高考一轮复习教案十二(2)排列与组合的基本方法(学生)理科用
高三理科数学第一轮复习§12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
解析
解析
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合源自解析解析解析
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
解析
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
解析
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
解析
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
第十二章：计数原理、概率、 随机变量及其分布 §12.2：排列与组合
高中数学教案：排列与组合
高中数学教案：排列与组合一、教学目标：1. 让学生理解排列与组合的概念，掌握排列与组合的计算方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 引导学生运用排列与组合的知识解决生活中的问题，提高学生的数学应用意识。
二、教学内容：1. 排列的概念及计算方法2. 组合的概念及计算方法3. 排列与组合的应用三、教学重点与难点：1. 重点：排列与组合的计算方法，以及它们在实际问题中的应用。
2. 难点：排列与组合的原理理解，以及如何解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解排列与组合的概念。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际例子掌握排列与组合的计算方法。
3. 采用问题驱动法，激发学生的思考，提高学生解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实际问题，引入排列与组合的概念。
2. 讲解排列与组合的概念，让学生理解它们的含义。
3. 讲解排列与组合的计算方法，让学生掌握计算技巧。
4. 案例分析：通过实际例子，让学生运用排列与组合的知识解决问题。
5. 练习与讨论：让学生进行练习，巩固所学知识，并引导学生进行讨论，分享解题心得。
6. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并引导学生思考排列与组合在生活中的应用。
7. 布置作业：让学生课后巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和讨论，评价学生对排列与组合概念的理解程度。
2. 通过课后作业和实际问题解决，评价学生对排列与组合计算方法的掌握情况。
3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，评价学生的逻辑思维能力和数学应用意识。
七、教学准备：1. 准备相关的生活案例和实际问题，用于引导学生理解和应用排列与组合知识。
2. 准备排列与组合的计算方法讲解PPT，以便进行清晰的教学演示。
3. 准备练习题和讨论题目，用于巩固学生所学知识和促进学生思考。
八、教学反思：1. 反思教学过程中的有效性和学生的参与程度，考虑如何改进教学方法以提高教学效果。
高三数学一轮复习教学案：排列、组合、二项式定理 学案
排列、组合、二项式定理2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．4．掌握二排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现．第1课时两1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？(4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：（1）48＋50＋52＝150种 （2）48×50×52＝124800种 （3）4150C （4）4150A 变式训练1：在直角坐标x －o －y 平面上，平行直线x=n ，（n=0，1，2，3，4，5），y=n ，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（ ）A 、25个B 、36个C 、100个D 、225个解：在垂直于x 轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y 轴的6条直线中任意取2条，这样的4条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有22515152626=⨯=⋅C C 个， 故选D 。
届高三数学大一轮复习 排列与组合学案 理 新人教A版
学案64 排列与组合导学目标： 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能解决简单的实际问题．自主梳理1．排列的定义：__________________________________________________，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．排列数的定义：_____________________________________________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．2．排列数公式的两种形式：(1)A m n＝n(n－1)…(n－m＋1)，(2)A m n＝n！n－m ！，其中公式(1)(不带阶乘的)主要用于计算；公式(2)(阶乘形式)适用于化简、证明、解方程．说明：①n！＝________________________，叫做n的阶乘；②规定0！＝______；③当m＝n时的排列叫做全排列，全排列数A n n＝______.3．组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做_____________．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的________，用________表示．4．组合数公式的两种形式：(1)C m n＝A m nA m m＝n n－1 n－2 … n－m＋1m m－1 ·…·3·2·1；(2)C m n＝n！m！ n－m ！，其中公式(1)主要用于计算，尤其适用于上标是具体数且m≤n2的情况，公式(2)适用于化简、证明、解方程等．5．C m n＝C k n⇔______________，m、k∈N，n∈N*.6．组合数的两个性质：(1)C m n＝__________，(2)C m n＋1＝____________________.自我检测1．(2010·北京)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( ) A．A88A29B．A88C29C．A88A27D．A88C272．(2011·广州期末七区联考)2010年上海世博会某国展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品的不同方案有( )A．24种B．48种C．72种D．96种3．从4台甲型与5台乙型电视机中任选3台，其中至少要有甲、乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )A．140种B．84种C．70种D．35种4．(2011·烟台期末)2008年9月25日晚上4点30分，“神舟七号”载人飞船发射升空，某校全体师生集体观看了电视实况转播，观看后组织全体学生进行关于“神舟七号”的论文评选，若三年级文科共4个班，每班评出2名优秀论文(其中男女生各1名)依次排成一列进行展览，若规定男女生所写论文分别放在一起，则不同的展览顺序有( ) A．576种B．1 152种C．720种D．1 440种5．(2010·全国Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有( ) A．12种B．18种C．36种D．54种6．(2010·重庆)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( )A ．30种B ．36种C ．42种D ．48种探究点一 含排列数、组合数的方程或不等式例1 (1)求等式C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝345中的n 值；(2)求不等式1C 3n －1C 4n <2C 5n中n 的解集．变式迁移1 (1)解方程：A 42x ＋1＝140A 3x ；(2)解不等式：A x 9>6A x －26.探究点二 排列应用题例2 (2011·莆田模拟)六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间恰间隔两人； (5)甲、乙站在两端； (6)甲不站左端，乙不站右端．变式迁移2 用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，求这样的六位数的种数．探究点三组合应用题例3男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．变式迁移3 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法总数是( )A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A251．解排列、组合应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步．2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．3．关于排列组合问题的求解，应掌握以下基本方法与技巧：(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2009·湖南)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．282．(2010·全国Ⅰ)某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种3．(2010·重庆)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排一人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )A ．504种B ．960种C ．1 008种D ．1 108种4．(2011·济宁月考)6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有( )A ．13种B ．14种C ．15种D ．16种5．五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法数是( ) A ．24 B ．36 C ．48 D ．60 二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有____________个．(用数字作答)7．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐3、4名，则大师赛共有________场比赛．8．(2011·马鞍山调研)参加海地地震救援的中国救援队一小组共有8人，其中男同志5人，女同志3人．现从这8人中选出3人参加灾后防疫工作，要求在选出的3人中男、女同志都有，则不同的选法共有________种(用数字作答)．三、解答题(共38分)9．(12分)(1)计算C 98100＋C199200；(2)求C 28－n 3n ＋C 2n21－n 的值；(3)求证：C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝n n －mC m n －1.10．(12分)有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数．(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任语文课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．11．(14分)从1,3,5,7,9五个数字中选2个，0,2,4,6,8五个数字中选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？学案64 排列与组合自主梳理1．从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有不同排列的个数 2.①n·(n－1)·…·2·1②1③n！3.从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数C m n 5.m＝k或m＋k＝n 6.(1)C n－m n(2)C m n＋C m－1n自我检测1．A[不相邻问题用插空法，先排学生有A88种排法，老师插空有A29种方法，所以共有A88A29种排法．]2．A[2件书法作品看作一个元素和标志性建筑设计进行排列有A22种不同排法，让两件绘画作品插空有A23种插法，两件书法作品之间的顺序也可交换，因此共有2A22A23＝24(种)．] 3．C[从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，有C24C15＋C14C25＝70(种)选法．]4．B[女生论文有A44种展览顺序，男生论文也有A44种展览顺序，男生与女生论文可以交换顺序，有A22种方法，故总的展览顺序有A44A44A22＝1 152(种)．]5．B[先将1,2捆绑后放入信封中，有C13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C24C22种方法，所以共有C13C24C22＝18(种)方法．]6．C[若甲在16日值班，在除乙外的4人中任选1人在16日值班有C14种选法，然后14日、15日有C24C22种安排方法，共有C14C24C22＝24(种)安排方法；若甲在15日值班，乙在14日值班，余下的4人有C14C13C22种安排方法，共有12(种)；若甲、乙都在15日值班，则共有C 24C 22＝6(种)安排方法． 所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．] 课堂活动区例1 解题导引 (1)在解有关A m n 、C m n 的方程或不等式时要注意运用n≥m 且m 、n ∈N *的条件；(2)凡遇到解排列、组合的方程式、不等式问题时，应首先应用性质和排列、组合的意义化简，然后再根据公式进行计算．注意最后结果都需要检验．解 (1)原方程可变形为 C 5n －1C 3n －3＋1＝195，C 5n －1＝145C 3n －3， 即 n －1 n －2 n －3 n －4 n －5 5！＝145· n －3 n －4 n －5 3！， 化简整理得n 2－3n －54＝0，解得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)， ∴n ＝9.(2)由6n n －1 n －2 －24n n －1 n －2 n －3<240n n －1 n －2 n －3 n －4， 可得n 2－11n －12<0，解得－1<n <12.又n ∈N *且n ≥5，∴n ∈{5,6,7,8,9,10,11}．变式迁移1 解 (1)根据原方程，x (x ∈N *)应满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，解得x ≥3.根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2) ＝140x ·(x －1)·(x －2)，因为x ≥3，两边同除以4x (x －1)， 得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，即4x 2－35x ＋69＝0，解得x ＝3或x ＝234(x ∈N *，应舍去)．所以原方程的解为x ＝3.(2)根据原不等式，x (x ∈N *)应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x －2≤6，x >0，x －2>0，故2<x ≤8.又由A x 9>6A x －26，得9！ 9－x ！>6×6！ 8－x ！，所以849－x >1， 所以－75<x <9.故2<x ≤8，所以x ∈{3,4,5,6,7,8}．例2 解题导引 (1)求排列应用题最基本的方法有直接法：把符合条件的从正面考虑解决，直接列式计算；间接法：根据正难则反的解题原则，如果问题从正面考虑情况比较多，容易重或漏，那么从整体中去掉不符合题意的情况，就得到满足题意的排列种数．(2)相邻问题，一般用捆绑处理的方法．(3)不相邻问题，一般用插空处理的方法．(4)分排问题，一般用直排处理的方法．(5)“小集团”排列问题中，先整体后局部的处理方法．解 (1)方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A 14种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列，有A 55种站法，根据分步乘法计数原理，共有A 14·A 55＝480(种)站法．方法二 若对甲没有限制条件共有A 66种站法，甲在两端共有2A 55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有A 66－2A 55＝480(种)站法．(2)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A 55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A 22种站法，根据分步乘法计数原理，共有A 55·A 22＝240(种)站法．(3)因为甲、乙不相邻，所以可用“插空法”．第一步，先让甲、乙以外的4个人站队，有A 44种站法；第二步，再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有A 25种站法，故共有A 44·A 25＝480(种)站法．(4)先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A 24种；然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列，有A 33种站法；最后对甲、乙进行排列，有A 22种站法，故共有A 24·A 33·A 22＝144(种)站法．(5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A 22种站法，再让其他4人在中间位置作全排列，有A 44种站法，根据分步乘法计数原理，共有A 22·A 44＝48(种)站法．(6)甲在左端的站法有A 55种站法，乙在右端的站法有A 55种，且甲在左端而乙在右端的站法有A 44种站法，共有A 66－2A 55＋A 44＝504(种)站法．变式迁移2 解 依题意先排列除1和2外的剩余4个元素有2A 22·A 22＝8(种)方案，再向这排好的4个元素中选1空位插入1和2捆绑的整体，有A 15种插法，∴不同的安排方案共有2A 22·A 22·A 15＝40(种)．