复合函数求导58089
复合函数求导法
y′=(sin nx)′ sin nx + sin nx (sin nx)′ = ncos nx sin nx+sin nx n sin n1x (sin x )′ = ncos nx sin nx+n sin n1x cos x =n sin n1x sin(n+1)x.
华东理工大学《数学分析》电子课件(§4.4)
§4.4 复合函数求导法
一、复合函数求导(链式法则) 二、对数求导法
一、复合函数求导(链式法则) 如果u=(x)在点x0 可导，函数y=f(u)在点u0=(x0)可 导，则复合函数y=f[(x)]在点x 0可导，且其导数为
dy = f ′(u0 ) ′( x0 ). dx x = x0 证 设在x0处有自变量x的改变量Δx, Δu = ( x0 + Δx ) ( x0 ), Δy = f (u0 + Δu ) f (u0 ),
x
dy . dx 1 dy [cos(e x )]′ 解 = [ln cos(e x )]′= x dx cos(e ) 1 = [ sin(e x )] (e x ) ′ = e x tan(e x ). x cos(e )
华东理工大学《数学分析》电子课件(§4.4)
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华东理工大学《数学分析》电子课件(§4.4)
，求
dy . dx
1 1
y = sin nx sin n x(n为常数 ), 求
dy . dx
1 sin sin sin 1 1 1 dy = (e x )′ = e x (sin ) ′ = e x cos ( ) ′ dx x x x
解
1 sin 1 1 = 2 e x cos . x x
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式极其运算法则同学们还记得吗，如果不记得了，请往下看。
下面是由小编为大家整理的“复合函数导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数导数公式.常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。
复合函数的求导运算
导数的计算方法
第三章
导数的定义与性质
VS
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点附近的小范围内变化的快慢。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如可加性、可减性、可乘性和可除性等。
导数的定义
导数的计算公式
链式法则
基本初等函数的导数公式
对于一些常见的初等函数，如幂函数、指数函数、三角函数等，都有其对应的导数公式。
求解最优化问题
在约束条件下，通过求导数可以找到使目标函数取得最大或最小值的解。
确定最优解
在经济模型中，通过求导数可以分析成本、收益、利润等函数的单调性和极值，从而制定最优策略。
分析经济模型
1
2
3
导数在优化问题中的应用
总结与展望
第五章
复合函数求导是微积分中的重要概念，它涉及到函数的复合关系以及导数的运算规则。通过学习复合函数的求导，我们可以更好地理解函数的连续性和可微性，以及解决实际应用问题。
导数在极值问题中的应用
判断极值类型
通过分析二阶导数的符号，可以判断极值是极大值还是极小值。
确定最值
在闭区间上，函数的最大值和最小值可能出现在端点或极值点，通过求导数可以找到这些点。
寻找极值点
导数为0的点可能是函数的极值点，通过求解导数等于0的方程，可以找到极值点。
通过求导数，可以找到使函数取得最大或最小值的x值，从而解决最优化问题。
乘积法则
总结词
乘积法则是求两个函数的导数的关键，它于乘法法则的导数。
详细描述
乘积法则指出，如果两个函数相乘，那么它们的乘积相对于x的导数等于每个函数的导数乘以另一个函数。具体公式为：(uv)'=u'v+uv'。
简单复合函数的求导法则课件北师大选修3
举例说明求导法则在数学建模中的应用
复合函数的表示方法
基本形式：f(g(x))
复合函数：f(u)， 其中u=g(x)
复合函数的导数： f'(g(x))*g'(x)
复合函数的求导法 则：链式法则
复合函数的性质
复合函数的定义：由两个函数组成的函数，其中一个函数是另一个函数的自变量 复合函数的性质：复合函数的导数等于导数的乘积 复合函数的性质：复合函数的导数等于导数的乘积 复合函数的性质：复合函数的导数等于导数的乘积
求导法则在函数优化中的应用：通过求导找到函数的极值点，从而优化函数 求导法则在微分方程中的应用：通过求导解决微分方程，从而解决实际问题 求导法则在物理模型中的应用：通过求导建立物理模型，从而解决物理问题 求导法则在经济模型中的应用：通过求导建立经济模型，从而解决经济问题
复合函数求导法则的注 意事项
乘积法则的应用：求导复合函数
乘积法则的证明：利用极限的定 义和导数的定义进行证明
乘积法则的局限性：只适用于简 单复合函数，不适用于复杂复合 函数
商式法则
商式法则：f(u)=(u^n)/(u^m)，其中n和m为常数，u为变量
求导法则：f'(u)=n*u^(n-1)/u^m 应用：求导简单复合函数，如f(u)=(u^2)/(u^3)，f'(u)=2*u^(21)/u^3=2/u 注意事项：u不能为0，否则求导结果无意义
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简单复合函数的求导法则
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
高中复合函数求导公式大全
高中复合函数求导公式大全，16个基本导数公式推导设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为： y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u 为中间变量，y为因变量（即函数）。
