巧用定积分求极限
高数 利用定积分定义求极限

(一)定积分的定义其中,分割是任意的分割,想怎么分就怎么分,任意分!分割的目的在于第二步的代替。
代替什么呢?就是“化曲为直”,用直线来近似代替那段曲线,为什么这时候能够用直线来近似代替那段曲线了?就是因为第一步的分割呀!因为你第一步的分割分的让每个子区间足够小,小的让在小区间内随便取一点,代入到被积函数中,它的值都一样!既然都一样了,此时就可以将曲线看成直线了,此时这段小区间的面积就可以近似看作是小矩形的面积,宽就是小区间长度,长就是将这一点代入被积函数后的值。
大家对照着上面的图一,看看上面讲的n等分法,这就是考研里面的特殊分割!你之前是任意分割,现在我就取个特殊,我将这个区间分成n等份,每一份的区间长度都是n分之一。
而近似呢,你之前的定义是说取小区间的任意一点,我这时候就取个特殊点,我取每个小区间的右端点!把这个右端点代入到被积函数中,用它的函数值来近似代替这段曲线上的每一点值,即:你要想明白1/n代表什么?它代表的是矩形面积微元中的那个宽!小 f 这个函数代表什么?它代表的是矩形面积微元中的那个长!(二)利用定积分定义求极限的题目特征在哪些题目需要考虑用定积分的定义?或者说这类题目有什么样的特征?汤老师是这样总结的:用定积分定义求极限的题目具有如下的特征:1、分子齐(都是1次或0次);2、分母齐(都是2次);3、分母比分子多一次;这里的“齐”是什么意思呢?举两个例子就明白了:比如说例1这个题:这个题,他的分母都是2次,是齐的,分子都是1次,分母比分子多一次。
又比如例2:这个题,它的分母都是1次,是齐的,分子都是0次(因为都是1,可以看做是0次方),分母比分子多一次。
像上面这两道题,就是典型的利用定积分定义做的。
两道题的求解步骤分别如下所示:。
定积分专题05:含参数定积分极限与变限积分极限问题求解思路与方法

定积分专题05:含参数定积分极限与变限积分极限问题求解思
路与方法
本系列专题由学友“亭亭小可爱”整理分享,专题内容既适用于课程学习,也适用于竞赛、考研,内容为总结性概括,例题属于提高型典型问题。
例题与练习题
【注】如果公式显示不全,请在公式上左右滑动显示!
练习1:证明如下等式成立.
练习2:设 ,
(1) 求极限;
(2) 证明单调递减.
练习3:求.练习4:求.练习5:设在上连续,求练习6:设在上连续,求练习7:求.
练习8:求.
练习9:已知,求极限练习10:设在区间上连续,由积分中值公式,有
若存在且非零,求.
练习11:试求正常数,它们由下式确定:
【注】对于例题或练习题,建议自己在草稿纸上动手做完以后再参见下面给出的参考答案!参考解答一般仅是提供一种思路上的参考,过程不一定是最简单的,或者最好的,并且有时候可能还有些许小错误!希望在对照完以后,不管是题目有问题,还是参考解答过程有问题,希望学友们能不吝指出!如果有更好的解题思路与过程,也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员,管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享,谢谢!
参考解答
更多相关专题可以参见如下列表:
•定积分专题01:定积分关键定义、定理、公式与相关结论总结•定积分专题02:定积分部分结论、公式的证明思路与方法
•定积分专题03:定积分计算常用方法与典型题分析
•定积分专题04:应用定积分定义求部分和极限题型与典型例题解析
•一道积分算一天,你确信积分对了吗?。
专题1——利用定积分定义求极限 (1)

专题1——利用定积分定义求极限 (1) 哎呀,这可是个大问题啊!今天我们来聊聊一个特别重要的数学概念——极限。
你们知道吗?极限可是数学里的灵魂啊!它就像是我们生活中的大佬,总是能解决我们遇到的各种难题。
极限到底是什么呢?别着急,我给大家慢慢道来。
我们要明白什么是定积分。
定积分就像是一种加法,它可以把无穷多个小矩形拼接起来,形成一个更大的矩形。
这个更大的矩形的面积就是我们要找的那个数。
这个过程可能会遇到一个问题——无穷多个小矩形怎么才能拼成一个大矩形呢?这时候,我们就需要用到极限的概念了。
极限就像是一个桥梁,它可以帮助我们把无穷多个小矩形联系起来。
当我们把无穷多个小矩形的面积相加时,如果结果是一个无限大的数,那么我们就可以说这个数是无穷大;如果结果是一个有限的数,那么我们就可以说这个数是有限的。
而极限就是帮助我们确定这个数到底是无穷大还是有限的。
怎么求极限呢?其实,求极限的方法有很多种。
这里我给大家介绍一种最简单、最直接的方法——四分之法。
具体操作方法就是:把分子和分母都除以同一个非零常数,然后再求极限。
这样做的好处是,可以简化我们的计算过程,让我们更容易地找到答案。
求极限并不是一件容易的事情。
有时候,我们需要通过一些巧妙的方法来突破困境。
比如说,我们可以利用“夹逼定理”来求极限。
这个定理告诉我们,如果一个函数在某个区间内单调递增或单调递减,那么它在这个区间内的极限就是它的端点值。
这样一来,我们就可以通过比较两个端点值的大小来求出函数在这个区间内的极限了。
还有一种求极限的方法叫做“洛必达法则”。
这个法则适用于那些形式比较复杂的极限问题。
它的操作方法是:先对分子和分母分别求导,然后再求极限。
这样做的好处是,可以帮助我们找到隐藏在复杂表达式中的规律,从而更容易地求出极限。
求极限是数学中的一个重要概念,也是我们解决实际问题的关键。
虽然求极限的过程可能会遇到很多困难,但是只要我们掌握了正确的方法,就一定能够攻克这些难关。
8定积分应用(求极限,变上限求导,面积,体积,不等式)

