优化建模案例
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n +1
0
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( y0 − y2 ) z1 + ( y1 − y0 ) z2 − z = γ × 0.125 2 2 [( x0 − xn ) + ( y0 − yn ) ]
z1 , z2 是( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 点的高度，z是点ain 的高度。
1, α > 0.125 γ = −1, α < −0.125 （主要是考虑上下坡问题）
易知这样的解是存在的，利用这个解求出 P′ 即是ai 依次进行下去逐步接近 Aj 。 一般情况下，这样的路线是较优的。
n+1
2 2 4800 − x 3/ 4 ω ( x) = ( ) +5 其中， 2 由于桥的成本与一般公路比较高， 由于桥的成本与一般公路比较高，所以建桥最好使桥正好跨在两岸 的界限上，同事要顾及桥的两端高度相等。 的界限上，同事要顾及桥的两端高度相等
i j
0 1 2
n
n−1
n
如图，设 ain 位于矩形1和2的棱上，除 ain 所在棱外 的6条棱记为 l1 ~ l6 ，不妨设 ain 与 Aj 的连线交某棱 于 P0 点。可由假设1认为P3 , P4 间是直线。由此求出 P0 点的高度，从而求出 ai → P0 的坡度，设为α 0 。
n
Aj
P5
根据这一假设，公路到了岸边的高度后，还要经过下降的 坡才能到桥边，因此公路过桥前还要沿河边走一段路才行， 这与模型二是不一样的，在处理山脊附近的点的情况时， 也采用了这种假设，这样得到的数据点更多，更精确。 3.从居民点到隧道的爬高过程仍是一个难题。考虑到按上 一假设计算，桥东头到居民点的路上的有些点也很高，可 以这样处理：假设公路允许分叉的话，可以在桥东侧到居 民点某处再取一个控制点A′ ，将原来的 A2 → A3 → A4 变成 A3 A2 → A′ 这样一方面减少公路总长，另一方面 可以降低迂回绕道的次数和角度。 A
哈尔滨理工大学应用数学系
优化建模案例一：逢山开路 优化建模案例二：钻井布局 优化建模案例三：钢管订购和运输
优化建模案例一：逢山开路 优化建模案例二：钻井布局 优化建模案例三：钢管订购和运输
问题陈述 符号系统 问题分析 模型假设 模型一 模型二 模型三 讨论及优缺点
1) 试给出一种线路设计方案, 包括原理、方法及 比较精确的线路位置(含桥梁、隧道), 并估算该方 案的总成本. 2) 如果居民点改为3600≤x≤4000, 2000≤y≤240 0的居民区, 公路只须经过居民区即可, 那么你的 方案有什么改变.
3.隧道位置的选择 由于隧道的成本很高，且长度超过300m后成本增长一倍，因此 最好能选择长度小于300m的隧道。从等势图上可以看出，x=44 00处的山峰特别尖，在这里修隧道可能实现这一点，因此以下 计算中固定隧道位置的横坐标x=4400. 想让隧道的长度小于300m，需将路修到一定高度，如图所示， 对水平隧道 300 × 650
A4 ：山峰南侧某处（待定）
A5 ：山峰北侧某处（待定）
：矿区（2000,4000） A1 → A2 ： (1) = 桥梁 T A4 → A5 ： (4) = 隧道 T 其余道路为一般公路。 对第二个问题，A3 改成待定，在范围 内，且 2000 ≤ y ≤ 2400 。
A6
3600 ≤ x ≤ 4000
山口湖
公路起 点
山谷
居民点
工程种类 工程成本（元/m）
一般路段 300
桥梁 2000
隧道
对坡度α的限制
α<0.125
α=0
α<0.100
A →AN∈R( A →AN ) 0 0
min
min
{cost(A →AN )} 0
{∑ cost( Ak → Ak +1 )}
k =0 N −1
=
A0 → AN ∈R ( A0 → AN )
1.地貌假设：
假设题目提供的数据是精确和充分的。在四个相邻数据点间的 单位矩形内没有太大起伏。如果两条对角线两端数据的均值的 差远小于矩形边长，则可以近似认为该矩形为平面。
2.路线假设
1）只考虑公路为一几何线而不计其宽度，忽略横向坡度对宽度 的限制。 2）设计路线时，暂不考虑路线急转弯角度、缓急的限制 3）不考虑地质情况及气候条件等的影响
注： 这一方案直观、简便。缺点首先是不精确， 只能得到大概的路线，其次在坡度变化大 的地方需要等势线足够密（即 ∆h 足够小） 才能实现。
1.道路的选择（一般公路） 两个控制点之间，如何选择合适道路使长度短而坡 度满足要求，是决定成本的重要条件，也就是怎样 实现区域优化，这里选择了逐步定线的方法，原理 与模型一有相似之处。 a 先将A → A 分 ai → ai → ai → ... 若干段， in 是位于某 a 单元矩形边上的点，i → ai 是直线段，坡度小于或 等于a的最大值且方向尽可能地靠向 ai → Aj 的直线 方向。
