初中数学八年级证明
八年级数学上册《几何证明中典型例题的解析》优秀教学案例
（一）知识与技能
1.让学生掌握几何证明的基本概念，如对顶角、同位角、内错角等，并能运用这些概念分析几何图形。
2.使学生熟练掌握几种常见的几何证明方法，如综合法、分析法、递推法等，并能灵活运用这些方法解决实际问题。
3.培养学生运用几何定理和公理进行推理证明的能力，提高他们解决几何问题的技巧。
（四）反思与评价
1.鼓励学生在课后进行自我反思，总结自己在几何证明中的优点和不足，不断调整学习方法。
2.教师对学生的学习过程和结果进行评价，既要关注知识技能的掌握，也要关注学生在合作、探究等方面的表现。
3.定期组织学生进行阶段测试，检测学生对几何证明知识的掌握程度，及时发现问题，调整教学策略。
4.通过课堂提问、课后作业、小组讨论等多种方式，全面了解学生的学习情况，为教学提供有力支持。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的几何图形，如建筑物的立面图、道路的交叉线等，引发学生对几何图形的关注。
2.提问：“同学们，我们在生活中经常会遇到各种各样的几何图形，那你们知道如何证明这些几何图形的性质吗？”通过问题导入新课，激发学生对几何证明的兴趣。
3.简要回顾已学的几何知识，如角的性质、三角形的性质等，为新课的学习做好铺垫。
4.反思与评价机制的有效运用
本案例注重学生的自我反思和教师的评价，使学生在反思中总结经验、发现不足，不断调整学习方法。同时，教师的评价有助于了解学生的学习情况，为教学提供有力支持。这种反思与评价机制，有助于提高学生的学习效果和教师的教学质量。
5.内容与过程并重的教学策略
本案例在教学内容与过程的设计上，既注重知识的传授，又关注学生能力的培养。通过导入新课、讲授新知、小组讨论、总结归纳等环节，让学生在掌握几何证明知识的同时，培养了解决问题、合作交流、反思评价等多种能力。这种内容与过程并重的教学策略，有助于提高学生的综合素质。
初中数学证明方法归纳
初中数学证明方法归纳数学是一门需要严密推理和证明的学科，证明方法是数学的重要组成部分之一。
在初中阶段，学生们需要逐渐掌握一些常见的数学证明方法，这对他们今后的学习和解决问题能力都具有重要意义。
本文将对初中数学常见的证明方法进行归纳整理，并以具体例子进行说明。
一、直接证明法直接证明法是最常见也是最基本的证明方法之一，它是通过逻辑推理和数学性质来证明一个命题。
直接证明法通常包含两个步骤：假设条件和推导结论。
我们通过一个具体的例子来说明这个方法。
假设我们要证明：两个互素的正整数的乘积也是互素的。
首先，假设两个正整数a和b是互素的，即它们没有共同的质因数。
接下来我们通过反证法来证明两个互素的正整数的乘积也是互素的。
假设它们的乘积ab不是互素的，即它们有共同的质因数。
那么根据质因数分解定理，存在一个质数p，它能同时整除a和b，这与a和b是互素的假设矛盾。
因此，我们可以得出结论：两个互素的正整数的乘积也是互素的。
二、归纳法归纳法是一种常见且强大的证明方法，适用于证明一些有规律的命题。
归纳法分为两个步骤：归纳假设和归纳证明。
我们通过一个典型的例子来说明归纳法的运用。
假设我们要证明：对于任意的正整数n，2ⁿ-1可以被3整除。
首先，我们通过归纳法进行证明。
当n=1时，2ⁿ-1=1，可以被3整除；假设当n=k时，2ⁿ-1可以被3整除，即假设为真。
接下来我们通过归纳证明来推导n=k+1时的情况。
当n=k+1时，我们可以将2ⁿ-1拆分为2（2ⁿ-1）+1，而根据归纳假设，2ⁿ-1可以被3整除，所以2（2ⁿ-1）也可以被3整除。
同时，1除以3的余数是1，所以2（2ⁿ-1）+1也可以被3整除。
因此，我们可以得出结论：对于任意的正整数n，2ⁿ-1可以被3整除。
三、反证法反证法是一种常见且常用的证明方法，它适用于证明一些否定命题的真实性。
反证法的基本思路是假设命题的反命题是成立的，然后通过逻辑推理来推出一个矛盾的结论，从而证明命题的真实性。
【初中数学++】定理与证明+课件+华东师大版八年级数学上册
13.1 命题、定理与证明
2.定理与证明
华师大版-数学-八年级上册
教学目标
1．理解和掌握定理的概念，了解证明(演绎推理)的概 念.【重点】 2．掌握证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的 几何知识证明一些简单的几何问题.【难点】 3.感受证明的必要性，培养说理有据，有条理地表达的 良好意识.
