耗散系统的哈密顿原理及其应用
非保守系统的哈密顿原理
非保守系统的哈密顿原理哈密顿原理(Hamilton's principle)是经典力学中的一个基本原理,用于描述物体在作用力下的运动轨迹。
它是由爱德华·哈密顿(Edward Hamilton)在19世纪提出的,被视为力学的基石之一。
在传统的哈密顿原理中,系统在运动过程中的能量守恒是一个关键假设。
然而,在某些情况下,系统的能量并不守恒,这时就需要引入非保守系统的哈密顿原理。
非保守系统的哈密顿原理是在非保守力场下描述系统运动的一种数学形式。
在这种情况下,系统的总能量并不是一个守恒量,而是会随着时间变化。
非保守系统的哈密顿原理的核心思想是,在给定时间间隔内,系统的运动轨迹使得作用在系统上的非保守力的功取极值。
这个极值原理可以通过引入拉格朗日乘子法来求解。
非保守系统的哈密顿原理的数学表达方式如下:系统在给定时间间隔内的运动轨迹使得作用在系统上的非保守力的功取极值,即∫[t1,t2] L(q, q', t) dt = ∫[t1,t2] (p dq - H dt)其中,L是拉格朗日函数,q是广义坐标,q'是广义速度,t是时间,p是广义动量,H是哈密顿函数。
这个原理表明,系统的运动轨迹可以通过拉格朗日函数和哈密顿函数来描述,而非保守力的作用可以通过广义动量和广义坐标的变化来体现。
非保守系统的哈密顿原理在实际应用中具有广泛的意义。
例如,在涉及阻尼、摩擦等非保守力的情况下,可以利用非保守系统的哈密顿原理来描述系统的运动。
此外,非保守系统的哈密顿原理还可以应用于描述电磁场、光学等领域中的非保守力场下的运动。
非保守系统的哈密顿原理的应用还可以扩展到量子力学领域。
量子力学中的哈密顿原理是描述粒子在非保守力场下的运动的基本原理。
非保守系统的哈密顿原理在量子力学中的应用可以帮助我们更好地理解微观粒子的运动规律和相互作用。
非保守系统的哈密顿原理是描述系统在非保守力场下运动的一种数学形式。
它通过使作用在系统上的非保守力的功取极值来描述系统的运动轨迹。
哈密顿原理
(二)哈密顿原理
质点系的运动是一个客观存在的事 实,力学的任务是对运动作出正确的描 述。矢量力学的理论是指出一切真实运 动所应服从的规律,并以此为依据,去 论断各个具体运动的特征。可是分析力 学并不这样。分析力学研究约束所允许 的一切可能运动,设法在可能运动所构 成的集合中把真实运动挑选出来。由此 可见,分析力学与矢量力学在思想方法
4. 变分运算的几个法则 A B A B
AB A B B A
A B A A B 2 B B d dA A dx dx
Adx
x1
x2
x2
x1
A dx
A
x
B
z
设质点在某一瞬时速度为v,则滑过ds路程的时间
dt=ds/v
没有摩擦,保守力场机械能守恒
v 2gz
曲线方程
(坐标为z时的质点速度)
z=z(x),
而曲线的元弧长:
2
ds
dz 1 dx dx
ds dt v
1 z dx , 2 gz
'2
T
xB
(一)变分法简介
变分法是研究泛函极值的一 种数学理论,它是由力学中最 速落径问题的诱导而发展起来 的。由伊凡· 贝努力提出来的最 速落径问题是这样一个问题.
1. 最速落径问题
不考虑摩擦力和空气阻力,在连 接不在同一铅直线上的任意两定点A 和B(B低于A)的所有曲线中,无 初速的质 点在重力作用下沿哪一条 曲线轨道从A滑到B所需时间最短? 显然,下滑时间与曲线形状有 关。
欧勒方程
如果 f 不显含自变量 x , 则欧勒方程有初积分 : f f - y' 常数. y '
线性离散哈密顿系统谱理论
线性离散哈密顿系统谱理论自从1835年Hamilton提出Hamilton原理以来,Hamilton原理已经成为现代物理的基石。
Hamilton原理描述的是一切真实的,耗散效应可以忽略不计的物理过程均可表示成Hamilton系统。
由于Hamilton系统的广泛应用,因此人们对Hamilton系统的研究长盛不衰。
线性Hamilton系统谱理论不仅具有理论意义,而且是解决实际问题的工具。
例如,Schr(?)dinger方程是量子力学的基本方程。
量子力学中,粒子的行为可由Schr(?)dinger方程的波函数来描述,它的能量对应着Schr(?)dinger算子的谱。
其中,孤立点谱对应着粒子的能量级,它解释了粒子由一个能量级向另一个能量级跃迁的现象。
这种现象是经典力学无法解释的,而连续谱与粒子的分布有密切关系。
Schr(?)dinger方程就是Hamilton系统的特殊形式。
连续Hamilton系统基本理论的研究已有很长历史(见[1,2]及其参考文献),它的谱理论也已被集中而深入地研究。
连续线性Hamilton系统的谱问题可分为两类:定义在有限闭区间上且系数具有很好性质的谱问题称为正则谱问题;否则,称之为奇异谱问题。
对于正则谱问题,已取得了许多很好的成果(见[3-11,13])。
奇异系统谱问题研究相当困难,这是因为奇异微分算子不但有点谱,还有连续谱等,已不能单纯利用处理有界算子谱问题的方法进行研究。
1910年,H.Weyl 开创了二阶奇异形式自伴微分算子谱理论(奇异Sturm-Liouville理论)的研究[14]。
此后不久,奇异Sturm-Liouville理论就成为刚刚兴起的量子物理学描述微观粒子状态的主要数学手段之一,从而引起了数学界与物理学界的关注。
许多知名学者,如Titchmarsh,Coddington,Levinson,Weidmann,Hinton,Krall 等,将H.Weyl的工作进一步深化并推广到线性Hamilton系统(见[3,4,6,15-37]及其参考文献)。
物理学中的哈密顿原理及其应用
物理学中的哈密顿原理及其应用哈密顿原理是一个重要的物理学原理,它是研究力学和量子力学等理论的基础。
对于一个系统的运动,哈密顿原理提供了一种数学描述的方式,能够给出最小作用量原理,可以通过这个原理得到物理学的解。
在这篇文章中,我们将讨论哈密顿原理的定义、应用以及它如何影响现代物理学。
1、哈密顿原理的定义哈密顿原理的定义是:对于一个系统,在一个确定的时间段内,系统的运动路径是使作用量函数最小的。
