八上第二章2.1认识无理数(2)公开课
北师大版初中数学八年级上册第二章《2.1认识无理数》 教案
北师大版数学八年级上册《认识无理数（2）》教案一、学生起点分析学生在小学阶段已经学习了非负数，七年级又学习了有理数.本章第一课时的学习，学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，让学生认识到所学的数又不够用了，从而激发他们学习的好奇心，能积极主动地参与到学习中，充分认识到学习无理数引入的必要性，发展学生的合情推理能力.二、教学任务分析《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节，第一课时让学生感受数的发展，感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 本课时为第二课时，内容是建立无理数的基本概念，借助计算器，感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数，并能结合实际判别有理数和无理数.在活动中进一步发展学生独立思考的意识和合作交流的能力，在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系，而且对今后学习数学也有着重要意义.为此，本节课的教学目标是: 1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力.三、教学过程设计本节课设计六个教学环节:第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置.第一环节：新课引入内容:想一想：1. 有理数是如何分类的？整数（如1-，0，2，3，…) 有理数 分数(如31，52-，119，0.5，… ) 2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π，0.020020002…上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了（2）”. 第二个环节：活动与探究1. 探索无理数的小数表示内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.边长a 面积s 1<a <21<s<4 1.4<a <1.5[来源:学+科+1.96<s<2.25 1.41<a <1.42 1.9881<s<2.0164 1.414<a <1.415 1.999396<s<2.002225 1.4142<a <1.41431.99996164<s<2.00024449归纳总结:a 是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值.目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a =1.41421356…，b =2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础. 2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？ 探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数. 即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).[来源:学.科.网Z.X.X.K]目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性，建立了无理数的概念. 第三个环节：知识分类整理内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的形式来分).强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.效果：通过师生的共同探究，形成对中学现阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力. 第四个环节：知识运用与巩固内容：认识一个数是无理数还是有理数.有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数整数分数例1填空: 0.351， 4.96••-，32-， 3.14159， 6， －5.2323332…，3π，1234567891011…(由相继的正整数组成).例2 判断下列说法是否正确(1)有限小数是有理数; （ ） (2)无限小数都是无理数; （ ） (3)无理数都是无限小数; （ ） (4)有理数是有限数. （ ）例3以下各正方形的边长是无理数的是（ ） (A ）面积为25的正方形； (B ） 面积为254的正方形； (C ） 面积为8的正方形； (D ） 面积为1.44的正方形. [来源:Z 。
北师大版数学八年级上册《认识无理数》教学课件
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想一想：可以继续算下去吗？是有限小数吗？
数
教学过程——新知探究
第二章
北师大版 ∙ 八年级上册
教学课件
第二章
实
1. 认识无理数
数
教学内容
第二章
1.1
认识无理数
实
数
教学目标——重点难点
第二章
1.知道非有理数的存在，认识无理数.
2.理解无理数的概念，掌握无理数与有理数的区别，并
能判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
3.能用“夹逼法”确定无理数的近似值（难点）
实
数
教学目标——温故知新
实
活动探究3
认识无理数
有理数与无理数区别：
因为整数都可以看着小数部分为0的小数，而分数都可以化为有限小数或无限循
环小数,所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限
小数或无限循环小数也都是有理数. 但无理数是无限不循环小数，所以有理数和
无理数的根本区别就在于无理数不能化为有限小数或无限循环小数.
第二章
知识储备
1.什么是有理数？
整数和分数统称为有理数.
