《因式分解》单元复习课件
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《因式分解》复习课件
《因式分解》复习 课件
目 录
• 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用 • 因式分解的注意事项与易错点 • 因式分解的练习题与解析
01
CATALOGUE
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
总结词
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
详细描述
因式分解是将一个多项式通过数 学运算，将其表示为几个整式的 积的形式。例如，将多项式 $ax^2 + bx + c$ 分解为 $(x+1)(x+2)$。
注意事项
理解因式分解的定义
掌握基本方法
因式分解是将一个多项式表示为几个整式 的积的形式。必须明确理解这一基本概念 ，才能正确进行因式分解。
如提公因式法、公式法等，是进行因式分 解的基本手段，需要熟练掌握。
注意符号问题
考虑所有可能情况
在进行因式分解时，要注意各项的符号， 尤其是负号，以免出现错误。
因式分解可能存在多种形式，要全面考虑 所有可能性，选择最合适的形式。
或错误。
05
CATALOGUE
因式分解的练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
ห้องสมุดไป่ตู้分解因式
$x^2 - 4$
答案
$(x + 2)(x - 2)$
基础练习题
01
解析
这是一个基本的平方差公式应 用，$x^2 - 4$可以看作是 $(x + 2)(x - 2)$的展开。
02
分解因式
$4x^2 - y^2$
易错点分析
忽略公因式
在进行提公因式时，容 易忽略某些项的公因式 ，导致分解不彻底或错
目 录
• 因式分解的定义与性质 • 因式分解的方法与技巧 • 因式分解的应用 • 因式分解的注意事项与易错点 • 因式分解的练习题与解析
01
CATALOGUE
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
总结词
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
详细描述
因式分解是将一个多项式通过数 学运算，将其表示为几个整式的 积的形式。例如，将多项式 $ax^2 + bx + c$ 分解为 $(x+1)(x+2)$。
注意事项
理解因式分解的定义
掌握基本方法
因式分解是将一个多项式表示为几个整式 的积的形式。必须明确理解这一基本概念 ，才能正确进行因式分解。
如提公因式法、公式法等，是进行因式分 解的基本手段，需要熟练掌握。
注意符号问题
考虑所有可能情况
在进行因式分解时，要注意各项的符号， 尤其是负号，以免出现错误。
因式分解可能存在多种形式，要全面考虑 所有可能性，选择最合适的形式。
或错误。
05
CATALOGUE
因式分解的练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
ห้องสมุดไป่ตู้分解因式
$x^2 - 4$
答案
$(x + 2)(x - 2)$
基础练习题
01
解析
这是一个基本的平方差公式应 用，$x^2 - 4$可以看作是 $(x + 2)(x - 2)$的展开。
02
分解因式
$4x^2 - y^2$
易错点分析
忽略公因式
在进行提公因式时，容 易忽略某些项的公因式 ，导致分解不彻底或错
因式分解总复习课件
题目3
请将$a^4 - 2a^2b^2 + b^4$ 进行因式分解。
综合练习题
题目1
请将多项式$x^3 - 9x$进行因式 分解，并说明其与平方差公式的
关系。
题目2
将多项式$x^4 - 4x^2 + 4x - 1$ 进行因式分解，并说明其与完全平 方公式的关系。
题目3
请将多项式$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2 + 4b^2$进行因式分 解，并说明其与平方差公式和完全 平方公式的综合运用。
详细描述
在完成因式分解后，应进一步观察和简化结果，去除所有公因式。这样可以确保最终的表达式更加简 洁明了，易于理解和应用。
符号问题要处理好
总结词
在因式分解过程中，应特别注意符号的 处理，确保结果的正确性。
VS
详细描述
在进行因式分解时，符号的处理是一个关 键环节。要特别注意符号的变化和影响， 确保在分解过程中符号的处理是正确的。 这样可以避免后续运算中出现错误或混淆 。
02
因式分解的基本形式
提公因式法
步骤
首先找出多项式中的公因子，然后将公因子提取出来，最后将原多项式中的每 一项除以公因子。
例子
$2x^2 + 4x = 2x(x + 2)$。
公式法
步骤
首先观察多项式是否符合平方差 公式或完全平方公式，然后代入 公式进行因式分解。
例子
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$， $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
THANKS
感谢观看
例子
$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$。03因式分解的应用
因式分解复习课课件
将多项式中的公因式提取 出来，形成积的形式。
公式法
利用平方差公式、完全平 方公式等对多项式进行因 式分解。
分组分解法
将多项式中的项进行分组， 然后对每组进行因式分解。
因式分解的注意ห้องสมุดไป่ตู้项
确保因式分解后的每个整式都 是最简形式。
注意符号和顺序，确保因式分 解后的结果与原多项式相等。
注意因式分解的多样性，不同 的方法可能得到不同的结果。
[ ] $x^3 + 2x^2 + x =$?