在系统运动的过程中,作用量表示为:S = ∫L dt,其中L是系统的拉格朗日函数,dt是时间差。
根据这个定义,哈密顿原理的表述是:对于在一个确定的时间段内运动的一个系统,当其在任何可行运动路径下的动作最小化时,它的实际路径将是真实路径。
2、哈密顿原理的应用哈密顿原理在物理学中的应用领域广泛,例如力学和量子力学等领域。
在力学领域,哈密顿原理可以用来导出量子场论和相对论理论的基础方程。
在量子力学中,哈密顿原理被用来描述粒子运动的描述方法,即“量子哈密顿力学”或“路径积分理论”。
在天体物理中,哈密顿原理也被用来描述星系、银河系、黑洞等天体的运动及其演化过程。
此外,哈密顿原理还被应用于航空、航天工程、自然科学、工程学和材料科学等领域。
3、哈密顿原理的影响哈密顿原理的提出对现代物理学产生了深刻的影响,它预示了一种新的力学理论,即哈密顿力学。
在哈密顿力学中,拉格朗日函数中的变量都可以通过一组可以互相转换的变量来替换,这里的变量包括位置、动量、时间和势能等。
这种方法在物理学研究中已经得到了广泛应用,包括分析旋转、振动和波动等行为。
此外,哈密顿原理还促进了物理学研究的发展,使科学家们更好地理解了物质和能量的性质,包括它们的高度复杂的性质。
这种方法不仅联结了现代理论物理,而且是微积分和变分原理的基础,从而成为许多物理问题的通用解法。
此外,哈密顿原理还为物理学家提供了在研究新现象和探索新原理的道路,有助于进一步扩展人类关于自然的认识面和技术实践。
哈密顿原理的应用例子
哈密顿原理的应用例子一、什么是哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中的一种变分原理,描述了自然界中各种物理系统的运动规律。
它起源于数学家威廉·哈密顿的研究,也称为最小作用量原理。
哈密顿原理通过对系统的所有可能路径进行比较,找到系统运动的真实路径,从而得到最小作用量原理。
二、哈密顿原理的应用例子1. 光的传播路径假设有一个具有两个不同介质的透明介质界面,光从一个介质传播到另一个介质。
根据哈密顿原理,光的传播路径满足最小作用量原理。
这里的作用量是指光在传播过程中光程的积分。
光的传播路径应满足以下条件:•光线传播的路径必须满足费马原理,即光线传播的路径是光程的极值路径;•光的传播路径必须满足最小作用量原理,即光的光程在所有可能路径中取得极值。
通过应用哈密顿原理,可以求解光的传播路径,从而揭示光在界面传播的规律。
2. 量子力学中的路径积分在量子力学中,粒子的运动可以用路径积分来描述。
路径积分是一种数学工具,通过将粒子在各个可能路径上的振幅相加,来得到粒子的全体运动。
哈密顿原理在量子力学中被拓展为路径积分的形式。
应用哈密顿原理的路径积分形式可以得到以下结论:•粒子在各个可能路径上的振幅相加,得到了粒子的全体运动;•粒子的运动路径满足最小作用量原理,即粒子的作用量在所有可能路径中取得极值。
路径积分理论是现代量子力学的基石之一,它可以用来描述和计算微观粒子的行为。
3. 经典力学中的质点运动在经典力学中,物体的运动可以使用拉格朗日力学或哈密顿力学来描述。
哈密顿力学是经典力学中的一种有效工具,基于哈密顿原理进行建模和计算。
哈密顿原理在经典力学中的应用可总结为:•哈密顿原理可以用于描述质点在给定势能场中的运动;•通过求解哈密顿原理,可以得到物体的运动方程和运动轨迹。
哈密顿力学在物体的运动描述和机械系统分析中具有广泛的应用。
4. 量子场论中的路径积分在量子场论中,我们可以将经典场进行量子化,并通过路径积分来解析量子场的运动。
7第5章哈密顿原理
根据哈密顿原理,
整理后,
又,
代入前式中,得到
在瞬时t0,t1,有r== 0,于是上式中的后四项为零,由于t0,t1是任意的,所以被积函数应为零,且和是彼此独立的,于是我们得到
哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构(杆及杆系、板、壳)的运动微分方程及求动力响应的近似解。
例5-6试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。
(1)
固定时间t,式(1)表示以a为变量(0al)的曲线参数方程,如图18-5中的曲线c,根据不可伸长的约束条件,得到
由此推出
(1)
用 分别表示横向位移及其对a和对t的偏导数,并且限于讨论偏离铅垂位置的微振动。若将横向运动量 看作一阶小量,则由公式(1)看出, 是二阶小量,在略去四阶小量 后,式(1)简化为
(2)
系统动能精确到二阶小量为
(3)
式中,是悬链线密度。若以O为零势能位置重力势能为
(4)
式中,xC是链子的质心坐标;xN是集中质量的坐标。根据质心公式,有
而
若以悬链静平衡为零势能状态,则系统的重力势能为
(5)
令
其中,是集中质量与链的质量比,则系统的拉格朗日函数由式(3)和(5)得
哈密顿作用量为
(6)
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.00
0.29313
0.56900
0.81038
1.00
0.00
0.29401
0.56975
0.81006
1.00
0.00
-0.299
-0.132
+0.0395
0.00
习
5-1如题5-1图所示,半径为r的均质圆球自半径为R的固定球顶端无初速、无滑动地滚下,试求动球的正则方程及球心下降的加速度。
耗散动力学系统的广义哈密顿形式及其应用
耗散动力学系统的广义哈密顿形式及其应用经典力学中所研究大部分系统不是保守系统,所以很难将这类系统表示为经典的哈密顿力学形式(偶数维)以及与此等效的拉格朗日力学形形式或最小作用量变分原理形式。
由于这几种数学形式是数值计算方法中辛几何算法的的基础和现代物理学的基础,所以极大地限制了辛几何算法在耗散系统的数值模拟领域的应用以及耗散系统的量子化等理论物理领域中的应用。
耗散动力学系统长时间跟踪问题是当前非线性力学研究领域的难点之一。