复合函数：总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
复合函数如何求导：f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u)。
f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u) 所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u，得f'[g(x)]=2cos(2x). 从而(公式):f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^213：复合函数求导：（uv)'=uv'+u'v(u+v)'=u'+v'(u/)'=(u'v-uv')/^214：y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)15：y'={sin(3-x)]'=-cos(x)16:F'(g(x)) = [ F(g(x+dx)) - F(g(x)) ] / dx .(1)g(x+dx) - g(x) = g'(x)*dx = dg(x)(2)g(x+dx) = g(x) + dg(x)(3)F'(g(x)) = [ F(g(x) + dg(x)) - F(g(x)) ] /dx =[ F(g(x) + dg(x)) - F(g(x)) ] / dg(x) * dg(x)/dx =F'(g) * g'(x)。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；拓展：1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠�0�1，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为： y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为 T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3复合函数性质是什么复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：(1)单调性规律如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．(2)奇偶性规律若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．。
复合函数的导数及导数的运算法则
复合函数的导数及导数的运算法则复合函数是指由两个或多个函数组成的函数。
在求复合函数的导数时，需要使用链式法则，即将函数的导数作为求导的一部分。
设有两个函数f(x)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
我们的目标是求解复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx。
根据链式法则，dy/dx可以表示为：dy/dx = df(g(x))/dx根据上述公式，我们可以按照以下步骤求导：Step 1: 首先对f(g(x))进行求导，即求df(g)/dg。
Step 2: 然后对g(x)进行求导，即求dg(x)/dx。
Step 3: 最后将求导得到的结果相乘，即df(g)/dg * dg(x)/dx =dy/dx。
下面我们讨论一些常见的复合函数和它们的导数运算法则。
1. 复合函数的链式法则（Chain Rule）设有函数f(u)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
根据链式法则，复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'(u)和g'(x)分别表示f(u)和g(x)的导数。
例如，如果y=(2x+1)^3，则可以将它表示为y=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则：dy/dx = 3u^2 * du/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^22.复合函数中的乘法法则如果复合函数中有乘法运算，则可以使用乘法法则来求导。
例如，如果y=x^2*e^x，则可以使用乘法法则来求导：dy/dx = (d/dx)(x^2) * e^x + x^2 * (d/dx)(e^x)对于每一项使用基本求导法则：dy/dx = 2x * e^x + x^2 * e^x3.复合函数中的除法法则如果复合函数中有除法运算，则可以使用除法法则来求导。
例如，如果y=(x^2+1)/(x-1)，则可以使用除法法则来求导：dy/dx = [(d/dx)(x^2 + 1)(x - 1) - (d/dx)(x - 1)(x^2 + 1)]/(x - 1)^2再对每一项使用基本求导法则：dy/dx = [(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)]/(x - 1)^24.复合函数中的三角函数法则如果复合函数中包含三角函数，则可以使用三角函数法则来求导。
复合函数求导法【高等数学PPT课件】
y 2 u
y
u 1 (u u )
x 2
2u x 2
1 2
[(
2u
2
1 2
2u 1)
2
( 2u
1 2
2u
2
1)] 2
1 4
(2u2
2
2u
2u
2
)
x y, x2 y
y
解
求 uxx , uxy , uxz .
