倾斜角和斜率
第3章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率1．倾斜角的相关概念(1)两个前提：①直线l 与x 轴相交；②一个标准：取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角； ③范围：0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. (2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 思考：下图中标的倾斜角α对不对？2．斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k ＝tan α． (3)斜率与倾斜角的对应关系．图示倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 斜率(范围)(0，＋∞)不存在(－∞，0)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k3313－3－1－33(4)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1．思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？1．如图所示，直线l 与y 轴的夹角为45°，则l 的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．0°D ．无法计算2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( )A ．0° B ．45° C ．60° D ．90° 3．已知经过两点(5，m )和(m ，8)的直线的斜率等于1，则m 的值是( )A ．5 B ．8 C ．132 D ．74．已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为( )A ．33 B ． 3 C ．1 D ．22直线的倾斜角【例1】 设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.1．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－α 跟踪训练2 已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°，则直线l 的倾斜角为 ．直线的斜率【例2】 (1)已知点A 的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝4，则点B 的坐标为( )A ．(2，0)或(0，－4)B ．(2，0)或(0，－8)C ．(2，0)D ．(0，－8) (2)已知直线l 经过点A (1，2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－1，0]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[0，2]例3 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)A (2,3)，B (4,5)； (2)C (－2,3)，D (2，－1)； (3)P (－3,1)，Q (－3,10)．解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．1．(1)已知过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________．(2)过点P (－2，m )，Q (m ，4)的直线的斜率为1，则m 的值为________．跟踪训练2 如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3,2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3,2)，计算直线l 1，l 2，l 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．直线倾斜角与斜率的综合[探究问题]1．斜率公式k＝y2－y1x2－x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？命题角度1三点共线问题例3如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值．跟踪训练3已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3)，B(2，－1)，则m的值为()A．0 B．1 C．2 D．3命题角度2数形结合法求倾斜角或斜率范围例4直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围．【例3】已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．将本例变为：已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔k AB＝k AC或k AB与k AC都不存在．3.y2－y1x2－x1的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]C ．和x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 2．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150°3．若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°4．已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．60°或120° D ．30°或150° 5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( )A ．(1,3)、(5,7)、(10,12)B ．(－1,4)、(2,1)、(－2,5)C ．(0,2)、(2,5)、(3,7)D ．(1，－1)、(3,3)、(5,7) 6.若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1 D ．k 1<k 3<k 27．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( ) A ．α B ．180°－α C ．180°－α或90°－α D ．90°＋α或90°－α 8．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.12 D ．0二、填空题9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于 ．10．已知点A (1,2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为 ． 11．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 ． 12．若直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为 ． 三、解答题13．已知坐标平面内两点M (m ＋3,2m ＋5)，N (m －2,1)．(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？ (3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？四、探究与拓展14．已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．若D为△ABC的边AB上一动点，则直线CD的斜率k的取值范围为()A．[33，3] B．[0，33]∪[3，＋∞) C．[33，＋∞) D．[3，＋∞)15．已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6,2)，N(－3，3)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围．3.1.2两条直线平行与垂直的判定1．两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示思考1如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？思考2对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？2．两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2思考1如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？思考2 已知tan(90°＋α)＝－1tan α，据此，如何推出思考1中两直线的斜率k 1、k 2之间的关系？思考3 如果两直线的斜率存在且满足k 1·k 2＝－1，是否一定有l 1⊥l 2？如果l 1⊥l 2，一定有k 1·k 2＝－1吗？为什么？1．已知A (2，0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( )A ．－3 B ．3 C ．－13 D ．132．已知直线l 1的斜率k 1＝2，直线l 2的斜率k 2＝－12，则l 1与l 2( )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．非以上情况3．l 1过点A (m ，1)，B (－3，4)，l 2过点C (0，2)，D (1，1)，且l 1∥l 2，则m ＝________．两直线平行的判定及应用【例1】 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行．(1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0，1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3，4)，H (2，3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； (4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0，5)．1．已知l 1经过点A (－3，3)，B (－8，6)，l 2经过点M ⎝⎛⎭⎫－212，6，N ⎝⎛⎭⎫92，－3，求证：l 1∥l 2.跟踪训练2 已知A (1，－a ＋13)，B (0，－13)，C (2－2a,1)，D (－a,0)四点，当a 为何值时，直线AB 和直线CD平行．两条直线垂直关系的判定【例2】 判断下列各题中l 1与l 2是否垂直．(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)；l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10；l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，10)；l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)．例3已知三点A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)．求证：△ABC是直角三角形．使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等．若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论．1．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2)．若l1⊥l2，求a的值．跟踪训练2已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，与x轴有交点C，求交点C的坐标．两直线平行与垂直的综合应用[探究问题]1．已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，你能判断△ABC的形状吗？2．已知定点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径作圆，若圆与x轴有交点C.如何确定点C的坐标？【例3】△ABC的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m 的值．1．本例中若改为∠A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？2．若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若△ABC为直角三角形，如何求解m的值？