考虑将含的式子归为一组,变形为“”的形式,让括号中式k ()k ⋅子等于0,求出定点;②若等式的形式是分式,一方面可考虑让分子等于0,一方面考虑分子和分母为倍数关系,可消去变为常数.k 17.(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】(1)由题意,将代入函数的解析式中,对函数进行求导,得到1m =()f x ()f x 和,代入切线方程中即可求解;()1f '()1f (2)得到函数的解析式,对进行求导,利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简,利用换元法,令,,可得,12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据,求出的范围,构造函数,对进行求导,利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值,进而即可求解.()h t 【详解】(1)已知(为常数),函数定义域为,()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时,函数,1m =()ln f x x x =-可得,此时,又,11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为,即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-(2)因为,函数定义域为,22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得,222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根,即为方程的两根,()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为,所以,由韦达定理得,,322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又,所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-,11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令,,所以,12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为,整理得,2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为,则,121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以,得,12x x 212212=x x m x x ++可得,因为,212t m t ++=322m ≥所以,,152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得 或,则,12t ≤2t ≥102t <≤不妨设,函数定义域为,2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得,22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减,()h t 此时,min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为.12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程,关键点有两点,第一是切线的斜率,第二是切点。
2024年高考数学专项突破数列大题压轴练(解析版)
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数列大题压轴练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)1.(2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,n T 为数列{}n S 的前n 项和,已知2n n S T +=.(1)求证:数列{}n S 是等比数列;(2)求数列{}n na 的前n 项和n A .2.(2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测)已知数列{}n a 中,11a =,214a =,且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-.(1)设*111()n n b n N a +=-∈,试用n b 表示1n b +,并求{}n b 的通项公式;(2)设*1sin 3()cos cos n n n n c N b b +=∈,求数列{}n c 的前n 项和n S .3.(2023·湖南株洲·统考一模)数列{}n a 满足13a =,212n n n a a a +-=.(1)若21n bn a =+,求证:{}n b 是等比数列.(2)若1n nnc b =+,{}n c 的前n 项和为n T ,求满足100n T <的最大整数n .4.(2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测)已知数列{}n a 满足21n n n a xa ya ++=+()N n +∈,11a =,22a =,n S 为数列{}n a 前n 项和.(1)若2x =,1y =-,求n S 的通项公式;(2)若1x y ==,设n T 为n a 前n 项平方和,证明:214n n n T S S -<恒成立.5.(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模)已知数列{}n a 满足13a =,且12,1,n n na n a a n +⎧=⎨-⎩是偶数是奇数.(1)设221n n n b a a -=+,证明:{}3n b -是等比数列;(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,求使得不等式2022n S >成立的n 的最小值.6.(2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足11a =,23a =,2132n n n a a a ++=-,数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++= .2024年高考数学专项突破数列大题压轴练(解析版)(1)求出{}n a ,{}n c 的通项公式;(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ,求证:516<n T .7.(2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足36S =,2n n S n na =+,*n ∈N .(1)求{}n a 的通项公式;(2)数列{}n b ,{}n c ,{}n d 满足()21211n n n a b a +=+-,12121n n n n n c b b b b --= ,且2nn nc d n =⋅,求数列{}n d 的前n 项和n T .8.(2023·广东·校联考模拟预测)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若n n b na =,且数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:当3n ≥时,()311421n n n T n +≤+--.9.(2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习)对于项数为m 的数列{}n a ,若满足:121m a a a ≤<<< ,且对任意1i j m ≤≤≤,i j a a ⋅与j ia a 中至少有一个是{}n a 中的项,则称{}n a 具有性质P .(1)如果数列1a ,2a ,3a ,4a 具有性质P ,求证:11a =,423a a a =⋅;(2)如果数列{}n a 具有性质P ,且项数为大于等于5的奇数,试判断{}n a 是否为等比数列?并说明理由.10.(2022秋·山东青岛·高三统考期末)记数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,______.给出下列两个条件:条件①:数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列;条件②:1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个,补充在上面的横线上,完成下列两问的解答:(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ,12b a =,23b a =,14n n n T b b +=⋅,求211(1)ni i i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.11.(2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测)已知数列{}n a 满足0n a ≠,*N n ∈.(1)若2210n n n a a ka ++=>且0n a >.(ⅰ)当{}lg n a 成等差数列时,求k 的值;(ⅱ)当2k =且11a =,4a =2a 及n a 的通项公式.(2)若21312n n n n a a a a +++=-,11a =-,20a <,[]34,8a ∈.设n S 是{}n a 的前n 项之和,求2020S 的最大值.12.(2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习)已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭(n *∈N ),数列{}n b 满足2nn n b a =.(1)求证:数列{}n b 是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列{}n c 满足()()131n nn n a c n λ--=-(λ为非零整数,n *∈N ),问是否存在整数λ,使得对任意n *∈N ,都有1n n c c +>.13.(2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,25a =,14n n n S S a +=++;{}n b 是等比数列,29b =,1330bb +=,公比1q >.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)数列{}n a 和{}n b 的所有项分别构成集合A ,B ,将A B ⋃的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ,求2012320T c c c c =++++ .14.(2022·浙江·模拟预测)已知正项数列{}n a 满足11a =,当2n ≥时,22121n n a a n --=-,{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ;(2)数列{}n b 是等比数列,q 为数列{}n b 的公比,且13b q a ==,记21n n n nS a c b-+=,证明:122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<15.(2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12a =,132n n S S +=+,数列{}n b 满足()1122,n n n b b b n++==,其中*n ∈N .(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数,使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列,求数列{}n n b c 的前n 项和nT16.(2023·辽宁朝阳·校联考一模)已知数列{}n a 的前n 项和为()+N 1=∈+n nS n n ,数列{}n b 满足11b =,且()1+N 2+=∈+nn n b b n b (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列{}n b 的通项公式;(3)对于N n +∈,试比较1n b +与n a 的大小.17.(2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知{}12,32n n a a S =-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式;(2)若{}11,n n n n n a b b a a ++=的前n 项和为n T ,求证:14n T <.18.(2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习)已知正项数列{}n a满足)1,2n n a a n n -+-∈≥N ,11a =.数列{}n b 满足各项均不为0,14b =,其前n项的乘积112n n n T b -+=⋅.(1)求数列{}n a 通项公式;(2)设2log n n c b =,求数列{}n c 的通项公式;(3)记数列(){}1nn a -的前2m 项的和2m S ,求使得不等式21210m S c c c ≥+++L 成立的正整数m 的最小值.19.(2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中)已知数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+,112a =,232a =.(1)证明:数列{}1n n a a ++为等比数列,求{}n a 的通项公式.(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()*127N 4n S n n λ⎛⎫+≥-∈ ⎪⎝⎭恒成立,求实数λ的取值范围.20.(2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ,且112n n na T ++=(1)求数列{}{},n n ab 的通项公式;(2)数列{}n c 满足cos ,,n n na n n cb n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数,求21ni i c =∑.21.(2023秋·广东·高三校联考期末)已知数列1:A a ,2a ,…,n a ,…满足10a =,11i i a a +=+(1,2,,,i n = ),数列A 的前n 项和记为n S .(1)写出3S 的最大值和最小值;(2)是否存在数列A ,使得20221011S =如果存在,写出此时2023a 的值;如果不存在,说明理由.22.(2023秋·山东日照·高三校联考期末)已知数列{}n a 的各项均为非零实数,其前n 项和为(0)n n S S ≠,且21n n n n S a S a ++⋅=⋅.(1)若32S =,求3a 的值;(2)若1a a =,20232023a a =,求证:数列{}n a 是等差数列,并求其前n 项和.23.(2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末)已知数列{}{},n n a b 满足222,1n n n n n a b a b +=-=.(1)求{}{},n n a b 的通项公式;(2)记数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,证明:11121n n S n +≤-+-.24.(2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知数列{}n a 各项都不为0,12a =,24a =,{}n a 的前n 项和为n S ,且满足14n n n a a S +=.(1)求{}n a 的通项公式;(2)若12311231C C CC C n nn nnnn nn nb a a a a a --=+++⋅⋅⋅++,求数列112n n n n b b b ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25.(2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习)已知数列{}n a 中11a =,其前n 项和记为n S ,且满足()()1232n n S S S n S ++⋅⋅⋅+=+.(1)求数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的通项公式;(2)设无穷数列1b ,2b ,…n b ,…对任意自然数m 和n ,不等式1m n m n nb b b m a +--<+均成立,证明:数列{}n b 是等差数列.26.(2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测)在如图所示的平面四边形ABCD 中,ABD △的面积是CBD △面积的两倍,又数列{}n a 满足12a =,当2n ≥时,()()1122n n n n BD a BA a BC --=++- ,记2nn n a b =.(1)求数列{}n b 的通项公式;(2)求证:2221211154n b b b +++< .27.(2022秋·湖北·高三校联考开学考试)已知数列{}n a 满足11a =,1n a +=中*N n ∈)(1)判断并证明数列{}n a 的单调性;(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ,证明:20213522S <<.28.(2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习)定义:对于任意一个有穷数列,在其每相邻的两项间都插入这两项的和,得到的新数列称为一阶和数列,如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和,得到二阶和数列,以此类推可以得到n 阶和数列,如{}2,4的一阶和数列是{}2,6,4,设n 阶和数列各项和为n S .(1)试求数列{}2,4的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ,并猜想{}n S 的通项公式(无需证明);(2)设()()()()331321log 3log 3n n n n S n b S S +-+=-⋅-,{}n b 的前m 项和m T ,若20252m T >,求m 的最小值29.(2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习)已知数列{}1,1,n n a a S =为数列{}n a 的前n 项和,且1(2)3n n S n a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求证:sin 0n n a a -<;(3)证明:212311111sin 1sin 1sin 1sin e n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .30.(2023·浙江温州·统考二模)设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和,满足222n n n S a a =+-.(1)求{}n a 的通项公式;(2)若不等式214na n a t ⎛⎫+ ⎪+⎝≥⎭对任意正整数n 都成立,求实数t 的取值范围;(3)设3ln(1)4n a n n b e +=(其中e 是自然对数的底数),求证:123426n n b b b b b b ++++<….数列大题压轴练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)1.(2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测)记n S为数列{}n a的前n项和,n T为S T+=.数列{}n S的前n项和,已知2n n(1)求证:数列{}n S是等比数列;(2)求数列{}n na的前n项和n A.2.(2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测)已知数列{}n a 中,11a =,24a =,且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-.(1)设*111()n n b n N a +=-∈,试用n b 表示1n b +,并求{}n b 的通项公式;(2)设*sin 3()cos cos n n c N b b =∈,求数列{}n c 的前n 项和n S .3.(2023·湖南株洲·统考一模)数列{}n a 满足13a =,212n n n a a a +-=.(1)若21n bn a =+,求证:{}n b 是等比数列.(2)若1nnc b =+,{}n c 的前n 项和为n T ,求满足100n T <的最大整数n .4.(2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测)已知数列{}n a 满足21n n n a xa ya ++=+()N n +∈,11a =,22a =,n S 为数列{}n a 前n 项和.(1)若2x =,1y =-,求n S 的通项公式;(2)若1x y ==,设n T 为n a 前n 项平方和,证明:214n n n T S S -<恒成立.5.(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模)已知数列{}n a 满足13a =,且12,1,n n na n a a n +⎧=⎨-⎩是偶数是奇数.(1)设221n n n b a a -=+,证明:{}3n b -是等比数列;S>成立的n的最小值.(2)设数列{}n a的前n项和为n S,求使得不等式2022n6.(2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足11a =,23a =,2132n n n a a a ++=-,数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++= .(1)求出{}n a ,{}n c 的通项公式;(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ,求证:516<n T .7.(2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足36S =,2n n S n na =+,*n ∈N .(1)求{}n a 的通项公式;(2)数列{}n b ,{}n c ,{}n d 满足()21211n n n a b a +=+-,12121n n n n n c b b b b --= ,且2nn nc d n =⋅,求数列{}n d 的前n 项和n T .8.(2023·广东·校联考模拟预测)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若n n b na =,且数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:当3n ≥时,()311421n n n T n +≤+-.9.(2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习)对于项数为m 的数列{}n a ,若满足:121m a a a ≤<<< ,且对任意1i j m ≤≤≤,i j a a ⋅与j ia a 中至少有一个是{}n a 中的项,则称{}n a 具有性质P .(1)如果数列1a ,2a ,3a ,4a 具有性质P ,求证:11a =,423a a a =⋅;(2)如果数列{}n a 具有性质P ,且项数为大于等于5的奇数,试判断{}n a 是否为等比数列?并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2){}n a 为等比数列,理由见解析10.(2022秋·山东青岛·高三统考期末)记数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,______.给出下列两个条件:条件①:数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列;条件②:1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个,补充在上面的横线上,完成下列两问的解答:(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ,12b a =,23b a =,14n n n T b b +=⋅,求211(1)nii i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.【答案】(1)12n n a -=(2)288n n+【分析】(1)选择条件①:先由{}1n S a +为等比数列结合等比中项列出式子,再设出等比数列{}n a 的公比,通过等比数列公式化简求值即可得出答案;选择条件②:先由1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=得出()()12121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥,两式做减即可得出()122n n a a n +=≥,再验证1n =时即可利用等比数列通项公式得出答案;(2)通过14n n n T b b +=⋅得出()1142n n n T b b n --⋅≥=,两式相减结合已知即可得出()1142n n b b n +--=≥,即数列{}n b 的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列,将211(1)nii i i b b+=⎡⎤-⎣⎦∑转化即可得出答案.【详解】(1)选条件①:数列{}1n S a +为等比数列,()()()2211131S a S a S a ∴+=++,即()()2121123222a a a a a a +=++,11a = ,且设等比数列{}n a 的公比为q ,()()22222q q q ∴+=++,解得2q =或0q =(舍),1112n n n a a q --∴==,选条件②:1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+= ①,()()1212122212n n n n a a a n a n ---++⋅⋅⋅+=-≥∴,即()()12121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥ ②,由①②两式相减得:()()12221n n n n a na n a +=-≥-,即()122n n a a n +=≥,令1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=中1n=得出212a a =也符合上式,故数列{}n a 为首项11a =,公比2q =的等比数列,则1112n n n a a q --==,(2)由第一问可知,不论条件为①还是②,都有数列{}n a 为首项11a =,公比2q =的等比数列,即12n n a -=,11.(2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测)已知数列{}n a 满足0n a ≠,*N n ∈.(1)若2210n n n a a ka ++=>且0n a >.(ⅰ)当{}lg n a 成等差数列时,求k 的值;(ⅱ)当2k =且11a =,4a =2a 及n a 的通项公式.(2)若21312n n n n a a a a +++=-,11a =-,20a <,[]34,8a ∈.设n S 是{}n a 的前n 项之和,求2020S 的最大值.12.(2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习)已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭(n *∈N ),数列{}n b 满足2nn n b a =.(1)求证:数列{}n b 是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列{}n c 满足()()131n nn n a c n λ--=-(λ为非零整数,n *∈N ),问是否存在整数λ,使得对任意n *∈N ,都有1n n c c +>.13.(2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,25a =,14n n n S S a +=++;{}n b 是等比数列,29b =,1330bb +=,公比1q >.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)数列{}n a 和{}n b 的所有项分别构成集合A ,B ,将A B ⋃的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ,求2012320T c c c c =++++ .【答案】(1)43n a n =-,3nn b =(2)660【分析】(1)将14n n n S S a +=++移项作差可得{}n a 是等差数列,结合25a =可求出数列{}n a 的通项公式,将1,b q 代入等式计算,即可求出数列{}n b 的通项公式;(2)由2077a =可判断前20项中最多含有123,,b b b 三项,排除23b a =可确定前20项中14.(2022·浙江·模拟预测)已知正项数列{}n a 满足11a =,当2n ≥时,22121n n a a n --=-,{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ;(2)数列{}n b 是等比数列,q 为数列{}n b 的公比,且13b q a ==,记21n n n nS a c b -+=,证明:122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<15.(2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12a =,132n n S S +=+,数列{}n b 满足()1122,n n n b b b n++==,其中*n ∈N .(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数,使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列,求数列{}n n b c 的前n 项和nT【答案】(1)1*(2)3n n a n -=⋅∈N ,()*)1(n b n n n =+∈N (2)()*)121(3n n T n n =+-∈N 【分析】(1)由132n n S S +=+可得12)3(2n n S S n -=+≥,两式作差即可得数列{}n a 的递推关系,即可求通项,最后验证1a 是否符合即可;数列{}n b 利用累乘法即可求,最后验证1b 是否符合即可;(2)由题,由等差数列的性质得()11n n n a a n c +-=+,即可求出n c 的通项公式,最后利用错位相减法求n T 即可【详解】(1)由132n n S S +=+可得12)3(2n n S S n -=+≥,两式相减可得13(2)n n a a n +=≥,故数列{}n a 从第3项开始是以首项为2a ,公比3q =的等比数列.又由已知132n n S S +=+,令1n =,得213+2S S =,即12132a a a +=+,得21226a a =+=,故123)2(n n a n -=⋅≥;又12a =也满足上式,则数列{}n a 的通项公式为1*(2)3n n a n -=⋅∈N ;16.(2023·辽宁朝阳·校联考一模)已知数列{}n a 的前n 项和为()+N 1=∈+n nS n n ,数列{}n b 满足11b =,且()1+N 2+=∈+nn n b b n b (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列{}n b 的通项公式;(3)对于N n +∈,试比较1n b +与n a 的大小.17.(2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知{}12,32n n a a S =-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式;(2)若{}1,n n n a b b a a +=的前n 项和为n T ,求证:14n T <.18.(2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习)已知正项数列{}n a 满足)1,2n n a a n n -+-∈≥N ,11a =.数列{}n b 满足各项均不为0,14b =,其前n项的乘积112n n n T b -+=⋅.(1)求数列{}n a 通项公式;(2)设2log n n c b =,求数列{}n c 的通项公式;(3)记数列(){}1nn a -的前2m 项的和2m S ,求使得不等式21210m S c c c ≥+++L 成立的正整数m 的最小值.19.(2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中)已知数列{}n a满足2123n n n a a a ++=+,112a =,232a =.(1)证明:数列{}1n n a a ++为等比数列,求{}n a 的通项公式.