圆锥曲线中点弦
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案一、用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题我们可以使用“点差法”来解决圆锥曲线的中点弦问题，即将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程并作差，得到一个关于弦的中点和斜率的式子，从而减少运算量。
例1：对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=-2b^2/2a^2.例2：对于双曲线x^2/4-y^2/9=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=2b^2/2a^2.二、直角弦对于椭圆x^2/8+y^2/4=1上的点P(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的XXX和PB来求直线AB的方程。
例2：对于双曲线-x^2/4+y^2/1=1的顶点M(2,0)，如果过M作两条互相垂直的直线与椭圆x^2/8+y^2/4=1相交于A、B 两点，我们需要判断直线AB是否过定点。
例3：对于抛物线y^2=2x上的点M(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的弦MP和MQ来求直线AB过的定点。
例4：对于椭圆x^2/84+y^2/36=1，如果OA垂直OB，且直线AB的斜率为1，我们需要求直线AB的方程。
三、焦点弦1、对于抛物线y=x^2上的点P，如果线段PF1垂直于F1F2且PF1=8，我们需要求过P且倾斜角为θ的直线与抛物线的交点。
2、对于椭圆x^2/9+y^2/4=1，如果点P(3,0)在其上，且线段F1P和F2P的长度之和为10，我们需要求离心率。
3、对于双曲线x^2/16-y^2/9=1，如果其右焦点为(5,0)，且过点P(1,2)且斜率为k的直线与双曲线交于两点，我们需要求离心率。
4、对于椭圆x^2/16+y^2/9=1，如果其左、右焦点分别为(-3,0)和(3,0)，过点P(0,2)的直线与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M(0,-2)对称，我们需要求四边形面积的最小值。
练：1、对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果点P在其上，且PF1垂直于F1F2且PF1=4，PF2=3，我们需要求椭圆的标准方程和直线l的方程。
中点弦问题(基础知识)
圆锥曲线的中点弦问题一：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。
注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！1、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
例4、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
∴所求椭圆的方程是1257522=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
高考数学专题复习圆锥曲线中点弦问题
关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题, 是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题.这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题； (2)求弦中点的轨迹方程问题；(3)求弦中点的坐标问题.其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法 及中央对称变换法等.一、求中点弦所在直线方程问题在的直线方程. 解法一：设所求直线方程为 y-1=k(x-2)22 _ _ 2(4k1)x8( 2k k)x又设直线与椭圆的交点为 A(x 1,y 1),B (x 2,y 2),那么x 1,x 2是方程的两个根,于是8(2k 2 k)x 1 x2—TT~2一"一,4k 1 2又M 为AB 的中点,所以 工一9 4^2一s 2 ,2 4k 1-1解得k-, 2故所求直线方程为 x 2y 4 0.2 2x y 例2过椭圆—— —1上一点P (-8, 0)作直线交椭圆于 Q 点,求PQ 中点的轨迹万 6436x 2例1过椭圆一 16 2y-1 内一点 M (2, 41)引一条弦,使弦被点 M 平分,求这条弦所,代入椭圆方程并整理得: _ 2 一4(2k 1)16 0解法二：设直线与椭圆的交点为 A(x 1, 所以 x 1 x 2 4 , y 1 y 2 2,22又A 、B 两点在椭圆上,那么 x 1 4 y l.... 1 . (2)222两式相减得(x 1 x 2 ) 4( y 1 y 2 )所以Li- X21,即x 〔 x 2 4( y 〔 y 2) 2故所求直线方程为 x 2y 4 0. 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 那么另一个交点为 B(4- x ,2 y ), 由于A 、B 两点在椭圆上,所以有(4两式相减得x 2y 4 0, 由于过A 、B 的直线只有一条, 故所求直线方程为 x 2y 4 0.、求弦中点的轨迹方程问题 %), B (x 2,y 2), M (2, 1)为 AB 的中点,22_16 , x 2 4 y 2 16 ,0 ,k1kAB八,2A( x , y ),由于中点为M (2, 1),22x 24y 216 2-2x)24(2 y)2 16程.解法一：设弦PQ中点M ( x, y),弦端点P ( Xi, yi) , Q ( X2, y2),2 2那么有9X1216y12576,两式相减得9(x12 x22)9X2 16y2 576三、弦中点的坐标问题例3求直线y x 1被抛物线y2 4x截得线段的中点坐标.解：解法一：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于A(x1, y1), B(x2, y2),其中点y x 1P(x0,y o),由题意得2,y 4x消去y 得(x 1)2 4x,即x2 6x 1 0 ,所以x.六3, y. x. 1 2,即中点坐标为(3,2).解法二：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于人(为」),B(x2,y2),其中点P(x0,y0),由题意得"24",两式相减得y22 y： 4(x2 x1),y2 4x2所以(y2 y1)(y2 y1)416(y：2、y2 ) 0,又由于x1 x2 2x, y1 y22y,所以9 2x(x1x2) 16 2y(y1 y2) 0,y1y29x 工所以—————,而k PQx1x216y化简可得9x2 72x 16y2 0 (x 8).解法二：设弦中点M(x,y) , Q ( x1, y1),由x W 2y, x1 8 y1 广八八-一,y 工可得x1 2x 8 ,2 22 又由于Q在椭圆上,所以卫64 1 ,即4(x“ 36 64 鱼136所以PQ中点M的轨迹方程为(x 4)16x 8).所以y i y 24,即y o 2 , X 0 y 0 1 3,即中点坐标为〔3,2〕.上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些根本解法.下面我们 看一个结论 2 2弓।理 设A 、B 是二次曲线C ：A X Cy D X Ey F弦AB 的中点,那么 0上的两点,p 〔X0,y0〕为 kAB E 0) 2 设 A (X I ,V I )、B (X 2, y 2)贝u Axi 2 AX 22Cy i 2Cy 2 D X I Ey i F 0……(i) DX 2 Ey 2 F ⑴(2)得 A(X i .2A X 0 (x i X 2 ) X 2)(X i X 2) C(y i y 2)(y i v2 D(X i X 2) 2) E(y i V2) 0 . (2AX 0 D)(x i •• 2Cy 0 〔说明：当A2A X 0 酝B D E ) 2推论i 设圆X 2X 0 D 2y 0 k AB 推论2b \X--- -• ----------k AB 设点 2Cy o (y i y 2)D(X 1 X 2) X 2) (2Cy ° E)(y i y ?) .X i X 2y i y X i X 2 时,上面的结论就是过二次曲线 〔假设点设椭圆a2・a y0.