例4已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1,2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．引申探究本例中若将条件“四边形ABCD 为直角梯形”改为AC ∥BD ，AB ∥CD ，求A 点坐标．反思与感悟 有关两条直线垂直与平行的综合问题，一般是根据已知条件列方程(组)求解．如果涉及到有关四边形已知三个顶点求另外一个顶点，注意判断图形是否唯一，以防漏解．跟踪训练3 已知矩形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，求第四个顶点D 的坐标．一、选择题1．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④PR ⊥QS . 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，那么直线l 2的斜率为( ) A.1a B ．a C ．－1aD ．－1a或不存在3．若直线l 1的倾斜角为135°，直线l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，－6)，则直线l 1与l 2的位置关系是( ) A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．平行或重合4．已知点A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．0或1D ．0或25．已知直线l 的倾斜角为20°，直线l 1∥l ，直线l 2⊥l ，则直线l 1与l 2的倾斜角分别是( ) A ．20°，110° B ．70°，70° C ．20°，20°D ．110°，20°6．顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)所构成的图形是( ) A ．平行四边形 B ．直角梯形 C ．等腰梯形 D ．以上都不对 二、填空题7．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B (4a ，1)，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．8．已知A (2,0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的倾斜角为________．9．若点P (a ，b )与点Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则直线l 的倾斜角α为________．10．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝____________；若l 1∥l 2，则b ＝____________.11．已知点A (－3，－2)，B (6,1)，点P 在y 轴上，且∠BAP ＝90°，则点P 的坐标是______．三、解答题12．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．四、探究与拓展13．已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，则m的值为______．14．已知△ABC的顶点A(1,3)，B(－1，－1)，C(2,1)，求△ABC的边BC上的高AD的斜率和垂足D的坐标．。
倾斜角与斜率
α 0 k tan0 0 0 α 90 k tanα 0 α 90 tan 不 存在 ) k 不存在 90 α 180 k tanα 0
y 2 y1 y1 y 2 (或k ) 4、斜率公式： k x 2 x1 x1 x 2
解析几何
十六世纪以后，由于生产和科学技术的发 展，天文、力学、航海等方面都对几何学 提出了新的需要。比如，德国天文学家开 普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运 行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上； 意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着 抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲 线 ，要研究这些比较复杂的曲线，原先的 一套方法显然已经不适应了，这就导致了 解析几何的出现。
o
x1
x2
x
y
y2
P2 ( x2 , y2 )
y1
P 1 ( x1 , y1 )
Q( x2 , y1 )
o
x1
x2
x
当α 为锐角时，α Q P 1P2 , x1 x 2 , y 1 y 2 . 在直角 P1 P2Q 中 |QP y 2 y1 2 | tanα tanQ P 1 P2 | P1Q | x 2 x1
随堂练习
° ≤ α < 90 ° 0 1.若k≥0，则α的范围是______________。 90 ° < α < 180 ° 若k<0，则α的范围是________________ 。
2.判断正误： （1）直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α。 × （2）所有的直线都有倾斜角,故所有的直线都有斜率。 ×
升高量 坡度 前进量
直线的斜率
直线的倾斜角和斜率,直线方程
直线的倾斜角和斜率，直线方程一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。
概念注意点：1）倾斜角为90°的直线无斜率2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。
3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。
例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。
解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。
点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。
例2．设直线l的斜率为k，且-1<k<1，求直线倾斜角的范围。
解法1：当-1<k<0时，∈()，则，当k=0时，=0，当0<k<1时，∈(0，)，则0<<解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：由上图可知：-1<k<1时，∈[0，）（）。
点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。
2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。
二、直线方程的四种形式1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。
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解析 有两种情况： ①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直 线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直 线l的倾斜角为120°. 答案 60°或120° [规律方法] (1)由已知角推断倾斜角，常画出图形，借助图 形来解决，注意画图时要考虑出现的各种情况． (2)斜率或倾斜角之间的大小比较要根据k＝tan α在0°≤α＜ 90°及90°＜α＜180°的增减性来判断．
又 PB 的倾斜角是 45°，PA 的倾斜角是 135°，
所以 α 的取值范围是 45°≤α≤135°.
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类型三 斜率公式的应用
【例 3】 已知实数 x，y 满足 y＝－2x＋8，且 2≤x≤3，求xy的最 大值和最小值．
[思路探索] 化xy＝xy－－00利用斜率公式数形结合求解．
答案 D
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5．已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜
角为60°.
解 ①当点 P 在 x 轴上时，设点 P(a，0)，
∵A(1，2)，∴k＝0a－ －21＝a－－21.
又∵直线 PA 的倾斜角为 60°， ∴tan 60°＝a－－21.解得 a＝1－233.
∴点
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1．倾斜角的概念和范围
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结一、倾斜角：重点：取值范围：0≤a ＜180° 二、斜率k ：1、当a ≠90°时，斜率k=tana ；2、当a=90°时，斜率k 不存在；（联系正切函数的定义域去理解）3、两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的斜率公式：）间的斜率公式：k=y 2-y 1/x 2-x 1理解：①两点间斜率要求x 1≠x 2，因为当x 1=x 2时，直线垂直于x 轴，倾斜角为90°，斜率k 不存在；在；②当x 1≠x 2且y 1=y 2时，直线垂直于y 轴，倾斜角为0°，斜率k=0 三、各表达式之间的区别与联系：名称名称公式公式备注备注点斜式点斜式y-y 0=k(x-x 0)1、联系斜率公式进行理解联系斜率公式进行理解2、已知一定点P 0（x 0，y 0）和斜率k ； 斜截式斜截式 y=kx+b 1、 联系点斜式进行理解；联系点斜式进行理解；2、 此时是已知一定点P （0，b ）和斜率k ； 3、 b 表示直线在y 轴上的截距轴上的截距 两点式两点式y-y 1/y 2-y 1=x-x 1/x 2-x 11、 两点式要求x 1≠x 2且y 1≠y 2；2、 当x 1=x 2且y 1≠y 2时，直线垂直于x轴；轴； 3、 当x 1≠x 2且y 1=y 2时，直线垂直于y 轴。
轴。
截距式截距式 x/a+y/b=1 1、 联系两点式进行理解；联系两点式进行理解；2、 点P 1（a ，0），P 2（0，b ）分别为直线与坐标轴的交点坐标；线与坐标轴的交点坐标； 一般式一般式Ax+By+C=0（A 、B 不同时为零）不同时为零）1、 联系二元一次方程组的相关知识点理解；理解；2、 熟练掌握A 、B 、C 对直线位置的影响作用。
响作用。
四、斜率k与截距b对直线位置的影响：1、k对直线位置的影响：对直线位置的影响：时，直线向右上方倾斜；①当k＞0时，直线向右上方倾斜；时，直线向右下方倾斜；②当k＜0时，直线向右下方倾斜；轴；③当k=0时，此时倾斜角为0，直线平行与x轴；轴平行。
直线的倾斜角与斜率知识点
直线的倾斜角与斜率知识点直线是数学中最基本的图形之一，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
直线的倾斜角和斜率是描述直线特征的重要概念，在解决直线问题时起到了至关重要的作用。
本文将介绍直线的倾斜角和斜率的概念、计算方法和应用场景。
一、直线的倾斜角直线的倾斜角是指直线与正 x 轴之间的夹角。
它通常用角度或弧度来度量。
倾斜角可以表达直线的上升或下降趋势，以及直线的陡峭程度。
倾斜角的取值范围为 [-90°, 90°] 或 [-π/2, π/2]，其中正值表示线段向右上方倾斜，负值表示线段向右下方倾斜。
要计算直线的倾斜角，需要从直线上选择两个确定点。
假设直线的两个点分别是 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，则倾斜角可以通过求解以下公式得出：倾斜角 = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1))其中，arctan 表示反正切函数，计算结果可以用角度或弧度来表示。
二、直线的斜率直线的斜率是用来表示直线上点之间的变化率的数值。
斜率可以告诉我们直线的陡峭程度和方向。
通常情况下，斜率被定义为直线上任意两点之间纵坐标的差值与横坐标的差值之比。
对于直线上的两个点 P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，斜率可以通过以下公式来计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)斜率可以用分数形式来表示，分母表示直线上两个点之间的水平距离，分子表示两个点之间的垂直距离。
斜率也可以是整数、小数或无穷大。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为0时，表示直线为水平线。
三、直线倾斜角与斜率的转换关系直线的倾斜角和斜率有一个重要的转换关系。
斜率可以通过直线的倾斜角计算得到，也可以通过斜率计算得到直线的倾斜角。
通过倾斜角计算斜率的公式如下：斜率 = tan(倾斜角)其中，tan 表示正切函数。
通过斜率计算倾斜角的公式如下：倾斜角 = arctan(斜率)这两个公式可以帮助我们在直线的描述中灵活地使用斜率和倾斜角。
2.1.1 倾斜角与斜率(解析版)..