(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()*127N 4n S n n λ⎛⎫+≥-∈ ⎪⎝⎭恒成立,求实数λ的取值范围.20.(2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ,且112n n na T ++=(1)求数列{}{},n n ab 的通项公式;(2)数列{}n c 满足cos ,,n n na n n cb n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数,求21ni i c =∑.21.(2023秋·广东·高三校联考期末)已知数列1:A a ,2a ,…,n a ,…满足10a =,11i i a a +=+(1,2,,,i n = ),数列A 的前n 项和记为n S .(1)写出3S 的最大值和最小值;(2)是否存在数列A ,使得20221011S =如果存在,写出此时2023a 的值;如果不存在,说明理由.22.(2023秋·山东日照·高三校联考期末)已知数列{}n a 的各项均为非零实数,其前n 项和为(0)n n S S ≠,且21n n n n S a S a ++⋅=⋅.(1)若32S =,求3a 的值;(2)若1a a =,20232023a a =,求证:数列{}n a 是等差数列,并求其前n 项和.23.(2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末)已知数列{}{},n n a b 满足222,1n n n n n a b a b +=-=.(1)求{}{},n n a b 的通项公式;(2)记数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,证明:11121n n S n +≤-+-.24.(2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知数列{}n a 各项都不为0,12a =,24a =,{}n a 的前n 项和为n S ,且满足14n n n a a S +=.(1)求{}n a 的通项公式;(2)若12311231C C CC C n nn nnnn nn nb a a a a a --=+++⋅⋅⋅++,求数列112n n n n b b b ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25.(2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习)已知数列{}n a 中11a =,其前n 项和记为n S ,且满足()()1232n n S S S n S ++⋅⋅⋅+=+.(1)求数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的通项公式;(2)设无穷数列1b ,2b ,…n b ,…对任意自然数m 和n ,不等式1m n m n nb b b m a +--<+均成立,证明:数列{}n b 是等差数列.26.(2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测)在如图所示的平面四边形ABCD 中,ABD △的面积是CBD △面积的两倍,又数列{}n a 满足12a =,当2n ≥时,()()1122n n n n BD a BA a BC--=++- ,记2nn n a b =.(1)求数列{}n b 的通项公式;(2)求证:22211154b b b +++< .(2)由(1)可得:当1n =时,则1b 当2n ≥时,可得()(2211212n b n n=<-则222121111111114223nb b b ⎛+++=+-+- ⎝L 27.(2022秋·湖北·高三校联考开学考试)已知数列{}n a 满足11a =,1n a +=中*N n ∈)(1)判断并证明数列{}n a 的单调性;(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ,证明:20213522S <<.⎫⎪⎪⎪28.(2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习)定义:对于任意一个有穷数列,在其每相邻的两项间都插入这两项的和,得到的新数列称为一阶和数列,如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和,得到二阶和数列,以此类推可以得到n 阶和数列,如{}2,4的一阶和数列是{}2,6,4,设n 阶和数列各项和为n S .(1)试求数列{}2,4的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ,并猜想{}n S 的通项公式(无需证明);(2)设()()()()331321log 3log 3n n n n S n b S S +-+=-⋅-,{}n b 的前m 项和m T ,若20252m T >,求m 的最小值【答案】(1)230S =,384S =,133n n S +=+(2)7【分析】(1)根据123,,S S S 进行猜想,结合等比数列的知识进而求解,并进行推导.(2)利用裂项求和法求得m T ,由此列不等式,从而求得m 的最小值.【详解】(1)一阶和数列:{}2,6,4,对应112S =;二阶和数列:{}2,8,6,10,4,对应230S =;三阶和数列:{}2,10,8,14,6,16,10,14,4,对应384S =;故猜想136n n S S -=-,()1333n n S S --=-,所以数列{}3n S -是首项为139S -=,公比为3的等比数列,所以11393,33n n n n S S -+-=⋅=+.下面证明136n n S S -=-:设112124n m m S a a a a --=++++++ ,则()()()()1112112244n m m m m m S a a a a a a a a a --=+++++++++++++29.(2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习)已知数列{}1,1,n n a a S =为数列{}n a 的前n 项和,且1(2)3n n S n a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求证:sin 0n n a a -<;(3)证明:212311111sin 1sin 1sin 1sin e n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .30.(2023·浙江温州·统考二模)设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和,满足222n n n S a a =+-.(1)求{}n a 的通项公式;(2)若不等式214na n a t ⎛⎫+ ⎪+⎝≥⎭对任意正整数n 都成立,求实数t 的取值范围;(3)设3ln(1)4n a n nb e+=(其中e 是自然对数的底数),求证:123426n n b b b b b b ++++<….。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)
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高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1,求f(x)的极值点和极值。
答案:f(x)的极值点为x = 1和x = 1,极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n,求该数列的通项公式。
答案:an = 2n + 1。
3. 已知三角形ABC中,AB = AC = 5,BC = 8,求三角形ABC的面积。
答案:三角形ABC的面积为12。
4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切,求k和b的值。
答案:k = ±√3/3,b = ±√6/3。
5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1),求f(x)的导数。
答案:f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。
6. 已知向量a = (2, 3),向量b = (1, 4),求向量a和向量b的夹角。
答案:向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。
7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4],求矩阵A的逆矩阵。
答案:矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。
8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1,求f(x)的零点。
答案:f(x)的零点为x = 1和x = 3。
9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x),求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。
答案:f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。
10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4,求f(x)的顶点坐标。
答案:f(x)的顶点坐标为(2, 0)。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x,求f(x)的导数。
答案:f'(x) = e^x 2。
12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4,求f(x)的极值点和极值。
答案:f(x)的极值点为x = 2,极值为f(2) = 0。
新高考数学高考数学压轴题 多选题专项训练分类精编含解析(1)
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一、数列多选题1.黄金螺旋线又名等角螺线,是自然界最美的鬼斧神工.在一个黄金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长做正方形,然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形,如此循环下去,再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧,最后顺次连接,就可得到一条“黄金螺旋线”.达·芬奇的《蒙娜丽莎》,希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线.现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *),数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3).再将扇形面积设为b n (n ∈N *),则( )A .4(b 2020-b 2019)=πa 2018·a 2021B .a 1+a 2+a 3+…+a 2019=a 2021-1C .a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=2a 2019·a 2021D .a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=0答案:ABD 【分析】对于A ,由题意得bn=an2,然后化简4(b2020-b2019)可得结果;对于B ,利用累加法求解即可;对于C ,数列{an}满足a1=a2=1,an =an -1+an -2 (n≥3解析:ABD 【分析】对于A ,由题意得b n =4πa n 2,然后化简4(b 2020-b 2019)可得结果;对于B ,利用累加法求解即可;对于C ,数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n -12=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,然后累加求解;对于D ,由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2,化简可得结果 【详解】由题意得b n =4πa n 2,则4(b 2020-b 2019)=4(4πa 20202-4πa 20192)=π(a 2020+a 2019)(a 2020-a 2019)=πa 2018·a 2021,则选项A 正确; 又数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),所以a n -2=a n -a n -1(n ≥3),a 1+a 2+a 3+…+a 2019=(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+…+(a 2021-a 2020)=a 2021-a 2=a 2021-1,则选项B 正确;数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n-12=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,则a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=a 12+(a 2a 1-a 2a 3)+(a 3a 2-a 3a 4)+…+(a 2020a 2019-a 2020a 2021)=a 12-a 2020a 2021=1-a 2020a 2021,则选项C 错误;由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=a 2019·(a 2021-a 2019)+a 2020·(a 2018-a 2020)=a 2019·a 2020+a 2020·(-a 2019)=0,则选项D 正确; 故选:ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用,考查累加法的应用,考查计算能力,属于中档题 2.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,则下列4个命题中正确的有( )A .若100S =,则50a >,60a <;B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15;C .若150S >,160S <,则{}n S 中7S 最大;D .若89S S <,则78S S <.答案:ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质,逐一检验选项,即可得答案. 【详解】对于A :因为正数,公差不为0,且,所以公差, 所以,即,根据等差数列的性质可得,又, 所以,,故A 正解析:ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质,逐一检验选项,即可得答案. 【详解】对于A :因为正数,公差不为0,且100S =,所以公差0d <, 所以1101010()02a a S +==,即1100a a +=, 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=,又0d <, 所以50a >,60a <,故A 正确; 对于B :因为412S S =,则1240S S -=,所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=,又10a >, 所以890,0a a ><, 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>,116891616()16()022a a a a S ++===,所以使0n S >的最大的n 为15,故B 正确; 对于C :因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>,则80a >, 116891616()16()022a a a a S ++===,则890a a +=,即90a <, 所以则{}n S 中8S 最大,故C 错误;对于D :因为89S S <,则9980S a S =->,又10a >, 所以8870a S S =->,即87S S >,故D 正确, 故选:ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负,再根据等差数列的性质,对求和公式进行变形,求得项的正负,再分析和判断,考查等差数列性质的灵活应用,属中档题. 3.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的m ,*n N ∈,都有m n m n a a a +=+,则下列结论正确的是( )A .11285a a a a +=+B .56110a a a a <C .若该数列的前三项依次为x ,1x -,3x ,则10103a = D .数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 答案:AC 【分析】令,则,根据,可判定A 正确;由,可判定B 错误;根据等差数列的性质,可判定C 正确;,根据,可判定D 错误. 【详解】令,则,因为,所以为等差数列且公差,故A 正确; 由,所以,故B 错误;解析:AC 【分析】令1m =,则11n n a a a +-=,根据10a >,可判定A 正确;由256110200a a a a d -=>,可判定B 错误;根据等差数列的性质,可判定C 正确;122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,根据02>d ,可判定D 错误. 【详解】令1m =,则11n n a a a +-=,因为10a >,所以{}n a 为等差数列且公差0d >,故A 正确;由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>,所以56110a a a a >,故B错误;根据等差数列的性质,可得()213x x x -=+,所以13x =,213x -=, 故1011109333a =+⨯=,故C 正确; 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭,因为02>d ,所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列,故D 错误. 故选:AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法;1、作差比较法:根据1n n a a +-的符号,判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列;2、作商比较法:根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系,进行判定; 3、数形结合法:结合相应的函数的图象直观判断.4.朱世杰是元代著名数学家,他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题,主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔,小明模仿“堆垛”问题,将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”,要求层数不小于2,且从最下面一层开始,每一层比上一层多1根,则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是( ) A .4B .5C .7D .8答案:BD 【分析】依据题意,根数从上至下构成等差数列,设首项即第一层的根数为,公差即每一层比上一层多的根数为,设一共放层,利用等差数列求和公式,分析即可得解. 【详解】依据题意,根数从上至下构成等差解析:BD 【分析】依据题意,根数从上至下构成等差数列,设首项即第一层的根数为1a ,公差即每一层比上一层多的根数为1d =,设一共放()2n n ≥层,利用等差数列求和公式,分析即可得解. 【详解】依据题意,根数从上至下构成等差数列,设首项即第一层的根数为1a ,公差为1d =,设一共放()2n n ≥层,则总得根数为:()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-, 因为1a *∈N ,所以n 为200的因数,()20012n n+-≥且为偶数, 验证可知5,8n =满足题意. 故选:BD. 【点睛】关键点睛:本题考查等差数列的求和公式,解题的关键是分析题意,把题目信息转化为等差数列,考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力,属于基础题. 5.等差数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,151115,a S S ==,则以下正确的是( )A .1d =-B .413a a =C .n S 的最大值为8SD .使得0n S >的最大整数15n =答案:BCD 【分析】设等差数列的公差为,由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得,再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列的公差为, 由题意,,所以,故A 错误; 所以,所以,故B 正确; 因为, 所以当解析:BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩,再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意,1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩,所以1215d a =-⎧⎨=⎩,故A 错误; 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-,所以413a a =,故B 正确; 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+,所以当且仅当8n =时,n S 取最大值,故C 正确; 要使()28640n S n =--+>,则16n <且n N +∈, 所以使得0n S >的最大整数15n =,故D 正确. 故选:BCD.6.{} n a 是等差数列,公差为d ,前项和为n S ,若56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d <B .70a =C .95S S >D .170S <答案:ABD 【分析】结合等差数列的性质、前项和公式,及题中的条件,可选出答案. 【详解】由,可得,故B 正确; 由,可得, 由,可得,所以,故等差数列是递减数列,即,故A 正确; 又,所以,故C 不正确解析:ABD 【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式,及题中的条件,可选出答案. 【详解】由67S S =,可得7670S S a -==,故B 正确; 由56S S <,可得6560S S a -=>, 由78S S >,可得8780S S a -=<,所以876a a a <<,故等差数列{}n a 是递减数列,即0d <,故A 正确; 又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<,所以95S S <,故C 不正确; 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列,且80a <,所以90a <, 所以()117179171702a a S a +==<,故D 正确.故选:ABD. 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列性质的应用,解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质,本题要从题中条件入手,结合公式()12n n n a S S n --≥=,及()12n n n a a S +=,对选项逐个分析,可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力,属于中档题. 7.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项和,且56678,S S S S S <=>,则下列结论正确的是( ) A .0d < B .70a =C .95S S >D .67n S S S 与均为的最大值答案:ABD 【分析】由,判断,再依次判断选项. 【详解】 因为,,,所以数列是递减数列,故,AB 正确; ,所以,故C 不正确;由以上可知数列是单调递减数列,因为可知,的最大值,故D 正确. 故选:AB解析:ABD 【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥,判断6780,0,0a a a >=<,再依次判断选项. 【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>,677670S S S S a =⇒-==,788780S S S S a >⇒-=<,所以数列{}n a 是递减数列,故0d <,AB 正确;()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<,所以95S S <,故C 不正确;由以上可知数列{}n a 是单调递减数列,因为6780,0,0a a a >=<可知,67n S S S 与均为的最大值,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值,重点考查等差数列的性质,属于基础题型. 8.等差数列{}n a 的首项10a >,设其前n 项和为{}n S ,且611S S =,则( ) A .0d >B .0d <C .80a =D .n S 的最大值是8S或者9S答案:BD 【分析】由,即,进而可得答案. 【详解】 解:, 因为所以,,最大, 故选:. 【点睛】本题考查等差数列的性质,解题关键是等差数列性质的应用,属于中档题.解析:BD 【分析】由6111160S S S S =⇒-=,即950a =,进而可得答案. 【详解】解:1167891011950S S a a a a a a -=++++==, 因为10a >所以90a =,0d <,89S S =最大, 故选:BD . 【点睛】本题考查等差数列的性质,解题关键是等差数列性质的应用,属于中档题. 9.已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,67S S <,且78S S >,则( ) A .在数列{}n a 中,1a 最大 B .在数列{}n a 中,3a 或4a 最大 C .310S S =D .当8n ≥时,0n a <答案:AD 【分析】由已知得到,进而得到,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为,可知不一定成立,从而判定C 错误. 【详解】 由已知得:,结合等差数列的性质可知,,该等差解析:AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=,可知不一定成立,从而判定C 错误. 【详解】由已知得:780,0a a ><,结合等差数列的性质可知,0d <,该等差数列是单调递减的数列, ∴A 正确,B 错误,D 正确,310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=,即160a d +=,这在已知条件中是没有的,故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和,属基础题,关键在于掌握和与项的关系.10.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,现有下列4个命题中正确的有( )A .若100S =,则280S S +=;B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15C .若150S >,160S <,则{}n S 中8S 最大D .若78S S <,则89S S <答案:BC 【分析】根据等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,逐项判断,即可得答案. 【详解】 A 选项,若,则, 那么.故A 不正确; B 选项,若,则,又因为,所以前8项为正,从第9项开始为负, 因为解析:BC 【分析】根据等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,逐项判断,即可得答案. 【详解】A 选项,若1011091002S a d ⨯=+=,则1290a d +=, 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确; B 选项,若412S S =,则()5611128940a a a a a a ++++=+=,又因为10a >,所以前8项为正,从第9项开始为负,因为()()116168916802a a S a a +==+=, 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确; C 选项,若()115158151502a a S a +==>,()()116168916802a a S a a +==+<, 则80a >,90a <,则{}n S 中8S 最大.故C 正确;D 选项,若78S S <,则80a >,而989S S a -=,不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选:BC . 【点睛】本题考查等差数列性质的应用,涉及等差数列的求和公式,属于常考题型.11.已知数列{}n a 满足:13a =,当2n ≥时,)211n a =-,则关于数列{}n a 说法正确的是( )A .28a =B .数列{}n a 为递增数列C .数列{}n a 为周期数列D .22n a n n =+答案:ABD 【分析】由已知递推式可得数列是首项为,公差为1的等差数列,结合选项可得结果. 【详解】 得, ∴,即数列是首项为,公差为1的等差数列, ∴,∴,得,由二次函数的性质得数列为递增数列,解析:ABD 【分析】由已知递推式可得数列2=,公差为1的等差数列,结合选项可得结果. 【详解】)211n a =-得)211n a +=,1=,即数列2=,公差为1的等差数列,2(1)11n n =+-⨯=+,∴22n a n n =+,得28a =,由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列,所以易知ABD 正确, 故选:ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式,通过通项公式研究数列的函数性质,属于中档题.12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=,则下列结论一定正确的是( ) A .100a = B .当9n =或10时,n S 取最大值 C .911a a <D .613S S =答案:AD 【分析】由求出,即,由此表示出、、、,可判断C 、D 两选项;当时,,有最小值,故B 错误. 【详解】解:,,故正确A.由,当时,,有最小值,故B 错误. ,所以,故C 错误. ,,故D 正确.解析:AD 【分析】由1385a a S +=求出100a =,即19a d =-,由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ,可判断C 、D 两选项;当0d >时,10a <,n S 有最小值,故B 错误. 【详解】解:1385a a S +=,111110875108,90,02da a d a a d a ⨯++=++==,故正确A. 由190a d +=,当0d >时,10a <,n S 有最小值,故B 错误.9101110,a a d d a a d d =-==+=,所以911a a =,故C 错误.61656+5415392dS a d d d ⨯==-+=-, 131131213+11778392dS a d d d ⨯==-+=-,故D 正确. 故选:AD 【点睛】考查等差数列的有关量的计算以及性质,基础题.二、等差数列多选题13.已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠,且满足140(2)n n n a S S n -+=≥,114a =,则下列说法错误的是( ) A .数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B .数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C .数列{}n a 为递增数列D .数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列解析:ABC 【分析】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠(),且满足1402n n n a S S n -+=≥(),114a =,可得:1140n n n n S S S S ---+=,化为:1114n n S S --=,利用等差数列的通项公式可得1nS ,n S ,2n ≥时,()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---,进而求出n a . 