提高练习题
[ ] $3x^3 - 6x^2 + 3x =$? [ ] $5x^3 - 10x^2 =$?
[ ] $4x^3 + 8x^2 - 16x =$? [ ] $6x^3 + 12x^2 + 6x =$?
综合练习题
[ ] $4x^4 - 8x^3 + 4x^2 =$?
注意点
使用公式法时，要确保多项式符合相应的公式形 式。
分组分解法
1 2
定义
分组分解法是指将多项式分组后再进行因式分解。
例子
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
3
注意点
分组时，要确保分组后的多项式能够进行因式分 解。
十字相乘法
定义
十字相乘法是指利用十字 交叉相乘的方法进行因式 分解。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
例子
$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$
注意点
使用十字相乘法时，要确 保交叉相乘后的结果与多 项式的常数项相等。
04 因式分解的应用
公式法
利用平方差公式、完全平 方公式等对多项式进行因 式分解。
分组分解法
将多项式中的项进行分组， 然后对每组进行因式分解。
因式分解的注意ห้องสมุดไป่ตู้项
确保因式分解后的每个整式都 是最简形式。
注意符号和顺序，确保因式分 解后的结果与原多项式相等。
注意因式分解的多样性，不同 的方法可能得到不同的结果。
[ ] $x^3 + 2x^2 + x =$?
提高练习题
[ ] $3x^3 - 6x^2 + 3x =$? [ ] $5x^3 - 10x^2 =$?
[ ] $4x^3 + 8x^2 - 16x =$? [ ] $6x^3 + 12x^2 + 6x =$?
综合练习题
[ ] $4x^4 - 8x^3 + 4x^2 =$?
注意点
使用公式法时，要确保多项式符合相应的公式形 式。
分组分解法
1 2
定义
分组分解法是指将多项式分组后再进行因式分解。
例子
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
3
注意点
分组时，要确保分组后的多项式能够进行因式分 解。
十字相乘法
定义
十字相乘法是指利用十字 交叉相乘的方法进行因式 分解。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
例子
$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$
注意点
使用十字相乘法时，要确 保交叉相乘后的结果与多 项式的常数项相等。
04 因式分解的应用
《因式分解》单元复习课课件
目标达成（一）
1.下列分解因式中，完全正确的是（ ）
A.x3 x x(x2 1) B.4x2 4x 1 4x(x 1) 1 C.a2 b2 (a b)2 D.6x 9 x2 (x 3)2
2.已知二次三项式 2x2 mx n分解因式为 2(x 3)(x 1) ， 则m （ ），n （ ） 3.甲乙两个同学在分解因式 x2 ax b 时，甲看错了b,分解的结 果为 (x 2)(x 4)，乙看错了a，分解结果为 (x 1)(x 9)，则a=（ ）， b=（ ）
（三）典例解析 提升能力
例2：用简便方法进行计算： (1)20112 2011 4020 20102 (2)3.145.52 3.14 4.52
(3)50 2 49 2 482 47 2 22 12
(4)(1 1 )(1 1 )(1 1 ) (1 1 )(1 1 )
22
32
42
92
学习目标
1.通过常见错误题型的解析，巩固对因式分解要求与注意事 项的理解，明确因式分解与整式乘法之间的互逆关系. 2.能正确掌握因式分解的方法、基本步骤及要求，能熟练、 准确地进行多项式的因式分解. 3.通过运用因式分解进行简便计算，进一步感受学习因式分 解的必要性，提高运用因式分解解决问题的能力.
10 2பைடு நூலகம்
目标达成（三）
用简便方法进行计算：
(1)8002 1600 798 7982 (2)1.222 9 1.332 4
学而有思，学有所获，本节 课你有哪些收获？
独立思考后对照学习目标和 同伴分享一下自己的收获.
学习目标
1.通过常见错误题型的解析， 巩固对因式分解要求与注意事 项的理解，明确因式分解与整 式乘法之间的互逆关系.
因式分解复习课件
2 2
2
2 2 a -b =(a+b)(a-b)
2
上面的过程正好与整式的乘法相反，它 是把一个多项式化为几个整式乘积形式， 这就是因式分解。
28
把下列多项式分解因式
(1). x 16
2 2
(1)(x+4)(x-4)
2 2
(2) x 9 y
2 2
(2) (x+3y)(x − 3y) (3) (2x+3y)(2x−3y) 2 (4)(a +b+a-b)(a+b-a+b)
2 a 6a 9 2 2 3 4a 4a 1 原式 2a 1 2 2 2 4 9m 6mn n 原式 3m n
2
1 1 5 x x 原式 x 4 2 2 2 2 6 4a 12ab 9b 原式 2a 3b
(1) 2x-6x2y; (2) (3) (4) 9m3n-12m2n4; 7x5-21x4+343x3; 26a4b3c2-6a3b3c-18a2b2c2.