例3 解题导引 (1)区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题，用组合解答，有序的问题属排列问题．(2)解组合问题时，常遇到“至多”、“至少”问题，解决的方法常常用间接法比较简单，计算量也较小；用直接法也可以解决，但分类要恰当，特别对限制条件比较多的问题．解 (1)第一步：选3名男运动员，有C 36种选法．第二步：选2名女运动员，有C 24种选法．共有C 36·C 24＝120(种)选法．(2)“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．从10人中任选5人，有C 510种选法，其中全是男运动员的选法有C 56种．所以“至少有1名女运动员”的选法有C 510－C 56＝246(种)．(3)从10人中任选5人，有C 510种选法．其中不选队长的方法有C 58种．所以“至少1名队长”的选法有C 510－C 58＝196(种)．(4)当有女队长时，其他人选法任意，共有C 49种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C 48种选法．其中不含女运动员的选法有C 45种，所以不选女队长时共有C 48－C 45种选法．故既要有队长，又要有女运动员的选法有C 49＋C 48－C 45＝191(种)．变式迁移3 C [从后排8人中选2人有C 28种，这2人插入前排4人中且前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空位插一人有5种；余下的一人则要插入前排5人的空档有6种，故为A 26.∴所求总数为C 28A 26.]课后练习区1．C [丙不入选的选法有C 39＝9×8×73×2×1＝84(种)，甲乙丙都不入选的选法有C 37＝7×6×53×2×1＝35(种)．所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法有84－35＝49(种)．]2．A [方法一 可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30(种)选法．方法二 总共有C 37＝35(种)选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，故有30种选法．]3．C [不考虑丙、丁的情况共有A 22A 66＝1 440(种)排法．在甲、乙相邻的条件下，丙排10月1日有A 22A 55＝240(种)排法，同理，丁排10月7日也有240种排法．丙排10月1日，丁排10月7日也有A 22A 44＝48(种)排法，则满足条件的排法有A 22A 66－2A 22A 55＋A 22A 44＝1 008(种)．]4．C [当选用信息量为4的网线时有C 25种；当选用信息量为3的网线时有C 12C 12＋1种，共C 25＋C 12C 12＋1＝15(种)．]5．B [五人中不排甲、乙、丙，另2人排列有A 22种方法，这两人中有3个空，按甲在两头和中间分为两类，当甲在两头中的一头时，乙有2种插空法，乙插入后有3个空供丙插，因此有A 22·C 12·C 12·C 13＝24(种)，当甲在中间时，乙有2种插法，乙插入后也有3个空供丙插，所以共有A 22·C 12·C 13＝12(种)，由分类加法计数原理得：共有24＋12＝36(种)．]6．14解析 数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C 14＝4(个)四位数．“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C 24＝6(个)四位数．“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C 34＝4(个)四位数． 综上所述，共可组成14个这样的四位数． 7．16解析 每组有C 24场比赛，两组共有2C 24场，每组的第一名与另一组的第二名比赛有2场，决出冠军和第3名各1场，所以共有2C 24＋2＋1＋1＝16(场)．8．45解析 从3名女同志和5名男同志中选出3人，分别参加灾后防疫工作，若这3人中男、女同志都有，则从全部方案中减去只选派女同志的方案数C 33，再减去只选派男同志的方案数C 35，合理的选派方案共有C 38－C 33－C 35＝45(种)．9．(1)解 C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200 ＝100×992＋200＝4 950＋200＝5 150.(4分)(2)解 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤28－n ≤3n ，0≤2n ≤21－n ，即⎩⎪⎨⎪⎧7≤n ≤28，0≤n ≤7，又n ∈N *，∴n ＝7，∴C 28－n3n ＋C 2n21－n ＝2.(8分)(3)证明 ∵m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝m ＋1n ＋1· n ＋1 ！m ＋1 ！ n －m ！＝n ！m ！ n －m ！＝C mn ；(10分) n n －m C m n －1＝n n －m · n －1 ！m ！ n －1－m ！＝n ！m ！ n －m ！＝C mn ，(11分) ∴C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝n n －mC m n －1.(12分)10．解 (1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有C 35C 23＋C 45C 13种，后排有A 55种，共有(C 35C 23＋C 45C 13)·A 55＝5 400(种)．(3分)(2)除去该女生后，先取后排C 47·A 44＝840(种)．(6分) (3)先取后排，但先安排该男生，有C 47·C 14·A 44＝3 360(种)．(9分)(4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有C 36种，再安排该男生有C 13种，其余3人全排有A 33种，共有C 36·C 13·A 33＝360(种)．(12分)11．解 从1,3,5,7,9五个奇数中选出2个，再从2、4、6、8四个偶数中再选出3个，排成五位数，有C 25C 34A 55＝10×4×120＝4 800个．(6分)从5个奇数中选出2个，再从2、4、6、8四个偶数中再选出2个，将选出的4个数再选一个做万位数．余下的3个数加上0排在后4个数位上，有C25C24C14A44＝10×6×4×24＝5 760个．(12分)由分类计数原理可知这样的五位数共有C25C34A55＋C25C24C14A44＝10 560个. (14分)。
排列与组合讲义-2025届高三数学一轮复习
2025届高考数学一轮复习讲义计数原理、概率、随机变量及其分布之排列与组合一、知识点讲解及规律方法结论总结1.排列、组合的定义名称定义排列从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并按照①一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.组合作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.注意排列有序，组合无序.2.排列数、组合数的定义、公式及性质（n，m∈N*，且m≤n）排列数组合数定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，用符号②A n m表示.从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，用符号③C n m表示.公式A n m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝n！（n－m)!.规定0！＝1.C n m＝A n mA m m＝n（n－1)(n－2）…（n－m+1）m！＝④n！m!(n－m)!.规定C n0＝1.性质A n n＝n！＝n×（n－1）×（n－2）×…×2×1；A n m＝（n－m＋1）A n m－1＝n An－1m－1.C n m＝C n n－m；C n+1m＝Cnm＋Cnm－1.说明C n m＝C n n－m的应用主要是两个方面：一是简化运算，当m＞n2时，通常将计算C n m转化为计算C n n－m；二是列等式，由C n x＝C n y可得x＝y或x＋y＝n.二、基础题练习1.5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有（B）A.A85种B.C85种C.58种D.85种解析由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有C85种不同的放法.2.[教材改编]从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是（B）A.12B.24C.64D.81 解析 4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人1本，则不同的分配方法种数为A 43=24. 3.[教材改编]某班举行了“弘扬中华文化”演讲比赛，有6人参加，并决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从回答分析，6人的名次排列情况可能有（ D ）A.216种B.240种C.288种D.384种解析 由题可知，甲和乙都不是冠军，所以冠军有4种可能性，乙不是最后一名，所以最后一名有4种可能性，所以6人的名次排列情况可能有4×4×A 44＝384（种）.4.[多选]下列说法正确的是 （ BD ）A.所有元素完全相同的两个排列为相同排列B.两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同C.若C n x ＝C n m ，则x ＝mD.A n+1m ＝A n m ＋m A n m －15.[易错题]计算C 73＋C 74＋C 85＋C 96的值为 210 .（用数字作答）解析 原式＝C 84＋C 85＋C 96＝C 95＋C 96＝C 106＝210.6.若C n+13＝C n 3＋C n 4，则n ＝ 6 .解析 ∵C n+13＝C n 3＋C n 4＝C n+14，∴n ＋1＝3＋4，解得n ＝6.三、知识点例题讲解及方法技巧总结命题点1 排列问题例1 有3名男生、4名女生.（1）若排成前、后两排，前排3人，后排4人，则不同的排列方法总数为 5 040 .（2）若全体排成一排，女生必须站在一起，则不同的排列方法总数为 576 .（3）若全体排成一排，男生互不相邻，则不同的排列方法总数为 1 440 .（4）若全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，则不同的排列方法总数为 3 600 .（5）若全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排列方法总数为 3 720 .（6）若全体排成一排，其中甲、乙、丙三人从左到右顺序一定，则不同的排列方法总数为 840 .解析 （1）分两步完成，先选3人站前排，有A 73种方法，余下4人站后排，有A 44种方法，共有A 73·A 44＝5 040（种）.（2）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576（种）.（3）先排女生，有A44种方法，然后在女生之间及首尾共5个空位中任选3个空位安排男生，有A53种方法，共有A44·A53＝1 440（种）.（4）解法一先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600（种）.解法二左、右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有A62种排法，剩下的5人有A55种排法，共有A62A55＝3 600（种）.（5）解法一甲在最右边时，其他人可全排列，有A66种方法；甲不在最右边时，因为甲也不在最左边，所以可从余下的5个位置中任选1个，有C51种，而乙可从除去最右边的位置后剩下的5个位置中任选1个，有C51种，其余人全排列，有A55种不同排法，共有A66＋C51C51A55＝3 720（种）.解法二7人全排列，有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形（A55种方法），故共有A77－2A66+A55＝3 720（种）.（6）7人全排列，有A77种方法，由于甲、乙、丙的顺序一定，则不同的排列方法总数为A77A33=840.方法技巧求解排列问题的常用方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算.优先法优先安排特殊元素或特殊位置.捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列.插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素的排列空位中.定序问题除法处理定序问题，可先不考虑顺序限制进行排列，再除以定序元素的全排列.间接法正难则反，等价转化处理.训练1 （1）[2022新高考卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（B）A.12种B.24种C.36种D.48种解析先将丙和丁捆在一起，有A22种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A33种排列方式，最后将甲插入中间两空，有2种排列方式，所以不同的排列方式共有2A22A33＝24（种），故选B.（2）[2023济南市统考]由3个2，1个0，2个3组成的六位数中，满足有相邻4位恰好是2 023的六位数的个数为（B）A.3B.6C.9D.24解析 2 023用了2个2，1个0，1个3，还余下1个2，1个3，故将2 023视作一个整体与余下的1个2，1个3全排列，有A33＝6（种）不同的排法.故选B.命题点2组合问题例2 （1）[多选]从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（CD）A.若4人全部为男生，则有30种不同的选法B.若4人中男生、女生各有2人，则有30种不同的选法C.若男生中的甲和女生中的乙被选，则有28种不同的选法D.若男生中的甲和女生中的乙至少有1人被选，则有140种不同的选法解析4人全部为男生，选法有C64＝15（种），故A错误；如果4人中男生、女生各有2人，男生的选法有C62＝15（种），女生的选法有C42＝6（种），则4人中男生、女生各有2人的选法有15×6＝90（种），B错误；如果男生中的甲和女生中的乙被选，在剩下的8人中再选2人即可，有C82＝28（种）不同的选法，故C正确；在10人中任选4人，有C104＝210（种）不同的选法，甲、乙都不在其中的选法有C84＝70（种），故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人被选的选法有210－70＝140（种），故D正确.（2）[2023新高考卷Ⅰ]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有64种（用数字作答）.解析解法一由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有C41C41种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有C41C42种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有C42C41种方案.综上，不同的选课方案共有C41C41＋C41C42＋C42C41＝64（种）.解法二若学生从这8门课中选修2门课，则有C82－C42－C42＝16（种）选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有C83－C43－C43＝48（种）选课方案.综上，不同的选课方案共有16＋48＝64（种）.方法技巧组合问题常见的两类题型（1）“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由剩下的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.（2）“至少”与“最多”的问题：解这类题的关键是理解“至少”与“最多”这两个词的含义，通常用直接法或间接法处理，分类复杂时，用间接法更容易处理.训练2 （1）[2023福州5月质检]“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，龙舟比赛的划手分划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（C）A.15种B.18种C.19种D.36种解析按照从全能者（既会划左桨又会划右桨）中选多少人参与划左桨分类：①2名全能者中选2人划左桨，有C22C22＝1（种）不同的选派方法；②2名全能者中选1人划左桨，有C21C21C32＝12（种）不同的选派方法；③2名全能者中选0人划左桨，有C22C42＝6（种）不同的选派方法.所以共有1＋12＋6＝19（种）不同的选派方法.故选C.（2）[2023南京市、盐城市二模]编号为1，2，3，4的四位同学，就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每个座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学的编号和座位编号一致的坐法种数为6.解析先选择两位同学坐对编号，有C42种方法，余下的两位同学只能交叉坐，只有1种方法，故共有C42×1＝6（种）不同坐法.命题点3排列与组合的综合应用角度1有限制条件的排列、组合问题例3 （1）[2023沈阳市质监]甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在最中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（C）A.24种B.36种C.72种D.96种解析如图所示，当甲在3的位置时，乙、丙可能排在（1，2），（4，5），（5，6），先从这三种中选出一种安排乙、丙，然后在剩下的3个位置安排余下的3人，所以不同的排队方法有C31A22A33＝36（种）；当甲在4的位置时，由对称性可知不同的排队方法也有36种.所以不同的排队方法共有36×2＝72（种），故选C.123456（2）[2023重庆市名校联考]某校从8名教师中选派4名教师去4个偏远地区支教，每地1人，其中甲和乙不能同去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案的种数是600.（用数字作答）解析分为两步，第一步，先选4名教师，第一步又分两类，第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C52＝10（种）不同的选法；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C64＝15（种）不同的选法.所以选4名教师，不同的选法有10＋15＝25（种）.第二步，4名教师去4个偏远地区支教，有A44＝24（种）分配方法.所以不同的选派方案的种数是25×24＝600.方法技巧有限制条件的排列、组合问题的解题策略（1）先分析每个限制条件，然后考虑是分类还是分步，对于分类过多的问题可以采用间接法；（2）采用特殊元素（位置）优先原则，即先满足有限制条件的元素（位置），再考虑其他元素（位置）.