ux
f1
1 y
f2 z
f3 0
1 y
f1
zf2
uxx
1( y
f11
1 y
f12 z)
f
z(
f21
1 y
f22 z)
1x
2y 3z
1 y2
f11
2
z y
f12
z2
f
,
f21
2 f vu
,
f22
2 f v 2
例1 z f ( xy, x2 y2 ), f 有二阶连续偏导，
求 z xy . 解 zx f1 y f2 2x
1x
f
2y
f1
1 2
x y
f2
1 2
x y
zxy f1 y( f11 x f12 (2 y)) 2x( f21 x f22 (2 y))
第4节 多元复合函数微分法
一、多元复合函数的求导法则
一元函数：y f (u), u ( x) 都可导，则
复 合 函 数 的 求 导 法 则
1 u
c
1 os2
v
1 2
1
1
1
tan( x ) cos2 ( x ) 2
24
24
2
sin(
x
1 )c
os(x
)
1 sin(x
)
sec
x.
24 24
2
熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心， 由外及里、逐层求导。
(A) 例6 求y (3x 2)5 的导数
所以
yx
yu
u
x
1 u
(2x)
2x x2 1
(A) 例3 求函数 y cos2 x 的导 数
解：设 y u 2 则 u cos x
因为
yu
2u,
u
x
sin
x
所以
yx
yu
u
x
2u(sin x) 2cosxsin x sin 2x
10 x(1
1
x) 3
(5x 2
4) 1
(1
2
x) 3
(1)
3
10x3 1 x 1 (5x2 4) 1 .
3
3 (1 x)2
（2） y (x sin2 x)4 解 ：y 4(x sin 2 x)3 (x sin 2 x)
4(x sin 2 x)3[x (sin 2 x)] 4(x sin 2 x)3[1 2sin x(sin x)] 4(x sin 2 x)3 (1 2sin x cos x) 4(x sin 2 x)3 (1 sin 2x)
复合函数的导数公式推导
复合函数的导数公式推导
复合函数的导数公式推导
复合函数是指将一个函数的输出值作为另一个函数的输入值的过程。
在实际问题中，复合函数的应用非常广泛。
例如，在数学中，我们可以将两个函数复合起来，以便求出新函数的导数。
这个过程的推导如下：
假设 f(x) 表示一个函数，并且 g(u) 表示另一个函数。
现在，我们来寻找 f(g(u)) 的导数。
首先，根据复合函数的定义，我们可以得到：
f(g(u)) = f(x)
将其对 u 求导：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(x) * x'
其中，f'(x) 和 g'(u) 分别表示函数 f(x) 和 g(u) 的导数。
注意到，当 u 取特定的值时，x 和 g(u) 是相等的。
因此，我们可以将 x 替换为 g(u)，得到：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(g(u)) * g(u)'
将上式移项，得到：
(f'(g(u))) / (g'(u)) = g(u)'
这个公式就是复合函数的导数公式。
它告诉我们，f(g(u)) 在 u 处的导数等于 f'(g(u)) 和 g'(u) 的商，再乘以 g(u) 在 u 处的导数。
这个公式
在实际问题中非常有用，因为它可以帮助我们求出复合函数的导数，
从而解决问题。
复合函数求导
u (x)是自变量x的函数，则称 y f ((x))是自变量x的复合函数.
21:586:52
练习1
指出下列函数是怎样复合而成：
(1) y sin 2x；
y sin u, u 2x
(2) y 3x2 x 1； (3) y cos(sin x)； (4) y (a bxn )m； (5) y sin(1 1 ).