第二章《直线和圆的方程》2.1直线的倾斜角与斜率2．1.1倾斜角与斜率知识梳理知识点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.知识点二直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k ＝0k >0不存在k <03．过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.题型探究题型一、直线的倾斜角1．直线的倾斜角前提条件直线l 与x 轴_________定义以_________作为基准，x 轴_________与直线l _________的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角特殊情况当直线l 与x 轴_________或_________时，规定它的倾斜角为_________取值范围__________________【答案】相交x 轴正向向上平行重合00180α≤≤2．（多选）设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（）A ．45α+B ．45α-o C ．135α-D ．135α-【答案】AC【详解】直线倾斜角α的取值范围为0180α≤<，∴当0135α≤<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45α+；当135180α<<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45180135αα+-=-.故选：AC.3．分别写出下列直线的倾斜角：(1)垂直于x 轴的直线；(2)垂直于y 轴的直线；(3)第一、三象限的角平分线；(4)第二、四象限的角平分线．【答案】(1)90；(2)0；(3)45；(4)135【详解】(1)当直线垂直于x 轴时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为90，所以所求直线的倾斜角为90.(2)当直线垂直于y 轴时，此时，直线与x 轴平行或重合，所以所求直线的倾斜角为0.(3)当直线为第一、三象限的角平分线时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为45，所以所求直线的倾斜角为45.(4)当直线为第二、四象限的角平分线时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为135所以所求直线的倾斜角为135.4．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的倾斜角为______．【答案】2π【详解】当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的倾斜角为2π故答案为：2π题型二、直线的斜率1．若直线l 的倾斜角为120︒，则直线l 的斜率为________.【答案】3-【详解】因为直线l 的倾斜角为120︒，则tan1203k =︒=-.故答案为：3-.2．经过两点()()1,,1,4A m B m +的直线的倾斜角为45，则m =___________.【答案】2【详解】因为过两点()()1,,1,4A m B m +的直线的倾斜角为45，所以4tan 45111AB mk m -===+-，解得2m =，故答案为：2.3．根据下列直线的倾斜角α，判断直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率的值：(1)0α=︒；(2)60α=︒；(3)90α=︒；(4)150α=︒．【答案】(1)存在，且斜率为0(2)存在，且斜率为3(3)不存在(4)存在，且斜率为33-【详解】(1)0α=︒，斜率存在，且斜率为tan00︒=.(2)60α=︒，斜率存在，且斜率为tan 603︒=.(3)90α=︒，斜率不存在.(4)150α=︒，斜率存在，且斜率为3tan1503︒=-.4．求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角(1)()2,3A ，()3,4B (2)()2,3C ，()3,3D (3)()2,3E ，()2,4F (4)()2,3G ，(),4H a 【答案】(1)1AB k =，倾斜角为4π(2)0CD k =,倾斜角为0(3)斜率不存在，倾斜角为2π(4)见解析【详解】(1)43132AB k -==-，所以AB 的倾斜角为4π；(2)33032CD k -==-，所以CD 的倾斜角为0；(3)因为点,E F 的横坐标相等，所以直线EF 的斜率不存在，倾斜角为2π；(4)当2a =时，直线GH 的斜率不存在，倾斜角为2π，当2a ≠时，43122GH k a a -==--，若2a >，倾斜角为1arctan2a -；若2a <，倾斜角为1arctan2a π+-.题型三、倾斜角和斜率的应用1．已知直线l 经过(2,1)A 、2(1,)B m （R m ∈）两点，求直线l 的倾斜角的取值范围.【答案】ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【详解】∵直线l 过(2,1)A ，2(1,)B m (R)m ∈两点，∴直线l 的斜率为2211112m k m -==-≤-，设直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈，且tan 1α≤，解得π04α≤≤或ππ2α<<∴直线l 的倾斜角α的取值范围是ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.2．过点(0,1)P -的直线l 与以(3,2)A 、(2,3)B -为端点的线段AB 有交点，求直线l 的倾斜角α的取值范围．【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【详解】如图所示，因为(0,1)P -，(3,2)A ，(2,3)B -，可得12(1)130l k --==-，13(1)120l k ---==--，要使得直线l 与以(3,2)A 、(2,3)B -为端点的线段AB 有交点，设直线l 的倾斜角为α，其中[0,)π，则满足tan 1α≤或tan 1α≥-，解得04πα≤≤或34παπ≤<，即直线l 的倾斜角α的取值范围30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.3．已知直线1l 的斜率为12，直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍，求直线2l 的斜率.【答案】43【详解】由题意，设直线1l 的倾斜角为α，则直线2l 的倾斜角为2α，由已知得11tan 2k α==，所以直线2l 的斜率为222tan 4tan 21tan 3k ααα===-.4．设点()2,3A -，()3,2B ，若直线ax +y +2=0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（）A ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【详解】∵直线20ax y ++=过定点(0,2)C -，且52AC k =-，43BC k =，由图可知直线与线段AB 有交点时，斜率a -满足43a ≤-或52a -≤-，解得45,,32a ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣∈⎥⎭，故选：D跟踪训练1．确定一条直线的条件确定一条直线的条件是_________和一个_________．规定水平直线的方向_________，其他直线_________的方向为这条直线的方向．【答案】一点方向向右向上2．已知直线1l 的倾斜角115α=︒，直线1l 与2l 的交点为A ，直线1l 和2l 向上的方向之间所成的角为120︒，如图所示，求直线2l 的倾斜角.【答案】135︒【详解】设直线2l 的倾斜角为2α，结合图形及三角形外角与内角的关系可得2112012015135αα=︒+=︒+︒=︒，故直线2l 的倾斜角为135︒.3．直线0y =倾斜角为____________.【答案】0【详解】直线0y =即为x 轴，该直线的倾斜角为0.故答案为：0.4．如图所示，直线l 的倾斜角为()A ．60︒B ．150︒C ．0︒D ．不存在【答案】B【详解】由图可知：该直线的倾斜角为150°故选：B5．直线1l 与直线2:2l x =所成的锐角为30°，则直线1l 的倾斜角为______．【答案】60°或120°．【详解】如图，直线1l 的倾斜角为60°或120°﹒故答案为：60°或120°﹒6．函数1y =表示的直线的倾斜角大小为___________.【答案】0【详解】由题设，1y =平行于x 轴，即斜率为0，若倾斜角为[0,)θπ∈，则tan 0θ=，故0θ=.