〔注：对丫？血2・a V .〕推论3 设双曲线bi?及 2 ■ E(y i y 2) 2AX 0 2Cy ° E 即 k AB2AX 0 D 2C V ^~~ED X Ey F 0的弦 P 在圆上时,那么过点 2匕b 2a< b C 上的点P 〔X0,y .〕的切线斜率公式, AB 的中点为 p 〔X0,y0〕〔y .0〕,那么 k P 的切线斜率2X 0 D2y .E为) i的弦AB也成立.假设点2y b 2a y 0.〔假设点p 在双曲线上,的中点为P〔X0,y.〕y 00),那么P 在椭圆上, 那么过点P 的切线斜率为i的弦AB 的中点为那么过 P 点的切线斜率为2推论4设抛物线y2Px 的弦AB 的中点为P 〔x0,y0〕〔k 卫〕P 在抛物线上,那么过点 P 的切线斜率为y0P (x 0 , y 0 ) y 00)那么y.bl?a 2 ■a V .)k AB0)那么P y0.(假我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题,下面举例说明.例1、求椭圆252L 116 斜率为3的弦的中点轨迹方程.解：设P (x,V)是所求轨迹上的任一点,那么有c 16 cx3 — ?一25 y,故所示的轨迹方程为( 16x+75y=075,2412x；1)…,,一2例2、椭圆a2y 1(a b 0),A、2 ,2a bB是椭圆上两点,线段AB的垂直平分线l2 ,2a bP(x0,0),求证:证实：设AB的中点为T(x i,y i),由题设可知AB与x轴不垂直,,y i 0b2 a2 aQy i --- Z-■''.•.l的方程为：2ax1 ~ 1T2a b2 ,2a b -.l±AB2 土?〞(xb x1• . | x1 | ab2a2例3、抛物线C: y x ,直线在关于l对称的两点,k的取值范围是什么?解：设中点为C上两点A、P(x0 , y0 )(k AB 12y0令y=02*?t(x.x1)2a-2""ab-?x01l:y k(x 1) 1,要使抛物线C上存B两点关于l对称,AB的0)1k2 k(x0 1)•• P在抛物线内_ 2(k 2)( k1,1k24y0. PC1 kl y°k(x°J 1 1 I、P( ,- k)2 k 21) 1,k3» 0,4k与抛物线有关的弦的中点的问题〔1〕中点弦问题：y =3+ 1与/+_/+分-了= 1交于两点,且这两点关于直缥+ y = 0对称,那么笳+5 = 7〔上题麻烦了.是圆不用中点法〕争两交点是〔工1,乃、〔电1?都满足二i■太曲线方程.?〔1〕•㈡〕有〔局一/〕3 +/〕+〔＞[-M〕C X1+⑷土中.「占〕-〔＞-以〕=.小同时除出一々〕有区+引+33〔乃+打〕〞一"建二0」〔占一修〕〔七一刍〕空生就是直线的斜率E 〔西十两〕,乃〕就是交点中点坐标的两倍,由关于另〔占-%〕直线对称,所以逐=-1,且交点的中点就是两直线交点为〔」,当,所以, 2 2占十勺二1 j【十乃二1,所以又有1+ 〔1〕+匕・31〕=.得到g/p例1由点〔2,0〕向抛物线y2 4x弓|弦,求弦的中点的轨迹方程.分析：解决问题的关键是找到弦的端点A、B在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系.解法1:利用点差法. 2 2设漏点为A〔x i,yj , B〔x2,y2〕,那么y i 4x i, y4x2,2 2 ., 、两式相减得y2y1 4〔 x2x1〕, ①①式两边同时除以x2 x1,得〔y2 y i〕 y—y1 4, ②x2x1设弦的中点坐标为〔x, y〕,那么x1 x2 2x, y1 y2 2y, ③又点〔x, y〕和点〔2,0〕在直线AB上,所以有」一 y 2y1. ④瓯'+短+㈣-乃= 1.〕*、婚+W+6电-打二1⑵2 x2x1y i y 22 2一代入(i)得 y 2 2(x 2)k2 2故得所求弦中点的轨迹万程是y 2(x 2)在抛物线y 4x 内部的局部.评注：(i )求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式,此题所给 (x, y)与条件的内在联系,列关于 x, y 的关系式,进而求出轨迹的方程.(2)弦中点轨迹问题与中点的关系,要学会推导,并能运用.将③、④代入②得2y y 4, x 22整理得y 2(x 2).故得中点的轨迹方程是 y 2 2(x 2)在抛物线y 2 4x 内部的局部. 解法2:设弦AB 所在直线的方程为y k(x 2),由方程组y k(x 2)4x消去x 并整理得ky 2 4y 8k 0, (3)(x i , y i )、 B (x 2,y 2)、 '\ ' (x, y),对于方程(3),由根与系数的关系,有y i V2 2出的两种方法,都是找动点 设抛物线y 22 Px (0)的弦 AB ,A (x i ,y i ) ,B(x 2,y 2),弦 AB 的中点 C (x o ,y 0),2,y i 那么有 2 y 22px i2 Px 2⑴(2)(i) — ( 2)2y i 2y 22p(x i x 2),.y i y 2x i x 22P y i y 2将 y i y 2y 1y 2q _yi 72,代入上式,并整理得x i x 2k AB—,这就是弦的斜率 y .例2抛物线y22x ,过点Q(2,i)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点轨迹方程.解：如图,设弦AB的中点为A、B、M点坐标分别为(x［,y i),2 -(x,y),根据题意设有y i2x 1 ,①2 -公y2 2x 2 ,② x 1 x 2 2x , ③ y iy 2 2y,④ rd,⑤x 1 x 2 x 2y i y 2i x 1 x 2, -------- -,x i X2y2-i 2 7 ⑥代入⑤得,y 丫*2,即(丫3)x -o2y 2 2x ,利用根与系数的关系,求出弦中点的轨迹方程.专题：直线与抛物线的位置关系及中点弦问题(1)位置关系：Q 直线/：, =必+皿用=0) r 抛物线y 2 = 2px(p>0)联立解CJ tky~ -2/?y + 2^ = 0 @假设k 二 (L 直战与抛物战的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点:假设k HU , △真线与抛物线相交,有阴个交点；A = 0n 亢浅与抛物浅相切,有一个交点；宜线与抛物线相离,无交点二(2)相交弦长：宜城与圆世曲线相交的茂长公式设直线圆锥曲线才Fi.r4)=O .它HI 的交点为Pi (xi»yi)- Pj 口?而,[Fix. v) = 0 且由1 ,Ti 消去了得到那苏十H.r+p=0『mHO), △=/ 一4川p*[,二心 + H设马・力3 那么弦长公式为；那么I AE 匕J1 +/那么 +//一4而/ 假设联立消去不得y 的一元二次方程：町/十fry + f/ = 0(m * 0)S 小阳,为yJ 『Ml AB 1= j + Jjbi +y 万 一4%力 {3)典洌分析：④代入①—②得,2 y(y iy 2) 2(x 1评注：此题还有其他解答方法,如设AB 的方程为y k(x 2) i ,将方程代入例1抛物线的方程为y2=4x,直线1过定点斜率为k,k为柯值时,直线1与抛物线y 2 = 4x ：只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点？解：由题意,设直绷的方程为y-l = Ar(x+2)由方程组e；：：：(x+2)ffl ky2 - 4y + 4 (2k +1) - O (1)(1)当k = O时,由方程(1)得y = l将y = 1 代入y2 = 4x,得x =这时直线,与抛物线只有V个公共点g ,1)(2)当kHO时,方程⑴的判别式为©A = T6 冲+"I)⑴当A = 0时,即2k2 + k・l = 0,解得k = ・l,或k =；于是当k=-l,或k=T时,方程(1)只有一个解,从而方程组只有一个解.此时直线1与抛物线有一个交点.(2)当A>0时即2尸+J <0,解得—1<上< —2于是当时,方程⑴有两个解,从而方程组有两个解.此时直线1与抛物线有两个交点.(3)当A <0时,即+解得k<-l或幺>-于是当k<-l或k>不时,方程(1)没有肝,从而方程组没有解.此时直线I与制物线没有交点.