y
o
x
4.设 y ax与 y x 2 围成图形的面积为s1 , 它们与x 1 围成图形的面积为s2 , 且 0 a 1 (1) 求 a , 使 s1 s2 最小
(2) 求此最小值对应的平面 图形绕 x 轴旋转而得的旋转 体体积. 解 (1) 0 a 1 时, s s1 s2
例
x sin( xt ) f ( x) . lim 2 ,其中 f ( x) 2 dt x x 0 x t
例 : 设f ( x )连续, 且f ( 0 ) 0
求 lim
x0
x
0
( x t ) f (t )dt
x 0
x f ( x t )dt
1 ( ) 2
例.
例
3
设隐函数y y( x )由
o
x
1 3 1 2 ( ) (1 y 2 y) dy ( y y y ) . 1 S 0 3 3 0 2 2 1 2 2 (2) V ( x) dx ( x 1) dx 0 1 6 2
1 2
1
(3)绕直线 x 2 旋转所得旋转体的体积.
例
.设f ( x)为奇函数,且当 0时,f ( x) 0 x
sin( xt ) f ( x) 0, 其中 f ( x) 2 dt,令 x t
x
F ( x) f ( xt)dt tf (t 2 x 2 )dt,
1 0
1
x
判别F (x)在 , 上的凹凸性
3 2 2
2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f ( x)在2,4上可导, 且
f (2) ( x 1) f ( x)dx 。
专题利用定积分定义求极限

专题1——利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限,可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法:① 是n →∞时的极限② 极限运算中含有连加符号1n i =∑在定积分的定义中,我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间(定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ,我们当然可以平均分割),那么每个小区间的长度为b a n-(即定义中的i x ∆),这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+,[,2]b a b a a a n n --++,[2,3]b a b a a a n n--++,……,[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-,[(1),]b a a n b n-+-,在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+(也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-),那么定义中的1()n i ii f x ξ=∆∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑,那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰。
(取左端点时1lim ((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n→∞=--+-=∑⎰) 注意:定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间(n →∞也表示把区间分割成无数个小区间,但是在任意分割的前提下,不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间,这里的原因我是理解的,但是不好表述,你清楚结论就行了),当分割方式为均等分割时,n →∞就表示把区间分割成无数个小区间,所以这里是1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰,而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑⎰。
积分求极限问题

积分求极限问题
在数学中,积分求极限是求一个函数在某一点处的极限。
根据基本定理的积分推广,如果一个函数在一个区间上连续并且有界,那么它的积分也是有界的。
因此,对于这样的函数,可以通过求积分来求解极限问题。
具体的求解方法取决于给定的函数和极限的形式。
以下是一些常见的求极限的方法:
1. L'Hôpital法则:适用于求极限为0/0或∞/∞形式的极限。
若
函数f(x)和g(x)在极限点附近连续,并且f(x)和g(x)在该点都
为0或∞,并且f'(x)/g'(x)的极限存在,那么lim x→a f(x)/g(x)
= lim x→a f'(x)/g'(x)。
2. 积分中值定理:适用于求极限为无穷小形式的极限问题。
如果一个连续函数f(x)在[a, b]上有积分,那么存在一个c∈(a, b),使得∫[a, b] f(x)dx = f(c)(b-a)。
根据这个定理,可以通过积分的
中值定理推导出一些常见的极限。
3. 函数的单调性和有界性:如果一个函数在某一区间上单调递增或单调递减,并且有界,那么可以通过求积分来判断它在某一点的极限。
如果函数在该区间上单调递增,那么函数的极限为区间上的上确界;如果函数在该区间上单调递减,那么函数的极限为区间上的下确界。
以上仅是一些常见的求积分求极限的方法,实际上针对不同的
函数和极限形式可能还有其他的求解方法。
在具体的问题中,可以根据函数的特性和极限的形式选择合适的方法来求解。
定积分求极限公式

定积分求极限公式设函数f(x)在[a,b]上连续,且在(a,b)上可导,则有:1.若f(x)在[a,b]上非负,单调递增,则有lim(x->b-) ∫[a to b] f(x)dx = ∫[a to b] lim(x->b-) f(x)dx lim(x->a+) ∫[a to b] f(x)dx = ∫[a to b] lim(x->a+) f(x)dx2.若f(x)在[a,b]上非负,单调递减,则有lim(x->b-) ∫[a to b] f(x)dx = ∫[a to b] lim(x->a+) f(x)dx lim(x->a+) ∫[a to b] f(x)dx = ∫[a to b] lim(x->b-) f(x)dx3.若f(x)在(a,b)上连续,则有lim(x->a+) ∫[a to b] f(x)dx - lim(x->b-) ∫[a to b] f(x)dx = f(a)4.若f(x)在(a,b)上可导,且,x,/(√x^2+1)在(a,b)上连续,则有lim(l->∞) ∫[a to b] f(x)sin(l x)dx = πf(a)/25.若f(x)在(a,b)上连续,则有lim(t->0+) ∫[a to b] f(x+t)dx = ∫[a to b] f(x)dx6.若f(x)在(-∞,∞)上有界,则有lim(a->-∞,b->∞) ∫[a to b] f(x)dx存在7.设f(x)在[a,b]上连续可导,且f'(x)在[a,b]上有界∫[a to b] f(x)dx, <= M(b-a),其中M为f'(x)在[a,b]上的上8.麦克劳林公式:设f(x)在[a,b]上连续可导,且f'(x)在[a,b]上也连续,则有lim(n->∞) ∫[a to b] xf^n(x)dx = f(a)/(n+1),其中n为正整数9.设f(x)在[a,b]上连续可导,f'(x)在[a,b]上单调增加,则有lim(n->∞) n(∫[a to b] f(x)^n dx)^(1/n) = max{f(x): x ∈ [a,b]}以上是一些常用的定积分求极限的公式,能够帮助我们计算极限值。
考研数学:用定积分的定义求极限