【详解】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠(),且满足1402n n n a S S n -+=≥(),114a =, ∴1140n n n n S S S S ---+=,化为:1114n n S S --=, ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,公差为4,∴()14414n n n S =+-=,可得14n S n=, ∴2n ≥时,()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---, ∴()1(1)41(2)41n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩,对选项逐一进行分析可得,A ,B ,C 三个选项错误,D 选项正确. 故选:ABC. 【点睛】本题考查数列递推式,解题关键是将已知递推式变形为1114n n S S --=,进而求得其它性质,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题14.(多选)在数列{}n a 中,若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .(){}1n- 是等方差数列C .{}2n是等方差数列.D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 解析:BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故{}na 不是等方差数列,故A 错误;对于B ,数列(){}1n-中,222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数,{(1)}n∴-是等方差数列,故B 正确; 对于C ,数列{}2n中,()()22221112234nn n nn aa----=-=⨯不是常数,{}2n∴不是等方差数列,故C 错误; 对于D ,{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+,{}n a 是等方差数列,()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,2210n n a a --=是常数,故D 正确.故选:BD. 【点睛】关键点睛:本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义,利用定义进行判断.15.设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈,关于数列{}n a ,下列四个命题中正确的是( )A .若1*()n n a a n N +∈=,则{}n a 既是等差数列又是等比数列B .若2n S An Bn =+(A ,B 为常数,*n N ∈),则{}n a 是等差数列C .若()11nn S =--,则{}n a 是等比数列D .若{}n a 是等差数列,则n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈也成等差数列解析:BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列,当0n a =时不是等比数列,故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列,故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立,12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列,故对;选项D: {}n a 是等差数列,由等差数列性质得n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈是等差数列,故对; 故选:BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.16.题目文件丢失!17.已知数列{}n a 中,11a =,1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈,不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立,则实数a 可能为( ) A .-4 B .-2C .0D .2解析:AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++,利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<,只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立,然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=,11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++,则11111n n a a n n n n --=---,12111221n n a a n n n n ---=-----,,2111122a a -=-, 上述式子累加可得:111n a a n n -=-,122n a n n∴=-<,()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立,对A ,当4a =-时,不等式()()2540t t +-≤,解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,包含[]1,2,故A 正确;对B ,当2a =-时,不等式()()2320t t +-≤,解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,包含[]1,2,故B 正确;对C ,当0a =时,不等式()210t t +≤,解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,不包含[]1,2,故C 错误;对D ,当2a =时,不等式()()2120t t -+≤,解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,不包含[]1,2,故D 错误, 故选:AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立,考查了转化与划归的思想,属于中档题.18.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( ) A .23n S n n =- B .2392-=n n nSC .36n a n =-D .2n a n =解析:BC 【分析】由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d , 因为30S =,46a =,所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得133a d =-⎧⎨=⎩, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=, 故选:BC19.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的m ,*n N ∈,都有m n m n a a a +=+,则下列结论正确的是( )A .11285a a a a +=+B .56110a a a a <C .若该数列的前三项依次为x ,1x -,3x ,则10103a = D .数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 解析:AC【分析】令1m =,则11n n a a a +-=,根据10a >,可判定A 正确;由256110200a a a a d -=>,可判定B 错误;根据等差数列的性质,可判定C 正确;122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,根据02>d ,可判定D 错误. 【详解】令1m =,则11n n a a a +-=,因为10a >,所以{}n a 为等差数列且公差0d >,故A 正确;由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>,所以56110a a a a >,故B错误;根据等差数列的性质,可得()213x x x -=+,所以13x =,213x -=, 故1011109333a =+⨯=,故C 正确; 由()111222n n n na dS d d n a n n -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭,因为02>d ,所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列,故D 错误. 故选:AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法;1、作差比较法:根据1n n a a +-的符号,判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列;2、作商比较法:根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系,进行判定; 3、数形结合法:结合相应的函数的图象直观判断.20.{} n a 是等差数列,公差为d ,前项和为n S ,若56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d < B .70a =C .95S S >D .170S <解析:ABD 【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式,及题中的条件,可选出答案. 【详解】由67S S =,可得7670S S a -==,故B 正确; 由56S S <,可得6560S S a -=>, 由78S S >,可得8780S S a -=<,所以876a a a <<,故等差数列{}n a 是递减数列,即0d <,故A 正确;又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<,所以95S S <,故C 不正确; 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列,且80a <,所以90a <, 所以()117179171702a a S a +==<,故D 正确.故选:ABD. 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列性质的应用,解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质,本题要从题中条件入手,结合公式()12n n n a S S n --≥=,及()12n n n a a S +=,对选项逐个分析,可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力,属于中档题. 21.已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,67S S <,且78S S >,则( ) A .在数列{}n a 中,1a 最大 B .在数列{}n a 中,3a 或4a 最大 C .310S S =D .当8n ≥时,0n a <解析:AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=,可知不一定成立,从而判定C 错误. 【详解】由已知得:780,0a a ><,结合等差数列的性质可知,0d <,该等差数列是单调递减的数列, ∴A 正确,B 错误,D 正确,310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=,即160a d +=,这在已知条件中是没有的,故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和,属基础题,关键在于掌握和与项的关系. 22.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈,公差0d ≠,690S=,7a 是3a 与9a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .2d =-B .120a =-C .当且仅当10n =时,n S 取最大值D .当0nS <时,n 的最小值为22解析:AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由二次函数的配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由0n S <解不等式可判断D .【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,由690S =,可得161590a d +=,即12530a d +=,①由7a 是3a 与9a 的等比中项,得2739a a a =,即()()()2111628a d a d a d +=++,化为1100a d +=,②由①②解得120a =,2d =-,则202(1)222n a n n =--=-,21(20222)212n S n n n n =+-=-,由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,可得10n =或11时,n S 取得最大值110; 由2102n S n n -<=,解得21n >,则n 的最小值为22.故选:AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,以及等比中项的性质,二次函数的最值求法,考查方程思想和运算能力,属于中档题.23.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题,其中的真命题为( ). A .数列{}n a 是递增数列 B .数列{}n na 是递增数列 C .数列{}na n是递增数列 D .数列{}3n a nd +是递增数列 解析:AD 【分析】根据等差数列的性质,对四个选项逐一判断,即可得正确选项. 【详解】0d >,10n n a a d +-=> ,所以{}n a 是递增数列,故①正确,()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦,当12d a n d -<时,数列{}n na 不是递增数列,故②不正确, 1n a a d d n n -=+,当10a d -<时,{}n a n 不是递增数列,故③不正确, 134n a nd nd a d +=+-,因为0d >,所以{}3n a nd +是递增数列,故④正确,故选:AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质,属于基础题.24.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且满足10a >,1118S S =,则对n S 描述正确的有( ) A .14S 是唯一最小值 B .15S 是最小值 C .290S = D .15S 是最大值解析:CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <,再根据二次函数的性质可知15S 是最大值,同时可得150a =,进而得到290S =,即可得答案; 【详解】1118S S =,∴0d <,设2n S An Bn =+,则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上,抛物线的开口向下,对称轴为14.5x =,∴1514S S =且为n S 的最大值,1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=,∴129291529()2902a a S a +===, 故选:CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、等比数列多选题25.题目文件丢失!26.设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈,关于数列{}n a ,下列四个命题中正确的是( )A .若1*()n n a a n N +∈=,则{}n a 既是等差数列又是等比数列B .若2n S An Bn =+(A ,B 为常数,*n N ∈),则{}n a 是等差数列C .若()11nn S =--,则{}n a 是等比数列D .若{}n a 是等差数列,则n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈也成等差数列解析:BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列,当0n a =时不是等比数列,故错;选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列,故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立,12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列,故对;选项D: {}n a 是等差数列,由等差数列性质得n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈是等差数列,故对; 故选:BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.27.已知等比数列{}n a 的公比0q <,等差数列{}n b 的首项10b >,若99a b >,且1010a b >,则下列结论一定正确的是( )A .9100a a <B .910a a >C .100b >D .910b b >解析:AD 【分析】根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可. 【详解】对选项A ,因为0q <,所以29109990a a a a q a q =⋅=<,故A 正确;对选项B ,因为9100a a <,所以91000a a >⎧⎨<⎩或9100a a <⎧⎨>⎩,即910a a >或910a a <,故B 错误;对选项C ,D ,因为910,a a 异号,99a b >,且1010a b >,所以910,b b 中至少有一个负数, 又因为10b >,所以0d <,910b b >,故C 错误,D 正确. 故选:AD 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的综合应用,考查学生分析问题的能力,属于中档题. 28.已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=,下列命题中正确的是( ) A .1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B .13n S n=C .13(1)n a n n =--D .{}3n S 是等比数列解析:ABD 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式,可得{}n S 的递推式,变形后可证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,从而可求得n S ,利用n S 求出n a ,并确定3n S 的表达式,判断D .【详解】因为1(2)n n n a S S n -=-≥,1130n n n n S S S S ---+=,所以1113n n S S --=, 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,A 正确;公差为3,又11113S a ==,所以133(1)3n n n S =+-=,13n S n =.B 正确; 2n ≥时,由1n n n a S S -=-求得13(1)n a n n =-,但13a =不适合此表达式,因此C 错;由13n S n =得1311333n n n S +==⨯,∴{}3n S 是等比数列,D 正确. 故选:ABD . 【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式,考查等比数列的判断,解题关键由1(2)n n n a S S n -=-≥,化已知等式为{}n S 的递推关系,变形后根据定义证明等差数列.29.在《增减算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关”.则下列说法正确的是( ) A .此人第六天只走了5里路B .此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C .此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D .此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 解析:BCD 【分析】设此人第n 天走n a 里路,则{}n a 是首项为1a ,公比为12q = 的等比数列,由6=378S 求得首项,然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列, 设此人第n 天走n a 里路,则{}n a 是首项为1a ,公比为12q =的等比数列. 所以661161[1()](1)2=3781112a a q S q --==--,解得1192a =. 选项A:5561119262a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,故A 错误, 选项B:由1192a =,则61378192186S a -=-=,又1921866-=,故B 正确.选项C:211192962a a q ==⨯=,而6194.54S =,9694.5 1.5-=,故C 正确.选项D:2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=, 则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选:BCD 【点睛】本题考查等比数列的性质,考查等比数列的前n 项和,是基础题.30.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件11a >,671a a >,67101a a -<-,则下列结论正确的是( ) A .01q <<B .8601a a <<C .n S 的最大值为7SD .n T 的最大值为6T解析:ABD 【分析】先分析公比取值范围,即可判断A ,再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】若0q <,则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾; 若1q ≥,则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾; 因此01q <<,所以A 正确;667710101a a a a -<∴>>>-,因此2768(,1)0a a a =∈,即B 正确; 因为0n a >,所以n S 单调递增,即n S 的最大值不为7S ,C 错误;因为当7n ≥时,(0,1)n a ∈,当16n ≤≤时,(1,)n a ∈+∞,所以n T 的最大值为6T ,即D 正确; 故选:ABD 【点睛】本题考查等比数列相关性质,考查综合分析判断能力,属中档题. 31.将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵,如下图:111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列,每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知112a =,13611a a =+,记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有( )A .3m =B .767173a =⨯C .1(31)3j ij a i -=-⨯D .()1(31)314n S n n =+- 解析:ACD 【分析】根据题设中的数阵,结合等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式,逐项求解,即可得到答案. 【详解】由题意,该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列,每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列,且112a =,13611a a =+,可得2213112a a m m ==,6111525a a d m =+=+,所以22251m m =++,解得3m =或12m =-(舍去),所以选项A 是正确的; 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯,所以选项B 不正确;又由1111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a ma i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯,所以选项C 是正确的; 又由这2n 个数的和为S , 则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++11121(13)(13)(13)131313n n n n a a a ---=+++---1(231)(31)22nn n +-=-⋅ 1(31)(31)4n n n =+-,所以选项D 是正确的, 故选ACD. 【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解,以及等比数列及其前n 项和公式的应用,其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式,准确计算是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题. 32.数列{}n a 为等比数列( ).A .{}1n n a a ++为等比数列B .{}1n n a a +为等比数列C .{}221n n a a ++为等比数列D .{}n S 不为等比数列(n S 为数列{}n a 的前n 项) 解析:BCD 【分析】举反例,反证,或按照等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】解:设{}n a 的公比为q ,A. 设()1nn a =-,则10n n a a ++=,显然{}1n n a a ++不是等比数列.B.2211n n n n a a q a a +++=,所以{}1n n a a +为等比数列. C. ()()24222221222211n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++,所以{}221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时,n S np =,{}n S 显然不是等比数列; 当1q ≠时,若{}n S 为等比数列,则()222112n n n S S n S -+=≥,即()()()211111111111n n n a q a q a q q q q-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以1q =,与1q ≠矛盾,综上,{}n S 不是等比数列. 故选:BCD. 【点睛】考查等比数列的辨析,基础题.33.定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,数列(){}nf a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中,是“保等比数列函数”的为( )A .()2f x x =B .()2xf x =C .()f x =D .()ln f x x =解析:AC 【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质,代入四个选项一一验证即可. 【详解】。
高考数学压轴题精选精编附详细解答试题
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2021年高考数学压轴题精选精编附详细解答1、〔本小题满分是14分〕如图,点(4,0)N p -〔p >0,p 是常数〕,点T 在y 轴上,0MT NT ⋅=,MT 交x 轴于点Q ,且2TM QM =.〔Ⅰ〕当点T 在y 轴上挪动时,求动点M 的轨迹E 的方程;(4分) 〔Ⅱ〕设直线l 过轨迹E 的焦点F,且与该轨迹交于A 、B 两点,过A 、B 分别作该轨迹的对称轴的垂线,垂足分别为12,,A A 求证:OF 是1OA 和2OA 的等比中项;〔5分〕(Ⅲ) 对于该轨迹E ,能否存在一条弦CD 被直线l 垂直平分?假设存在,求出直线CD 的方程;假设不存在,试说明理由。
〔5分〕2、〔本小题满分是14分〕设函数)(x f 的定义域为R ,当0<x 时,0()1f x <<,且对任意的实数x 、R y ∈,有).()()(y f x f y x f =+ 〔Ⅰ〕求)0(f ;〔2分〕(Ⅱ)试判断函数)(x f 在(,0]-∞上是否存在最大值,假设存在,求出该最大值,假设不存在说明理由;〔5分〕〔Ⅲ〕设数列{}n a 各项都是正数,且满足1(0),a f =22111(),()(32)n n n n f a a n N f a a *++-=∈--又设1322121111,,)21(++++=+++==n n n n n an a a a a a a T b b b S b n ,试比拟S n 与 n T 的大小.〔7分〕3、〔此题满分是13分〕椭圆221:36(0)x c y t t+=>的两条准线与双曲线222:536c x y -=的两条准线所围成的四边形之面积为直线l 与双曲线2c 的右支相交于,P Q 两点(其中点P 在第一象限),线段OP 与椭圆1c 交于点,A O 为坐标原点(如下图). 〔I 〕务实数t 的值;〔II 〕假设3OP OA =⋅,PAQ ∆的面积26tan S =-⋅∠求直线l 的方程.4、〔此题满分是14分〕数列{}n a 的前n项和nS 满足11,S =-121(),n n S S n N *++=-∈数列{}n b 的通项公式34().n b n n N *=-∈〔I 〕求数列{}n a 的通项公式;〔II 〕试比拟n a 与n b 的大小,并加以证明;〔III 〕是否存在圆心在x 轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、,使得三点(,),(,),(,)n n n m m m k k k A b a A b a A b a 落在圆C 上?说明理由.5、(本小题满分是14分)一次国际乒乓球比赛中,甲、乙两位选手在决赛中相遇,根据以往经历,单局比赛甲选手胜乙选手的概率为0.6,本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的选手获胜,比赛完毕.设全局比赛互相间没有影响,令ξ为本场比赛甲选手胜乙选手的局数〔不计甲负乙的局数〕,求ξ〕.6、(本小题满分是14分)数列{}n a 的前n 项和为S n *()n N ∈,点〔a n ,S n 〕在直线y =2x -3n 上.〔1〕假设数列{}的值求常数成等比数列C c a n ,+;〔5分〕〔2〕求数列}{n a 的通项公式;〔3分〕〔3〕数列{}请求出一组若存在它们可以构成等差数列中是否存在三项,?,n a 合适条件的项;假设不存在,请说明理由.〔6分〕7、〔本小题14分〕数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足211=a ,)2(021≥-n S S a n n n =+. 〔1〕问:数列}1{nS 是否为等差数列?并证明你的结论;(5分) 〔2〕求n S 和n a ;(5分)〔3〕求证:nS S S S n 41212232221-≤+⋅⋅⋅+++ (4分)8、〔本小题满分是14分〕函数f (x )=ln x ,g(x )=21ax 2+b x ,a ≠0. 〔Ⅰ〕假设b =2,且h (x )=f (x )-g (x )存在单调递减区间,求a 的取值范围;(7分) 〔Ⅱ〕设函数f (x )的图象C 1与函数g (x )图象C 2交于点P 、Q ,过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1,C 2于点M 、N ,证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. (7分)9、〔本小题满分是14分〕设抛物线214C y mx =:(0)m >的准线与x 轴交于1F ,焦点为2F ;以12F F 、为焦点,离心率12e =的椭圆2C 与抛物线1C 的一个交点为P . 〔Ⅰ〕当1m =时,直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ,与抛物线1C 交于12A A 、,假如弦长12A A 等于三角形12PF F 的周长,求直线l 的斜率.〔Ⅱ〕求最小实数m ,使得三角形12PF F 的边长是自然数.10、〔本小题满分是14分〕〔Ⅰ〕函数:1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;〔Ⅱ〕证明:()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈;〔Ⅲ〕定理:假设123,,ka a a a 均为正数,那么有123123()n n nn n kka a a a a a a a kk++++++++≥ 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数.请你构造一个函数()g x ,证明: 当1231,,,,,k k a a a a a +均为正数时,12311231()11n n nn n k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++.11、本小题满分是14分〕如图,在OAB ∆中,||||4OA OB ==,点P 分线段AB 所成的比3:1,以OA 、OB 所在 直线为渐近线的双曲线M 恰好经过点P ,且离心率为2.〔Ⅰ〕求双曲线M 的HY 方程;〔Ⅱ〕假设直线y kx m =+〔0k ≠,0m ≠〕与双曲线M 交于不同的两点E 、F ,且E 、F 两点都在以(0,3)Q -为圆心的同一圆上,务实数m 的取值范围.12、本小题满分是14分函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e -上的奇函数,当(0,]x e ∈时,有()ln f x ax x =+〔其中e 为自然对数的底,a ∈R 〕.〔Ⅰ〕求函数()f x 的解析式; 〔Ⅱ〕设ln ||()||x g x x =〔[,0)(0,]x e e ∈-〕,求证:当1a =-时,1|()|()2f xg x >+; 〔Ⅲ〕试问:是否存在实数a ,使得当[,0)x e ∈-,()f x 的最小值是3?假如存在,求出实数a 的值;假如不存在,请说明理由.13、〔小题满分是14分〕锐角α、β满足sin cos()m βαβ=+〔0m >,2παβ+≠〕,令tan y β=,tan x α=。