绿上所述：当・l<k<g且k*0时,直缭口抛物线有网个交点；当k7或或k・0时,直蝴抛物线有一个交点;2当k<-l或k>:时,直缭口抛物线没有交点.例2、抛物线C：J=4x,设直线与抛物线两交点为A、B,且线段AB中点为M 〔2, 1〕,求直线/的方程.解由即意可知,亘线1斜率一定存在,故可设庆〔勺,?〕,13@2,%〕〔乂1工乂2〕,Mx l + x2 = 4,y1+y2 = 2曲[曰=4% =2!L^=_1_=2 gp k = 2I月=4七3一出乂+»2 2止匕由f直线/的方程为y-l = 2〔x-2〕,艮P2x-y-3 = 0由y - 4x 消x彳号y2・2y-6 = 0 n△ > 02x-y-3 = 0所以直线/的方程为y・l = 2〔x-2〕RU2x・y・3 = 0说明：中点弦问鹿的常见解决方法,点差法例3抛物线的顶点在原点,焦点在x釉的正半轴上,百线y = -4x + ]被抛物线所截得的弦AB的中点的纵坐标为- 2 .〔I〕求抛物线的方程：〔2〕是否存在异于原点的定点H,使得过〃的动直线与抛物线相交于A Q两点,且以PQ为直径的圆过原点？解〔1〕：由条件可设抛物线方程为：r =2px〔p>o〕联立直线y = -4x+l化简得：2y2+〃y - 〃 =〔〕设43],必〕,8〔/2,丫2〕那么?+〕'2 =-^ = -4.,./? = 8抛物纹方程为：y 2 =]6工〔2〕设存在满足条件的定点内.设动直线方程为〕& + 0〕联立抛物线方程化简得:02-16丁 + 161=0设.〔再,必〕,..2,/2〕那么有用/ + 丫.2 =〔〕即：b = -16k 故动电线方程为丁=6-164 = Z:〔x-16〕,恒过定点〔16. 0〕当直线斜率不存在时,设宜线方程为/ = %,易触得% = 16.粽匕存在异于原点的定止〃(16, 1J)满足条件0例4直线『过定点人43且与‘抛物线.：5'22#(2>0)交］子,Q两点,假设以PQ 为直径的阿枇过原点..求尸的伍解：可设直线/的方程为f = my+4代入« =2『工得y L-2/JW1V-8/J = 0»设代百,X )◎0,%)•那么九力=—8/,斯与=?- * =竽匕=16+2P 2p 4p由题总如,OPLOQ. Wl OP OQ = 0即丹马+耳为= 16 —8p = 0; p 二2此时,抛物线的方程为f = 4K.例5在抛物战y? = 64十上求一点,使到电战4K十3y+46 = 0的距嘉最短,并求出最短距瓦解；设与百线4#+ 3y +用=0平行且与楠制相切的直建方程为：x-y + m = 0联立化筒群/ +48v-48w = 0 L)由A = 0解得旧=-12,故切线方程为：4工+ 3, —12 = 0代人双曲线方程解得f 9-24 )最短师离d = 2例6求直线y x 1被抛物线y2 4x截得线段的中点坐标.解：解法一：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于A(x1,y1), B(x2,y2),其中点y x 1P(x0,y0),由题意得2,y 4x消去y 得(x 1)2 4x,即x2 6x 1 0,所以x.3, y0 x. 1 2,即中点坐标为(3,2).解法二：设直线y x 1与抛物线y2 4x交于A(x1,y) , B(x2,y2),其中点2P(x0,y0),由题意得y124x1,两式相减得\2 y： 43x1), y2 4x2所以(y2 y1)(y2 y1)4,所以y〔y2 4,即y0 2 , x0y 1 3,即中点坐标为(3,2).。
圆锥曲线中点弦典型例题及解析
01
总结词
这类问题主要考察了圆锥曲线与切线相关的性质和定理，需要利用切线
性质和圆锥曲线的定义来解决。
02
详细描述
在解决与切线相关的问题时，我们需要利用圆锥曲线的切线性质和定义，
结合题目给出的条件，推导出与中点弦相关的方程或不等式，进而求解。
03
示例
已知抛物线C的方程为y^2 = 2px (p > 0)，过其焦点F作直线与C交于A、
数形结合
将代数问题与几何图形相结合 ，利用几何意义求解。
THANKS
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特殊情况
当点$P$为圆锥曲线的焦点时， 中点弦称为焦点弦。
中点弦的性质
垂直性质
角度性质
中点弦所在的直线与过点$P$的切线 垂直。
中点弦与切线之间的夹角等于该弦所 对的圆周角。
长度性质
中点弦的长度与过点$P$的切线长度 成反比。
中点弦的几何意义
中点弦是连接圆锥曲 线上的两个对称点的 线段。
中点弦的长度等于圆 锥曲线上的两个对称 点到点$P$的距离之 和的一半。
详细描述
在解决椭圆的中点弦问题时，需要注意中点 弦的特殊性质。例如，当直线过椭圆中心时， 中点弦即为椭圆本身；当直线的斜率为0或 无穷大时，中点弦的长度为椭圆的长轴或短 轴的长度。这些特殊性质可以帮助我们快速 判断中点弦的性质和范围。
双曲线的中点弦问题
总结词
双曲线的性质和方程
详细描述
双曲线的中点弦问题主要考察了双曲线的性质和方程。解决这类问题需要利用双曲线的 性质，如对称性、开口方向等，以及双曲线的方程，如标准方程、参数方程等。通过联 立直线和双曲线的方程，消元化简，可以得到关于中点弦的方程，进一步求解得到中点
用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题
用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为、为的中点又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是即，故所求直线的方程为，即。
例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。
若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。
解：设存在被点平分的弦，且、则，，两式相减，得故直线由消去，得这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。
策略：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。
由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。
（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。
二、求弦的中点坐标和中点轨迹方程例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。
解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即点的坐标为。
例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即，即由，得点在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。
解：设椭圆的方程为，则┅┅①设弦端点、，弦的中点，则，，又，两式相减得即┅┅②联立①②解得，所求椭圆的方程是四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，即，，这就是弦中点轨迹方程。
它与直线的交点必须在椭圆内联立，得则必须满足，即，解得例7、已知抛物线C: 和直线为使抛物线上存在关于对称的两点，求的取值范围。
解：设抛物线C上存在不同的两点关于直线对称，线段的中点为，则，①，②① －②可得：＝，即由于，所以，故，即，即。
圆锥曲线——中点弦点差法课件-2021届高三数学复习
将A、B两点带入椭圆方程得
33xx1222
4 y12 4 y22
12 12
两式相减可得，3 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0
即
k AB
kOM
b2 a2
3 4
k 3 4m
点M (1, m)在椭圆内，即 1 m2 1, (m 0)，解得 0 m 3
即有
x1
x2
2 m ，截得弦的中点为 3
1 3
m,
1 2
m
由
x
y
1 2
1m 3 m
,消去m,可得
y3x 2
则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线 y 3 x 上。 2
课本 P49 习题2.2 A组第8题
已知椭圆 x2 y2 1, 49
3
一组平行直线的斜率是 2
运用：点差法
(1)这组直线何时与椭圆相交?
