四种线性代数模型
找相互关系的常用数学模型
找相互关系的常用数学模型相互关系是数学中一个重要的概念，常用的数学模型可以帮助我们理解和描述相互关系。
本文将介绍几种常用的数学模型，包括线性模型、指数模型、对数模型和多项式模型，并分析它们在实际应用中的意义和作用。
1. 线性模型线性模型是最简单也是最常用的数学模型之一，它描述了两个变量之间的线性关系。
线性模型的数学形式为y = ax + b，其中a和b 是常数，x和y分别表示自变量和因变量。
线性模型可以用来解决许多实际问题，例如预测销售额与广告投入之间的关系、分析身高和体重之间的关系等。
2. 指数模型指数模型描述了一个变量随着时间的推移而以指数形式增长或减少的关系。
指数模型的数学形式为y = ab^x，其中a和b是常数，x 和y分别表示自变量和因变量。
指数模型常用于描述人口增长、物质衰变、科技发展等现象。
3. 对数模型对数模型是指一个变量的对数与另一个变量之间存在线性关系。
对数模型的数学形式为log(y) = ax + b，其中a和b是常数，x和y 分别表示自变量和因变量。
对数模型常用于解决一些复杂的问题，例如经济增长、生物学繁殖等。
4. 多项式模型多项式模型是指一个变量的多项式函数与另一个变量之间的关系。
多项式模型的数学形式为y = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，其中a0, a1, ..., an是常数，x和y分别表示自变量和因变量。
多项式模型可以用来拟合一些非线性关系，例如描述抛物线的形状、拟合曲线等。
这些常用的数学模型在实际应用中起到了重要的作用。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解和描述现实世界中的相互关系，并进行预测和分析。
例如，在经济学中，线性模型可以用来预测销售额与广告投入之间的关系，帮助企业制定合理的广告策略；指数模型可以用来预测人口增长、物质衰变等现象，帮助科学家进行科学研究和决策；对数模型可以用来拟合经济增长、生物学繁殖等问题，帮助分析和解决实际问题；多项式模型可以用来拟合抛物线的形状、曲线等，帮助建立更准确的数学模型。
线性代数模型
(1,1,0,0) (0,0,1,1) (1,0,1,0) (0,1,0,1) (1,1,1,1) (1,0,0,1) (0,1,1,0) (1,0,0,0) (0,1,1,1)
(不可取) (可取) (不可取) (不可取)
（第二次渡河）
性 、投入产出分析、商品销售量预测 、人口问题的差分 方程模型 ）
1距离问题
1 .1基因间“距离”的表示 1 .2常见的距离公式（聚类分析,相似性度量）
1 .1基因间“距离”的表示
1 .2常见的距离公式（聚类分析）
绝对值距离 欧式距离 明考斯基距离 兰氏距离 马氏距离
23 .2
例8 农场的植物园中某种植物的基因型 为AA,Aa和 aa。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物相 结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后， 这 结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种 植物的任一代的三种基因型分布情况如何？ 种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？
（a）假设：令n=0,1,2,…。 （i）设an,bn和cn分别表示第n代植物中，基因型 为AA,Aa和aa 的植物占植物总数的百分比 。令x (n)为第n代植物的基因型分 布： a0 a n
问题归结为由状态 (3,3)经奇数次可取运算，即由可取状 态到可取状态的转移，转化 为(0,0)的转移问题。和上题一样， 我们既可以用计算机求解，也可以分析求解，此外，本题还 可用作图方法来求解。 在H~W平面坐标中，以 “·”表示可取状态， 从A(3,3)经奇数 次转移到 达O(0,0)。奇数次转移时向左或下移 动1-2格而落 在一个可取状态上，偶数次转移时向右或上移 动1-2格而落在 一个可取状态上。为了区分起见 ,用红箭线表示奇数次转移， 用蓝箭线表示第偶数 次转移,下图给出了一种可实现的方案 , 故 这三对夫妻是可以过河的 。假如按 W A(3,3) 这样的方案过 河,共需经过十一次摆 渡。 不难看出 ,在上述规则下,4对夫妻就 无法过河了,读者可以自行证明之.类 似可以讨论船每次可载三人的情况, H其结果 是5对夫妻是可以过河的,而 O(0,0) 六对以上时就 无法过河了。
线性代数中的数学模型(数学建模必看 姚江淮)
1 上述连分数可以看作是 x 中，把 1 x
x
x
1 1 1 1 x
反复迭代，就得到上述连分数。
x 1 1
1 1 1 1 1 1
上述这一全部由1构成的连分数， 是最简单的一个连分数。
通常，求连分数的值，如同求无理数的值
一样，我们常常需要求它的近似值。
如果把该连分数从第 n 条分数线截住，即
斐波那契协会和《斐波那契季刊》
