博迪《投资学》笔记和课后习题详解(期权定价)【圣才出品】

第21章期权定价
21.1 复习笔记
1．期权定价的基本概念
（1）内在价值与时间价值
令S0表示股票的价格，X表示看涨期权的执行价格，则称S0-X为实值期权的内在价值，因为这是立即执行期权所带来的收益。

虚值期权与平价期权的内在价值为零，期权实际价格与内在价值的差通常称为期权的时间价值。

期权的时间价值指的是期权价格于期权现时的市场价值之差，它是期权价格的一部分，其价值来源于期权合约距离到期日还有一段时间。

期权的大部分时间价值其实是一种“波动性价值”，只要持有者不执行期权，其收益就不可能小于零。

随着期权到期日的临近，股价的大幅上涨，看涨期权价值接近“经调整的”内在价值，即股价减去执行价格的现值，即S0-PV(X)。

当股票价格非常低时，期权价值几乎为零，因为几乎没有执行的可能性。

当股价非常高时，期权价值接近调整的内在价值。

当期权近似为两平时，期权的价格波动性价值很高。

看涨期权的价值总是随着股价上涨而增加，当期权处于深度实值时，期权价值上涨的幅度与股票价格上涨的幅度相同。

（2）期权价值的决定因素
影响看涨期权价值的因素至少有六个：股票价格、执行价格、股票价格的波动性、到期期限、利率及股票红利率。

这些因素对期权价值的影响如表21-1所示。

表21-1 看涨期权价值的决定因素
2．期权价值的限制
（1）看涨期权价值的限制
看涨期权价值不可能为负。

此外，假定股票将在到期日之前的时间T(现时为0时刻)支付数量为D的红利，现在比较两个资产组合，一个包括一份股票看涨期权，而另一个则是由股票与数额为(X+D)/(1+r f)T的借款构成的杠杆化股权头寸，在期权到期日那天，借款偿付额为X+D美元。

表21-2 到期日杠杆化股权头寸的收益如下：
其中S r指股票在期权到期日的价格。

股票的收益为无红利股票价值加上所收到的红利，股票加借款头寸的总收益是正或负，取决于S T是否超过X。

建立这种资产组合的净现金流出量为S0-(X+D)／(1+r f)T，也就是说，0时刻股票的价格减去初始借款额。

如果期权在实值状态被执行，其收益为S T-X，否则为零。

所以在期权收益与杠杆化股
权头寸收益均为正时，两者收益相等，后者收益为负时，前者收益高于后者。

因为期权的收益总是大于或等于杠杆化股权头寸的收益，所以期权价格要超过建立该头寸的成本。

于是，看涨期权的价值大于S0-(X+D)/(1+r f)T，更一般地表示为：
C≥S0-PV(X)-PV(D)
其中PV(X)为执行价格的现值，PV(D)指期权到期所支付红利的现值。

一般而言，可定义PV(D)为到期日之前所有红利的累计现值。

由于已知看涨期权价值为非负，所以，可知：
C＞max〔0，S0-PV(X) -PV(D) 〕。

看涨期权价值的上限显然应当是股票价值S0，即C≤S0。

（2）提前执行期权与股息
如果持有者在t时间执行期权，获得收益S t-X(假定为实值期权)。

期权最低可以S t- PV(X) - PV(D)的价格卖出，所以对于不付红利的股票期权而言，C≥S t- PV(X)，因为X的现值小于X，所以有：
C≥S t- PV(X)＞S t－X
这意味着以价格C出售期权的收益一定大于执行期权的收益，所以出售期权使其仍继续存在比执行期权在经济上更有吸引力。

美式看涨期权与欧式看涨期权对在期权到期之前不支付红利的股票上是等价的。

（3）美式看跌期权的提前执行
对于美式看跌期权而言，会有提前执行而达到最优的可能性。

当股票价格低于某些值时（在这一价格，期权价值曲线与代表期权内在价值的直线相切），提前执行是最优选择，立即执行期权可以带来更多的资金的时间价值。

因此，在其他条件相同时，美式看跌期权的价格高于欧式看跌期权。

3．二项式期权定价
（1）二项分布期权定价 二项分布期权定价理论的推倒过程及一般结论为：设一个无红利支付的股票，股票价格为S ，基于该股票的某个衍生证券的当前价格为f 。