a2 b2
3、再拓展
x 椭圆焦点在 轴，A、B是关于原点对称的两点，P是异于A、B的一个点，
如图：
kPA
kPB
b2 a2
双曲线也有类kPA k似PB 的 ba22性质
4、点差法做题步骤：
1.设点 2.作差 3.求斜率
点差法的优点： 1.运算简单，做题信心足 2.解决中点弦问题形成方法，塑造思路极易 总结：中点弦问题—点差法设点作差求斜率
课本 P49 习题2.2 A组第8题
已知椭圆
x2 4
y2 9
1,
一组平行直线的斜率是
3 2
(1)这组直线何时与椭圆相交?
运用：韦达定理
(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上。
圆锥曲线中点弦公式
圆锥曲线中点弦公式中点弦抛物线中点弦公式抛物线C：x^2（这里x^2表示x的平方，下同）=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α^2。
中点弦存在的条件：2pβ>α^2（点P在抛物线开口内）。
中点弦椭圆中点弦公式椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。
中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^2<1（点P在椭圆内）。
中点弦双曲线中点弦公式双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。
中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0（点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内）。
中点弦二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性．不少中数专著或杂志至今还频繁讨论．本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式．引理：设两条不同的二次曲线S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成：(证明略)定理1 设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线；又直线L0被S、S1、S2各截得一弦．若其中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合．证设S、S1的方程为(1)、(2)，则S2方程可表为(3)．因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为：L：(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x，y)=0因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O，显然L2也必通过点O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中点．注两直线AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲线S1的特殊情形，甚至E和F重合于O．故本定理包括了蝴蝶定理众多情形．定理2 设AB∥CD，S和S1是过A、B、C、D四点的任意两条二次曲线．若平行于AB的任意直线与S、S1各有两个交点，则夹在两曲线之间的两线段相等．证设AB、CD的中点分别为M、N，又AB∥CD，故直线MN就是AB关于S和S1的共轭直径，故若平行于AB的任意直线被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中点O，故有PE=QF，命题得证．注由于PQ可为AB与CD之间任意平行弦，皆有PE=QF，故夹在S和S1之间的两曲边区域△1和△2面积相等．[1]它酷似蝴蝶两翼，不过并非轴对称，而是沿AB方向共轭．如果世上真有这样的蝴蝶，飞行亦能平衡自如．定理1还可推广得到更一般的结论．定理3 若三条不同的二次曲线S、S1、S2有无三点共线的四个公共点，沿某一确定方向的任意直线L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH，则三弦中点O、O1、O2之间有向线段之比为常数．证不妨取坐标系使确定方向为x轴．于是该方向(k=0)关于S、S1、S2的共轭直径分别为(参见定理1)：L：a11x+a12y+a13=0L1：b11x+b12y+b13=0L2：(a11x+a12y+a13)+λ(b11x+b12y+b13)=0设直线L0方程为y=y0，PQ、EF、GH的中点为O(x0，y0)，O1(x1，y0)，O2(x2，y0)，于是由直径方程知：a11x0+a12y0+a13=0，b11x1+b12y0+b13=0(a11x2+a12y0+a13)+λ(b11x2+b12y0+b13)=0故a11(x2－x0)=λb11(x2－x1) (4)即OO2/O2O1=α (a11≠0时) (5)其中α=－λb11/a11是与y0无关的常数(由S、S1、S2三曲线确定．当a11=0时，L ∥L0可知L0与S无两个交点，故不在本命题讨论之列)．(5)式意即：在指定顺序O、O2、O1之下，两有向线段之比不因L0平行移动而变化．推论在定理3条件下，对任意直线L0所截的三弦中点中，任意两点总在第三点同侧或异侧．当O、O1、O2中有两点重合时，第三点也重合．“蝴蝶定理”虽然如自然界的蝴蝶种类一样千变万化，然而万变不离其宗，核心在于中点弦性质。
圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(解析版)
圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法一、椭圆与双曲线的中点弦与点差法1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆12222=+by a x (0>>b a )上两点A 、B ，其中AB 中点为)(00y x P ，，则有22ab k k OPAB -=⋅。
证明：设)(11y x A ，、)(22y x B ，，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x by a x ，上式减下式得02222122221=-+-b y y a x x ，∴2222212221a b x x y y -=--，∴220021210021212121212122a b x y x x y y x y x x y y x x y y x x y y -=⋅--=⋅--=++⋅--，∴22a b k k OP AB -=⋅。
焦点在y 轴：直线l (存在斜率)过椭圆12222=+bx a y (0>>b a )上两点A 、B ，线段AB 中点为)(00y x P ，，则有22ba k k OPAB -=⋅。
3、双曲线的用点差法同理，可得220220()AB AB OP x b b k k k a y a=⋅⋅=二、抛物线的中点弦与点差法设直线与曲线的两个交点)(11y x A ，、)(22y x B ，，中点坐标为)(00y x P ，代入抛物线方程，2112=y px ，2222=y px ，将两式相减，可得()()()1212122-+=-y y y y p x x ，整理可得：12121202-===-+AB y y p pk x x y y y三、点差法在圆锥曲线中的结论AB AB M AB AB M AB AB AB AB b e x a y k k k x ab e b e x a y k k k x a y b e pk y pk y x k px k p222002222220222011-y 1111⎧-=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=⇔⎪⎪⎪⎪=-⇔⎪⎨⎪=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎩gg gg 焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴开口向右开口向左抛物线：开口向上开口向下题型一中点弦所在直线的斜率与方程【例1】已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，则这条弦所在的直线方程为______.【答案】59140x y +-=【解析】已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，设这条弦的两个端点分别为()11,A x y 、()22,B x y ，则12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点A 、B 均在椭圆22195x y +=上，则22112222195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212095x x y y --+=，可得2212221259y y x x -=--，即()()()()1212121259y y y y x x x x -+=--+，所以直线AB 的斜率为121259AB y y k x x -==--，因此，这条弦所在直线的方程为()5119y x -=--，即59140x y +-=.故答案为：59140x y +-=.【变式1-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（）A．12B．14C．1D．4【答案】C【解析】由题意可得2c e a ==，整理可得a =．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=．