f ( x)
在 区 间
[ a, b]
上 有 界 , 在 , 这 样
[ a, b]
内 任 意 插 入
n 1
个 分 点
a x0 x1 x2 ... x n 1 x n b [ xi 1 , xi ], (i 1, 2,..., n)
用 xi
[ a, b]
就 被 分 为 了
1i n
0
i 1
…………………………………………………………………………………………取极限
则作dx lim f (i )xi ,其中 f ( x) 称为被积函数, f ( x)dx 称为被积式, x 称
0
i 1
n
为积分变量, [a, b] 称为积分区间, b, a 分别称为积分上、下限。 我们从定积分的定义内容可知,定积分的本质其实就是和式的极限。因此,我们可以利用定积分 的定义来计算和式的极限。 2.利用定积分的定义求极限 基本公式: lim
i 1 i
n
i
f (1 )x1 f (2 )x2 f (n )xn …………………求和 f ( x)
在 区 间 [ a, b] 上 的 定 积 分 , 记 令
称
f ( x)
在 区 间 [ a, b] 上 可 积 , 该 极 限 称 之 为
n
max(xi ) ,如果有极限 lim f (i )xi 存在且与 [a, b] 的划分及 i 的选取无关
取自 xi 处,那么和式极限就可以表示为 lim
n
f nn
i 1
n
i 1
1
0
f ( x)dx
考研试题中的应用:我们 2017 年研究生考试数一、二、三中就出现了这种题型。 例题:求 lim
3-2-10-胡桐春-利用定积分定义求极限

lim n
n i 1
1 1 (1 i )2 n
n
11
0 (1 x)2 dx
11 1
1 x 0 2
n (n n)2 ]
8.已知
f
(x)
a x3
,求极限lnim
1 n4
ln[
f
(1)
f
(2)
解:原式 lim ln a n ( i )3 1
n
1
00
2.求极限
lim(
n
1 4n2 1
1 ... 4n2 22
1) 4n2 n2
解:原式
lim
n
1 n
(
1 4 (1 )2
1 ... 4 (2 )2
1) 4 (n )2
n
n
n
n
lim
1 1 1 1 dx
n i1 4 ( i )2 n
i1 n n
ln a 1 x3dx 0
ln a 1 x4 1 1 ln a 4 04
f (n)]
感谢各位聆听
n i1 1 4( i )2 n
0 1 4x2
n
1 1 1 d(2x) 1 2 1 dt
2 0 1 (2x)2
2 0 1t2
1 ln(t 1 t2 ) 2 1 ln(2 5)
2
02
n
n
7.求极限
lim[
n
(n
1)2
(n
2)2
解:原式
04
4.求极限 lim( 1 1 ... 1 )
(完整版)专题1——利用定积分定义求极限(1)

专题1——利用定积分定义求极限对于满足如下条件的极限,可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法:① 是n →∞时的极限② 极限运算中含有连加符号1n i =∑在定积分的定义中,我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间(定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ,我们当然可以平均分割),那么每个小区间的长度为b a n-(即定义中的i x ∆),这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+,[,2]b a b a a a n n --++,[2,3]b a b a a a n n--++,……,[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-,[(1),]b a a n b n-+-,在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+(也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-),那么定义中的1()n i ii f x ξ=∆∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑,那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰。
(取左端点时1lim((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑⎰)注意:定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间(n →∞也表示把区间分割成无数个小区间,但是在任意分割的前提下,不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间,这里的原因我是理解的,但是不好表述,你清楚结论就行了),当分割方式为均等分割时,n →∞就表示把区间分割成无数个小区间,所以这里是1lim()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n→∞=--+=∑⎰,而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n nλ→=--+=∑⎰。
用定积分定义求极限的n次方

用定积分定义求极限的n次方
要使用定积分定义求极限的n次方,我们可以将极限表达式转化
为一个定积分的形式。
具体步骤如下:
1. 将极限表达式写为一个定积分形式,例如:
极限表达式:lim_(x→a) (f(x))^n
定积分形式:integral_(a to b) (f(x))^n dx
2. 对定积分形式使用定积分的定义,即根据极限定义进行求解: integral_(a to b) (f(x))^n dx = l, l为定积分的结果,也是我们要求的极限值。
3. 对定积分形式使用定积分的定义,将其转化为一系列具体的
数值计算步骤:
- 将积分区间(a to b)平均分成n个小区间。
- 在每个小区间上选择一个代表性点c_i,例如可以选择区间起点、终点或者中点作为代表性点。
- 计算每个小区间上函数值的n次方乘以小区间长度,即
(f(c_i))^n * Δx_i,其中Δx_i 为小区间的长度。
- 对所有小区间的乘积进行求和,得到极限的近似值。
4. 当我们将小区间数量n无限增加时,近似值会逐渐接近极限值。
因此,极限的近似值可以表示为:
lim_(n→∞) ∑_(i=1)^n (f(c_i))^n * Δx_i = l
总结起来,使用定积分定义求极限的n次方,需要将极限表达式
转化为定积分形式,然后根据定积分定义进行近似计算,最终取小区
间数量n趋于无穷大,以求得极限的近似值。
定积分求极限公式