对于低维耗散动力学系统,可以用各种半解析方法(小参数法,摄动法)求解。
即便如此,对于长时间跟踪,也存在所谓久期项问题(由方法本身的误差累积导致)。
对于高维耗散动力系统,直接应用解析方法显然是十分困难的。
因此多采用数值方法求解该类问题。
但是不同的数值方法求解的结果可能会有较大偏差,甚至相差甚远,而且大部分问题是缺乏判断其算法偏差量的参考标准的。
所以为这类问题挑选或者创立公认可行的数值积分方法,成为一个问题。
我国著名学者冯康先生提出并研究了在保守系统领域的这类问题,给出了辛几何算法的思想并系统的表述构造辛差分格式的一般方法,指出了原有差分格式中的适于长时间跟踪的格式。
钟万勰先生发展了这种思想,进一步提出了时间有限元和精细积分的的思想,并对耗散动力学系统引入辛算法作了尝试。
本文的最初的目的是在转子稳定性分析等耗散动力学问题中使用辛数值积分方法(或者说利用辛几何算法的思想找到合适的算法)。
为达到此目的研究了耗散系统和保守系统的一种特殊关系,在此基础上用相应的保守系统的数值解替代原耗散系统,即将辛数值方法应用求解相应的保守系统来得到所要研究系统的数值解。
在这种关系的基础上,借鉴流体力学的广义哈密顿方程和最小作用量变分原理,将耗散系统表示成一种无穷维广义哈密顿系统,相应地带来一种新型的最小作用量变分原理。
可以将冯康文献中广义哈密顿系统辛算法的思想应用于求解这个特殊的无穷维哈密顿系统。
上述最小作用量变分原理,可以和路径积分量子力学形式结合,应用于量子力学领域。
数学的哈密顿系统
数学的哈密顿系统在数学领域中,哈密顿系统是一个重要且广泛应用的概念。
它与解决动力学问题和描述物理现象有着密切关联。
本文将介绍哈密顿系统的定义、特性以及其在数学和物理学中的重要应用。
1. 哈密顿系统的定义哈密顿系统是指在哈密顿力学中描述的一类动力学系统。
它由两个重要的数学对象组成:哈密顿函数和哈密顿方程。
哈密顿函数通常记作H(q, p),其中q代表广义坐标,p代表广义动量。
哈密顿方程用来描述系统的演化方式,它由以下形式给出:dq/dt = ∂H/∂pdp/dt = -∂H/∂q这个方程组表达了系统在时间演化过程中广义坐标和动量随时间的变化规律。
2. 哈密顿系统的特性哈密顿系统具有一些独特的特性,这些特性使得它在研究动力学问题时得到了广泛的应用。
首先,哈密顿系统具有能量守恒的性质。
根据哈密顿函数的定义,我们可以得出系统的哈密顿量H是一个守恒量,即系统的总能量在演化过程中保持不变。
这个性质在物理学中有着重要的意义,例如在天体力学研究中,可以使用哈密顿系统描述行星的运动。
其次,哈密顿系统满足哈密顿-雅可比方程。
哈密顿-雅可比方程是指哈密顿系统的哈密顿函数H与广义坐标和广义动量的偏导数之间存在一定的关系。
这个关系提供了研究哈密顿系统稳定性和周期性解的重要工具。
此外,哈密顿系统还具有相空间的结构性特征。
相空间是指由广义坐标和广义动量组成的多维空间。
在相空间中,哈密顿系统的演化可以表示为一条曲线或者一组曲线,这些曲线描述了系统在不同状态下的运动轨迹。
相空间的结构性特征提供了对系统动力学行为的深入理解。
3. 哈密顿系统的应用哈密顿系统在数学和物理学中有着广泛的应用。
在数学领域,哈密顿系统是动力系统理论的重要组成部分。
研究哈密顿系统的稳定性、周期解和混沌现象,对于理解动力系统的行为以及解决实际问题具有重要作用。
在物理学中,哈密顿系统广泛应用于描述宏观和微观系统的演化。
例如在量子力学中,哈密顿系统可以描述粒子的量子态演化。
哈密顿原理推导运动方程
哈密顿原理推导运动方程引言:物理学中,哈密顿原理是描述系统运动的一种方法。
它通过将系统的运动路径与作用在系统上的力学量相联系,从而推导出系统的运动方程。
本文将以哈密顿原理为基础,推导出运动方程,并对其进行详细的阐述和解释。
一、哈密顿原理的基本概念哈密顿原理是基于变分原理的一种方法,它是由数学家威廉·哈密顿提出的。
它描述了一个力学系统的运动路径应当使作用在系统上的作用量取极值。
作用量是一个函数,描述了系统在其运动过程中所受到的作用力。
根据哈密顿原理,系统的运动路径可以通过使作用量取极值来确定。
二、哈密顿原理的数学表达在哈密顿原理中,作用量可以表示为一个积分形式:S = ∫L(q, q', t) dt其中,S表示作用量,L表示拉格朗日量,q表示广义坐标,q'表示广义速度,t表示时间。
三、推导过程为了推导运动方程,我们需要使用变分法。
变分法是一种数学方法,可以求解函数的极值问题。
我们假设系统的运动路径为q(t),然后对作用量进行变分,使其取得极值。
我们将作用量进行变分:δS = ∫(∂L/∂q δq + ∂L/∂q' δq') dt根据变分法的定义,我们可以将上式中的δq和δq'看作是独立的变量,因此可以分别对其进行求导:∂S/∂q = ∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q')∂S/∂q' = ∂L/∂q'根据哈密顿原理,作用量的变分应当为零,即δS = 0。
因此,我们可以得到以下两个方程:∂S/∂q = 0∂S/∂q' = 0根据以上两个方程,我们可以得到两个重要的运动方程:∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q') = 0∂L/∂q' = 0第一个方程又被称为欧拉-拉格朗日方程,它描述了系统的运动轨迹。
第二个方程则是哈密顿原理的直接结果,它描述了广义动量的守恒。
四、运动方程的物理解释欧拉-拉格朗日方程描述了系统在运动过程中的力学行为。
hamilton’s原理
hamilton’s原理Hamilton's Principle(哈密尔顿原理)哈密尔顿原理是固体力学和流体力学中的一种经典原理,它是由物理学家威廉·哈密尔顿于1834年提出的。
这一原理在分析力学和物理学研究中具有重要的地位和应用价值。
哈密尔顿原理描述了一个力学系统的运动轨迹可以通过最小化一个称为“作用量”的量来确定。
作用量是一个描述系统运动的物理量,它由系统的拉格朗日函数和时间间隔构成。
