惠更斯原理 波的叠加和干涉

(1)振幅 2 A cos 2π x 随 x 而异,与时间无关
cos 2π x
1 2 π x 2k k 0,1,2,
2
0 2 π x (2k 1) k 0,1,2,
2
第五章 机械波
a 当 cos 2π x 0 时 A 0 为波节
x (2k 1) ( 的奇数倍)
44
(k 0,1,2， )
vO
vsB
AO
B
第五章 机械波
解 (1)已知 u 330 m s-1, vsA 0, vsB 60 m s-1
' u v0
u vs
' 330 30 500 454.5 Hz
330
vO
vsB
AO
B
第五章 机械波
(2) 观察者听到来自B 的频率
330 30 500 461.5 Hz
解 如图，飞机在4s内经过的距离为AB
AB vst h(cot cot )
vAC vs cos vBC vs cos
A
vs
B
h
第五章 机械波
1
u
u
vAC
0
u
u
vs cos
0
2
u
u vBC
0
u
u
vs cos
0
cos 1 0 u 0.275 cos 0 2 u 0.413
dWp
(y )2 x
节
x
波
腹
x
dWk
(y )2 t
A B C 平衡位置时
第五章 机械波
驻波的能量 驻波的能量在相邻的波腹和波节 间往复变化，在相邻的波节间发生动 能和势能间的转换，动能主要集中在 波腹，势能主要集中在波节，但无能 量的定向传播.
五 振动的简正模式
第五章 机械波
两端固定的弦线形成驻波时，波长n
讨论 人耳听到的声音的频率与声源
的频率相同吗？
s ?
发射频率 s
接收频率
第五章 机械波
接收频率——单位时间内观测者接收 到的振动次数或完整波数.
s ?
发射频率 s
接收频率
只有波源与观察者相对静止时才相等.
第五章 机械波
一 波源不动,观察者相对介质以 v0运动
第五章 机械波
观察者 接收的 频率
1 s
2 s
第五章 机械波
例 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波 源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点 A 为波 峰时，点B 适为波谷.设波速为10m/s，试写出由A、B 发出的两列波传到点P 时干涉的结果.
P
解 BP 152 202m 25 m
15m
u 10 m 0.10 m
2） i i'
波的折射定律
1）折射线、入射线和界 面的法线在同一平面内；
sin i
2）
u1
sin r u2
5.4.2 波的叠加原理
第五章 机械波
几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有的特征
（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来 的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.
在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在
u vs
察
者 ' u 波源远离观察者运动
接
u vs
收
的
s s'
A
频
率
vsT
b
第五章 机械波
三 波源与观察者同时相对介质运动(vs , v0 )
' u v0
u vs
v0 观察者向波源运动 +
远离 -
vs 波源向观察者运动 -
远离 +
第五章 机械波
若波源与观察者不沿二者连线运动
' u v'0
100
A
20m
B
设 A 的相位较 B 超
前，则 A B π .
B
A
2π
BP
AP
π 2π
25 15 0.1
201π
点P 合振幅
A A1 A2 0
第五章 机械波
作业：P193 5-11、5-16
一 驻波的产生
1 现象
第五章 机械波
第五章 机械波
2 条件 两列振幅相同的相干波异向传播
飞机越过静止于地面的观察者上空时, 观
察者在4 s内测出的频率由1 2 400 Hz 降 为 2 1 600 Hz . 已知声波在空气中的速度
为 u 330 m s1 . 试求飞机的飞行高度h.