y
x
yu
u
x
2u(sin x) 2cosxsin x sin 2x
15
( A)2、求y ln sin x的导数
解： y ln u, u sin x
yx yu ux (ln u)u (sin x)x
1 cosx 1 cosx cotx
u
sin x
16
练习3：设 f (x) = sinx2 ，求 f (x). 解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
(2) y f ( 1 x2 ) 2x x f ( 1 x2 ); 2 1 x2 1 x2
(3) y [ f (sin2 x) f (cos2 x)]
f (sin2 x)(sin2 x) f (cos2 x)(cos2 x)
f (sin2 x) 2sin x cos x f (cos2 x) 2cos x( sin x)
(3) y
1
(x5
2
x9
1
)2
(5x4
2
7
x2
)
12 1
9
(4)
1
135
(3 (6
x x
4)2 7)4
(5) bsinbx (2a b)sin(2a b)x (2a b)sin(2a b)x3.2
第二章第三讲复合函数求导及求导公式
第二章第三讲复合函数求导及求导公式复合函数求导是微积分中的重要内容，也是求导法则的基础。
在求解实际问题中，我们常常会遇到多个函数嵌套在一起的情况，这时就需要用到复合函数求导的知识。
本文将从复合函数的定义入手，介绍如何求解复合函数的导数，并给出一些常见的求导公式。
一、复合函数的定义复合函数是指一个函数内部嵌套着另一个函数，形如f(g(x))。
其中，g(x)是被调用的函数，f(x)是调用者的函数。
换句话说，复合函数就是在一个函数的基础上进行了进一步的运算。
求解复合函数的导数，需要运用链式法则（Chain Rule）。
链式法则是一种求导法则，用于求解一个复合函数的导数。
根据链式法则，复合函数的导数可以表示为：f'(g(x)) * g'(x)。
二、复合函数求导的一般步骤1.将复合函数拆分成两个部分，即外函数f(g(x))和内函数g(x)。
2.对内函数g(x)求导，即求出g'(x)。
3.对外函数f(u)求导，其中u为内函数g(x)。
4.将求导得到的g'(x)和f'(u)相乘，得到f'(g(x))。
5.最后，将f'(g(x))表示为g(x)的函数形式。
三、常见的复合函数求导公式1. 多项式函数的复合函数求导：对于多项式函数f(x) = ax^n，假设g(x)为指数次幂为n的函数，即g(x) = x^n，则f(g(x)) = ax^n。
根据链式法则，f'(g(x)) * g'(x) = ax^(n-1) * nx^(n-1)。
由此可得，f'(g(x)) = anx^(2n-1)。
2.指数函数的复合函数求导：对于指数函数f(x)=e^x，假设g(x)为e的指数次幂函数，即g(x)=x，则f(g(x))=e^x。
根据链式法则，f'(g(x))*g'(x)=e^x*1=e^x。
由此可得，f'(g(x))=e^g(x)。
复合函数求导公式是什么怎么求导
复合函数求导公式是什么怎么求导复合函数的求导公式是怎样的，该怎么求导呢?同学们清楚吗，不清楚的同学来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导公式是什么怎么求导”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数求导公式是什么怎么求导总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x);②设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
两个函数商的复合函数可导的前提条件是作分母的函数即g(x)≠0，否则无意义。
复合函数求导，就是找出构成复合函数的子函数，一个复合函数可以拆分成无数种子函数。
对于复合函数自身带有幂指对这类较为难求导的函数，一般来说会以它为中心进行化简，即最终子函数能够很容易求出复合函数中的幂指对。
将复合函数的本框架作为原函数，化好子函数后，就是求导过程，划出来的函数全部求导，代入即可。
拓展阅读：微积分到底是什么微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
复合函数导数的计算
u
复合而成的. 因为
u ( sin x) cos x ,
x
所以
1 u y yu cos x x u cos x cot x. sin x
'
练习 求函数 y ln cos 2 x 的导数. 解
y (ln cos 2 x) 1 (cos 2 x) cos 2 x
4 x sin( x 3)
2
例 设 y ln x x a
2
2
a 0 求 y
解
y
ln x x 2 a 2
2x 1 x x2 a2 2 x2 a2 1
1 x2 a2
例 设 y ln tan 2 x 求
新课讲解
复合函数的导数 一般地，设函数 u＝(x)在点 x 处有导数 u'x＝'(x)，函数 y＝f(u) 在点 x 的对应点 u 处 有导数 y'u＝f '(u) ，则复合函数 y＝f((x)) 在 点 x 处也有导数，且 y'x ＝y'u· u'x． 或写作 f 'x ((x))＝f '(u) '(x)．
y
解 y ln tan 2 x
1 tan 2 x tan 2 x
1 1 4 2x 2 tan 2 x cos 2 x sin 4 x
练习
y ln sin x , 求y .