( √) ( √) (√)
探索新知
基本事实：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中 总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据， 即出发点.这样的真命题视为基本事实.
探索新知
例如下列的真命题作为基本事实： 1.两点确定一条直线； 2.两条之间，线段最短； 3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 5.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行.
试一试：画一个钝角三角形试试看.
探索新知
思考：（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边 形、七边形等的内角和，得到一个结论：n 边形的内角 和等于(n - 2)×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多 边形的内角和不满足这一规律？
实际上，这是一个正确的结论.
掌握新知
上面的几个例子说明了什么问题？ 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，通 过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.
情境导入
试判断下列句子是否正确： （1）如果两个角பைடு நூலகம்对顶角，那么这两个角相等. （2）两直线平行，同位角相等. （3）同旁内角相等，两直线平行. （4）平行四边形的对角线相等. （5）直角都相等. （6）三角形的内角和等于180°. （7）等腰三角形的两个底角相等 .
初二数学证明题练习题
初二数学证明题练习题数学证明在初中阶段是一个重要的内容，通过练习证明题可以帮助学生巩固数学知识，培养逻辑思维和推理能力。
本文将为大家提供一些初二数学证明题的练习题，希望能够对同学们的学习有所帮助。
1. 设直角三角形ABC中，∠ACB=90°，边长分别为AB=a，BC=b，AC=c。
证明：c^2 = a^2 + b^2。
证明思路：利用勾股定理进行证明。
证明：在直角三角形ABC中，根据勾股定理，我们有：AC^2 = AB^2 + BC^2将已知条件代入，得：c^2 = a^2 + b^2因此，原命题成立。
2. 已知三角形ABC中，∠B=90°，则证明：cotA = tanC。
证明思路：利用三角函数的定义进行证明。
证明：在三角形ABC中，根据三角函数的定义，我们有：cotA = cosA / sinAtanC = sinC / cosC因为∠B=90°，所以∠A和∠C是锐角，而且∠A + ∠C = 90°。
因此，sinA = sin(90° - C) = cosC，cosA = cos(90° - C) = sinC。
将cosA和sinA代入cotA的定义中，得：cotA = cosA / sinA = sinC / cosC = tanC因此，原命题成立。
3. 若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，则证明：BO = DO。
证明思路：利用平行四边形的性质进行证明。
证明：在平行四边形ABCD中，我们知道对角线AC和BD相交于点O。
根据平行四边形的性质，我们可以得到以下结论：∠BOD = 180° - ∠ADC（对顶角性质）∠AOB = ∠COD（平行线与横截线性质）又∠ADC = 180° - ∠ACB（内角和性质）因为平行四边形ABCD的对角线相交于点O，所以∠AOB =∠BOD。
综上所述，我们可以得到BO = DO。
初中数学几何证明方法
初中数学几何证明方法数学几何是初中数学的一个重要分支，它主要研究空间中的点、线、面及其相互关系。
在数学几何中，证明是一项关键的技能，它可以帮助我们深入理解几何定理和性质。
本文将介绍初中数学几何证明的一些常用方法和技巧。
1. 直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一，它通过逻辑推理和定理运用来证明一个几何命题。
这种证明方法通常包括两个步骤：首先，利用已知条件和几何定理推导出待证命题的前提条件；其次，利用已知条件和几何定理推导出待证命题的结论。
最后，结合前提条件和结论，通过逻辑推理来证明待证命题成立。
2. 反证法反证法是一种常用的证明方法，它通过假设待证命题不成立，然后推导出与已知条件矛盾的结论，从而证明待证命题是正确的。
这种证明方法通常包括三个步骤：首先，假设待证命题不成立；其次，根据这一假设推导出与已知条件矛盾的结论；最后，由于这个结论与已知条件矛盾，所以假设是错误的，待证命题是正确的。
3. 数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，它适用于证明一类命题的正确性。
这种证明方法通常包括两个步骤：首先，证明命题对于某个特定的数值成立；其次，假设命题对于某个数值成立，然后证明命题对于下一个数值也成立。
通过数学归纳法可以证明一类命题的所有情况。
4. 分类讨论法分类讨论法是一种常用的证明方法，它适用于待证命题有多种情况的情况。
这种证明方法通常包括两个步骤：首先，将待证命题分成几种情况讨论；其次，对每种情况分别进行证明。
通过分类讨论法可以全面地证明待证命题的所有情况。
