中考数学 配方法 解题方法

中考数学专项讲解 配方法

知识梳理

把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．

配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．

运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．

典型例题

一、配方法在解一元二次方程中的应用

【例1】用配方法解方程x 2+6x+3=0．

【解】 移项，得x 2+6x =－3 配方，得22

2666322x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

即(x+3) 2=6，从而3x += 所以13x =，23x =．

二、配方法在一元二次方程根的判别式中的应用

一般地，这种题型方程系数含有字母，可通过配方法把b 2－4a c 变形为±(m ±h) 2+k 的形式，由此得出结论，无论m 为何值，b 2－4a c ≥0或b 2－4a c ≤0，从而判定一元二次方程根的情况．

【例2】 已知关于x 的方程x 2－m x+m －2=0．求证：方程有两个不相等的实数根．

【证明】 因为△=(m －2)2+4>0 所以方程x 2－mx+m －2=0有两个不相等的实根；

变式；已知二次函数y=x 2－mx+m －2，求证：不论m 为何值，抛物线y=x 2－mx+m －2总与x 有两个不同的交点．

三、配方法在求二次函数的顶点坐标和最值的应用

对于任何一个二次函数都可以通过配方法把原来的二次函数配方成y=a (x －h) 2+k 的形式，则得到顶点坐标(h ，k)；若a >0，函数值y 有最小值k ；若a <0时，函数值y 有最大值为k ．

【例3】通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：

(1)y=x 2－2x －4； (2)21522y x x =-

+- 【解】 (1)()222222224241522y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

a =1>0，∴开口向上． 对称轴方程是x=1，顶点坐标是(1，－5)．

(2)()222221512251212222222

2y x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=--+--=---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ a =－1

2<0，∴开口向下．对称轴方程是x=－12

，顶点坐标是(1，－2)． 【例4】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大?并且求出最大利润是多少?

【解】 设利润为y 元，售价为x 元，则每天可销售100－10(x －10)件，

依题意得：y=(x －8)[100－10(x －10)] 化简得：y=－10x 2－280x －1600

配方得：y=－10(x －14) 2+360 ∴当(x －14) 2=0时，即x=14时，y 有最大值是360． 答：当定价为14元时，所获利润最大，最大利润是360元．

四、配方法在不等式、比较大小中的应用

【例5】 已知a ，b ∈R ，则不等式①a 2+3>2a ，②a 2+b 2≥2(a －b －1)，③a 2+b 2>a b 中一定成立的有__________．

【分析】 a 2+3－2a =(a －1) 2+2>0，∴①式成立．

a 2+

b 2－2(a －b －1)=a 2+b 2－2a +2b+2= (a －1) 2+(b+1) 2≥0，∴②式成立．

2

22230

24b a b ab a b ⎛⎫+-=-+≥ ⎪⎝⎭(当且仅当a =b=0时取得等号)，∴③式不一定成立．故填①②．

【解】①②

综合训练

1．方程x 2+6x －5=0的左边配成完全平方后所得方程为 ( )

A ．(x+3) 2=14

B ．(x －3) 2=14

C ．()2162

x += D ．以上答案都不对 2．已知二次函数y=x 2－mx+m －5与x 轴交点个数为 ( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．无数个

3．用配方法解方程：

(1)x 2－4x －5=0 (2)2x 2－4x －1=0

4．(1)二次函数y=x 2－6x+2通过配方化为顶点式为y=________，其对称轴是________， 顶点坐标为_________．

(2)通过配方求二次函数y=3x 2－6x+1的最小值．

5．关于x 的一元二次方程x 2+(k+1)x －k －3=0

(1)求证：该方程一定有两个不相等的实数根；(2)若该方程的一根为2，求另一根的值．6．(06南通)已知A=a+2，B=a2－2a+5，C=a2+5a－19，其中a>0．

(1)求证：B－A>0，并指出A与B的大小关系；(2)指出A与C哪个大，并说明理由．7．已知二次函数y=a x2+k+c：

(1)当a=1，b=－2，c=1时，请在下面的直角坐标系中画出此时二次函数的图象；

(2)用配方法求该二次函数图象的顶点坐标．

8．(1)已知

1

3

x

x

+=．则2

2

1

x

x

+的值为__________．

(2)把代数式a2+16加上一个单项式，使它能成为一个完全平方式，则所有符合条件的单项式是__________．

9．如图，某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD，其中AB∥DC，∠B=90°，AB=100 m，BC=80 m，CD=40 m，现计划在上面建设一个面积为S的矩形综合楼PMBN，其中点P在线段AD上，且PM的长至少为36 m．

(1)求边AD的长；

(2)设PA=x(m)，求S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

(3)当x为何值时，四边形PMBN的面积最大?

10．(08镇江)如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递．动点T(m，n)表示火炬位置，火炬从离北京路10米处的M点开始传递，到离北京路1000米的N点时传递活动结束．迎圣火临时指挥部设在坐标原点O(北京路与奥运路的十字路口)，OATB为少先队员鲜花方阵，方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米(路线宽度均不计)．

(1)求图中反比例函数的关系式(不需写出自变量的取值范围)；

(2)当鲜花方阵的周长为500米时，确定此时火炬的位置(用坐标表示)；

(3)设t=m－n，用含t的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置(用坐标表示)．