1． 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子 问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，
13，…之后，并没有进一步探讨此序列，并且
在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没 想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世 纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活 跃起来，成为热门的研究课题。
解：
先直接推算。在第0月有1对兔子；第1月也只有1对兔子； 第2月这对兔子生了1对小兔，共有两对兔子； 第3月，老兔子又生了1对小兔，共有3对兔子； 第4月:老兔子和第2个月出生的小兔各生了一对小兔，共5对兔子； 第5月，第3个月的3对兔子各生了一对小兔，共有8对兔子； 第6月，第4个月的5对兔子各生了一对小兔，共有13对兔子…。
55或89个花瓣。
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
海棠（2）
铁兰（3）
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
洋紫荊（5）
黃蝉（5）
蝴蝶兰（5）
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
雏菊（13）
雏菊（13）
2）树杈的数目
13 8
5 3 2 1 1
3）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数
松果种子的排列
松果种子的排列
斐波那契数列中的任一个数，都叫 斐波那契数。斐波那契数是大自然的 一个基本模式，它出现在许多场合。 下面举几个例子。
最新四种线性代数模型资料
线性代数是高等学校理工科和经济类学科相关专业的一门重要基础课，它不仅是其他数学课程的基础，也是物理、力学、电路等专业课程的基础。
作为处理离散问题工具的线性代数，也是从事科学研究和工程设计的科研人员必备的数学工具之一。
实验一 生物遗传模型1.工程背景设一农业研究所植物园中某植物的基因型为AA 、Aa 和aa 。
常染色体遗传的规律是：后代是从每个亲体的基因对中个继承一个基因，形成自己的基因对。
如果考虑的遗传特征是由两个基因A 、a 控制的，那末就有三种基因对，记为AA 、Aa 和aa 。
研究所计划采用Aa(AA)型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。
问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何?2.问题分析分析双亲体结合形成后代的基因型概率，如表6-4所示。
表6-4基因型概率矩阵 后代 基因对 父体—母体的基因对AA —AAAA —Aa AA —aa Aa —Aa Aa —aa aa —aa AA 1 1/2 0 1/4 0 0 Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0 aa1/41/213.模型建立与求解设,,n n n a b c 分别表示第n 代植物中基因型AA 、Aa 、aa 型的植物占植物总数的百分率。
则第n 代植物的基因型分布为()n n n n a x b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，0(0)00a x b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭表示植物型的初始分布。
依据上述基因型概率矩阵，有1112n n n a a b --=+，1112n n n b b c --=+，0n c =，1n n n a b c ++=，表示为矩阵形式11111/2001/21000n n n n n n a a b b c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭记11/2001/21000M ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()(1)2(2)3(3)(0)n n n n n x MxM x M x M x ---=====。
04-第二章 线性代数模型的回归分析方法
2. 线性代数模型的回归分析方法2.1 概 述对于许多具体问题，由于对过程的本质缺乏了解，或者由于过程本身太复杂，不可能准确地用机理模型描述该过程。
为了建立这类过程的观测变量和自变量之间依存关系的数学表达式，常常可用多项式这一类函数去拟合实验数据，例如：j 3j 2j 233j 1j 132j 1j 1223j 3322j 2221j 113j 32j 21j 10j x x b x x b x x b x b x b x b x b x b x b b y ε++++++++++=由于这类模型的建立纯粹是根据实验值和曲线(即模型计算值)拟合的好坏为评判准则的，所以常称为经验模型。
