圆的轴对称性

3.2 圆的轴对称性（1）学目标１．使学生理解圆的轴对称性．２．掌握垂径定理．３．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题． 教学重点垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用．教学难点垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点．教学关键理解圆的轴对称性．教学环节的设计这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是：复习提问，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功； 目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知．教学方法：类比 启发教学辅助：多媒体教学过程：一、复习提问，创设情境1．教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念；２．提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作） 二、引入新课，揭示课题1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴． 强调： （1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴； （2）圆的对称轴有无数条．判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备．三、讲解新课，探求新知先按课本进行合作学习1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ；2．作一条和直径CD 的垂线的弦，AB 与CD 相交于点E ．提出问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？在学生探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念） ①EA=EB ；② AC=BC，AD=BD ． AB C D O E⌒ ⌒ ⌒ ⌒理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt ∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA 与EB 重合， ∴点A 与点B 重合，弧AC 和弧BC 重合，弧AD 和弧BD 重合．∴ EA=EB ， AC=BC，AD=BD ． 然后把此结论归纳成命题的形式：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理的几何语言∵CD 为直径，CD ⊥AB （OC ⊥AB ） ∴ EA=EB ， AC=BC ，AD=BD． 四、应用新知，体验成功 例1 已知AB ，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念) 作法：⒈连结AB.⒉作AB 的垂直平分线 CD ， 交弧AB 于点E.点E 就是所求弧AB 的中点．变式一： 求弧AB 的四等分点．思路：先将弧AB平分，再用同样方法将弧AE 、弧BE 平分． （图略）有一位同学这样画，错在哪里？1．作AB 的垂直平分线CD2．作AT 、BT 的垂直平分线EF 、GH （图略）教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．变式二：你能确定弧AB 的圆心吗？方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．例2 一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离OC ．思路：先作出圆心O 到水面的距离OC ，即画 OC ⊥AB ，∴AC=BC=8，在Rt △OCB 中，68102222=-=-=BC OB OC ∴圆心O 到水面的距离OC 为6．补充例题 已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ． 思路：作OM ⊥AB ，垂足为M ， ∴CM=DM∵OA=OB ， ∴AM=BM ， ∴AC=BD ．概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．小结：1．画弦心距是圆中常见的辅助线；2．半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB -=．注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个．五、目标训练,及时反馈1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB 的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ O A B C ⌒⌒⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒2．如图，AB 是⊙0的中直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ） A ．∠COE=∠DOE B ．CE=DE C ．OE=BE D ．BD=BC答案：C3．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 长为（ ）A ．3B ．6cmC ． cmD ．9cm答案：A注：圆内过定点M 的弦中，最长的弦是过定点M 的直径，最短的弦是过定点M 与OM 垂直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目．4．如图，⊙O 的直径为10，弦AB 长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）A ．3≤OM ≤5B ．4≤OM ≤5C ．3<OM<5D ．4<OM<5答案：A5． 已知⊙O 的半径为10，弦AB ∥CD ，AB=12，CD=16，则AB 和CD 的距离为 ． 答案：2或24注：要分两种情况讨论：（1）弦AB 、CD 在圆心O 的两侧；（2）弦AB 、CD 在圆心O 的同侧．六、总结回顾，反思内化师生共同总结：１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．3．解题的主要方法：（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；（2）半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB -=．七、布置作业， 巩固新知P65作业题1~6，第7题选做．板书设计：垂径定理 例1 例2解： 解：练习 练习教学反思：本节课学生对垂径定理都很好的掌握，亮点在于练习设计有梯度，本节例题学生掌握很好。