5. 双重否定法双重否定法是一种常用的证明方法，它通过排除其他可能性来证明待证命题的正确性。
这种证明方法通常包括两个步骤：首先，假设待证命题不成立；其次，通过排除其他可能性，得出待证命题是正确的结论。
通过双重否定法可以证明待证命题的唯一性。
6. 反证法的变形反证法的变形是一种常用的证明方法，它通过转化待证命题，然后利用已知条件和几何定理推导出与转化后命题矛盾的结论，从而证明待证命题是正确的。
初中数学几何证明经典题(含答案)
初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证:CD＝GF．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO.由于GOFE四点共圆,所以∠GFH＝∠OEG，即△GHF∽△OGE ，可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO,所以CD=GF得证。
2、已知:如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证:△PBC是正三角形．（初二）。
如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆,所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE，可得EOGF=GOGH=COCD，又CO=EO，所以CD=GF得证。
如下图做GH⊥AB,连接EO.由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG，即△GHF∽△OGE，可得EOGF=GOGH=COCD，又CO=EO，所以CD=GF得证.APCDBAFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知:如图,在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．(初二）D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 AN FE CDMB· A HEOF2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线,交圆于B 、C 及D 、E,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题:设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证:CE ＝CF ．(初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA,直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典1、已知:△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC 求：∠APB 的度数．(初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA ＝∠PDA ． 求证:∠PAB ＝∠PCB ．(初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证:AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．(初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．C BD A F PD E CB A APCBACPDA CBPD4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB，连接EO。
北师大版初中数学八年级(上)备课资料7-1 为什么要证明
第七章平行线的证明1为什么要证明典型例题题型一实验验证结论例1观察，再验证.(1)图1①中黑色的边是直的还是弯曲的？(2)图1②中两条线段a与b，哪一条更长？①②图1分析：先观察得出结论，再实验验证.解：对于(1)题，直接观察图1①可能得出结论：黑色的边是弯曲的.但实际上，黑色的边是直的.对于(2)题，直接观察图1②可能得出结论：线段b比线段a短.但实际上，这两条线段同样长.点拨：要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格的证明或实验验证.例2在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2-6n的值都是负数.于是小明猜想：当n 为任意正整数时，n2-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.分析：因为n2-6n＝n(n-6)，所以只要n≥6，该式子的值都表示非负数，所以猜想不正确.解：(方法1：利用反例证明)不正确.理由：例如当n＝7时，n2-6n＝7>0.(方法2)不正确.理由：n2-6n＝n(n-6)，当n≥6时，n2-6n≥0.特别提示：通过此题可说明一点：学生在解答问题时不能太片面，而要全面考虑问题.题型二推理的应用1.图形中的推理例3如图2所示，一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀沿5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成段.