全国卷Ⅰ2024年高考数学压轴卷理含解析
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(全国卷Ⅰ)2024年高考数学压轴卷 理(含解析)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z,1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭,则A B =( )A .{}12 x x -≤≤B .{}1,0,1,2-C .{}2,1,0,1,2--D .{}0,1,22.已知a 是实数,i1ia +-是纯虚数,则a 等于( ) A.B .1-CD .13.“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长,则此双曲线的离心率为( )ABCD5.若221m n >>,则( ) A .11m n> B .1122log log m n >C .()ln 0m n ->D .1m n -π>6.已知平面对量a ,b,满意(=a ,3=b ,()2⊥-a a b ,则-=a b ( ) A .2B .3C .4D .67.执行右边的程序框图,输出的2018ln =S ,则m 的值为( ) A .2024 B .2024 C .2024D .20248.据统计,连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055.,连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019.,现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病,则他还能接着连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为( )A .67B .335C .1135D .019.9.已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .163π+ B .112π+ C .1123π+ D .143π+ 10.将()2sin22cos21f x x x =-+的图像向左平移π4个单位,再向下平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,则下列关于函数()y g x =的说法错误的是( )A .函数()y g x =的最小正周期是πB .函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C .函数()y g x =的一个零点是3π8D .函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11.焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ,点M 在抛物线C 上,则当MA MF取得最大值时,直线M A 的方程为( ) A .2y x =+或2y x =-- B .2y x =+ C .22y x =+或22y x =-+D .22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满意()()22f x f x +=,且当[]2,4x ∈时,()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩,()1g x ax =+,对[]12,0x ∀∈-,[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =,则实数a 的取值范围为( )A .11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ B .11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C .(]0,8D .11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14.在()311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的绽开式中,各项系数之和为256,则x 项的系数是__________. 15.知变量x ,y 满意条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩,则目标函数223x y z x y-=+的最大值为16.如图,在ABC △中,3sin23ABC ∠=,点D 在线段AC 上,且2AD DC =,433BD =,则ABC △的面积的最大值为__________.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满意:113a b ==,24b a =, 且1a ,4a ,13a 成等比数列. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)令nn na cb =,求数列{}n c 的前n 项和n S . 18.(本小题满分12分)某市实行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成果大于90分的具有复赛资格,某校有800名学生参与了初赛,全部学生的成果均在区间(]30,150内,其频率分布直方图如图.(1)求获得复赛资格的人数;(2)从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7人参与学校座谈沟通,那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人?(3)从(2)抽取的7人中,选出3人参与全市座谈沟通,设X 表示得分在区间(]130,150中参与全市座谈沟通的人数,求X 的分布列及数学期望()E X .19.(本小题满分12分)如图,底面ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD ,//AF DE ,3DE AF =,BE 与平面ABCD 所成角为60︒.(1)求证:AC ⊥平面BDE ; (2)求二面角F BE D --的余弦值.20.(本小题满分12分)过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ,与抛物线准线的交点为B ,点A 在抛物线准线上的射影为C ,若AF FB =,ABC △的面积为83(1)求抛物线的标准方程;(2)过焦点F 的直线与抛物线交于M ,N 两点,抛物线在M ,N 点处的切线分别为1l ,2l ,且1l 与2l 相交于P 点,1l 与x 轴交于Q 点,求证:2FQ l ∥.21.(本小题满分12分) 设函数()(2ln 1f x x x x =-++. (1)探究函数()f x 的单调性;(2)若0x ≥时,恒有()3f x ax ≤,试求a 的取值范围;请考生在22、23两题中任选一题作答,假如多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中,圆C 的一般方程为2246120x y x y +--+=.在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(1)写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程;(2)设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ,B ,P 为圆C 上的随意一点,求PA PB ⋅的取值范围.23.(本小题满分10分)【选修4-5:不等式选讲】 设函数()21f x x =-.(1)设()()15f x f x ++<的解集为A ,求集合A ;(2)已知m 为(1)中集合A 中的最大整数,且a b c m ++=(其中a ,b ,c 为正实数),求证:1118a b ca b c---⋅⋅≥.2024全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ,{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭,则{}1,0,1,2AB =-,故选B .2.【答案】D 【解析】i 1i a +-是纯虚数,i 1+(+1)i=1i 2a a a +--,则要求实部为0,即1a =.故选D . 3.【答案】C .【解析】当0a =时,()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增;当0a <时,结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增,如图1-7(a)所示;当0a >时,结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增,不符合条件,如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增,只需0a ≥,即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4.【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ,渐进线的方程为by x a=±,可得2d b a ===,可得c =,可得离心率ce a=C .5.【答案】D【解析】因为221m n >>,所以由指数函数的单调性可得0m n >>, 因为0m n >>,所以可解除选项A ,B ;32m =,1n =时,可解除选项C , 由指数函数的性质可推断1m n -π>正确,故选D . 6.【答案】B【解析】由题意可得:2=a ,且:()20⋅-=a a b ,即220-⋅=a a b ,420-⋅=a b ,2⋅=a b ,由平面对量模的计算公式可得:3-=a b .故选B .7.【答案】B【解析】第一次循环,2,2ln ==i S 其次次循环,3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环,4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环,5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2024,故选B .8.【答案】A【解析】设事务A 为48h 发病,事务B 为72h 发病,由题意可知:()0055P A =.,()019P B =.,则()0945P A =.,()081P B =., 由条件概率公式可得:()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====...故选A . 9.【答案】C【解析】视察三视图可知,几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体,其中圆锥的底面半径为1,高为1.三棱锥的底面是两直角边分别为1,2的直角三角形,高为1.则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+.故本题答案选C .10.【答案】D【解析】由题意可知:()2sin22cos212sin 4π21f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,图像向左平移π4个单位,再向下平移1个单位的函数解析式为: ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==,A 选项说法正确; 当π8x =时,22ππ4x +=,函数()y g x =的一条对称轴是π8x =,B 选项说法正确; 当3π8x =时,2π4πx +=,函数()y g x =的一个零点是3π8,C 选项说法正确; 若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调,D 选项说法错误;故选D . 11.【答案】A 【解析】过M 作MP 与准线垂直,垂足为P ,则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠,则当MA MF取得最大值时,M AF ∠必需取得最大值,此时直线AM 与抛物线相切,可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立,消去y 得28160ky y k -+=,所以264640k ∆=-=,得1k =±.则直线方程为2y x =+或2y x =--.故本题答案选A .12.【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减,在(]3,4上单调递增,所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4,在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦,所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,因为()()22f x f x +=,所以()()()112424f x f x f x =+=+, 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦,当0a >时,()g x 为增函数,()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++, 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,解得18a ≥;当0a <时,()g x 为减函数,()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+, 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩,解得14a ≤-,当0a =时,()g x 为常函数,值域为{}1,不符合题意,综上,a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭,故选D . 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13. 【答案】23【解析】解析:因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称,21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+)(x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314.【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和:()31112561n⎛+⨯= ⎝,据此可得:7n =,73x x ⎛+ ⎝绽开式的通项公式为:()721732177C C r r rr r r T xx x --+==, 令72102r -=可得:6r =,令72112r -=可得:407r =,不是整数解,据此可得:x 项的系数是67C 7=. 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩,表示的可行域,如图变形目标函数,()()()2222223,1,32cos 31x y x y z x yx y θ-⋅-===++-⋅+,其中θ为向量)3,1=-a 与(),x y =b 的夹角,由图可知,()2,0=b 时θ有最小值6π, (),x y =b 在直线y x =上时,θ有最大值56412π+=ππ,即5612θπ≤≤π,5612θπ≤≤π, 目标函数223x y z x y-=+3C .16.【答案】32 【解析】由3sin2ABC ∠=可得:6cos 2ABC ∠=, 则22sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==. 由32sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒,则90ABC ∠<︒,由同角三角函数基本关系可知:1cos 3ABC ∠=. 设AB x =,BC y =,()30,0,0AC z x y z =>>>,在ABD △中由余弦定理可得:()22162cos z x BDA +-∠=,在CBD △中由余弦定理可得:2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒,故cos cos BDA BDC ∠=-∠,()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=.①在ABC △中,由余弦定理可知:()2221233x y xy z +-⨯=,则:2222246339z x y xy =+-,代入①式整理计算可得:2214416339x y xy ++=,由均值不等式的结论可得:4161699xy xy ≥=,故9xy ≤,当且仅当x =y =时等号成立,据此可知ABC △面积的最大值为:()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)【答案】(1)()32121n a n n =+-=+,3n n b =;(2)223n nn S +=-. 【解析】(1)设{}n a 的公差为d ,则由已知得21134a a a =,即()()2331233d d +=+,解之得:2d =或0d =(舍),所以()32121n a n n =+-=+; 因为249b a ==,所以{}n b 的公比3q =,所以3n n b =. (2)由(1)可知213n nn c +=, 所以23357213333n n n S +=++++...,21572133333n n n S -+=++++...,所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-...,所以223n n n S +=-.18.(本小题满分12分)【答案】(1)520人;(2)5人,2人;(3)()67E X =.【解析】(1)由题意知[)90,110之间的频率为:()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=,()0.30.01250.0050200.65++⨯=,获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人.(2)在区间(]110,130与(]130,150,0.0125:0.00505:2=,在区间(]110,150的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7人,分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人,2人.结果是5人,2人.(3)X 的可能取值为0,1,2,则:()305237C C 20C 7P X ===;()215237C C 41C 7P X ===;()125237C C 12C 7P X ===;故X 的分布列为:()20127777E X =⨯+⨯+⨯=.19.(本小题满分12分)【答案】(1)见解析(2(1)证明:∵DE ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴DE AC ⊥,又∵底面ABCD 是正方形,∴AC BD ⊥.∵BD DE D =,∴AC ⊥平面BDE .(2)解:∵DA ,DC ,DE 两两垂直,∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -,∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒,即60DBE ∠=︒,∴3ED DB=, 由3AD =,可知32BD =36DE =6AF = 则(3,0,0)A ,6)F ,(0,0,36)E ,(3,3,0)B ,(0,3,0)C , ∴(0,6)BF =-,(3,0,26)EF =-.设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =,则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即360,360,y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,2,6)n =. ∵AC ⊥平面BDE ,∴CA 为平面BDE 的一个法向量,∴(3,3,0)CA =-,∴||13cos ,||||3226n CA n CA n CA ⋅<>===⋅⨯ ∵二面角F BE D --为锐角,∴二面角F BE D --的余弦值为1313. 20.(本小题满分12分) 【答案】(1)24x y =;(2)证明见解析.【解析】(1)因为AF FB =,所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长,所以2AC p =,依据抛物线的定义AC AF =,所以24AB AC p ==,()()224223BC p p =-,1223832ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =,所以抛物线的标准方程为24x y =.(2)易知直线MN 的斜率存在,设直线:1MN y kx =+,设()11,M x y ,()22,N x y联立24 1x y y kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=,得124x x =-, 24x y =,'2x y =,设()11,M x y ,()22,N x y ,111:22l y y xx +=,222:22l y y xx +=,()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---, 得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭,由111:22l y y xx +=,得1,02x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 12QF k x =-,221141222l x k x x -==⋅=-,所以2QF l k k =,即2PQ l ∥. 21.(本小题满分12分)【答案】(1)增函数;(2)1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭;(3)见解析. 【解析】(1)函数()f x 的定义域为R .由()'10f x =≥,知()f x 是实数集R 上的增函数.(2)令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=--,则()2131'ax g x --,令())2131h x ax =--,则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----==.(i )当16a ≥时,()'0h x ≤,从而()h x 是[)0,+∞上的减函数, 留意到()00h =,则0x ≥时,()0h x ≤,所以()'0g x ≤,进而()g x 是[)0,+∞上的减函数,留意到()00g =,则0x ≥时,()0g x ≤时,即()3f x ax ≤.(ii )当106a <<时,在⎡⎢⎣上,总有()'0h x >,从而知,当x ⎡∈⎢⎣⎭时,()3f x ax >; (iii )当0a ≤时,()'0h x >,同理可知()3f x ax >,综上,所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 请考生在22、23两题中任选一题作答,假如多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)【答案】(1)2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=,20x y +-=;(2)44PA PB -⋅≤+ 【解析】(1)圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=(θ为参数). 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.(2)由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ,点()0,2B . 设点(),P x y ,则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-.由(1)知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=,则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++.因为θ∈R ,所以44PA PB -≤⋅≤+23.(本小题满分10分)【答案】(1)55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭;(2)见解析.【解析】(1)()()15f x f x ++<即21215x x -++<, 当12x <-时,不等式化为12215x x ---<,∴5142x -<<-; 当1122x -≤≤时,不等式化为12215x x -++<,不等式恒成立; 当12x >时,不等式化为21215x x -++<,∴1524x <<. 综上,集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭.(2)由(1)知1m =,则1a b c ++=.则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=,即8M ≥.。
2019-2020年高考压轴卷 数学 含解析
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(图1) 2019-2020年高考压轴卷数学含解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1.已知复数的实部为,虚部为1,则的模等于 .2.已知集合,集合,则 .3.右图1是一个算法流程图,若输入的值为,则输出的值为 .4.函数的定义域为 .5.样本容量为10的一组数据,它们的平均数是5,频率如条形图2所示,则这组数据的方差等于.6.设是两个不重合的平面,是两条不重合的直线,给出下列四个命题:①若则;②若,,则;③若,则;④若,则.其中正确的命题序号为7.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1,则半径的取值范围是 .8.已知命题在上为减函数;命题,使得.则在命题,,,中任取一个命题,则取得真命题的概率是9.若函数,其图象如图3所示,则 .10.函数的图象经过四个象限,则a的取值范围是.11.在中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则函数在上的单调递增区间是 .12. “已知关于的不等式的解集为,解关于的不等式.”给出如下的一种解法:解:由的解集为,得的解集为,即关于的不等式的解集为.x y12图3图2参考上述解法:若关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为 .13.xx 年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行,为了迎接这一盛会,某公司计划推出系列产品,其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列满足,定义使为整数的实数k 为“青奥吉祥数”,则在区间[1,xx]内的所有“青奥吉祥数之和”为________14.已知,设集合,,若对同一x 的值,总有,其中,则实数的取值范围是 二、 解答题(本大题共6小题,共90分) 15.在中,角,,的对边分别为,,,向量,且 (1)求的值;(2)若,求边c 的长度.16.如图4,在四棱锥中,平面平面,AB ∥DC , 是等边三角形, 已知,.(1)设是上的一点,证明:平面平面; (2)求四棱锥的体积.17.如图5,GH 是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库,设AB = y km ,并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF (其中边EF 在GH 上),现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ,AC ,已知AB = AC 1,且∠ABC = 60o .(1)求y 关于x 的函数解析式;(2)如果中转站四周围墙造价为1万元/km ,两条道路造价为3万元/km ,问:x 取何值时,该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低?ABCMPD图4公 路HG F E DC B A 图5OMNF 2F 1yx(图6)18. 如图6,椭圆过点,其左、右焦点分别为,离心率,是椭圆右准线上的两个动点,且. (1)求椭圆的方程; (2)求的最小值;(3)以为直径的圆是否过定点?请证明你的结论.19.已知函数(1)求曲线在点处的切线方程; (2)求函数的单调增区间;(3)若存在,使得是自然对数的底数),求实数的取值范围.20. 已知数列{a n }中,a 2=a(a 为非零常数),其前n 项和S n 满足S n =n(a n -a 1)2(n N*).(1)求数列{a n }的通项公式; (2)若a=2,且,求m 、n 的值;(3)是否存在实数a 、b ,使得对任意正整数p ,数列{a n }中满足的最大项恰为第项?若存在,分别求出a 与b 的取值范围;若不存在,请说明理由.数学Ⅱ(附加题)21A .[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分) 如图,从圆外一点引圆的切线及割线,为切点. 求证:.21B .已知矩阵,计算.21C .已知圆的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立 平面直角坐标系,直线的参数方程是是参数).若直线与圆相切,求正数的值.21D .(本小题满分10分,不等式选讲)已知不等式对于满足条件的任意实数恒成立,求实数的取值范围.【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.P(第21 - A 题)(第22题)22.(本小题满分10分)22. 如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD ,底面ABCD 是边长为2的菱形,,,M 为PC 的中点.(1)求异面直线PB 与MD 所成的角的大小;(2)求平面PCD 与平面P AD 所成的二面角的正弦值.23.(本小题满分10分)袋中共有8个球,其中有3个白球,5个黑球,这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,并且另补一个白球放入袋中.重复上述过程n 次后,袋中白球的个数记为X n . (1)求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2);(2)求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式.xx 江苏高考压轴卷数学答案一、填空题1. 2.. 3.2 4. 5.7.2 6. ①③ 7. 8. 9.4 10. 11. 12. 13.2047 14. 提示: 1.,则,则. 2.{}{}{}2022≤=≥-=-==x x x x x y x B ,又,所以.3. 当时,,则;当时,,;当时,,;当时,不成立,则输出.4.要使原式有意义,则,即且.5.2出现次,5出现次,8出现次,所以[]2.7)55(4)55(2)52(41012222=-⨯+-⨯+-⨯=s . 6. 逐个判断。
数学高考压轴题含答案