在哈密尔顿原理中,我们通过比较不同可能的运动路径的作用量来确定系统的真实运动轨迹。
哈密尔顿原理的核心思想是,对于一个力学系统,在给定初始和末态的情况下,真实的运动路径是使作用量取极值的路径。
具体来说,对于一个固定时间间隔的运动问题,哈密尔顿原理可以表述为:物理系统的真实运动轨迹是使作用量取极值的路径。
这个路径可以通过对系统的拉格朗日函数进行变分得到。
在哈密尔顿原理中,拉格朗日函数起着关键的作用。
拉格朗日函数是一个描述系统运动的函数,它由系统的动能和势能构成。
动能描述了系统的运动状态,势能描述了系统的相互作用。
通过对拉格朗日函数进行变分,我们可以得到系统的运动方程,进而确定系统的真实运动轨迹。
哈密尔顿原理的应用范围广泛,涉及力学、物理学和工程学等多个领域。
在力学中,哈密尔顿原理可以用来推导运动方程和确定系统的平衡态。
在物理学中,哈密尔顿原理可以用来研究量子力学和统计力学问题。
在工程学中,哈密尔顿原理可以用来分析和设计复杂的力学系统。
哈密尔顿原理的重要性不仅在于它提供了一种处理力学问题的方法,更在于它揭示了自然界的一种基本原理。
通过最小化作用量,哈密尔顿原理能够描述系统的真实运动轨迹,从而揭示了自然界中的运动规律和物理定律。
哈密尔顿原理是固体力学和流体力学中的一种经典原理,它描述了一个力学系统的运动轨迹可以通过最小化作用量来确定。
哈密尔顿原理在物理学和工程学中具有广泛的应用价值,它不仅为力学问题的求解提供了一种方法,更揭示了自然界中的运动规律和物理定律。
哈密顿力学的数学原理和实际应用案例
哈密顿力学的数学原理和实际应用案例哈密顿力学是经典力学的一种扩展形式,由爱尔兰物理学家威廉·哈密顿在19世纪50年代提出,是研究动力学系统的一种重要方法。
哈密顿力学可以用更加简洁直观的数学形式描述动力学系统的演化过程,同时也是理解量子力学的重要基础。
本文将介绍哈密顿力学的数学原理和实际应用案例。
一、哈密顿力学的数学原理哈密顿力学的核心概念是哈密顿量和哈密顿函数。
哈密顿量是动力学系统中的一个函数,表示了系统的总能量,它通常用动力学变量如位置和动量表示。
哈密顿函数是哈密顿量的数学形式,通常用来描述物理系统的演化过程。
以一维简谐振子为例,其哈密顿量为:$H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$其中,$m$是振子的质量,$\omega$是振子的角频率,$p$是振子的动量,$x$是振子的位置。
该哈密顿量表示了振子的总能量,包括动能和势能。
哈密顿函数是由哈密顿量推导出来的一个函数,它的形式为:$H(x,p)=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$哈密顿函数描述了物理系统在不同时间点的状态,可以通过哈密顿函数来预测系统随时间的演化过程。
在哈密顿力学中,物理系统的演化是通过哈密顿函数所描述的哈密顿运动方程来描绘的:$\frac{dx}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p},\ \frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial x}$哈密顿运动方程可以用于求解物理系统的演化过程,其数学形式非常简洁美观,因此在物理学和数学领域中得到广泛的应用。
二、哈密顿力学的实际应用案例哈密顿力学不仅是物理学中的重要研究工具,还被广泛应用于数学、工程、化学、生物等领域。
下面介绍几个实际应用案例。
1. 铁磁共振铁磁共振是一种重要的谱学技术,用于研究固体物理、化学和生物学等领域中的分子结构。
哈密顿原理应用1
t2
s Ldt
4M 3m xx Fx}dt 0 4 t
1
t2
t2
t1
d ( 4M 3m xx) 4M 3m x Fx}dt 0 { x dt 4 4 t
1
t2
d (x) dt
4M 3m x Fx}dt 0 x 4 t
dt 2 2
3m( R r ) 2 mg ( R r ) sin ]dt 0 s [ 2 t
1
t2
欲使上式成立,必有被积函数为0
3 m( R r ) 2 mg( R r ) sin ] 0 [ 2 在开区间(t1 t2 ) 0 3 m( R r ) 2 mg( R r ) sin 0 2
2
1 m r2 2 ] [ 2 1 mr 2 ) ( 2
d (rr ) m mr r dt
mk) mk r ( 2 r r
s [ 1 m(r r ) mk ]dt 0
2 2 2 t1
t2
2
2
r
d (rr ) m mr r dt
d (r ) 2r mr dt r 2 2rr
2
mk 2 ) mk 2 r ( 2 r r
2 m mk )r m(2rr r 2) ]dt 0 s [( mr r 2 r t1
s Ldt 0
t2
t1 t2
与( )dt对易
3 m( R r ) 2 2 mg ( R r ) cos ]dt 0 [ 4 t 2 t1 3 m( R r ) 2 mg ( R r ) sin ]dt [ 2 t1 d ( d ) dt dt d [ 3 ( R r ) 2 ] [ 3 ( R r ) 2 ]
第18章_哈密顿原理
第18章_哈密顿原理哈密顿原理是力学中的一个重要原理,它是由物理学家威廉·哈密顿(William Hamilton)于19世纪提出的。
这一原理在动力学、量子力学和泛函分析等领域中都有广泛的应用。
哈密顿原理是一种优美而重要的方法,用于描述力学系统的运动。
它是以最小作用量原理为基础的,即物理系统在可行的轨迹中,其作用量的变分为零。
作用量是指系统在一段时间内受到的力的总和。
因此,哈密顿原理可以用数学的形式表示为:在给定初态和末态下,作用量的变分为零。
具体而言,哈密顿原理可以分为两个步骤:第二步是利用变分法来求解哈密顿原理。
通过对作用量进行变分,我们可以得到运动方程以及相应的边界条件。
具体而言,我们对作用量进行变分,得到一组关于位置和动量的偏导数等于零的方程。
这些方程被称为哈密顿方程,它们描述了系统随时间演化的规律。