角度2 分组、分配问题例4 （1）有5个大学保送名额，计划分到3个班级，每班至少一个名额，有 6 种不同的分法.解析 一共有5个保送名额，分到3个班级，每个班级至少1个名额，即将名额分成3份，每份至少1个，（定份数）将5个名额排成一列，中间有4个空，（定空位）即只需在中间4个空中插入2个隔板，不同的方法共有C 42＝6（种）.（插隔板）（2）若将6名教师分到3所中学任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，则有 360 种不同的分法.解析 先将6名教师分组，共有C 61C 52C 33＝60（种）分法.再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6（种）分法.故不同的分法共有60×6＝360（种）.（3）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有 1 560 种.（用数字作答）解析 把6本不同的书分成4组，故有“3，1，1，1”和“2，2，1，1”两种不同的分组方法.若按“3，1，1，1”的分组方法，则不同的分法共有C 63C 31C 21C 11A 33＝20（种）.（有三组元素个数相同，因与顺序无关，故需除去重复情况）若按“2，2，1，1”的分组方法，则不同的分法共有C 62C 42A 22·C 21C 11A 22＝45（种）.（四组元素中，分别有两组元素个数相同，分别为“2，2”和“1，1”，因与顺序无关，故需除去重复情况）所以不同的分组方法共有20＋45＝65（种）.然后把分好的4组书分给4个人，分法共有A 44＝24（种），所以不同的分法共有65×24＝1 560（种）.方法技巧分组、分配问题的解题思路是先分组后分配.1.常见的分组整体均匀分组 分组后一定要除以A n n （n 为均分的组数），避免重复计数.部分均匀分组 若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！.不等分组 分组时任何组中元素的个数都不相等.注意 关于分组问题，应注意无论分成几组，只要其中某些组中的元素个数相等，就存在均分现象.2.常见的分配（1）相同元素的分配问题，常用“隔板法”求解.（2）不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配.（3）有限制条件的分配问题，采用分类讨论法或间接法求解.训练3 （1）[多选/2023重庆八中模拟]将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A ，B ，C 3个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能被安排到1个社区，则下列选项正确的是（ BD ）A.共有72种安排方法B.若甲、乙被安排在同一个社区，则有6种安排方法C.若A 社区需要2名志愿者，则有24种安排方法D.若甲被安排在A 社区，则有12种安排方法解析 对于A 选项，将4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法种数为C 42C 21C 11A 22×A 33＝36，所以A 选项不正确.对于B 选项，甲、乙被安排在同一个社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，再把剩余2个社区进行全排列，所以安排方法种数为C 31A 22＝6，所以B 选项正确.对于C 选项，A 社区需要2名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A 社区，再把剩余2名志愿者进行全排列，所以安排方法种数为C 42A 22＝12，C 选项不正确.对于D 选项，甲被安排在A 社区，分为两种情况，（对甲安排在A 社区进行分类讨论，讨论A 社区是甲单独一人还是甲与另外一人）第一种为A 社区安排了2名志愿者，则从剩余3名志愿者中再选择1名，分到A 社区，然后把剩余2名志愿者进行全排列，安排方法共有C 31A 22种；第二种是A 社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为2组，再分配到剩余的2个社区中，此时安排方法有C 32A 22种.（这两组是不均匀分组，故不需除以任何数）所以安排方法种数一共为C 31A 22＋C 32A 22＝12，D 选项正确.故选BD.（2）将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有 1 680 种.（用数字作答）解析 先选出3人，有C 93种选法，再从剩下的6人中选出3人，有C 63种选法，最后剩下的3人为一组，有C 33种选法.由分步乘法计数原理以及整体均匀分组方法，可知不同的安排方案共有C 93C 63C 33A 33·A 33＝1 680（种）.四、命题点习题讲解1.[命题点1/2023大同学情调研]现有高中数学新教材必修一、二，选择性必修一、二、三，共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数是（A）A.72B.144C.48D.36解析解法一先将选择性必修一、二、三这3本书排成一排，有A33＝6（种）排列方法，再将必修一、必修二这2本书插入两端或3本书间的两个空隙中，有A42＝12（种）排列方法，由分步乘法计数原理得，把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数是6×12＝72.解法二5本书放在书架上排成一排的排列方法共有A55种，其中必修一、必修二相邻的排列方法有A22A44种，所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数为A55－A22A44＝72.2.[命题点2/2023合肥市二检]某高中学校在新学期增设了“传统文化”“数学文化”“综合实践”“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若小明必须选报“数学文化”课程，两位同学所选的课程至多有一门相同，则不同的选课方案有（B）A.24种B.36种C.48种D.52种解析解法一当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，若相同的课程为“数学文化”，则不同的选课方案有C41C31＝12（种）；若相同的课程不是“数学文化”，则不同的选课方案有C41C31＝12（种）.所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有12＋12＝24（种）选课方案.当小明和小华两位同学所选的课程都不相同时，不同的选课方案有C41C32＝12（种）.所以不同的选课方案有24＋12＝36（种），故选B.解法二小明在“数学文化”课程外任选一门课程，小华任选2门课程时，不同的选课方案有C41C52＝40（种），其中小明和小华2门课程都相同时，选课方案有C41＝4（种），故两位同学所选的课程至多有一门相同时，不同的选课方案有40－4＝36（种），故选B.3.[命题点3角度1]某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有两辆不同的白色车和两辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（B）A B C DE F G HA.288B.336C.576D.1 680解析由题意知，每行停放一辆白色车和一辆黑色车.第一步：取一辆白色车和一辆黑色车停放到第一行，共有C21C21C42A22＝48（种）方法.第二步：把剩下的两辆车停放到第二行.若白色车与第一行的黑色车在同一列，此时黑色车有3种停放方法；若白色车与第一行的黑色车不在同一列，则白色车有2种停放方法，黑色车也有2种停放方法，所以共有2×2＝4（种）停放方法.所以把剩下的两辆车停放到第二行共有3＋4＝7（种）方法.由分步乘法计数原理可知，满足题意的停车方法总数为48×7＝336.4.[命题点3角度2/2021全国卷乙]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（C）A.60种B.120种C.240种D.480种解析根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C52种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A44种安排方法.故满足题意的分配方案共有C52×A44＝240（种）.5.[命题点3/2023福建适应性测试]中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命做出了重要贡献，很好地展示了国家形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，B，C 3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排一支救援队，其中甲救援队只能去B，C 2个受灾点中的一个，则不同的安排方法种数是（D）A.72B.84C.88D.100解析解法一（间接法）将5支救援队分成3组，有两种分法：3∶1∶1和2∶2∶1，再×A33＝150将这3组分配到A，B，C 3个受灾点，有A33种分配方法，故共有C53A33＋C52C32C11A22（种）安排方法，其中含有甲救援队去A受灾点的情形.当甲救援队去A受灾点时，变为余下4支救援队随机去A，B，C 3个受灾点，则A受灾点可以再去0支或1支或2支救援队，B，C受灾点均至少去1支救援队，当A受灾点再去0支救援队时，余下4支救援队分成两组（3∶1或2∶2）去B，C 2个受灾点，不同的安排方法种数为C43A22＋C42；当A受灾点再去1支救援队时，余下3支救援队只能按2∶1分组去B，C 2个受灾点，不同的安排方法种数为C41C32A22；当A受灾点再去2支救援队时，余下2支救援队只能1支去B受灾点，1支去C受灾点，不同的安排方法种数为C42A22.故满足题意的不同的安排方法种数为150－（C43A22＋C42＋C41C32A22＋C42A22）＝100.故选D.解法二（直接法）将5支救援队分成3组，有两种分法：3∶1∶1和2∶2∶1，再将这3组分配到A，B，C 3个受灾点.①按3∶1∶1分组，若甲救援队单独一组，且甲救援队去B，C 2个受灾点中的一个，则有C21C43A22种不同的安排方法；若甲救援队不单独一组，则甲救援队所在的组还需2支救援队，有C42种选法，甲救援队所在的组去B，C 2个受灾点中的一个，有C21种方法，余下的2支救援队分成两组各去一个受灾点，有A22种方法，故有C42C21A22种不同的安排方法.②按2∶2∶1分组，若甲救援队单独一组，且甲去B ，C 2个受灾点中的1个，则有C 21×C 42C 22A 22×A 22种不同的安排方法；若甲救援队不单独一组，则甲救援队所在的组还需1支救援队，有C 41种选法，甲救援队所在的组去B ，C 2个受灾点中的1个，有C 21种方法，余下的3支救援队按2∶1分成两组各去一个受灾点，有C 32A 22种方法，故有C 41C 21C 32A 22种不同的安排方法.故满足题意的不同的安排方法种数为C 21C 43A 22＋C 42C 21A 22＋C 21×C 42C 22A 22×A 22＋C 41C 21C 32A 22＝16＋24＋12＋48＝100.故选D.五、习题实战演练1.[新高考卷Ⅰ]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ C ）A.120种B.90种C.60种D.30种解析 第1步，抽1名志愿者安排到甲场馆，有C 61种安排方法；第2步，从剩下的5名志愿者中抽取2名安排到乙场馆，有C 52种安排方法；第3步，将剩下的3名志愿者安排到丙场馆.由分步乘法计数原理得，不同的安排方法共有C 61C 52＝60（种），故选C.2.[2024吉林市田家炳高级中学模拟]从A ，B ，C ，D ，E 这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A 不能安排在甲岗位上，则不同的安排方法有（ D ）A.56种B.64种C.72种D.96种解析 解法一（优先特殊元素） 根据题意可知，按A 是否入选进行分类.若A 入选，则先从乙、丙、丁3个岗位上安排1个岗位给A ，有C 31＝3（种）安排方法，再给剩下3个岗位安排人，有A 43＝24（种）安排方法，共有3×24＝72（种）安排方法. 若A 不入选，则4个人4个岗位，有A 44＝24（种）安排方法.综上，共有72＋24＝96（种）安排方法.故选D.解法二（优先特殊位置） 先安排去甲岗位的，A 不能去，其他4人中选1人，因而有C 41种安排方法，再选3人安排其他岗位，有A 43种安排方法，从而共有C 41A 43＝96（种）安排方法.故选D.3.[2024北京市第十二中学模拟]4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ D ）A.10B.20C.24D.30 解析 解法一 不考虑限制条件，将6位同学排成一排准备照相，共有A 66种排法，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有A 66A 44＝30（种）排法，故选D.解法二 插入2位同学后变成6位同学6个位置，原4位同学占4个位置，但相对顺序没变，因而有C 64种排法，再排新插入的2位同学有A 22种排法，从而共有C 64A 22＝30（种）排法，故选D.解法三 6个位置可以先排后加入的2位同学，有A 62＝30（种）排法，剩下4个位置原4位同学按原顺序排入即可，只有1种方法，因而共有30种排法，故选D.4.[2024湖南衡阳模拟]2023年春节，在北京工作的五个家庭开车搭伴一起回老家过年，若五辆车分别为A ，B ，C ，D ，E ，五辆车随机排成一列，则A 车与B 车相邻，且A 车与C 车不相邻的排法有（ A ）A.36种B.42种C.48种D.60种解析 将A 车与B 车捆在一起当成一个元素使用，有A 22种不同的捆法，将其与除C 车外的2个元素全排列，有A 33种排法，将C 车插入，不与A 车相邻，有A 31种插法，故共有A 22×A 33×A 31＝36（种）排法.故选A.5.5个小朋友站成一圈，不同的站法一共有（ D ）A.120种B.60种C.30种D.24种解析 先将5个小朋友编为1～5号，然后让他们按1～5的顺序站成一圈，这样就形成了一个圆排列.分别以1，2，3，4，5号作为开头将这个圆排列打开，就可以得到5种排列：12345，23451，34512，45123，51234.这就是说，这个圆排列对应了5个排列.因此，要求圆排列数，只需要求出全排列数再除以5就可以了，即这些小朋友不同的站法一共有A 555＝A 44＝24（种），故选D.6.[多选]下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（ ABD ）A.（n ＋1）A n m ＝A n+1m+1B.m C n m ＝n C n －1m －1C.C n m ＝A n m n ！D.1n －m A n m+1＝A n m解析 对于A ，（n ＋1）A n m ＝（n ＋1）n （n －1）…（n －m ＋1）＝A n+1m+1，故A 正确；对于B ，C n －1m －1＝（n －1)!（m －1)!(n －m)!，C n m ＝n ！m!(n －m)!＝n ·（n －1)!m ·（m －1)!(n －m)!＝n m ·（n －1)!（m －1)!(n －m)!＝n m ·C n －1m －1，所以m C n m ＝n Cn －1m －1，故B 正确；对于C ，C n m ＝A n m A m m ＝A n m m ！，故C 错误；对于D ，1n －m A n m+1＝1n －m ·n （n －1）·…·（n －m ）＝n （n －1）…（n －m ＋1）＝A n m ，故D 正确.故选ABD.7.[多选/2024湖南湘潭联考]从10名男生和8名女生中选出3人去参加创新大赛，则至少有1名女生的选法种数为（ AC ）A.C 183－C 103B.C 81C 172C.C 81C 102＋C 82C 101＋C 83D.C 102C 81＋C 101C 82解析 对于A ，从18名学生中选取3人，有C 183种不同的选法，从18名学生中选取3人，选的都是男生有C 103种不同的选法，所以至少有1名女生的选法有C 183－C 103＝696（种），A正确；对于B ，C 81C 172＝1 088≠696，故B 错误；对于C ，至少有1名女生的选法有三种情况：1名女生，2名女生，3名女生，所以至少有1名女生的选法有C 81C 102＋C 82C 101＋C 83＝360＋280＋56＝696（种），C 正确；对于D ，C 102C 81＋C 101C 82＝360＋280＝640≠696，故D 错误.8.[2024上海市华东师范大学第二附属中学质检]7个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有 15 种不同的分配方法（用数字作答）.解析 7个志愿者的名额分配给3个班，每班至少一个名额，其实就是在7个志愿者的名额产生的6个空位中插入2个“档板”，共有C 62＝15（种）不同的分配方法.9.高考期间，为保证考生能够顺利进入某考点，交管部门将6名交警分配到该考点周边3个不同路口疏导交通，每个路口2人，则不同的分配方法共有 90 种.解析 根据题意，分两步进行分析.第一步，将6名交警分成“2，2，2”的三组，有C 62C 42C 22A 33＝15（种）分组方法；第二步，将分好的三组全排列，对应3个路口，有A 33＝6（种）情况，则共有15×6＝90（种）分配方法.10.某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是 20 （用数字作答）.解析 解法一（特殊元素优先法） 丙、丁相邻且顺序固定，故将其视为1个元素，记为丙丁，则6项工程可视为5个元素.分成两步来完成：第一步，从5个位置中选择3个位置排列甲、乙、丙丁这3个特殊元素，又甲、乙、丙丁的相对顺序固定，故不同的排法有C 53＝10（种）；第二步，将余下的2项工程任意排列到剩下的2个空位置上，不同的排法有A 22＝2（种）.由分步乘法计数原理，可知不同排法共有10×2＝20（种）.解法二（插空法） 分成两步来完成：第一步，将相对顺序固定的甲、乙、丙、丁排列好，丙、丁相邻且顺序固定，从而形成3个特殊元素（丙、丁视为1个元素），共有1种排法；第二步，将余下的2项工程逐个插入，排法共有C 41C 51＝20（种）.根据分步乘法计数原理，安排这6项工程的不同排法共有1×20＝20（种）.解法三 丙、丁相邻且顺序固定，故将其视为1个元素，记为丙丁，其余4项工程各视为1个元素.对5个元素全排列，共有A 55种排法.其中，甲、乙、丙丁这3个特殊元素的位置共有A 33种不同的排法，而符合要求的甲、乙、丙丁的排法仅有1种，所以安排这6项工程的不同排法共有A 55A 33＝20（种）.。
高三数学第一轮复习教案讲义排列、组合、二项式定理复习资料
高三新数学第一轮复习教案—排列、组合、二项式定理一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。
排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。
考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。
三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。