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数学高考压轴题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________评卷人得分一、解答题1.已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值.(1)求a ;(2)证明:存在直线y b =,其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.2.已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上,直线l 交C 于P ,Q 两点,直线,AP AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积.3.已知函数()e e ax x f x x =-.(1)当1a =时,讨论()f x 的单调性;(2)当0x >时,()1f x <-,求a 的取值范围;(3)设n *∈Nln(1)n ++>+ .4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ,渐近线方程为y =.(1)求C 的方程;(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点,点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上,且1210,0x x y >>>.过P 且斜率为Q M .从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立:①M 在AB 上;②PQ AB ∥;③||||MA MB =.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.5.已知函数()e ln(1)x f x x =+.(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程;(2)设()()g x f x '=,讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性;(3)证明:对任意的,(0,)s t ∈+∞,有()()()f s t f s f t +>+.6.如图,已知椭圆22112x y +=.设A ,B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点,且点0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上,直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ,D两点.(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值;(2)求||CD 的最小值.7.设函数e()ln (0)2f x x x x=+>.(1)求()f x 的单调区间;(2)已知,a b ∈R ,曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b .证明:(ⅰ)若e a >,则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭;(ⅱ)若1230e,a x x x <<<<,则22132e 112e e 6e 6ea ax x a --+<+<-.(注:e 2.71828= 是自然对数的底数)参考答案:1.(1)1a =(2)见解析【解析】【分析】(1)根据导数可得函数的单调性,从而可得相应的最小值,根据最小值相等可求a.注意分类讨论.(2)根据(1)可得当1b >时,e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数均为2,构建新函数()e ln 2x h x x x =+-,利用导数可得该函数只有一个零点且可得()(),f x g x 的大小关系,根据存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点可得b 的取值,再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)()e x f x ax =-的定义域为R ,而()e '=-x f x a ,若0a ≤,则()0f x '>,此时()f x 无最小值,故0a >.()ln g x ax x =-的定义域为()0,∞+,而11()ax g x a x x'-=-=.当ln x a <时,()0f x '<,故()f x 在(),ln a -∞上为减函数,当ln x a >时,()0f x '>,故()f x 在()ln ,a +∞上为增函数,故()min ()ln ln f x f a a a a ==-.当10x a <<时,()0g x '<,故()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数,当1x a >时,()0g x '>,故()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数,故min 11()1ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.因为()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值,故11lnln a a a a-=-,整理得到1ln 1a a a -=+,其中0a >,设()1ln ,01a g a a a a -=->+,则()()()222211011a g a a a a a --'=-=≤++,故()g a 为()0,∞+上的减函数,而()10g =,故()0g a =的唯一解为1a =,故1ln 1aa a-=+的解为1a =.综上,1a =.(2)由(1)可得e ()x x f x =-和()ln g x x x =-的最小值为11ln11ln 11-=-=.当1b >时,考虑e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数.设()e xS x x b =--,()e 1x S x '=-,当0x <时,()0S x '<,当0x >时,()0S x '>,故()S x 在(),0∞-上为减函数,在()0,∞+上为增函数,所以()()min 010S x S b ==-<,而()e0bS b --=>,()e 2b S b b =-,设()e 2b u b b =-,其中1b >,则()e 20bu b '=->,故()u b 在()1,+∞上为增函数,故()()1e 20u b u >=->,故()0S b >,故()e xS x x b =--有两个不同的零点,即e x x b -=的解的个数为2.设()ln T x x x b =--,()1x T x x-'=,当01x <<时,()0T x '<,当1x >时,()0T x '>,故()T x 在()0,1上为减函数,在()1,+∞上为增函数,所以()()min 110T x T b ==-<,而()ee0bbT --=>,()e e 20b b T b =->,()ln T x x x b =--有两个不同的零点即ln x x b -=的解的个数为2.当1b =,由(1)讨论可得ln x x b -=、e x x b -=仅有一个零点,当1b <时,由(1)讨论可得ln x x b -=、e x x b -=均无零点,故若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点,则1b >.设()e ln 2x h x x x =+-,其中0x >,故1()e 2xh x x'=+-,设()e 1x s x x =--,0x >,则()e 10xs x '=->,故()s x 在()0,∞+上为增函数,故()()00s x s >=即e 1x x >+,所以1()1210h x x x'>+-≥->,所以()h x 在()0,∞+上为增函数,而(1)e 20h =->,31e 333122(e 3e 30e e eh =--<--<,故()h x 在()0,∞+上有且只有一个零点0x ,0311ex <<且:当00x x <<时,()0h x <即e ln x x x x -<-即()()f x g x <,当0x x >时,()0h x >即e ln x x x x ->-即()()f x g x >,因此若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点,故()()001b f x g x ==>,此时e x x b -=有两个不同的零点1010,(0)x x x x <<,此时ln x x b -=有两个不同的零点0404,(01)x x x x <<<,故11e xx b -=,00e x x b -=,44ln 0x x b --=,00ln 0x x b --=所以44ln x b x -=即44ex bx -=即()44e0x bx b b ----=,故4x b -为方程e x x b -=的解,同理0x b -也为方程e x x b -=的解又11e x x b -=可化为11e xx b =+即()11ln 0x x b -+=即()()11ln 0x b x b b +-+-=,故1x b +为方程ln x x b -=的解,同理0x b +也为方程ln x x b -=的解,所以{}{}1004,,x x x b x b =--,而1b >,故0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩即1402x x x +=.【点睛】思路点睛:函数的最值问题,往往需要利用导数讨论函数的单调性,此时注意对参数的分类讨论,而不同方程的根的性质,注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.2.(1)1-;(2)9.【解析】【分析】(1)由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ,易知直线l 的斜率存在,设:l y kx m =+,()()1122,,,P x y Q x y ,再根据0AP BP k k +=,即可解出l 的斜率;(2)根据直线,AP AQ 的斜率之和为0可知直线,AP AQ的倾斜角互补,再根据tan PAQ ∠=,AP AQ 的斜率,再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 的坐标,即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长,由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离,即可得出PAQ △的面积.(1)因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上,所以224111a a -=-,解得22a =,即双曲线22:12x C y -=易知直线l 的斜率存在,设:l y kx m =+,()()1122,,,P x y Q x y ,联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得,()222124220k x mkx m ----=,所以,2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--,()()22222216422210120m k m k m k ∆=++->⇒-+>.所以由0AP BP k k +=可得,212111022y y x x --+=--,即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=,即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=,所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭,化简得,()2844410k k m k +-++=,即()()1210k k m +-+=,所以1k =-或12m k =-,当12m k =-时,直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ,与题意不符,舍去,故1k =-.(2)不妨设直线,PA PB 的倾斜角为(),αβαβ<,因为0AP BP k k +=,所以παβ+=,因为tan PAQ ∠=,所以()tan βα-=,即tan 2α=-,2tan 0αα-=,解得tan α,于是,直线):21PA y x =-+,直线):21PB y x =-+,联立)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩可得,(23211002x x +-+-=,因为方程有一个根为2,所以103P x -=,P y=53,同理可得,103Q x +=,Q y=53-.所以5:03PQ x y +-=,163PQ =,点A 到直线PQ的距离3d =,故PAQ △的面积为11623⨯=3.(1)()f x 的减区间为(),0-∞,增区间为()0,+∞.(2)12a ≤(3)见解析【解析】【分析】(1)求出()f x ¢,讨论其符号后可得()f x 的单调性.(2)设()e e 1ax xh x x =-+,求出()h x '',先讨论12a >时题设中的不等式不成立,再就102a <≤结合放缩法讨论()h x '符号,最后就0a ≤结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围.(3)由(2)可得12ln t t t<-对任意的1t >恒成立,从而可得()ln 1ln n n +-的*n N ∈恒成立,结合裂项相消法可证题设中的不等式.(1)当1a =时,()()1e x f x x =-,则()e xf x x '=,当0x <时,()0f x ¢<,当0x >时,()0f x ¢>,故()f x 的减区间为(),0-∞,增区间为()0,+∞.(2)设()e e 1ax xh x x =-+,则()00h =,又()()1e e ax x h x ax '=+-,设()()1e e ax xg x ax =+-,则()()22e e ax xg x a a x '=+-,若12a >,则()0210g a '=->,因为()g x '为连续不间断函数,故存在()00,x ∈+∞,使得()00,x x ∀∈,总有()0g x ¢>,故()g x 在()00,x 为增函数,故()()00g x g >=,故()h x 在()00,x 为增函数,故()()01h x h >=-,与题设矛盾.若102a <≤,则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-,下证:对任意0x >,总有()ln 1x x +<成立,证明:设()()ln 1S x x x =+-,故()11011x S x x x-'=-=<++,故()S x 在()0,+∞上为减函数,故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤,故()0h x '≤总成立,即()h x 在()0,+∞上为减函数,所以()()01h x h <=-.当0a ≤时,有()e e e 1100ax x axh x ax '=-+<-+=,所以()h x 在()0,+∞上为减函数,所以()()01h x h <=-.综上,12a ≤.(3)取12a =,则0x ∀>,总有12e e 10x x x -+<成立,令12e x t =,则21,e ,2ln x t t x t >==,故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N ∈,有<整理得到:()ln 1ln n n +-()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n +-+-+++- ()ln 1n =+,故不等式成立.【点睛】思路点睛:函数参数的不等式的恒成立问题,应该利用导数讨论函数的单调性,注意结合端点处导数的符号合理分类讨论,导数背景下数列不等式的证明,应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.4.(1)2213y x -=(2)见解析【解析】【分析】(1)利用焦点坐标求得c 的值,利用渐近线方程求得,a b 的关系,进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值,得到双曲线的方程;(2)先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零,设直线AB 的斜率为k ,M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k +=-;由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程,结合双曲线的方程,两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y =,由②//PQ AB 等价转化为003ky x =,由①M在直线AB 上等价于()2002ky k x =-,然后选择两个作为已知条件一个作为结论,进行证明即可.(1)右焦点为(2,0)F ,∴2c =,∵渐近线方程为y =,∴ba=b ,∴222244c a b a =+==,∴1a =,∴b =∴C 的方程为:2213y x -=;(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零,直线AB 的斜率不为零,若选由①②推③或选由②③推①:由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零;若选①③推②,则M 为线段AB 的中点,假若直线AB 的斜率不存在,则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上,即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称,与从而12x x =,已知不符;总之,直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上,等价于()()2000022y k x ky k x =-⇔=-;两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得:()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得:()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦,()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-;由题意知直线PM 的斜率为直线QM ,∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==--,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中,得:()()00003y y ⎡⎤-=⎣⎦,解得P的横坐标:100x y ⎛⎫=+⎪⎪⎭,同理:200x y ⎛⎫=⎪⎪⎭,∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎛⎫-=++-=--⎪--⎭∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=,综上所述:条件①M 在AB 上,等价于()2002ky k x =-;条件②//PQ AB 等价于003ky x =;条件③AM BM =等价于200283kx ky k +=-;选①②推③:由①②解得:2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立;选①③推②:由①③解得:20223k x k =-,20263k ky k =-,∴003ky x =,∴②成立;选②③推①:由②③解得:20223k x k =-,20263k ky k =-,∴02623x k -=-,∴()2002ky k x =-,∴①成立.5.(1)y x=(2)()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】(1)先求出切点坐标,在由导数求得切线斜率,即得切线方程;(2)在求一次导数无法判断的情况下,构造新的函数,再求一次导数,问题即得解;(3)令()()()m x f x t f x =+-,(,0)x t >,即证()(0)m x m >,由第二问结论可知()m x 在[0,+∞)上单调递增,即得证.(1)解:因为()e ln(1)x f x x =+,所以()00f =,即切点坐标为()0,0,又1()e (ln(1))1xf x x x=+++',∴切线斜率(0)1k f '==∴切线方程为:y x =(2)解:因为1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+,所以221()e (ln(1))1(1)xg x x x x =++++',令221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++,则22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++',∴()h x 在[0,)+∞上单调递增,∴()(0)10h x h ≥=>∴()0g x '>在[0,)+∞上恒成立,∴()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)解:原不等式等价于()()()(0)f s t f s f t f +->-,令()()()m x f x t f x =+-,(,0)x t >,即证()(0)m x m >,∵()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+,e e ()e ln(1)e ln(1)()()11x t x x tx m x x t x g x t g x x t x++=++++-=+-++'+,由(2)知1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+在[)0,∞+上单调递增,∴()()g x t g x +>,∴()0m x '>∴()m x 在()0,∞+上单调递增,又因为,0x t >,∴()(0)m x m >,所以命题得证.6.(1)11;(2)5.【解析】【分析】(1)设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出2||PQ ,再根据二次函数的性质即可求出;(2)设直线1:2AB y kx =+与椭圆方程联立可得1212,x x x x +,再将直线132y x =-+方程与PA PB 、的方程分别联立,可解得点,C D 的坐标,再根据两点间的距离公式求出CD ,最后代入化简可得231CD k =⋅+,由柯西不等式即可求出最小值.(1)设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,则222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PQ θθθθθ⎛⎫=+-=--=-+≤⎭+⎪⎝,当且仅当1sin 11θ=-时取等号,故||PQ (2)设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,设()()1122,,,A x y B x y ,所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⎨⎪=-⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩,因为直线111:1y PA y x x -=+与直线132y x =-+交于C ,则111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-.则224||(21)1C D x CD x k x =-=+-2=35161656565231555k =⋅=≥=+,当且仅当316k =时取等号,故CD 的最小值为5.【点睛】本题主要考查最值的计算,第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决,第二问思路简单,运算量较大,求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值,对学生的综合能力要求较高,属于较难题.7.(1)()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,,增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)(ⅰ)见解析;(ⅱ)见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导数,讨论其符号后可得函数的单调性.(2)(ⅰ)由题设构造关于切点横坐标的方程,根据方程有3个不同的解可证明不等式成立,(ⅱ)31x k x =,1e a m =<,则题设不等式可转化为()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+,结合零点满足的方程进一步转化为()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+,利用导数可证该不等式成立.(1)()22e 12e 22xf x x x x -'=-+=,当e02x <<,()0f x ¢<;当e 2x >,()0f x ¢>,故()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,,()f x 的增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)(ⅰ)因为过(),a b 有三条不同的切线,设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =,故()()()i i i f x b f x x a '-=-,故方程()()()f x b f x x a '-=-有3个不同的根,该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x ⎛⎫----+= ⎪⎝⎭,设()()21e e ln 22g x x a x b x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭,则()()22321e 1e 1e22g x x a x x x x x x⎛⎫'=-+-+--+ ⎪⎝⎭()()31e x x a x =---,当0e x <<或x a >时,()0g x ¢<;当e x a <<时,()0g x ¢>,故()g x 在()()0,e ,,a +∞上为减函数,在()e,a 上为增函数,因为()g x 有3个不同的零点,故()e 0g <且()0>g a ,故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+> ⎪⎝⎭,整理得到:12e a b <+且()e ln 2b a f a a >+=,此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a a ⎛⎫⎛⎫---<-+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设()3e ln 22u a a a =--,则()2e-202au a a '=<,故()u a 为()e,+∞上的减函数,故()3eln e 022eu a <--=,故()1012e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭.(ⅱ)当0e a <<时,同(ⅰ)中讨论可得:故()g x 在()()0,,e,a +∞上为减函数,在(),e a 上为增函数,不妨设123x x x <<,则1230e x a x x <<<<<,因为()g x 有3个不同的零点,故()0g a <且()e 0g >,故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+< ⎪⎝⎭,整理得到:1ln 2e 2ea ab a +<<+,因为123x x x <<,故1230e x a x x <<<<<,又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=-+-+,设e t x =,()0,1e a m =∈,则方程2e e 1ln 02a ax b x x+-+-+=即为:2e ln 0e 2ea at t t b +-+++=即为()21ln 02m m t t t b -++++=,记123123e e e ,,,t t t x x x ===则113,,t t t 为()21ln 02m m t t t b -++++=有三个不同的根,设3131e 1x t k t x a ==>>,1eam =<,要证:22122e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-,即证13e 2e e 26e 6ea at t a --+<+<-,即证:13132166m mt t m --<+<-,即证:131********m m t t t t m --⎛⎫⎛⎫+-+-+< ⎪⎝⎭⎝⎭,即证:()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+,而()21111ln 02m m t t t b -++++=且()23331ln 02mm t t t b -++++=,故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t -+--+-=,故131313ln ln 222t t t t m m t t -+--=-⨯-,故即证:()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t --+--⨯<-+,即证:()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +--++>-即证:()()()213121ln 0172m m m k k k --+++>-,记()()1ln ,11k k k k k ϕ+=>-,则()()2112ln 01k k k kk ϕ⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭-,设()12ln u k k k k =--,则()2122210u k k k k k'=+->-=即()0k ϕ'>,故()k ϕ在()1,+∞上为增函数,故()()k m ϕϕ>,所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m --+--++++>+--,记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m ω---+=+<<+,则()()()()()()()2232322132049721330721721m mm m m mm m m m m ω---+-+'=>>++,所以()m ω在()0,1为增函数,故()()10m ωω<=,故()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m --+++>-,故原不等式得证:【点睛】思路点睛:导数背景下的切线条数问题,一般转化为关于切点方程的解的个数问题,而复杂方程的零点性质的讨论,应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式,常用的方法有比值代换等.。
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9. 函数 f ( x) 的定义域为 R,并满足以下条件:
1 ①对任意 x R ,有 f ( x) 0 ;②对任意 x 、 y R ,有 f ( xy ) [ f ( x)] y ;③ f ( ) 1. 3 (1)求 f (0) 的值; (2)求证: f ( x) 在 R 上是单调增函数; (3)若 a b c 0, 且b 2 ac ,求证: f (a ) f (c) 2 f (b).
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高中数学
4.已知函数: f ( x)
x 1 a (a R且x a ) ax
(Ⅰ)证明:f(x)+2+f(2a-x)=0 对定义域内的所有 x 都成立. (Ⅱ)当 f(x)的定义域为[a+
1 ,a+1]时,求证:f(x)的值域为[-3,-2]; 2
(Ⅲ)设函数 g(x)=x2+|(x-a)f(x)| ,求 g(x) 的最小值 .
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高中数学
12. 某造船公司年最高造船量是 20 艘. 已知造船 x 艘的产值函数 R (x)=3700x + 45x2 – 10x3(单位:万 元), 成本函数为 C (x) = 460x + 5000 (单位:万元). 又在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf (x)定义 为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:(提示:利润 = 产值 – 成本) (1) 利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x); (2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大? (3) 边际利润函数 MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?