故答案为：07．判断正误（1）倾斜角为135︒的直线的斜率为1．()（2）直线斜率的取值范围是(),-∞+∞．()【答案】×√【详解】（1）倾斜角为135︒的直线的斜率为-1（2）直线斜率的取值范围是(),-∞+∞8．过点(1,2)(1,0)-、A B 的直线的倾斜角为（）A ．45︒B ．135︒C ．1D ．1-【答案】A【详解】过A 、B 的斜率为2011(1)k -==--，则该直线的倾斜角为45︒，故选：A ．9．求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角.(1)(2,0)P 、()1,3Q ；(2)(1,2)P 、(,0)Q a ，其中实数a 是常数.【详解】(1)经过(2,0)P ､()1,3Q 两点的直线的斜率30312k -==--，设直线PQ 的倾斜角为θ，则0πθ≤<，又tan 3θ=-，则2π3θ=(2)设直线PQ 的倾斜角为θ，则0πθ≤<，当1a =时，直线PQ 的斜率不存在，倾斜角π2θ=；当1a ≠时，21k a=-，则2tan 1a θ=-①若1a <，则2arctan1aθ=-；②若1a >，则2πarctan1aθ=+-.10．设直线l 的倾斜角为θ，若原点在直线l 上的射影为(2,1)-，则sin 2θ的值为______．【答案】45【详解】由原点在直线l 上的射影为(2,1)-知过原点和(2,1)-的直线和直线l 垂直，过原点和(2,1)-的直线斜率为12-，故直线l 的斜率为2，即tan 2θ=，故2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===++.故答案为：45.11．已知直线斜率为k ，且13k -≤≤，那么倾斜角α的取值范围是（）．A ．ππ3π0,,324⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．ππ3π0,,624⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】B【详解】由题意，直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈，因为13k -≤≤，即1tan 3α-≤≤，结合正切函数的性质，可得π3π0,,π34α⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：B ．12．当直线l 的倾斜角2,,4223ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时，则直线l 的斜率的取值范围为______．【答案】[)(1,,3⎤+∞⋃-∞-⎦【详解】当直线l 的倾斜角2,,4223ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时，则直线l 的斜率的取值范围为[)(2tan ,,tan 1,,343ππ⎡⎫⎛⎤⎤+∞⋃-∞=+∞⋃-∞-⎪ ⎢⎥⎦⎣⎭⎝⎦，故答案为：[)(1,,3⎤+∞⋃-∞-⎦﹒13．求经过(,3)A m （其中m 1≥）、(1,2)B 两点的直线的倾斜角α的取值范围．【答案】090α<≤︒【详解】由题意，当1m =时，倾斜角90α=︒，当1m >时，321tan 011m m α-==>--，即倾斜角α为锐角；综上得：090α<≤︒．高分突破1．如图，设直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（）A ．123k k k <<B ．132k k k <<C ．213k k k <<D ．321k k k <<【答案】A【详解】由斜率的定义可知，123k k k <<.故选：A ．2．直线m 过点()()0012O A ，，，，其倾斜角为α，现将直线m 绕原点O 逆时针旋转得到直线'm y kx =：，若直线'm 的倾斜角为2α，则k 的值为（）A ．22B ．22-C ．2D ．-2【答案】B【详解】由题，tan 2OA k α==，直线'm 的倾斜角为2α，故()222tan 22tan 2221tan 12k ααα====---故选：B3．已知过点()2,m ，()4,6的直线的倾斜角为45︒，则实数m =（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【详解】由6tan 45142m-︒==-，解得4m =.故选：B ．4．设直线l 的斜率为k ，且31k -<≤，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（）A ．π2π0,,π43⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B ．π3π0,,π64⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．π2π,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π3π,34⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【详解】因为直线l 的斜率为k ，且31k -<≤，3tan 1α∴-<≤，因为[0,π)α∈，2ππ,π0,34α⎛⎫⎡⎤∴∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：A.5．直线l 的斜率为33，则l 的倾斜角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A【详解】因为直线l 的斜率为33，所以l 的倾斜角为30°.故选：A.6．(多选)如果直线l 过原点(0，0)且不经过第三象限，那么l 的倾斜角α可能是（）A ．0°B ．120°C ．90°D ．60°【答案】ABC【详解】依题意，直线l 过原点，且不经过第三象限，则0α=︒或90180α︒≤<︒，所以ABC 选项符合，D 选项不符合.故选：ABC7．（多选）下列四个命题中，错误的有（）A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ>B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ【答案】ACD【详解】因为直线的倾斜角的取值范围是[)0,p ，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥，当2πθ≠时直线的斜率tanθk =，故A 、C 均错误；B 正确；对于D ：若直线的斜率4tan33k π==，此时直线的倾斜角为3π，故D 错误；故选：ACD 8．若直线12,l l 的倾斜角分别为12,αα，且12l l ⊥，则有()A ．1290αα-=︒B ．2190αα-=︒C ．2190αα-=︒D ．12180αα+=︒【答案】C 【详解】根据两条直线垂直，可知|α2−α1|=90°，故选：C9．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是()A ．2B ．1 C.12D ．0【答案】A【详解】如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2.10．下列命题中，错误的是______．（填序号）①若直线的倾斜角为α，则(0,)απ∈；②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；③若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α．【答案】①②③【详解】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为α，则[0,)απ∈，所以①错误；对于②中，当倾斜角[0,)2πα∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，且0k >；当倾斜角(,)2παπ∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，但0k <，所以②错误；对于③中，根据直线斜率的概念，可得当[0,)απ∈且2πα≠时，直线的斜率为tan k α=，所以③错误.故答案为：①②③.11．直线l 的斜率为3，将直线l 绕其与x 轴交点逆时针旋转60所得直线的斜率是______．【答案】3-【详解】设直线l 的倾斜角为α，)0,180α⎡∈⎣，因为直线l 的斜率为3，所以tan 3α=，所以60α=，所以将直线l 绕其与x 轴交点逆时针旋转60所得直线的倾斜角为6060120+=，所以所得直线的斜率是tan1203=-，故答案为：3-.12．若过两点(0,)A y 、(23,3)B -的直线的倾斜角为60°，则y ＝______．