3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系m n A =)!(!m n n =n ·(n －1)…(n －m+1)；（3）全排列列：n n A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：C n m =)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ； （3）组合数的性质①C n m =C n n-m；②r n r n r n C C C 11+-=+；③rC n r =n ·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n ；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)n C n n =0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k +…+C n n b n ；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k ；6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。
高三数学第一轮复习：高三理科数学排列组合总复习教学案
高三数学第一轮复习：高三理科数学排列组合总复习教学案高三数学第一轮复习：高三理科数学排列组合总复习教学案第十二章排列组合、二项式定理、概率高考导航考试要求重难点击命题展望排列、组合1.理解并运用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3.能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 本章重点：排列、组合的意义及其计算方法，二项式定理的应用. 本章难点：用二项式定理解决与二项展开式有关的问题. 排列组合是学习概率的基础，其核心是两个基本原理.高考中着重考查两个基本原理，排列组合的概念及二项式定理.随机事件的概率 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式和相互独立事件同时发生的概率乘法公式；3.理解古典概型及其概率计算公式；会计算一些随机事件所包含的基本事件的个数及事件发生的概率；4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，了解几何概型的意义. 本章重点：1.随机事件、互斥事件及概率的意义，并会计算互斥事件的概率；2.古典概型、几何概型的概率计算.本章难点：1.互斥事件的判断及互斥事件概率加法公式的应用；2.可以转化为几何概型求概率的问题. 本部分要求考生能从集合的思想观点认识事件、互斥事件与对立事件，进而理解概率的性质、公式，还要求考生了解几何概型与随机数的意义.在高考中注重考查基础知识和基本方法的同时，还常考查分类与整合，或然与必然的数学思想方法，逻辑思维能力以及运用概率知识解决实际问题的能力.离散型随机变量 1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用；3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题；4.理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；5.利用实际问题的直方图，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 本章重点：1.离散型随机变量及其分布列；2.独立重复试验的模型及二项分布.本章难点：1.利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题；2.正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 求随机变量的分布列与期望，以及在此基础上进行统计分析是近几年来较稳定的高考命题态势.考生应注重对特殊分布(如二项分布、超几何分布)的理解和对事件的意义的理解.知识网络12.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理典例精析题型一分类加法计数原理的应用在1到20这20个整数中，任取两个数相加，使其和大于20，共有种取法.当一个加数是1时，另一个加数只能是20，有1种取法；当一个加数是2时，另一个加数可以是19,20，有2种取法；当一个加数是3时，另一个加数可以是18,19,20，有3种取法；……当一个加数是10时，另一个加数可以是11,12，…，19,20，有10种取法；当一个加数是11时，另一个加数可以是12,13，…，19,20，有9种取法；……当一个加数是19时，另一个加数只能是20，有1种取法.由分类加法计数原理可得共有1＋2＋3＋…＋10＋9＋8＋…＋1＝100种取法.采用列举法分类，先确定一个加数，再利用“和大于20”确定另一个加数.【变式训练1】(20XX年济南市模拟)从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A.3 B.4 C.6 D.8当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为32时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为12、13、23时，也有4个.故选D.题型二分步乘法计数原理的应用从6人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览，要求每个旅游景点只有一人游览，每人只游览一个旅游景点，且6个人中甲、乙两人不去张家界游览，则不同的选择方案共有种.能去张家界的有4人，依此能去韶山、衡山、桃花源的有5人、4人、3人.则由分步乘法计数原理得不同的选择方案有4×5×4×3＝240种.根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步之间既不能重复也不能遗漏.【变式训练2】(20XX年湘潭市调研)要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，现有5人，每人可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一人值班，问此值班表共有种不同的排法.依题意，值班表须一天一天分步完成.第一天有5人可选有5种方法，第二天不能用第一天的人有4种方法，同理第三天、第四天、第五天也都有4种方法，由分步乘法计数原理共有5×4×4×4×4＝1 280种方法.题型三分类和分步计数原理综合应用(20XX年长郡中学)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有.方法一：由题意知，有且仅有两个区域涂相同的颜色，分为4类：1与5同；2与5同；3与5同；1与3同.对于每一类有A44种涂法，共有4A44＝96种方法.方法二：第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法(此前三步已经用去三种颜色)；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法.所以，不同的涂色种数有4×3×2×(1×1＋1×3)＝96种.染色问题是排列组合中的一类难题.本题能运用两个基本原理求解，要注意的是分类中有分步，分步后有分类.【变式训练3】(20XX 年深圳市调研)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)小正方形所涂颜色都不相同，且1,5,9号小正方形涂相同颜色，则符合条件的所有涂法有多少种？第一步，从三种颜色中选一种颜色涂1,5,9号有C13种涂法；第二步，涂2,3,6号，若2,6同色，有4种涂法，若2,6不同色，有2种涂法，故共有6种涂法；第三步，涂4,7,8号，同第二步，共有6种涂法.由分步乘法原理知共有3×6×6＝108种涂法.提高分类加法计数原理和分步乘法计数原理回答的都是完成一件事有多少种不同方法或种数的问题，其区别在于：分类加法计数原理是完成一件事要分若干类，类与类之间要互斥，用任何一类中的任何一种方法都可以独立完成这件事；分步乘法计数原理是完成一件事要分若干步，步骤之间相互独立，各个步骤相互依存，缺少其中任何一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都完成之后，才能完成该事件.因此，分清完成一件事的方法是分类还是分步，是正确使用这两个基本计数原理的基础.12.2排列与组合典例精析题型一排列数与组合数的计算计算：(1)8！＋A66A28－A410；(2) C33＋C34＋…＋C310.(1)原式＝8×7×6×5×4×3×2×1＋6×5×4×3×2×18×7－10×9×8×7＝57×6×5×4×3×256×(－89)＝－5 *****.(2)原式＝C44＋C34＋C35＋…＋C310＝C45＋C35＋…＋C310＝C46＋C36＋…＋C310＝C411＝330.在使用排列数公式Amn＝n！(n－m)！进行计算时，要注意公式成立的条件：m，n∈N+，m≤n.另外，应注意组合数的性质的灵活运用.【变式训练1】解不等式＞6 .原不等式即9！(9－x)！＞6×9！(11－x)！，也就是1(9－x)！＞，化简得x2－21x ＋104＞0，解得x＜8或x＞13，又因为2≤x≤9，且x∈N*，所以原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}.题型二有限制条件的排列问题3男3女共6个同学排成一行.(1)女生都排在一起，有多少种排法？(2)女生与男生相间，有多少种排法？(3)任何两个男生都不相邻，有多少种排法？(4)3名男生不排在一起，有多少种排法？(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？(1)将3名女生看作一人，就是4个元素的全排列，有A44种排法.又3名女生内部可有A33种排法，所以共有A44-A33＝144种排法.(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，所以女生与男生相间共有2A33-A33＝72种排法.(3)女生先排，女生之间及首尾共有4个空隙，任取其中3个安插男生即可，因而任何两个男生都不相邻的排法共有A33-A34＝144种.(4)直接分类较复杂，可用间接法.即从6个人的排列总数中，减去3名男生排在一起的排法种数，得3名男生不排在一起的排法种数为A66－A33A44＝576种.(5)先将2个女生排在男生甲、乙之间，有A23种排法.又甲、乙之间还有A22种排法.这样就有A23-A22种排法.然后把他们4人看成一个元素(相当于一个男生)，这一元素及另1名男生排在首尾，有A22种排法.最后将余下的女生排在其间，有1种排法.故总排法为A23A22A22＝24种.排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题，在分析时，主要按照“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插空法”.对于直接考虑较困难的问题，可以采用间接法.【变式训练2】把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列.(1)43 251是这个数列的第几项？(2)这个数列的第97项是多少？(1)不大于43 251的五位数A55－(A44＋A33＋A22)＝88个，即为此数列的第88项.(2)此数列共有120项，而以5开头的五位数恰好有A44＝24个，所以以5开头的五位数中最小的一个就是该数列的第97项，即51 234.题型三有限制条件的组合问题要从12人中选出5人去参加一项活动.(1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法？(2)A，B，C三人都不能入选有多少种不同选法？(3)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法？(4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法？(5)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法？(1)只须从A，B，C之外的9人中选择2人，C29＝36种不同选法.(2)由A，B，C三人都不能入选只须从余下9人中选择5人，即有C59＝C49＝126种选法.(3)可分两步，先从A，B，C 三人中选出1人，有C13种选法，再从余下的9人中选4人，有C49种选法，所以共有C13-C49＝378种选法.(4)可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C59，共有C512－C59＝666种选法.(5)可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都入选的情况C29种，所以共有C512－C29＝756种选法.遇到至多、至少的有关计数问题，可以用间接法求解.对于有限制条件的问题，一般要根据特殊元素分类.【变式训练3】四面体的顶点和各棱中点共有10个点.(1)在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？(2)在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法？(1)四个点共面的取法可分三类.第一类：在同一个面上取，共有4C46种；第二类：在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有6种；第三类：在六条棱的六个中点中取，取两对对棱的4个中点，共有C23＝3种.故有69种.(2)用间接法.共C410－69＝141种.总结提高解有条件限制的排列与组合问题的思路：(1)正确选择原理，确定分类或分步计数；(2)特殊元素、特殊位置优先考虑；(3)再考虑其余元素或其余位置.12.3 二项式定理典例精析题型一二项展开式的通项公式及应用已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.(1)求证：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有的有理项. 由题意得2C1n- ＝1＋C2n-( )2，即n2－9n＋8＝0，所以n＝8，n＝1(舍去).所以Tr ＋1＝-( ) - ＝(－)r- - - ＝(－1)r- - (0≤r≤8，r∈Z).(1)若Tr＋1是常数项，则16－3r4＝0，即16－3r＝0，因为r∈Z，这不可能，所以展开式中没有常数项.(2)若Tr＋1是有理项，当且仅当16－3r4为整数，又0≤r≤8，r∈Z，所以r＝0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是T1＝x4，T5＝358 x，T9＝1256 x-2.(1)把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键.除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质；(2)应用通项公式求二项展开式的特定项，如求某一项，含x某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是应用通项公式根据题意列方程，在求得n或r后，再求所需的项(要注意n和r的数值范围及大小关系)；(3) 注意区分展开式“第r＋1项的二项式系数”与“第r＋1项的系数”.【变式训练1】若(xx＋)n的展开式的前3项系数和为129，则这个展开式中是否含有常数项，一次项？如果有，求出该项，如果没有，请说明理由.由题知C0n＋C1n-2＋C2n-22＝129，所以n＝8，所以通项为Tr＋1＝Cr8(xx)8-r ＝，故r＝6时，T7＝26C28x＝1 792x，所以不存在常数项，而存在一次项，为1 792x.题型二运用赋值法求值(1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，则n＝；(2)已知(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若5a1＋2a2＝0，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝.(1)易知an＝1，令x＝0得a0＝n，所以a0＋a1＋…＋an＝30.又令x＝1，有2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋…＋an＝30，即2n＋1－2＝30，所以n＝4.(2)由二项式定理得，a1＝－C1n＝－n，a2＝C2n＝n(n－1)2，代入已知得－5n ＋n(n－1)＝0，所以n＝6，令x＝－1得(1＋1)6＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝64.运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些特殊值代入构造相应的结构.【变式训练2】设(3x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7＋a8x8.求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值.令f(x)＝(3x－1)8，因为f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＋a8＝48，所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝f(1)＋f(－1)2＝27×(1＋28).题型三二项式定理的综合应用求证：4×6n＋5 n＋1－9能被20整除.4×6n＋5n＋1－9＝4(6n－1)＋5(5n－1)＝4[(5＋1)n－1]＋5[(4＋1)n－1]＝20[(5n－1＋C1n5n－2＋…＋Cn－1n)＋(4n－1＋C1n4n－2＋…＋Cn－1n)]，是20的倍数，所以4×6n ＋5n＋1－9能被20整除.用二项式定理证明整除问题时，首先需注意(a＋b)n中，a，b中有一个是除数的倍数；其次展开式有什么规律，余项是什么，必须清楚.【变式训练3】求0.9986的近似值，使误差小于0.001.0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)1＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6.因为T3＝C26(－0.002)2＝15×(－0.002)2＝0.000 06＜0.001，且第3项以后的绝对值都小于0.001，所以从第3项起，以后的项都可以忽略不计.所以0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝1－0.012＝0.988.总结提高 1.利用通项公式可求展开式中某些特定项(如常数项、有理项、二项式系数最大项等)，解决这些问题通常采用待定系数法，运用通项公式写出待定式，再根据待定项的要求写出n、r满足的条件，求出n和r，再确定所需的项；2.赋值法是解决二项展开式的系数和、差问题的一个重要手段；3.利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理的变形，使得二项展开式的每一项都成为除数的倍数.