2.有理数有哪些分类方法？
正整数
整数
负整数
分数
正分数
负分数
正整数
正数
正分数
负整数
负数
负分数
实
数
教学过程——新课引入
第二章
议一议
有两个正方形，一个正方形的面积为4，一个正方形的面积为
《认识无理数》word教案 (公开课)2022年北师大版 (4)
2.1 认识无理数〔1〕教学设计一、学生起点分析通过前一章?勾股定理?的学习，学生已经明白什么是勾股数，但也发现并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是，例如：①腰长为1的等腰直角三角形的底边长不是有理数，②两条直角边分别为1，2的直角三角形的斜边长不是有理数，这为引入“新数〞奠定了必要性．二、教学任务分析?数不够用了?是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级〔上〕第二章?实数?的第一节．本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数．本课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数．本节课的教学目标是：①通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在；②能判断三角形的某边长是否为无理数；③学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神；④能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解；三、教学过程设计本节课设计了6个教学环节：第一环节：置疑；第二环节：课题引入；第三环节：获取新知；第四环节：应用与稳固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置．第一环节：质疑内容：【想一想】⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？目的：作必要的知识回忆，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理．效果：为后续环节的进行起了很好的铺垫的作用第二环节：课题引入内容：1．【算一算】一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数〔或分数〕吗？2．【剪剪拼拼】把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？目的：选取客观存在的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了〞．效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题．第三环节：获取新知内容：【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】a=，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？【议一议】：22a=的a为什么不是整数？【释一释】：释1．满足22a=的a为什么不是分数？释2．满足22【忆一忆】：让学生回忆“有理数〞概念，既然a不是整数也不是分数，那么a一定不是有理数，这说明：有理数不够用了，为“新数〞〔无理数〕的学习奠定了根底【找一找】：在以下正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段目的：创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数〞〔无理数〕的存在，从而激发学习新知的兴趣效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，产生了学习新数的必要性．第四环节：应用与稳固内容：【画一画1】→【画一画2】→【仿一仿】→【赛一赛】【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段：1．长度是有理数的线段 2．长度不是有理数的线段【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形 〔右1〕2．三边长都是有理数 2．只有两边长是有理数3．只有一边长是有理数 4．三边长都不是有理数【仿一仿】：例：在数轴上表示满足()220x x =>的x解： 〔右2〕仿：在数轴上表示满足()250x x =>的x【赛一赛】：右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！ 〔右3〕 目的：进一步感受“新数〞的存在，而且能把“新数〞表示在数轴上效果：加深了对“新知〞的理解，稳固了本课所学知识．第五环节：课堂小结内容： 1．通过本课学习，感受有理数又不够用了， 请问你有什么收获与体会？ 2．客观世界中，确实存在不是有理数的数，你能列举几个吗？3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？ 目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化．效果：学生总结、相互补充，学会进行概括总结．第六环节：布置作业习题六、教学设计反思〔一〕生活是数学的源泉，兴趣是学习的动力大量事实都证明一点，与生活贴得越近的东西最容易引起学习者的浓厚兴趣，才能激发学习者的学习积极性，学习才可能是主动的．本节课中教师首先用拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验呈现出来，然后进行大胆置疑，生活中的数并不都是有理数，那它们究竟是什么数呢？从而引发了学生的好奇心，为获取新知，创设了积极的气氛．在教学中，不要盲目的抢时间，让学生能够充分的思考与操作．〔二〕化抽象为具体常言道：“数学是锻炼思维的体操〞，数学教师应通过一系列数学活动开启学生的思维，因此对新数的学习不能仅仅停留于感性认识，还应要求学生充分理解，并能用恰当数学语言进行解释．正是基于这个原因，在教学过程中，刻意安排了一些环节，加深对新数的理解，充分感受新数的客观存在，让学生觉得新数并不抽象．〔三〕强化知识间联系，注意纠错既然称之为“新数〞，那它当然不是有理数，亦即不是整数，也不是分数，所以“新数〞不可以用分数来表示，这为进一步学习“新数〞，即第二课时教学埋下了伏笔，在教学中，要着重强调这一点：“新数〞不能表示成分数，为无理数的教学奠好基．[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
认识无理数课件北师大版八年级数学上册
C.是有理数
D.不是有理数
(2)如图，在Rt△ABC中，AC＝2 cm，BC＝2 cm，那么AB 的长是有理数吗?
AB的长不是有理数
3.【例1】边长为2的正方形的对角线长( D )
A.是整数
B.是分数
C.是有理数 D.不是有理数
C
5.【例3】(北师8上P21改编)如图，在Rt△ABC中，两直角边 长分别为a＝2，b＝3，斜边长为c. (1)c满足什么关系式? (2)c是整数吗? (3)c是有理数吗?
解：(1)根据勾股定理，得c2＝a2＋b2＝22＋32＝13， ∴c满足c2＝13的关系式. (2)c不是整数. (3)c不是有理数.