'
解 y lnn x
复合函数对自变量的求导法则，即复合函 数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的函数，乘中间变量对自变量的导数．
复合函数求导课件
思考？如何求函数
y ln x 2
的导函数：
二、讲授新课：
1.复合函数的概念:
对于函数y f ( ( x )), 令u ( x ), 若y f (u )是中间变量u的函数， u ( x )是自变量x的函数，则称 y f ( ( x ))是自变量x的复合函数.
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法 则 ) 注意：
1、法则可以推广到两个以上的中间变量； 2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定 中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.
例4 求下列函数的导数
(1) y (2 x 3)
5
因为
5u 4 , u yu x 3,
4 4 4 y y u 5 u 3 5 ( 3 x 2 ) 3 15 ( 3 x 2 ) 所以 x u x
2 (B) 例2 求函数 y ln(1 x ) 的导数
解：设 因为
y ln u
则
u 1 x2
1 3 解：y (ln x ) [(ln x) ] 3 ( x ) 3(ln x) 2 (ln x) x 1 2 3 3 3 2 1 2 3 3x 3(ln x) (ln x) [1 (ln x) 2 ] x x x x x
3 3
(B) 例12 求下列函数的导数
3 y cos( x ) (A)2.
2 3 解：y (cosx3 ) sin x3 ( x3 ) 3x sin x
(B)3. y e
sin
1 x
1 x
sin 1 x
1 1 1 e cos ( ) 解： y e (sin ) x x x 1 1 sin 1 1 sin 1 x e ( 2 ) cos e x cos 1 x x x x2
复合函数求导法则与隐函数的求导
1 2 x
.
例11 设 y sin 3 (2 x 1)，求y'. 解
y' (sin (2 x 1))'
3
3 sin 2 (2 x 1) (sin3 (2 x 1))' 3 sin 2 (2 x 1) cos( 2 x 1) (2 x 1)' 3 sin (2 x 1) cos( 2 x 1) 2
f' (u ) g' ( x).
复合函数的求导法则一般称为链式法则，它也适 用于多层复合的情况.比如y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，则 只要满足相应的条件，复合函数y=f(g(h(x)))就可导， 且有
dy dy du dv f' (u ) g' (v)h' ( x). dx du dv dx
1 ( sin x) cos x tan x .
例10 设 y e
tan x
，求y' .
y e u , u tan v，v x .则 解 令
dy dy du dv dx du dv dx
e sec v
u 2
1 2 x
2
e
tan x
sec
x
1 x
若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在
对初等函数求导时，就可以“一步到位”. 例14 计算 [ln( x 2 1 x)]' . 解 [ln( x 2 1 x)]'
1
x2 1 x 2 x2 1
(
1
2 x 1)
1 x ( 2 1) 2 x 1 x x 1 1 x 1
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yu ux 2u 3 2(3x 2) 3 18 x 12
从而有
y'x y'u u'x
问题探究：
考察函数 y sin的2导x数 。
一方面 : y sin 2x 2 sin x cos x
y x (sin 2x)
(2 sin x； c os x) 2(sin x) c os x 2 sin x (c osx) 2 c os2 x 2 sin 2 x
根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程 图来表示
给定函数y f（x）
计算 y f（x x） f（x）
x
x
x 0
y A(x) x
f (x) A(x)
法则1: 两个函数的和（或差）的导数，等于 这两个函数的导数的和（或差），即：
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
x
2、求曲线y=sin2x在点P(π，0）处的切线方程。
小结 ：
• ⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构 ，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数 ，然后再用复合函数的求导法则求导；
• ⑵复合函数求导的基本步骤是：
• 分解——求导——相乘——回代
练习：
课本 P24 练习 No.3； 课本 P22 No.6.
我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数的导函数也是周期函 数.
证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义 域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).