对于余数问题，要注意余数的取值范围.12.4随机事件的概率与概率的基本性质典例精析题型一频率与概率某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示.抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000优等品数m 45 92 194 470 954 1 902优等品频率(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)(1)依据公式，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取的球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率为0.950.从表中所给的数据可以看出，当所抽乒乓球较少时，优等品的频率波动很大，但当抽取的球数很大时，频率基本稳定在0.95，在其附近摆动，利用概率的统计定义，可估计该批乒乓球的优等率.【变式训练1】某篮球运动员在最近几场比赛中罚球的结果如下.投篮次数n 8 10 12 9 10 16进球次数m 6 8 9 7 7 12进球频率(1)计算表中进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？(1)由公式计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为：(2)由(1)知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总在附近摆动，可知该运动员进球的概率为 .题型二随机事件间的关系从一副桥牌(52张)中任取1张.判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”.(1)是互斥事件但不是对立事件.因为“抽出红桃”与“抽出黑桃”在仅取一张时不可能同时发生，因而是互斥的.同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能抽出“方块”或“梅花”，因此两者不对立.(2)是互斥事件又是对立事件.因为两者不可同时发生，但其中必有一个发生.(3)不是互斥事件，更不是对立事件.因为“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”这两个事件有可能同时发生，如抽得12.要区分互斥事件和对立事件的定义.【变式训练2】抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为()A.至多两件次品 B.至多一件次品C.至多两件正品 D.至少两件正品根据对立事件的定义得选项 B.题型三概率概念的应用甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为，85分以下为非优秀，统计后，得到如下列联表.优秀非优秀总计甲10 乙30 总计105已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为 .(1)请完成上面列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”(参考数据P(K2＞6.635)＝0.05)；(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10人按2到11进行编号，然后两次掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的编号.试求抽到6号或10号的概率.(1)优秀非优秀总计甲10 45 55乙20 30 50总计30 75 105(2)计算K2的一个观测值k＝＝6.109.因为6.109＜6.635，所以没有95%的把握认为成绩与班级有关.(3)记被抽取人的序号为ζ，则P(ζ＝6)＝，P(ζ＝10)＝，所以P(ζ＝6或ζ＝10)＝P(ζ＝6)＋P(ζ＝10)＝＝.本题考查概率的概念在实际生活中的应用.【变式训练3】袋内有35个球，每个球上都记有从1~35中的一个号码，设号码为n的球的重量为－5n＋20克，这些球以等可能性从袋里取出(不受重量、号码的影响).(1)如果取出1球，试求其重量比号码数大5的概率；(2)如果任意取出2球，试求它们重量相等的概率.(1)由不等式－5n＋20＞n＋5，得n＞15或n＜3，由题意知n＝1,2或者n＝16,17，…，35，于是所求概率为 .(2)设第n号和第m号的两个球的重量相等，其中n ＜m，则有－5n＋20＝－5m＋20，所以(n－m)(n＋m－15)＝0.因为n≠m，所以n＋m＝15，所以(n，m)＝(1,14)，(2,13)，…，(7,8).故所求概率为 .总结提高1.对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件.集合A 的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪ ＝U，A∩ ＝ .对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.事件A、B的和记作A＋B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A＋B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的.当计算事件A的概率P(A)比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P(A)＝1－P( ).2.若A与B互相独立，则与，A与，与B都是相互独立事件.判断A与B是否独立的方法是看P(AB)＝P(A)-P(B)是否成立.12.5古典概型典例精析题型一古典概率模型的计算问题一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)，轿车A 轿车B 轿车C舒适型100 150 z标准型300 450 600现按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类10辆.(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本视为一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2把这8辆车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.(1)依题意知，从每层抽取的比率为140，从而轿车的总数为50×40＝2 000辆，所以z＝2 000－100－150－300－450－600＝400.(2)由(1)知C类轿车共1 000辆，又样本容量为5，故抽取的比率为1200，即5辆轿车中有2辆舒适型、3辆标准型，任取2辆，一共有n＝10种不同取法，记事件A：至少有1辆舒适型轿车，则事件表示抽取到2辆标准型轿车，有m′＝3种不同取法，从而事件A包含：基本事件数为m＝7种，所以P(A)＝710.(3)样本平均数＝18×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.0，记事件B：从样本中任取一数，该数与样本平均数的绝对值不超过0.5，则事件B包含的基本事件有6种，所以P(B)＝68＝34.。
高三数学大一轮复习 10.2排列与组合教案 理 新人教A版
§10.2排列与组合2014高考会这样考 1.考查排列、组合的概念及其公式的推导；2.考查排列、组合的应用．复习备考要这样做 1.熟练掌握排列、组合公式，理解二者的差异；2.掌握一些排列、组合常见问题的解法．1．排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！n－m！，这里规定0！＝1.2．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！n－m！＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！，由于0！＝1，所以C 0n ＝1. (4)组合数的性质：①C m n ＝C n －m n __；②C m n ＋1＝C m n __＋C m －1n __.[难点正本 疑点清源]1． 排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．2． 求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”1． 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．答案 14解析 ①有1名女生：C 12C 34＝8.②有2名女生：C 22C 24＝6.∴不同的选派方案有8＋6＝14(种)．2． 5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种．(用数字作答)答案 72解析 依题意得满足题意的排法共有A 55－A 22A 44＝72.3． (2012·大纲全国)将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 ( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种答案A解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．4．用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A．8 B．24 C．48D．120答案C解析分两步：(1)先排个位有A12种排法．(2)再排前三位有A34种排法，故共有A12A34＝48种排法．5．(2012·浙江)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种B．63种C．65种D．66种答案D解析满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C25·C24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．题型一排列问题例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间．思维启迪：这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑)．解(1)方法一(元素分析法)先排甲有6种，其余有A88种，故共有6·A88＝241 920(种)排法．方法二(位置分析法)中间和两端有A38种排法，包括甲在内的其余6人有A66种排法，故共有A38·A66＝336×720＝241 920(种)排法．方法三(等机会法)9个人的全排列数有A99种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A99×69＝241920(种)．方法四(间接法)A99－3·A88＝6A88＝241 920(种)．(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A22·A77＝10 080(种)排法．(3)(插空法)先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2 880(种)排法．探究提高本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路．用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数？解本题可分两类：第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为A44＝24；第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，这一步有A13＝3种方法．又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，这一步有方法A13＝3(种)．十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，这一步有方法A33＝6(种)．根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为A13·A13·A33＝54.由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有24＋54＝78(个)．题型二组合问题例2从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数．(1)A ，B 必须当选；(2)A ，B 不全当选.思维启迪：可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法． 解 (1)由于A ，B 必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，有C 310＝120(种)．(2)全部选法有C 512种，A ，B 全当选有C 310种，故A ，B 不全当选有C 512－C 310＝672(种)．探究提高 组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．正方体六个表面的中心所确定的直线中，异面直线共有多少对？解 根据图形结构的对称性，对每一条边，与其异面的边有4个，共有12×42＝24对异面直线；每一条边与相对顶点连线中的1条异面，共有12对异面直线．综上，共有24＋12＝36对异面直线．题型三 排列与组合的综合应用问题例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？思维启迪：把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空．解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13×A22＝144(种)．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C24种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C34C11A22种方法；第二类有序均匀分组有C24C22A22·A22种方法．故共有C24(C34C11A22＋C24C22A22·A22)＝84(种)．探究提高排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．(1)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有( )A．72种B．96种C．108种D．120种(2)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 ( )A．18 B．24 C．30 D．36答案(1)B (2)C解析(1)若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有3A44＝72种涂色法；若1,3同色，有C14C13A22＝24种涂色法．根据分类加法计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法．(2)排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C24＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A33＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A33＝6种，所以共有C24A33－A33＝30种分法．排列、组合问题计算重、漏致误典例：(5分)有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种．易错分析易犯错误如下：先从一等品中取1个，有C116种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C219种不同取法，共有C116×C219＝2 736种不同取法．上述做法使两次取的一等品有了先后顺序，导致取法重复．解析方法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理有：C116C24＋C216C14＋C316＝1 136(种)．方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C320－C34＝1 136(种)．答案 1 136温馨提醒(1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题．(2)“至少、至多型”问题不能利用分步乘法计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解.方法与技巧1．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．2．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．失误与防范1．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．2．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．3．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为 ( )A．C27A55B．C27A22C．C27A25D．C27A35答案C解析从后排抽2人的方法种数是C27；前排的排列方法种数是A25.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C27A25.2．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A．36种B．42种C．48种D．54种答案B解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C13种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C13A33种排法．依分类加法计数原理，知共有A44＋C13A33＝42(种)编排方案．3．(2012·课标全国)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( )A．12种B．10种C．9种D．8种答案A解析分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．4．(2012·北京)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18 C．12D．6答案B解析根据所选偶数为0和2分类讨论求解．当选0时，先从1,3,5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C12种方法，剩余1个数字排在首位，共有C23C12＝6(种)方法；当选2时，先从1,3,5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C12种方法，其余2个数字全排列，共有C23C12A22＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数．