图2点拨：从简单、特殊的情况入手，运用比较、归纳的方法，探究内在的规律.2.数学式子中的推理例4观察下列关于自然数的等式：①1×7+2×9＝52；②2×8+2×10＝62；③3×9+2×11＝72；…根据上述规律解决下列问题：(1)完成第4个等式；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性.解题关键：观察等式左右两边的数字变化情况，找出每个式子与序号之间的关系.解：(1)根据题意得，第4个等式为4×10+2×12＝82.(2)猜想的第n个等式为n(n+6)+2(n+8)＝(n+4)2.验证：左边＝n(n+6)+2(n+8)＝n2+6n+2n+16＝n2+8n+42＝(n+4)2＝右边，所以n(n+6)+2(n+8)＝(n+4)2.3.假设论证例5甲、乙、丙、丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色.在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色的.”乙说：“丙的车是红色的.”丙说：“丁的车不是蓝色的.”丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话.”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是()A.甲的车是白色的，乙的车是银色的B.乙的车是蓝色的，丙的车是红色的C.丙的车是白色的，丁的车是蓝色的D.丁的车是银色的，甲的车是红色的解析：∵丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话.”如果丁说的是实话，假设乙的车是红色的，∴乙说的是实话，∴丙的车也是红色的，和只有一个人的车是红色的矛盾.假设丙的车是红色的，∴丙说的是实话，而乙说“丙的车是红色的”，∴乙说的是实话，∴有两人说的是实话，与只有一个人说的是实话矛盾，∴只有甲的车是红色的.∴甲说的是实话，丙说的不是实话.∵丙说：“丁的车不是蓝色的”，∴丁的车是蓝色的，∴乙和丙的车一个是白色的，一个是银色的.∵甲说：“乙的车不是白色”，且甲说的是实话，∴丙的车是白色的，乙的车是银色的.综上，甲的车是红色的，乙的车是银色的，丙的车是白色的，丁的车是蓝色的.答案：C4.推理论证例6某球赛小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛(每两队赛一场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是()A.甲B.甲与丁C.丙D.丙与丁解析：∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，∴甲得分为7分，2胜1平，乙得分为5分，1胜2平，丙得分为3分，1胜0平，丁得分为1分，0胜1平.∵甲、乙都没有输球，∴甲一定与乙平.∵丙得3分，1胜0平，乙得5分，1胜2平，∴与乙打平的球队是甲与丁.答案：B拓展资源哥德巴赫猜想两百多年前，彼得堡科学院院士哥德巴赫曾研究过“将一个数表示成几个素数的和”的问题，他取了很多数做试验，想把它们分解成几个素数的和，结果得到一个断语：“总可将任何一个数分解成不超过三个素数之和.”但是哥德巴赫不能证明这个问题，甚至连如何证明的方法也没有，于是他写信给另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉，他在1742年6月7日的信中写道：“我想冒险发表下列假定‘大于5的任何数都是三个素数的和’.”这就是后来举世闻名的哥德巴赫猜想.同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说：“我认为‘每一个偶数都是两个素数之和’，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的.”这两个数学家的通信内容传播出来之后，人们就称这个猜想为哥德巴赫猜想或者哥德巴赫-欧拉猜想.完整地说，哥德巴赫猜想是：大于1的任何数都是三个素数的和.后来，人们把它归纳为：命题A：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和；命题B：每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和.人们在研究命题A的过程中，开始引进了“殆素数”的概念.所谓“殆素数”就是素数因子(包括相同的和不同的)的个数不超过某一固定常数的自然数.我们知道，除1以外，任何一个正整数，一定能表示成若干素数的乘积，其中每一个素数，都叫做这个正整数的素因子.相同的素因子要重复计算，它有多少素因子是一个确定的数.例如，从25~30这六个数中，25＝5×5有2个素因子，26＝2×13有2个素因子，27＝3×3×3有3个素因子，28＝2×2×7有3个素因子，29是素数有1个素因子，30＝2×3×5有3个素因子.于是可说25，26，29是素因子不超过2的殆素数，27，28，30是素因子不超过3的殆素数.用殆素数的新概念，可以提出命题D来接近命题A.命题D：每一个充分大的偶数，都是素因子的个数不超过m与n的两个殆素数之和.这个命题简化为“m+n”.这样，哥德巴赫猜想的最后证明的方向就更明朗化了：如果能证明，凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个素数加上两个素数相乘，或者表示成一个素数加上一个素数，就算证明了“1+2”.