6.【例4】(新题速递)如图，阴影部分是正方形，求出此正方 形的面积.此正方形的边长是有理数吗?为什么? 解：设正方形的边长为a， 根据勾股定理得 a2＝152－82＝161. 因为a不是整数也不是分数，所以a不是有理数.
教学反思：这节课的内容是无理数的概念以及判断一个数是有 理数还是无理数.是数的范围的又一次扩充，是很重要的一节.培 养了学生分类归纳的思想.但对概念的理解掌握一些同学还不是 很好，只能在以后的教学过程中不断的完善.
教学重难点
1.无理数的探索过程. 2.了解无理数与有理数的区别，并能正确判断. 3把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
1.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要 性. 2.从实际背景中发现“不可比的数”，感受到这样的数的广泛 性.
知识点一：有理数(复习) 整数和分数都可以化成有限小数或无限循环小数.
－5，3，0 －5，3，0
知识点二：无理数的产生 (1)用边长为1的两个小正方形剪拼成一个面积为2的大正方形， 大正方形的边长a应满足的条件是 a2＝2 ;a 不是 整数，
北师大2011课标版初中数学八年级上册 第二章 2.1 认识无理数 课件(共21张PPT)
同伴进行交流．
2 a =2
a既不是整数,也不 是分数,所以a不是 有理数．
做一做 1．如图，以直角三角形的斜边为边的正方形
的面积是多少？
2．设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
3．b是有理数吗？
2 b =5
b既不是整数,也不是分
数,所以b不是有理数．
b
无理数的发现
1.长、宽分别为3，2的长方形，它的对角线 的长（ D ） A．是分数 C．是整数 B．是小数 D．不是有理数
你一定是最棒 的！加油！
1.在下列正方形网格中，先找出长度为有理 数的线段，再找出长度不是有理数的线段.请 说明理由．
2.一养鱼专业户欲将面积为288m2的长方形 鱼塘改为等面积的边长为l m的正方形鱼塘， 则l满足什么条件？l是有理数吗？请说明理 由．
1、必做题：课本习题2.1(2) 2、选做题：课堂精炼P13(11、12) 3形的 边长均为1，任意连接这些小正方形的若干个 顶点，可得到一些线段．试分别找出两条长
度是有理数的线段和两条长度不是有理数的
线段．
2．如图是小明以他画的线段为边长设计出的 一个正方形，请解决下列问题： （1）阴影正方形的面积是多少？ （2）阴影正方形的边长介于哪两个整数之间?
你一定是最棒 的！加油！
2.下列各数中，是有理数的是（ B ） A．面积为3的正方形的边长 B．体积为8的正方体的棱长
C．两直角边长分别为5和3的直角三角形的
斜边长
D．圆周率π
3.如图,在4×4的正方形网格中，每个小正方 形的边长均为1，则△ABC中三边边长不是有 理数的有（ C ） A． 0条 B． 1条 C． 2条 D． 3 条
3.在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均 为1，请按要求设计如下图形： （1）三边边长均是有理数的三角形； （2）三边边长均不是有理数的三角形； （3）两边边长是有理数，另一边长不是有理数的 直角三角形； （4）一边边长是有理数，另两边长不是有理数的 钝角三角形.
《认识无理数》课件 2022年北师大版八上数学PPT+
1．(3分)一个长方形的长与宽分别是6 cm，3 cm，它的对角线的长可
能是( D ) A．整数
B．分数
C．有理数
D．无限不循环小数
2．(3分)直角三角形两直角边长为2和5，以斜边为边的正方形的面积
是__2_9___，此正方形的边长__不__是____(填“是〞或者“不是〞)有理数． 3．(6分)B，C是一个生活小区的两个路口，BC长为2千米，A处是一
D
(2)∠CAD=∠CBD.
B
A
N
作业分析 8
提高证明能力的源泉
8、任意作一个钝角,求作它的角平分线.
作业分析 9
提高证明能力的源泉
9、线段a, 求作：以a为底,以2a为高的等腰三角形.
A D
∴PD=PE
1
逆定理:
O2
在一个角的内部,且到角的两边距离相 E
等的点,在这个角的平分线上.