【答案】－9【详解】过两点(0,)A y 、(23,3)B -的直线的倾斜角为60°则有3tan 603230y --==-，解之得9y =-故答案为：－913．若直线l 的倾斜角α的正弦值为35，则它的斜率为___________.【答案】34±【详解】由题设，3sin 5α=，而α∈[0,)π，则4cos 5α=±，所以3tan 4α=±，即斜率为34±.故答案为：34±14．若三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,1)能构成三角形，则实数k 的取值范围为________．【答案】(－∞，1)∪(1，＋∞)【详解】k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5，k AC ＝1－18－3＝05＝0.要使A ，B ，C 三点能构成三角形，需三点不共线，即k AB ≠k AC ，∴1－k 5≠0，∴k ≠1.15．已知直线l 过第一象限的点(,)m n 和(1,5)，直线l 的倾斜角为135°，求14m n +的最小值．【答案】32【详解】由题意，可得0m >，0n >，且5tan13511n m-==--︒，即6m n +=，又由()14114141435526662n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4n m m n =时，即24n m ==时，等号成立，所以14m n +的最小值为32．16．已知直线l 经过两点()22,A a a ､(0,1)B -，求直线l 的倾斜角的取值范围.【答案】3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】设直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ.当0a =时，k 不存在，2πθ=；当0a ≠时，211222a a k a a+==+：若0a >时，则12122a k a ≥⋅=，,42ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；若0a <时，则12()()122ak a ≤--⋅-=-，3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上，3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.17．已知直线l 的斜率的绝对值为33，求这条直线的倾斜角．【答案】30°或150°【详解】由题意知直线的斜率k ＝33或k ＝－33，且倾斜角的范围为0180α︒≤<︒，所以直线的倾斜角的大小为30°或150°.18．已知直线1l 的斜率为1-，直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小30°，求直线2l 的斜率．【答案】23--【详解】因为直线1l 的斜率为1-，所以直线1l 的倾斜角为135︒，又直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小30°，所以直线2l 的倾斜角为105︒，所以()tan 45tan 6013tan105tan 4560231tan 45tan 60113°+°+°=°+°===---鞍-´，所以直线2l 的斜率为23--．19．（1）若直线l 的倾斜角,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求直线l 斜率k 的范围；（2）若直线l 的斜率[]1,1k ∈-，求直线l 倾斜角α的范围.【答案】（1）3,33k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.【详解】（1）因为tan k α=，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3tan 63π=，tan 33π=，结合正切函数在[)0,p 的单调性得3,33k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（2）直线l 的斜率[]1,1k ∈-，tan 14π=，3tan 14π=-，结合正切函数在[)0,p 的单调性得30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.20．经过点()0,1P -作直线l ，且直线l 与连接点()1,2A -，()2,1B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α和斜率k 的取值范围．【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭;11k -≤≤.【详解】因为2(1)110PA k ---==--，1(1)120PB k --==-，由l 与线段AB 相交，所以PA PB k k k ≤⇒≤11k -≤≤，所以0tan 1α≤≤或1tan 0α-≤<，由于tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭及,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦均为增函数，所以直线l 的倾斜角α的范围为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故倾斜角的范围为30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，斜率k 的范围是11k -≤≤.21．已知坐标平面内两点M(m ＋3,2m ＋5)，N(m －2,1).(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？(3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？【答案】(1)m>－2.(2)m<－2.(3)不可能为直角.【详解】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k ＝()25132m m m +-+--＝245m +>0，解得m>－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k ＝()25132m m m +-+--＝245m +<0，解得m<－2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角.22．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．【详解】y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围为－16，53.。
倾斜角与斜率
《倾斜角与斜率》xx年xx月xx日contents •倾斜角概述•斜率及其计算方法•倾斜角与斜率的关系•倾斜角和斜率的应用•倾斜角和斜率的特殊情况•倾斜角和斜率的实际应用案例目录01倾斜角概述定义倾斜角是指直线与x轴之间的夹角，通常用α表示。
性质倾斜角是一个锐角或钝角，其取值范围在0°到180°之间。
定义与性质方向倾斜角的方向与直线的斜率密切相关。
变化当直线向上倾斜时，倾斜角为锐角，斜率为正；当直线向下倾斜时，倾斜角为钝角，斜率为负。
倾斜角与直线方向根据上述性质，倾斜角的取值范围在0°到180°之间。
范围当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°，斜率不存在；当直线与x轴平行时，倾斜角为0°，斜率为0。
特殊情况倾斜角的取值范围02斜率及其计算方法斜率是直线与x轴夹角的正切值，表示直线相对于水平线的倾斜程度。
斜率通常用小写字母m表示，也可以用其他字母表示。
斜率的定义斜率的计算方法公式为：m = tan(α)，其中α为直线的倾斜角。
当α为锐角时，m为正数；当α为直角时，m为无穷大；当α为钝角时，m为负数。
利用直线的倾斜角和正切函数计算斜率。
1斜率的取值范围23斜率的取值范围是实数集，可以取任意实数。
斜率的取值与直线的倾斜角有关，而倾斜角可以取0到180度之间的任意值。
当斜率为0时，表示直线与x轴平行；当斜率无穷大时，表示直线与x轴垂直。
03倾斜角与斜率的关系直线斜率计算公式$k = \tan(\alpha)$，其中$\alpha$为直线的倾斜角，$k$为直线的斜率。
说明直线的斜率与倾斜角成正比，即倾斜角越大，斜率越大；倾斜角越小，斜率越小。
直线斜率的计算公式01直线斜率变化不同倾斜角下的直线斜率变化021. 当倾斜角$\alpha$从$0^{\circ}$增大到$90^{\circ}$时，斜率$k$从0逐渐增大到正无穷大。
032. 当倾斜角$\alpha$从$90^{\circ}$减小到$180^{\circ}$时，斜率$k$从正无穷大逐渐减小到0。
课件2：2.1.1 倾斜角与斜率
所以直线 l2 的倾斜角为 90°.