15.设函数 f ( x) 定义在 R 上, 对任意的 m, n R , 恒有 f (m n) f (m) f (n) , 且当 x 1 时, f ( x) 0 。 试解决以下问题: (1)求 f (1) 的值,并判断 f ( x) 的单调性; (2)设集合 A ( x, y ) | f ( x y ) f ( x y ) 0 , B ( x, y ) | f (ax y 2) 0, a R ,若 A B ,求实 数 a 的取值范围; (3)若 0 a b ,满足 | f (a ) || f (b) | 2 | f (
2024年高考数学新题型之19题压轴题专项汇编(解析版)
![2024年高考数学新题型之19题压轴题专项汇编(解析版)](https://img.taocdn.com/s3/m/a133a86aa4e9856a561252d380eb6294dd88220b.png)
2024新题型之19压轴题1.命题方向2024新题型之19压轴题以大学内容为载体的新定义题型以数列为载体的新定义题型以导数为载体的新定义题型两个知识交汇2.模拟演练题型01以大学内容为载体的新定义题型1(2024·安徽合肥·一模)“q -数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q 是非零实数,对任意n ∈N *,定义“q -数”(n )q =1+q +⋯+q n -1利用“q -数”可定义“q -阶乘”n !q =(1)q (2)q ⋯(n )q ,且0 !q =1.和“q -组合数”,即对任意k ∈N ,n ∈N *,k ≤n ,n kq =n !qk !q n -k !q(1)计算:532;(2)证明:对于任意k ,n ∈N *,k +1≤n ,n k q =n -1k -1q +q k n -1kq(3)证明:对于任意k ,m ∈N ,n ∈N *,k +1≤n ,n +m +1k +1 q -n k +1 q =∑m i =0q n -k +i n +ikq.【解】(1)由定义可知,532=5 !23 !22 !2=(1)2(2)2(3)2(4)2(5)2(1)2(2)2(3)2 (1)2(2)2=(4)2(5)2(1)2(2)2=1+2+22+23 1+2+22+23+24 1×1+2=155.(2)因为n kq =n !qk !q n -k !q =(n )q ⋅n -1 !q k !q n -k !q,n -1k -1q +q k n -1kq =n -1 !q k -1 !q n -k !q +q k ⋅n -1 !q k !q n -k -1 !q=n -1 !q k !q n -k !q(k )q +q k⋅(n -k )q .又(k )q +q k ⋅(n -k )q =1+q +⋯+q k -1+q k 1+q +⋯+q n -k -1=1+q +⋯+q n -1=(n )q ,所以n k q =n -1k -1q +q k n -1kq(3)由定义得:对任意k ∈N ,n ∈N *,k ≤n ,n k q =nn -kq.结合(2)可知n k q =n n -kq =n -1n -k -1q +q n -k n -1n -kq=n -1kq +q n -kn -1k -1q即n k q =n -1kq +q n -k n -1k -1q,也即n k q -n -1k q =q n -k n -1k -1q.所以n +m +1k +1q -n +m k +1 q =q n +m -k n +mkq,n +m k +1 q -n +m -1k +1q =q n +m -1-k n +m -1kq,⋯⋯n +1k +1 q -n k +1 q =q n -k nkq.上述m +1个等式两边分别相加得:n +m +1k +1q -n k +1 q =∑m i =0q n -k +i n +ikq.2(2024·广东江门·一模)将2024表示成5个正整数x 1,x 2,x 3,x 4,x 5之和,得到方程x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=2024①,称五元有序数组x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 为方程①的解,对于上述的五元有序数组x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ,当1≤i ,j ≤5时,若max (x i -x j )=t (t ∈N ),则称x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 是t -密集的一组解.(1)方程①是否存在一组解x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ,使得x i +1-x i i =1,2,3,4 等于同一常数?若存在,请求出该常数;若不存在,请说明理由;(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的?(3)记S =5i =1x 2i ,问S 是否存在最小值?若存在,请求出S 的最小值;若不存在,请说明理由.【解】(1)若x i +1-x i i =1,2,3,4 等于同一常数,根据等差数列的定义可得x i 构成等差数列,所以x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=5x 3=2024,解得x 3=20245,与x 3∈N *矛盾,所以不存在一组解x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ,使得x i +1-x i i =1,2,3,4 等于同一常数;(2)因为x =15x 1+x 2+x 3+x 4+x 5 =20245=404.8,依题意t =1时,即当1≤i ,j ≤5时,max (x i -x j )=1,所以max x i =405,min x j =404,设有y 个405,则有5-y 个404,由405y +4045-y =2024,解得y =4,所以x 1,x 2,x 3,x 4,x 5中有4个405,1个404,所以方程①的解共有5组.(3)因为平均数x =15x 1+x 2+x 3+x 4+x 5 =20245=404.8,又方差σ2=155i =1x i -x 2 ,即5σ2=5i =1x i -x 2 =5i =1x 2i -5x 2,所以S =5σ2+5x 2,因为x 为常数,所以当方差σ2取最小值时S 取最小值,又当t =0时x 1=x 2=x 3=x 4=x 5,即5x 1=2024,方程无正整数解,故舍去;当t =1时,即x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 是1-密集时,S 取得最小值,且S min =4×4052+4042=819316.3(2024·江苏四校一模)交比是射影几何中最基本的不变量,在欧氏几何中亦有应用.设A ,B ,C ,D 是直线l 上互异且非无穷远的四点,则称AC BC ⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度,例如AB =-BA )为A ,B ,C ,D 四点的交比,记为(A ,B ;C ,D ).(1)证明:1-(D ,B ;C ,A )=1(B ,A ;C ,D );(2)若l 1,l 2,l 3,l 4为平面上过定点P 且互异的四条直线,L 1,L 2为不过点P 且互异的两条直线,L 1与l 1,l 2,l 3,l 4的交点分别为A 1,B 1,C 1,D 1,L 2与l 1,l 2,l 3,l 4的交点分别为A 2,B 2,C 2,D 2,证明:(A 1,B 1;C 1,D 1)=(A 2,B 2;C 2,D 2);(3)已知第(2)问的逆命题成立,证明:若ΔEFG 与△E ′F ′G ′的对应边不平行,对应顶点的连线交于同一点,则ΔEFG 与△E ′F ′G ′对应边的交点在一条直线上.【解】证明:(1)交比是射影几何中最基本的不变量,在欧氏几何中亦有应用,设A ,B ,C ,D 是直线l 上互异且非无穷远的四点,则称AC BC ⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度,例如AB =-BA )为A ,B ,C ,D 四点的交比,记为(A ,B ;C ,D ).1-(D ,B ;C ,A )=1-DC ⋅BA BC ⋅DA =BC ⋅AD +DC ⋅BABC ⋅AD =BC ⋅(AC +CD )+CD ⋅AB BC ⋅AD,=BC ⋅AC +BC ⋅CD +CD ⋅AB BC ⋅AD =BC ⋅AC +AC ⋅CD BC ⋅AD =AC ⋅BD BC ⋅AD =1(B ,A ;C ,D );(2)(A1,B 1;C 1,D 1)=A 1C 1⋅B 1D 1B 1C 1⋅A 1D 1=S △PA 1C 1⋅S △PB 1D 1S △PB 1C 1⋅S △PA 1D 1=12⋅PA 1⋅PC 1⋅sin ∠A 1PC 1⋅12⋅PB 1⋅PD 1⋅sin ∠B 1PD 112⋅PB 1⋅PC 1⋅sin ∠B 1PC 1⋅12⋅PA 1⋅PD 1⋅sin ∠A 1PD 1=sin ∠A 1PC 1⋅sin ∠B 1PD 1sin ∠B 1PC 1⋅sin ∠A 1PD 1=sin ∠A 2PC 2⋅sin ∠B 2PD 2sin ∠B 2PC 2⋅sin ∠A 2PD 2=S △PA 2C 2⋅S △PB 2D 2S △PB 2C 2⋅S △PA 2D 2=A 2C 2⋅B 2D 2B 2C 2⋅A 2D 2=(A 2,B 2;C 2,D 2);(3)设EF 与E ′F ′交于X ,FG 与F ′G ′交于Y ,EG 与E ′G ′交于Z ,连接XY ,FF ′与XY 交于L ,EE ′与XY 交于M ,GG ′与XY 交于N ,欲证X ,Y ,Z 三点共线,只需证Z 在直线XY 上,考虑线束XP ,XE ,XM ,XE ′,由第(2)问知(P ,F ;L ,F ′)=(P ,E ;M ,E ′),再考虑线束YP ,YF ,YL ,YF ′,由第(2)问知(P ,F ;L ,F ′)=(P ,G ;N ,G ′),从而得到(P ,E ;M ,E ′)=(P ,G ;N ,G ′),于是由第(2)问的逆命题知,EG ,MN ,E ′G ′交于一点,即为点Z ,从而MN 过点Z ,故Z 在直线XY 上,X ,Y ,Z 三点共线.题型02以数列为载体的新定义题型4(2024·安徽黄山·一模)随着信息技术的快速发展,离散数学的应用越来越广泛.差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具,并且有广泛的应用.对于数列a n ,规定Δa n 为数列a n 的一阶差分数列,其中Δa n =a n +1-a n n ∈N * ,规定Δ2a n 为数列a n 的二阶差分数列,其中Δ2a n =Δa n +1-Δa nn ∈N *.(1)数列a n 的通项公式为a n =n 3n ∈N * ,试判断数列Δa n ,Δ2a n 是否为等差数列,请说明理由?(2)数列log a b n 是以1为公差的等差数列,且a >2,对于任意的n ∈N *,都存在m ∈N *,使得Δ2b n =b m ,求a 的值;(3)各项均为正数的数列c n 的前n 项和为S n ,且Δc n 为常数列,对满足m +n =2t ,m ≠n 的任意正整数m,n,t都有c m≠c n,且不等式S m+S n>λS t恒成立,求实数λ的最大值.【解】(1)因为a n=n3,所以Δa n=a n+1-a n=n+13-n3=3n2+3n+1,因为Δa1=7,Δa2=19,Δa3=37,故Δa2-Δa1=12,Δa3-Δa2=18,显然Δa2-Δa1≠Δa3-Δa2,所以Δa n不是等差数列;因为Δ2a n=Δa n+1-Δa n=6n+6,则Δ2a n+1-Δ2a n=6,Δ2a1=12,所以Δ2a n是首项为12,公差为6的等差数列.(2)因为数列log a b n是以1为公差的等差数列,所以log a b n+1-log a b n=1,故b n+1b n=a,所以数列b n是以公比为a的正项等比数列,b n=b1a n-1,所以Δ2b n=Δb n+1-Δb n=b n+2-b n+1-b n+1-b n=b n+2-2b n+1+b n,且对任意的n∈N*,都存在m∈N*,使得Δ2b n=b m,即b1a n+1-2b1a n+b1a n-1=b1a m-1,所以a-12=a m-n,因为a>2,所以m-n>0,①若m-n=1,则a2-3a+1=0,解得a=3-52(舍),或a=3+52,即当a=3+52时,对任意的n∈N*,都存在m∈N*,使得Δ2b n=b m=b n+1.②若m-n≥2,则a m-n≥a2>a-12,对任意的n∈N*,不存在m∈N*,使得Δ2b n=b m.综上所述,a=3+5 2.(3)因为Δc n为常数列,则c n是等差数列,设c n的公差为d,则c n=c1+n-1d,若d=0,则c n=c m,与题意不符;若d<0,所以当n>1-c1d时,c n<0,与数列c n的各项均为正数矛盾,所以d>0,由等差数列前n项和公式可得S n=d2n2+c1-d2n,所以S n+S m=d2n2+m2+c1-d2n+m,因为m+n=2t,所以S t=d2n+m22+c1-d2n+m2,因为m≠n,故n2+m22>n+m22,所以S n+S m=d2n2+m2+c1-d2n+m>d2×n+m22+c1-d2n+m=2S t则当λ≤2时,不等式S m +S n >λS t 恒成立,另一方面,当λ>2时,令m =t +1,n =t -1,n ∈N *,t ≥2,则S n +S m =d 22t 2+2 +2t c 1-d 2 ,S t =d 2t 2+c 1-d 2t ,则λS t -S n +S m =d 2λt 2+c 1-d 2 λt -d 22t 2+2 -2t c 1-d2=d2λ-dt 2-t +λ-2 c 1t -d ,因为d2λ-d >0,t 2-t ≥0,当t >dλ-2 c 1时,λS t -S n +S m >0,即S n +S m <λS t ,不满足不等式S m +S n >λS t 恒成立,综上,λ的最大值为2.5(2024·辽宁葫芦岛·一模)大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂,要想分析出海量数据所蕴含的价值,数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位,合适的算法就会起到事半功倍的效果.现有一个“数据漏斗”软件,其功能为;通过操作L M ,N 删去一个无穷非减正整数数列中除以M 余数为N 的项,并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列.设数列a n 的通项公式a n =3n -1,n ∈N +,通过“数据漏斗”软件对数列a n 进行L 3,1 操作后得到b n ,设a n +b n 前n 项和为S n .(1)求S n ;(2)是否存在不同的实数p ,q ,r ∈N +,使得S p ,S q ,S r 成等差数列?若存在,求出所有的p ,q ,r ;若不存在,说明理由;(3)若e n =nS n2(3n-1),n ∈N +,对数列e n 进行L 3,0 操作得到k n ,将数列k n 中下标除以4余数为0,1的项删掉,剩下的项按从小到大排列后得到p n ,再将p n 的每一项都加上自身项数,最终得到c n ,证明:每个大于1的奇平方数都是c n 中相邻两项的和.【解】(1)由a n =3n -1,n ∈N +知:当n =1时,a 1=1;当n ≥2时a n3∈N +,故b n =3n ,n ∈N +,则S n =4∑ni =13n -1=4×1-3n1-3=23n -1 ,n ∈N +;(2)假设存在,由S n 单调递增,不妨设p <q <r ,2S q =S p +S r ,p ,q ,r ∈N +,化简得3p -q+3r -q=2,∵p -q <0,∴0<3p -q<1,∴1<3r -q<2,∴0<r -q <log 23<1,与“q <r ,且q ,r ∈N +”矛盾,故不存在;(3)由题意,e n =nS n 2(3n -1)=n ×2(3n -1)2(3n -1)=n ,则e 3n =3n ,e 3n -2=3n -2,e 3n -1=3n -1,所以保留e 3n -2,e 3n -1,则k 2n -1=3n -2,k 2n =3n -1,n ∈N +,又k 4n +1=6n +1,k 4n +2=6n +2,k 4n +3=6n +4,k 4n +4=6n +5,n ∈N +,将k 4n ,k 4n +1删去,得到p n ,则p 2n +1=6n +2,p 2n +2=6n +4,c 2n +1=6n +2 +2n +1 =8n +3,c 2n +2=6n +4 +2n +2 =8n +6,n ∈N +,即:c 2n -1=8n -5,c 2n =8n -2,n ∈N +,即:c n =4n -1,n =2k -14n -2,n =2k,k ∈N +,记r k =k k +12,下面证明:(2k +1)2=c r k+c r k-1,由r 4m =8m 2+2m ,r 4m +1=8m 2+6m +1,r 4m +2=8m 2+10m +3,r 4m +3=8m 2+14m +6,k =4m 时,r 4m =8m 2+2m ,r 4m +1=8m 2+2m +1,c r 4tm+c r4m -1=48m 2+2m -2 +48m 2+2m +1 -1=64m 2+16m +1=(2×4m +1)2;k =4m +1时,r 4m -1=8m 2+6m +1,r 4m +1=8m 2+6m +2,c r4m -1+c r4m +1-1=48m 2+6m +1 -1 +48m 2+6m +2 -2=64m 2+48m +9=24m +1 +1 2;k =4m +2时,k 4m +2=8m 2+10m +3,k 4m +2+1=8m 2+10m +4,c k4m -2+c k4m -2+1=48m 2+10m +3 -1 +48m 2+10m +4 -2=64m 2+80m +25=24m +2 +1 2;k =4m +3时,r 4m +3=8m 2+14m +6,r 4m +3+1=8m 2+14m +7,c r4m +3+c r4m +3+1=48m 2+14m +6 -2 +48m 2+14m +7 -1=64m 2+112m +49=24m +3 +1 2,综上,对任意的k ∈N +,都有2k +1 2=c r k+c r k+1,原命题得证.6(2024·山东青岛·一模)记集合S =a n |无穷数列a n 中存在有限项不为零,n ∈N * ,对任意a n ∈S ,设变换f a n =a 1+a 2x +⋯+a n x n -1+⋯,x ∈R .定义运算⊗:若a n ,b n ∈S ,则a n ⊗b n∈S ,f a n ⊗b n =f a n ⋅f b n .(1)若a n ⊗b n =m n ,用a 1,a 2,a 3,a 4,b 1,b 2,b 3,b 4表示m 4;(2)证明:a n ⊗b n ⊗c n =a n ⊗b n ⊗c n ;(3)若a n =n +12+1n n +1,1≤n ≤1000,n >100,b n=12203-n,1≤n ≤5000,n >500,d n =a n ⊗b n ,证明:d 200<12.【解】(1)因为f a n ⊗b n =f a n ⋅f b n =a 1+a 2x +a 3x 2+a 4x 3⋯ b 1+b 2x +b 3x 2+b 4x 3⋯ =⋅⋅⋅+a 1b 4+a 2b 3+a 3b 2+a 4b 1 x 3+⋅⋅⋅,且f m n =m 1+m 2x +m 3x 2+m 4x 3+⋯,所以,由a n ⊗b n =m n 可得m 4x 3=(a 1b 4+a 2b 3+a 3b 2+a 4b 1)x 3,所以m 4=a 1b 4+a 2b 3+a 3b 2+a 4b 1.(2)因为f ({a n }⊗{b n })=f ({a n })⋅f ({b n }),所以f ({a n })⋅f ({b n })⋅f ({c n })=f ({a n }⊗{b n })⋅f ({c n })=f (({a n }⊗{b n })⊗{c n })又因为f a n ⋅f b n ⋅f c n =f a n ⋅f b n ⋅f c n =f ({a n })⋅f ({b n }⊗{c n })=f ({a n }⊗({b n }⊗{c n }))所以f (({a n }⊗{b n })⊗f {c n })=f ({a n }⊗({b n }⊗f {c n })),所以a n ⊗b n ⊗c n =a n ⊗b n ⊗c n .(3)对于{a n },{b n }∈S ,因为(a 1+a 2x +⋯+a n x n -1+⋯)(b 1+b 2x +⋯+b n x n -1+⋯)=d 1+d 2x +⋯+d n x n -1+⋯,所以d n x n -1=a 1(b n x n -1)+⋯+a k x k -1(b n +1-k x n -k )+⋯+a n -1x n -2(b 2x )+a n x n -1b 1,所以d n =a 1b n +a 2b n -1+⋯+a k b n +1-k +⋯+a n -1b 2+a n b 1,所以a n ⊗b n =d n =∑nk =1a kb n +1-k ,d 200=200k =1a k b 201-k =100k =1a k b 201-k +200k =101a k b 201-k =100k =1a k b 201-k =100k =1(k +1)2+1k (k +1)2k +2,所以d 200=∑100k =112k +21+2k -1k +1,=∑100k =112k +2+∑100k =11k ⋅2k +1-1k +1 ⋅2k +2=12-102101×2102<12.7(2024·江苏徐州·一模)对于每项均是正整数的数列P :a 1,a 2,⋯,a n ,定义变换T 1,T 1将数列P 变换成数列T 1P :n ,a 1-1,a 2-1,⋯,a n -1.对于每项均是非负整数的数列Q :b 1,b 2,⋯,b m ,定义S (Q )=2(b 1+2b 2+⋯+mb m )+b 21+b 22+⋯+b 2m ,定义变换T 2,T 2将数列Q 各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列T 2Q .(1)若数列P 0为2,4,3,7,求S T 1P 0 的值;(2)对于每项均是正整数的有穷数列P 0,令P k +1=T 2T 1P k ,k ∈N .(i )探究S T 1P 0 与S P 0 的关系;(ii )证明:S P k +1 ≤S P k .