15
提公因式法: 如果一个多项式的各项 含有公因式，那么就可以把这个公因式提
出来，从而将多项式化成两个因式乘积的
形式.
如am-bm-cm=m(a-b-c) 这种分解因式的方法是提公因式法.
34
3、分组分解法的关键是适当分组， 一般情况下，四项采用二二分组法 或一三分组法，五项采用二三分组 法，六项采用三三分组法。分组后 还能进行继续分解。
4、十字相乘法的关键是拆常数项凑 中间项。
35
四、例题分析 1、把下列各式分解因式 （1）3ay-3by+3y
解：原式=3y(a-b+I)
2
2 2 a -b =(a+b)(a-b)
2
上面的过程正好与整式的乘法相反，它 是把一个多项式化为几个整式乘积形式， 这就是因式分解。
28
把下列多项式分解因式
(1). x 16
2 2
(1)(x+4)(x-4)
2 2
(2) x 9 y
2 2
(2) (x+3y)(x − 3y) (3) (2x+3y)(2x−3y) 2 (4)(a +b+a-b)(a+b-a+b)
2 a 6a 9 2 2 3 4a 4a 1 原式 2a 1 2 2 2 4 9m 6mn n 原式 3m n
2
1 1 5 x x 原式 x 4 2 2 2 2 6 4a 12ab 9b 原式 2a 3b
(1) 2x-6x2y; (2) (3) (4) 9m3n-12m2n4; 7x5-21x4+343x3; 26a4b3c2-6a3b3c-18a2b2c2.
15
提公因式法: 如果一个多项式的各项 含有公因式，那么就可以把这个公因式提
出来，从而将多项式化成两个因式乘积的
形式.
如am-bm-cm=m(a-b-c) 这种分解因式的方法是提公因式法.
34
3、分组分解法的关键是适当分组， 一般情况下，四项采用二二分组法 或一三分组法，五项采用二三分组 法，六项采用三三分组法。分组后 还能进行继续分解。
4、十字相乘法的关键是拆常数项凑 中间项。
35
四、例题分析 1、把下列各式分解因式 （1）3ay-3by+3y
解：原式=3y(a-b+I)
因式分解ppt(共22张PPT)
3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
因式分解单元复习ppt
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2
练习求解一些基本的因式分解问题，例如解一 元二次方程等。
3
通过解决实际问题来巩固因式分解技能，例如 求解几何中的面积、体积等问题。
03
因式分解的方法
提公因式法
总结词
基础、常用
详细描述
提公因式法是因式分解中最基础和常用的方法之一，通过将一个多项式分解 成两个或多个因式乘积的形式，其中一个因式为所有项的公共因式。
重点、难点和考点
重点
因式分解的基本概念、性质和 常用的方法
难点
因式分解在解方程、求最大公约 数、最小公倍数等领域的应用
考点
因式分解的概念和性质，以及运用 因式分解解决实际问题
02
因式分解的定义与性质
因式分解的定义
数学上，因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式 的过程。
分解因式是重要的数学技能，在解方程、证明定理、解决几 何问题等方面都有广泛的应用。
运用因式分解简化一些代数式，如提取公因式、运用公式等。 掌握因式分解的技巧和方法，如分组、拆项、换元等。
练习与巩固
通过大量的练习来巩固所学的因式分解知识。 通过练习进一步熟悉因式分解的解题思路和技巧。
05
复习总结
因式分解的常用方法总结
提公因式法
公式法
十字相乘法
配方法
待定系数法
适用于各项系数含有公 共因式或相同因式的多 项式，将公因式提出来 ，进行因式分解。
注意分解要彻底
因式分解要将多项式分解到不能再 分解为止，否则会出现遗漏或重复 。
注意分解后的项数
因式分解后的项数应该与原多项式 的次数相同。
注意符号和顺序
因式分解要注意符号和各项的顺序 ，尤其是当多项式含有括号时。
因式分解复习课(公开课)ppt课件
6
公因式
提
解
的
方
平方差公式：
法 公式法
完全平方公式：
可编辑ppt
7
1.下列各式的因式分解是否正确？如果不正确， 应怎样改正？
可编辑ppt
8
2.把下列各式分解因式：
可编辑ppt
9
思考： 1.通过上面的练习，你认为因式分解时要注意
哪些问题？
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10
三、因式分解的应用
a2b a2c b3 b2c 0 ,试判断三角形的形状.
A
解：a（2 b c） b（2 b c) 0
c
b
(b c)(a2 b2 ) 0
B
a
C 所以b c 0或者a2 b2 0 因为a2 b2不可能为0
所以b c 0
所以b c
所以三角形是等腰三角形
可编辑ppt
14
可编辑ppt
4.已知a、b为有理数,且 a2+b2+2a+2b+2=0,试求a、b的值.
5.n是整数,说明(n+14)2-n2能被28整除.