P
C
B
∵ PD⊥OA,PE⊥OB , PD=PE ∴ ∠1=∠2(OP是角平分线或P在∠AOB的平分线上)
11.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且
这一点到三个顶点的距离相等.
(这一点叫做三角形的外心)
个花园，从A到B，C两路口的距离都是2千米，现要从花园到生活小区
修一条最短的路，这条路的长可能是整数吗？可能是分数吗？
解：不可能是整数，也不可能是分数
4．(8分)如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的 边长为1个单位．请解决下面的问题． (1)阴影正方形的面积是多少？ (2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？
例1:在ΔABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB
北师大版八年级数学上册课件 第2章 第1节 认识无理数(共32张PPT)
算一算
1
x
x2 ?
2
问：x是整数（或分数）吗？
剪一剪
把两个边长为1的小正方形通过剪、 拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1 1
1 1
拼一拼
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 11:00:52 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
(2)无限小数都是无理数; （ ╳ ）
(3)无理数都是无限小数; （ √ ）
(4)有理数是有限小数. （ ╳ ）
强调
无理数是无限不循环小数， 有理数是有限小数或无限循环小数.
c 例3 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为25的正方形；
B.面积为 4 的正方形； 25
C.面积为8的正方形；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
新北师大版八年级数学上册《认识无理数》精品教学课件
认识无理数
Hale Waihona Puke 1．通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入 的必要性． 2．能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由．
1．一个整数的平方一定是整数吗？
2．一个分数的平方一定是分数吗？
3 . 整 数和 分 数统称为有理数.
整数分为 正整数、0、负整数
；
分数分为 正整数、负整数
.
把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形, 大的正方形的面积是多少呢？
B．面积为 9的正方形
16
C．面积为27的正方形
D．面积为1.44的正方形
1．在数轴上表示满足 x2 2(x＞0) 的x
2．在数轴上表示满足 x2 5(x＞0)的x
解：1. 2.
-2
-1
0
1
-4
-2
0
1x 2
x
2
4
3．如图是由五个单位正方形组成的纸片，请你把它剪成三块，然 后拼成一个正方形，你会吗？试试看！
1
1
1
1
大正方形的面积是2，大正方形的边长该如何表示呢？
（1）大正方形的面积是2，设边长是a，则a满足：
a是有理数吗？
（2）b2=___5____，b是有理数吗？
b
a、b既不是整数，也不是分数，所以a 、b都不是有理数，但
是它们是确实存在的数，目前还没有掌握它们的表示方法
在勾股定理的计算中感知无理数
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，回答下列问题： 若a＝3，b＝4，则c＝ 5 若a＝5，c＝13，则b＝ 12
若a＝2，b＝3，则c²＝ 13 ，c可能是整数吗？ 可能是分数吗？ 不可能 若a＝2，c＝3，则b²＝ 5 ，b可能是整数吗？ 可能是分数吗？ 不可能
2.1 认识无理数 第2课时 北师大版数学八年级上册教学课件
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
归纳
定义
像0.585无88限588不858循888环5…小（数相邻称两为个无5之理间数8的.个数逐次加1）
π=3.14159265，1.41421356…，－2.2360679…
等这些数判的断小一数位个数数都是是无不限是的无，，理又数不，是循关环键的就，而是看它能不 能写成无限不循环的小数.
合作探究
(2) a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？
借助计算器探索，用表格的形式整理.
a 1.5 1.4 1.45
1.44 1.43 1.42 1.41
1.415 1.414 1.4145
1.4144 1.4143
a的平方 2.25 1.96 2.1025 2.0736 2.0449 2.0164 1.9881
2.002225 1.999396
2.00081025 2.00052736 2.00024449
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
合作探究
(2) a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？ 借助计算器探索，用表格的形式整理.
边长a
面积S
1< a <2
1< S <4
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
归纳
无理数的常见形式
主要有三种： ①无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数． 像看π0.=5似38.518循4815环589828而6558，8实818质.54…1不4（21相循35邻环6…两的，个－小5之2数.间238，6的06如个79数0….逐10次1加010）1 000 1…(相邻 等两这些个数1的之小间数0位的数个都是数无逐限次的，增，加又1不)是是循无环理的数，而． ②圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5都是无理数． ③开方开不尽的数(下一节学到).