【解】(1)依题意,P 0:2,4,3,7,T 1P 0 :4,1,3,2,6,S T 1P 0 =2(4+2×1+3×3+4×2+5×6)+16+1+9+4+36=172.(2)(i )记P 0:a 1,a 2,⋯,a n ,(a 1,a 2,⋯,a n ∈N *),T 1P 0 :n ,a 1-1,a 2-1,⋯,a n -1,S (T 1(P 0))=2[n +2(a 1-1)+3(a 2-1)+⋯+(n +1)(a n -1)]+n 2+(a 1-1)2+(a 2-1)2+⋯+(a n -1)2,S (P 0)=2(a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n )+a 21+a 22+⋯+a 2n ,S (T 1(P 0))-S (P 0)=2n +2a 1+2a 2+⋯+2a n -4-6-⋯-2(n +1)+n 2-2a 1-2a 2-⋯-2a n +n =n 2+3n -(2n +6)⋅n2=0,所以S (T 1(P 0))=S (P 0).(ii )设A 是每项均为非负整数的数列a 1,a 2,⋯,a n ,当存在1≤i <j ≤n ,使得a i ≤a j 时,交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ,则S (B )-S (A )=2(ia j +ja i -ia i -ja j )=2(i -j )(a j -a i )≤0,当存在1≤m <n ,使得a m +1=a m +2=⋯=a n =0时,若记数列a 1,a 2,⋯,a m 为C ,则S (C )=S (A ),因此S T 2(A ) ≤S (A ),从而对于任意给定的数列P 0,由P k +1=T 2T 1P k (k =0,1,2,⋯),S P k +1 ≤S T 1P k ,由(i )知S T 1P k =S P k ,所以S P k +1 ≤S P k .题型03以导数为载体的新定义题型8(2024·广东惠州·一模)黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想,它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一.它与函数f x =x s -1e x -1(x >0,s >1,s 为常数)密切相关,请解决下列问题.(1)当1<s ≤2时,讨论f x 的单调性;(2)当s >2时;①证明f x 有唯一极值点;②记f x 的唯一极值点为g s ,讨论g s 的单调性,并证明你的结论.【解】(1)由f x =x s -1e x -1,x ∈0,+∞ ,1<s ≤2可得fx =s -1 ⋅xs -2⋅e x -1 -x s -1⋅e x e x -1 2=x s -2⋅s -1-x ⋅e x -s -1e x -12,令h x =s -1-x ⋅e x -s -1 ,则h x =-e x +s -x -1 ⋅e x =s -x -2 ⋅e x ;又1<s ≤2,x >0,所以s -x -2<0,e x >0,即h x <0恒成立;即函数h x 在0,+∞ 上单调递减,又h 0 =0,所以h x <h 0 =0,可得fx =x s -2⋅s -1-x ⋅e x -s -1e x -12<0恒成立,因此函数f x 在0,+∞ 上单调递减,即当1<s ≤2时,函数f x 在0,+∞ 上单调递减;(2)当s >2时,①由(1)可知令h x =s -x -2 ⋅e x =0,可得x =s -2>0,易知当x ∈0,s -2 时,h x =s -x -2 ⋅e x >0,即函数h x 在0,s -2 上单调递增,当x ∈s -2,+∞ 时,h x =s -x -2 ⋅e x <0,即函数h x 在s -2,+∞ 上单调递减,即函数h x 在x =s -2处取得极大值,也是最大值;注意到h 0 =0,由单调性可得h s -2 >h 0 =0,可知h x 在0,s -2 大于零,不妨取x =2s -2,则h 2s -2 =1-s ⋅e 2s -2-s -1 =1-s e 2s -2+1 <0;由零点存在定理可知h x 存在唯一变号零点x 0∈s -2,+∞ ,所以fx =x s -2⋅s -1-x ⋅e x -s -1 e x -12存在唯一变号零点x 0满足f x 0 =0,由h x 单调性可得,当x ∈0,x 0 时,f x >0,当x ∈x 0,+∞ 时,f x <0;即可得函数f x 在0,x 0 上单调递增,在x 0,+∞ 单调递减;所以f x 有唯一极大值点x 0;②记f x 的唯一极值点为g s ,即可得x 0=g s由h x 0 =s -1-x 0 ⋅e x 0-s -1 =0可得s =x 0⋅e x 0e x 0-1+1,即可得g s 的反函数g -1s =x 0⋅ex 0e x 0-1+1,令φx =x ⋅e x e x -1+1,x ∈s -2,+∞ ,则φx =e x e x -x -1 e x -1 2,构造函数m x =e x -x -1,x ∈0,+∞ ,则m x =e x -1,显然m x =e x -1>0在0,+∞ 恒成立,所以m x 在0,+∞ 上单调递增,因此m x >m 0 =0,即e x >x +1在0,+∞ 上恒成立,而s >2,即s -2>0,所以e x >x +1在s -2,+∞ 上恒成立,即可得φx =e x e x -x -1e x -12>0在s -2,+∞ 上恒成立,因此g -1s 在s -2,+∞ 单调递增;易知函数g s 与其反函数g -1s 有相同的单调性,所以函数g s 在2,+∞ 上单调递增;9(2024·湖北·一模)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当f x 在x =0处的n n ∈N * 阶导数都存在时,f x =f 0 +f0 x +f 0 2!x 2+f 30 3!x 3+⋯+f n0 n !x n +⋯.注:f x 表示f x 的2阶导数,即为f x 的导数,f nx n ≥3 表示f x 的n 阶导数,该公式也称麦克劳林公式.(1)根据该公式估算sin12的值,精确到小数点后两位;(2)由该公式可得:cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯.当x ≥0时,试比较cos x 与1-x 22的大小,并给出证明;(3)设n ∈N *,证明:nk =11(n +k )tan 1n +k>n -14n +2.【解】(1)令f x =sin x,则f (x)=cos x,f (x)=-sin x,f3 x =-cos x,f4 x =sin x,⋯故f0 =0,f (0)=1,f (0)=0,f3 0 =-1,f4 0 =0,⋯由麦克劳林公式可得sin x=x-x33!+x55!-x77!+⋯,故sin 12=12-148+⋯≈0.48.(2)结论:cos x≥1-x22,证明如下:令g x =cos x-1+x22,x≥0,令h x =g x =-sin x+x,h x =-cos x+1≥0,故h x 在0,+∞上单调递增,h x ≥h0 =0,故g x 在0,+∞上单调递增,g x ≥g0 =0,即证得cos x-1+x22≥0,即cos x≥1-x22.(3)由(2)可得当x≥0时,cos x≥1-x22,且由h x ≥0得sin x≤x,当且仅当x=0时取等号,故当x>0时,cos x>1-x22,sin x<x,1n+ktan1n+k =cos1n+kn+ksin1n+k>cos1n+kn+k⋅1n+k=cos1n+k>1-12(n+k)2,而12(n+k)2=2(2n+2k)2<2(2n+2k)2-1=22n+2k-12n+2k+1=12n+2k-1-12n+2k+1,即有1n+ktan1n+k>1-12n+2k-1-12n+2k+1故nk=11(n+k)tan1n+k>n-12n+1-12n+3+12n+3-12n+5+⋯+14n-1-14n+1=n-12n+1+1 4n+1而n-12n+1+14n+1-n-14n+2=14n+1-14n+2>0,即证得nk=11(n+k)tan1n+k>n-14n+2.10(2024·山东菏泽·一模)帕德近似是法国数学家亨利.帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m,n,函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为:R(x)=a0+a1x+⋯+a m x m1+b1x+⋯+b n x n,且满足:f(0)=R(0),f (0)=R (0),f (0)=R (0),⋯,f(m+n)(0)=R(m+n)(0).(注:f (x)=f (x),f (x)=f(x ) ,f (4)(x )=f (x ) ,f (5)(x )=f (4)(x ) ,⋯;f (n )(x )为f(n -1)(x )的导数)已知f (x )=ln (x +1)在x =0处的1,1 阶帕德近似为R (x )=ax1+bx.(1)求实数a ,b 的值;(2)比较f x 与R (x )的大小;(3)若h (x )=f (x )R (x )-12-m f (x )在(0,+∞)上存在极值,求m 的取值范围.【解】(1)由f (x )=ln (x +1),R (x )=ax1+bx,有f (0)=R (0),可知f (x )=1x +1,f (x )=-1(x +1)2,R (x )=a (1+bx )2,R(x )=-2ab (1+bx )3,由题意,f (0)=R (0),f (0)=R (0),所以a =1-2ab =-1 ,所以a =1,b =12.(2)由(1)知,R (x )=2x x +2,令φ(x )=f (x )-R (x )=ln (x +1)-2xx +2(x >-1),则φ(x )=1x +1-4(x +2)2=x 2(x +1)(x +2)2>0,所以φ(x )在其定义域(-1,+∞)内为增函数,又φ(0)=f (0)-R (0)=0,∴x ≥0时,φ(x )=f (x )-R (x )≥φ(0)=0;-1<x <0时,φ(x )=f (x )-R (x )<φ(0)=0;所以x ≥0时,f (x )≥R (x );-1<x <0时,f (x )<R (x ).(3)由h (x )=f (x )R (x )-12-m f (x )=1x +m ln (x +1),∴h(x )=-1x 2ln (x +1)+1x +m 1x +1=mx 2+x -(x +1)ln (x +1)x 2(x +1).由h (x )=f (x )R (x )-12-m f (x )在(0,+∞)上存在极值,所以h (x )在(0,+∞)上存在变号零点.令g (x )=mx 2+x -(x +1)ln (x +1),则g (x )=2mx +1-ln (x +1)+1 =2mx -ln (x +1),g (x )=2m -1x +1.①m <0时,g (x )<0,g (x )为减函数,g (x )<g (0)=0,g (x )在(0,+∞)上为减函数,g (x )<g (0)=0,无零点,不满足条件.②当2m >1,即m >12时,g (x )>0,g (x )为增函数,g (x )>g (0)=0,g (x )在(0,+∞)上为增函数,g (x )>g (0)=0,无零点,不满足条件.③当0<2m <1,即0<m <12时,令g (x )=0即2m =1x +1,∴x =12m-1.当0<x <12m -1时,g (x )<0,g (x )为减函数;x >12m -1时,g (x )>0,g (x )为增函数,∴g min (x )=g 12m -1=2m 12m -1 -ln 12m-1+1 =1-2m +ln2m ;令H (x )=1-x +ln x ,0<x <1,H (x )=-1+1x ,H (x )=-1+1x>0在0<x <1时恒成立,H(x)在0,1上单调递增,H(x)<H(1)=0,∴g12m-1=(1-2m)+ln2m<0恒成立;∵x>0,0<m<1,∴x(m-1)<0,则mx2-1>mx2-1+mx-x=x+1mx-1,∴mx2-1x+1>mx-1,∴1+mx2-1x+1-ln(x+1)>mx-ln(x+1);∵g(x)=(x+1)mx2+xx+1-ln(x+1),令l(x)=mx2+xx+1-ln(x+1)=1+mx2-1x+1-ln(x+1)>mx-ln(x+1)=m(x+1)-ln(x+1)-m,令F x =ln(x+1)-2x+1x>0,F x =1x+1-1x+1=1-x+1x+1<0,则F x 在0,+∞是单调递减,F x <F0 =-2,所以ln(x+1)<2x+1,∴l(x)>m(x+1)-2x+1-m=m2(x+1)-m+m2(x+1)-2x+1,令x=16m2-1,则x+1=16m2,∴m2(x+1)-2x+1≥0,m2(x+1)-m=8m-m>00<m<12.∴l(x)>0,即l16m2-1>0.由零点存在定理可知,l(x)在12m-1,+∞上存在唯一零点x0∈12m-1,16m2-1,又由③知,当0<x<12m-1时,g (x)<0,g (x)为减函数,g (0)=0,所以此时,g (x)<0,在0,12m-1内无零点,∴g(x)在(0,+∞)上存在变号零点,综上所述实数m的取值范围为0,12.题型04两个知识交汇11【概率与数列】(2024·山东聊城·一模)如图,一个正三角形被分成9个全等的三角形区域,分别记作A,B1,P,B2,C1,Q1,C2,Q,C3. 一个机器人从区域P出发,每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域),且到不同相邻区域的概率相等.(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域;(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率;(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.【解】(1)经过2秒机器人可能位于的区域为P、Q1,Q,经过3秒机器人可能位于的区域为A,B1,B2,C1,C2,C3;(2)若经过2秒机器人位于区域Q,则经过1秒时,机器人必定位于B2,P有三个相邻区域,故由P→B2的概率为p1=13,B2有两个相邻区域,故由B2→Q的概率为p2=12,则经过2秒机器人位于区域Q的概率为p1p2=13×12=16;(3)机器人的运动路径为P→A∪B1∪B2→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→⋯,设经过n秒机器人位于区域Q的概率P n,则当n为奇数时,P n=0,当n为偶数时,由(2)知,P2=16,由对称性可知,经过n秒机器人位于区域Q的概率与位于区域Q1的概率相等,亦为P n,故经过n秒机器人位于区域P的概率为1-2P n,若第n秒机器人位于区域P,则第n+2秒机器人位于区域Q的概率为1 6,若第n秒机器人位于区域Q1,则第n+2秒机器人位于区域Q的概率为1 6,若第n秒机器人位于区域Q,则第n+2秒机器人位于区域Q的概率为1-2×1 6=23,则有P n+2=23P n+16P n+161-2P n,即P n+2=16+12P n,令P n+2+λ=12P n+λ,即P n+2=12P n-12λ,即有λ=-13,即有P n+2-13=12P n-13,则P n+2-13P n-13=12,故有P n-13P n-2-13=12、P n-2-13P n-4-13=12、⋯、P4-13P2-13=12,故P n-13P n-2-13×P n-2-13P n-4-13×⋯×P4-13P2-13×P2-13=P n-13=12 n2-1×16-13=-13⋅12 n2,即P n=13-13⋅12n2,综上所述,当n为奇数时,经过n秒机器人位于区域Q的概率为0,当n为偶数时,经过n秒机器人位于区域Q的概率为13-13⋅12n2.12【概率与函数】(2024·广东汕头·一模)2023年11月,我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》,内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动,在某种植番石榴的果园中,老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴,规定只能摘一次,并且只可以向前走,不能回头.结果,学生小明两手空空走出果园,因为他不知道前面是否有更大的,所以没有摘,走到前面时,又发觉总不及之前见到的,最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同),最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等,为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的,小明在老师的指导下采用了如下策略:不摘前k(1≤k<n)颗番石榴,自第k+1颗开始,只要发现比他前面见过的番石榴大的,就摘这颗番石榴,否则就摘最后一颗.设k=tn,记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P.(1)若n=4,k=2,求P;(2)当n趋向于无穷大时,从理论的角度,求P的最大值及P取最大值时t的值.(取1k +1k+1+⋯+1n-1=ln nk)【解】(1)依题意,4个番石榴的位置从第1个到第4个排序,有A44=24种情况,要摘到那个最大的番石榴,有以下两种情况:①最大的番石榴是第3个,其它的随意在哪个位置,有A33=6种情况;②最大的番石榴是最后1个,第二大的番石榴是第1个或第2个,其它的随意在哪个位置,有2A22=4种情况,所以所求概率为6+424=512.(2)记事件A表示最大的番石榴被摘到,事件B i表示最大的番石榴排在第i个,则P B i=1 n,由全概率公式知:P(A)=ni=1P(A|B i)P(B i)=1nni=1P(A|B i) ,当1≤i≤k时,最大的番石榴在前k个中,不会被摘到,此时P(A|B i)=0;当k+1≤i≤n时,最大的番石榴被摘到,当且仅当前i-1个番石榴中的最大一个在前k个之中时,此时P A|B i)=ki-1,因此P(A)=1nkk+kk+1+⋯+kn-1=k n ln n k,令g(x)=xnln nx(x>0),求导得g (x)=1nln nx-1n,由g(x)=0,得x=ne,当x∈0,n e时,g (x)>0,当x∈n e,n时,g (x)<0,即函数g(x)在0,n e上单调递增,在n e,n上单调递减,则g(x)max=gne=1e,于是当k=n e时,P(A)=k n ln n k取得最大值1e,所以P的最大值为1e,此时t的值为1e.13【解析几何与立体几何】(2024·山东日照·一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为12经过点F1且倾斜角为θ0<θ<π2的直线l与椭圆交于A,B两点(其中点A在x轴上方),且△ABF2的周长为8.将平面xOy沿x轴向上折叠,使二面角A-F1F2-B为直二面角,如图所示,折叠后A,B在新图形中对应点记为A ,B .(1)当θ=π3时,①求证:A O⊥B F2;②求平面A'F1F2和平面A'B'F2所成角的余弦值;(2)是否存在θ0<θ<π2,使得折叠后△A B F2的周长为152?若存在,求tanθ的值;若不存在,请说明理由.【解】(1)①由椭圆定义可知AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a,所以△ABF2的周长L=4a=8,所以a=2,因为离心率为12,故ca=12,解得c=1,则b2=a2-c2=3,由题意,椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆方程为x24+y23=1,直线l:y-0=tan π3⋅x+1,即l:y=3x+1,联立x24+y23=1得15x2+24x=0,解得x=0或-85,当x=0时,y=3×0+1=3,当x=-85时,y=3×-85+1=-335,因为点A在x轴上方,所以A0,3,B-85,-335,故AO⊥F1F2,折叠后有A O⊥F1F2,因为二面角A-F1F2-B为直二面角,即平面A F1F2⊥F1F2B ,交线为F1F2,A O⊂平面A F1F2,所以A O⊥平面F1F2B ,因为F 2B ⊂平面F 1F 2B ,所以A O ⊥F 2B ;②以O 为坐标原点,折叠后的y 轴负半轴为x 轴,原x 轴为y 轴,原y 轴正半轴为z 轴,建立空间直角坐标系,则F 10,-1,0 ,A 0,0,3 ,B 335,-85,0,F 20,1,0 ,A F 2 =0,1,-3 ,BF 2 =-335,135,0 ,其中平面A F 1F 2的法向量为n 1=1,0,0 ,设平面A B F 2的法向量为n 2=x ,y ,z ,则n 2 ⋅AF 2 =x ,y ,z ⋅0,1,-3 =y -3z =0n 2 ⋅B F 2 =x ,y ,z ⋅-335,135,0 =-335x +135y =0,令y =3得x =133,z =1,故n 2 =133,3,1 ,设平面A B F 2与平面A F 1F 2的夹角为φ,则cos φ=cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2n 1 ⋅n 2 =1,0,0 ⋅133,3,1 1699+3+1=13205205,故平面A B F 2与平面A F 1F 2的夹角的余弦值为13205205;(2)设折叠前A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,折叠后对应的A x 1,y 1,0 ,B x 2,0,-y 2 ,设直线l 方程为my =x +1,将直线l 与椭圆方程x 24+y 23=1联立得,3m 2+4 y 2-6my -9=0,则y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4,在折叠前可知AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2,折叠后,在空间直角坐标系中,A B=x 1-x 22+y 21+y 22,,由A F 2 +B F 2 +A B =152,AF 2 +BF 2 +AB =8,故AB -A B =12,所以AB -A B =x 1-x 22+y 1-y 2 2-x 1-x 22+y 21+y 22=12①,分子有理化得-2y 1y 2x 1-x 22+y 1-y 2 2+x 1-x 22+y 21+y 22=12,所以x 1-x 22+y 1-y 2 2+x 1-x 22+y 21+y 22=-4y 1y 2②,由①②得x 1-x 22+y 1-y 2 2=14-2y 1y 2,因为x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=my 1-1-my 2+1 2+y 1-y 2 2=m 2+1y 1-y 2 ,故14-2y 1y 2=m 2+1y 1-y 2 ,即14-2y 1y 2=m 2+1y 1+y 2 2-4y 1y 2,将y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4代入上式得14+183m 2+4=m 2+16m3m 2+42+363m 2+4,两边平方后,整理得2295m 4+4152m 2-3472=0,即45m 2-28 51m 2+124 =0,解得m 2=2845,因为0<θ<π2,所以tan θ=1m =33514.14【导数与三角函数】(2024·山东烟台·一模)如图,在平面直角坐标系xOy 中,半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动,点M 为圆A 上一个定点,其初始位置为原点O ,t 为AM 绕点A 转过的角度(单位:弧度,t ≥0).