定积分求极限公式1.中值定理2.大数定律3.独立变量的积分4.常用极限公式接下来,我将对这些公式进行详细的介绍。
1.中值定理中值定理是微积分中的一个重要定理,可以用来证明函数的连续性。
对于函数f(x)在闭区间[a,b]上连续并可导,在(a,b)内存在一个点c,使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
根据中值定理,定积分的极限可以通过函数的导数和平均值来表示。
2.大数定律有很多情况下,定积分可以用来表示一些随机变量的数学期望(期望值)。
根据大数定律,当取样数量足够大时,随机变量的平均值会趋近于其数学期望。
这意味着当定积分的上下限趋近于无穷时,定积分的值会收敛到一个常数。
3.独立变量的积分对于含有一个或多个独立变量的积分,可以通过分离变量,将其转化为只含有一个变量的积分。
例如,如果要求解∫(x^2 + y^2) dx,可以将 y 视为常数,并对 x 进行积分。
这样就可以得到只关于 y 的积分表达式。
4.常用极限公式在定积分求极限过程中,还可以直接使用一些常用的极限公式来简化计算。
常用的极限公式包括:- 弧长公式:当 a < b 时,有lim(x→∞) ∫(a→b) f(x) dx =lim(x→∞) ∫(a→x) f(t) dt + lim(x→∞) ∫(x→b) f(t) dt;- 指数函数和对应的自然对数函数的极限:lim(x→0) (1 + x)^1/x= e;- 三角函数的极限:lim(x→0) sin(x)/x = 1;- 幂函数的极限:lim(x→∞) x^a = ∞,其中 a > 0;- 正无穷大与负无穷大的相加或相减:lim(x→∞) [f(x) ± g(x)]= lim(x→∞) f(x) ± lim(x→∞) g(x);- 正无穷大与有界函数的乘积:lim(x→∞) [f(x) * g(x)] =lim(x→∞) f(x) * lim(x→∞) g(x),其中lim(x→∞) f(x) 为正无穷大,g(x) 为有界函数。
利用定积分定义求极限(by汤)

1 入门题
同济 7 的 p226
Zb
Xn
f (x) dx = I = lim f ( i )∆xi ; xi 1 6
a
!0 i=1
6 xi
做题时的公式
Z1
0
f
(x)
=
lim
n!1
1 n
Xn
i =1
f
(
i n
)
Zb
a
f
(x)
dx
=
lim
n!1
ba „ƒn‚…
Xn
i =1
f
(a
+
i n
利用定积分定义求极限
3 高级题
Solution 当 n
6 x 6 (n + 1) 时
Z +1 x
X 1 Z (i+1)
dx =
x
X 1 Z (i+1)
dx =
i dx
0
x3
i =0
X 1
i
Ä
i
x3 Â
1
i=0Ã i 1
x3
=
2 2 i 2 (i + 1)2
i =0
1
X 1 Ä 1
1
1
1
=
+
=
22
 Ã1
Example 2: 求极限: lim n!1
n! nn
n
Solution
 Ã1
ÂÃ
ÂÃ
lim n! n = lim exp 1 ln n! = exp lim 1 ln n!
n!1 nn
n!1
n  nn
n!1 n à nn
利用定积分求极限

科技信息定理1:连续函数的定积分一定存在根据该定理,只要y=f(x)是连续函数,ba!f(x)dx=limλ→0ni=1"f(ξi)Δxi,而且该极限与{ξi}的取法无关,与{xi}的分法无关。
其中Δxi=xi-xi-1。
正因为该极限与{ξi}的取法无关,与{xi}的分法无关,经常取{xi}使[a,b]区间等分,取ξi=xi或ξi=xi-1所以Δxi=b-an,ξi=a+b-ani或ξi=a+b-an(i-1)。
于是:limλ→∞b-anni=1"f(a+b-ani)=ba!f(x)dx或limλ→∞b-anni=1"f(a+b-an(i-1))=ba!f(x)dx一、形如limn→∞ni=1"f(ξi)Δxi的极限推论1如果函数f(x)在区间[a,b]上可积,将区间[a,b]等分为n个小区间,ξi为小区间i-1n(b-a),in(b-a#$)上任意一点,Δxi=b-an,则ba!f(x)dx=limn→∞b-anni=1"f(ξi)。
例1.求极限limn→∞(nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2)解:原式=limn→∞1nni=1"11+(in)2=limn→∞ni=1"1n11+(in)2=limn→∞ni=1"f(ξi)1n(1)(1)式是函数f(x)=11+x2在区间[0,1]上的一个积分和,它是把区间[0,1]分成n等份,ξi取i-1n,in%&的右端点构成的积分和,由推论1可得limn→∞(nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2)=10!11+x2dx=π4利用定积分求limn→∞ni=1"f(ξi)Δxi关键为(1)寻找被积函数;(2)确定积分的下限a及上限b。
具体步骤如下:(4)通过恒等变形,将Sn化为特殊形式的积分和:Sn=ni=1"f(ξi)b-an(5)寻找被积函数f确定积分下限及上限:令ξi=x,被积函数为f(ξi)=f(x);积分下限a=limn→∞ξk(k为i的第一个取值);积分上限b=limn→∞ξm(m为i的最后一个取值)。
专题1——利用定积分定义求极限 (1)

专题1——利用定积分定义求极限
对于满足如下条件的极限,可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法: ① 是n →∞时的极限
② 极限运算中含有连加符号1n
i =∑
2b a n
-,[a b a
i n
-+1
n i =∑n 不但是不好表述,你清楚结论就行了),当分割方式为均等分割时,n →∞就表
示把区间分割成无数个小区间,所以这里是1lim (()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰,
而不是01lim (()n b a i b a b a f a i f x dx n n
λ→=--+=∑⎰。
如()f x 在区间[0,1]上的积分可以表示为101
1()lim (n n i i f x dx f n n →∞==∑⎰——i ξ取每个小
区间的右端点,或者10
111()lim ()n n i i f x dx f n n →∞=-=∑⎰——i ξ取每个小区间的左端点。
举例:求341lim n n i i n →∞=∑
分析:函数3()f x x =在区间[0,1]上的定积分的定义可以表示为
13
3011lim ()n
n i i x dx n n →∞==⋅∑⎰(这里i ξ取的是每个小区间的右端点),即
130x dx =⎰,()i f n 或者1lim n n i →∞=1
0()f x dx ⎰。
巧用定积分求极限(数学分析)