八年级数学上册 第二章 实数 2.1 认识无理数 第2课时 无理数导学课件
解：如圈里所示．
第七页，共十八页。
探究 ：已知直角三角形的两直角边长分别为 9 cm 和 5 cm，斜边长是 x cm.
(1)估计 x 在哪两个整数之间？ (2)如果把 x 的结果精确到十分位，估计 x 的值；如 果精确到百分位呢？
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解 ： (1) 根 据 条 件 ， 得 x2 ＝ 92 ＋ 52 ＝ 106 ， 因 为 100<106<121，即 102<x2<112，所以 10<x<11，即 x 在 10 和 11 之间．
解：正方形面积 S1＝122＝144 是有理数，圆的面积 S2＝57π6是无理数，57π6>5746＝144，S2>S1.
规律：当周长一定时，围成圆形的面积比正方形面 积大．
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第二章 实数(shìshù)
内容(nèiróng)总结
第十八页，共十八页。
知识点 ：无理数的概念
2. 如果一个圆的半径是 2，那么该圆的周长是( B )
A．一个有理数
B．一个无理数
C．一个分数
D．一个整数
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3. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0．351，－32，4.9·6·，3.14159，－5.232332…(相邻两 个 2 之间依次多一个 3)，0.123456789101112…(由相继的 正整数组成)． 把结果填入下列相应的圈里．
A．23
B． 3
C．0
D．－1.010101
第十二页，共十八页。
3. 如图是面积分别为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的正方形，其中边长是有理数的正方形有__3__个，边长 是无理数的正方形有__6__个．
2.1.(2) 认识无理数 徐利华
课题：第二章第一节认识无理数第2课时授课人：徐利华课型：新授课授课时间：2013年9月12日，星期四，第2 节课教学目标：1．能利用逼近的思想探索无理数的存在形式.2．理解并掌握无理数的概念，并能利用其特点辨别无理数.3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力．教学重点：能根据无理数特点准确辨别无理数，并能将目前所学的数按不同角度准确分类.教学难点：利用逼近的思想探索无理数的存在形式.教法学法：教法：在上节课学生通过拼图得到a2=2、b2=5，知道a、b既不是整数，也不是分数，但它究竟是什么数，以什么形式存在，学生对此充满好奇，于是充分利用学生的好奇心，先引导学生利用计算器探索无理数的存在性，然后再引导学生自主探索无理数的特点.充分体现我校“自主、互动、反馈”的教学模式.学法：分组合作，在组内主动和组员合作交流，借助计算器探索无理数的存在，并探索出无理数的特点，通过经历对数的扩展过程来认识数的发展.课前准备：1．教师准备好多媒体课件、计算器．2．学生准备好计算器．教学过程：一、创设情境，导入新课师：上节课我们通过面积计算得到a2=2、b2=5，大家都明白了a、b既不是整数也不是分数，那它到底是什么“东西”？生：（哈哈大笑）老师它不是“东西”。
师：哦，那它是什么，它的存在形式是什么？生：它是我们没见过的一种数.师：说的好，它的确是我们没见过但是又存在的一种数，它究竟以什么形式存在，今天就让我们共同来揭开它神秘的面纱.（教师板书课题）【设计意图】：承接上节课讲的知识来激发学生的好奇心，激励学生积极探索无理数的真实存在性，培养培养学生知识迁移的能力.二、探究交流，获取新知探究活动1：探索无理数的存在形式师：大家还记的我们上节课是怎样得到面积为2的正方形的吗？（多媒体出示图片） 生：把两个边长为1的小正方形，通过剪切、拼图拼成一个大的正方形，它的面积就是2.师：你能不能估计大正方形的边长a 在什么范围内？生：（观察课件后回答）通过图形可以看出1＜a ＜2.因为12=1，22=4，而a 2等于2，所以1＜a ＜2. 师：既然1＜a ＜2，那么a 是1点几呢？ 生：（探究后回答）1.4＜a ＜1.5 师：为什么？生：因为1.42=1.96，1.52=2.25，而a 的平方等于2，所以1.4＜a ＜1.5 师：你能精确到它的百分位吗？千分位呢？万分位呢？下面给大家几分钟的时间，借助计算器进行探索. 生：（小组合作，交流探索） 师：谁能说一下小组探索的结果 生：a =1.4142师：恰好是1.4142吗？生：约等于1.4142，在1.4142与1.4143之间. 师：还有几位小数？生1：无数位.它是一个无限小数.生2：这个小数的数位无限长，而且还不循环. 师：事实上，它是一个无限不循环小数.师：模仿上一个探索过程，你能探索面积为5的正方形的边长b 吗？如果能，把探究的结果填入下表.生：（小组合作，交流探索）把探究结果填入表格. 师：谁能说一下你能得到什么结论？生：b =2.23…，它也是一个无限不循环小数.师：同学们探索的非常好. 模仿刚才的探索方法，我们也可以探索体积 为2的正方体的棱长.借助计算器，可以得到它的棱长为1.25992105…,它 也是一个无限不循环小数. 【设计意图】：通过繁琐的计算，培养学生的耐心以及严谨的治学态度，并让学生初步感受无限逼近的数学思想, 通过经历对数的扩展过程来认识数的发展. 探究活动2：认识无理数的特点师：刚才我们经过一番计算我们确认像a 、b 这样的数的确是存在的，下面我请同学们把下列各数表示成小数。
第二章第课认识无理数-秋北师大版八年级数学上册精品课件PPT
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第二章第1课 认识无理数-2020秋北师大版八年级数 学上册 课件
重难易错
