高等数学第九章无穷级数

定义1
如果在任意项级数
中，正负号相间出现，这
样的任意项级数称为 交错级数 .它的一般形式是
u1-u2+u3-…+(-1)n-1un+…，其中un>0(n=1，2，3…)。
第三节 任意项级数及其敛散性
定义1
（莱布尼茨审敛法） 设交错级数
满足：
（1）un≥un+1(n=1，2，3，…);
（2）
，
则交错级数 略)。
收敛，且其和S≤u1(证明从
是正项级数，
如果
则有：
(1)当ρ<1时，级数收敛;
(2)当ρ>1（或
）时，级数发散;
(3)当ρ=1时，不能用此判别法确定其敛散性。
第二节 正项级数及其敛散性
例8 判断正项级数
的敛散性。
解
令un=（n＋1）3 （5 ） n，则
n
=
=
由定理5知该级数收敛。
=0<1
第三节 任意项级数及其敛散性
一、 交错级数
是正项级
数，如果
=ρ，则有：
(1)当ρ<1时，级数收敛;
(2)当ρ>1（或
=∞）时，级数发散;
(3)当ρ=1时，不能用此判别法确定其敛散性。
第二节 正项级数及其敛散性
注意
(1) 当ρ=1时，比值审敛法失效。 (2)此判别法是充分非必要条件。
第二节 正项级数及其敛散性
定理5
(根值审敛法，柯西判别法) 设
常数项级数的概念和性质 正项级数及其敛散性 任意项级数及其敛散性 幂级数 函数的幂级数展开
第一节 数项级数的概念和性质
一、 数项级数的概念
人们认识事物在数量方面的特性，往 往是一个由近似到精确的过程，在这种认识 过程中，会遇到由有限个数量相加到无穷多 个数量相加的问题。
第一节 数项级数的概念和性质
行业PPT模板：www.1ppt.com/hangye/ PPT素材下载：www.1ppt.com/sucai/ PPT图表下载：www.1ppt.com/tubiao/ PPT教程： www.1ppt.com/powerpoint/ Excel教程：www.1ppt.com/excel/
高等数学
第九章 无穷级数
一、 正项级数
定义
如果级数
中的每一项都是非负数，即un≥0(n=1，
2，3，…)，则称此级数为正项级数。
第二节 正项级数及其敛散性
定理1
正项级数 有界。
收敛的充分必要条件是部分和数列{Sn}
第二节 正项级数及其敛散性
例1 判定正项级数
的敛散性。
解 由于该级数为正项级数，且部分和
Sn =
<
=
<1。
性质1 若级数
收敛，则级数
也收敛，其中C
为常数，且若
=S，则
。
性质2 若级数
与级数
收敛，则级数
也收敛，且若级数
，则
。
第一节 数项级数的概念和性质
性质3 一个级数若增加或减少有限项，得到的新级数其
敛散性不变.但对于收敛的级数，增加或减少有限项，在一般情
况下尽管仍然收敛，但其和要改变。
性质4 如果un≤vn≤ωn，且级数
即部分和数列{Sn}有界，因此正项级数
收敛。
第二节 正项级数及其敛散性
二、 正项级数的审敛法
定理2
（比较审敛法） 设
和
均为正项级数。
(1)若
收敛，且un≤vn，则
收敛。
(2)若
发散，且un≥vn，则
发散。
第二节 正项级数及其敛散性
推论1
设
和
均为正项级数。如果级数
收
敛，且存在自然数N，使当n≥N时，有un≤kvn（k>0）成
第二节 正项级数及其敛散性
例5 判定级数
的敛散性。
解 因为 数，由定理3可知
=1，而 收敛。
是收敛的等比 级
第二节 正项级数及其敛散性
推论2
（极限审敛法） 设
为正项级数，如果
(或
=＋∞)，则级数
发散;如果
有p>1，使得
（0≤l<＋∞），则级数
收
敛。
第二节 正项级数及其敛散性
定理4
(比值审敛法，达朗贝尔判别法) 设
的前n项和为 ，称sn为级数的部分和。
第一节 数项级数的概念和性质
例2 证明无穷级数
是
收敛的，并求出该级数的和。
解
因为un=
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
所以
sn=
=
=
从而 所以这个级数收敛，它的和为 1
2Fra Baidu bibliotek
第一节 数项级数的概念和性质
二、 数项级数的基本性质
又如，计算圆的面积.若已求得正六边形的面积为a1，则 正十二边形的面积为a1＋a2，如图9-1-1所示。
依此类推，可得正3×2n边形的面积为 a1＋a2＋…＋an
则圆的面积A≈a1＋a2＋…＋an。 如果内接正多边形的边数无限增多，即n无限增大，那 么和a1＋a2＋…＋an的极限就是所要求的圆面积A。这时和式 中的项数无限增多，于是出现了无穷多个数量依次相加的数 学式子。
立，则级数
收敛；如果级数
发散，且当n≥N时，
有un≥kvn（k>0）成立，则级数
发散。
第二节 正项级数及其敛散性
例3 判定级数 解 因为
所以
的敛散性。
， 。
由p-级数可知
收敛。
根据定理2可知，级数
收敛。
第二节 正项级数及其敛散性
比较审敛法是一基本方法，虽然有用， 但应用起来却有许多不便，因为它需要建立 定理所要求的不等式，而这种不等式常常不 易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限 形式的比较审敛法。
第一节 数项级数的概念和性质
图9-1-1
第一节 数项级数的概念和性质
定义1
如果给定一个数列 u1，u2，u3，…，un，…则由该数列构成的表达式
（9-1-1) 称为(数项)无穷级数，简称（数项）级数。 其中第n项un称为级数的 一般项（或通项）。
第一节 数项级数的概念和性质
定义2
设级数 sn=u1+u2+…+un=
LOGO
PPT模板下载：www.1ppt.com/moban/ 节日PPT模板：www.1ppt.com/jieri/ PPT背景图片：www.1ppt.com/beijing/ 优秀PPT下载：www.1ppt.com/xiazai/ Word教程： www.1ppt.com/word/ 资料下载：www.1ppt.com/ziliao/ PPT课件下载：www.1ppt.com/kejian/ 范文下载：www.1ppt.com/fanwen/
则级数
也收敛。
， 都收敛，
性质5 （级数收敛的必要条件） 若级数
收敛，则
。
第一节 数项级数的概念和性质
推论
如果级数 ，则级数
的一般项un在n→∞时不趋于零，即 是发散的。
第一节 数项级数的概念和性质
例4 判定级数
解
因为
的敛散性 。
=
= 1 ≠0，
2
由性质5可知，已知的级数发散。
第二节 正项级数及其敛散性