定积分在求极限中的应用1.常识预备微积分学在大学的数学进修中占领相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中经常要面对的问题.是以,积聚更多求极限的办法应是每位大学生必备的素养.“00”型的极限和“∞∞”型极限的.泰勒公式合适于解决求分式极限平分子或分母有加减运算的问题,经由过程泰勒展式后可以达到某些项抵消后果.但若细心不雅察这些办法,其特色不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学常识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时期进修过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘使也能用到积分学常识来解决求极限的问题,那么求极限的办法才算完美.而应用定积分求极限正表现了这一理念. 1.2定积分的概念下面起首让我们回想一下定积分以及极限的界说:定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有界说,在闭区间[],a b 内随意率性拔出n-1个分点将[],a b 分成n个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ∆=-=),1[,]i i x x ξ-∀∈,作乘积()i i f x ξ∆(称为积分元),把这些乘积相加得到和式1()niii f xξ=∆∑(称为积分情势)设{}max :1i x i n λ=∆≤≤,若1lim ()ni ii f x λξ→=∆∑极限消失独一且该极限值与区是[],a b 的分法及分点i ξ的取法无关,则称这个独一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作b a ()f x dx⎰,即1()lim ()nbai ii f x dx f x λξ→=⎰=∆∑.不然称()f x 在[],a b 上不成积.注1:由牛顿莱布尼兹公式知,盘算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号.注2:若()b a f x dx⎰消失,区间[],a b 进行特别朋分,分点i ξ进行特别的取法得到的和式极限消失且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思惟在考题中经常消失,请读者要真正懂得.注3:定积分是否消失或者值是若干只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母暗示无关,即()()().b b ba a a f x dx f t dt f u du ⎰=⎰=⎰细心不雅察定积分的界说,我们必定会发明定积分的极限有以下两个特点.第一,定积分是无穷项和式的极限,轻易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必定趋近于零,不然和式极限不消失.第二,定积分与某一持续函数有慎密的关系,它的一般项受到这一持续函数的束缚,它是持续函数在某个区间长进行了无穷的朋分,各小区间上随意率性的函数值与区间长度的乘积的累加.对于极限,大学重要进修了数列的极限和函数的极限.数列的极限是用于解决离散的天然数的相干极限,而函数的极限则重要用于解决持续函数的相干极限.那么就让我们先一一往返想它们吧! 极限的概念数列的极限设{}n a 为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总消失正整数N ,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a ,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a→∞=或()n a a n →→∞.(读作:当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a趋于a ).因为n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a→∞=或()n a a n →→∞.若数列{}n a 没有极限,则称{}n a 不收敛,或称{}n a 为发散数列.注1:关于ε:①εε的感化在于权衡数列通项n a 与常数a 的接近程度,ε越小,暗示接近得越好;而正数ε可以随意率性小,解释n a 与常数a 可以接近到任何程度;②εε有其随意率性性,但一经给出,就临时地被肯定下来,以便依附它来求出N;③ε的多值性.ε既是随意率性小的正数,那么2,3,2εεε等等,同样也是随意率性小的正数,是以界说1中的不等式||n a a ε-<中的ε可用2,3,2εεε“||n a a ε-<”可用“||n a a ε-≤”代替;④正因为ε是随意率性小的正数,我们可以限制ε小于一个肯定的正数.注2:关于N :①响应性,一般地,N 随ε的变小而变大,是以常把N 界说作()N ε来强调,N 是依附于ε的;ε一经给定,就可以找到一个N ;②N 多值性N 的响应性其实不料味着N 是由ε独一肯定的,因为对给定的ε,若100N =时能使得当n N >时,有||n a a ε-<,则101N =N 不是独一的.事实上,在很多场合下,最重要的是N 的消失性,而不是它的值有多大.基于此,在实际应用中的N 也不必限于天然数,只如果N 正数即可;并且把“n N >”改为“n N >”也无妨.函数的极限设函数()f x 在点0x A ,对于随意率性给定的正数ε(不管它有何等小),总消失某正数δ,使得当x 知足不等式00x x δ<-<时,对应的函数值()f x 都知足不等式()f x A ε-<,那么常数A 就叫做函数()f x 当0x x →时的极限,记为0lim ()()()x x f x A f x A x x →=→→或当.可以看出,数列极限与函数极限界说的思惟是一致的,都是响应的某个表达上的值无穷地接近某个常数值.不合的是数列是离散的,数列中的项在跳跃式地接近,而函数是持续的,函数值在逐渐地接近,但二者都能与响应的常数值以随意率性程度地接近. 2.定积分与极限定积分在求极限中应用概述不难看出,无论是数列的极限照样函数的极限,它们都与定积分的界说消失着千丝万缕的关系,那么就让我们来揭晓它们之间玄机与奥妙吧.