答案：(1)D (2)90°
方法规律 1．解答本题应注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答. 2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出 图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
探究题 3 解析：直线的斜率是由直线的倾斜角决定的，
k＝tan α(a≠90°)．当 0°≤α<90°时，倾斜角越大，斜率越大； 当 90°<α<180°时，斜率是负的，倾斜角越大，斜率也越大. 先通过图形判断出直线的倾斜角在 0°≤α<90°范围内．
根据“直线的倾斜角越大，斜率越大”可知 k1<k2<k3.
倾斜 准，x 轴_正__向___与直线 l__向__上__的方向之间所
α 角 成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x
轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0°
定义
表示或记法
斜率 一条直线的倾斜角 α 的__正__切___值_____
k＝tan α
(2)倾斜角与斜率的对应关系
图示
倾斜角 (范围) 斜率 (范围)
α＝0° __k_＝__0_
0°<α<90° α＝_9__0_°__
__k_>_0__
斜率 不存在
90°<
α<180°
_k_<_0___
由上表可知直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是__0_°___≤__α__<_1_8_0_°__，斜率 k 的
取值范围是_(_－__∞__，__＋__∞__)______.
当 135°≤α<180°时，倾斜角为 α－135°
倾斜角与斜率
B.1
C.－1
D.－2
2－3 由题意知，tan 45°＝1－m，得 m＝2.
1234
3.已知A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线，则x＝___3__，直线AB的倾 π
斜角为__4___.
因为A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线， 1＋2 2－1
所以 kAB＝kBC，即2＋1＝x－2， 解得 x＝3，设直线 AB 的倾斜角为 θ，由 tan θ＝1 得 θ＝π4， 所以直线 AB 的倾斜角为π4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知点 A( 3，1)，B(3 3，3)，则直线 AB 的倾斜角 θ 是
A.60°
√B.30°
C.120°
D.150°
kAB＝3
3－1 3－
＝ 3
33，
∴tan θ＝ 33且 0°≤θ＜180°，
∴θ＝30°.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1234
4.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是__0_°<__α_≤__9_0_°__. (其中m≥1)
当m＝1时，倾斜角α＝90°； 3－2
当 m>1 时，tan α＝m－1>0， ∴0°<α<90°. 故0°<α≤90°.
1234
五
课时对点练
基础巩固
1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是 A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0) C.(3，－1)与(2，－1)
反思感悟
倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.
倾斜角与斜率
直线斜率的计算公式
公式
对于直线上的两点$P(x_1, y_1)$和$Q(x_2, y_2)$，其直线的斜率为$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
特殊情况
当直线与$x$轴垂直时，斜率不存在；当直线与$y$轴垂直时，斜率为0。
曲线斜率的计算方法
方法
对于曲线$y = f(x)$上的两点$P(x_1, y_1)$和$Q(x_2, y_2)$，其曲线在点$P$ 处的切线的斜率为$k = \frac{f(x_2) f(x_1)}{x_2 - x_1}$。
极坐标系下的倾斜角与斜率
定义
极坐标系是平面直角坐标系的 扩展，由极径和极角组成
范围
$\alpha \in \lbrack 0,2\pi)$
斜率
$k = \frac{\rho\cos\alpha}{\rho\si n\alpha}$，其中$\rho$是极径
特殊情况下的倾斜角与斜率
重合与垂直直线的倾斜角与斜率
电磁波的传播方向
在电磁波的传播过程中，波的传播方向可以通过斜率来表示 ，斜率越大表示波的传播方向越倾斜
量子力学中的应用
量子态与波函数
在量子力学中，描述粒子状态的波函数可以用一个复数函数来表示，这个函 数的模方可以表示粒子在某个位置的概率密度，而函数的相位可以表示粒子 的动量
波函数的导数
在量子力学中，波函数的导数可以表示粒子受到外界作用力时的加速度，也 可以表示粒子的能量
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平行线的倾斜角与斜率
• 平行线的倾斜角相等，但斜率不一定相等，因为斜 率是直线的属性，而平行线不一定是直线。同时， 平行线距离不一定相等。
05
直线的斜率与倾斜角ppt
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ，表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性，用于描 述直线的方向和倾斜程度，是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
【原创】倾斜角和斜率
135
k tan135 tan 45 1
150
k tan150 tan 30
3
3
即 若两角互补，正切值互为相反数！
2.直线的倾斜角与斜率之间的关系:
y
直线
y
y
y
情况
o
o
o
o
x
x
x
x
的
大小
0 0 90 90 90 180
k的
范围
k=0 k (0,) k不存在 k (,0)
例2 (书P86 练习4）在平面直角坐标系中， 画出经过点（0，2）且斜率分别为2和-2 的直线。
y
O
x
∵入射角等于反射角
倾斜角APN 180 APM
M(2,2)
K MP K PN
23
PA x
2x 8x
解得 x 2 反射点 P (2,0)
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围：0 180
2、直线的斜率定义： k tan ( 90 )
3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
0 k tan 0 0
k AB
y2 x2
y1 x1
kBA
y1 y2 x1 x2
答：直线AB的斜率与A、B两点的 顺序无关。
3、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公
式还适用吗？为什么？
y
P1(x1, y1)
x1 o
P2 (x2, y2 )
x2 x
斜率k tan0 0
由于 y1 y2 ,
y2 y1 0 x2 x1
直线的倾斜角是什么角？
解：直线AB的斜率
k AB
22 84
0
直线BC的斜率
高中数学课件 倾斜角与斜率
类型 一 直线的倾斜角 尝试完成下列题目，体会倾斜角与斜率之间的联系，并 掌握求直线倾斜角与斜率的方法及关注点. 1.斜率为 3 的直线的倾斜角是(
3
) C.60° D.30°
A.120°
B.150°
2.已知等边三角形ABC，若直线AB平行于y轴，则∠C的平分 线所在的直线的倾斜角为_______，另两边AC，BC所在的直线 的倾斜角为_______. 【解题指南】1．根据tan α 3 及0°≤α＜180°求解．
(2)斜率k与P1,P2的顺序无关.
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得.
(4)当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°,直线与x轴平行
或重合.