这类模型的函数形式有一定的任意性，模型的参数b 0、b 1、b 2 、b 3……等纯粹是数学上的常数，并没有任何物理意义，一般也不用因次表示。
此外，这类模型的应用仅限于实验数据覆盖的范围内，不能利用模型方程把结果外推到实验数据范围之外。
所以，经验模型的应用常常是有局限性的。
由于这类经验模型大多数是线性代数模型，或可化为线性代数模型。
因此，模型参数值的估计和模型检验常常采用回归分析方法。
所谓回归分析方法，就是利用统计方法，从大量实验数据中寻找观察变量与自变量之间的统计规律性。
这类统计规律称为回归关系，有关回归关系的计算方法和理论统称回归分析。
回归分析的研究内容是多方面的，本章主要讨论下述内容： 1. 对一组给定的实验数据，根据经验给出一个线性代数模型，确定变量与自变量之间的定量关系，即确定待定参数值； 2. 对所建立方程的可信度进行统计检验；3. 从影响某一观测变量的许多自变量中，判断哪些变量对观察变量的影响是显著的，哪些是不显著的；4. 介绍一种建立“最优”回归方程的方法——逐步回归方法；5. 利用所得的回归模型进行预测和控制；用回归分析方法建立数学模型的基本思想，是把一个过程看作一个“黑箱”。
所谓“黑箱”就是该过程的输入和输出都是已知的，但它的内部机理不清楚。
线性代数的RMI模型理论——向量空间直和分解理论的RMI模型理论
学专业线性代数 向量空 间直和分 解理 Ｂ ８ ＝ ．－ ｐ＝ ． ｐ ｐ ， ’ｐ 一 ｔ ０ｐ Ｏ即 ： － Ｂ＝ ， 一 ． 论 的教学思路。
关键 词 ： 性 代 数 向量 空 间 线 和 分 解 理 论 Ｒ Ｉ模 型 Ｍ 直 Ｒ Ｉ方 法 Ｍ Ｒ Ｉ Ｍ 方法 的框 图表 示 如 下 ：
】兰州商学院学报 ，９ ０ ２ ： １９ （ ） 证明 设 ｗ， ｗ 的任 意一个余子 学思路 Ⅱ． 是
６ －７ ６ ０．
空间 ，那 么 ｗ 也 是 ｗ。 的一个 余子 空 空 间 。 取 ｗ 的 一 个 基 ｛【 ｌ… ， 和 ０，： ｝ ． ， ０
Ｗ。 一 个 基 ｛ Ｂ ， ， ｓ． 为 Ｖ＝ 的 Ｂ ，： … Ｂ １因
可 以唯 一 地 表 成
．４ 存在 Ｖ中 ｎ ｒ 的形 式 ， 里 ０ ＥＷ．＝ ， ， ， 且 ， ４ — 这 【 ； ， ｌ… ｎ 并 ｉ 的 Ｒ 模型理论 ，并 且应用关系 映射 的一个基 。由定理 ６ ．， ＭＩ
反演思想方 法论述非 数学专业 线性代 个 向量 ｛ ， ， … ０ｌ 【使得｛ 一，【０ 当 Ｖ是有 限维 向量空间时， ０，【 ，
关 １分 系 解
Ｖ＝ ｗ①Ｗｌ
］
关 于 直 和 的概 念 可 以 推 广 到 多 于 两 个 子 空 间 的情 形 。 Ｗ 。 ， Ｗ 设 ， …， 是 向量 空 间 ｖ 的子 空 间 。 如果
（） Ｗ １Ｗ２＋… ＋ ； ｉＶ＝ ＋ ， Ｗ
教 学思路 向量空 间直和分 解理论是 线性代
学 术 纵 横
线牲 代数 的 ＭＩ Ｒ 模型理论
— —
向量空间直和分解理论的 Ｒ 模型理论 ＭＩ
口 窦 永 平
常见的数学模型
解法：通过矩阵运算或迭代法 求解线性代数方程
形式：Ax=b，其中A是矩阵，x 是未知数向量，b是常数向量
应用：在物理、工程、经济等 领域有广泛应用
多项式方程
定义：多项式方程 是数学中常见的方 程形式，一般形如 ax^n + bx^(n1) + ... + z = 0
积分公式：常见 的积分公式包括 牛顿-莱布尼茨公 式、换元积分公 式、分部积分公 式等。
01
0 2
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级数与无穷级数
定义：级数是无穷多个数相加的结果，无穷级数是级数的极限状态。 类型：有正项级数、交错级数、幂级数等。
应用：在数学、物理、工程等领域有广泛应用，如计算曲线的长度、求解微分方程等。 收敛与发散：级数收敛时，所有项的和是有限的；发散时，所有项的和是无穷大。
值。
特征值与特征向量 的应用：在解决实 际问题时，特征值 和特征向量可以用 于分析系统的稳定
性和动态行为。
计算方法：通过求 解矩阵的特征方程， 可以得到矩阵的特 征值和特征向量。
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线性变换与矩阵运算
矩阵运算：基本的矩阵加法、 减法、乘法等运算规则
线性变换：通过矩阵表示几 何变换的过程
微分方程
定义：微分方程是 描述数学模型中变 量之间变化关系的 方程
类型：常微分方程、 偏微分方程等
解法：常用的解法 包括分离变量法、 常数变异法等
应用：在物理学、 工程学、经济学等 领域有广泛应用
线性代数模型
向量与矩阵
向量：由一组有序 数构成的数学对象， 可以表示空间中的 点或方向
人口生育问题线性代数模型