事实上,定积分的界说中蕴含着一列数{()i i f x ξ∆}的和,并且只要ix ∆充分地小,和式1()niii f xξ=∆∑就可以随意率性地接近肯定的实数J=()b a f x dx⎰,这恰是极限思惟的消失,即1lim ()J ()nb i i a n i f x f x dxξ→∞=∆==⎰∑.这就为我们求极限供给了一种奇特而有力的办法——应用定积分求极限.因为在积分学中有大量的积分公式,所以我们应用之解决浩瀚类型的和式极限. 定积分求极限中应用思惟的形成先让我们看一个简略的例子: 例1.求极限111lim()122n J n n n →∞++=++….分析:此极限式的求解,不轻易直接用极限的界说解决,因为该法往往是用来一边盘算一边证实某个极限成果已经比较明显的问题,是以这里不合适;重要极限的结论显然也在这里没有效武之地,因为情势上根本不合;再斟酌洛必达轨则,它不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限,也不成能用到此法;那么泰勒公式呢?泰勒公式往往是用来解决持续函数的极限问题,经由过程泰勒展式往往能把非多项式情势的表达式转化成多项式情势,以简化情势从而求解,看来这里也不实用.那是不是就没有什么合适的办法了呢?答案当然是否认的,事实上,它从情势上与定积分的界说照样有一些相像的,那么就让我们测验测验用定积分的办法来解决这个问题吧!解:把此极限式转化为某个积分情势,从而盘算定积分.为此做如下变形:111lim 1nn i J i n n →∞==+∑.不难看出,个中的和式是函数1()1f x x =+在区间[]0,1上的一个积分和(这里取得是等量朋分,11,[,],1,2,i i i i i x i nn n n n ξ-∆==∈=…).所以,J=11001ln(1=ln21dx x x =++⎰).从该例题的解法中可以看出,本题的症结是将极限和转化为积分和,从而应用了定积分将所求极限水到渠成.于是,我们可以总结出定积分在求极限中应用的一般办法步调:Sept1将和式极限1lim ()nn i g i →∞=∑经由变形,使其成为积分情势1lim ()ni in i f x ξ→∞=∆∑.这里常取11,[,],1,2,i i i i i x i nn n n n ξ-∆==∈=…;Sept2肯定积分函数的高低限. a=lim (i n i ξ→∞取第一个值)lim (i n b i ξ→∞=取最后一个值);Sept3用x 代换i ξ,写出定积分表达式()baf x dx⎰,并求出原极限的值.经由过程以上的一般办法步调,我们在面对无穷项和式的极限问题时就有方可依,有法可循了.如今让我们再来看一个例子,并从中细心领会以上办法步调. 例2.求极限222222111lim (12n n n n n n →∞+++++…+).解:Sept1 化和式极限为积分情势.原极限=22211111lim lim 1(nn n n i i i n i n n →∞→∞===++∑∑). 显然,这里1,(i i ix n nξ=∆=即是进行N 等分),被积函数可算作()21f x ,1,2,.1+i n x ==…Sept2 肯定积分函数高低限.Sept3 写出积分表达式并求出积分值.原极限=110201arctan 14dx x x π==+⎰.对于本题,我们是紧紧按照方才总结出的办法步调进行的,并顺遂地求出了原题的极限值.这是一个具体的例子,那么我们是否可以总结出更为一般性结论呢?答案天然是肯定的. 3.应用定积分求极限 一般性结论的综述及其应用至此,我们可以得出如下结论:结论1假如函数()f x 在区间[],a b 上持续,将区间[],a b 进行n 等分,1[(()],i i i i b a b a b a x n n n ξ--∈--∆=),,那么,1lim ()()nb i a n i b a f f x dx n ξ→∞=-=∑⎰.事实上,持续函数必定可积,而将区间[],a b 进行n 等分也是朋分T的一种特别情况.依据定积分的界说,上述结论成立.当然,其实不是所有的用到定积分求极限的问题中都要严厉用到上面总结出的三个步调,我们可视情况灵巧处理,比方无需用到某一步调或者还需用到其他求极限的思惟等.下面我们再看一组求极限的习题,以充分感触感染结论1的用处. 习题组11)sinsinsinlim[]1112n n n n n n n n πππ→∞+++++2n ….这组习题都是无穷项式子和的极限问题,都可以把定积分的思惟应用到求极限中去.如今就让我们用结论1来解决这些求极限的问题,并从不合习题中查找出异同,以加深对结论1的控制和熟习.解:(1) 分析 原极限显然可以算作()sin f x x π=在[]0,1上的定积分.故(2)分析 先经由过程恒等变形,原极限式=11lim nn i n →∞=,被积函数()f x =,积分区间是[]0,1,于是原极限值=11022(13)33dx x =+=⎰; (3)分析 原和式极限的通项是sin in i n n π+不成以算作是关于i n的某一个函数,但是留意到:应用结论1,上面不等式左端可以取极限,即111211lim (sin sin sin )lim sin [lim sin ][lim ]1+1+1nn n n n n i i n n i i n n n n n n n n n n n πππππ→∞→∞→∞→∞==+++=⋅⋅=⋅+∑∑…=12[sin ]1xdx ππ⋅=⎰,上面不等式右端可以取极限,即1011212lim (sin sin sin )lim sin sin n n n i n i xdx n n n n nn ππππππ→∞→∞=+++=⋅==∑⎰…. 于是,由极限的迫敛性可知原极限值=2π.这组题均典范地应用了定积分的盘算,从而求出了各极限.我们发明,只要找到某个持续函数()f x ,并能把这个和式极限1lim ()nn i g i →∞=∑转化成积分情势1limf ()n i n n→∞⋅,我们就只需盘算出f(x)在[0,1]上的积分值,从而肯定出原极限值.这三个习题中,例题1的式子无需再进行恒等变形,因为其情势上已经是limn →∞f(i n )1n ⋅了;习题2与习题3情势上直不雅上不是limn →∞f(i n )1n⋅的情势,因为式子n →∞与式子sinsinsinlim[]1112n n n n n n n n πππ→∞+++++2n …都不含i n的项.为此,我们须要对习题2以及习题3极限的式子进行恒等变形,经由过程提取公因式等手腕使其消失in ()f x ,例如习题3,我们可以用极限的一些性质,如极限的迫敛性,从而间接地求出原和式极限的极限值. 一般性结论的深化及推广接下来,我们对结论1进行恰当的推广,以得到更多情势的极限的求法.