5. 在实数 ， ，3.141 592 6，1.010 010 001…（相邻两个1之间逐次加一个0），-4， 中， 无理数有（ B ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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2. 面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为 （C） A. 小数 B. 分数 C. 无理数 D. 不能确定
知识点2 .确定无理数的近似值
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3. （例2）一个正方形的面积是17，估算它的边长在 （ B） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
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三级拓展延伸练 12. 设面积为10π的圆的半径为x. （1）x是有理数吗？说明理由. （2）请估计 x的整数部分是多少？ （3）将x保留到十分位是多少？
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11. 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AC=6， AD=5，问：CD的长是无理数吗？可能是分数吗？ 可能是有理数吗？
《认识无理数》word教案 (公开课)2022年北师大版 (9)
2.1 认识无理数本节课的教学目标是:1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，开展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.2．探索无理数的定义，比拟无理数与有理数的区别，并能区分出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力. 三 、教学过程设计本节课设计六个教学环节:第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与稳固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置. 第一环节：新课引入内容:想一想：1. 有理数是如何分类的？整数〔如1-，0，2，3，…) 有理数 分数(如31，52-，119，0.5，… ) 2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π…上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目. 第二个环节：活动与探究1. 探索无理数的小数表示内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.边长a 面积s 1<a <2 1<s<4 1.4<a 1.41<a 1.414<a 1.4142<a归纳总结:a 是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，那么a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值. 2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？ 探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数. 即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调：像0.585885888588885……，－…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).第三个环节：知识分类整理 有理数和无理数统称为实数。
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0. 57,
4 3
例2 判断题
？
（
(1)有限小数是有理数;
√）
）
）
(2)所有无限小数都是无理数; （ ╳
(3)所有无理数都是无限小数; （ (4)有理数是有限小数.
√
（ ╳）
练习1:见课本23页
随堂练习 ）
练习2 以下各正方形的边长是无理数的是（ C A.面积为25的正方形；
八年级上册第二章 实数ຫໍສະໝຸດ （第二课时）1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数， 借助计算器进行估算，并从中体会无限逼近的思 想. 2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的 区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数。 3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进 行分类。
一、想一想
1.有理数如何分类？
a
=1.41421356…
（1）估计面积为5的正方形的 边长 b的值（结果精确到0.1），并用计 算器验证你的估计。 （2）如果结果精确到0.01呢?
b 5
2
b
结论：
是多少？
b
=2.2360679…
a，b既不是整数，也不是分数，更不是有限小数
活动2：
分数化成小数，最终此小数的形式有几种情况？
请同学们以学习小组活动:一同学说出任意一分数，
另一同学将此分数化成小数.并总结此小数的形式?
结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数。
即任何有限小数或无限循环小数（都可化为 分数）都是有理数.