设当前时间为零时刻，衍生证券给出了在T 时刻的盈亏状况，并且在衍生证券有效期内，股票价格或者从S 向上运动到一个新的水平Su ，或者从S 向下运动到新的水平Sd （u >1，d <1）。

当股票价格向上运动时，股票价格增长的比率为u －1；当股票价格向下运动时，股票价格减少的比率为1－d 。

如果股票价格运动到Su ，假设衍生证券的收益为f u ；如果股票价格运动到Sd ，假设衍生证券的收益为f d 。

如图21-1所示（又称为二叉树图）。

图21-1 在一般的单期二叉树图中的股票价格和衍生证券价格
构造一个无风险证券组合，包括∆股的股票多头和一个衍生证券空头。

如果股票价格上升，在衍生证券有效期末尾该组合的价值为：
u f Su -∆
如果股票价格下降，组合的价值为：
d f Sd -∆
该投资组合为无风险组合，期末两个价值应该相等：
d u f Sd f Su -∆=-∆
即
Sd
Su f f d u --=∆（21.1）
该组合是无风险的，投资组合必需获得无风险利率报酬。

方程式（21.1）说明，当在T 时刻的两个节点之间运动时，∆是衍生证券价格变化与股票价格变化之比。

无风险利率用r 来表示，该组合的现值一定是：
()rT u e f Su --∆
而构造该组合的成本是：
f S -∆
因此
()rT u e f Su f S --∆=-∆
将方程式（21.1）中的∆代入上式并化简，得到：
()[]d u rT f p pf e f -+=-1（21.2）
其中
d
u d e p rT --=（21.3） 方程式（21.2）和（21.3）即二项分布期权定价理论的一般结论，可为衍生证券估值。

完全套期保值锁定了年末的收益，用无风险收益率来折现。

通过完全套期保值或者复制，可以用股票的价值获得期权的价值，而不需要知道期权或者股票的贝塔值或者期望收益率。

通过套期保值头寸，最终的股票价格就不会影响投资者的收益，所以股票的风险与收益参数也不会受任何影响。

（2）二项分布期权定价方法的推广
改变一年后股票价格只有两种情况这一假设，通过将一年的时间划分为更多的时期，设在每一期末股票的价格都有两种可能的情况。

然后，从最后一期的股价和衍生证券的价格利用二项分布期权定价理论倒推计算每一期期初时期权的价格，最终得到第一期的期权价格。

下面通过两期的二项分布情况来说明多期情况下，二项分布模型的应用。

两期二项分布的情况如图21-2所示。

初始股票价格为S 。

在每个单期二叉树中，股票价格或者上升到初始值的u 倍，或下降到初始值的d 倍。

衍生证券价值的符号表示在二叉树图中，衍生证券一期期末的价格为f u 、f d ，二期期末的价格为：f uu 、f ud 、f dd 。

假设无风险利率是r ，每期的时间长度是t ∆年。

图21-2 在一般的两步二叉树图中的股票价格和期权价格
重复方程式（21.2）的计算给出：
()[]ud uu t r u f p pf e f -+=∆-1（21.5）
()[]dd ud t r d f p pf e f -+=∆-1（21.6）
()[]d u t r f p pf e f -+=∆-1（21.7）
将方程式（21.5）和（21.6）代入（21.7）式中，得到：
()()[]
dd ud uu t r f p f p p f p e f 222112-+-+=∆-（21.8） 方程式（21.8）是将二项分布应用于两期的情况下期权的定价。

通过多次的倒推计算，便可以将二项分布模型应用于时间间隔划分更短的情况。

当时间间隔数量增加时，股票最终价格频率分布更接近于对数正态分布。

那么两状态模型过于简单化的缺点就可以通过时间间隔的进一步细分来克服。

在任何一个节点，都可以建立一个资产组合来对下一个时间间隔的风险进行套期保值。

如此重复进行套期保值，并通过。