当然如果能证明“1+1”就基本上证明了命题A，也就基本解决了哥德巴赫猜想了.1920年，挪威数学家布朗证明了“9+9”.1924年，德国数学家拉代马哈证明了“7+7”.1932年，英国数学家埃斯特曼证明了“6+6”.1938年，苏联数学家布赫雪托布证明了“5+5”.1938年，中国数学家华罗庚证明了几乎全体偶数都能表示成两个素数之和，即几乎所有偶数“1+1”成立.1940年，苏联数学家布赫雪托布证明了“4+4”.1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”，其中c是一个很大的自然数.1956年，中国数学家王元证明了“3+4”，稍后证明了“3+3”和“2+3”.1956年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了“3+3”.1957年，中国数学家王元又证明了“2+3”.1962年，中国年轻数学家潘承桐证明了“1+5”，这是证明了相加的两个数中，有一个肯定是素数的成果，而另一个殆素数的因子小到不超过5.1962年，苏联数学家巴尔巴恩也证明了”1+5”.1963年，中国数学家王元、潘承桐及苏联数学家巴尔巴恩分别证明了“1+4”.1965年，维诺格拉多夫、布赫雪托布证明了“1+3”.1965年，意大利数学家朋比尼也证明了“1+3”.1966年，中国数学家陈景润宣布证明了“1+2”.。
初中八年级数学上册的第12章全等三角形证明经典50题含答案
1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，111749AD是整数，求ADABCD解：延伸AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=22.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：1CDAB2 ADA21EBCFD证明：连结BF和EF∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF连结BE在三角形BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF。
∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴三角形ABF和三角形AEF全等。
∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。
4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=ACA21F∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD均分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延伸AB取点E，使AE＝AC，连结DE∵AD均分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD证明：在AE上取F，使EF＝EB，连结CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC均分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE7.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD ABD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=28.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：1CDAB2 ADCB解：延伸AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DEA21EBCFD证明：连结BF和EF。
北师大版八年级数学上册《平行线的性质》平行线的证明
,
∴AD∥BE(
).
,即∠
栏目索引
=∠
,
答案 BAE;两直线平行,同位角相等;BAE;等量代换;∠1;∠2;BAE; DAC;DAC;内错角相等,两直线平行
4 平行线的性质
栏目索引
6.如图7-4-6,已知∠1+∠2=180° ,∠A=∠C,DA平分∠FDB,试证明∠3= ∠4.
图7-4-6
4 平行线的性质
栏目索引
解析 (1)∵四边形ABCD为长方形,∴AD∥BC, ∴∠1+∠2=180° , ∵∠1=110° ,∴∠2=70° . (2)由折叠的性质得∠D'=90° , 若D'C'∥BC,则有∠EGF=∠D'=90° , ∵AD∥BC, ∴∠2=∠EGF=90° , 则当∠2等于90度时,D'C'∥BC.
图7-4-8
4 平行线的性质
证明 ∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知), ∴∠ADC=∠EFD=90° (垂直的定义), ∴AD∥EF(同位角相等,两直线平行), ∴∠3=∠BAD(两直线平行,内错角相等), ∠DAC=∠E(两直线平行,同位角相等), ∵AD平分∠BAC(已知), ∴∠BAD=∠DAC(角平分线的定义), ∴∠E=∠3(等量代换).
