互动博弈论——博弈论平话 2

小猪
等待
3x+6(1-x)
E [7x+4(1-x)]y + [3x+6(1-x)]（1-y） E
E x
6-3x-2y+6xy
令 E x
E y
3 6 y
3 6 y 0 则得到 y 1 / 2
E y
2 6 x
令
2 6 x 0 则得到 x 1 / 3
求解方法： 1 占优策略均衡； 2 严格劣策略的重复剔除； 对比 3 纳什均衡（划线法）； 4 箭头法。
两人有限零和对策问题的求解方法 1）安全第一方法 2）优超法 3）2×2对策的公式法 4）2×m或n×2对策的图解法 5）迭代法 6）线性规划法（基本方法）
囚徒2
智猪博弈
抵赖 按
小猪
等待
4，4 0，0
局中人II的策略
e
f
g a b c d
A
6 3 9 -3
1 -8 2 4 -1 -10 0 6
局 中 人 I 的 策 略
14
矩阵对策的均衡局势（f,b）
局中人II的策略
e
f
g a b c d
A
6 3 9 -3
1 -8 2 4 -1 -10 0 6
局 中 人 I 的 策 略
15
规律：如有
max min a ij min max a ij a i
1 2
11
案例：
乙企业战略 1 甲企 战略 1 2 3 10 12 6 2 -1 10 8 3 3 -5 5
甲乙企业生产同一种电子产品，两企业均线通过改进管理获取更多的市 场销售份额。其中：
甲企业中的战略1代表降低产品价格；2 提高产品质量；3 推出新产品 乙企业中的战略1代表增加广告费用；2 增加位球王点；3 改进产品性能。
1 1 3 1 -1 1
1 1 1 3 1 -1
1 -1 1 1 3 1
-1 1 1 1 1 3
A没有鞍点，只有最优混合策略： X*=（1/6，1/6，1/6，1/6，1/6，1/6） y*=（1/6，1/6， 1/6，1/6，1/6，1/6） 对策的值（对齐王而言）：1
意义：当矩阵对策不存在鞍点时，竞争双方在开局前 均应对自己的策略加以保密，否则不保密的一方要吃亏。
假设市场份额一定，由于策略措施不同，通过预测，两企业市场占有分 析变动情况如上表所示。
12
求解方法之一：最小最大法——安全第一法
乙企业战略 1 甲企 战略 1 2 3 10 12 6 12 2 -1 10 8 10 3 3 -5 5 5 -1 -5 5 5
最小值
最大值
13
设有一矩阵对策，求均衡局势（对策）
求解方法： 1 占优策略均衡； 2 严格劣策略的重复剔除；
对比：
两人有限零和对策问题的求解方法
3 纳什均衡（基本方法）；
4 箭头法。
1）安全第一方法 2）优超法 3）2×2对策的公式法 4）2×m或n×2对策的图解法 5）迭代法 6）线性规划法（基本方法）
几个经典模型：
囚徒困境
坦白
囚徒1 坦白 -5，-5 -8，0
0，-8 -1，-1
大 猪
按 等待
5，-1 9，-1
抵赖
性别战
足球 男 足球 芭蕾 2，1 0，0
女 芭蕾
斗鸡博弈
进 0，0 1，2 A 进 退 -3，-3
B 退 2，0
0，2
0，0
29
纳什均衡
1、占优策略均衡。一般来说，由于每个参 与人的得益是博弈中所有参与人的策略的函数， 因此每个参与人的最优策略选择依赖于所有其他 参与人的策略选择。但在一些特殊的博弈中，一 个参与人的最优策略可能可以不依赖于其他参与 人的策略选择，就是说，不论其他参与人选择什 么策略，他的最优策略是 唯一的，这样的最优 策略被称为“占优策略”。 如果一个博弈中，某个参与人有占优策略， 那么该参与人的其他可选择策略就被称为“劣策 略”。
A
18
案例：
乙企业战略 1 甲 企 战 略
最大 值
最小值
乙企业战略 1 2 -1 10 8 10 3 3 -5 11 11
最小值
2 -1 10 8 10
3 3 -5 5 5 -1 -5 5 5 甲企 战略 1 2 3
1 2 3
10 12 6 12
10 12 6 12
-1 -5 6 无鞍点
最大 值
S S 1 S 2 ... S n