哈密顿原理的优势在于,它可以将系统的动力学问题转化为一个几何问题,可以简化动力学问题的求解过程。
此外,哈密顿原理还可以解决具有多个约束条件的力学系统。
在这种情况下,我们可以使用拉格朗日乘子来处理约束条件,从而得到正确的运动方程。
除了力学系统,哈密顿原理还可以应用于其他物理学领域。
例如,在量子力学中,哈密顿原理可以用于导出薛定谔方程,这是描述量子力学系统演化的方程。
在泛函分析中,哈密顿原理还可以用于最优控制问题的求解。
总之,哈密顿原理是力学中的一个重要原理,它提供了一种简洁而优雅的方法来描述和求解力学系统的运动。
它不仅可以应用于力学系统,还可以应用于量子力学和泛函分析等领域。
通过哈密顿原理,可以将系统的动力学问题转化为一个几何问题,简化动力学问题的求解过程。
哈密顿原理变分法
哈密顿原理变分法引言:哈密顿原理是经典力学中的一种数学工具,用于描述物体在空间中的运动。
它是由法国数学家和物理学家嗣洛·哈密顿于19世纪提出的,被广泛应用于许多物理学领域,如量子力学、相对论等。
本文将介绍哈密顿原理的基本概念、原理和应用,并探讨其在理论物理学中的重要性。
一、哈密顿原理的基本概念1. 变分法变分法是一种数学方法,用于求解泛函(函数als)极值问题。
在物理学中,我们经常遇到求解由泛函表示的物理量的极值问题,变分法就是解决这类问题的有效工具。
2. 哈密顿原理哈密顿原理是变分法在经典力学中的应用。
它表述了一个物体在给定时间间隔内,其运动轨迹使作用量(action)取极值的路径就是实际发生的路径。
作用量是由拉格朗日量(Lagrangian)和时间变量组成的积分,表示了物体在给定时间内所经历的所有可能的路径对系统的总贡献。
二、哈密顿原理的原理和推导1. 哈密顿原理的原理哈密顿原理的核心思想是“自然界的真实路径是使作用量取极值的路径”。
作用量S可以表示为:S = ∫(L - H)dt其中L是拉格朗日量,H是哈密顿量。
根据变分法的原理,我们可以通过对作用量的变分求解,得到真实路径。
2. 哈密顿原理的推导我们假设系统的状态由广义坐标q和广义速度q'描述,拉格朗日量可以表示为:L = L(q, q', t)根据拉格朗日方程,我们可以得到:d/dt(∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0将哈密顿量H定义为:H = ∑(q'∂L/∂q' - L)则拉格朗日方程可以写为:d/dt(∂L/∂q') = ∂H/∂q对作用量S进行变分,可以得到:δS = ∫(∂L/∂qδq + ∂L/∂q'δq' - ∂H/∂qδq)dt根据变分法的原理,δS = 0,我们可得到哈密顿正则方程:∂H/∂q = -d/dt(∂L/∂q')∂H/∂q' = d/dt(∂L/∂q')三、哈密顿原理的应用1. 经典力学哈密顿原理在经典力学中有广泛的应用。
使用哈密顿原理验证机械能守恒的实验步骤
使用哈密顿原理验证机械能守恒的实验步骤实验步骤:1. 实验目的本实验旨在验证哈密顿原理对于机械能守恒定律的适用性。
2. 实验器材- 弹簧振子装置- 角度测量仪- 弹簧恢复力标定器- 电子天平- 计算机3. 实验原理机械能守恒定律表明,在不考虑外力和机械耗散的情况下,系统的机械能守恒。
哈密顿原理是经典力学中的一个重要原理,可以用来推导运动的方程。
本实验将使用哈密顿原理来验证机械能守恒定律。
4. 实验步骤步骤 1:安装弹簧振子装置将弹簧振子装置固定在实验台上,并确保其垂直摆动的自由度。
步骤 2:标定弹簧恢复力使用弹簧恢复力标定器,测量不同位置下弹簧的恢复力,并记录数据。
步骤 3:测量振子的质量使用电子天平,测量振子的质量,并记录数据。
步骤 4:确定振子的势能和动能表达式根据振子的质量和弹簧恢复力的标定数据,确定振子的势能和动能表达式。
步骤 5:确定系统的哈密顿函数根据振子的势能和动能表达式,确定系统的哈密顿函数。
步骤 6:求解振子的运动方程使用哈密顿原理,利用系统的哈密顿函数,求解振子的运动方程。
步骤 7:进行实验观测通过角度测量仪观测振子的摆动,并记录数据。
步骤 8:分析数据将实验观测得到的数据代入振子的运动方程,进行计算和分析。
步骤 9:验证机械能守恒定律比较实验观测结果与理论计算结果,验证机械能守恒定律的成立。
5. 实验注意事项- 实验过程中需注意安全,避免造成人身伤害。
- 实验器材和仪器需正确使用,保持良好的工作状态。
- 数据记录需准确无误,对于任何异常或者误差需进行分析和排除。
6. 实验结果与讨论根据实验观测数据和理论计算结果,进行对比分析,验证机械能守恒定律的成立程度。
7. 结论经过实验验证,哈密顿原理可以用于验证机械能守恒定律的有效性。
机械能守恒定律在不考虑外力和机械耗散的情况下成立。
8. 实验拓展可以通过改变实验条件,如调整弹簧的初始位置、质量等,来探索机械能守恒定律的适用范围。
也可以考虑加入其他因素,如空气阻力等,进行更加真实的模拟实验。
耗散系统的哈密顿原理及其应用
题目耗散系统的哈密顿原理及其应用学生姓名闫俊杰学号 1210014049 所在学院物理与电信工程学院专业班级物理学1202 班指导教师王剑华 __ __ 完成地点陕西理工学院2016年 5 月 20 日耗散系统的哈密顿原理及其应用作者:闫俊杰(陕西理工学院物理与电信工程学院物理专业1202班级,陕西汉中 723000)指导老师:王剑华[摘要]哈密顿原理不仅是分析力学的基础,而且在量子物理中也有重要的应用。
本文首先通过定义耗散函数,给出了有耗散系统的哈密顿原理。
然后利用有耗散系统的哈密顿原理推导出了有耗散系统的拉格朗日方程。
最后通过与受线性粘滞阻尼作用的力学系统类比,把有耗散系统的拉格朗日方程应用到有耗散的电路系统,给出了基尔霍夫定律。
[关键词] 耗散系统;耗散函数;哈密顿原理;广义耗散力;基尔霍夫定律.引言哈密顿原理,于1834年首次发表,从而完成了从莫泊丢开始的尝试,该原理的数学形式简洁,内容广泛,将动力学问题转化为数学的一般体系的一部分,更深刻地揭示了客观事物之间的紧密联系,在物理学中有极高的地位,它不仅可以看作是力学的最高原理,甚至可以看作是整个物理学的最高原理,利用广义坐标并定义哈密顿函数就可以从哈密顿原理推导出哈密顿正则方程,致各种动力学定律都可以从这一变分式推出.所以说它是成为牛顿之后力学发展一个最大飞跃[1]。