3.2 圆的轴对称性(2)⌒ ⌒1.使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题；2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和计算能力，结合应用问题向学生进行爱国主义教育.教学重点和难点垂径定理的两个推论是重点；由定理推出推论1是难点.教学方法：类比启发教学辅助：投影片教学过程：一、从学生原有的认知结构提出问题1.画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.(由学生叙述)2.教师引导学生写出垂径定理的下述形式：题设结论指出：垂径定理是由两个条件推出三个结论，即由①②推出③④⑤.提问：如果把题设和结论中的5条适当互换，情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论1.引导学生观察图形，选①③为题设，可得：由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB不是直径”这一条件.这个命题是否为真命题，需要证明，结合图形请同学叙述已知、求证，教师在黑板上写出. 已知：如图3-15，在⊙O中，直径CD与弦AB(不是直径)相交于E，且E是AB的中点.求证：CD⊥AB，.分析：要证明CD⊥AB，即证OE⊥AB，而E是AB的中点，即证OE为AB的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知AC＝BC，AD＝BD.证明：连结OA，OB，则OA＝OB，△AOB为等腰三角形.因为E是AB中点，所以OE⊥AB，即CD⊥AB，又因为CD是直径，所以2.(1)引导学生继续观察、思考，若选②③为题设，可得：(2)若选①④为题设，可得：以上两个命题用投影打出，引导学生自己证出最后，教师指出：如果垂径定理作为原命题，任意交换其中的一个题设和一个结论，即可得到一个原命题的逆命题，按照这样的方法，可以得到原命题的九个逆命题，然后用投影打出其它六个命题：3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的三个命题，教师板书出垂径定理的推论1.推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.4.垂径定理的推论2.在图3-15的基础上，再加一条与弦AB平行的弦EF，请同学们观察、猜想，会有什么结论出现：(图7-37)学生答接着引导学生证明上述猜想成立.(重点分析思考过程，然后学生口述，教师板书.)证明：因为EF∥AB，所以直径CD也垂直于弦EF，最后，猜想得以证明，请学生用文字叙述垂径定理的又一推论：推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.三、应用举例，变式练习练习按图3-15，填空：在⊙O中(1)若MN⊥AB，MN为直径；则，，；(2)若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则，，；(3)若MN⊥AB，AC＝BC，则，，；此练习的目的是为了帮助学生掌握垂径定理及推论1的条件和结论.例3我国隋代建造的赵州石拱桥(图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高)为7.2米，求桥拱的半径.(精确到0.1米) 首先可借此题向学生介绍“赵州桥”，对学生进行爱国主义教育，(有条件可放录像)同时也可激发学生学习数学的兴趣.关于赵州桥的说明：赵州桥又名“安济桥”，位于河北省赵县城南交河上，是我国现存的著名古代大石拱桥、 隋开皇大业年间(590～608)由李春创建.桥单孔，全长50.82米，桥面宽约10米，跨径约为37米，弧形平缓，拱圈为28条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，节省材料，又便于排洪，且增美观 在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之大在当时亦属首创，反映了我国古代劳动人民的智慧与才能.分析：(1)首先说明跨度、拱高等概念，然后引导学生设法把实际问题转化为数学问题，并画出几何图形(图7-42)，且一边画图一边解释：桥拱是圆弧形，以O为圆心，R为半径画出一段圆弧AB表示桥拱，弦AB表示桥的跨度，即AB＝37.4米，弧AB的中点C到线段AB的距离为7.2米.这样我们就可以根据实际问题，参照上图写出数学问题的已知和求解. 解题过程，参考课本.对于此题，学生往往是过弧AB的中点C先作出弓形高CD，即过C作CD⊥AB，垂足为D，如果是这样的话，可引导学生根据垂径定理，首先证明直线CD经过圆心O，仍然可利用勾股定理，求出半径R.说明：此题的解题思路是，经过圆心作弦的垂线，说明它平分弦且平分弦所对的弧 也可以经过弧的中点作弦的垂线，说明它平分弦且经过圆心.解决这类问题时，只要抓住弦长、弦心距、弓形高及半径之间的关系，已知其中的两个量，可以求出其它两个未知量，这种思考方法今后要经常用到.四、师生共同小结问：这节课我们学习了哪些主要内容?在学生回答的基础上，用投影出示垂径定理及其推论的基本图形，如图3-15.指出：若垂径定理或推论中的某一个成立，则(1) △CAB，△OAB，△DAB都是等腰三角形，弦AB是它们公共的底边，直径CD是它们的顶角平分线和底边的垂直平分线.(2) △ACD和△BCD是全等的直角三角形，直径CD是它们公共的斜边，AE，BE分别是斜边上的高，AO，BO分别是斜边上的中线 在这两个三角形中可以运用直角三角形的一系列性质.通过应用题的学习，培养把实际问题抽象成数学问题的意识，从而提高转化能力和计算能力.六、布置作业板书设计：定理1 ：例3解：定理2 ：练习练习教学反思：本节课学生对定理都能很好的落实，亮点在于练习设计有针对性，本节例题学生掌握很好。