矿区
↑ 北 _______________________________________________________________________________ 4800┃1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 15 4400┃1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 21 4000┃1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 35 3600┃1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 50 3200┃1430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 155 2800┃ 950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 120 2400┃ 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 110 2000┃ 880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 930 95 1600┃ 830 980 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380 780 75 1200┃ 740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 55 800 ┃ 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 35 400 ┃ 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 32 0 ┃ 730 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 25 ____┃_________________________________________________________________________ y/x ┃ 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 560
利用MATLAB软件，我们将数据画成等势图和三维视 图，可以看出： 1.从起点到居民点须经过一条小谷，雨季形成溪流。 2.从居民点到矿区，有一山峰阻挡，且高度很高， 坡度很陡。 因此，设置控制点： A0 :起始点（0,800） A1 ：峡谷西岸（待定） A2 ：峡谷东岸（待定）
A3 ：居民点（4000,2000）
Z C = 1500 −
即使有坡度，隧道高度也不能低于1240m，对于矿区，高度132 0m可以实现这一点。对于居民区，高度950m，上升到这个高度 相当困难。本模型采取了迂回绕道的方法达到爬高的目的，显 然这样做省下的成本远大于多修公路的成本。
650 400 × (1 + ) 600
= 1266
模型的实现 上机算出两种方案 方案一：路径总长度10.685km，总费用3704.6千元。 方案二：路径总长度10.802km，总费用4266.0千元 模型的不足 1.对地貌假设的范围，由地貌假设，每个单元矩形 近似平面，这在山两侧不成立，会影响桥的位置 2.采用迂回绕道的方法虽然最后隧道符合要求，但 拐弯过于尖锐，实际需改进。
模型三是在模型二的基础上改进而成。 1.模型三仍采用局部优化，逐步定线的方法。 2.在河谷和山脊附近的地貌假设不合理，如 x ∈ [2800,3200], y ∈ [1200,1600] 这个区域四个顶点高 度分别为1300,700,1040,900，则（1300+900)/2(1040+700)/2=230，对这么大的差值仍将该矩形视 为平面，显然不太合理。 考虑到实际情况，可以将这类矩形近似成两个三角 平面，其公共边是地表的一条凸出或者下陷的线。 这要通过三维视图判断哪条对角线是公共边。
l4
P4
l3
P3 P0
l5
P6
l6
ain
l2
P 1
l1
P2
当 | α 0 |< 0.125 时，取 ai 为 P0 。 当 | α |> 0.125 时，再在 P0 附近棱上找 P′ ，使ai 对 P′ 的 坡度正好为0.125，且 ai → P′ 与 ai → Aj 的角度偏差 最小。设 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 为靠近 ai → Aj 的一条棱，且这 两点中对应 ai 的坡度一个大于0.125，一个小于 0.125，那么可以知道该棱上必可找到坡度等于 0.125的点。设该点为( x , y ) 。 不妨设 x0 = x1 = x2 y0 由方程：