可编辑ppt
17
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18
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11
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12
2．求值
当 x y 3, xy 2，求 x2 y xy2 的值. 解 : x 2y xy 2 xy(x y ) 当x y 3,xy 2时，
原式 3 2 6
巩固练习： 教科书17页复习题第6,11题
可编辑ppt
13
3．几何应用 已知：a,b,c是△ABC的三边长，且满足
因式分解的复习PPT课件(华师大版)：
因式分解的复习
一、因式分解的定义
把一个多项式化为几个整式的积的情势叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
二、因式分解与整式乘法的关系是什么﹖
整式的积
多项式
整式乘法
因式分解
练习１ 下列各式中，是因式分解的，请在括号内打“√”，否则打“×”。
（１）m(x-y)=mx-my
( × )
( ×)
( √ )
(பைடு நூலகம்× )
( × )
三、因式分解的几种方法
（1）提公因式法 （2）套用公式法
（3）分组分解法 （4）十字相乘法
1、提公因式法的关键是确定公因式。
即系数取各项系数的最大公约数，字母取相同字母的 最低次幂。
2、套用公式法时要注意判断是否符合 公式要求，并熟记公式特征。
3、分组分解法的关键是适当分组，一般情况下，四项采用二二分组法或一三分组法，五项采用二三分组法。分组后还能进行继续分解。
4、十字相乘法的关键是拆常数项凑中间项。
四、例题分析
1、把下列各式分解因式
（1）3ay-3by+3y
解：原式=3y(a-b+I)
(2)-4a3b2+6a2b-2ab
解：原式= -（4a3b2-6a2b+2ab)
= -(2ab·2a2b-2ab·3a+2ab·1）
=-2ab（2a2b-3a+1)
(3)、 5(x-y)2-10(y-x)3
解：
原式=5（x-y)2+10(x-y)3
=5(x-y)2[1+2(x-y)]
=5(x-y)2(1+2x-2y)
(4)、 4x2-y2
一、因式分解的定义
把一个多项式化为几个整式的积的情势叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
二、因式分解与整式乘法的关系是什么﹖
整式的积
多项式
整式乘法
因式分解
练习１ 下列各式中，是因式分解的，请在括号内打“√”，否则打“×”。
（１）m(x-y)=mx-my
( × )
( ×)
( √ )
(பைடு நூலகம்× )
( × )
三、因式分解的几种方法
（1）提公因式法 （2）套用公式法
（3）分组分解法 （4）十字相乘法
1、提公因式法的关键是确定公因式。
即系数取各项系数的最大公约数，字母取相同字母的 最低次幂。
2、套用公式法时要注意判断是否符合 公式要求，并熟记公式特征。
3、分组分解法的关键是适当分组，一般情况下，四项采用二二分组法或一三分组法，五项采用二三分组法。分组后还能进行继续分解。
4、十字相乘法的关键是拆常数项凑中间项。
四、例题分析
1、把下列各式分解因式
（1）3ay-3by+3y
解：原式=3y(a-b+I)
(2)-4a3b2+6a2b-2ab
解：原式= -（4a3b2-6a2b+2ab)
= -(2ab·2a2b-2ab·3a+2ab·1）
=-2ab（2a2b-3a+1)
(3)、 5(x-y)2-10(y-x)3
解：
原式=5（x-y)2+10(x-y)3
=5(x-y)2[1+2(x-y)]
=5(x-y)2(1+2x-2y)
(4)、 4x2-y2
八年级数学上册第十四章整式的乘法因式分解复习课件
式或完全平方公式的形式，
然后进行因式分解。
30% Option 3
56% Option 2
完全平方公式
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ 和 $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，用于将 三项式因式分解。
分组分解法
概念
分组分解法是把多项式中的项 按照某种规则分成几组，然后 分别进行因式分解，最后再将 各组的结果整合起来。
乘法公式及其应用
80%
平方差公式
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，用于 计算两个数的平方差。
100%
完全平方公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，用 于计算一个二项式的平方。
80%
举例
利用平方差公式计算 $(x+3)(x3)=x^2-9$；利用完全平方公式计 算 $(x+2)^2=x^2+4x+4$。
05
课堂小结与知 识点梳理
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发 布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
整章知识点回顾总结
掌握单项式与单项式、单项式与多项 式、多项式与多项式的乘法法则，并 能熟练进行运算。
整式的乘法
理解并掌握平方差公式和完全平方公 式，能运用公式进行简单的计算。
乘法公式
因式分解$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$， 并比较结果
综合应用典型例题
已知$a+b=5$，$ab=6$，求$a^2+b^2$和$(ab)^2$的值 例题1 例题2 例题3 已知多项式$f(x)=x^2+px+q$，且$f(1)=0$， $f(2)=0$，求$f(x)$的解析式 已知$x^2+y^2=10$，$xy=3$，求$(x+y)^2$和 $(x-y)^2$的值