二、填空题(每小题5分，共15分)5．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有________种．答案60解析可先排C、D、E三人，共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理知满足条件的排法共有A35＝60(种)．6．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个．答案324解析分两大类：(1)四位数中如果有0，这时0一定排在个、十、百位的任一位上，这时，另两位上数字又有两种情况：①可以全是偶数；②可以全是奇数．故此时共有C23A33C14＋C23A33C14＝144(个)．(2)四位数中如果没有0，这时后三位可以全是偶数，或两奇一偶，此时共有A33C13＋C23C13A33C13＝180(个)．故符合题意的四位数共有：144＋180＝324(个)．7． 5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．答案48解析①只有1名老队员的排法有C12C23A33＝36(种)．②有2名老队员的排法有C22C13C12A22＝12(种)．所以共有48种．三、解答题(共22分)8． (10分)有2个a,3个b,4个c共9个字母排成一排，共有多少种排法？解因为a与a，b与b，c与c无区别，所以排法取决于9个位置中哪几个排a，哪几个排b，剩下的再排c，故共有C29C37C44＝1 260种不同的排法．9． (12分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C518＝8 568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C12C418＋C318＝6 936(种)；(4)方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C112C48＋C212C38＋C312C28＋C412C18＝14 656(种)．方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!答案C解析把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．2．(2012·陕西)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 ( )A．10种B．15种C．20种D．30种答案C解析由题意知比赛场数至少为3场，至多为5场．当为3场时，情况为甲或乙连赢3场，共2种．当为4场时，若甲赢，则前3场中甲赢2场，最后一场甲赢，共有C23＝3(种)情况；同理，若乙赢也有3种情况．共有6种情况．当为5场时，前4场，甲、乙各赢2场，最后1场胜出的人赢，共有2C24＝12(种)情况．由上综合知，共有20种情况．3．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有( )A．1 260种B．2 025种C．2 520种D．5 040种答案C解析第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C210种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C18种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C17种选派方法．根据分步乘法计数原理易得选派方法种数为C210·C18·C17＝2 520.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法种数是________．答案288解析记三名男生为甲、乙、丙，三名女生为a、b、c，先排男生，若甲在两端有4种排法，然后3位女生去插空，排法如ab 甲丙c乙共有4A23A12A13种，若男生甲排在中间，有两种排法，然后女生去插空，排法如ab乙甲c丙共有2A23A24种排法．根据分类加法计数原理共有4A23A12A13＋2A23A24＝288(种)不同排法．5．用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的6位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．答案40解析第一步将3,4,5,6按奇偶相间排成一列，共有2×A22×A22＝8(种)排法；第二步再将1,2捆绑插入4个数字产生的5个空位中，共有A15＝5(种)插法，插入时需满足条件相邻数字的奇偶性不同，1,2的排法由已排4个数的奇偶性确定．∴不同的排法有8×5＝40(种)，即这样的六位数有40个．6．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________．答案180解析设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C14种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有C24A33种方法，这时共有C14C24A33种参加方法；(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C24种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A33种方法，这时共有C24A33种参加方法；综合(1)(2)，共有C14C24A33＋C24A33＝180(种)参加方法．三、解答题7． (13分)男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员．解(1)第一步：选3名男运动员，有C36种选法，第二步：选2名女运动员，有C24种选法，故共有C36·C24＝120种选法．(2)方法一(直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理知共有C14·C46＋C24·C36＋C34·C26＋C44·C16＝246种选法．方法二(间接法)，不考虑条件，从10人中任选5人，有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种，故“至少有1名女运动员”的选法有C510－C56＝246(种)．(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C49种选法，不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，故不选女队长时共有C48－C45种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种)．。
高考一轮复习教案十二(2)排列与组合的基本方法(教师)文科用
模块： 十二、排列组合、二项式定理、概率统计课题： 2、排列与组合的基本方法教学目标： 理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，掌握组合数的性质． 通过应用排列数与组合数的计算公式以及两个计数原理，解决简单的计数问题，掌握化归、枚举、分类讨论等数学思想和方法，提高逻辑思维能力以及分析问题、解决问题的能力．重难点： 在解决综性问题分类时，保证不重复、不遗漏的原则．一、 知识要点1、排列的定义：从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2、排列数：从n 个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，用符号m n P 表示3、组合的定义：从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.4、组合数：从n 个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，用符号m n C 表示.5、公式与性质：（1）排列数组合数(1)(2)(1)m n p n n n n m =---+ (1)(2)(1)!m mn n m m p n n n n m C p m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=（,,m n N m n *∈≤） （2）全排列数：(1)(2)21!n n p n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）规定0!1=．（3）排列数的另一个计算公式：m n p =!()!n n m - （4）组合数的性质1：m n n m n C C -=（5）组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C二、 例题精讲例1、有编号为1、2、…10的10盏路灯，为节约用电将其中3盏灯熄灭，但不能熄灭相邻的2盏灯，而两端却不能熄灭，问有几种不同的熄灭方法?答案：20例2、平面上有7个点，其中有且仅有三点共线，则一共可以连成________条不同的线． 答案：19例3、8个人排成一排，若甲、乙两人之间必须有3个人，则不同的排法有_________种．答案：5760例4、若用1，2，3，4，5这五个数字，组成比20000大，并且百位数不是3的没有重复的五位数，那么这样的五位数个数为_____________个．答案：78例5、从1，2，3，4，6，8，9中取两个不同数作为对数的真数与底数，共得_________个不同的对数值．答案：27例6、分别求出符合下列要求的不同排法的种数（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；（2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3）从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（4）6人排成一排，甲、乙必须相邻；（5）6人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）．答案：（1）720；（2）480；（3）252；（4）240；（5）480；（6）120种．例7、假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品．答案：（1）64446024种；（2）442320种；（3）446976种．例8、求证：①111m m m n n n P mP P ---+= ；②12112++-+=++m n m n m n m n C C C C证明：略．例9、四面体的顶点和各棱的中点共10个点（1）设一个顶点为A ，从其他9点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有多少种？ （2）在这10点中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？答案：（1）33种；（2）141种．三、 课堂练习1、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有__5____种方法答案：52、 有三名学生分配到四个车间去参加劳动，共有_______64________种不同的分法． 答案：643、以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数有_____58_________个．答案：584、5样不同的玩具分给4个小孩，每人都有，共有_____240______种不同的分法． 答案：2405、4名教师、6名学生站于一排照相，教师互不相邻，则有___604800___种不同的站法． 答案：6048006、从1，2，3，5，7这五个数字中任取两个分别作为对数的底和真数，则共能组成不同的对数____13___________个．答案：13四、 课后作业一、填空题1、由0，3，5，7，9这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个_______． 答案：212、学校召开学生代表大会，高二年级的3个班共选6名代表，每班至少1名，代表的名额分配方案种数是______________．答案：103、从3名男工和7名女工中选派2男3女去做5项不同的工作，若每人各做一项，不同的选派方法有____________________种．答案：126004、从全班52名学生中选10名学生参加某项活动，如果正、副班长至少有一个在内，那么有__________种选法．答案：95.54810⨯5、4人坐在一排10个座位上，若使每人的两边都有空位，则有_______________种不同的坐法．答案：1206、象棋比赛中，2人，他们各赛了3场后，因故退出了比赛，这样，这次比赛共进行了83场，比赛开始时参赛者有__________________人答案：15二、选择题7、四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（ ）A ．8种B ．10种C ．12种D ．16种答案：C 8、五种不同商品在货架上排成一排，其中,A B 两种必须连排，而,C D 两种不能连排，则不同的排法共有（ ）A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种答案：C9、从9,5,0,1,2,3,7--七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程0ax by c ++=的系数，则倾斜角为钝角的直线共有（ ）条.A ． 14B ．30C ． 70D ．60答案：C三、解答题11、三年级4个班举行班级之间男、女排球单循环赛，问：① 男女各需比赛多少场？②组织这次比赛共需安排多少场比赛？答案：（1）6 （2）1211、（1）分队有10名歌舞演员，其中7人能唱歌，5人善跳舞，今从10人中选4人参加演出，2人唱歌，2人跳舞的选法有多少种?（2）商店的橱窗中陈列着七件不同样品，现要将其中的三件样品调换位置，另外四件位置不动，共有不同的调换方法多少种？答案：（1）163；（2）175.12、（1）10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？（2）九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？答案：（1）576；（2）602。
高考数学一轮复习学案：排列与组合学案理北师大版
第二节排列与组合［考纲传真］（教师用书独具）1.理解排列与组合的概念2理解排列数公式、组合数公式3能利用公式解决一些简单的实际问题.（对应学生用书第170页）［基础知识填充］1. 排列、组合的定义排列的定义从n个不冋兀素中取出m *n）个兀素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组2.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数疋义从n个不冋兀素中取出n）个兀素的所有排列的个数从n个不冋兀素中取出m j mc n）个兀素的所有组合的个数公式A n'= n( n —1)( n -2) •••( n - m+ 1)= n!(n- ' !m An(n- 1)( n- 2)…(n-' 1)G=AT m性质A n= n!,0!= 1m n- mG= G ,C n 十C n = 1［基本能力自测］1. （思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列.（）（2）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. （）（3）若组合式C x= C,则x = m成立.（）（4）k C n= nd】1.（）［答案］⑴X （2）V （3）X ⑷V2. （教材改编）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言（）A. 1 560 条B . 780 条 C. 1 600 条 D. 800 条A ［由题意，得毕业留言共A4G= 1 560条.］3. （2017 •全国卷H ）安排双基自主测评I 梳理自测巩匮3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A. 12 种B. 18 种C. 24 种D. 36 种D [由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安4X3排方式为C3 •C 2•A 1= 36（种），或列式为C3 •C 4 •C 2= 3X —2—X 2= 36（种）.故选D.]4. 某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A. 85B. 56C. 49D. 28C [法一（直接法）：甲、乙两人均入选，有CC2种方法，甲、乙两人只有1人入选，有C2C2种方法，由分类加法计数原理，共有dC7+ CC7= 49种选法.3法二（间接法）：从9人中选3人有C9种方法，其中甲、乙均不入选有C7种方法，所以满足条件的选排方法有C S-0= 84- 35= 49种.]5. ______________________ A, B, C, D, E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A, B可以不相邻），那么不同的排法共有种.60 [5人的全排列，B站在A的右边与A站在B的右边各占一半，所以满足条件的不同排法共1A I= 60种.](3) 法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A6种排列方法，共有5XA 6=3 600(种).法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A6种排法，其他有A种排法，共有A A U 3 600(种).(4) (捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A4种方法，再将女生全排列，有A；种方法，共有A4・A4= 576(种).(5) (插空法)先排女生，有A4种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A5种方法，共有A4 1 440(种).［跟踪训练］(1)在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问试验顺序的编排方法共有( )A. 34 种B. 48 种C. 96 种D. 144 种(2) (2017 •北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有__________ 种.(1) C (2) 36 ［(1)程序A的顺序有A2= 2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有A A4= 48种结果，由分步乘法计数原理，试验编排共有2X48= 96种方法.(2) 记其余两种产品为D, E, A B相邻视为一个元素，先与D, E排列，有A A；种方法•再将C插入，仅有3个空位可选，共有A2A；C3= 2X 6X 3= 36种不同的摆法.］■川某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长.