伴随经典力学从自由到非完整约束系统发展历程的是学术讨论甚至是争论,有些是对错之争,有些只是观点不同,问题的焦点主要是经典力学理论怎样从完整系统推广到非完整尤其是非线性非完整系统,这是经典力学后牛顿发展的主要标志,也是物理学近、现代发展的一块重要里程碑。
物理学家考察具体的物理问题,常常以最小作用量原理为出发点,通过变分运算而导出物质系统的运动方程以表示其运动规律。
牛顿质点运动方程可通过这样的推导过程得出;甚至如广义相对论里的爱因斯坦场方程也可如此导出,其实,所有运动方程就是拉格朗日方程或哈密顿正则方程在其拉氏量或哈氏量对于不同物质系统取不同形式时的具体体现。
哈密尔顿原理
哈密尔顿原理哈密尔顿原理(Hamilton's principle)是一种非常重要的物理学原理,它是发展动力学的重要基础。
哈密尔顿原理是由物理学家William Rowan Hamilton在19世纪中期提出的。
哈密尔顿原理可以用来推导物理系统的运动方程,它的推导方法非常简单,只需要将系统的Lagrangian(拉格朗日量)代入到哈密尔顿原理中就可以得到系统的运动方程。
哈密尔顿原理的表述为:对于一个运动的系统,它的运动路径(或轨迹)是那条能够使系统在规定的时间间隔内得到最小的作用量(Action)的路径。
所谓的作用量,可以简单理解为整个系统在运动过程中所需要完成的活动量。
哈密尔顿原理告诉我们,整个系统的运动路径实际上是一个具有最小作用量的路径。
这个最小作用量,实际上就是系统的Lagrangian乘以运动时间的积分。
我们可以用拉格朗日函数的形式表示系统的运动情况:L(x,v) = K - V = 1/2 * m * v^2 - U(x)其中,K是动能,V是势能。
根据哈密尔顿原理,我们可以得出系统的最小作用量如下:S = ∫ L(x,v) dt因此,我们只需要计算L(x,v)在整个运动周期内的积分,就可以得到系统的最小作用量,从而得到系统的运动路径(或轨迹)。
在具体的计算过程中,我们需要用到哈密尔顿原理的另外一个重要工具——变分(Variation)。
变分运算表示对于一个函数f(x),它的变分是指对这个函数在无穷小的变化下的导数。
我们可以将变分形式变换为微分形式,从而得到:δS = ∫ [∂L/∂x * δx + ∂L/∂v * δv] dt其中,δx和δv表示系统的微小偏移。
在利用哈密尔顿原理进行系统运动方程的计算过程中,我们需要将变量x和v代入到L(x,v)中,并且对变化量δx和δv进行求导。
最后我们可以利用欧拉-拉格朗日方程通过对哈密尔顿原理的求导来推导出系统的运动方程:d/dt (∂L/∂v) - (∂L/∂x) = 0这个方程叫做运动方程,它描述了系统在动力学过程中所受到的物理作用和动力响应的关系。
hamilton 原理
hamilton 原理Hamilton原理,也称作Hamilton-Jacobi原理,是经典力学中非常重要的一个原理。
它描述了物理系统的运动方式,可以用于解决很多经典力学问题,如质点、刚体等的运动问题。
Hamilton原理的基本思想是:在一个物理系统中,某个物理量的变化率是由其他物理量的变化率导致的。
这个物理量可以是能量、动量、角动量等。
在Hamilton原理中,物理系统的运动被描述为一条曲线,叫做Hamilton特征函数。
这个曲线的斜率告诉我们物理系统的速度。
如果我们知道Hamilton特征函数,就可以通过求导来计算物理系统的速度和位置。
Hamilton特征函数的形式取决于物理系统的特性,例如质量、力等。
Hamilton原理还有一个重要的应用,即Hamilton-Jacobi方程。
这个方程描述了物理系统在一定条件下的运动方式。
通过求解这个方程,我们可以得到物理系统的Hamilton特征函数和运动方式。
这个方法在解决复杂的力学问题时非常有用,尤其是在量子力学和相对论中。
除了在经典力学中应用广泛,Hamilton原理还可以用于描述其他自然现象。
例如,在光学中,Hamilton原理被用于描述光线的传播方式。
在电动力学中,Hamilton原理被用于描述电磁波的传播方式。
因此,Hamilton原理不仅有助于我们理解物理学中的运动方式,还可以用于解决其他自然现象的问题。
Hamilton原理是经典力学中非常重要的一个原理,它可以用于描述物理系统的运动方式,解决很多经典力学问题。
同时,它也可以应用于其他自然现象的描述和解决。
掌握Hamilton原理的应用,对于理解物理学中的各种现象和问题都有很大的帮助。
哈密顿原理
哈密顿原理哈密顿原理,又称“哈密顿总动量定理”,是物理学的重要定理之一,由英国物理学家威廉哈密顿(William Hamilton)发现,它提供了一种有效而可靠的方式来描述许多现象,并且在现代物理学中仍然被广泛使用。
本文将以详细的介绍介绍哈密顿原理,并讨论它在现代物理学中的作用。
哈密顿原理(Hamilton Principle),也称为哈密顿总动量定理(Hamilton Principal of the Conservation of Momentum),是物理学中的重要理论,它提供了一种有效的方法来描述物质受给力作用时的运动行为。
它的主要思想是,在某些确定的物理系统中,物体在接受给力的过程中所承受的瞬态动量必须是系统整体的总动量的最小值。
因此,哈密顿原理可以用来求解某些物理系统的运动行为,但它仅适用于确定的物理系统。
哈密顿原理表明,当受力物体在系统中发生变形时,它的总动量变化(即动量矢量)越小越好。
因此,受力物体的运动行为满足哈密顿原理的条件,即最优化其总动量矢量的条件。
哈密顿原理也可以用来推导某些重力场的运动规律。
例如,对于受力物体在引力场中发生运动,哈密顿原理可以用来推导出物体受到引力时在无惯性参考系下的运动方程式,即质量*加速度=引力,从而解释山岳问题、月球问题等。