第五章 机械波
已知 vs 200 m s1 0 2 000 Hz 1 2 400 Hz 2 1 600 Hz u 330 m s1 求h
观察者向波源运动
' u v0
u 观察者远离波源运动
' u v0
u
第五章 机械波
二 观察者不动,波源相对介质以vs运动
T ' vsT b
u
u
第五章 机械波
s s'
vsT
T
uA
b
' 1 u u T ' vsT u vs
第五章 机械波
观
' u 波源向观察者运动
b 当 cos 2π x 1 时 A 2A 为波腹
x 2k
4
( 的偶数倍)
4
(k 0,1,2， )
第五章 机械波
结论 有些点始终不振动,有些点始终振幅最大
相邻波腹（节）间距 2 相邻波腹和波节间距 4
y
波腹
波节
3
5 x
4
4
4
4
振幅包络图 2
第五章 机械波
(2) 相位分布
y (2Acos 2π x) cos t Acos t
（c）在OA之间波节和波腹的位置坐标. y 12
O
L
A
x
第五章 机械波
解 （a）设反射波方程为
y2
103
cos[200π(t
x) 200
0 ]
(m)
由式（1）得A点的反射振动方程
y1A
103
cos[200π(t
L) 200
π]
(m)
（2） （3）
y 12
O
L
A
x
第五章 机械波
由式（2）得A点的反射振动方程
4
π) cos(200πt 4
π) 4
得波节坐标 x n 1 (n 0,1,2, )
4
x ≤ 2.25 m x 0.25 m,1.25 m,2.25 m
令 cos(πx π ) 1 4
得波腹坐标 x n 1
(n 1,2, )
4
x ≤ 2.25 m x 0.75 m,1.75 m
第五章 机械波
x ( , ),cos 2π x 0
44
y (2Acos 2π x) cost
结论一 相邻两波节间各点振动相位相同
第五章 机械波
y
4
4
3
4
5
4
x
x ( , 3 ),cos 2π x 0
44
y (2Acos 2π x) cost (2Acos 2π x) cos(t π)
结论二 一波节两侧各点振动相位相反
A2
cos(t
2
2π
r2 )
yp y1p y2 p Acos(t )
tan
A1 sin(1 A1 cos(1
2π r1 )
2π r1 )
A2
sin(
2
2π r2
)
A2
cos(2
2π r1
)
A A12 A22 2 A1 A2 cos
2
1
2π
r2 r1
常量
第五章 机械波
u v's
v's
vs
vo
v'o
第五章 机械波
当 vs u 时，所有波前将聚集
在一个圆锥面上，波的能量高度集中 形成冲击波或激波，如核爆炸、超音 速飞行等.
ut
P2
P1
vst
第五章 机械波
多普勒效应的应用
(1)交通上测量车速； (2)医学上用于测量血流速度； (3)天文学家利用电磁波红移说明大爆炸理论； (4)用于贵重物品、机密室的防盗系统； (5)卫星跟踪系统等.
时在该点所引起的振动位移的矢量和.
5.4.3 波的干涉
第五章 机械波
频率相同、 振动方向平行、 相位相同或相位 差恒定的两列波 相遇时，使某些 地方振动始终加 强，而使另一些 地方振动始终减 弱的现象，称为 波的干涉现象.
第五章 机械波
s1 r1 *P
s2
r2
波源振动
点P 的两个分振动
➢ 波的相干条件
y2 A
103
cos[200π(t
L) 200
0 ](m（) 4）
舍
由式(3)和式(4)得：
去
0 0
2πL π 2
π
-3.5π
-4π
π 2
所以反射波方程为：
y2
103
cos[200π(t
x) 200
π] 2
(m)
第五章 机械波
（b） y （c） 令
y1 y2 2103 cos(πx cos(πx π ) 0
和弦线长 l 应满足
l n n ,
2
n
nu 2l
n 1,2,
这种振动方式称为弦线振动的简正模式.
第五章 机械波
两端固定的弦振动的简正模式
l n n
2
n 1,2,
l 1
2
l 22
2
l 33
2
第五章 机械波
一端固定一端自由的弦振动的简正模式
l (n 1) n n 1,2,
22
l 1 4
第五章 机械波
边界条件
驻波一般由入射、反射波叠加而成， 反射发生在两介质交界面上，在交界面处 出现波节还是波腹，取决于介质的性质.