然后进行因式分解。
30% Option 3
56% Option 2
完全平方公式
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ 和 $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，用于将 三项式因式分解。
分组分解法
概念
分组分解法是把多项式中的项 按照某种规则分成几组，然后 分别进行因式分解，最后再将 各组的结果整合起来。
乘法公式及其应用
80%
平方差公式
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，用于 计算两个数的平方差。
100%
完全平方公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，用 于计算一个二项式的平方。
80%
举例
利用平方差公式计算 $(x+3)(x3)=x^2-9$；利用完全平方公式计 算 $(x+2)^2=x^2+4x+4$。
05
课堂小结与知 识点梳理
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发 布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
整章知识点回顾总结
掌握单项式与单项式、单项式与多项 式、多项式与多项式的乘法法则，并 能熟练进行运算。
整式的乘法
理解并掌握平方差公式和完全平方公 式，能运用公式进行简单的计算。
乘法公式
因式分解$a^2+2ab+b^2$和$a^2-2ab+b^2$， 并比较结果
综合应用典型例题
已知$a+b=5$，$ab=6$，求$a^2+b^2$和$(ab)^2$的值 例题1 例题2 例题3 已知多项式$f(x)=x^2+px+q$，且$f(1)=0$， $f(2)=0$，求$f(x)$的解析式 已知$x^2+y^2=10$，$xy=3$，求$(x+y)^2$和 $(x-y)^2$的值
《因式分解》ppt课件
因式分解涉及多次运算，强调 计算的准确性，避免后续步骤
出错。
常见错误及纠正方法
分解不彻底
有些学生在因式分解时，不能完全将多项式转化为整式的 积的形式。应指导学生检查每一步的分解是否正确，并确 保所有项都已正确分解。
误用公式
学生在使用公式法进行因式分解时，可能会误用公式。应 确保学生理解并记住正确的公式，并能够正确应用。
在几何图形中，通过因式分解可以计算图形的面积和周长，特别 是在处理一些不规则图形时。
分割与拼接图形
通过因式分解的方法，可以将一个几何图形分割成若干个简单图形， 或者将若干个简单图形拼接成一个复杂的图形。
解决几何问题
因式分解在解决一些几何问题中也有应用，如证明勾股定理、解决 几何图形的面积和体积等问题。
在解方程中的应用
分解因式解方程
对于一些一元二次方程，可以通过因式分解的方 法来求解，简化计算过程。
判断根的性质
通过因式分解，可以判断一元二次方程根的性质， 如根的和与积、根的判别式等。
解决代数问题
因式分解在解代数方程中有着广泛的应用，如求 解一元一次方程、分式方程等。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
THANK YOU
感谢各位观看
题目2： 把下列多项式分解因 式：3x^2 - 6xy + 3y^2。
题目3： 把下列多项式分解因 式：4a^2 - 8ab + 4b^2。
进阶练习题
提升技巧难度
题目2： 把下列多项式分解因式：(2a + b)^2 - (a b)^2。
题目1： 把下列多项式分解因式：(x + 2y)^2 - (x y)^2。
重要性
总结词
因式分解在数学中具有重要意义，是解决许多数学问题的关 键步骤。
出错。
常见错误及纠正方法
分解不彻底
有些学生在因式分解时，不能完全将多项式转化为整式的 积的形式。应指导学生检查每一步的分解是否正确，并确 保所有项都已正确分解。
误用公式
学生在使用公式法进行因式分解时，可能会误用公式。应 确保学生理解并记住正确的公式，并能够正确应用。
在几何图形中，通过因式分解可以计算图形的面积和周长，特别 是在处理一些不规则图形时。
分割与拼接图形
通过因式分解的方法，可以将一个几何图形分割成若干个简单图形， 或者将若干个简单图形拼接成一个复杂的图形。
解决几何问题
因式分解在解决一些几何问题中也有应用，如证明勾股定理、解决 几何图形的面积和体积等问题。
在解方程中的应用
分解因式解方程
对于一些一元二次方程，可以通过因式分解的方 法来求解，简化计算过程。
判断根的性质
通过因式分解，可以判断一元二次方程根的性质， 如根的和与积、根的判别式等。
解决代数问题
因式分解在解代数方程中有着广泛的应用，如求 解一元一次方程、分式方程等。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
THANK YOU
感谢各位观看
题目2： 把下列多项式分解因 式：3x^2 - 6xy + 3y^2。
题目3： 把下列多项式分解因 式：4a^2 - 8ab + 4b^2。
进阶练习题
提升技巧难度
题目2： 把下列多项式分解因式：(2a + b)^2 - (a b)^2。
题目1： 把下列多项式分解因式：(x + 2y)^2 - (x y)^2。
重要性
总结词
因式分解在数学中具有重要意义，是解决许多数学问题的关 键步骤。
《因式分解》复习课件
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
=56(56+44)
=(101+99)(101-99)
=56×100
=200×2
=5600
=400
二.多项式的除法
(2mp-3mq+4mr) ÷(2p-3q+4r)=_m____
变式： 用因式分解说明257-512能被120整除.