3.裕量假设
1）不妨假设溪流宽度已经留有桥梁高于水面的余地 2）坡度的上限也包含裕量
4.环境假设
1）假设该地区内无原公路可利用 2）新修公路应限于所给区域内
简单，只用于确定两个控制点间的最短路径。从等 势图上可以看出，两点间的坡度为高度差除以两点 间的距离。设起始点高 h0 ，等高线间高度差为∆h， 若以起始点为中心，∆h为半径作圆弧，交 h0 + ∆h 和 α h0 − ∆h 对应的等高线于A,B两点，则这两点间圆弧 上个点的高度 h′ 满足 h0 + ∆h ≥ h′ ≥ h0 − ∆h ，则从起始 点到这些点的坡度小于α 0 ，可从这些点中选取某点 为第一步的终点，例如想尽量爬高时选 h0 + ∆h 的点。
=∑
k =0
N −1
A0 → AN ∈R ( A0 → AN )
min
{cost( Ak → Ak +1 )}
=∑
k =0
N −1
Ak → Ak +1∈R ( Ak → Ak +1 )
min
{length( Ak → Ak +1 )}
由上式，我们可以分段讨论，可在整条路上取几个 { Ai }iN 0。设定T (k ) = T ( Ak → Ak +1 ) 与 Ak → Ak +1 的具体 控制点 = 线路无关。控制点 Ai 的选择是根据具体情况分析得 到的。 对本题，考虑到桥梁和隧道成本远高于一般公路， 因此在线路设计时往往为节省成本而让一般公路多 绕几个弯。
4
4.为了得到精确结果，采用软件逐点计算，结果如 下
百度文库
2.山谷溪流的处理和桥梁 从图和表中可以看出，谷底是直线的，谷的两侧基 本也是对称的，可以由此算出雨量最大的液面界限： 谷底方程：x + y = 4800(2400 ≤ x ≤ 4800) 西岸方程：4800 − x − y = 2 ω ( x − y + 4800 )(2400 ≤ x ≤ 4800) 2 2 东岸方程： + y − 4800 = 2 ω ( x − y + 4800 )(2400 ≤ x ≤ 4800) x
0
n
n
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( y0 − y2 ) z1 + ( y1 − y0 ) z2 − z = γ × 0.125 2 2 [( x0 − xn ) + ( y0 − yn ) ]
z1 , z2 是( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 点的高度，z是点ain 的高度。
1, α > 0.125 γ = −1, α < −0.125 （主要是考虑上下坡问题）
易知这样的解是存在的，利用这个解求出 P′ 即是ai 依次进行下去逐步接近 Aj 。 一般情况下，这样的路线是较优的。
n+1
2 2 4800 − x 3/ 4 ω ( x) = ( ) +5 其中， 2 由于桥的成本与一般公路比较高， 由于桥的成本与一般公路比较高，所以建桥最好使桥正好跨在两岸 的界限上，同事要顾及桥的两端高度相等。 的界限上，同事要顾及桥的两端高度相等
i j
0 1 2
n
n−1
n
如图，设 ain 位于矩形1和2的棱上，除 ain 所在棱外 的6条棱记为 l1 ~ l6 ，不妨设 ain 与 Aj 的连线交某棱 于 P0 点。可由假设1认为P3 , P4 间是直线。由此求出 P0 点的高度，从而求出 ai → P0 的坡度，设为α 0 。
n
Aj
P5
根据这一假设，公路到了岸边的高度后，还要经过下降的 坡才能到桥边，因此公路过桥前还要沿河边走一段路才行， 这与模型二是不一样的，在处理山脊附近的点的情况时， 也采用了这种假设，这样得到的数据点更多，更精确。 3.从居民点到隧道的爬高过程仍是一个难题。考虑到按上 一假设计算，桥东头到居民点的路上的有些点也很高，可 以这样处理：假设公路允许分叉的话，可以在桥东侧到居 民点某处再取一个控制点A′ ，将原来的 A2 → A3 → A4 变成 A3 A2 → A′ 这样一方面减少公路总长，另一方面 可以降低迂回绕道的次数和角度。 A
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优化建模案例一：逢山开路 优化建模案例二：钻井布局 优化建模案例三：钢管订购和运输
优化建模案例一：逢山开路 优化建模案例二：钻井布局 优化建模案例三：钢管订购和运输
问题陈述 符号系统 问题分析 模型假设 模型一 模型二 模型三 讨论及优缺点
1) 试给出一种线路设计方案, 包括原理、方法及 比较精确的线路位置(含桥梁、隧道), 并估算该方 案的总成本. 2) 如果居民点改为3600≤x≤4000, 2000≤y≤240 0的居民区, 公路只须经过居民区即可, 那么你的 方案有什么改变.