4 平行线的性质
栏目索引
3.(2016四川资阳安岳期末) 是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多 几何知识.如图,已知BC∥AD,BE∥AF.
(1)∠A与∠B相等吗?请说明理由; (2)若∠DOB=135° ,求∠A的度数.
4 平行线的性质
栏目索引
解析 (1)相等.理由:因为BC∥AD(已知),所以∠B=∠DOE(两直线平行, 同位角相等).因为BE∥AF(已知),所以∠A=∠DOE(两直线平行,同位角 相等),所以∠A=∠B(等量代换). (2)因为BC∥AD(已知),所以∠B+∠DOB=180° (两直线平行,同旁内角互 补),又因为∠DOB=135° ,所以∠B=180° -135° =45° ,又∠A=∠B,所以 ∠A=45° .
八年级数学平行线的证明知识点
八年级数学平行线的证明知识点八年级数学平行线的证明知识点在日复一日的学习、工作或生活中，大家最不陌生的就是证明了吧，证明是我们经常用到的应用文体。
写证明的注意事项有许多，你确定会写吗？以下是店铺帮大家整理的八年级数学平行线的证明知识点，希望对大家有所帮助。
八年级数学平行线的证明知识点 11、平行线的性质一般地,如果两条线互相平行的直线被第三条直线所截,那么同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.也可以简单的说成：两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补。
2、判定平行线两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.也可以简单说成：同位角相等两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.其他两条可以简单说成：内错角相等两直线平行同旁内角相等两直线平行初中数学常见公式常见的初中数学公式1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°6.多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°7.定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形初中5种数学提分方法1.细心地发掘概念和公式2.总结相似类型的题目3.收集自己的典型错误和不会的题目4.就不懂的问题，积极提问、讨论5.注重实践（考试）经验的培养初中数学有理数的运算加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
八年级数学上册课件：7.1为什么要证明(共24张PPT)
的中间将绳子全部剪断,此时细绳被剪成
段.
答案 33 解析 根据题意列表如下:
故当对折5次时,剪断后的段数为25+1=33.
1 为什么要证明
填空题 (2018河北保定长城中学月考,19,★★☆)(1)观察下列图形与等式的关 系(如图7-1-2),并填空:
图7-1-2
1 为什么要证明
(2)观察图7-1-3,根据(1)中的结论,计算图中黑球的个数,用含有n的代数
按照前面的规律,则(a+b)5=
图7-1-4 .
答案 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5
解析 观察图形,可知(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5.
1 为什么要证明
2.某参观团依据下列约束条件,从A、B、C、D、E五个地方中选定参 观地点: ①A、B两地都去或都不去; ②D、E两地至少去一处; ③B、C两地只去一处; ④C、D两地都去或都不去; ⑤如果去E地,那么A、D两地也必须去. 依据上述条件,你认为该参观团能去哪些地方参观?
n
n
证明: n 1×(n+1)= n2 2n 1 = (n 1) (n2 n) = n 1+n+1.
n
n
n
n
1 为什么要证明
如图所示,两个图中间的圆分别是圆A和圆B.小明通过观察,认为圆A 大于圆B,他的判断正确吗?若不正确,试说明理由.
解析 小明的判断不正确.借助圆规或刻度尺可知两圆的半径或直径相 等,故两圆一样大,小明的判断不正确.
1 为什么要证明
题型 通过观察与推理论证解决规律性问题 例 观察各式规律: 12+(1×2)2+22=(1×2+1)2; 22+(2×3)2+32=(2×3+1)2; 32+(3×4)2+42=(3×4+1)2; …… 写出第2 018行的式子,第n行的式子,并验证你的结论.