两边同时对x求导得:
f ( x T )即(x T ) f ( x),
f也( x是) 以T为周期的周期函数.
1
4
x5
(1
6
x) 5
5
“可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函数为偶函数”. 现在利用复合函数的导数加以证明:
证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x
求导得:
f ( x)( x) f ( x),故 f (为x) f ( x)
奇函数.
f ( x)
同理可证另一个命题.
2 cos2x
另一方面： 将函数 y sin 2x
看作是函数 y s和in函u数
u 2x
分 解
复合函数，并分别求对应变量的导数如下：
yu (sin u) cos u ux (2x) 2
求 导
两个导数相乘，得
yu
ux
(cos u) 2
相 乘
2cos2x 回代
从而有 y'x y'u u'x
复合函数求导的基本步骤是：
(1)分解 (2)求导 (3)相乘 (4)回代
数学运用
试说明下列函数是怎样复合而成的
(1) y (2 x 3)3 ; (2) y ln(5x 1) (3) y 1 ; (4) y cos(1 2 x)
3x 1
数学运用
求下列函数的导数：
(1) y (2 x 3)3 ; (2) y ln(5x 1) (3) y 1 ; (4) y cos(1 2 x)
(3)
y
1 cos2
; x
(2)
y
1 x2 (1 x 2 )2
;
(4) y 6 x3 x ; 1 x2
简单复合函数 的导数
复合函数:
由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．
由函数 y f与(u) u 复合而(成x)
的函数一般形式是
y f [ (x)]
，其中u称为中间变量．
目前我们所研究的简单复合函数的导数 仅限于形如f（ax+b）的复合函数
[ f (x) ] g ( x)
f (x)g(x) f (x)g(x) g 2 (x)
其中g(x) 0
求下列函数的导数:
12 (1) y x x2 ; (2) y x ;
1 x2 (3) y tan x;
(4) y (2 x2 3) 1 x2 ;
答案:
(1)
y
1 x2
4 x3
;
问题探究：
求函数 y (3x 的2导)数2 。
方法一：
yx [(3x 2)2 ] (9x2 12x 4) 18x 12
方法二： 将函数 y (3x 2)2
看作是函数 y 和分别求对应变量的导数如下：
yu (u2 ) 2u ux (3x 2) 3
求下列函数的导数:
(1) y (2 x3 x 1 )4
x
解: y 4(2 x3 x 1 )3 (2 x3 x 1 )
x
x
4(2 x3
x
1 )3(6 x2 x
1 x2
1)
(2) y 5 x
1 x
解:
y 1 (
x
4
) 5 (
x
)
5 1 x
1 x
1 5
(x 1 x
4
)5
1 (1 x)2
法则2:
[Cf (x)] Cf (x).(C为常数)
法则3:两个函数的积的导数，等于第一个函数
加 乘 的导数乘以第二个函数 上第一个函数 以
第二个函数的导数
[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x).
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的导数与分 母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的 平方,即：
建构数学 一般地，我们有u=ax+b时，有
若 y=f(u),u=ax+b，则
y'x y'u u'x
即：y'x y'u a
• 对于一般的复合函数，结论也成立 。 • 复合函数的求导法则 • 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变 量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 ，即
y'x y'u u'x
3x 1
例写出由下列函数复合而成的函数,并
求它们的导数。
⑴ y cosu
u 1 x2
⑵ ；
y ln， u
u， ln x
．
解：⑴
y cos(1 x 2 )
y 2x sin(1 x2 )
⑵ y ln(ln x) y (x ln x)1
• 1、求下列函数的导数：
(1) y (2x 3)2 ; (2) y (1 3x)3; (3) y e2x ; (4) y ln 1
知识回顾： 基本求导公式:
(1)(kx b) k, 特殊的：C 0(C为常数)
(2)(x )' x 1(为常数）
(3)(ax )' axlna(a 0,且a 1)
(4)(log a x)'
1 xlna
(a 0,且a 1)
(5)(ex )' ex
(6)(lnx) ' 1 x
(7)(sinx )' cosx (8)(cosx) ' sinx