波阻：u
介质分类 波疏介质,波密介质
波疏介质
波密介质
第五章 机械波
波
波
疏
密
介
介
质
质
u
u
较
较
小
大
第五章 机械波
三 半波损失（相位跃变）
当波从波疏介质垂直入射到波密介质, 被反射到波疏介质时形成波节. 入射波与反 射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分
界处产生 π 的相位跃变，相当于出现了半个
波长的波程差，称半波损失.
第五章 机械波
波密介质 波疏介质
当波从波密介质垂直入射到波疏 介质， 被反射到波密介质时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相位时时相 同，即反射波在分界处不产生相位跃 变.
第五章 机械波
四 驻波的能量
第五章 机械波
波
位移最大时
第五章 机械波
讨论
A A12 A22 2 A1 A2 cos
2
1
2π
r2 r1
若
1
2
则 2π
2k
k
波程差
0,1,2,
r2
r1
2
A A1 A2
振动始终加强
3)
(2k 1)
A A1 A2 2
k 0,1,2,
振动始终减弱
其他 A1 A2 A A1 A2
330 60 (3) 观察者听到的拍频
7 Hz
vO AO
vsB
B
第五章 机械波
例5.9 利用多普勒效应监测车速，固定波
源发出频率为 100 kHz 的超声波，当汽车向
波源行驶时，与波源安装在一起的接收器接收 到从汽车反射回来的波的频率为" 110 kHz . 已知空气中的声速u 330 m s，1 求车速.
1）频率相同； 2）振动方向平行； 3）相位相同或相位差恒定.
y1 A1 cos(t 1)
y2 A2 cos(t 2 )
y1 p
A1 cos(t
1
2π
r1 )
y2 p
A2
cos(t
2
2π
r2
)
第五章 机械波
点P 的两个分振动
s1
r1 *P
s2
r2
y1 p
A1
cos(t
1
2π
r1
)
y2 p
l 32
4
l 53
4
第五章 机械波
例 如图, 一列沿x轴正向传播的简谐波
方程为
y1
103 cos[200π(t x )] 200
(m)
（1）
在1，2两种介质分界面上点A与坐标原点O
相距L=2.25 m.已知介质2的波阻大于介质1
的波阻,假设反射波与入射波的振幅相等, 求： （a）反射波方程; （b）驻波方程;
第五章 机械波
例1 A、B 为两个汽笛，其频率皆为500
Hz，A 静止，B 以60 m s1的速率向右运动.
在两个汽笛之间有一观察者O，以30 m s1的
速度也向右运动. 已知空气中的声速
为 330 m s1,求： (1)观察者听到来自A的频率；
(2)观察者听到来自B的频率；
(3)观察者听到的拍频.
讨论
A A12 A22 2 A1A2 cos
2
1
2π
r2 r1
1 ) 合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分 布随位置而变，但是稳定的.
2k π k 0,1,2,
A A1 A2 振动始终加强
2 ) (2k 1) π k 0,1,2,
A A1 A2 振动始终减弱
其他 A1 A2 A A1 A2
3 械波
二 驻波方程
正向
y1
A c os2π
(t
x)
负向
y2
Acos2π (t
x)
y y1 y2
Acos2π (t x ) Acos2π (t x )
2 Acos2π x cos2π t
讨论
第五章 机械波
驻波方程 y 2Acos2π x cos2π t
v0
第五章 机械波
解 (1)车为接收器 ' u v0
u
(2)车为波源 " u ' v0 u
u vs
u vs
车速
v0
vs
" "
u
56.8
km h 1
v0
第五章 机械波
例2 利用多普勒效应测飞行的高度.飞 机在上空以速度 vs 200 m s1 沿水平直线
飞行,发出频率为 0 2 000 Hz 的声波 . 当
第五章 机械波
5.4.1 惠更斯原理(1690年) 介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波
的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是 新的波前.
ut
平 面 波
球 面 波
R1
O
R2
波的反射和折射
N
I i i' L
界面
N
I i i' L
界面
rR
第五章 机械波
波的反射定律
1）反射线、入射线和界面 的法线在同一平面内；