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期1命题和证明课件
视察下列命题，你能发现这些命题有什 么共同的结构特征？
（1）如果两个三角形的三条边相等，那 么这两个三角形全等；
（2）如果一个三角形是等腰三角形，那 么这个三角形的两个底角相等；
（3）如果一个四边形的对角线相等，那 么这个四边形是矩形；
命题的结构：
在数学中，许多命题是由 题设(条件) 和结论 两部分组成的. 题设是已知事项 ， 结论 是由 已知事项推出的事项 . 这种命题常可写成 “如果 …，那么…” 的
D
∴Rt△AOC≌ Rt△BOD
A(x,y )
2 1
OC
∴ AO=BO，∠AOC=∠BOD
B(-x,-y)
∴∠BOD+∠1+∠2=∠AOC+∠1+∠2=180°即A、
O、B三点共线
∴点A、B关于原点对称。
（2）证明逆命题“在直角坐标系中，关于原点
对称的点的坐标为（x，y）与（-x，-y）”如下：Leabharlann 已知：在直角坐标系中，点A （x，
如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等。
（3）同位角相等，两直线平行。 如果两直线平行，那么同位角相等。
写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题真假： (1)如果a2=b2,那么|a|=|b|。 (2)如果a=b,那么a2=b2 。 (3)直角都相等。 (4)若a⊥b，b⊥c，则a⊥c。 (5)如果a>1且b>1,那么a+b>2。
把一个命题的题设和结论互换，便可以得
到一个新的命题，我们称这样的两个命题互 为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫 做原命题的逆命题。
思考：（1）写命题的逆命题的步骤 是什么？（2）原命题是真命题，那 么它的逆命题也是真命题吗？
上海初中数学八年级上---19.2证明举例(含答案)
19.2（1）证明举例一、解答题1.已知：如图，EB ∥DC ，∠C=∠E ，请你说出∠A=∠ADE 的理由．2.已知：如图， AB ∥CD ，∠B ＋∠D ＝180°. 求证：BG ∥DE .3.．已知：如图，∠E ＝∠DAB ，∠F ＝∠C ，请你说明AB 与CD 是否平行．4. 已知：如图， AB ＝AC ，AE 平分∠DAB . 求证：AE ∥BC .F EACBD5. 已知：如图，点C、D在AB上，AC＝BD，DF∥CE，DF＝CE. 求证：BE∥AF.6. 已知：如图， AB∥CD，∠1＝∠2. 求证：AC∥BD.二、提高题7．已知：如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1＋∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．ACEF DG B31219.2（2）证明举例一、解答题1．已知：如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF ． 求证：∠A=∠D ．2．已知：如图，点E 在△ABC 的外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ，∠1=∠2=∠3，AC=AE ． 求证：AB=AD ．3. 已知：如图， AB ＝AC ，BE ＝CD . 求证：∠B ＝∠C .B EC F AD AB C D E F 1324. 已知：如图， AB＝AC，E是AC上任意一点，ED⊥BC，垂足为D，延长DE交BA的延长线于点F. 求证：AE＝AF.5. 已知：如图，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE. 求证：BD＝CE.二、提高题6.已知：如图，点E为四边形ABCD外一点，联结EB、EA、ED、EC，其中EA、ED与BC交点分别为M、N，且AD∥BC，AE＝DE，BE＝CE.求证：AB＝DC.19.2（3）证明举例一、解答题1．已知：如图，AD 是BC 上的中线 ，且BE ∥CF ．求证: DF=DE ．2．已知：如图，AD 、BC 相交于点O ，OA=OD ，OB=OC ，点E 、F 在直线AD 上，∠ABE ＝∠DCF ．求证：BE ‖CF ．3. 如图，已知：点C 在线段AB 上，△ACD 和△BCE 都是等边三角形，AE 交DC 于M ，BD 交CE 于N . 求证：MN ∥AB .B DF A C EAD F C B EO4. 已知：如图， E是BC上一点，AB＝EC，∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED. 求证：AE＝DE.5. 已知：如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC上一点，DE⊥AB于点F，AB＝DE. 求证：△BDC是等腰直角三角形．二、提高题6. 已知：如图，在△ABC中，EF∥BC，∠1=∠2，D是EF中点。
