耗散系统的哈密顿原理及其应用

题目耗散系统的哈密顿原理及其应用

学生闫俊杰学号1210014049

所在学院物理与电信工程学院

专业班级物理学1202 班

指导教师王剑华__ __ 完成地点理工学院

2016 年 5 月20 日

耗散系统的哈密顿原理及其应用

作者：闫俊杰

（理工学院物理与电信工程学院物理专业1202班级，723000）

指导老师:王剑华

[摘要]哈密顿原理不仅是分析力学的基础,而且在量子物理中也有重要的应用。本文首先通过定义耗散函数，给出了有耗散系统的哈密顿原理。然后利用有耗散系统的哈密顿原理推导出了有耗散系统的拉格朗日方程。最后通过与受线性粘滞阻尼作用的力学系统类比，把有耗散系统的拉格朗日方程应用到有耗散的电路系统，给出了基尔霍夫定律。

[关键词] 耗散系统；耗散函数；哈密顿原理；广义耗散力；基尔霍夫定律.

引言

哈密顿原理,于1834年首次发表,从而完成了从莫泊丢开始的尝试,该原理的数学形式简洁,容广泛,将动力学问题转化为数学的一般体系的一部分,更深刻地揭示了客观事物之间的紧密联系,在物理学中有极高的地位,它不仅可以看作是力学的最高原理,甚至可以看作是整个物理学的最高原理,利用广义坐标并定义哈密顿函数就可以从哈密顿原理推导出哈密顿正则方程,致各种动力学定律都可以从这一变分式推出.所以说它是成为牛顿之后力学发展一个最大飞跃[1]。伴随经典力学从自由到非完整约束系统发展历程的是学术讨论甚至是争论,有些是对错之争,有些只是观点不同,问题的焦点主要是经典力学理论怎样从完整系统推广到非完整尤其是非线性非完整系统,这是经典力学后牛顿发展的主要标志，也是物理学近、现代发展的一块重要里程碑。物理学家考察具体的物理问题，常常以最小作用量原理为出发点，通过变分运算而导出物质系统的运动方程以表示其运动规律。牛顿质点运动方程可通过这样的推导过程得出;甚至如广义相对论里的爱因斯坦场方程也可如此导出，其实，所有运动方程就是拉格朗日方程或哈密顿正则方程在其拉氏量或哈氏量对于不同物质系统取不同形式时的具体体现。亦是广义相对论的一个重大结论;而如前文已提及的，引力场方程的导出可采用引力场之作用量的变分运算。从光线路径和质点运动到四维弯曲时空中的短程线方程乃至引力场运动方式等等实例可见，无论是几何间题，还是物理问题，都可凭籍变分法去圆满地解决;特别是最小作用量原理及其在物理学各领域的成功应用，正就是利用变分法这一几何方法、亦乃经济原则去解析各物质系统之运动规律的丰盈成果。例如牛顿力学描绘了天体运动的出色图景，拉格朗日一哈密顿理论描绘此图景也毫不逊色。当然，在经典力学畴里，这两个理论体系本来是等价的，只是着眼点有所不同:对于行星运动，牛顿着眼于行星与恒星之间的万有引力;哈密顿等人着眼于行星运行时的能量守恒正因为后者着眼于能量状况，

遂使哈密顿原理的适用性得以超出经典力学畴。耗散系统就是指一个不断地与外界交换能量

的系统这样的新结构就是耗散结构[2]。拉格朗日方程是力学理论中的基本方程，它在力学系

统中得到广泛的应用。它的表述形式不再是直观的矢量形式，而是抽象的数学分析，即分析

力学。分析力学所注重的不是力和加速度，而是具有更广泛意义的能量，同时又扩大了坐标

的概念。所以拉格朗日方程更适用于处理复杂力学系统的问题，而且可以更进一步，应用到

物理学和技术科学的其他领域[3]。目前拉格朗日方程已经被应用到许多领域中，特别是电学

中的应用。虽然拉格朗日方程在力学系统中得到广泛的应用，对力学问题提供了新的、简洁

的求解方法。但是在某些领域中还有它的不足，特别是在耗散系统中，一般的拉格朗日方程

解决的都是理想约束的问题，即忽略阻力、摩擦、黏滞力形、变等，或者是把阻尼力当成主

动力处理[4]。但是自然界多数物理过程都是有阻尼的物理过程，往往使问题不能很好的解决，

或变得更复杂。如果把耗散函数引入拉格朗日方程中，这个不足就会迎刃而解，把阻尼力的

问题用耗散函数来解决，解决有耗散系统的复杂问题时更加简单。

哈密顿原理它涉及了一系列基础问题。中国学者为推动这一学科的发展作出了重要的贡

献[5-9]。牛青萍发表了重要论文《经典力学基本微分原理与不完整力学组的运动方程》。这是

我国第一篇非完整力学的研究论文,跃宇建立了一类新型的积分变分原理,该原理比较完满地

解决了变分原理的推广问题。保加利亚科学院院士И.Цнов(Tzenoff)建立了一类新型的运动

微分方程,具有简单统一且便于应用的优点。对于变质量力学系统,梅凤翔就Hamilton 原理

[10],立群就非惯性系[11],毅就相对运动[12],方建会和元成就相对论力学的速度空间[13],自二十

世纪70年代以来,以DNA 为背景的超细长弹性杆力学受到关注,用Kirchhoff 理论进行力学

建模。基于此,延柱、立群等将经典的分析力学理论移植到弹性杆静力学[14，15],人类对于自

然界的认识永无止境,任何一个学科的发展都在伴随着时代的步伐与时俱进。

本文主要研究了耗散函数，广义耗散力和准拉氏函数，耗散系统的哈密顿原理及其拉格

朗日方程，有耗散系统中哈密顿原理的应用。

1 耗散函数

设质点不仅受有势力和非有势力作用,还受粘滞阻尼的作用,粘滞阻尼是作用在质点上的

线性阻力。由于这种阻力使机械能耗散,所以他又被称为耗散力。下面,先定义阻尼力,再由阻

尼力的虚功给出耗散函数。设作用在任一质点i M 上的线性阻力为i R

i i i V C R -= （1.1）

其中V i 是质点的运动速度,阻力系数C i 为常数。质点上的线性阻力任意虚位移中所作虚功

的和为

11n n R i i i i i

i i W R r C V r δδδ===⋅=⋅∑∑∑ （1.2）

式中

∑∑∑===∂∂=∂∂∂=∂∂∂=N 1k 11k k i k N k k i k N

k i i q q V q q r q q r r δδ （1.3）