人口生育问题线性代数模型人口指数增长模型和人口阻滞增长模型, 他们在生物种群分析、社会研究等领域都有广泛应用. 经过在原始模型中引入修正参数并运用非线性最小二乘法求解, 它们对于中国人口增长的描述是一定程度上可以适用的.为了进一步优化人口增长模型, 我们依次考虑了年龄结构、人口城乡分布、生育模式对于人口增长的影响. 分别使用到的关键方法如下:1. 模仿概率论中概率分布函数和概率密度函数的定义, 引入了若干能够同时反映人口与时间、人口与年龄分布情况关系的二元函数, 和表征了育龄女性生育模式的关于年龄的女性生育加权因子;2. 将影响人口变化的因素细分为城、镇、乡的自然增长率、净迁移率从而实现各区域人口分别估计.关键词: 非线性最小二乘法, 人口指数增长模型, 人口阻滞增长模型, 连续人口发展方程, 生育模式1 问题重述中国是世界上人口最多的国家, 人口众多、人均资源相对不足是我国的基本国情. 所以, 人口过多一直制约着中国的发展.但自从中国在20世纪70年代全面推行计划生育以来, 我国的人口增速稳步放缓, 形式趋于乐观. 但与此同时也出现了新的人口变化, 例如: 老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高以及乡村人口城镇化等, 这些都影响着中国人口的数量增长与结构严谨. 因此,利用已有数据和已掌握的现有国情, 通过数学建模对中国人口做出分析和预测是一个重要且必要的任务. 这将直接为中国经济和社会发展决策提供科学依据, 同时对于加速推进我国现代化建设有现实指导意义.2.模型假设1. 由于中国人口基数庞大, 我们忽略国际人口迁移对中国人口发展的影响.2. 将中国或中国部分地区的人口看做关于各个变量均连续可微的正值函数3 符号说明符号符号说明t 年份P(t) 年份 t 的人口P0 初始人口数量B(t) 年份 t 的出生率D(t) 年份 t 的死亡率r 人口增长率r(t) 年份 t 的人口增长率r0 固有增长率M 人口容量c 待定的修正参数a 年龄F(a, t) 年份 t 时年龄小于 a 的人口ρ(a, t) 人口分布函数µ(a, t) 死亡率函数ρ0(a) 初始人口密度函数f(t) 婴儿出生率函数4 基本模型准备一个地区的人口增长率基本可由该地区的出生率、死亡率、迁入率、迁出率共同决定, 由于本文研究中国人口增长, 人口基数足够庞大, 因此可忽略人口迁入迁出对于总人口的影响, 即成立r(t) = B(t) − D(t). （1）设年份 t 时中国人口为 P(t). 尽管我们只关心 P(t) 在 t 为整数时的取值, 但为了更方便地利用微积分学工具, 不妨认为 P(t) 为关于 t 的连续可微函数. 本文所有涉及到的数学模型均是在此假设下构建的. 本部分给出用于描述人口增长的两个基本模型.4.1 人口指数增长模型记初始年份的人口数量为 P0, 人口增长率为常数 r, 即 P(0)= P0, P(t + ∆t) − P(t) = rP(t)∆t. （2）令∆t → 0, 可得函数 P(t) 所满足的微分方程，进而可解得P(t) = P0e rt , (2) (2) 式称为人口指数增长模型, 因为若其中增长率 r > 0, 则人口将关于时间呈指数式增长. 该模型也被称为Malthus 人口模型.。
线性代数数学建模案例
【问题描述】： 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按 箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).
400
500 1
x1
2 300
x2 100
3
200
x3 X4 4 300
图3 某城市单行线车流量示意图
现在需要解决的问题如下：
（1） 建立确定每条道路流量的线性方程组. （2） 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? （3） 当x4 = 350时, 确定x1, x2, x3的值.
【模型分析】
• 若令1 = (2, 3, 1, 1)T, 2 = (1, 2, 1, 1)T, = (4, 7, 5, 3)T, 则原问题等价于“线性方程组Ax = b是否有 解”, 也等价于“能否由1, 2线性表示”。
• 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体 积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情 况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.
图5 日常膳食搭配
图6 几种常见的作料
【模型准备】：
一种佐料由四种原料A、B、C、D混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这 两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种 原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两 种规格的佐料按一定比例配制而成?