推论1假如函数(),(),()()f x g x f x g x ⋅均在[],a b 上可积, 证实:起首,(),(),()()f x g x f x g x ⋅均在[],a b 上可积. 又因为1,,i i i i n n ξη-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,0(i x n ∆→→∞当),所以,lim lim .i i n n ξη→∞→∞=于是,1lim ()()ni i ii f g x λξη→=∆∑=1lim ()()ni i ii f g x λξξ→=∆∑=()()baf xg x dx⎰.例3.求极限:122lim [sin cos()sin cos()sin cos()]222n n n n n n n n n n n n n πππππππππ→∞-+-++-….解:由推论1可知,f(x)= 于是,原极限式=1210011sin cos sin 02x xdx x ππππ=⋅⋅=⎰.推论2设1ln ()ln ()0,1]lim.f x dx n f x e →∞⎰=在区间[上可积,则例4.试求:112lim()nn n n n n n n n →∞+++⋅⋅….推论3假如函数()f x 在区间[]0,1上可积,且()1()11121f x 0,lim[1+()][1+()][1+()]f x dx n nf f f e n n n n n n →∞⎰≥⋅⋅=则….证实:记A=11121lim[1+()][1+()][1+()]n nf f f n n n n n n→∞⋅⋅…,则11ln lim ln[1+()]nn i i A f n n →∞==∑10()()11()1011()1111lim ln[1+()]lim ln[1+()]11lim ln lim ()()A .n if i n nnf n nn n i i i nn f n n n i i f x dx i if f n n n nn n ie f f x dxn nn e ⋅→∞→∞==→∞→∞======⋅=⎰=∑∑∑∑⎰于是,例5.盘算22212lim(1)(1)(1)333n n n n n →∞+⋅++….解:本题也可以直接应用推论3,这三个推论是对结论1的须要填补与完美.情势上我们不但有无穷项式子和的极限,还衍生出了无穷项式子乘积的极限.它们都是顺着结论1的思绪持续进行摸索,从情势上丰硕了定积分在求极限中应用这一思惟,但从本质上讲,它们与结论1是一致的.它们都紧紧抓住了定积分概念的本质,意识到定积分是无穷项和的极限,应用数学的一些基赋性质,对各式子进行恒等变形,尽量把不合情势的极限向定积分界说中的和式上去挨近.最终经由过程简略清楚明了的定积分公式,求出定积分的值来,以肯定出原极限的值.由这三个推论来看,111111111lim (),lim ()(),,[,],lim [()],lim [1+()]n n nn ni i i i n n n n i i i i i i i i i f f g f f n n n n n n n n ξηξη→∞→∞→∞→∞====-⋅∈∑∑∏∏对于等情势的极限,我们都有方可循,用定积分的办法轻易求出其极限来.对于任何一种数学办法,只要我们细心地不雅察与推究,都能将其结论或应用规模加以推广,就像结论1.如今让我们来看一组习题,以领会以上诸推论.如今,我们已经积聚了多种乞降式极限的办法,它们是往后应用定积分化决极限类问题的最佳模子与典范.那就再让我们来看一组习题,以熟习与巩固1111lim (),lim nnn n i i i f n n n →∞→∞==∑∑等情势的极限吧.下面这组习题分解用到了以上各结论与推论. 习题组2用定积分的办法盘算下列各极限.11111()(),,[,],lim [()],lim [1+()]n nn i i i in n i i i i i i f g f f n n n n n ξηξη→∞→∞==-⋅∈∏∏(1)222111lim [](1)(2)()n n n n n n →∞++++++…; (2)11111212111lim [()sin(+()sin(++()sin(]232323n n n n n n n n n n n n n n n n →∞------))…);(3)lim n →∞(4)111lim(1)(1)(1)12n n n n n →∞++++++….解:分析以上例题都轻易恒等变形,使其知足结论1或者推论1至推论3的前提.于是, (1)122222*********lim []();(1)(2)()(1)21n n i n dx i n n n n n x n →∞=+++===+++++∑⎰ (2)11111212111lim [()sin(+()sin(++()sin(]232323n n n n n n n n n n n n n n n n →∞------))…) =11sin ni i i n ξη=⋅∑,1,[,],1,2,1i i i i i n n n ξη-∈=-… =10sin sin1cos1;x xdx =-⎰(3)1011ln(1)21lim lim[(1)]2n x dx n n n i i e n ππ-+→∞→∞=⎰=+⋅=∏ 22(1)ln(1)1ππ=++-; (4)1011111111lim(1)(1)(1)(1)2121n dx x n i e i n n n n n n +→∞=⎰+++=+⋅==++++∏….定积分在求极限中应用思惟的转移至此,我们已经深深的领会到了各类情势的定积分在极限中应用的感化.仅仅于此,我们尚不克不及知足,我们可以把定积分在求极限中的应用思惟借鉴到其他方面.例如,应用这种思惟办法来证实一些不等式,或者用之解决一些庞杂一点的求极限问题.下面将举例解释.例 6.证实:若函数()f x 在[],a b 上持续,且对于[],x a b ∀∈,有()0f x >,则21()()()bb a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰.证实:已知()f x 与()g x 在[],a b [],a b 进行N 等分,分点是01n a x x x b =<<=…<.在第K 个区间上取1,k k k k b a x x x n ξ--=-=.由算数平均不小于几何平均,有 121111(()1(()()n n k n nk k k k k k k f x f x b a b a f x b a n f x n n n ====--⋅⋅⋅=-⋅⋅≥∑∑∑∑))22(()b a b a -=-)21()()()b b a a n f x dx dx b a f x →∞≥-⎰⎰当时,有.