随机事件及其概率习题

2. 设连续型随机变量 的密度函数为ϕX(x), y=f(x)连续 设连续型随机变量X的密度函数为 的密度函数为ϕ 连续, 连续 的密度函数的方法有三种： 求Y= f(X)的密度函数的方法有三种： 的密度函数的方法有三种 （1）分布函数法； （2）若y=f(x)严格单调，其反函数有连续导函数，则 可用公式法； （3）若y=f(x)在不相重叠的区间I1,I2,… y=f(x) I ,…上逐段严格单 调，其反函数分别为g1(y), g2(y), …,且g′1(y), g ′2(y), ′ …,均为连续函数，则Y= f(X)是连续型随机变量， 其密度函数为
∞ e −5 5 k e −5 5 k ≈∑ = 1− ∑ k! k! k =0 k =11 = 1 − 0.013695 = 0.986305 10
第二章：求随机变量函数的分布的方法： 第二章：求随机变量函数的分布的方法：
1. 设离散型随机变量 的分布律为 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xi}=pi，i=1,2,…,n ,… 的连续函数， 是随机变量， 又y=f(x)是x的连续函数，则Y=f(X)是随机变量，其 是 的连续函数 是随机变量 分布律为 P{Y=f(xi)}=pi，i=1,2,…,n ,… 若某些f(x 相等 将它们作适当并项即可。 相等， 若某些 i)相等，将它们作适当并项即可。
P{ 公司亏本 } = P { X > 15} =
∞ 2500 k =16 b C 2500 (0.002) k (0.998) 2500− k ∑
e −5 5 k ≈∑ = 0.000069 k! k =16
( λ = 5)
(2)
P{获利 ≥ 10000} = P{30000 − 2000 X ≤ 10000} = P{ X ≤ 10}
这12次接待都是在周二和周四进行的．问是否可以推 断接待时间是有规定的． 解: 假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一 周的任一天中中去接待站是等可能的，那么，12次接 待来访者都在周二、周四的概率为 212/712=0.0000003， 即千万分之三，人们在长期的实践中总结得到“概 率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的” （称之为实际推断原理）．现在概率很小（只有千万 分之三）的事件在一次试验中竟然发生了．因此有理 由怀疑假定的正确性，从而推断接待站不是每天都接 待来访者．即认为其接待时间有规定的．
第一章习题课
1、古典概型概率的计算
(1) 选择适合解决该问题的实验与样本空间，正确计 算样本空间的基本事件数，与所求事件所含的基本事件 数，避免重复计算或漏算。 (2) 利用事件间的关系与运算，把所求概率的事件表 示为容易求得其概率的一些事件的运算，再利用概率的 性质计算出所要求的概率，是常用的方法。
例3: 在1～1000 1 1000的整数中随机地取一个数，问取到的整
数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？ 6 8 解: 设A为事件“取到的数能被6整除”，B为事件“取到 A 6 B 的数能被8整除”则所求概率为 8
P ( AB) = P ( A ∪ B) = 1 − P( A ∪ B) = 1 − [ P( A) + P ( B) − P( AB)]
0.99 × 0.4 = 0.9296 0.99 × 0.4 + 0.05 × 0.6 这样就大大提高了甲胎蛋白法的准确率了。 P ( B1 | A) =
课堂测试部分
1、写出下列随机试验的样本空间S： 、写出下列随机试验的样本空间 ： (1) 在单位圆内任取一点，记录其坐标； 在单位圆内任取一点，记录其坐标； (2) 生产某产品直到有 件正品为止，记录生产产品的总件数。 生产某产品直到有5件正品为止 记录生产产品的总件数。 件正品为止， 2、P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=1/8,求A,B,C 、 求 至少有一个发生的概率。 至少有一个发生的概率。 3、将三只球随机的放入 个杯子中，求杯子中球的最大个数为 个杯子中， 、将三只球随机的放入4个杯子中 1，2，3的概率。 的概率。 ， ， 的概率 4、以往资料表明，某三口之家患某种传染病的概率的规律为： 、以往资料表明，某三口之家患某种传染病的概率的规律为： P(孩子得病 孩子得病)=0.6，P(母亲得病 孩子得病 母亲得病|孩子得病 孩子得病 ， 母亲得病 孩子得病)=0.5，P(父亲得 ， 父亲得 母亲和孩子得病)=0.4，求母亲和孩子得病但父亲未得 病|母亲和孩子得病 母亲和孩子得病 ， 病的概率。 病的概率。