因为直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，所以121212y y x x +=-+，则直线l 的斜率21212212121(2)12y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯-=-+．故选：C 【变式1-2】已知双曲线22142x y -=被直线截得的弦AB ，弦的中点为M （4，2），则直线AB 的斜率为（）A．1D．2【答案】A【解析】设交点坐标分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则128x x +=，124y y +=，2211142x y -=，2222142x y -=两式相减可得22221212042x x y y ---=，即()()()()1212121242x x x x y y y y +-+-=，所以()()121212122248144AB x x y y k x x y y +-⨯====-+⨯，即直线AB 的斜率为1；故选：A．【变式1-3】过点(2,1)M 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，当点M 恰好为AB 的中点时，直线AB 的方程为（）A．250x y +-=B．210x y --=C．250x y +-=D．230x y --=【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，所以2211224,4y x y x ==，两式相减得，()()()1212124y y y y x x +-=-，因为点(2,1)M 为AB 的中点，所以122y y +=，所以12122y y x x --=，故直线AB 的斜率为2，所以直线AB 的方程为()122y x -=-，即230x y --=，联立22304x y y x--=⎧⎨=⎩，所以241690x x -+=，()2164490∆=--⨯⨯>，故斜率为2符合题意，因此直线AB 的方程为230x y --=，故选：D.【变式1-4】已知斜率为1k ()10k ≠的直线l 与椭圆2214yx +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k ⋅=（）A．14-B．4-C．12-D．2-【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=.因为A ，B 两点在椭圆上，所以221114y x +=，222214y x +=.两式相减得：()22222112104x y x y -+=-，()()()()11112222104x x y y x x y y +-+-+=，()()0122011202x y x y y x --+=，()()2102011202y y y x x x --+=，即121202k k +⋅=，解得124k k ⋅=-.故选：B【变式1-5】椭圆()222210x y a b a b +=>>离心率为3，直线20x y b -+=与椭圆交于P ，Q 两点，且PQ 中点为E ，O 为原点，则直线OE 的斜率是_______．【答案】43-【解析】因为椭圆()222210x y a b a b +=>>所以3c e a ==，所以2223b a =设()11,P x y ，()22,Q x y ，所以121212PQ y y k x x -==-，1212,22x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为P ，Q 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，即2221222212y y b x x a -=--，即()()()()1212121223y y y y x x x x -+-=-+，即23PQ OE k k ⋅=-，所以43OE k =-，故答案为：43-【变式1-6】已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（）A．43-B．43C．34-D．34【答案】C【解析】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k =-=-，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，故选：C ．题型二求圆锥曲线的方程问题【例2】过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2,0)F 的直线与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的坐标为95,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，则C 的方程为（）A．22195x y +=B．2215x y +=C．22162x y +=D．221106x y +=【答案】A【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x ≠AB 的中点95,77M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以5071927AB MFk k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===-，又2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--，即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+，而12121ABy y k x x -==-，121252579927y y x x ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭==-+⨯，所以2255199b a =⨯=，又2c =，所以22222254499c a b a a a =-=-==，所以2295a b ==，椭圆方程为：22195x y +=.故选：A.【变式2-1】已知双曲线E 的中心为原点，(30)F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为(1215)N --，，求双曲线E 的方程.【答案】22145x y -=【解析】设双曲线的方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，由题意知3c =，229a b +=，设11()A x y ，、22()B x y ，则有：2211221x y a b -=，2222221x y a b -=，两式作差得：22121222121245y y x x b b x x a y y a-+=⋅=-+，又AB 的斜率是1501123--=--，∴2254b a =，代入229a b +=得，24a =，25b =，∴双曲线标准方程是22145x y -=.【变式2-2】已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，点()5-在双曲线C 上，椭圆E 的焦点与双曲线C 的焦点相同，斜率为12的直线与椭圆E 交于A 、B 两点．若线段AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（）A．2214536x y +=B．2213627x y +=C．2212718x y +=D．221189x y +=【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n-=>>，则223224251m mn =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2245m n ⎧=⎨=⎩，故双曲线方程为22145x y -=，焦点为()3,0±；设椭圆方程为22221x y a b+=，则椭圆焦点为焦点为()3,0±，故22a b 9-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，即221121b a =-⋅-，解得222a b =，故2218,9a b ==，椭圆方程为221189x y +=.故选：D.【变式2-3】斜率为1的直线交抛物线()2:20C y px p =>于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.求抛物线C 的标准方程；【答案】24y x=【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，12122,42y y y y +=+=，21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得1212122y y p x x y y -=-+，21,24pp ==，所以抛物线方程为24y x =.【变式2-4】设()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同的两点，线段AB 的垂直平分线为y x b =+，若1212x x +=-，则p =______.【答案】14【解析】由题知，2112x py =，2222x py =，两式相减得()()()1212122x x x x p y y -+=-，所以1212122AB y y x x k x x p-+==-，由题知1AB k =-，所以12122x x p +=-=-，所以14p =.故答案为：14.题型三求圆锥曲线的离心率问题【例3】过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)相交于A ､B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于（）A．