三.整体法求值
若m+n=6,mn=8，则m2n+mn2=_4_8__
变式：若2a-b=2，则6+8a-4b=_1_4__
3.当a、b为何值时，代数式a2+b2 +2a–4b+6
的值最小？最小值是多少？
通过复习这节课你有那些新的收获与 感受?
说出来与大家一起分享！
1.将下列各式因式分解： (1). x2y-2xy2+y3 (2).(m+n)3-4(m+n)
2.已知a-b=2,ab=4，则a3b-2a2b2+ab3的值 为多少？
( 4)9x2n+3-27xn+1
2ab
-m2n2
2x（x+y）
9xn+1
(5) p(y-x) - q(x-y)
y-x
1.公因式确定 （1）系数：取各系数的最大公约数； （2）字母：取各项相同的字母； （3）相同字母的指数：取最低指数。
提公因式法：
公因式可以是数字、 字母、单项式，也 可以是多项式
若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=__
解：∵9x2+kxy+36y2是完全平方式
∴kxy=±2·3x·6y=±36xy ∴k=±36
2-4《因式分解法》课件(共35张PPT)
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
实际问题
根据物理学规律，如果把一 个物体从地面 10 m/s 的速度竖 直上抛，那么经过 x s 物体离地 面的高度（单位：m）为
3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就 是原方程的根.
AB = 0
A=0或B=0
（ A、B 表示两个因式）
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边化为_零_____。
2. 将方程左边分解成两个__一__次___因__式__的乘积。 3. 至少_有___一__个__因式为零，得到两个一元一次
⑴ 5x2-3 2 x=0 （运用因式分解法）
⑵ 3x2-2=0
（运用直接开平方法）
⑶ x2-4x=6
（运用配方法）
⑷ 2x2-x-3=0
（运用公式法）
⑸ 2x2+7x-7=0 （运用公式法）
② 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能 否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法， 若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
实际问题
根据物理学规律，如果把一 个物体从地面 10 m/s 的速度竖 直上抛，那么经过 x s 物体离地 面的高度（单位：m）为
3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就 是原方程的根.
AB = 0
A=0或B=0
（ A、B 表示两个因式）
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边化为_零_____。
2. 将方程左边分解成两个__一__次___因__式__的乘积。 3. 至少_有___一__个__因式为零，得到两个一元一次
⑴ 5x2-3 2 x=0 （运用因式分解法）
⑵ 3x2-2=0
（运用直接开平方法）
⑶ x2-4x=6
（运用配方法）
⑷ 2x2-x-3=0
（运用公式法）
⑸ 2x2+7x-7=0 （运用公式法）
② 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能 否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法， 若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
因式分解初中数学复习教材课件PPTppt课件市公开课金奖市赛课一等奖课件
第8页
六: 普通环节与注意点
1 普通环节: 先提公因式,再利用公式或十字相乘,后分组分 解,最后是重新整理再分解.
2 注意点:
在分解因式时要注意各个因式是否还能继续分解， 直到每一个因式都不能继续分解为止.
第9页
七、基本题型练习一
1) 8x3 ym1 2xym 2) 2(x y)2 3( y x) 3) 81a4 1 4) 4(m n)3 9(m n) 5) 5a4 1 b2
因式分解期末复习
第1页
一、知识点回顾
1．什么叫因式分解？
把一个多项式写成几种整式乘积形式，叫 做把这个多项式分解因式．
例 下列变形是否是因式分解.
A ( x 1)( x 1) x2 1,
B x3 2x 1 x( x2 2) 1
C 2 x2 2 y2 2( x2 y2 ),
D
第4页
三、因式分解基本办法二:利用公式法 1 熟记公式及其特点 （1）平方差公式,:a2-b2=(a+b)(a-b) （2）完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
第5页
例 下列多项式哪些能用乘法公式分解因式 A x2 4 B x2 4xy y2 C 2xy x2 y2 D 9(a b)2 6(a b) 1 E 121a4 1 4 F 4(m n)2 4(m n)(m n) (m n)2
第6页
四、因式分解基本办法三:十字相乘法
要点: 一拆(拆常数项),
二乘(十字相乘),
三验(验证十字相乘后和是否等于一次项.x2 px qxax
b
x2+Px+q=(x+a)(x+b),其中p=a+b,q=ab
六: 普通环节与注意点
1 普通环节: 先提公因式,再利用公式或十字相乘,后分组分 解,最后是重新整理再分解.
2 注意点:
在分解因式时要注意各个因式是否还能继续分解， 直到每一个因式都不能继续分解为止.