另外,哈密顿原理还可以应用于一些重要的物理现象,如超声波传播、灰尘环形等。
例如,对于超声波传播,哈密顿原理指出,超声波在介质中可以存在,且其传播的速度和传播的方向都是介质的性质决定的。
此外,哈密顿原理还可以用来求解受力物体在各种复杂运动体系中的运动行为,如基本动力学、现代力学等。
在基本动力学中,它可以用来推导受力物体的位移、速度、加速度等关系,从而求解受力物体的运动问题。
在现代的力学中,哈密顿原理也可以用来求解某些复杂的动力学问题,如振动动力学、热传导等问题。
总之,哈密顿原理是物理学的重要定理,它提供了一种有效而可靠的方式来描述许多物理现象,并且在现代物理学中仍然被广泛使用。
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题目耗散系统的哈密顿原理及其应用学生闫俊杰学号1210014049所在学院物理与电信工程学院专业班级物理学1202 班指导教师王剑华__ __ 完成地点理工学院2016 年 5 月20 日耗散系统的哈密顿原理及其应用作者:闫俊杰(理工学院物理与电信工程学院物理专业1202班级,723000)指导老师:王剑华[摘要]哈密顿原理不仅是分析力学的基础,而且在量子物理中也有重要的应用。
本文首先通过定义耗散函数,给出了有耗散系统的哈密顿原理。
然后利用有耗散系统的哈密顿原理推导出了有耗散系统的拉格朗日方程。
最后通过与受线性粘滞阻尼作用的力学系统类比,把有耗散系统的拉格朗日方程应用到有耗散的电路系统,给出了基尔霍夫定律。
[关键词] 耗散系统;耗散函数;哈密顿原理;广义耗散力;基尔霍夫定律.引言哈密顿原理,于1834年首次发表,从而完成了从莫泊丢开始的尝试,该原理的数学形式简洁,容广泛,将动力学问题转化为数学的一般体系的一部分,更深刻地揭示了客观事物之间的紧密联系,在物理学中有极高的地位,它不仅可以看作是力学的最高原理,甚至可以看作是整个物理学的最高原理,利用广义坐标并定义哈密顿函数就可以从哈密顿原理推导出哈密顿正则方程,致各种动力学定律都可以从这一变分式推出.所以说它是成为牛顿之后力学发展一个最大飞跃[1]。
伴随经典力学从自由到非完整约束系统发展历程的是学术讨论甚至是争论,有些是对错之争,有些只是观点不同,问题的焦点主要是经典力学理论怎样从完整系统推广到非完整尤其是非线性非完整系统,这是经典力学后牛顿发展的主要标志,也是物理学近、现代发展的一块重要里程碑。
物理学家考察具体的物理问题,常常以最小作用量原理为出发点,通过变分运算而导出物质系统的运动方程以表示其运动规律。
牛顿质点运动方程可通过这样的推导过程得出;甚至如广义相对论里的爱因斯坦场方程也可如此导出,其实,所有运动方程就是拉格朗日方程或哈密顿正则方程在其拉氏量或哈氏量对于不同物质系统取不同形式时的具体体现。
亦是广义相对论的一个重大结论;而如前文已提及的,引力场方程的导出可采用引力场之作用量的变分运算。
从光线路径和质点运动到四维弯曲时空中的短程线方程乃至引力场运动方式等等实例可见,无论是几何间题,还是物理问题,都可凭籍变分法去圆满地解决;特别是最小作用量原理及其在物理学各领域的成功应用,正就是利用变分法这一几何方法、亦乃经济原则去解析各物质系统之运动规律的丰盈成果。
例如牛顿力学描绘了天体运动的出色图景,拉格朗日一哈密顿理论描绘此图景也毫不逊色。
当然,在经典力学畴里,这两个理论体系本来是等价的,只是着眼点有所不同:对于行星运动,牛顿着眼于行星与恒星之间的万有引力;哈密顿等人着眼于行星运行时的能量守恒正因为后者着眼于能量状况,遂使哈密顿原理的适用性得以超出经典力学畴。
耗散系统就是指一个不断地与外界交换能量的系统这样的新结构就是耗散结构[2]。
拉格朗日方程是力学理论中的基本方程,它在力学系统中得到广泛的应用。
它的表述形式不再是直观的矢量形式,而是抽象的数学分析,即分析力学。
分析力学所注重的不是力和加速度,而是具有更广泛意义的能量,同时又扩大了坐标的概念。
所以拉格朗日方程更适用于处理复杂力学系统的问题,而且可以更进一步,应用到物理学和技术科学的其他领域[3]。
目前拉格朗日方程已经被应用到许多领域中,特别是电学中的应用。
虽然拉格朗日方程在力学系统中得到广泛的应用,对力学问题提供了新的、简洁的求解方法。
但是在某些领域中还有它的不足,特别是在耗散系统中,一般的拉格朗日方程解决的都是理想约束的问题,即忽略阻力、摩擦、黏滞力形、变等,或者是把阻尼力当成主动力处理[4]。
但是自然界多数物理过程都是有阻尼的物理过程,往往使问题不能很好的解决,或变得更复杂。
如果把耗散函数引入拉格朗日方程中,这个不足就会迎刃而解,把阻尼力的问题用耗散函数来解决,解决有耗散系统的复杂问题时更加简单。
哈密顿原理它涉及了一系列基础问题。
中国学者为推动这一学科的发展作出了重要的贡献[5-9]。
牛青萍发表了重要论文《经典力学基本微分原理与不完整力学组的运动方程》。
这是我国第一篇非完整力学的研究论文,跃宇建立了一类新型的积分变分原理,该原理比较完满地解决了变分原理的推广问题。
保加利亚科学院院士И.Цнов(Tzenoff)建立了一类新型的运动微分方程,具有简单统一且便于应用的优点。
对于变质量力学系统,梅凤翔就Hamilton 原理[10],立群就非惯性系[11],毅就相对运动[12],方建会和元成就相对论力学的速度空间[13],自二十世纪70年代以来,以DNA 为背景的超细长弹性杆力学受到关注,用Kirchhoff 理论进行力学建模。
基于此,延柱、立群等将经典的分析力学理论移植到弹性杆静力学[14,15],人类对于自然界的认识永无止境,任何一个学科的发展都在伴随着时代的步伐与时俱进。
本文主要研究了耗散函数,广义耗散力和准拉氏函数,耗散系统的哈密顿原理及其拉格朗日方程,有耗散系统中哈密顿原理的应用。
1 耗散函数设质点不仅受有势力和非有势力作用,还受粘滞阻尼的作用,粘滞阻尼是作用在质点上的线性阻力。
由于这种阻力使机械能耗散,所以他又被称为耗散力。
下面,先定义阻尼力,再由阻尼力的虚功给出耗散函数。
