苏汝铿量子力学(第二版)课后习题(含答案)---第五章5.10-5.12#5(延边大学)三年级
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5.10 一个粒子处在二维无限深势阱0 ,(,) x y a V x y <⎧=⎨
∞⎩（0<）
（其他）
中运动，现加上微扰
,H (0,)xy x y a λ=≤≤，求基态能量和第一激发态的能量修正值。
解：粒子的哈密顿量是
,0H H H =+
2
22
022,()(,)
2 (0,)
H V x y m x y H xy x y a λ∂∂=-++∂∂=≤≤ 0H 的本征值和本征函数，即能量和波函数的零级近似是：
12122
2022(,)
12122
120(,)
() 22
sin()sin() ,0 n n n n E
n n n n ma
n n x y x y a a a a πππψ=
+⎧<⎪⎨⎪⎩（）
（）
（,=1,2,3）
（0<）＝（其他）
对于基态，即2
2
0012(1,1)
(1,1)
22,sin()sin()n n E
x y ma a a a
πππψ=
（）
（）
=1,=1,＝， 记2
2
00000
(1,1)
0(1,1)
22,sin()sin()E
E
x y ma a a a
πππψψ==
=（）
（）（）（）
＝此时，非简并。 故：
(1),(0),(0)
0000020
2
||2[sin()sin()]4
a
a
E H H xy x y dxdy a
a
a
a ψψππ
λλ==<>
==
⎰⎰
即基态能量的一级修正为2
4
a λ。
对于第一激发态，即
220012(1,2)
(1,2)
222
0012(2,1)(2,1)2
522sin()sin()2522sin()sin()2n n E x y ma a a a
n n E x y ma a a a
πππψπππψ==（）
（）
（）（）
=1,=2，，＝或=2,=1，，＝， 此时二重简并。
为简便，记220001(1,2)
(2,1)
2
0011(1,2)0012(2,1)
5222sin(
)sin()22sin()sin()E E
E
ma x y a a a x y a a a
πππ
ψψππψψ=
（）（）（）（
）（）
（）（）
＝＝＝＝＝＝
所以:
,,0,01111,11111120
2||22[sin()sin()]4
a
a
H H H xy x y dxdy
a
a
a
a ψψππ
λλ=≡<>
==
⎰⎰
（）（）
,
,,0,01211,1211110
24
||2222[sin()sin()][sin()sin()]25681a
a
H H H xy x y x y dxdy a
a
a
a
a
a
a ψψππππ
λλπ=≡<>
==
⎰
⎰
（）（）
同理，2
,
,22
11
4a H H λ==，2
,,21
12
4
25681a H H λπ==。
所以：2214221
42564810256814a a E a a E λλπλλπ⎛⎫
- ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭
（1）（1） 故：2
221
44
2561024
(1)481481a a a E
λλλππ=±=±（1）
，
即第一激发态的能量一级修正值是2
4
1024
(1)4
81a λπ
±
。
5.11 类氢离子中，电子和原子核的库仑作用为2
()Ze U r r
=-，当核电荷增加e （从Z →Z
＋1），相互作用能增加2
,
e H r
=-，试用微扰论求能量的一级修正并与严格解比较。
解：微扰法：
当Z →Z ＋1，类氢离子的哈密顿量变为：
,
02
222
,
0,2H H H Ze e H H m r r
=+=-∇-=-
第n 能级：4(0)
2
22
2n
me E
Z n
=- (0)
()(,)nlm nl lm R r Y ψθϕ= 由于2
,
e H r
=-，只与r 有关，根据球谐函数的正交性知：
,,,,,,,,
,,0,0()()()()()()
2
2
|||()|nlm lm l m nlm nl m nl m nl ll mm H H H e
R r rdr ψψδδ∞
=≡<>=-⎰
（）（）
故矩阵,
H μν只有对角线上的元素不为0，其他元素均为0。
根据()nl R r 的性质，
20
|()|nl R r rdr ∞
⎰
只与n 有关，而与l 无关。
2
2
2220
|()|nl Z me R r rdr Z n a n
∞
==⎰
,,,0,0(,)(,)(,,)(,,)(,,)(,,)22,0
422
|||()|l m l m n l m n l m n l m n l m n l H H H H e R r rdr
me Z n
μμψψ∞
==≡<>
=-=-⎰（）（）
即矩阵,
H μν对角线上的元素都是422me Z n
-，故此时，(1)
n E 是2n 次重根：
4
(1),
22n
me E
H Z n
μμ
==-
故能量的一级修正为4
(1)22n
me E
Z n
=-。
严格解：由4
2
22
2n me E Z n =-，
当Z →Z ＋1后，4
,2
22
(1)2n
me E Z n
=-+， 所以，