Hi(s)，如齐王与田纪赛马H齐王(s )=3； H田纪(s )=-3
11 11
***局中人、策略与赢得函数（支付函数）确定后，一个对策模型即确定。 对于两人有限零和对策，局中人I的赢得矩阵与局中人II的赢得矩阵相反。 矩阵对策常被记为：G={I，II；S ，S ；A}
max* min * E ( x , y ) min *x max* E ( x , y )
x S 1 y S 2
y S 2
x S 1
使上式成立的（x*，y*）为G在混合策略意义下的解。 x*与y*为局中 人的最优混合策略。
20
（鞍点不存在时） 求解两人有限零和对策问题的方法之二——优超法
4 0 3 6 0
0 2 9 8 8
3 0来自百度文库5 9 5 9 7 6 8 3
25
解：用优超法化简
A
3 5 7 4 6
2 0 3 6 0
0 2 9 8 8
X 1-X
3 0 5 9 5 9 7 6 8 3
A
7 3 4 6
y
1-y
26
E
X
1-x
7 4
3 6
y 1-y y 1-y
E
7x+4(1-x)
23
求解矩阵对策的其他方法
——2×2对策的公式法 ——2×m或n×2对策的图解法 ——迭代法 ——线性规划法（基本方法）
总思路： 首先判断是否存在鞍点，当鞍点不存在时，利用优超原则 与方法将原对策的赢得矩阵尽量简化，然后再利用其他方法进 行求解。
24
作业2：
利用优超法求解下列矩阵对策
A
3 5 7 4 6
解得X3*=1/3，X4*=2/3 y1*=1/2，y2*=1/2 则原对策矩阵的一个解是： X*=（0，0，1/3，2/3，0） y*=（1/2，1/2，0，0，0） 期望赢得值为5
22
思考：混合战略的现实意义？
齐王与田纪赛马博弈的混合均衡
齐王的赢得矩阵：
3 1 1 3 A 1 -1 -1 1 1 1 1 1
30
在一个博弈里,如果所有参与人都有占优策略
存在，那么占优策略均衡是可以预测到的唯一的均衡， 因为没有一个理性的参与人会选择劣策略。
31
完全信息静态博弈
例1：囚徒困境 (prisoner’s dilemma)
囚徒2
坦白 -5，-5 -8，0 抵赖 0，-8 -1，-1
囚徒1
坦白 抵赖
思考求解方法的差异：
A
3 5 7 4 6
2 0 3 6 0
0 2 9 8 8
3 0 5 9 5 9 7 5.5 8 3
A
7 3 4 6
21
E
X 1-x 7x+4(1-x)
7 4
3 6
y 1-y y 1-y
E
3x+6(1-x)
E [7x+4(1-x)]y + [3x+6(1-x)](1-y) E
E x
互动决策论---博弈论平话 马小琪
黑龙江大学信息管理学院
1
博弈分析前要明确的几个问题
1 博弈视角？
（局中人还是局外人）
2 如何进行博弈分析？
（除了确定博弈要素之外还需要博弈分析方法）
3 博弈分析的难点？ （对现实的贴近描述→分析的框架的作用） 4 均衡的现实含义？
（均衡与均衡结果的差异）
5 博弈分析是否能够完全预测博弈结果？
进 不进 (0,400) 在位者 在位者 (0,300) 打击 打击 (40,50) (30,80) (-10,100) (-10,0) 7
[1-P] 进
策（战）略式的表述：
1 、 博 弈 的 参 与 人 集 合 ： i∈Γ ， Γ=(1,2,…， n)； 2、每个参与人的战略空间：Si i ＝ 1,2,3,…,n； 3、每个参与人的得益函数：ui(s1, …， si…，sn)，i＝1,2,3, …，n。 用G＝｛S1，…，Sn；u1, …，un｝代表战 略式表述博弈。
原因：局中人乙选择了策略2，使局中人甲得到了更多的赢得（8-（-1）（11-6）=4），所以对乙来说，策略2不是最优策略。 此时，双方的策略是局中人甲与乙策略集中的一个概率分布，即混和策略 （纯策略是混合策略的特例）。混合策略的采用是使双方得到的期望效用相同。
19
称G*={S1*，S2*,E}为对策G的混合扩充。E（x，y）=xTAy，此时的 博弈均衡局势是使
