洛必达法则

例3
求 lim tan x x . x0 x2 tan x
(0) 0
解
原式
tan x
lim x0
x3
x
lim
x0
sec2 3
x x2
1
(0 0
)
lim
2sec2
x
tan x
1 lim tan x
x0
6x
3 x0 x
(0)
0
1
l
i
m
x
1.
3 x0 x 3
注4. 定理中 x a 可换成 x x .
f (x) f1 (x) f1(a) f ( ) g(x) g1(x) g1(a) g( )
(在 x与 a之 间
)
当 x a 时， a lim f (x) A
xa g(x)
lim f ( ) A a g( )
lim f (x) lim f (x) A xa g(x) xa g(x)
2
()
解
()
原式 lim
sec2 x
1 lim cos2 3 x
x 3sec2 3 x 3 x cos2 x
2
2
(0)
0
1
lim
6cos 3x sin 3x
lim
sin 6 x
3 x 2cos x sin x x sin 2x
2
2
(0)
0
lim
6cos
6
x
3.
x 2cos 2x
2
注6. 洛必达法则不是万能的，也不一定简单 。
例2
求lim x3 3x 2 . x1 x 3 x2 x 1
(0) 0
解
原式
lim
x1
3x2 3x2
3 2x 1
(0) 0
lim x1
6x 6x
2
3. 2
注2. 求导应适可而止，不是未定式不能用洛必达法则 。
上例切不可
lim 6x x1 6x 2
lim 6 1 x1 6
注3：洛必达法则有时与其它求极限方法结合使用，效果更好.
则
0 xa g(x)
lim f (x) lim f (x) A xa g(x) xa g(x)
证
定义辅助函数
f (x)
1
f (x), 0,
xa ,
x a
g(x),
g1(x)
0,
x a ,
x a
U 0 (a, )内任取一点 x ， 在以 x 与 a 为端点的区间上，
f1(x), g1(x) 满足柯西中值定理的条件，则
中国地质大学（武汉）
第二讲 洛必达法则
定义
如果当x a（或 x ），两个函数 f (x)与 g(x) 都
f (x) 趋于零或都趋于无穷大，那么极限 lim
xa g(x)
(x)
。
就称为
例如
lim f (x0 x) f (x0 ) ,
x0
x
( 0 型) 0
法国数学家, 他著有《无穷小分析》 (1696), 并在该书中提出了求未定式极
定理2
若 lim f (x) 0 且 lim g(x)
x
x
当 x N 时 f (x)与 g(x) 都存在，且 g(a) 0
lim f (x) A （A 为实数或无穷大）； xa g(x)
则
lim f (x) lim f (x) A xa g(x) xa g(x)
注5. 对于x a或 x 时的未定式 型也有相应的洛必达法则。
例5
求
ex ex
lim
x
ex
e
x
.
解
()
ex ex
原式
lim
x
ex
ex
(
)
ex ex
lim
x
ex
ex
1 e2x
应改为：
原式
lim
x
1
e 2 x
1.
失效
注7. 其它类型的未定式比如 0 , ,00,1 , 0 也可化为
洛必达法则可解决的 0 , 类型 。 0
洛必达法则
型
f g1 g 1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 ,0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
限的方法, 后人洛将必其达命(1名66为1 “–1洛70必4)达 法 则 ”.
洛必达法则
定理1 若 lim f (x) 0 且 lim g(x) 0
xa
xa
0 f (x) 与 g(x)在 U o (a) 內可导，且 g(a) 0
(一) 型未定式解法 lim f (x) A （A 为实数或无穷大）；
例1
求 lim tan x . ( 0 )
x0 x
0
x 解1 原式 lim 1.
x0 x
解2
原式
lim(tan x) x0 ( x)
lim sec2 x x0 1
1.
注1. 若 lim f (x) 仍为 0 未定式，f (x), g(x)仍满足定理条件，
Байду номын сангаас
xa g(x)
0
可多次使用洛必达法则。
定理3 若 lim f (x) 且 lim g(x)
xa
xa
f (x) 与 g(x)在 U o (a) 內可导，且 g(a) 0
lim f (x) A （A 为实数或无穷大）； xa g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A
xa g(x) xa g(x)
例4 求 lim tan x . x tan 3 x