多元函数条件极值的求解方法

多元函数条件极值求解方法
摘要:本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法等九种方法在解多元函数条件极值问题中的运用，较为全面的总结了多元函数条件极值的求解方法，旨在解决相应的问题时能得以借鉴，找到合适的解决方法。

关键词：多元函数；条件极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式
Abstract: This paper studies the substitution method, the Lagrange multiplier method, standard substitution method, inequality of nine kinds of method in solving multivariate function extremum problems, the application conditions are summed up the diverse functions of conditional extreme value method, to solve the corresponding problem is able to guide, to find the right solution.
Key words: multiple functions; Conditional extreme value; Lagrange multiplier method; Cauchy inequality
时比较困难，解题过程中选择一种合理的方法可以达到事半功倍的效果，大大减少解题时间，拓展解题的思路。

下面针对多元函数条件极值问题总结了几种方法供大家借鉴。

1.消元法
对于约束条件较为简单的条件极值求解问题，可利用题目中的约束条件将其中一个量用其他量表示，达到消元的效果，从而将条件极值转化为无条件极值问题。

例1 求函数
在条件x－y+z=2下的极值.
解：由x－y+z=2 解得
将上式代入函数
，得
解方程组
得驻点
，
，
在点
处，
，所以
不是极值点
从而函数
在相应点
处无极值；
在点
处，
，
又
，所以
为极小值点
因而，函数
在相应点
处有极小值
极小值为
.
2.拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.
求目标函数
在条件函数
组限制下的极值，若
及
有连续的偏导数，且Jacobi矩阵
的秩为
，则可以用拉格朗日乘数法求极值.
首先，构造拉格朗日函数
然后，解方程组
从此方程组中解出驻点的坐标
，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.
定理1.2.1（充分条件）设点
及
个常数
满足方程组
，
则当方阵
为正定（负定）矩阵时，
满足约束条件的条件极小（大）值点，因此
为满足约束条件的条件极小（大）值.
例2.求椭球
在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.
解：此椭球在点
处的切平面为
化简,得
此平面在三个坐标轴上的截距分别为：
则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积
由题意可知，体积存在最小值，要使
最小，则需
最大；
即求目标函数
在条件
下的最大值，
其中
，拉格朗日函数为
由
解得
;
3. 标准量代换法
求含有多个变量的条件极值时,可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,即可将其变为研究标准量与辅助量间的关系.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.
例3
.设
,求
的最小值.
解：取
为标准量,
令
,
则
(
为任意实数),
从而有
等号当且仅当
, 即
时成立，
所以
的最小值为
.
4.不等式法
4.1 利用均值不等式
将目标函数配凑成均值不等式
左边或右边的形式，再根据均值不等式中等号成立的充要条件：
，求解多元函数条件极值。

例4.1 已知
，
，求
的极小值.
解
=4(x+y+z)×
=4(x+y+z)×
当且仅当
时，等号成立.
4.2利用柯西不等式
将目标函数配凑成柯西不等式
左边或者右边的形式，再根据柯西不等式中等号成立的充要条件：
与
对应成比例，来求解多元函数条件极值.
例4.2 已知
，求
的最值.
解：首先将
变形为
；
再设
，
于是，根据柯西不等式及已知条件，有
即：
当且仅当
时，等号成立；
即当
时，
；
当
时，
，
所以，
，
.
5 梯度法
用梯度法求目标函数
在条件函数时
组限制下的极值，方程组
的解,就是所求极值问题的可能极值点.
其中
表示目标函数
的梯度向量
，
表示条件函数
的梯度向量
例5. 从斜边之长为
的一切直角三角形中,求最大周长的直角三角形.
解:设两条直角边为
,本题的实质是求
在条件
下的极值问题.根据梯度法,列出方程组
进一步求解得
容易解出
根据题意
是唯一的极大值点,也是最大值点.
所以，当两条直角边都为
时,直角三角形的周长最大.
6. 数形结合法
根据目标函数的几何意义，如直线的截距，点到直线的距离，圆的半径等几何性质来决定目标函数的条件极值。

例6 设
，求
的
最值
解：设
则
，
即
表示坐标原点到椭圆上的点的距离的平方的2倍
显然最大值为长轴的长38，最小值为
7. 三角代换法
利用三角函数（或三角函数式）去代替所给函数式中的变数，借助于三角函数运算求出极值。

代换时，首先要从函数式中变数的允许值去考虑，选取哪些三角函数（或三角函数式），再从解题的需要选择适当的代换。

例7.若
，试求函数
解：令
（
为参数，
）
则
合于条件
，故
，此处
当
时，
，此时
（n为正整数），
因此当
,
达到极大值
，类似的可得，
最小值－
.
9.二次方程判别式符号法
对于约束条件含某一变量平方项的条件极值问题，可将目标函数的一端整理成仅含该变量的形式，然后将其代入约束条件，再根据二次函数方程有实解判别式大于等于零，来求解多元函数条件极值
例9
若
,试求
的极值.
解因为
,
代入
得
即
(1)
这个关于
的二次方程要有实数解, 必须
即
解关于
的二次不等式,得:
显然,求函数
的极值, 相当于求
(2)
或
(3)
的极值.
由(2)得
(4)
这个关于
的二次方程要有实数解,必须
,
即
解此关于
的二次不等式,得
.
所以
,
.
把
代入(4),得
再把
,
代入(1),得
,
最后把
,
,
代入
,得
.
所以,当
,
,
时,函数
达到极大值3.
同理可得,当
,
,
时,函数
达到极小值-3.
也可以从(3)作类似讨论得出
的极大值3和极小值-3.
本文通过对多元函数极值问题的各种解法的介绍，我们知道对于不同的多元函数其极值有不同的解法，除了拉格朗日乘数法和梯度法外，其余条件极值解法均为初等数学的方法，掌握好初等数学的方法求解多元函数条件极值会使问题变得简单，但其使用的过程中具有一定的技巧性，也有一定的局限性,需要根据具体情况具体分析，只有训练掌握各种解法，才能在解极值问题时选择最佳方法快速解题。

参考文献
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时光匆匆如流水，转眼便是大学毕业时节，春梦秋云。

离校日期已日趋临近，毕业论文的的完成也随之进入了尾声。

从选题到论文顺利完成，一直都离不开老师、同学给我热情的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意! 值此本科学位论文完成之际，首先我要感谢导师000老师。

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在此，谨向导师致以崇高的敬意和衷心的感谢！。