(1)用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ;(2)设点M 的轨迹在点M 0(x 0,y 0)(y 0≠0)处的切线存在,且倾斜角为θ,求证:1+cos2θy 0为定值;(3)若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为(x (t ),y (t )),t ∈[α,β],则该光滑曲线长度为F (β)-F (α),其中函数F (t )满足F(t )=[x(t )]2+[y(t )]2.当点M 自点O 滚动到点E 时,其轨迹OE为一条光滑曲线,求OE的长度.【解】(1)依题意,y =1-cos t ,|OB |=BM=t ,则x =|OB |-sin t =t -sin t ,所以x =t -sin t ,y =1-cos t .(2)由复合函数求导公式yt=y x⋅x t及(1)得y x=y x ⋅x t x t =y t x t=sin t 1-cos t ,因此tan θ=sin t 1-cos t ,而1+cos2θ=2cos 2θ=2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=2tan 2θ+1=2sin t 1-cos t 2+1=2(1-cos t )22-2cos t =1-cos t =y 0,所以1+cos2θy 0为定值1.(3)依题意,F (t )=(1-cos t )2+sin 2t =2-2cos t =2sin t 2.由0≤t 2≤π,得sin t 2≥0,则F (t )=2sin t 2,于是F (t )=-4cos t2+c (c 为常数),则F (2π)-F (0)=(-4cosπ+c )-(-4cos0+c )=8,所以OE 的长度为8.15【导数与数列】(2024·山东济宁·一模)已知函数f x =ln x -12ax 2+12a ∈R .(1)讨论函数f x 的单调性;(2)若0<x 1<x 2,证明:对任意a ∈0,+∞ ,存在唯一的实数ξ∈x 1,x 2 ,使得f (ξ)=f x 2 -f x 1x 2-x 1成立;(3)设a n =2n +1n 2,n ∈N *,数列a n 的前n 项和为S n .证明:S n >2ln (n +1).【解】(1)函数f x 的定义域为0,+∞ ,fx =1x -ax =1-ax 2x ,①若a ≤0,f x >0恒成立,f x 在0,+∞ 上单调递增.②若a >0,x ∈0,1a时,fx >0,f x 单调递增;x ∈1a,+∞时,f x <0,f x 单调递减.综上,当a ≤0时,f x 在0,+∞ 上单调递增;当a >0时,f x 在0,1a上单调递增,在1a,+∞ 上单调递减.(2)证明:令F x =f x -f x 2 -f x 1x 2-x 1,x >0则F x =1x -ax -ln x 2-12ax 22-ln x 1+12ax 12x 2-x 1=1x -ax -ln x 2-ln x 1x 2-x 1+12a x 2+x 1因为a >0,所以,F x =1x -ax -ln x 2-ln x 1x 2-x 1+12a x 2+x 1 在区间x 1,x 2 上单调递减.F x 1 =1x 1-ax 1-ln x 2-ln x 1x 2-x 1+12a x 2+x 1 =1x 1-ln x 2-ln x 1x 2-x 1+12a x 2-x 1=1x 2-x 1x 2x 1-1-ln x 2x 1+12a x 2-x 1令g t =t -1-ln t ,t >0,则g t =1-1t =t -1t,所以,t ∈0,1 时,g t <0,g t 单调递减,t ∈1,+∞ 时,g t >0,g t 单调递增,所以,g t min =g 1 =0,又0<x 1<x 2,所以,x 2x 1>1,所以g x 2x 1=x 2x 1-1-ln x 2x 1>0恒成立,又因为a >0,x 2-x 1>0,所以,F x 1 >0.同理可得,F x 2 =1x 2-x 11-x 1x 2-ln x 2x 1+12a x 1-x 2 ,由t -1-ln t ≥0(t =1时等号成立)得,1t -1-ln 1t ≥0,即1-1t -ln t ≤0(t =1时等号成立),又0<x 1<x 2,所以0<x 1x 2<1,所以1-x1x 2-ln x 2x 1<0恒成立,又因为a >0,x 1-x 2<0,x 2-x 1>0,所以,F x 2 <0,所以,区间x 1,x 2 上存在唯一实数ξ,使得F ξ =0,所以对任意a ∈0,+∞ ,存在唯一的实数ξ∈x 1,x 2 ,使得f ξ =f x 2 -f x 1x 2-x 1成立;(3)证明:当a =1时,由(1)可得,f x =ln x -12x 2+12在1,+∞ 上单调递减.所以,x >1时,f x <f 1 =0,即ln x -12x 2+12<0.令x =n +1n ,n ∈N *,则ln n +1n -12n +1n 2+12<0,即n +1n2-1>2ln n +1 -2ln n ,即2n +1n 2>2ln n +1 -2ln n 令b n =2ln n +1 -2ln n ,n ∈N *,则a n >b n ,a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n >b 1+b 2+b 3+⋅⋅⋅+b n=2ln2-2ln1+2ln3-2ln2+⋯+2ln n +1 -2ln n =2ln n +1 所以,S n >2ln n +1 .。
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年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一 Prepared on 24 November 20202009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一1.(12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ,它们在x 轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.(Ⅰ)求这三条曲线的方程;(Ⅱ)已知动直线l 过点()3,0P ,交抛物线于,A B 两点,是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值若存在,求出l '的方程;若不存在,说明理由.解:(Ⅰ)设抛物线方程为()220y px p =>,将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………(1分)由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………(2分)对于椭圆,1222a MF MF =+=+(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为:………………………………(4分)对于双曲线,1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为:………………………………(6分)(Ⅱ)设AP 的中点为C ,l '的方程为:x a =,以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点,DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴⎪⎝⎭ C ………………………………………………(7分)()1112312322DC AP x CH a x a ∴==+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为: …………(12分)2.(14分)已知正项数列{}n a 中,16a=,点(n n A a 在抛物线21y x =+上;数列{}n b 中,点(),n n B n b 在过点()0,1,以方向向量为()1,2的直线上.(Ⅰ)求数列{}{},n n a b 的通项公式;(Ⅱ)若()()()n na f nb ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数,问是否存在k N ∈,使()()274f k f k +=成立,若存在,求出k 值;若不存在,说明理由; (Ⅲ)对任意正整数n,不等式1120111111n n n ab b b +-≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立,求正数a 的取值范围.解:(Ⅰ)将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………(4分)(Ⅱ)()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………(5分) ()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==当为偶数时,为奇数, 当为奇数时,为偶数,舍去综上,存在唯一的符合条件。
……………………(8分)(Ⅲ)由1120111111n n na b b b +≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()121212111111111111111111111111124123n nn n n a b b bf n b b bf n b b b b f n n f n b n ++⎛⎫⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫∴+=++++ ⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫+∴=+== ⎪+⎝⎭即记 ()()()()()min 11,4130f n f n f n f n f a =>∴+>∴===∴<≤即递增, ………………………………(14分)3.(本小题满分12分)将圆O: 4y x 22=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C 的方程;(2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点,延长线段ON 交C 于点E.求证: ON 2OE =的充要条件是3|AB |= .解: (1)设点)y ,x (P '' , 点M 的坐标为)y ,x ( ,由题意可知⎩⎨⎧='=',y 2y ,x x ………………(2分)又,4y x 22='+'∴1y 4x 4y 4x 2222=+⇒=+. 所以, 点M 的轨迹C 的方程为1y 4x 22=+.………………(4分) (2)设点)y ,x (A 11 , )y ,x (B 22 , 点N 的坐标为)y ,x (00 , ㈠当直线l 与x 轴重合时, 线段AB 的中点N 就是原点O,不合题意,舍去; ………………(5分) ㈡设直线l: ,3my x +=由⎪⎩⎪⎨⎧=++=4y 4x 3my x 22消去x, 得01my 32y )4m (22=-++………………① ∴,4m m3y 20+-=………………(6分) ∴4m 344m 34m 34m m 33my x 2222200+=++++-=+=,∴点N 的坐标为)4m m3,4m 34(22+-+ .………………(8分) ①若OE ON 2=, 坐标为, 则点E 的为)4m m32,4m 38(22+-+ , 由点E 在曲线C 上, 得1)4m (m 12)4m (4822222=+++, 即,032m 4m 24=-- ∴4m (8m 22-== 舍去). 由方程①得,14m 1m 44m 16m 4m 12|y y |2222221=++=+++=- 又|,)y y (m ||m y m y ||x x |212121-=-=- ∴3|y y |1m |AB |212=-+= .………………(10分)②若3|AB |= , 由①得,34m )1m (422=++∴ .8m 2= ∴点N 的坐标为)66,33(± , 射线ON 方程为: )0x (x 22y >±= , 由⎪⎩⎪⎨⎧=+>±=4y 4x )0x (x 22y 22 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±==36y 332x ∴点E 的坐标为),36,332(± ∴OE ON 2=.综上, OE ON 2=的充要条件是3|AB |= .………………(12分) 4.(本小题满分14分)已知函数241)x (f x+=)R x (∈. (1) 试证函数)x (f 的图象关于点)41,21( 对称;(2) 若数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()mn(f a n =∈=+, 求数列}a {n 的前m 项和;S m(3) 设数列}b {n 满足: 31b 1=, n 2n 1n b b b +=+. 设1b 11b 11b 1T n 21n ++++++=. 若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S <恒成立, 试求m 的最大值.解: (1)设点)y ,x (P 000 是函数)x (f 的图象上任意一点, 其关于点)41,21( 的对称点为)y ,x (P .由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+412y y 212x x 00 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.y 21y ,x 1x 00 所以, 点P 的坐标为P )y 21,x 1(00-- .………………(2分)由点)y ,x (P 000 在函数)x (f 的图象上, 得241y 0x 0+=.∵,)24(244244241)x 1(f 0000x x x x x 10+=⋅+=+=-- =+-=-24121y 210x 0,)24(2400x x + ∴点P )y 21,x 1(00-- 在函数)x (f 的图象上. ∴函数)x (f 的图象关于点)41,21( 对称. ………………(4分)(2)由(1)可知, 21)x 1(f )x (f =-+, 所以)1m k 1(21)m k 1(f )m k (f -≤≤=-+ ,即,21a a , 21)m k m (f )m k (f k m k =+∴=-+- ………………(6分)由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………… ① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- ………………② 由①+②, 得,612m 61221m a 221)1m (S 2m m -=⨯+-=+⨯-= ∴).1m 3(121S m -=………………(8分) (3) ∵,31b 1=)1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+, ………………③∴对任意的0b ,N n n >∈+ . ………………④ 由③、④, 得,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n n n b 1b 11b 1+-=+.∴1n 1n 11n n 3221n b 13b 1b 1)b 1b 1()b 1b 1()b 1b 1(T +++-=-=-++-+-= .……………(10分)∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当2n ≥, 且+∈N n 时, 2n T T ≥.∵,8152)194(94b ,94)131(31b ,31b 321=+==+==∴.5275b 13T T 12n =-=≥………………(12分)∴,5275S m <即,5275)1m 3(121<-∴,394639238m =< ∴m 的最大值为6. ……………(14分)5.(12分)E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点,l 是椭圆的右准线,点P l ∈,过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点. (1) 当AE AF ⊥时,求AEF ∆的面积;(2) 当3AB =时,求AF BF +的大小; (3) 求EPF ∠的最大值.解:(1)2241282AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩ (2)因484AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,则 5.AF BF +=(1)设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠221((166t t t t t t -=-÷+==≤++,当t =30tan EPF EPF ∠=⇒∠= 6.(14分)已知数列{}n a 中,113a =,当2n ≥时,其前n 项和n S 满足2221nn n S a S =-, (2) 求n S 的表达式及2limnn na S →∞的值; (3) 求数列{}n a 的通项公式; (4)设n b =n N ∈且2n ≥时,n n a b <.解:(1)2111121122(2)21n n n n n n n n n n n S a S S S S S S n S S S ----=-=⇒-=⇒-=≥-所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.则121n S n =+.222limlim 2212lim 1n n n n nn n a S S S →∞→∞→∞===---. (2)当2n ≥时,12112212141n n n a S S n n n --=-=-=+--, 综上,()()21132214n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩.(3)令a b ==2n ≥时,有0b a <<≤ (1) 法1:等价于求证112121n n ->-+.当2n ≥时,0<≤令()23,0f x x x x =-<≤ ()233232(1)2(12(1022f x x x x x x x '=-=-≥-=>,则()fx 在递增.又0<<≤所以g g <即n n a b <. 法(2)223311()2121n n a b b a b a n n -=--=---+- 22()()a b a b ab a b =-++-- (2)22()[()()]22ab ab a b a a b b =-+-++- ()[(1)(1)]22b a a b a a b b =-+-++- (3)因3311111022223a b a b a +-<+-<-<-=-<,所以(1)(1)022b aa ab b +-++-<由(1)(3)(4)知n n a b <.法3:令()22g b a b ab a b =++--,则()12102ag b b a b -'=+-=⇒= 所以()()(){}{}220,,32g b max g g a max a a a a ≤=-- 因0,3a <≤则()210a a a a -=-<,2214323()3()0339a a a a a -=-≤-< 所以()220g b a b ab a b =++--< (5) 由(1)(2)(5)知n n a b < 7. (本小题满分14分)设双曲线2222by a x -=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ,P 是双曲线上异于顶点的一个动点,从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.(1) 证明:无论P 点在什么位置,总有|→--OP|2 = |→-OQ·→--OR | ( O 为坐标原点);(2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积,求双曲线离心率的取值范围;解:(1) 设OP :y = k x, 又条件可设AR: y = ab(x – a ),解得:→--OR = (b ak ab --,b ak kab --), 同理可得→-OQ = (b ak ab +,bak kab+),∴|→-OQ ·→--OR | =|b ak ab --b ak ab ++b ak kab --b ak kab+| =|b k a |)k 1(b a 222222-+. 4分第21题设→--OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得:m 2 =22222k a b b a -, n 2 = 222222k a b b a k -, ∴ |→--OP |2 = :m 2 + n 2 = 22222k a b b a -+ 222222k a b b a k -=222222ka b )k 1(b a -+ , ∵点P 在双曲线上,∴b 2 – a 2k 2 > 0 . ∴无论P 点在什么位置,总有|→--OP |2 = |→-OQ ·→--OR | . 4分 (2)由条件得:222222k a b )k 1(b a -+= 4ab, 2分 即k 2 = 22a 4ab abb 4+-> 0 , ∴ 4b > a, 得e > 417 2分。