2008年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2008年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）

1．（4分）（2008•上海）不等式|x﹣1|＜1的解集是（0，2）．

【考点】绝对值不等式的解法．

【专题】计算题．

【分析】先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．

【解答】解：∵|x﹣1|＜1，

∴﹣1＜x﹣1＜1⇒0＜x＜2．

故答案为：（0，2）．

【点评】此题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型，此题是一道基础题．

2．（4分）（2008•上海）若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=2．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．

【专题】计算题．

【分析】由题意A∩B={2}，得集合B中必定含有元素2，且A，B只有一个公共元素2，可求得a即可．

【解答】解：由A∩B={2}，

则A，B只有一个公共元素2；

可得a=2．

故填2．

【点评】本题考查了集合的确定性、交集运算，属于基础题．

3．（4分）（2008•上海）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则z=1+i．

【考点】复数代数形式的混合运算．

【分析】直接化简出z，然后化简表达式为a+bi（a、b∈R）即可．

【解答】解：由．

故答案为：1+i．

【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．

4．（4分）（2008•上海）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x＞0），则f（4）=2．【考点】反函数．

【专题】计算题．

【分析】令f（4）=t⇒f﹣1（t）=4⇒t2=4（t＞0）⇒t=2．

【解答】解：令f（4）=t

∴f﹣1（t）=4，

∴t2=4（t＞0）

∴t=2．

答案：2．

【点评】本题考查反函数的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．

5．（4分）（2008•上海）若向量，满足且与的夹角为，则=

．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】根据可得答案．

【解答】解：∵且与的夹角为

∴=7

∴则=

故答案为：

【点评】本题主要考查向量的数量积运算，属基础题．

6．（4分）（2008•上海）函数的最大值是

2．

【考点】三角函数的最值；运用诱导公式化简求值．

【专题】计算题．

【分析】先根据两角和与差的正弦公式进行化简，再由正弦函数的性质即可得到其最大值．【解答】解：由．

故答案为：2

【点评】本题主要考查两角和与差的正弦公式和正弦函数的性质﹣﹣最值．考查考生对正弦函数的性质的掌握和应用．三角函数式高考的一个必考点，重点在对于基础知识的考查．

7．（4分）（2008•上海）在平面直角坐标系中，从六个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）、F（3，3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果

用分数表示）．

【考点】等可能事件的概率．

【分析】本题是一个古典概型．由题目中所给的坐标知A、C、E、F共线；B、C、D共线；六个无共线的点生成三角形总数为C63；可构成三角形的个数为C63﹣C43﹣C33

【解答】解：本题是一个古典概型

由题目中所给的坐标知A、C、E、F共线；

B、C、D共线；

∵六个无共线的点生成三角形总数为：C63；

可构成三角形的个数为：C63﹣C43﹣C33=15，

∴所求概率为：；

故答案为：．

【点评】本题考查的是概率，实际上是考查排列组合问题在几何中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件．

8．（4分）（2008•上海）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．

【考点】奇函数．

【专题】压轴题．

【分析】首先画出x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x的图象，然后由奇函数的图象关于原点对称画出x∈（﹣∞，0）时的图象，

最后观察图象即可求解．

【解答】解：由题意可画出f（x）的草图

观察图象可得f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）

故答案为（﹣1，0）∪（1，+∞）

【点评】本题考查奇函数及对数函数f（x）=lg x的图象特征，同时考查数形结合的思想方法．

9．（4分）（2008•上海）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，平均数为10．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是

a=10.5，b=10.5．

【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．

【专题】综合题；压轴题．

【分析】根据中位数的定义得到a与b的关系式，要求总体的方差最小，即要求（a﹣10）2+（b﹣10）2最小，利用a与b的关系式消去a，得到关于b的二次函数，求出函数的最小

值即可得到a和b的值．

【解答】解：这10个数的中位数为=10.5．

这10个数的平均数为10．

要使总体方差最小，

即（a﹣10）2+（b﹣10）2最小．

又∵（a﹣10）2+（b﹣10）2=（21﹣b﹣10）2+（b﹣10）2

=（11﹣b）2+（b﹣10）2=2b2﹣42b+221，

∴当b=10.5时，（a﹣10）2+（b﹣10）2取得最小值．

又∵a+b=21，

∴a=10.5，b=10.5．

故答案为：a=10.5，b=10.5

【点评】考查学生掌握中位数及方差的求法，以及会利用函数的方法求最小值．此题是一道综合题．要求学生灵活运用二次函数的知识解决数学问题．

10．（4分）（2008•上海）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a．

【考点】椭圆的应用．

【专题】应用题；压轴题．

【分析】先根据题意分别表示出|MF1|和|MF2|，只要令|MF1|+|MF2|小于或等于椭圆的长轴即可．

【解答】解：依题意，|MF1|+|MF2|≤2a⇒h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a；

故答案为：h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a

【点评】本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生运用基础知识解决实际问题的能力．11．（4分）（2008•上海）方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标，若x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（x i，）

（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．【考点】函数与方程的综合运用．

【专题】计算题；压轴题；分类讨论．

【分析】原方程等价于，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案．

【解答】解析：方程的根显然x≠0，原方程等价于，原方程的实根是曲线y=x3+a

与曲线的交点的横坐标；而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到