强 调
像1.41421356…，2.236067978…等这些数的小数位数 都是无限的,但是又不是循环的,是无限不循环小数.
无限不循环小数称为无理数.
故π是无理数、 0.585885888588885…（相邻两个5之间8的个数逐次加1，)
4 B.面积为 25 的正方形；
C.面积为8的正方形； D.面积为1.44的正方形.
练习3:
？
一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边
a是有理数吗?
解:由勾股定理得:a2=32+52,即
a2=34.因为34不是完全平方数，
所以a不是有理数.
5
a
3
1.无理数的定义. 2.数的分类.
3.判定一个数是无理数还是有理数.
开卷有益：
是谁最早使用符号π表示圆周率? 无理数π表示圆周率.是从什么时候开始用π表示圆周 率的呢？为什么用字母呢π ？
1600年英国的威廉.奥托兰特（Willian Oughtred）首先使
用 表示圆周率，他的理由是，因为π是希腊文圆周的第一个
字母，奥托兰特用它表示圆周长，而δ是希腊文直径的第一个字 母，奥托兰特用它表示直径，根据圆周率=
思 考
整数:如-1，0，2，3，…
有理数
分数:如
1 2 9 , , , 0.5 3 5 11
…
2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b 既不 是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
二、活动与探究
活动1：面积为2，5的正方形的边长a，b究竟是多少呢?
12=1
a2=2
22=4
边长a
1<a<2 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42 1.414<a<1.415
面积s
1<S<4 1.96<s<2.25 1.9881<s<2.0164 1.999396<s<2.002225
1.4142<a<1.4143 1.99996164<s<2.00024449
a 2
2
a
是多少？
体积为2的正方体的棱长c也是无理数 （即c3=2）
又如：圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,
三、分一分
到目前为止我们所学过的数可以分为几类？
按小数的形式来分
整数 有理数：
数 分数
可化为有限小数或无限循环 小数
无理数：无限不循环小数
四、辨一辨
3.14,
..
？
例1下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
圆周长 ， 直径
理解为圆
周率,但在推求圆周率的过程中,人们常选用直径为1的圆,即设
δ=1,于是就等于π了.
1706年英国的数学家威廉.琼斯(WillianJones,1675~1749)首
先改用π表示圆周率,后来被数学家们所接受,一直沿用至今.
谢谢大家
2014-9-29
复习本节 习题2.2 第1、2题 预习2.2节
课后探究：读一读，你有何收获?
阅读课本第24页:无理数的发现
读一读
无理数的发现——第一次数学危机及其解决
毕达哥拉斯学派是希腊第二个重要学派，它延续了两个世纪，在希腊有很大 的影响。它有着带有浓厚宗教色彩的严密组织，属于唯心主义学派。他们相信依 靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体，从而数学是其教义的一部分。他们在数 学上最大的贡献是证明了直角三角形三边关系的勾股定理，故西方称之为毕达哥 拉斯定理。 毕达哥拉斯学派的信条是，世界万物都是可以用数来表示的。他们所称的数 就是自然数和分数。实际上分数也是自然数的结果。当时人们对有理数的认识还 很有限，对于无理数的概念更是一无所知。他们将这种数的理论应用于几何，认 为，对于任何两条线段，总可找到一条同时量尽它们的单位线段，并称此两线段 为可公度的。这种可公度性等价于“任何两条线段之比为有理数”。他们在几何推 理中总是使用这条可公度性假定。 公元前4世纪，毕达哥拉斯学派的信徒希帕索斯发现存在某些线段之间是不 可公度的，例如正方形的边长与其对角线之间就是不可公度。根据毕达哥拉斯定 理容易发现，它们之比并非是自然数之比。据说，由于希帕索斯的这一发现，触 犯了毕达哥拉斯学派的信条而被视为异端，为此他被其同伴抛进大海。 尽管希帕索斯的不可公度观念未被希腊人所接受。但由此而引发了数学史上 的第一次数学危机，它对古希腊的数学观点有着极大的冲击，整数的尊崇地位受 到挑战。于是几何开始在希腊数学中占有特殊地位，同时，人们开始不得不怀疑 直觉和经验的可靠性，从此希腊几何开始走向公理化的演绎形式。