中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练含详细答案(1)

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一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)

1.如图,已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A (﹣1,0),B (3,0)两点,与y 轴相交于点C (0,﹣3). (1)求这个二次函数的表达式;

(2)若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH ⊥x 轴于点H ,与BC 交于点M ,连接PC .

①求线段PM 的最大值;

②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时,求点P 的坐标.

【答案】(1)二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3;(2)①PM 最大=9

4

;②P (2,﹣3)或(22﹣2). 【解析】 【分析】

(1)根据待定系数法,可得答案;

(2)①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案;②根据等腰三角形的定义,可得方程,根据解方程,可得答案. 【详解】

(1)将A ,B ,C 代入函数解析式,

得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩

,解得123a b c =⎧⎪

=-⎨⎪=-⎩,

这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3; (2)设BC 的解析式为y=kx+b , 将B ,C 的坐标代入函数解析式,得

303k b b +=⎧⎨

=-⎩,解得1

3k b =⎧⎨=-⎩

, BC 的解析式为y=x ﹣3,

设M (n ,n ﹣3),P (n ,n 2﹣2n ﹣3),

PM=(n﹣3)﹣(n2﹣2n﹣3)=﹣n2+3n=﹣(n﹣3

2

)2+

9

4

当n=3

2

时,PM最大=

9

4

②当PM=PC时,(﹣n2+3n)2=n2+(n2﹣2n﹣3+3)2,

解得n1=0(不符合题意,舍),n2=2,

n2﹣2n﹣3=-3,

P(2,-3);

当PM=MC时,(﹣n2+3n)2=n2+(n﹣3+3)2,

解得n1=0(不符合题意,舍),n2=3+2(不符合题意,舍),n3=3-2,

n2﹣2n﹣3=2-42,

P(3-2,2-42);

综上所述:P(2,﹣3)或(3-2,2﹣42).

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题,涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识,综合性较强,解题的关键是认真分析,弄清解题的思路有方法.

2.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)求直线BC的函数表达式;

(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P 在第三象限.

①当线段PQ=3

4

AB时,求tan∠CED的值;

②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.

【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3.(2)直线BC的函数表达式为y=x-

3.(3)①2

3

.①P1(122),P2(1

6

7

4

).

【解析】 【分析】

已知C 点的坐标,即知道OC 的长,可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长,即可得出B 点的坐标.已知了△AOC 和△BOC 的面积比,由于两三角形的高相等,因此面积比就是AO 与OB 的比.由此可求出OA 的长,也就求出了A 点的坐标,然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式. 【详解】

(1)∵抛物线的对称轴为直线x=1,

∴− 221

b b

a -

⨯==1 ∴b=-2

∵抛物线与y 轴交于点C (0,-3), ∴c=-3,

∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3; (2)∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点, 当y=0时,x 2-2x-3=0. ∴x 1=-1,x 2=3. ∵A 点在B 点左侧, ∴A (-1,0),B (3,0)

设过点B (3,0)、C (0,-3)的直线的函数表达式为y=kx+m ,

则033k m m ==+⎧⎨-⎩,

∴13k m ⎧⎨-⎩

==

∴直线BC 的函数表达式为y=x-3; (3)①∵AB=4,PQ=3

4

AB , ∴PQ=3 ∵PQ ⊥y 轴 ∴PQ ∥x 轴,

则由抛物线的对称性可得PM=32

, ∵对称轴是直线x=1, ∴P 到y 轴的距离是12, ∴点P 的横坐标为−12

, ∴P (−

1

2,−74

∴F(0,−7

4

),

∴FC=3-OF=3-7

4

=

5

4

∵PQ垂直平分CE于点F,

∴CE=2FC=5 2

∵点D在直线BC上,

∴当x=1时,y=-2,则D(1,-2),过点D作DG⊥CE于点G,

∴DG=1,CG=1,

∴GE=CE-CG=5

2

-1=

3

2

在Rt△EGD中,tan∠CED=

2

3 GD

EG

=.

②P1(2,-2),P2(1-

6

2

-

5

2

).

设OE=a,则GE=2-a,

当CE为斜边时,则DG2=CG•GE,即1=(OC-OG)•(2-a),

∴1=1×(2-a),

∴a=1,

∴CE=2,

∴OF=OE+EF=2

∴F、P的纵坐标为-2,

把y=-2,代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得:2或2∵点P在第三象限.

∴P1(2-2),

当CD为斜边时,DE⊥CE,

∴OE=2,CE=1,

∴OF=2.5,

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