2.斜率与直线的倾斜程度的对应关系 (1)当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜(呈上升 趋势). (2)当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜(呈下降 趋势). (3)当直线的斜率为0时,直线与x轴平行或重合(呈水平状态).
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线 上). (1)过点(0,0)和(1,1)的直线的斜率为 . .
(2)若直线l经过第二、四象限,则l的倾斜角α 的范围是 (3)斜率为2的直线过点(2,1)和(-2,m),则m= .
【解析】(1)根据斜率公式， 1 0 1 k ．
2 1 (2) k 2 5 1＜0，所以α是钝角. 0 (3)
(3)因为两点横坐标相同，所以直线斜率不存在且直线垂直于 x轴，所以α是直角.
2m 1 m m 1
(4) k 3 3m (2 3m 3) 3(m 1) 3＞0(m 1)， 此时α是锐角．
1 0
答案：1 (2)直线l经过第二、四象限，故直线l的倾斜角为钝角，所以 倾斜角α的范围是90°＜α＜180°． 答案： 90°＜α＜180° (3)由斜率公式得 m 1 2， 解得m=-7．
倾斜角与斜率的公式
倾斜角与斜率的公式在我们的数学世界里，倾斜角和斜率可是一对非常重要的“小伙伴”。
先来说说倾斜角吧，倾斜角就是直线与 x 轴正方向所成的角。
比如说，你在操场上跑步，从起点出发沿着直线跑，你跑的方向和操场的起跑线（假设这就是 x 轴正方向）形成的那个角度，就是倾斜角啦。
那斜率又是什么呢？简单来说，斜率就是倾斜角的正切值。
假设倾斜角是α，那么斜率 k 就等于tanα。
咱们来举个例子，假如有一条直线，它的倾斜角是 45°，那它的斜率就是 tan45°=1。
还记得我以前教过的一个学生小明，他在刚开始学习倾斜角和斜率的时候，那叫一个迷糊。
有一次做作业，题目是给出倾斜角求斜率，倾斜角是 60°，他居然算出斜率是 2，我问他怎么算的，他还振振有词地说：“老师，我觉得 60 度挺特殊的，就随便猜了个 2 。
”把我给逗乐了。
我就耐心地给他重新讲解，从倾斜角的定义开始，一点点引导他去理解为什么斜率是 tan60°，也就是根号 3 。
在学习倾斜角和斜率的过程中，大家一定要记住一些特殊角度的斜率值。
比如 0°的倾斜角，斜率就是 0；90°的倾斜角，斜率不存在。
这就好比不同的道路有不同的坡度，有的平缓，有的陡峭。
而且呀，斜率还能帮我们判断直线的倾斜程度。
斜率越大，直线就越“陡峭”；斜率越小，直线就越“平缓”。
再深入一点，当两条直线平行的时候，它们的斜率是相等的；当两条直线垂直的时候，它们的斜率之积等于 -1 。
这就好像两条路，如果是平行的，那它们的坡度差不多；如果是垂直的，那坡度就相差很大。
回到现实生活中，倾斜角和斜率的概念也无处不在。
比如我们爬山的时候，山路的倾斜程度就可以用倾斜角和斜率来描述。
如果山路很陡，斜率就大；如果比较平缓，斜率就小。
所以呀，大家可别小看这倾斜角和斜率的公式，它们在数学里用处可大着呢，能帮我们解决好多问题。
希望大家都能把它们掌握好，让数学变得不再那么难！。
倾斜角与斜率
答案：C
例 1 围．
求直线 xcosθ＋ 3y＋2＝0 的倾斜角的取值范
3 解：由已知，直线的斜率 k＝－ cosθ， 3 3 3 ∴－ ≤k≤ . 3 3 π 3 当 0≤k≤ 时，直线的倾斜角 α 满足 0≤α≤ ； 6 3 3 5π 当－ ≤k<0 时，直线的倾斜角 α 满足 ≤α<π. 3 6 π 5π ∴直线的倾斜角的取值范围为[0， ]∪[ ，π)． 6 6
B.(
答案D(∵ 答案 ∵
π ＜α＜π, ＜ 2
3 π,π).故应选 故应选D.) 故应选 4
∴k=cosα∈(-1,0). ∈ ∴倾斜角θ∈( 倾斜角 ∈
1.要正确理解倾斜角的定义， 1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范 要正确理解倾斜角的定义 y2 - y1 熟记斜率公式： 围，熟记斜率公式：k = x2 - x1 ，该公式与两点顺序无 关，已知两点坐标（x1≠x2）时，根据该公式可求出经 已知两点坐标（ 过两点的直线的斜率. 过两点的直线的斜率.当x1=x2，y1≠y2时，直线的斜率 不存在，此时直线的倾斜角为90° 不存在，此时直线的倾斜角为90°. 2.求斜率可用 2.求斜率可用k=tanα(α≠90°),其中α为倾斜角，由 求斜率可用k=tanα(α≠90°),其中 为倾斜角， 其中α 此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记： 此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜 率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记， 率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在 与否需讨论” 与否需讨论”.
是
练习题 1 直线 xsinα－y＋1＝0 的倾斜角的变化范围 ( ) π A．(0，2) B．(0，π) 3π π π π C．[－4，4] D．[0，4]∪[ 4 ，π)
高中数学选择性必修一(人教版)《2.1.1倾斜角与斜率》课件
3．斜率与倾斜角的对应关系
二、应用性——强调学以致用 2．利用斜率公式证明不等式：ba＋＋mm>ab(0<a<b 且 m>0)．
[析题建模] 分析所给式子结构特点 ―联―想→ 斜率坐标公式 ―构―造―法―分―析→ 不等式表达的几何意义 ―→ 得证
证明：∵0<a<b，∴点 P(b，a)在第一象限且位于直线 y＝x 的 下方．又 m>0，∴－m<0，∴点 M(－m，－m)在第三象限且 必在直线 y＝x 上．∴直线 MP 的倾斜角大于 OP(O 为坐标原 点)的倾斜角，即 kMP>kOP，又 kMP＝ba＋ ＋mm，kOP＝ab，∴ab＋ ＋mm>ab.
为锐角，则 m 的取值范围是
()
A．(－∞，1)
B．(－1，＋∞)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：∵直线 l 的倾斜角为锐角， ∴斜率 k＝m12－－21>0，∴－1<m<1. 答案：C
2．[求参数值]已知三点 A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条 直线上，则实数 a 的值为________．
[方法技巧] 求直线斜率的两种类型
一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为 90°的情 况；另一种是已知两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在 的情况．
[对点练清] 1．设 A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线 AC 的斜率
2-1-1倾斜角与斜率 课件(共43张PPT)
④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；
⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝ 22，则α＝45°.