3.隧道位置的选择 由于隧道的成本很高，且长度超过300m后成本增长一倍，因此 最好能选择长度小于300m的隧道。从等势图上可以看出，x=44 00处的山峰特别尖，在这里修隧道可能实现这一点，因此以下 计算中固定隧道位置的横坐标x=4400. 想让隧道的长度小于300m，需将路修到一定高度，如图所示， 对水平隧道 300 × 650
A4 ：山峰南侧某处（待定）
A5 ：山峰北侧某处（待定）
：矿区（2000,4000） A1 → A2 ： (1) = 桥梁 T A4 → A5 ： (4) = 隧道 T 其余道路为一般公路。 对第二个问题，A3 改成待定，在范围 内，且 2000 ≤ y ≤ 2400 。
A6
3600 ≤ x ≤ 4000
山口湖
公路起 点
山谷
居民点
工程种类 工程成本（元/m）
一般路段 300
桥梁 2000
隧道
对坡度α的限制
α<0.125
α=0
α<0.100
A →AN∈R( A →AN ) 0 0
min
min
{cost(A →AN )} 0
{∑ cost( Ak → Ak +1 )}
k =0 N −1
=
A0 → AN ∈R ( A0 → AN )
1.地貌假设：
假设题目提供的数据是精确和充分的。在四个相邻数据点间的 单位矩形内没有太大起伏。如果两条对角线两端数据的均值的 差远小于矩形边长，则可以近似认为该矩形为平面。
2.路线假设
1）只考虑公路为一几何线而不计其宽度，忽略横向坡度对宽度 的限制。 2）设计路线时，暂不考虑路线急转弯角度、缓急的限制 3）不考虑地质情况及气候条件等的影响
注： 这一方案直观、简便。缺点首先是不精确， 只能得到大概的路线，其次在坡度变化大 的地方需要等势线足够密（即 ∆h 足够小） 才能实现。
1.道路的选择（一般公路） 两个控制点之间，如何选择合适道路使长度短而坡 度满足要求，是决定成本的重要条件，也就是怎样 实现区域优化，这里选择了逐步定线的方法，原理 与模型一有相似之处。 a 先将A → A 分 ai → ai → ai → ... 若干段， in 是位于某 a 单元矩形边上的点，i → ai 是直线段，坡度小于或 等于a的最大值且方向尽可能地靠向 ai → Aj 的直线 方向。
矿区
↑ 北 _______________________________________________________________________________ 4800┃1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 15 4400┃1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 21 4000┃1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 35 3600┃1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 50 3200┃1430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 155 2800┃ 950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 120 2400┃ 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 110 2000┃ 880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 930 95 1600┃ 830 980 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380 780 75 1200┃ 740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 55 800 ┃ 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 35 400 ┃ 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 32 0 ┃ 730 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 25 ____┃_________________________________________________________________________ y/x ┃ 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 560