22B．3C．12D．13【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，121212AB y y k x x -==--，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++=，所以1212222()2()0x x y y a b --+=，即21221212y y b a x x -=-=-，所以该椭圆的离心率2c e a ==【变式3-1】已知直线3y x m =-与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于P ，Q 两点，若PQ 中点的横坐标恰好为2m ，则椭圆C 的离心率为______.【答案】2【解析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，整理得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=-+-，因为1222x x m +=，所以12123322y y x m x mm +-+-==-，又因为12121PQ y y k x x -==-，所以2212m b m a -⨯=-，所以2212b a =，所以ce a======2212c a=.故答案为：2.【变式3-2】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（）A．14B．12C．2D．4【答案】C【解析】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2e =.【变式3-3】已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>相交于B ，D 两点，且BD 的中点为()1,3M ，则C 的离心率是______．【答案】2【解析】设1122(,),(,)B x y D x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差可得：2222121222x x y a b y =--，即1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=，因为()1,3M 为BD 中点，所以12122,6x x y y +=+=，又直线BD 斜率为1，所以12121y y x x -=-，代入可得，223b a=，所以C的离心率2e ==.故答案为：2【变式3-4】已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)交于A ,B两点,点()1,4P 是弦AB 的中点,则双曲线C 的离心率为()A．43B．2C．2【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y 点()1,4P 是弦AB 的中点根据中点坐标公式可得:12122,8x x y y +=⎧⎨+=⎩A ,B 两点在直线l :30x y -+=根据两点斜率公式可得:12121y y x x -=-,A B 两点在双曲线C 上∴22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴222212122210x x y y a b ---=,即()()()()2221212122221212128142y y y y y y b a x x x x x x +--===⨯=-+-解得:2b a =∴c e a ===题型四弦中点的坐标问题【例4】已知直线:1l y x =+，椭圆22:13xC y +=．若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的坐标为（）A．13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B．31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭C．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意知，22113y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2230x x +=，则9810∆=-=>，32A B x x +=-，所以A 、B 两点中点的横坐标为：13()24A B x x +=-，所以中点的纵坐标为：31144-=，即线段AB 的中点的坐标为31()44-，.故选：B【变式4-1】求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。
运用点差法解答圆锥曲线中点弦问题的步骤
思路探寻中点弦问题是指与圆锥曲线的弦的中点有关的问题.这类问题通常要求我们求弦的中点的坐标、弦所在直线的方程、圆锥曲线的方程，侧重于考查一元二次方程的根与系数的关系、线段中点的坐标公式、直线的斜率公式的应用，以及直线与圆锥曲线的位置关系.解答圆锥曲线中点弦问题，通常运用点差法.若直线与椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，且AB 的中点M (x 0,y 0)，运用点差法解答中点弦问题的步骤为：1.把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②；2.将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即()x1-x 2()x 1+x 2a 2+()y1-y 2()y 1+y 2b 2=1，可得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2(x 1+x 2y 1+y 2)=()-b 2a 2æèççççöø÷÷÷÷x 1+x 22y 1+y 22=()-b 2a2(x 0y 0)③；3.根据线段中点的坐标公式可得x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，将其代入③得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2()x 0y 0，即为直线AB 的斜率.类似地，对于焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2+x 2b2=1（a >b >0），运用点差法可得直线AB 的斜率k AB =()-a 2b 2()x 0y 0；对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()b 2a 2()x 0y 0；焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2-x2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()a 2b 2()x 0y 0.利用点差法，由弦AB 所在直线的斜率和圆锥曲线的方程，可以得到弦AB 中点的横坐标x 0与纵坐标y 0之间的关系式.例1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为ìíîx =2cos θ,y =4sin θ,其中θ为参数，直线l 的参数方程为ìíîx =1+t cos θ,y =2+t sin θ,其中t 为参数.若曲线C 截直线l 所得线段的中点为（1，2），求直线l 的斜率.解：由ìíîïïïïx2=cos θ,y 4=sin θ,可得曲线C 的直角坐标方程是y 216+x 24=1，当直线l 的倾斜角θ≠π2时，由ìíîx -1=t cos θ,y -2=t sin θ,得y -2x -1=tan θ，则直线l 的直角坐标方程是y =x tan θ+2-tan θ.当直线l 的倾斜角θ=π2时，直线l 的斜率不存在，其方程是x =1，设直线l 与曲线C 相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，2），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=4，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得x 1216+y 124=1①，x 2216+y 224=1②，将①②两式作差得x 12-x 2216+y 12-y 224=1，可得直线l 的斜率k AB=()-164()x 1+x 2y 1+y 2=()-164×()12=-2.运用点差法，由弦的中点坐标和曲线的方程，可以直接通过整体代换，快速求得弦所在直线的斜率，这样可以大大减少运算量.例2.已知双曲线x 2-y 22=1，那么过点P (1，1)能否45思路探寻作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB的中点.解：设直线l 与双曲线相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，1），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=2，把A 、B 两点的坐标代入双曲线的方程，得x 12+y 122=1①，x 22+y 222=1②，将①②两式作差得()x 12-x 22+y 12-y 222=1，可得k AB =2()x 1+x 2y 1+y 2=2.得直线l 的方程为y -1=2(x -1)，即y =2x -1.联立直线与双曲线的方程，得ìíîïïy =2x -1,x 2-y 22=1,消去y ，得2x 2-4x +3=0，所以△=16-24=-8<0，则方程无解.