其中正确命题的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 (1)都不满足倾斜角的定义，图(3)中α与倾斜角的 大小一样，但不是倾斜角．
(2)任意一条直线有唯一的倾斜角；倾斜角不可能为负；倾 斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，② ③错误．④中当α＝0°时，sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为 135°，故⑤错误．
答：不对．
当x1≠x2时，k＝yx22－ －yx11＝xy11－－xy22； 当x1＝x 2时，斜率不存在．
课时学案
题型一 倾斜角的求法
例1 (1)下列图中标出的直线的倾斜角中正确的有___0_____ 个．
(2)给出下列命题：
①任意一条直线有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30π；
③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；
2．斜率与倾斜角的关系
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0°
0°<α<90°
90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性 相同 随α的增大而增大 无 随α的增大而增大
3.任意过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率均为k＝
y2－y1 x2－x1
对吗？
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜 角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方 向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们 可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也 就表示了直线的方向．
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直线的倾斜角和斜率
1．直线的倾斜角与斜率定义： 在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.
倾斜角不是︒90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k 表示. 斜率的定义：αtan =k
对斜率的理解上实行三点说明：
2.当倾斜角是90°时，斜率不存有，并不是直线不存有；
3.所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率；
当倾斜角在第一象限时，斜率的绝对值越大，直线的倾斜水准越大；反之，倾斜角在第二象限时，斜率越大，倾斜角也越大。
说明：①当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为︒0；
②直线倾斜角的取值范围是[0，π）。
； ③倾斜角是︒90的直线没有斜率. 4．斜率公式：
经过两点),(111y x P 、),(222y x P 的直线的斜率公式：.1
21
2x x y y k --=
（x 1≠x 2）
经典例题及解题方法 基础技能：
1.直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若－1<k<1，则α的范围是（ ） A 、(－π/4, π/4) ) B 、[0, π/4)∪(3π/4, π) C 、(0, π/4)∪(π/2, 3π/4) D 、[0, π/4)∪(3π/4, π］
2.已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α≤135°，则直线l 的斜率的取值范围是 A.［0，＋∞) B.(－∞，＋∞) C.［－1，+∞) D.（－∞，－1）∪［0，＋∞)
3.若点A (1，1)、B (-1,4)，则直线AB 的倾斜角是
A.arctan 23
B.－arctan 23
C.π＋arctan 23
D.π－arctan 23
4.若R ∈θ直线01sin =+-y x θ的倾斜角的取值范围是
A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,4ππ
B.),0(π
C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,4
D.),43[4,0πππ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡
5.直线3310x y +-=的倾斜角的度数是（ ） A.30
B.60
C.120
D.150
6．若直线l 的倾斜角是连接P (3, －5), Q (0, －9)两点的直线的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为 . 7.直线的倾斜角为α，若
3
sin 5α=
，则此直线的斜率是 .
8.当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = 。
9.当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 。
10.直线l 1的倾斜角︒=301α，直线112,l l l 求⊥、l 2的斜率.
11．设直线l 的斜率为k ，且[)2,3k ∈-，求l 的倾斜角α的范围。
12．已知A （－1，1）B （1，1），直线 l 过原点，若直线l 与线段AB 相交，求
l 的斜率范围。
提升技能
1．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为 （A ）3 （B ）－3 （C ）
33 （D ）－3
3 2．直线y =x cosα+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是
（A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π
]∪[4
3π,π)
3．直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若π/4<α<3π/4，则k 的范围是（ ） A 、(－1,1) B 、(―∞,―1)∪(1,+∞) C 、［－1,1］ D 、(―∞,―1］∪［1,+∞)
4．已知直线l 的倾斜角为α，若cosα=－5
4
，则直线l 的斜率为
（A ）43 （B ）34 （C ）－43 （D ）－3
4
5．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为
（A ）4π （B ）54π （C ）4π或54
π （D ）－
4π
6.一条直线的倾斜角的正弦值是5
4
，则该直线的斜率是（ ）
A .54 B.34 C .±34 D .±4
3
8.如图所示直线l 1、l 2、l 3的 l 1 y
斜率分别为k 1、k 2、k 3，则 l 2
A 、k 1＜k 2＜k 3
B 、k 3＜k 1＜k 2
C 、k 3＜k 2＜k 1 l 3
D 、k 1＜k 3＜k 2
9.直线kx-y +1-3k =0,当k 变动时,所有直线都通过定点 A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1)
10.已知两点M (2，－3)、N (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是
A.k ≥43或k ≤－4
B.－4≤k ≤43
C.43≤k ≤4
D.－43
≤k ≤4
11.若直线2+=ax y ，穿过点)4,1(A 和)1,3(B 之间，则a 的取值范围是
A.)2,31(
B.),2()31,(∞+-∞
C.)2,31(-
D.)
,2()31,(∞+--∞
12. 已知直线l 1和l 2关于直线y =x 对称，若直线l 1的斜率为3，则直线l 2的斜率为 ；倾斜角为 .
13.两直线的斜率是方程2x 2-3x-4=0的两根，且两直线的倾斜角分别是α，
β,则tan(α+β)=______________
14.过点A(－1，2)的直线与x,y 轴分别交于B,C 两点，若A 恰为线段BC 的中点，则直线的倾斜角和斜率分别为 .
15．直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则k cos α的取值范围是 .
16.0k >时，则α的取值范围是_________。
17. 直线AB的斜率为2，将直线绕A点按逆时针方向旋转45后，求所得的直线的斜率.
18.直线过点A（1，2）, B（m，3），求直线AB的斜率与倾斜角。
19.直线l的倾斜角α满足sinα+cosα＝1/5,则l的斜率为
20.已知两点A(-1,-5),B(3,-2),直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l 的斜率.
21.已知两点A(-3,4)､B(3,2),过点P(2,-1)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围.
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
22．已知四条直线l 1, l 2, l 3, l 4，它们的倾斜角之比依次为1:2:3:4，若l 2的
斜率为4
3
，求其余三条直线的斜率。
23.过A （－1，－3）的直线与y 轴的正半轴没有公共点，求直线的倾斜角的范围。
24.已知A （1，－3），B （5，3），直线L 的倾斜角是AB 倾斜角的2倍，求直线L 的倾斜角和斜率。
25．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值．。