小学函数思想和模型思想的教学策略

小学函数思想和模型思想的教学策略

孙家芳朝阳区教育研究中心曹艳北京教育学院朝阳分院中科院院士、数学家张景中在一文中指出:“小学生学的数学很初等，很简单。尽管简单，里面却蕴涵着一些深刻的数学思想。最重要的，首推函数思想。……不用给小学生讲函数概念，但教师要有函数思想，在教学中注意渗透变量和函数的思想，潜移默化，对学生的素质就有好处。”

一、小学数学中渗透函数思想的教学策略

关于函数思想：在小学阶段虽然没有出现‘函数’这一概念，但整个小学阶段的数学学习中无不渗透着函数的思想，可以这样说，凡是有“变化”的地方都蕴涵着函数思想。

问题1：什么是函数？

初中:在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个值，都有唯一的一个y值与之对应，我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

高中:A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的f(x)和它对应，那么就称:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作:y=f(x),x∈A

现代数学:两个集合A,B,F是一个从A到B的二元关系，如果对于A中的每一个元素x，都有唯一的Y满足属于F，就称F为从A到B的函数，也称映射。

问题2：什么是函数思想？

函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。具体地说，函数思想体现于:

★认识到这个世界是普遍联系的，各个量之间总是有互相依存的关系，即“普遍联系”的观点；

★于“变化”中寻求“规律(关系式)”，即“模式化”思想；

★于“规律”中追求“有序”“结构化”“对称”等思想；

★感悟“变化”有快有慢，有时变化的速度是固定的，有时是变动的；

★根据“规律”判断发展趋势，预测未来，并把握未来，即“预测”的思想。

于“变化”中把握“规律”，并根据规律做出预测，不仅仅是重要的数学思想，更是人类生存的基本原则。函数的核心就是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是‘过程’，不变的是‘规律’(关系)”。学生愿意去发现规律，并能将规律表述出来的意识和能力，就是函数思想

在教学中的渗透。

问题3：函数思想在小学数学教学中的渗透

函数思想在小学阶段强调的是"渗透”，让学生感受到“于变化之中寻求不变，并把握规律的重要性”。小学阶段并不要求学习“形式化”的函数定义。

在小学数学教学中渗透函数思想，要把握以下两条基本原则:

（1）创设“变化”的过程，才能感受到函数思想。

（2）激发学生“探究”的本性，于“变”中把握“不变”，满足人的好奇本性。

1．探索规律——对“模式”的初步认识

《标准》把“探索规律”作为渗透函数思想的一个重要内容，“探索规律”实际上就是培养学生的“模式化”的思想，发现规律就是发现一个“模式”。

(1)对数或者图形排列规律的探索

※探索图形排列中的规律

一年级下册：你发现了什么？如果按照这样的规律继续下去，后面一个应该是什么？摆一摆、涂一涂、接着摆等问题。重点突出刻画的是相同的规律，而这个一般化的过程就是对函数的一个最基本的性质——周期的渗透。

※探索数列中的规律也多出现在第一学段的各册教材中。

一年级下册：百数表中的规律，在“百数表”中除了可以探索数的排列规律(横着、竖着、斜着)外，还可以进一步探索每一行中相邻的两个数的规律、每一列中相邻两个数的规律，甚至每两行与每两列相邻四个数之间的规律，这些规律中蕴含着多种变化的模式。

（2）对运算规律的探索

如：数的组成：学生把8个物体分成两部分，把其中一部分中一个一个向另一部分“转移”，得出把8分成两部分可以有四种不同分法的结论的同时，还会发现“随着一部分多1个，另一部分必然少1个”的规律。

对于“乘法中的运算规律”的探索：乘法口诀的学习是“一串一串”的，使得在学生编口诀、背口诀的过程中就发现了：“一个因数不变，积随着另一个因数的变化而变化”的规律。乘法口诀表中，更是集中体现了这个规律。

六年级下册正反比例意义的学习是对变化“模式”的一次集中探索，这一内容的学习中，以表格的形式呈现了多种不同的变化规律。

2．基本数量关系、图形位置与变换——对“关系”的体验

函数就像一座桥梁，建立起两个集合之间的“关系”。

（1）体验“一对一”“多对一”

“一一对应”在小学数学教材中是贯穿始终的。

※数数：名数与常数建立“一一对应”

在认数1—10时，呈现将物体的个数与点子图进行一一对应的图像，在具体实物与抽象的数之间建立起桥梁的作用。

※比大小：同样多的部分“一一对应”；

在教学比大小时又都呈现将两部分物体分别排列起来，一一相对，渗透一一对应的思想※乘法口诀：一个因数不变时，积与另一个因数“一一对应”

※找规律填数:数列中的每一个数与它的项数“一一对应”

※折线统计图：一组数据与统计图中的一个点“一一对应”

通过折线统计图渗透函数思想。如：学生学习了折线统计图，他们就可以从下图中得到丰富的信息：一天中，骆驼的体温最高是多少？最低是多少？一天中，在什么时间范围内骆驼的体温在上升？什么时间范围内骆驼的体温在下降？第二天8时的体温与以前一天骆驼的体温有什么关系？……从图像中可以自然的向学生渗透变化的量等函数思想。教师进而还可出示骆驼随外界温度体温发生变化的折线统计图，引导学生对比分析两幅图的相同点、不同点，及其成因。讨论温度变化的周期。

※任何一个有序数对与坐标系上的点“一一对应”等等。

将对应关系以图解的形式渗透，各册教材中均有类似如下的练习，使学生直观的体验到“像”与“原像”之间的“一一对应”。

“多对一”的这种“关系”在小学不是很常见，但是学生也有一些体验。

※学习“四舍五入”，3.5至4.5(不含4.5)之间的无穷多个数四舍五入保留整数后都对应的是“4”

※“找次品问题”，次品数在10至27个时，均需要称量3次

这些内容丰富了学生对于两个集合“关系”的认识。