设作用在任一质点i M 上的线性阻力为i Ri i i V C R -= (1.1)其中V i 是质点的运动速度,阻力系数C i 为常数。
质点上的线性阻力任意虚位移中所作虚功的和为11n n R i i i i ii i W R r C V r δδδ===⋅=⋅∑∑∑ (1.2)式中∑∑∑===∂∂=∂∂∂=∂∂∂=N 1k 11k k i k N k k i k Nk i i q q V q q r q q r r δδ (1.3)将它代回式(1.2)得2111112N NN N i R i i k i i k i i k i k V W CV q CV q q δδδ====∂⎛⎫=-⋅=- ⎪∂⎝⎭∑∑∑∑∑ (1.4) 在有耗散存在的力学系统中,可以把耗散函数Ψ表示成广义速度的函数∑=∂∂==N k k k i i i q q r r V 1 (1.5) 令2112n i i i C V ψ==∑称为耗散函数,有 11i 1111111()()222n n S S S S i i i i i i k j kj k j i i j k j k kr r C VV C q q q q q q ψγ======∂∂==⋅=∂∂∑∑∑∑∑∑ (1.6) 式中ji k i n j ikj q r q r C ∂∂⋅∂∂=∑=1γ是常数或广义标的函数,称为广义阻力系数。
式(1.6)表明耗散函数是广义速度的二次齐次函数。
2 广义耗散力和准拉氏函数 约束系统动力学的基本问题[16]和变分原理目前的研究主要出现在以下几个方面:(1)对分析力学基本概念和基本问题在更高层面上的进一步探讨与扩充。
这项研究,不但可以巩固分析力学的理论根基,并且可以澄清一些纷争。
(2)对于新的力学系统,建立相应的力学变分原理。
历史和现代的如变质量系统、单面约束系统、连续系统、Birkhoff 系统、广义力学系统、广义非完整系统以及基于Kirchhoff 动力学比拟的超细常弹性杆等。
(3)用近代微分几何建立各种变分原理,如射丛几何的、辛几何的等。
(4)变分原理的应用,如应用于数值计算等等。
在有耗散存在的系统中,广义耗散力是一个非常重要的力学量。
下面来进行计算,把(1.6)代入(1.4)可以得到sk 1R k k W q q ψδδ=∂=-∂∑∑(2.1) 再令RK Q 为对应于广义坐标k q 的广义耗散力,则Rk kQ q ψ∂=-∂ (2.2) 于是,有耗散存在的准拉氏函数为R L T V W L W '=-+∑=+∑ (2.3)利用这个准拉氏函数,我们可以给出有耗散存在的哈密顿原理。
3 耗散系统的哈密顿原理及其拉格朗日方程物理学中最基本的原理是哈密顿原理。
著名量子物理学家狄拉克曾十分推重这条原理[18]。
因为它具有物理学理论的同一性。
物理学中的一些重要原理与它们的核心方程,都能从哈密顿原理出发、借拉格朗日分析力学的方法导出;哈密顿原理在分析力学中有着十分重要的地位[19]。
它借助于变分原理对质点运动情况作出精确描述。
这一原理不仅适用于有限自由度的点系,也可用于无限自由度的点系[20]。
它在相对论中,场论中被广泛采用。
在有耗散存在的的系统中,可以考虑把哈密顿原理写成如下形式210t t s L dt δδ'==⎰ (3.1) 把(2.3)代入(3.1)可以得到 21()0t R t s L W dt δδ=+∑=⎰ (3.2) 即211d δδd 0d st R t L L q q W t q t q αααααδ=⎡⎤⎛⎫∂∂+-∑=⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦∑⎰ (3.3) 经过进一步推导,得 221111d d δ0d t s s t R t t L L L W q t q q t q q αααααααδ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂-+δ+=⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑⎰ (3.4) 把(2.1)代入(3.4),并考虑[][]120,t t q q ααδδ== ()1,2,...s α= (3.5)可得211d δδd =0d s t t L L S q q q t q t q q αααααααψδδ=⎡⎤⎛⎫∂∂∂=--⎢⎥ ⎪∂∂∂⎝⎭⎣⎦∑⎰ (3.7) 哈密顿原理指出,对于质点系真实运动,0=S δ,即上式中积分为零。
由于区间是任意的,故知被积函数为零。
又因为αδq 彼此独立,所以αδq 的S 个系数应全为零,于是得到方程。
即0,(1,2,)d L L s dt q q q αααψα∂∂∂-+==∂∂∂ (3.8)这就是含耗散函数的拉格朗日方程。
哈密顿原理处理简单运动没有什么优越性,但是用它来处理多自由度复杂问题却比较方便。
天体力学中摄动法就是应用哈密顿方程一个典型事例[21]。
哈密顿正则方程虽然是经典力学的方程,但是却能被推广应用到微观和高速领域,在理论力学尤其是分析力学领域有着重要应用。
4 有耗散系统中哈密顿原理的应用一维弹性振子在有阻尼力和谐迫力时的振动方程为cos mx bx Kx F t ++=Ω (4.1)其中m 是振子的质量,k 是弹簧的弹性系数,b 是阻尼因数,t F Ωcos 为谐迫力。
由电感L,电阻1R ,电容C 和电源E 所组成的串联电路, 若某时刻电容器上的电荷为q, 则电路的电流dtdq I =(4.2) 电感上的电压降为 22L dtq d L dt dI = (4.3)电阻上的电压降为dt dq R I R 11= (4.4) 电容上的电压降为cq ,又设电源电动势为t cos ΩE E 00=,由基尔霍夫定律得电路的微分方程为 t cos ΩE cq dt dq R dt q d L 00122=++ (4.5) 比较方程(3.1)和方程(3.2)可得如下的结论: 电荷与位移, 电感与质量, 电阻与阻尼因数,电容的倒数与弹簧的弹性系数,电动势与机械力。