所以直线l ：y =2x -1与双曲线x 2-y 22=1相离，故不存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.本题涉及了双曲线的弦、中点，属于中点弦问题，需运用点差法求解.将直线与双曲线的两个交点的坐标分别代入双曲线的方程中，并作差，从而求得弦所在直线的斜率和方程.最后还需构造出一元二次方程，根据方程的判别式来判断直线与双曲线是否有两个交点，检验所求的直线方程是否满足题意.例3.已知椭圆x 22+y 2=1上的两点A 、B 关于直线y =mx +12对称，求实数m 的取值范围.解：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得x 122+y 12=1①，x 222+y 22=1②，将①②两式作差得()x12-x 222+()y 12-y 22=1，可得-1m =()-12()x 1+x 2y 1+y 2.设弦AB 的中点M (x 0,y 0)，则y 0=mx 0+12③，可得-1m =(-12)(x 0y 0)④，由③④可得ìíîïïïïx 0=-1m,y 0=-12,即M (-1m ,-12)，因为弦AB 的中点M 必在椭圆内部，所以()-1m22+()-122<1,解得mm <由于A 、B 两点关于直线对称，所以A 、B 两点的中点在直线上.本题实质上是中点弦问题，需运用点差法求解.先将两点的坐标代入椭圆的方程中，并作差，即可求出直线的斜率；然后建立关于AB 中点坐标的方程组，求得中点的坐标；再将其代入椭圆的方程中，根据椭圆与点的位置关系，求得参数m 的取值范围.例4.已知直线AB 与椭圆x 2a 2+y 2b2=1交于A 、B 两点，B 与B '关于原点O 对称，证明：直线AB 与直线AB '的斜率之积为定值.证明：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②，将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a2(x 1+x 2y 1+y 2)，变形得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2，而直线AB 的斜率为k AB =y 1-y 2x 1-x 2，直线AB '的斜率为k AB '=y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)，所以k AB ⋅k AB '=y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2.解答本题，需灵活运用点差法和直线的斜率公式，建立关于直线AB 和直线AB '的斜率的关系式，从而证明结论.运用点差法解题，只需通过简单的整体代换，即可求得直线的斜率、弦中点的坐标，这样可以有效地提升解题的效率.但是点差法的适用范围较窄，只适用于求解中点弦问题，且其中的x 1、x 2、y 1、y 2不一定是实数，有可能是虚数，因此在运用点差法解题时，还需检验所得的结果是否满足题意.（作者单位：陕西省宝鸡市岐山县蔡家坡高级中学）46。
求解两类中点弦问题的思路
圆锥曲线中的中点弦问题是指与圆锥曲线的弦和弦的中点有关的问题，主要有两种命题形式：一是求中点弦所在直线的方程；二是求中点弦中点的轨迹方程.圆锥曲线中的中点弦问题主要考查中点坐标公式、直线的斜率公式、直线的方程以及韦达定理.虽然圆锥曲线问题的综合性较强，运算量较大，但是同学们只要熟练掌握一些相应的技巧和解题思路，也能顺利破解难题.一、求中点弦所在直线的方程对求中点弦所在直线的方程问题，我们一般能根据已知条件求出圆锥曲线的方程、弦中点的坐标.求中点弦所在直线的方程的关键是求直线的斜率，求出了直线的斜率，便可利用直线的点斜式方程求得中点弦所在直线的方程.常用的方法有以下三种：1.利用韦达定理.首先设出中点弦所在直线的方程，然后将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去x 或y ，得到一元二次方程，利用韦达定理建立方程的根与系数之间的关系，结合弦中点的坐标，根据斜率公式求得直线的斜率和方程.2.点差法.先设出直线与圆锥曲线的交点坐标，然后分别将两点的坐标代入圆锥曲线的方程，并将两式相减，求出中点弦所在直线的斜率，结合直线的点斜式方程求得中点弦所在直线的方程.3.参数方程法.先引入相关参数，设出直线的参数方程，将其代入圆锥曲线方程，再结合弦中点的坐标建立关系式，最后消去参数便可得出所求直线的方程.例1.已知A ，B 两点是圆x 24+y 24=1与一条直线的两交点，且点M ()1,1是弦AB 的中点，求直线AB 的方程.解法一：利用韦达定理解：设直线AB 的方程为y -1=k ()x -1，由ìíîïïy -1=k ()x -1,x 24+y 24=1,可得()2k 2+1x 2-4()k 2-k x +2()k -12-4=0,设A ()x 1,y 1,B ()x 2,y 2，则x 1+x 2=2()k 2-k 2k 2+1,又点M ()1,1是直线AB 的中点坐标，所以x 1+x 22=2()k 2-k 2k 2+1=1，解得k =-12,所以直线AB 的方程为y -1=-12()x -1，即x +2y -3=0.我们将直线与圆的方程联立，通过消元得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理建立方程的根与系数的关系式，求得斜率，便能快速得到直线的方程.解法二：点差法解：设A ()x 1,y 1,B ()x 2,y 2，∵直线AB 的中点M ()1,1，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2，又∵A 、B 两点是圆上的点，∴ìíîx 21+2y 21=4,x 22+2y 22=4,将两式相减可得()x 21-x 22+2()y 21-y 22=0，∴y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x22()y 1+y 2=-12，即k AB =-12,∴直线AB 的方程为y -1=-12()x -1，即x +2y -3=0.设出弦的两个端点的坐标后，将其代入圆的方程，将两式相减，所得的式中就会含有三个未知量x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1-y2x 1-x 2，这样就直接建立了中点和直线的斜率之间的联系，利用中点公式即可求得到直线的斜率．解法三：参数方程法解：设{x =1+t cos α,y =1+t sin α,（t 为参数）将其代入圆的方程x 24+y 24=1中,可得()1+sin 2αt 2+2()cos α+2sin αt -1=0.∴t 1+t 2=-2()cos α+2sin α1+sin 2α,∵AB 的中点为M ()1，1，∴t 1+t 22=-cos α+2sin α1+sin 2α=0,化简可得cos α+2sin α=0,即sin αcos α=-12,将其代入()1+sin 2αt 2+2()cos α+2sin αt -1=0中并消去参数t ，可得直线AB 的方程为x +2y -3=0.参数方程法较为直接，将直线的参数方程代入圆求解两类中点弦问题的思路涂建芳43锥曲线方程中，通过恒等变换消去参数即可得到直线的方程.二、求中点弦中点的轨迹方程对求中点弦中点的轨迹方程问题，我们一般能根据已知条件求出圆锥曲线方程、直线的方程或斜率.要求中点弦中点的轨迹方程，需求出弦中点的坐标或者相关的表达式.常用的方法有两种：1.点差法.首先设出直线与曲线的交点的坐标，将其代入曲线的方程中并作差，再结合弦所在直线的方程或者斜率，求出中点坐标或者表达式，化简便可求出中点弦中点的轨迹方程.2.变换中心法.设出中点弦的中点，根据点的对称性（弦的两个端点关于中点对称）建立关于弦中点与斜率的关系式，化简求出中点弦中点的轨迹方程.例2.已知点P ()-6，0是双曲线x 236-y 29=1上的一点，过点P 的直线与椭圆相交于Q 点，求PQ 的中点的轨迹方程.解法一：点差法解：设点M ()x ,y 为弦PQ 的中点，且P ()x 1,y 1、Q ()x 2,y 2，∴ìíîx 21-4y 21=36,x 22-4y 22=36,将两式作差可得()x 21-x 22-4()y 21-y 22=0，∴2x ()x 1-x 2-4∙2y ()y 1-y 2=0,又∵x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，∴y 1-y 2x 1-x 2=x4y,又∵k PQ=y -0x -()-6,∴x 4y =y x +6,∴PQ 的中点轨迹方程为x 2+6x -4y 2=0()x ≠-6.运用点差法解题的基本思路是，将点代入圆锥曲线方程中，将两式作差，建立x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1-y 2x 1-x 2三者之间的联系，代入两个已知式子的值，便可求出第三个式子的值.解法二：变换中心法解：设弦中点M ()x ,y ，Q ()x 1,y 1，∵x =x 1-62,y =y 12,∴x 1=2x +6,y 1=2y ,又Q 是双曲线上一点，∴x 2136-y 219=1,即4()x +3236-4y 29=1,∴PQ 中点M 的轨迹方程为()x +329-4y 29=1()x ≠-6,即x 2+6x -4y 2=0()x ≠-6.运用变换中心法解题的关键是利用点的对称性来建立关系式.解答圆锥曲线的中点弦问题的关键在于从“中点”入手，根据题目条件设出点的坐标、直线或曲线的方程，利用韦达定理、参数方程、点的对称性来解题.其中，运用点差法是解答中点弦问题的常规思路，也是最为简单且高效的方法.(作者单位:安徽省广德市实验中学)。
圆锥曲线中的中点弦