现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1) 只有一名女生当选；(2) 两队长当选；(3) 至少有一名队长当选；(4) 至多有两名女生当选.［解］(1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选•故共有(C• C4= 350 种.(2) 两队长当选，共有c2・C i= 165种.(3) 至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选.故共有CL C1+ cT Cu 825种.(或采用排除法：理一C?1= 825(种)).(4) 至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选.故选法共有C・C+ c5 •Cs + C8= 966种.［规律方法］组合问题的常见类型与处理方法1 '‘含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取2 "至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解•［跟踪训练］~~(1)(2018 •银川质检)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生选考方法种数共有()【导学号：79140342】A. 6B. 12C. 18D. 24(2)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A. 60 种B. 63 种C. 65 种D. 66 种(1) C (2)D ［(1)法一：所有选考方法可分两类：第一类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选一科有C3种不同的选法，第二步，考生从政治、历史、地理三科中任选二科有C3种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有C3C3种不同的选法；第二类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选二科有C3种不同的选法，第二步，从政治、历史、地理三科中任选一科有C种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有种不同的选法•根据分类加法计数原理，考生共有CC + C3d= 18种不同的选考方法，故选 c.法二：依题意，考生共有C6- 2C3= 18种不同的选考方法，故选 c.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，所以不同的取法共有c5+ c4+ C5C4= 66种.]'■■'I(1)从0,123,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A. 300B. 216C. 180D. 162(2)(2017 •江南名校联考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有()A. 240 种B. 180 种C. 150 种D. 540 种(1) C (2)C [(1)分两类：第1类，不取0，即从1,2,3,4,5 中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C3CA4= 72个没有重复数字的四位数；第2类，取0,此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C2d(A4 —A3) = 108个没有重复数字的四位数.根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72 + 108= 180(个).(2) 5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式.当5名学生分成2,2,1时，共有1C l C3A3= 90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有C3A3=60种方法.由分类加法计数原理知共有90 + 60= 150种保送方法.][ 跟踪训练] (1)( 东北三省四市模拟(一)) 哈市某公司有五个不同部门，现有4 名在校大学生来该公司实习．要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为( )【导学号：79140343 】A．40 B．60 C．120 D．240(2)(2017 •浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，畐U队长1人，普通队员2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 __________________ 种不同的选法．( 用数字作答)2(1) B (2) 660 [从五个不同部门选取两个部门有C2种选法，将4名大学生分别安排在这两个部门有C4C2种方法，所以不同的安排方案有&丘&= 60种，故选B.(2) 法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C2种方法；再选3名男生，有C3种方法；然后排队长、副队长位置，有A2种方法•由分步乘法计数原理，知共有Q C6A4= 480( 种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C2种方法；然后排队长、畐U队长位置，有A2种方法.由分步乘法计数原理，知共有C6A4= 180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知共有480+ 180 = 660(种)不同的选法.法二：不考虑限制条件，共有A^C l种不同的选法，而没有女生的选法有AC2种，故至少有1名女生的选法有A8C2- A6C4= 840- 180 = 660(种).]（对应学生用书第171页）排列问题■-* 1有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻.[解]（1）从7人中选5人排列，有A7= 7X 6X 5X 4X 3= 2 520（种）.（2）分两步完成，先选3人站前排，有A7种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A ・A：= 5 040（种）.。
高三理科数学复习教案：排列组合总复习教学案
高三理科数学复习教案：排列组合总复习教学案
【摘要】欢迎来到高三数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。
因此小编在此为您编辑了此文：“高三理科数学复习教案：排列组合总复习教学案”希望能为您的提供到帮助。
本文题目：高三理科数学复习教案：排列组合总复习教学案
高考导航
考试要求重难点击命题展望
排列
、
组合 1.理解并运用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题;
2.理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题;
3.能用计数原理证明二项式定理; 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 本章重点：排列、组合的意义及其计算方法，二项式定理的。
2020高考数学理科大一轮复习导学案《排列与组合》
第二节排列与组合知识点一排列1．排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．3．排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．4．全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝1.1．从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(C)A．6 B．8C ．12D ．16解析：由于lg a －lg b ＝lg ab ，从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a 和b 共有A 24＝12种，所以得到不同的值有12个．2．方程3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x 的解为5.解析：由排列数公式可知3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)，∵x ≥3且x ∈N *，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23(舍去)，∴x ＝5. 知识点二 组合1．组合的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．2．组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用C m n 表示．3．组合数的计算公式：Cmn＝A m nA m m＝n ！m ！(n －m )！＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！，由于0！＝1，所以C 0n ＝1.3．(2019·沈阳市教学质量监测)若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有(B) A．4种B．8种C．12种D．24种解析：将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C14种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C14×2＝8种站法，故选B.4．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有16种．(用数字填写答案)解析：解法1：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C12C24＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C22C14＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种．解法2：从6人中任选3人，不同的选法有C36＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C34＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)．5．将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里，使得每个小盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有91种．(用数字作答)解析：分类即可，共有C27＋C37＋C47＝21＋35＋35＝91(种)放法．1．排列有顺序，组合无顺序．2．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．注意两个优先：(1)特殊元素优先．(2)特殊位置优先．即先考虑特殊的元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．3．对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.考向一排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．【解】(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种)．(3)解法1：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．解法2：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．求解排列应用问题的主要方法(1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(B)A．192种B．216种C．240种D．288种(2)把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．解析：(1)第一类：甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类：乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法．(2)记其余两种产品为D，E.A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有A22A33种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有A22A33C13＝2×6×3＝36种不同的摆法．考向二组合问题【例2】(1)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为()A．85 B．86C．91 D．90(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．【解析】(1)法1：(直接法)由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不入选的方法种数为：C13C24＋C23C14＋C33＝31；第2类，男生甲不入选，女生乙入选的方法种数为：C14C23＋C24C13＋C34＝34；第3类，男生甲入选，女生乙入选的方法种数为：C23＋C14C13＋C24＝21.所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.法2：(间接法)从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女生都有的选法有C49－C45－C44＝120种；男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有C47－C44＝34种．所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120－34＝86.(2)第一类，含有1张红色卡片，不同的取法C14C212＝264种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法C312－3C34＝220－12＝208种．由分类加法计数原理知，不同的取法共有264＋208＝472种．【答案】(1)B(2)472有限制条件的组合问题的解法组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理．(1)(2019·咸阳二模)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(D)A．60种B．63种C．65种D．66种(2)如图所示，要使电路接通，则5个开关不同的开闭方式有21种．解析：(1)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66(种)．(2)当第一组开关有一个接通时，电路接通有C12(C13＋C23＋C33)＝14种方式；当第一组两个都接通时，电路接通有C22(C13＋C23＋C33)＝7种方式，所以共有14＋7＝21种方式．考向三排列与组合的综合应用方向1计数问题【例3】(1)用0,3,4,5,6排成无重复数的五位数，要求偶数相邻，奇数也相邻，则这样的五位数的个数是()A．36 B．32C．24 D．20(2)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为()A．120 B．240C．360 D．480【解析】(1)偶数为0,4,6，奇数为3,5.排成五位数字时，首位数字不能为0，故可按首位数字的奇、偶分为两类：①若首位是奇数，因为3与5必须相邻，故先排这两个数，不同的排法有A22种；再排偶数，因为偶数必须相邻，这三个偶数的不同排法有A33种．根据分步乘法计数原理可知，首位为奇数的五位数有A22A33＝2×6＝12(个)．②若首位是偶数，则首位不能是0，又三个偶数必须相邻，则先排首位，即从4,6中任选一个，不同的选法有C12种；然后排其余两位，只需把剩余的两个偶数进行全排列，不同的排法有A22种．所以首位为偶数，且三位偶数相邻的不同的排法有C12A22＝2×2＝4(种)；再排两位相邻的奇数，不同的排法有A22种．故由分步乘法计数原理，可得首位为偶数的五位数有4×A22＝8(个)．由分类加法计数原理，可得这样的五位数有12＋8＝20(个)．(2)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法．【答案】(1)D(2)C方向2分组分配问题【例4】(1)将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种(2)5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有()A．150种B．180种C．200种D．280种【解析】(1)先从4名学生中选2人安排到甲地，有C24种不同的方法；再从2名教师中选1人安排到甲地，有C12种不同的方法；其余2名学生和1名教师安排到乙地只有一种方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有C24C12＝12种，故选A.(2)依题意5个人分配到3个学校且每校至少去一个人，因此可将5人按人数分成1,2,2与1,1,3两种，当人数是1,2,2时有C 15C 24C 22A 22×A 33＝90(种)． 当人数是1,1,3时，则有C 15C 14C 33A 22×A 33＝60(种)，因此共有90＋60＝150(种)．【答案】 (1)A (2)A(1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.1．(方向1)(2019·贵州铜仁一中质检)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( B )A ．1 800B ．3 600C ．4 320D ．5 040解析：先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A 55种，把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A 26种，所以共有A 55A 26＝3 600种．故选B.2．(方向1)某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有720种．解析：添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定．这七个节目的不同安排方法共有A 77种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有A 1010种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有A 1010A 77＝720(种)．3．(方向2)安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有150种，学生甲被单独安排去金华的概率是775.