一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成。 网络中的 点称作联结点(或节点)，网络中的连接线称作分支. 每一分支中的流量方向已经指
定，并且流量(或流速)已知或者已标为变量。
x3
x1
60
x4
80
x2
(a)
x5 (b)
三种数学模型进行总结归纳
三种数学模型进行总结归纳数学模型是现代科学研究和实践中的重要工具，它们能够对真实世界中的问题进行抽象和数学描述，帮助我们理解和解决复杂的问题。
在本文中，我将对三种常见的数学模型进行总结归纳，分别是线性模型、非线性模型和概率模型。
一、线性模型线性模型是数学中最基本也是最简单的模型之一。
在线性模型中，变量之间的关系是线性的，可以用一条直线或者一个超平面来刻画。
线性模型的基本形式可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn其中，Y表示因变量，X1、X2、...，Xn表示自变量，β0、β1、β2、...，βn表示系数。
线性模型的关键是确定合适的系数，可以通过最小二乘法等统计方法进行估计。
线性模型在很多领域都有广泛的应用，例如线性回归模型可以用来建立变量之间的关系模型，在市场营销中可以用来预测销售量与广告费用之间的关系；线性分类模型可以用来进行二分类或多分类，广泛应用于图像识别、信用评估等领域。
二、非线性模型与线性模型相对应的是非线性模型，非线性模型是一类不能用线性关系表示的模型。
在非线性模型中，变量之间的关系是非线性的，可能呈现出曲线、二次曲线、指数函数等形态。
非线性模型的基本形式可以表示为：Y = f(X, β)其中，Y表示因变量，X表示自变量，β表示参数，f(·)表示一个非线性的函数。
非线性模型在很多实际问题中有重要的应用，例如生物学中的生长模型、物理学中的运动模型等。
非线性模型的参数估计通常需要通过数值方法或者迭代算法来进行求解。
三、概率模型概率模型是一种利用概率理论描述随机现象的数学模型。
概率模型通过引入随机变量和概率分布来描述不确定性和随机性。
概率模型可以分为两类：参数模型和非参数模型。
参数模型是一类具有固定参数的概率模型，可以用有限个参数来刻画变量之间的关系。
参数模型的应用非常广泛，例如正态分布模型、泊松分布模型等。
参数模型的参数通常可以通过最大似然估计等方法进行估计。
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
02我的线性代数模型介绍
2 x1 x2 6 x3 10 x1 4 x1 5 x2 x3 10 x1 4 x 4 x 3 x 10 x 2 3 1 1
线性代数模型（8/59）
求解
计算
>>A=[-8 1 6;4 -5 1;4 4 -7] >>rref(A)
ans = 1 0 0
线性代数模型介绍
线性代数的思想已经渗透到数学的每个分 支。当我们研究多变量函数及其微分时，矩 阵便成为不可缺少的工具，计算机更为线性 代数的应用开拓了广泛的天地。 有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感 觉，难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩 展到线性空间，利用线性代数的基本知识建 立模型，就可以掌握事物的内在规律，预测 其发展趋势。
线性代数模型（10/59）
构建模型
设P表示番茄的收获的价格， 2表示玉米的收获 P 1 价格，3表示茄子的收获价格，据题意，得收入— P 支出矩阵（或称交换矩阵）为
1 2 1 E 3 1 6
1 3 1 3 1 3
1 4 1 4 1 2
E0
线性代数模型（11/59）
线性代数模型（24/59）
排名 132456 合理吗
循环比赛的结果——竞赛图
每对顶点间都有边相连的有向图
2 2
3个顶点 的竞赛图 名次
4个顶点 的竞赛图
4 1
1
(1)
3
1
(2)
3
{1，2，3}
1 1
{(1,2,3)}并列
1
2
3
(1)
2
4
(2)
2
3 4
(3)
2
3 4 3
(4)
名次
数学建模简明教程课件-第4章-线性代数模型
第4章 线性代数模型4.1 行列式与矩阵本节案例主要涉及线性代数中矩阵与方阵的行列式等概念，通过案例建立数学模型，加深对行列式、矩阵及矩阵运算等相关知识的进一步理解以及了解这些概念的实际应用。
4.1.1 过定点的多项式方程的行列式1.问题提出求通过空间中三个点(1,2,3)，(3,5,6)，(2,2,4)的平面方程。
2.模型建立与求解已知三个点可以确定一个平面，设平面方程为+0ax by cz d ++=，而三个点在这个平面上，所以它们均满足这个平面方程，因而有0,230,3560,2240.ax by cz d a b c d a b c d a b c d +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 这是一个以,,,a b c d 为未知量的齐次线性方程组，且,,,a b c d 不全为0，说明该齐次线性方程组必有非零解，于是系数行列式等于零，即11231035612241x y z =，从而得到平面方程为3340x y z +-+=。
计算的MATLAB 程序如下： clc, clear, syms x y zD=[x,y,z,1;1,2,3,1;3,5,6,1;2,2,4,1]; s=det(D) 3.模型拓展对于n 次多项式2012n n y a a x a x a x =++++L ，其系数为011,,,n a a a +L ，可由其曲线上1n +个横坐标互不相同的点112211(,),(,),,(,)n n x y x y x y ++L 所唯一确定。
因为1n +个点满足这个多项式，则有201121112012222220112111,,.n n nn n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ++++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L L L L L L L L L L L L 这是一个含有1n +个方程，以011,,,n a a a +L 为1n +个未知量的线性方程组，其系数行列式为21112222221111111nn nnn n n n n n x x x x x x D x x x x x x +++=L L M MMM LL .(4.1)这是一个范德蒙行列式。
§2.8 线性代数法建模
二、投入产出模型
背 景 介 绍
投入产出分析是线性代数理论与方法在经济分析与 管理中的一个重要应用，它从数量上考虑经济系统 内部各部门间生产和分配的线性关系.投入产出分析 方法也称为投入产出法或投入产出技术，这一方法 是美国经济学家、哈佛大学行政管理学院列昂节夫 教授于20世纪30年代首先提出的.列昂节夫也因提出 此方法获得了1973年的诺贝尔经济学奖.