第9页
七、基本题型练习一
1) 8x3 ym1 2xym 2) 2(x y)2 3( y x) 3) 81a4 1 4) 4(m n)3 9(m n) 5) 5a4 1 b2
因式分解期末复习
第1页
一、知识点回顾
1．什么叫因式分解？
把一个多项式写成几种整式乘积形式，叫 做把这个多项式分解因式．
例 下列变形是否是因式分解.
A ( x 1)( x 1) x2 1,
B x3 2x 1 x( x2 2) 1
C 2 x2 2 y2 2( x2 y2 ),
D
第4页
三、因式分解基本办法二:利用公式法 1 熟记公式及其特点 （1）平方差公式,:a2-b2=(a+b)(a-b) （2）完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
第5页
例 下列多项式哪些能用乘法公式分解因式 A x2 4 B x2 4xy y2 C 2xy x2 y2 D 9(a b)2 6(a b) 1 E 121a4 1 4 F 4(m n)2 4(m n)(m n) (m n)2
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四、因式分解基本办法三:十字相乘法
要点: 一拆(拆常数项),
二乘(十字相乘),
三验(验证十字相乘后和是否等于一次项.x2 px qxax
b
x2+Px+q=(x+a)(x+b),其中p=a+b,q=ab
因式分解复习PPT课件(华师大版)
1 9
（2） n4 n3 n(53 (xn 1)1(5) x 1)
3
3
（3） ab a3b 2a2b
（4）p2aab(11a2 p21a)a
（5）maxb(1ya2 )2 x y
m x y2 (x y)
1.甲、乙两同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b， 分解结果是(x+2)(x+6),乙看错了a，分解结果是 (x+1)(x+16).请你分析一下a、b的值分别为多少， 并写出正确的分解过程.
13.5.3因式分解复习
想想： 什么叫整式乘法？什么又叫因式分解？
下列各式从左到右的变形 中是因式分解的是（ C）
A、 a x y ax ay
B、 x2 9 y (x 3)(x 3) y
C、 x 2 8x 16 x 42
D、
x2
1
x(x
1) x
因式分解的三大方法
1.提公因式法； 2.平方差公式； 3.完全平方公式； 分解中的四个注意 ⑴有公因式的先提公因式； ⑵括号内要合并同类项； ⑶括号内首项系数要为正； ⑷括号内不能再分解；
因式分解的一般步骤：
第一步：先看多项式各项有无公因式， 如有公因式则要先提取公因式；
第二步：再看有几项， 如两项，则考虑用平方差公式； 如三项，则考虑用完全平方公式；
第三步：最后看各因式能否再分解， 如能分解，应分解到不能再分解为止。
提公因式法：
1.公因式确定
（1）系数：取各系数的最大公约数；
（2）字母：取各项相同的字母；
2.已知 x2 y 2 4x 8y 20 0 ，求
x y的值。
3.若n是正整数.试说明3n+2-4×3n+1+10×3n 能被7整除.
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
活动内容：练一练
1、.当x取何值时， x2 2x 1 取得最小值？
2、当k取何值时，100 x2 kxy 49 y2是一个完全平
方式？
第七环节 永攀高峰
练一练：
2 1 48
可以被60和70之间某两个自然数整除
，求这两个数。
257 512
第八环节 阅读 体验
小结☞
因式分解与整式乘法是互逆过程. 因式分解要注意以下几点:
1 1 m2 3mn 9n2
4
(2)a b2 6a b 9
3 a2 4b2 4ab
第三环节 小试牛刀
有时因式分解的时候可能用到几种方法， 即几种方法的综合运用。
练习下面的题目并思考用到了 哪些方法？
(1)3am2 3an2 6amn
(2)x4 16
北师大版 八年级下册
单元复习
灵璧县黄湾中学 李敬农
第一环节 知识回顾
活动内容： 1、举例、说明什么是分解因式。 2、分解因式与整式乘法有什么关系？ 3、分解因式常用的方法有哪些？ （教师重点板书） 4、试着画出本章的知识结构图。
理解 ·定义
因式分解定义:
把一个多项式化成几个整式积的形式, 这种变形叫做把这个多项式因式分解.
想一想: 因式分解与整式乘法有何关系? 因式分解与整式乘法是互逆过程
例1：
请指出下列各式中从左到右的 变形哪个是因式分解.