解析：根据题意，按五名同学分组的不同分2种情况讨论：①五人分为2、2、1的三组，有C 25C 23C 11A 22＝15种分组方法，对应三个城市，有15×A 33＝90种安排方案；②五人分为3、1、1的三组，有C 35C 12C 11A 22＝10种分组方法，对应三个城市，有10×A 33＝60种安排方案，则共有90＋60＝150种不同的安排方案；学生甲被单独安排去金华时，共有C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22A 22＝14种不同的安排方案，则学生甲被单独安排去金华的概率是14150＝775.排列与组合应用题的常见策略1．特殊元素(位置)优先法对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后再排列其他一般元素或位置．典例1(1)5名学生进行知识竞赛．笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”．根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是()A．54B．72C．78 D．96(2)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则可供考生选择的选考方法种数为()A．6 B．12C．18 D．24【解析】(1)由题得，甲不是第一，乙不是最后．先排乙：乙得第一，共有A44＝24(种)可能；乙没得第一，有3种可能，再排甲也有3种可能，余下的3人有A33＝6(种)可能，共有6×3×3＝54(种)可能．所以共有24＋54＝78(种)可能．(2)利用间接法求解．从六科中选考三科的选法有C36种，其中包括了没选物理、化学、生物三科中任意一科与没选政治、历史、地理三科中任意一科，这两种选法均有C33种，因此选考方法有C36－2C33＝18(种)．【答案】(1)C(2)C2．相邻问题捆绑法在特定条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整个问题排好之后再考虑它们“内部”的排列数，它主要用于解决相邻问题．典例2(2019·武汉调研)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是()A．72 B．144C．240 D．288【解析】第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，有C13A22＝6种排法；第二步，再选一对夫妻，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在一起看作另一个复合元素B，有C12A22C12＝8种排法；第三步，将复合元素A，B和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有A33＝6种排法，由分步计数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有6×8×6＝288(种)，故选D.【答案】 D 3．不相邻问题插空法先把不受限制的元素排列好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中．典例3 在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．【解析】 不相邻问题插空法.2位男生不能连续出场的排法共有N 1＝A 33×A 24＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N 2＝A 22×A 23＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N ＝N 1－N 2＝60.【答案】 60 4．定序问题消序法甲、乙、丙顺序一定，采用消序法，即除法，用总排列数除以顺序一定的排列数．典例4 10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为________．【解析】 方法1：首先从后排7人中抽取2人，有C 27种方法；再插入前排有A 55A 33种方法，由分步计数原理知共有C 27·A 55A 33＝420种．方法2：首先从后排的7人中抽2人，有C27种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A25种．由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C27A25＝420种．【答案】4205．元素相同隔板法若把n个不加区分的相同元素分成m组，每组不空，可通过n个相同元素排成一排，在元素之间插入m－1块隔板来完成分组，此法适用于同元素分组问题．典例5(2019·天津和平一模)把8个相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒中，每个盒子不空，则不同的放法种数为________．【解析】把8个小球排成一列，在7个空中排入3个板，有C37＝35种方法．【答案】35若上述问题中允许有空盒呢？【解析】把8个小球与3个板排成1列，有11个位置，其中3个位置放板，则把小球分成了4部分，有C311＝165种分法．【答案】165。
(新课标)高三数学一轮复习 第10篇 排列、组合学案 理
第五十七课时 排列、组合课前预习案1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.理解排列、组合的概念，并能用排列组合解决简单的实际问题.1.分类加法计数原理做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法......在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有_____________________________种不同的方法。
2. 分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法做第n 个步骤有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有_____________________________种不同的方法。
3.排列（1）排列定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．两个排列相同的条件：① ；② .排列数定义: 从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的 叫做从n 个元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示.（2）排列数公式：A mn =)!(!m n n -=n·(n－1)…(n－m+1)； （3）全排列：A mn =n!.（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720.4.组合（1）组合的定义: 一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素________，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．组合与排列的不同是：取出的元素 .组合数的定义：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号 表示.（2）组合数公式：C mn =)!(!!m n m n -=()()()11.121n n n m m m -⋅⋅⋅-+⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯ （3）组合数的性质①C C m n m n n -=；②r n r n r n C C C 11+-=+；③01C C 2n n n n n C ++⋅⋅⋅+=； ④⋅⋅⋅01n n n n n C -C ++(-1)C =0，即⋅⋅⋅⋅⋅⋅02413n-1n n n n n C +C +C +=C +C +=2.1．把5张座位编号为1,2,3,4,5的电影票发给3个人,每人至少1张,最多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是（ ）A ．360B ．60C ．54D ．182．某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课,要求体育不排在第一节课,数学不排在第四节课,则这天课表的不同排法种数为（ ）A ．600B ．288C ．480D ．5043．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（ ）A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个4． 2013年第12届全国运动会在沈阳举行,某校4名大学生申请当A,B,C 三个比赛项目的志愿者,组委会接受了他们的申请,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服务一个比赛项目,若甲要求不去服务A 比赛项目,则不同的安排方案共有（ ）A ．20种B ．24种C ．30种D ．36种5．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验,要求2艘攻击型核潜艇一前一后,2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分配方案的方法数为_______.6．两个正整数的公因数只有1的两个数,叫做互质数,例如:2与7互质,3与4互质,在2,3,4,5,6,7的任一排列中使相邻两数都互质的不同排列方式共有_______种(用数字作答).第五十七课时 排列组合课堂探究案考点1 排列、组合的概念及排列数、组合数、公式、性质【典例1】（1）已知20()12533C 4C 15A nn n n n n n -+++=++，则n= .（2）若567117-C C 10C m m m =，则8C m = . 考点2 排列的应用题【典例2】.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端； （2）甲乙必须相邻（3）甲乙不相邻 （4）甲乙之间间隔两人（5）甲乙站在两端 （6）甲不站左端，乙不站右端【变式1】一场晚会有5个歌唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单.（1） 若前4个节目中要有舞蹈节目，则有多少种排法？（2）若3个舞蹈节目互不相邻，则有多少种排法？考点3 组合问题【典例3】7名男生和5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？（1）A,B 必须当选； （2）A,B 必不当选；（3）A,B 不全当选； （4）至少有两名女生当选.（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.【变式2】有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）共有多少种放法？（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？考点4 排列组合的综合问题【典例4】从1,3,5,7,9五个数字中选两个，从0,2,4,6,8五个数字中选三个，能组成多少个无重复数字的五位数？【变式3】（1）6本不同的书分成三组，分别是1本、2本、3本，共有_______________________种分法；（2）6本不同的书分成三组，每组2本，共有_______________________________种分法；（3）6本不同的书分成三组，分别是1本、1本、4本，共有____________________种分法；（4）7本不同的书,分给甲、乙、丙三个人,依次得3、2、2本，有_______________种分法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
模块： 十二、排列组合、二项式定理、概率统计
课题： 2、排列与组合的基本方法
教学目标： 理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，掌握组合数的性质． 通过应用排列数与组合数的计算公式以及两个计数原理，解决简单的计数问题，
掌握化归、枚举、分类讨论等数学思想和方法，提高逻辑思维能力以及分析问
题、解决问题的能力．
重难点： 在解决综性问题分类时，保证不重复、不遗漏的原则．
一、 知识要点
1、排列的定义：从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
2、排列数：从n 个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，用符号m n P 表示
3、组合的定义：从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
4、组合数：从n 个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，用符号m n C 表示.
5、公式与性质：
（1）排列数组合数(1)(2)
(1)m n p n n n n m =---+ (1)(2)(1)!
m m
n n m m p n n n n m C p m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=（,,m n N m n *∈≤） （2）全排列数：(1)(2)21!n n p n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）规定0!1=．
（3）排列数的另一个计算公式：m n p =!()!
n n m - （4）组合数的性质1：m n n m n C C -=
（5）组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C
二、 例题精讲
例1、有编号为1、2、…10的10盏路灯，为节约用电将其中3盏灯熄灭，但不能熄灭相邻的2盏灯，而两端却不能熄灭，问有几种不同的熄灭方法?
例2、平面上有7个点，其中有且仅有三点共线，则一共可以连成________条不同的线．
例3、8个人排成一排，若甲、乙两人之间必须有3个人，则不同的排法有_________种．
例4、若用1，2，3，4，5这五个数字，组成比20000大，并且百位数不是3的没有重复的五位数，那么这样的五位数个数为_____________个．
例5、从1，2，3，4，6，8，9中取两个不同数作为对数的真数与底数，共得_________个不同的对数值．
例6、分别求出符合下列要求的不同排法的种数
（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；
（2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；
（3）从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（4）6人排成一排，甲、乙必须相邻；
（5）6人排成一排，甲、乙不相邻；
（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）．
例7、假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品．
例8、求证：①111m m m n n n P mP P ---+= ；②12112++-+=++m n m n m n m n C C C C
例9、四面体的顶点和各棱的中点共10个点
（1）设一个顶点为A ，从其他9点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有多少种？ （2）在这10点中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？
三、 课堂练习
1、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一
天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有__5____种方法
2、 有三名学生分配到四个车间去参加劳动，共有_______64________种不同的分法．
3、以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数有_____58_________个．
4、5样不同的玩具分给4个小孩，每人都有，共有_____240______种不同的分法．
5、4名教师、6名学生站于一排照相，教师互不相邻，则有___604800___种不同的站法．
6、从1，2，3，5，7这五个数字中任取两个分别作为对数的底和真数，则共能组成不同的对数____13___________个．
四、 课后作业
一、填空题
1、由0，3，5，7，9这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个_______．
2、学校召开学生代表大会，高二年级的3个班共选6名代表，每班至少1名，代表的名额分配方案种数是______________．
3、从3名男工和7名女工中选派2男3女去做5项不同的工作，若每人各做一项，不同的选派方法有____________________种．
4、从全班52名学生中选10名学生参加某项活动，如果正、副班长至少有一个在内，那么有__________种选法．
5、4人坐在一排10个座位上，若使每人的两边都有空位，则有_______________种不同的坐法．
6、象棋比赛中，2人，他们各赛了3场后，因故退出了比赛，这样，这次比赛共进行了83场，比赛开始时参赛者有__________________人
二、选择题
7、四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（ ）
A ．8种
B ．10种
C ．12种
D ．16种
8、五种不同商品在货架上排成一排，其中,A B 两种必须连排，而,C D 两种不能连排，则不同的排法共有（ ）
A ．12种
B ．20种
C ．24种
D ．48种
9、从9,5,0,1,2,3,7--七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程0ax by c ++=的系数，则倾斜角为钝角的直线共有（ ）条.
A ． 14
B ．30
C ． 70
D ．60
三、解答题
11、三年级4个班举行班级之间男、女排球单循环赛，问：
① 男女各需比赛多少场？②组织这次比赛共需安排多少场比赛？
11、（1）分队有10名歌舞演员，其中7人能唱歌，5人善跳舞，今从10人中选4人参加演出，2人唱歌，2人跳舞的选法有多少种?
（2）商店的橱窗中陈列着七件不同样品，现要将其中的三件样品调换位置，另外四件位置不动，共有不同的调换方法多少种？
12、（1）10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只
次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？（2）九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？。