利用MATLAB软件，我们将数据画成等势图和三维视 图，可以看出： 1.从起点到居民点须经过一条小谷，雨季形成溪流。 2.从居民点到矿区，有一山峰阻挡，且高度很高， 坡度很陡。 因此，设置控制点： A0 :起始点（0,800） A1 ：峡谷西岸（待定） A2 ：峡谷东岸（待定）
A3 ：居民点（4000,2000）
Z C = 1500 −
即使有坡度，隧道高度也不能低于1240m，对于矿区，高度132 0m可以实现这一点。对于居民区，高度950m，上升到这个高度 相当困难。本模型采取了迂回绕道的方法达到爬高的目的，显 然这样做省下的成本远大于多修公路的成本。
650 400 × (1 + ) 600
= 1266
模型的实现 上机算出两种方案 方案一：路径总长度10.685km，总费用3704.6千元。 方案二：路径总长度10.802km，总费用4266.0千元 模型的不足 1.对地貌假设的范围，由地貌假设，每个单元矩形 近似平面，这在山两侧不成立，会影响桥的位置 2.采用迂回绕道的方法虽然最后隧道符合要求，但 拐弯过于尖锐，实际需改进。
模型三是在模型二的基础上改进而成。 1.模型三仍采用局部优化，逐步定线的方法。 2.在河谷和山脊附近的地貌假设不合理，如 x ∈ [2800,3200], y ∈ [1200,1600] 这个区域四个顶点高 度分别为1300,700,1040,900，则（1300+900)/2(1040+700)/2=230，对这么大的差值仍将该矩形视 为平面，显然不太合理。 考虑到实际情况，可以将这类矩形近似成两个三角 平面，其公共边是地表的一条凸出或者下陷的线。 这要通过三维视图判断哪条对角线是公共边。
l4
P4
l3
P3 P0
l5
P6
l6
ain
l2
P 1
l1
P2
当 | α 0 |< 0.125 时，取 ai 为 P0 。 当 | α |> 0.125 时，再在 P0 附近棱上找 P′ ，使ai 对 P′ 的 坡度正好为0.125，且 ai → P′ 与 ai → Aj 的角度偏差 最小。设 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 为靠近 ai → Aj 的一条棱，且这 两点中对应 ai 的坡度一个大于0.125，一个小于 0.125，那么可以知道该棱上必可找到坡度等于 0.125的点。设该点为( x , y ) 。 不妨设 x0 = x1 = x2 y0 由方程：
3.裕量假设
1）不妨假设溪流宽度已经留有桥梁高于水面的余地 2）坡度的上限也包含裕量
4.环境假设
1）假设该地区内无原公路可利用 2）新修公路应限于所给区域内
简单，只用于确定两个控制点间的最短路径。从等 势图上可以看出，两点间的坡度为高度差除以两点 间的距离。设起始点高 h0 ，等高线间高度差为∆h， 若以起始点为中心，∆h为半径作圆弧，交 h0 + ∆h 和 α h0 − ∆h 对应的等高线于A,B两点，则这两点间圆弧 上个点的高度 h′ 满足 h0 + ∆h ≥ h′ ≥ h0 − ∆h ，则从起始 点到这些点的坡度小于α 0 ，可从这些点中选取某点 为第一步的终点，例如想尽量爬高时选 h0 + ∆h 的点。
=∑
k =0
N −1
A0 → AN ∈R ( A0 → AN )
min
{cost( Ak → Ak +1 )}
=∑
k =0
N −1
Ak → Ak +1∈R ( Ak → Ak +1 )
min
{length( Ak → Ak +1 )}
由上式，我们可以分段讨论，可在整条路上取几个 { Ai }iN 0。设定T (k ) = T ( Ak → Ak +1 ) 与 Ak → Ak +1 的具体 控制点 = 线路无关。控制点 Ai 的选择是根据具体情况分析得 到的。 对本题，考虑到桥梁和隧道成本远高于一般公路， 因此在线路设计时往往为节省成本而让一般公路多 绕几个弯。
4
4.为了得到精确结果，采用软件逐点计算，结果如 下
百度文库
2.山谷溪流的处理和桥梁 从图和表中可以看出，谷底是直线的，谷的两侧基 本也是对称的，可以由此算出雨量最大的液面界限： 谷底方程：x + y = 4800(2400 ≤ x ≤ 4800) 西岸方程：4800 − x − y = 2 ω ( x − y + 4800 )(2400 ≤ x ≤ 4800) 2 2 东岸方程： + y − 4800 = 2 ω ( x − y + 4800 )(2400 ≤ x ≤ 4800) x