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期1(6)几何证明课件
有思路的同学组内交流
A
详写过程，投影展示，
D
注意倾听，评价质疑补充
B
C
引例：如图，已知：∠1=∠2， AD⊥BC,垂足为点D， 求证：AB=AC
A
12
B
D
C
变式三：如图，∠1=∠2，BD=CD，
求证：AB=AC
A
活动三：先独立思考
12
有思路后小组内讨论交流
详写过程,板书展示
B D C 你对发言同学进行点评。
思维拓展:
如图，已知：AD//BC，点E是DC的中点， BE平分∠ABC 求证：(1) AE平分∠BAD
(2)AD+BC=AB
A
D
E
ห้องสมุดไป่ตู้
B
C
活动四：
先独立思考， 有思路后小组内交流 代表到前面展示 讲授分析思路， 你来点评补充
课外延伸:
如图，已知：AD//BC，点E是DC的中点， BE平分∠ABC 求证：(1) AE平分∠BAD
A
有思路后小组2人交流
小组派代表到前面展示讲
授分析思路
B
C
D
说说你的收获：
方法小结： 什么形状的三角形，怎么做辅助线
变式一：已知AB=AC, ∠BAD=90° 求证：∠BAC=2∠D
A
B
C
D
变式二：
已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB,
点D为垂足，∠A=2∠BCD.求证：
AB=AC 活动二：先独立思考，
19.2(6) 几何证明
学习目标
利用等腰三角形的三线合一 和中线倍长的方法添辅助线， 来证明边角之间的等量关系。
引例：如图，已知：1 2
AD BC 垂足为点 D ， 求证：AB AC
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初中数学八年级下册 （苏科版）
11.3初中数学八年级证明（2）
A
1
回顾与思考 1.我们曾探索、发现了有关平行线的那些结论?
2.我们是如何证明“同旁内角互补,两直线平 行”的?
3.从基本事实“两直线平行，同位角相等”可 以证明那些结论？
A
2
探索新知
从基本事实“两直线平行，同位角相等”出 发，如何证明“两直线平行，内错角相等”？
1.画出图形，并根据图形写出已知、求证； 2.说出你的证题思路； 3.完成证明，并与同学交流.
A
3
探索新知
已知：如图，直线AB、CD被 直线EF所截，AB∥CD.
求证：∠1=∠2.
E
3
证明：因为AB∥CD（已知），
A
1
B
2
C
所以∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）。 F
D
因为∠1=∠3 （对顶角相等），
A
6
探索新知
结论：
定理：两直线平行，同旁内角互补.
A
7
例题讲解
例2. 已知：如图a∥b，c∥d，∠1=50°.
求证：∠2=130°。
1
a
b
4
3
c
5 d
2
分析：思考方法一： c∥d→∠3+∠5=180°,→∠1+∠2=180°→∠2=130°.
思考方法二： ∠3+∠4=180°→∠1+∠2=180°,∠2=130°.
所以 ∠1=∠2 （等量代换）。
注：运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; 检查表达过程是否正确,完善
A
4
探索新知
结论：
定理：两直线平行，内错角相等.
AБайду номын сангаас
5
例题讲解
例1.已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截,AB∥CD. 求证：∠1＋∠2＝180°.
E
A
1
B
2
C
D
F
证明过程中经常使用的两种方法： （1）分析法， （2）综合法。
请同学们根据上述的分析思路，完成此题的证明过程.
A
8
课堂练习
课本P137练习第1、2题
A
9
小结与思考
（1）回顾我们这两节课的数学活动，你有哪 些收获？
（2）这两节课我们初步体验了数学证明的思 路，并从基本事实出发证明得到了有关平行线 的定理等。依据基本事实你还能证明哪些熟悉 的结论？
A
10
A
11