an , bn , cn )T M n x(0) PDn P1x(0) （
1 0 0 1 1 n 1 ( ) 0 2 2 a 0 1 n ( ) 0 b0 2 1 1 n 1 c0 ( ) 1 2 2
得属于1 0的特征向量为 1 2,1 T （， ）
0 0 x1 1 / 2 1 对于2 ，对应的方程组为： 1 0 0 x2 0 2 0 1 / 2 1 / 2 x3
得属于2的特征向量 (0,1,1)T
物相结合的方案培育植物后代，求经过若干 年后，这种植物任一后代的三种基因型AA, Aa,aa的概率分布.
模型假设
①记an , bn , cn分别表示第n代的植物中基因型为AA, Aa, aa 的植物所占的百分率（ 概率），且记x ( n )为第n代植物的 基因型分布：x ( n ) (an , bn , cn )T , n 0,1,2, 这里x ( 0) (a0 , b0 , c0 )T 表示植物的初始分布， 且满足 : a0 b0 c0 1
0 0 1 n 1 1 n ( ) ( ) 2 2 1 ( 1 ) n 1 1 ( 1 ) n 2 2 0 a0 0 b0 c 0 1
模型04：代数模型
PART 01
代数模型概述
定义与特点
定义
代数模型是一种数学模型，通过代数方法和概念来描述和解决实际问题。
特点
具有抽象性、形式化、系统化、符号化等特征，能够简洁明了地表达复杂问题， 便于进行数学推理和分析。代数模型的应用领域 Nhomakorabea数学教育
用于解释和阐述数学概念、定 理和公式，帮助学生理解抽象
的数学问题。
PART 04
代数函数与图像
代数函数的定义与性质
代数函数的定义
代数函数是由代数运算（加、减、乘、除、乘方等）和常数经过有限次组合而成 的函数。
代数函数的性质
代数函数具有一些基本的性质，如连续性、可微性、可积性等，这些性质在研究 代数函数的图像和性质时非常重要。
代数函数的图像绘制
代数函数的图像绘制方法
$2x + 3 = 7$，解得 $x = 2$。
一元二次方程
01
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数是2的方程。
02
03
求解方法
实例
配方法、公式法、因式分解法等。
$x^2 - 2x - 3 = 0$，解得 $x_1 = 3, x_2 = -1$。
多元一次方程组
定义
含有两个或两个以上未知数，且每个未知数的次数都是1的方程组。
代数在经济问题中的应用
代数在经济问题中也有着重要的应用，例如在金融、经济计量学等领域中，代数可以用于描述经济现 象和预测经济趋势。例如，线性代数可以用于描述时间序列数据和经济计量模型，而概率论和数理统 计则可以用于风险评估和预测。
代数在经济问题中的应用还包括博弈论和决策理论，如期望效用理论、贝叶斯决策理论等，这些理论 在金融、市场营销和决策分析中有着广泛的应用。
中考数学常见模型
中考数学常见模型中考数学常见模型是中等难度的数学问题，涵盖了数学的各个方面，包括代数、几何、概率等等。
下面将列举一些常见的数学模型，以帮助同学们更好地准备中考数学。
一、代数模型：1.一次函数模型：y=kx+b，其中k和b为常数，表示一条直线的方程。
常用于描述速度、距离等线性关系。
2.二次函数模型：y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数。
常用于描述抛物线的形状，如物体自由落体的高度和时间关系。
3.百分比模型：常用于计算百分比，如增长率、折扣率等。
4.平均数模型：用于求平均数，如求一组数的算术平均数、几何平均数等。
5.方程与不等式模型：常用于解决方程和不等式问题，如线性方程、二次方程、绝对值和分数方程等。
二、几何模型：1.面积和体积模型：常用于求解平面图形和立体图形的面积和体积，如矩形、三角形、圆形、圆柱体、球体等。
2.相似模型：用于表示两个形状相似的几何图形之间的比例关系。
3.三角模型：用于解决三角形相关问题，如正弦定理、余弦定理、面积公式等。
4.坐标模型：用于求解平面上的坐标问题，如平面直角坐标系和极坐标系等。
三、概率模型：1.事件模型：用于描述事件的概率，如事件的可能性、互斥事件、相对频率等概念。
2.随机模型：用于分析随机事件的发生概率和期望值，如抛硬币、掷骰子等。
3.条件概率模型：用于计算在已知某些条件下的事件发生概率，如加法原理、乘法原理等。
四、函数模型：1.函数关系模型：用于描述函数之间的关系，如函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等。
2.复合函数模型：用于把多个函数组合成一个新函数，如复合函数的求导、求导法则等。
3.反函数模型：求一个函数的反函数，如对数函数和指数函数的互为反函数等。
以上只是一部分常见的数学模型，同学们在备考中还需根据自己的实际情况进行重点复习和应用。
在解题过程中，要善于分析题意，理解问题，找到合适的数学模型进行求解。
并且要注意解题的思路和方法，培养逻辑思维能力，灵活运用各种数学知识和模型，提高解题的准确性和效率。
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线性代数就是高等学校理工科与经济类学科相关专业的一门重要基础课,它不仅就是其她数学课程的基础,也就是物理、力学、电路等专业课程的基础。
作为处理离散问题工具的线性代数,也就是从事科学研究与工程设计的科研人员必备的数学工具之一。
实验一 生物遗传模型1、工程背景设一农业研究所植物园中某植物的基因型为AA 、Aa 与aa 。
常染色体遗传的规律就是:后代就是从每个亲体的基因对中个继承一个基因,形成自己的基因对。
如果考虑的遗传特征就是由两个基因A 、a 控制的,那末就有三种基因对,记为AA 、Aa 与aa 。
研究所计划采用Aa(AA)型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。
