巩义市第一中学七年级数学下册第十一章因式分解11.1因式分解因式分解教学谈素材新版冀教版

因式分解教学谈

因式分解是整式变形的重要内容，也是解决某些数学问题的重要手段．学习多项式的因式分解，首先要明确因式分解与整式乘法的区别和联系．事实上，整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；而因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘，其基本格式

如：

知道了这种区别和联系，即明白了因式分解实质上就是把整式乘法的过程倒过来，为使同学们更好地掌握因式分解的技巧，形成能力，笔者以为从以下三个方面入手进行教学，可望取得较好的效果．

一、熟悉分解方法

1．提公因式法，只要所给多项式的各项有公因式，就先把各项的公因式提出来．

例1 分解因式：56x3yz+14x2y2z-21xy2z2

解原式=7xyz(8x2+2xy-3yz)

2．以所给多项式的项数为线索，确定分解方法，一般来说，二项式、三项式采用公式法或十字相乘法；四项以上的采用分组分解法．

例2 分解因式：a4b-ab4

分析提取公因式后，运用立方差公式．

解原式=ab(a3-b3)=ab(a-b)(a2+ab+b2)

有一些题目从表面上看不是二项式或三项式，这时可把几项看作一项，归结为二项式或三项式．

例3 分解因式：x2-y2-z2-2yz.

分析把-y2-z2-2yz看成一项，利用平方差公式就可以分解．

解原式=x2-(y2+2yz+z2)=x2-(y+z)2

=(x+y+z)(x-y-z)

例4 分解因式：a3-6a2b+12ab2-8b3

分析考虑用分组分解法，注意从各种分组方法中找出比较合适的，以达到能将整个多项式分解之目的．

解原式=(a3-8b3)-(6a2b-12ab2)

=(a-2b)(a2+2ab+4b2)-6ab(a-2b)

=(a-2b)(a2-4ab+4b2)

=(a-2b)3

3．有时所给多项式有多种合适的分组方法例5 分解因式：x5-x4+x3-x2+x-1

解法1 原式=(x5-x2)-(x4-x)+(x3-1)

=x2(x3-1)-x(x3-1)+(x3-1)

=(x3-1)(x2-x+1)

=(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)

解法2 原式=(x5-x4+x3)-(x2-x+1)

=x3(x2-x+1)-(x2-x+1)

=(x2-x+1)(x3-1)

=(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)

二、掌握变形技巧

1．去掉括号，重新分组

例6 分解因式：ab(c2+d2)+cd(a2+b2)

解原式=abc2+abd2+a2cd+b2cd

=(abc2+a2cd)+(abd2+b2cd)

=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)

=(ac+bd)(bc+ad)

例7 分解因式：(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16 解设x2+3x=y，则

原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24

=(y+6)(y-4)

将y=x2+3x代回上式，则

原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)

=(x2+3x+6)(x-1)(x+4)

2．拆项添项，重新整理

例8 分解因式：x3+3x2-4

解法1 原式=(x3+2x2)+(x2-4)

=x2(x+2)+(x+2)(x-2)

=(x+2)(x2+x-2)

=(x+2)(x+2)(x-1)

=(x+2)2(x-1)

解法2 原式=(x3-1)+(3x2-3)

=(x-1)(x2+x+1)+3(x+1)(x-1)

=(x-1)(x2+4x+4)

=(x+2)2(x-1)

解法3 原式=(x3+3x2-4x)+(4x-4)

=x(x2+3x-4)+4(x-1)

=x(x+4)(x-1)+4(x-1)

=(x-1)(x2+4x+4)

=(x+2)2(x-1)

三、规范分解结果

对因式分解的结果必须注意以下几点：

1．必须是几个因式的乘积．

如分解x2+3x-4=(x+2)(x-2)+3x，此结果不是乘积的形式，应分解为：x2+3x-4=(x+4)(x-1)

2．每个因式必须都是整式

x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2

=(x2+2y2)2-4x2y2

=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy)

3．必须分解到不能再分解为止．

如：

4222

32(2)(1)

x x x x

-+=--，其中因式21

x-还可以分解为(1)(1)

x x

+-发；

若规定在实数范围内分解的话，则继续分解为(2)(2)

x x；

又如分解(x+y)2-(xy+1)2=(x+y+xy+1)(x+y-xy-1)并不是最后结果，应继续分解，结果为(x+1)(x-1)(y+1)(1-y)．

3 绝对值

1．了解相反数的概念，会求一个数的相反数．

2．理解绝对值的含义，会求一个数的绝对值．

3．会利用绝对值比较两个负数的大小．

重点

理解绝对值的含义，会求一个数的绝对值．

难点

能利用绝对值比较两个负数的大小．

一、情境导入

教师：3与－3有什么相同点？32与－32

，5与－5呢？ 学生：每组数中的两个数只有符号不同．

教师：对！像这样，如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0.

二、探究新知

1．绝对值的定义

教师：将上面三组数用数轴上的点表示出来，每组数对应的点，在数轴上有什么关系？

学生小组讨论交流，教师点评，并进一步讲解：

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．

例如，＋2的绝对值等于2，记作|＋2|＝2；－3的绝对值等于3，记作|－3|＝3. 教师：想一想，互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？

学生思考后举手回答，教师点评．

2．绝对值的性质

课件出示填空题：

|5|＝________；|－5|＝________；

|＋7|＝________；|－7|＝________；

|4|＝________；|－4|＝________；

|＋1.7|＝________；|－1.7|＝________；

|0|＝________．

让学生完成填空，并提出问题：同学们能从中得到什么规律吗？

教师引导学生思考：通过对具体数的绝对值的讨论，观察正数的绝对值有什么特点，负数的绝对值有什么特点．

学生分类讨论，归纳出数a 的绝对值的一般规律：

(1)一个正数的绝对值是它本身；

(2)负数的绝对值是它的相反数；

(3)0的绝对值是0.

即：若a>0，则|a|＝a ；

若a<0，则|a|＝－a ；

若a ＝0，则|a|＝0.