中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练含详细答案(1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A (﹣1,0),B (3,0)两点,与y 轴相交于点C (0,﹣3). (1)求这个二次函数的表达式;
(2)若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH ⊥x 轴于点H ,与BC 交于点M ,连接PC .
①求线段PM 的最大值;
②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时,求点P 的坐标.
【答案】(1)二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3;(2)①PM 最大=9
4
;②P (2,﹣3)或(22﹣2). 【解析】 【分析】
(1)根据待定系数法,可得答案;
(2)①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案;②根据等腰三角形的定义,可得方程,根据解方程,可得答案. 【详解】
(1)将A ,B ,C 代入函数解析式,
得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩
,解得123a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩,
这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3; (2)设BC 的解析式为y=kx+b , 将B ,C 的坐标代入函数解析式,得
303k b b +=⎧⎨
=-⎩,解得1
3k b =⎧⎨=-⎩
, BC 的解析式为y=x ﹣3,
设M (n ,n ﹣3),P (n ,n 2﹣2n ﹣3),
PM=(n﹣3)﹣(n2﹣2n﹣3)=﹣n2+3n=﹣(n﹣3
2
)2+
9
4
,
当n=3
2
时,PM最大=
9
4
;
②当PM=PC时,(﹣n2+3n)2=n2+(n2﹣2n﹣3+3)2,
解得n1=0(不符合题意,舍),n2=2,
n2﹣2n﹣3=-3,
P(2,-3);
当PM=MC时,(﹣n2+3n)2=n2+(n﹣3+3)2,
解得n1=0(不符合题意,舍),n2=3+2(不符合题意,舍),n3=3-2,
n2﹣2n﹣3=2-42,
P(3-2,2-42);
综上所述:P(2,﹣3)或(3-2,2﹣42).
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题,涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识,综合性较强,解题的关键是认真分析,弄清解题的思路有方法.
2.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求直线BC的函数表达式;
(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P 在第三象限.
①当线段PQ=3
4
AB时,求tan∠CED的值;
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.
【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3.(2)直线BC的函数表达式为y=x-
3.(3)①2
3
.①P1(122),P2(1
6
,
7
4
).
【解析】 【分析】
已知C 点的坐标,即知道OC 的长,可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长,即可得出B 点的坐标.已知了△AOC 和△BOC 的面积比,由于两三角形的高相等,因此面积比就是AO 与OB 的比.由此可求出OA 的长,也就求出了A 点的坐标,然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式. 【详解】
(1)∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴− 221
b b
a -
⨯==1 ∴b=-2
∵抛物线与y 轴交于点C (0,-3), ∴c=-3,
∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3; (2)∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点, 当y=0时,x 2-2x-3=0. ∴x 1=-1,x 2=3. ∵A 点在B 点左侧, ∴A (-1,0),B (3,0)
设过点B (3,0)、C (0,-3)的直线的函数表达式为y=kx+m ,
则033k m m ==+⎧⎨-⎩,
∴13k m ⎧⎨-⎩
==
∴直线BC 的函数表达式为y=x-3; (3)①∵AB=4,PQ=3
4
AB , ∴PQ=3 ∵PQ ⊥y 轴 ∴PQ ∥x 轴,
则由抛物线的对称性可得PM=32
, ∵对称轴是直线x=1, ∴P 到y 轴的距离是12, ∴点P 的横坐标为−12
, ∴P (−
1
2,−74
)
∴F(0,−7
4
),
∴FC=3-OF=3-7
4
=
5
4
∵PQ垂直平分CE于点F,
∴CE=2FC=5 2
∵点D在直线BC上,
∴当x=1时,y=-2,则D(1,-2),过点D作DG⊥CE于点G,
∴DG=1,CG=1,
∴GE=CE-CG=5
2
-1=
3
2
.
在Rt△EGD中,tan∠CED=
2
3 GD
EG
=.
②P1(2,-2),P2(1-
6
2
-
5
2
).
设OE=a,则GE=2-a,
当CE为斜边时,则DG2=CG•GE,即1=(OC-OG)•(2-a),
∴1=1×(2-a),
∴a=1,
∴CE=2,
∴OF=OE+EF=2
∴F、P的纵坐标为-2,
把y=-2,代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得:2或2∵点P在第三象限.
∴P1(2-2),
当CD为斜边时,DE⊥CE,
∴OE=2,CE=1,
∴OF=2.5,