问经过若干年后,这种植物的任意一代的三种基因型分布如何?2、问题分析分析双亲体结合形成后代的基因型概率,如表6-4所示。
表6-4基因型概率矩阵 后代 基因对 父体—母体的基因对AA —AAAA —Aa AA —aa Aa —Aa Aa —aa aa —aa AA 1 1/2 0 1/4 0 0 Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0 aa1/41/213、模型建立与求解设,,n n n a b c 分别表示第n 代植物中基因型AA 、Aa 、aa 型的植物占植物总数的百分率。
则第n 代植物的基因型分布为()n n n n a x b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,0(0)00a x b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭表示植物型的初始分布。
依据上述基因型概率矩阵,有1112n n n a a b --=+,1112n n n b b c --=+,0n c =,1n n n a b c ++=,表示为矩阵形式11111/2001/21000n n n n n n a a b b c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭记11/2001/21000M ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则()(1)2(2)3(3)(0)n n n n n x MxM x M x M x ---=====L 。
于就是问题归结为如何计算nM ,可将M 对角化。
易于计算M 的特征值为1、1/2、0,其相应的特征向量为(1,0,0)T ,(0,1,0)T -,(1,2,1)T-。
令101012001P ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭,则111/2001/21000M P P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
于就是()(0)1(0)11/2001/21000nn n xM x P P x -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭1(0)1011001010120(1/2)0012001000001nn x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11000001(0)10011(1/2)1(1/2)(1/2)(1/2)01/21/2(1/2)(1/2)0000n n n n n n n n a b c b c x b c ----⎛⎫⎛⎫--++-- ⎪ ⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1001001(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)0n n n n b c b c --⎛⎫-- ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭。
当n →∞,1,0n n a b →→,因此,可以认为经过若干年后,培育出的植物基本上呈现AA 型。
实验二 员工培训问题 1、工程背景某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将1/6熟练工支援其她生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐。
新、老非熟练工经培训及实践至年终考核有2/5成为熟练工。
若记第n 年一月份统计的熟练工与非熟练工所占比例分别为n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭。
2、问题问题1:第n+1年熟练工与非熟练工所占比例11n n x y ++⎛⎫⎪⎝⎭与第n 年熟练工与非熟练工所占比例n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭的关系。
问题2:若第1年熟练工与非熟练工所占比例为111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,求11n n x y ++⎛⎫⎪⎝⎭。
3、模型建立与求解 依据题意,有1521()656n n n n x x x y +=++,131()56n n n y x y +=+。
整理化简得119210513105n n n n n n x x y y x y ++⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,即119210513105n n n n x x y y ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭,记9210513105A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,亦有11n n n n x x A y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
由问题1结果,有112111212n n n n n n n x x x A A A y y y +-+-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭L 。
问题归结为求nA ,可将A 对角化。
易于计算1、1/2就是矩阵A 的两个特征值,且相应的特征向量为()()4,1,1,1TT-。