、
(1)x2－2=(x+1)(x－1)－1 (2)(x－3)(x+2)=x2－x+6 (3)3m2n－6mn=3mn(m－2) (4)ma+mb+mc=m(a+b)+mc (5)a2－4ab+4b2=(a－2b)2
第四环节 体验感悟
活动内容： 知识点四，综合运用多种方法分解因式， 熟练掌握因式分解的步骤：一提，二套， 三查。 例7.把下列各式分解因式
（1）x3 4x
（2）x2 ( y2 1) 2x( y2 1) ( y2 1)
例8.利用分解因式计算：
⑴ 19992 1998 2002
3
3
例5：分解因式
4(m n)2 (m n)2
2(m n)2 (m n)2
2(m n) (m n)2(m n) (m n)
=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n) =(3m+n)(m+3n)
例6：
思考：如何运用完全平方公式分解下列因式？
（2）已知x+y=1，求
1 2
x2
xy
1 2
y2的值
第五环节 能力提升
活动内容：知识点五：分解因式的实际应用
例9.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的 四个小圆． （1）用代数式表示剩余部分的面积； （2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的 面积．
第六环节 活学活用
答案：（3） （5）
第二环节 总结归纳
回顾、思考与练习：
1、提取公因式的时候我们应该 注意什么问题？
提取多项式中各项相 同整式的最低次幂
提公因式法,例2：
8a3b2 12ab3c ab
ab 8a2b ab 12b2 ab 1
ab(8a2b 12b2c 1)
提公因式法,例3：
6(m n)3 12(n m)2
6(m n)3 12 (m n)2
6(m n)3 12(m n)2
6(m n)2 (m n 2)
利用平方差公式因式分解例4：
4a2 1 b2 9
(2a)2 (1 b)2 3
(2a 1 b)(2a 1 b)
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式
的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
第九环节 中考冲刺
a a 1、（2016.安徽）因式分解： 3
2、（2014.安徽）下列四个多项式中，能因式分解的是（）
( A).a2 1
(B).a2 6a 9
(C).x2 5y
(D).x2 5 y
x y y 3、（2013.安徽）因式分解 2
祝你成功
1、.当x取何值时， x2 2x 1 取得最小值？
2、当k取何值时，100 x2 kxy 49 y2是一个完全平
方式？
第七环节 永攀高峰
练一练：
2 1 48
可以被60和70之间某两个自然数整除
，求这两个数。
257 512
第八环节 阅读 体验
小结☞
因式分解与整式乘法是互逆过程. 因式分解要注意以下几点:
1 1 m2 3mn 9n2
4
(2)a b2 6a b 9
3 a2 4b2 4ab
第三环节 小试牛刀
有时因式分解的时候可能用到几种方法， 即几种方法的综合运用。
练习下面的题目并思考用到了 哪些方法？
(1)3am2 3an2 6amn
(2)x4 16
北师大版 八年级下册
单元复习
灵璧县黄湾中学 李敬农
第一环节 知识回顾
活动内容： 1、举例、说明什么是分解因式。 2、分解因式与整式乘法有什么关系？ 3、分解因式常用的方法有哪些？ （教师重点板书） 4、试着画出本章的知识结构图。
理解 ·定义
因式分解定义:
把一个多项式化成几个整式积的形式, 这种变形叫做把这个多项式因式分解.
想一想: 因式分解与整式乘法有何关系? 因式分解与整式乘法是互逆过程
例1：
请指出下列各式中从左到右的 变形哪个是因式分解.
、
(1)x2－2=(x+1)(x－1)－1 (2)(x－3)(x+2)=x2－x+6 (3)3m2n－6mn=3mn(m－2) (4)ma+mb+mc=m(a+b)+mc (5)a2－4ab+4b2=(a－2b)2
第四环节 体验感悟
活动内容： 知识点四，综合运用多种方法分解因式， 熟练掌握因式分解的步骤：一提，二套， 三查。 例7.把下列各式分解因式
（1）x3 4x
（2）x2 ( y2 1) 2x( y2 1) ( y2 1)
例8.利用分解因式计算：
⑴ 19992 1998 2002
3
3
例5：分解因式
4(m n)2 (m n)2
2(m n)2 (m n)2
2(m n) (m n)2(m n) (m n)
=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n) =(3m+n)(m+3n)
例6：
思考：如何运用完全平方公式分解下列因式？
（2）已知x+y=1，求
1 2
x2
xy
1 2
y2的值
第五环节 能力提升
活动内容：知识点五：分解因式的实际应用
例9.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的 四个小圆． （1）用代数式表示剩余部分的面积； （2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的 面积．
第六环节 活学活用
答案：（3） （5）
第二环节 总结归纳
回顾、思考与练习：
1、提取公因式的时候我们应该 注意什么问题？
提取多项式中各项相 同整式的最低次幂
提公因式法,例2：
8a3b2 12ab3c ab
ab 8a2b ab 12b2 ab 1
ab(8a2b 12b2c 1)
提公因式法,例3：
6(m n)3 12(n m)2
6(m n)3 12 (m n)2
6(m n)3 12(m n)2
6(m n)2 (m n 2)
利用平方差公式因式分解例4：
4a2 1 b2 9
(2a)2 (1 b)2 3
(2a 1 b)(2a 1 b)
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式
的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
第九环节 中考冲刺
a a 1、（2016.安徽）因式分解： 3
2、（2014.安徽）下列四个多项式中，能因式分解的是（）
( A).a2 1
(B).a2 6a 9
(C).x2 5y
(D).x2 5 y
x y y 3、（2013.安徽）因式分解 2
祝你成功