6-3x-2y+6xy
令 E x 3 6 y 0 则得到 y 1 / 2
3 6 y
E y
2 6 x
令
E y
2 6 x 0 则得到 x 1 / 3
A
3 5 7 4 6
2 0 3 6 0
0 2 9 8 8
3 0 5 9 5 9 7 5.5 8 3
i j i j * * j
则称使之成立的纯局势（ai*， bi* ）为纯策略下的平衡 局势（或解）， ai*与 bi*分别为局中人I与II的纯策略。
含义：既是所在行的最小值，又是所在列的最大值。且 （ai*， bi* ）为鞍点。
16
案例：
A
6 1 8 0 5 4 5 2 6 5 2 -1 7 5 6 2
A
3 5 7 4 6
2 0 3 6 0
0 2 9 8 8
3 5 5 7 8
0 9 9 6 3
解得X3*=1/3，X4*=2/3 y1*=1/2，y2*=1/2
则原对策矩阵的一个解是： X*=（0，0，1/3，2/3，0） y*=（1/2，1/2，0，0，0） 期望赢得值为5
27
二 两人有限变和对策问题的求解
5
策略式表达又称为标准式表达，在这种表 达中，所有参人同时选择自己的策略，所有参 与人选择的策略一起决定每个参与人的得益。 值得强调的是，这里参与人同时选择的是 “策略”,而不是“行动”。 在静态博弈中,由于参与人只选择一次,所 以策略就等同于行动。而在动态博弈中，策略 是参与人在各个阶段的行动的全面计划。
（安全第一方法、优超法及其他解法）
两人有限零和对策——矩阵对策
1）局中人i，i∈I，I={1，2，…,n} S 1 1 , 2 ,..., m 2）策略S，Si 如（上中下），（上下中），（中上下）等 S 2 1 , 2 ,..., n … 3）赢得函数局势：局势 s s1 , s 2 ,..., s n 如s11= 1 , 1 ,s12 = 1 , 2 等 全部集合局势：
最小最大法（安全第一法）与优超法在有限非零和博弈中的适用性？
32
对比：鞍点不存在时，求解两人有限零和对策问 题的方法之二—优超法
A
3 5 7 4 6
2 0 3 6 0
0 2 9 8 8
3 0 5 9 5 9 7 5.5 8 3
A
7 3 4 6
33
无占优策略均衡 的经典博弈模型
智猪博弈
按
大 猪 按 等待
6
2 博弈的策略式表达
在博弈论中,一个博弈可以用两种不同的方式来表达： 一种是策略式表达:另一种是扩展式表达.策略式表达更适 合于静态博弈，而扩展式表达更适合于讨论动态博弈。
策略式表达 的矩阵形式 男 足球 芭蕾 女 足球 2，1 0，0 芭蕾 0，0 1，2 [P] 不进 N 扩展式表达 的决策树形式
8
3
博弈的得益矩阵表示
一个博弈被称为有限博弈，如果：
第一，参与人的个数是有限的；
第二，每个参人可选择的策略个数是有限的。
有限博弈的策略式表达及其求解可以用得益矩阵直观地给出。
9
第二讲 完全信息静态博弈
序 一 二 基本概念简介 两人有限零和对策问题的解法 两人有限变和对策问题的解法
10
一 两人有限零和对策问题的求解
2
第二部分 完全信息静态博弈
序 一 二 基本概念简介 两人有限零和对策问题的解法 两人有限变和对策问题的解法
3
序 基本概念：
1 完全信息静态博弈的定义？ 2 博弈的策略式表达 ？ 3 博弈的得益矩阵表示 ？
（博弈现象、博弈思想、博弈理论、博弈模型、博弈应用）
4
1
完全信息静态博弈
定义 所谓完全信息静态博弈指的是各博弈方同 时决策，或者决策行动虽有先后，但后行动者 不知道先行动者的具体行动是什么且各博弈方 对博弈中各种策略组合情况下所有参与人相应 的得益都完全了解的博弈。
当解不唯一时，解之间的关系有两个性质： 1）无差别性； 2）可交换性。
此时，局中人可以不依赖于其他人的纯策略，而 选择构成解的最优策略。
17
作业1：求解下列矩阵对策
9 6 2 5 3 9 3 5 4 6 2 6 1 4 3 2 3 4 8 0 6 7 3 8 2 1 5 4 8 8 0 4 2 1 2 4