记4111P -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则1921010511302105P P -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11104()44()411111221111411550()1()14()222n n n n n n A ⎛⎫+-⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪-+ ⎪⎝⎭⎝⎭。
因此111183()122111023()22n n n n n x A y ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
实验三 多金属分选流程计算1、 工程背景设,j γγ—原矿产率及第j 种产品产率,%,100%γ=;i α—原矿中第i 种金属品位,%;ij β—第j 种产品中第i 种金属品位,%;ijβε—第j 种产品中第i 种金属的理论回收率,%;按照金属平衡与产率平衡进行计算。
为了计算方便,尾矿视为产品。
金属平衡,1,1,2,,ni jij j i m γαγβ===∑L产品平衡,1100%njj γ==∑其中,尾矿产率及金属品位为,n i in θγγθβ== 解次多元线性方程组求出产品产率。
各产品任一金属回收率1100%ijj ijnjijj βγβγβε=⨯=∑。
2、 问题某铅锌矿选矿厂生产的产品为铅、锌、硫精矿与尾矿,已化验知各产品的金属品位(见下表),试计算各产品产率与回收率。
原矿 3、14 3、63 15、41 铅 71、04 3、71 15、70 锌 1、20 51、50 30、80 硫 0、38 0、35 42、38 尾矿0、340、101、403、 模型建立与求解 设铅、锌、硫与尾矿的产率为123,,x x x 与4x ,按照金属平衡与产率平衡,可建立以下线性方程组:123412341234123471.04 1.200.380.34100 3.143.7151.500.350.10100 3.6315.7030.8042.38 1.4010015.41100x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⨯⎧⎪+++=⨯⎪⎨+++=⨯⎪⎪+++=⎩ MATLAB 源代码:A=[71、04 1、20 0、38 0、34;3、71 51、50 0、35 0、10;15、70 30、80 42、38 1、40;1 1 1 1]%创建系数矩阵b=[314 363 1541 100]’; %常数列矩阵 x=A\b %利用x=inv(A)*b x =3、8659 6、4590 28、2046 61、4706又 x0=repmat(x,[1,4]); %创建多维数组B0=repmat(b,[1 4])’;s=x0、*A’、/B0 %计算各产品的理论回收率,最后一列为产率s=87、4623 3、9511 3、9386 3、86592、4684 91、6361 12、9096 6、45903、4133 2、7194 77、5671 28、20466、6560 1、6934 5、5846 61、4706将计算结果填入下表实验四交通流量模型1、问题图6-8图6-8假设:(1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量.(2)全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.2、模型的建立与求解由假设可知,所给问题满足如下线性方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==-==+=+=+=-=+=+-1006002004001008008002005003006381091098751216754432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3、 Matlab 程序实现A=[0,1,-1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0;1,1,0,0,0,0,0,0,0,0;1,0,0,0,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,1,0,0,1,0,1,0,0] % 矩阵A b=[300;500,200;800;800;100;400;200;600,100]B=[A,b] % 增广矩阵B Rank(A) % 计算矩阵A 的秩Rank(B) % 计算增广矩阵B 的秩,若秩相等,则有解 rref(B) % 将增广矩阵B 化为最简型4、结果分析 增广矩阵系数矩阵的秩Rank(A)=8增广矩阵的秩Rank(B)=8<10,说明该非齐次线性方程组有无穷多个解. 增广矩阵的最简型为:其对应的齐次同解方程组为:⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+=+=+==-=+600400100800500200080010987865435251x x x x x x x x x x x x x 以85,x x 做为自由变量,将最简形方程转化为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==+-=+-=+-==+=+-=600400100800500200080010987865435251x x x x x x x x x x x x x 求得其通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6004000100080005002000800001110000000000110112110987654321C C x x x x x x x x x x。