例1：取球，袋中a个白，b个红球，一一取出，不放回，
求事件Ak={第k次取出白球}的概率。 解：试验为将a+b个球编号一一不放回取出，全部取出 构成的全排列，为一基本事件，总样本点(a+b)!。 事件Ak的过程（串行）：先从a个白球中选一个放 1 C a种，再在a+b-1个球作任意排列: 在第k个位置 :
源自文库
5、病树的主人外出，委托邻居外出，设已知如果不 、病树的主人外出，委托邻居外出， 浇水，树死去的概率为0.8， 浇水，树死去的概率为 ，若浇水树死去的概率 的概率确定邻居会记得浇水。 为0.15，有0.9的概率确定邻居会记得浇水。 ， 的概率确定邻居会记得浇水 (1)求主人回来树还活着的概率。 求主人回来树还活着的概率。 求主人回来树还活着的概率 (2)若已知主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概 若已知主人回来树已死去， 若已知主人回来树已死去 率。 6、求并串联系统的可靠性：pi 、求并串联系统的可靠性：
2．条件概率的计算
一般有两种方法： (1)由条件概率定义：P(B|A)=P(AB)/P(A) ) （在原样本空间中求P(AB)、P(A)） (2)按古典概型公式： P(B|A)=NAB/NA ) （在压缩后的样本空间中考虑）
乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式； 乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式； 独立性判断、 重贝努利概型 独立性判断、n重贝努利概型
例5: 据调查某地区居民的肝癌发病率为0.0004，若记
“该地区居民患肝癌”为事件B1并记B2=B1,则 P（B1）=0.0004，P（B2）=0.9996 现用甲胎蛋白法检查肝癌，若呈阴性，表明不患肝癌， 若呈阳性，表明患肝癌，由于技术和操作不完善以及种种 特殊原因，是肝癌者还未必检出阳性，不是患者也有可能 检出呈阳性，据多次实验统计这二者错误发生的概率为： P（A|B1）=0.99,P（A|B2）=0.05 其中事件A表示“阳性”，现设某人已检出呈阳性，问他 患肝癌的概率P（B1|A）是多少？ 解：
ϕY ( y) = ϕX g1 ( y) g1′ ( y) +ϕX g2 ( y) g2′ ( y) +⋯
又由于一个数同时能被6与8整除，就能被24 6 8 24整除， 24 因此所求概率为 p=1-{P(A)+P(B)-P(AB)} p=1-{P(A)+P(B)=1-166/1000=1-166/1000-125/1000+41/1000 ≈0.75
例4: 某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有
P ( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B1 | A) = P ( B1 ) P ( A | B1 ) + P ( B2 ) P ( A | B 2 ) 0.0004 × 0.99 = = 0.00786 0.0004 × 0.99 + 0.9996 × 0.05
在实际中，医生常用另一些简单易行的辅助方法先进 行初查，排除大量明显不是肝癌的人，当医生怀疑某人 有可能患肝癌时，才建议用甲胎蛋白法检验。这时在被 怀疑的对象中，肝癌的发病率已显著提高了，比如说 P（B1）=0.4，这时再用贝叶斯公式进行计算，可得
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习题 （寿险）在保险公司里有2500个同一年龄和同社会 阶层的人参加人寿保险在一年里死亡的概率为0.002， 每个参加保险的人在一月一日付12元保险费，而死亡 时家属可由保险公司领2000元。（1）求公司亏本的 概率（2）求获利不小于10000元的概率。 解；（1）公司一年总收入2500*12=30000， X：一年中死亡人数。 X~B(2500 , 0.002),要2000X>30000
1 C a ⋅ ( a + b − 1)!
a ∴ P ( Ak ) = a+b
例2:设P(A)=1/3,P(B)=1/2,
(1)若事件A，B互不相容，求P(BA); (2)若A真包含于B，求P(BA); (3)若P(AB)=1/8,求P(BA)。 解:（1）若A,B互不相容，则 P(BA)=P(B) =1/2; (2)若A真包含于B，则因为BA=B-A,从而 P(BA)=P(B-A)=P(B)-P(A)=1/2-1/3=1/6; (3)利用BA=B-A=B-AB,得：P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB) =1/2-1/8=3/8 .