秒杀题型：玩转压轴题之中点弦问题秒杀题型一：圆、椭圆、双曲线的中点弦问题：注：方程：221mx ny +=，①当0,>n m 且n m ≠时，表示椭圆；②当0,>n m 且n m =时，表示圆；③当n m ,异号时，表示双曲线。
秒杀策略：点差法：简答题模板：step1：设直线与曲线：设直线:l y kx t =+与曲线：221mx ny +=交于两点A 、B ，AB 中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ，Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+⎧⎨=+⎩;22112222 1 (1)1 (2)mx ny mx ny ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：..AB AB OP y mk k k x n=-=中中。
(作为公式记住，在小题中直接用。
)题型一：求值：〖母题1〗已知椭圆221164x y +=,求以点P(2,－1)为中点的弦所在的直线方程.1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为()0,3F ,过点F 的直线交椭圆于B A ,两点.若AB 的中点坐标为()11-，,则E 的方程为()A.1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.191822=+y x 2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为()A.22136x y -= B.22145x y -= C.22163x y -= D.22154x y -=3.(高考题)已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ,B 在第一象限,23||=AB .（1）求点B 的坐标;（2）若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点,且线段EF 的中点坐标为)1,4(,求a 的值.4.(2015年新课标全国卷II20)已知椭圆)0(9:222>=+m m y x C ,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点B A ,,线段AB 的中点为M .（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点⎪⎭⎫⎝⎛m m ,3,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行？若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.5.(高考题)已知椭圆C 的焦点分别为1(F -和2F ,长轴长为6,设直线2y x =+交椭圆C 于,A B 两点,求线段AB 的中点坐标.6.(高考题)设椭圆C :()222210x y a b a b+=>>过点()0,4,离心率为35．（1）求C 的方程；（2）求过点()3,0且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标.7.(2013年全国高考试题新课标卷II)平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M:22221x y a b+=(0>>b a )右焦点的直线03=-+y x 交M 于A,B 两点,且P 为AB 的中点,OP 的斜率为12.（1）求M 的方程；（2）C,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB,求四边形ACBD 面积的最大值。
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圆锥曲线
专题04 中点弦问题
一、用点差法求斜率及常用公式
在圆锥曲线中涉及弦中点问题，如果涉及斜率，则常用点差法求斜率，关于点差法求斜率的方法，证明过程如下：
直线与椭圆交于A,B 两点，是弦AB 的中点，求直线AB 的斜率。
【解析】设，点A,B 在椭圆上，所以
…………………………………….① …………………………………….②
①-
②得：y km b =+22
22:1x y C a b
+=00(x ,y )M 1122A(x ,y ),B(x ,y )221122
x y 1a b +=222222x y 1a b
+=
这是一个标准的点差法求斜率的例题，不过需要注意最后的结论，因为方法过程简单但是繁琐，在小题里面可以直接利用结论来求出相关的斜率，常用结论如下：
1、斜率为k的直线l交椭圆于两点且AB的中点为
，则，焦点在y轴上时有
2、斜率为k的直线l交双曲线于两点且AB中点为
，则，焦点在y轴上时有
3、斜率为k的直线l交抛物线于两点且AB中点为
，则学-科网
例1：已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，直线与抛物线相交于
A,B两个不同的点，点是AB的中点，则的面积是（）
2222
1212
22
x x y y
a b
--
+=
2
1212
2
1212
(x x)(x x)
(y y)(y y)
a
b
-+
=-
-+
22
22
y
..
x
AB AB OM
b b
k k k
a a
=-⇒=-
22
22
1
x y
a b
+=
1122
A(x,y),B(x,y)
00
(x,y)
M
2
2
.
OM
b
k k
a
=-
2
2
.
OM
a
k k
b
=-
22
22
1
x y
a b
-=
1122
A(x,y),B(x,y)
00
(x,y)
M
2
2
.
OM
b
k k
a
=
2
2
.
OM
a
k k
b
=
22
y px
=
1122
A(x,y),B(x,y)
00
(x,y)
M
.
OM
p
k k
x
=
2
21
3
x
y
-=22(p0)
y px
=>y km b
=+
(2,2)
M AOB
∆
A B C D
例2
：如图，椭圆的焦点为，过的直线交椭圆于点M,N ，交y 轴于点H ，若，H 是线段的三等分点，则的周长为_______.
【解析】的周长等于，直线MN 斜率必定存在，设其为k ，则
可得，
中点坐标为所以根据中点弦结论可知22
214
x y a +=12,F F 1F 1F 2F MN ∆2F MN ∆4a :y k(x c)
MN =+H(0,ck)1F H (,)22c ck P -2K 2
op ck k c ==--2
2K .K MN op b a
=-
则，因为H 是的中点，可得将N 点代入椭圆方程中整理可得，结合b=2解得故的周长为二、利用导数法求解中点弦问题
探究：在点差法中我们设了两个点，每个点中又有两个量，能不能减少未知量的个数，利用中点坐标公式我们可以将四个未知量变成两个，如下：
例：过点作一条直线l
交椭圆于点，若点A 恰好是弦的中点，求直线l 的方程。
【解析】设，用中点坐标公式求得，因此代入椭圆中有： ……………….① ……….……② ①-②化简得：………………………….…③ 接下来用图像反映三个式子的位置关系：
从图左中可以看出点A 其实是两个椭圆的对称点，而过A 点的直线则是两个椭圆的公共弦，两个椭圆式子相减得到公共弦，这跟两个圆方程相减得到相交弦方程一样。
那么如果点A 的位置不在椭圆内而在椭圆上的话，从上面可知
点A
依旧是两椭圆的对称点，此时两个椭圆的位置关系相切，如上图右。
所以再重复一遍上面的 点差法我们得到
,(0,)b bc k H a a =1F N 2N(c,)bc a
225a c =25
a =2F MN ∆(2,1)A 22
1169
x y +=12,P P 12PP 111(x ,y )P 211(4x ,2y )P --22111169
x y +=2211(4)(2)1169x y --+=1121089
x y --+=
过点A 的直线其实就是原椭圆的切线，过程略。
直接给出椭圆的切线方程：因此我们可以得到以下结论：椭圆上点处的切线方程为所以上面的结论可以直接用来写出椭圆的切线方程，当然先用导数求得斜率，再用点斜式写出切线方程也可以，只不过没有上面的 结论简洁直接，但是这跟用导数法求斜率有什么关系？我们继续以这个例题为例：例：过点作一条直线l 交椭圆于点，若点A 恰好是弦的中点，求直线l 的方程。
很多学生问点A 又不在椭圆上，为什么求导可以直接代入点A 呢，其实很简单，点A 虽然不在椭圆上，但是一定在把椭圆按比例缩小的椭圆上，此时对缩小之后的椭圆进行求导
可以发现不改变原椭圆方程求导之后的结果，因此可以直接对原椭圆方程进行求导，代入点求得过点A 的直线的斜率。
例3：过椭圆内一点引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程。
001169
x x y x +=22
:1169
x y C +=00(,)A x y 00221x x y x a b
+=(2,1)A 22
1169
x y +=12,P P 12PP 22
1164
x y +=M(2,1)
例4：已知双曲线，经过点能否作出一条直线l ，使与双曲线交于A,B 两点，且点M 是线段AB 的中点，若存在这样的直线，求出方程，如果不存在，说明理由。
【解析】法一：公式法
假设存在这样的直线，当直线的斜率存在时，设其为k ，套公式解得k=2法二：导数法
对双曲线进行求导得：，将代入得，即k=2此时直线的方程为，如果存在这条直线，则直线和双曲线必有两个交点，直线和方程联立得，不符合有两个交点，故不存在这样的直线；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为不符合中点条件，故综上所述，不存在这样的直线
2
2
12y x -=M(1,1)22.OM b k k a ='2202
y x y -=M(1,1)'2y =21y x =-0∆<1x =。