领会:本例刚巧反过来,将积分和转化为极限和的情势,并应用了算术平均数不小于几何平均数这一结论,将问题化繁为简.较好地熟习与控制定积分与极限之间的关系是解决本问题的症结.该例题解释,我们应当充分熟习到定积分在极限中的感化,并能做到灵巧变通,恰当情况下,二者可以互相转化,将问题化难为易,从而达到解决问题的目标.例7.试求极限(21)!!lim[](2)!!n m m →∞-.分析:该问题似乎不克不及直接应用结论1或推论1至推论3来求极限.因为极限的表达式不轻易化成以上结论或者推论的情况.但是,该问题的解决就真用不到定积分了吗?答案是否认的.在解决该问题之前,照样先让我们看一下沃利斯公式的由来吧!沃利斯公式:2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+.证实:令20sin ,1,2,n n J xdx n π==⎰…,则当2n ≥时用分部积分法轻易求得移项并整顿后可得递推公式:21, 2.n n n J J n n --=≥因为 220100,sin 1,2J dx J xdx πππ====⎰⎰反复应用上面的递推公式可得2212123122222()2222121213m m m m J m m m m J m m π+--⎫=⋅⋅⋅⎪⎪-**⎬-⎪=⋅⋅⋅⎪+-⎭……, 又因为2122-1222000sin sin sin m m m xdx xdx xdx πππ+<<⎰⎰⎰,再将**()式代入,即可以得到 22(2)!!1(2)!!1[][](21)!!212(21)!!2m m m m A B m m m m π=<<=-+-,因为2(2)!!110[]0()(21)!!2(21)22m m m B A m m m m m π<-=<⋅→→∞-+,依据极限的迫敛性可知lim()0m m m B A →∞-=.而02m m m A B A π<-<-,故得沃利斯公式2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+.如今让我们来细心看看沃利斯公式毕竟与定积分有什么关系吧!事实上,在盘算定积分20sin ,1,2,n n J xdx n π==⎰…时,我们奇妙地应用了定积分的递推表达式,如许我们才正真地查找到懂得决极限问题的金钥匙,看来定积分的运算照样在个中施展了不成低估的感化.那么就让我们直接应用该公式来商量例8问题吧! 依据沃利斯公式2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+,可知1(21)!!21lim lim 0(2)!!2m m m m m π→∞→∞-+==.从某种程度上讲,我们应用了定积分办法解决了例8中极限的问题.倘使我们采取其办法来求这个极限,生怕会走一些弯路.定积分在求极限中应用思惟的完美我们知道反常积分也是定积分在极限下界说出来的.以上的所有求极限问题都是将极限的表达式整体转化成积分情势,从而应用了定积分奇妙地求出了原极限的成果,那么能不克不及把定积分在求极限中局部应用呢?如今我们再来看一个有味的问题,以便解释此问题.例8.证实:1112lim 1ln n n n →∞++=…+.分析:这个例题不合于前面所有的例题,前面的例题,我们都能敏捷地将所求极限的表达式转化成1lim ()n i i n i f x ξ→∞=∆∑,而本例不成,但它情势上与我们评论辩论的定积分在求极限中应用的例子异常相像,因为式子中有无穷多项和11n i i =∑,所以我们就测验测验用定积分的办法来求它吧! 把这个极限式子的分子进行恰当变形11111n n i i i in n ===∑∑.假如依据前面的经验,我们知道101111lim n n i dx i n x n →∞==∑⎰的.可是如今我们对两个问题有所质疑.第一,我们并没有把原极限式直接转化成积分情势;第二,即使局部用到了定积分101dx x ⎰,但我们知道101dx x =∞⎰ 110001111111lim(ln )lim(ln )ln 2lim lim lim 1ln ln lim ln lim ln lim ln ln n i x x n n x x x x i n dx x x n n x x n n x x x x ++=→→→∞→∞→+∞→+∞→+∞→+∞++-======∑⎰…+(这里我们同一了分子分母中的变量,同一用变量x,这里已经暗示变量x 是慢慢趋近,由数学分析中归结道理”,这个手腕是不影响极限成果的).最后我们求得其成果,1112lim 1ln n n n →∞++=…+.由此可以看到,在求极限的问题中,定积分的思惟不但可以对表达式整体应用,也可以对其进行局部应用.总之,只要我们擅长思虑书本上的一些概念以及分析它们之间接洽,我们就往往可以或许游刃有余地把一种数学思惟用于解决其他数学问题上.最后,让我们再来总结一下,定积分在求极限中应用时所应当留意的几个问题.第一,极限必须是无穷项和的极限,并且这些和的极限经由恰当的恒等变形之后能转化为定积分的情势.第二,应用定积分求极限时,往往还须要用到其他的一些求极限的办法和手腕,例如极限的迫敛性,重要极限的结论,取对数手腕等.第三,求极限一类问题往往须要应用各类手腕,如许才干做到事半功倍.4.论文总结再熟习数学经由过程以上商量,我们从新熟习了数学.我们在进行推理与应用时,是有深切领会的.数学本身是一门严谨的天然科学,因为它是一种思维的对象,是一种思惟办法,它照样一种理性的艺术.,数学具抽象性.数学概念是以极端抽象的情势消失的.本文中评论辩论的定积分以及极限更是如斯.与此同时,数学的研讨办法也是抽象的,这就是说数学命题的真谛性不克不及树立在经验之上,而必须依附于严厉的证实.当数学应用于实际问题的研讨时,其症结在于能树立一个较好的数学模子.我们在应用定积分求极限时,就已经失去了较好的数学模子——函数模子.解决实际问题的表现.第二,数学付与科学常识以逻辑的周密性和结论的靠得住性,是使熟习从感性阶段成长到理性阶段,并使理性熟习进一步深化的重要手腕.在数学中,每一个公式,定理都要严厉地从逻辑上加以证实今后才干够确立.当我们发清楚明了“结论1”之后,接踵经由周密的推理与论证后才拓展到了“推论1”至“推论3”.第三,数学是一种帮助对象和表示方法.我们在解决数学问题本身时,还必须依附于数学中的其他相干办法思绪.别的数学反应的是一种庞杂而抽象事物内部关系,但是我们仍然有简明的数学符号与形象光鲜的图形等来暗示它.无论是定积分照样极限,个中都用到了丰硕的数学符号,分开这些数学符号,我们的表达似乎显得寸步难行.数学是一种思惟办法.数学是研讨量的科学.它研讨客不雅对象量的变更,关系等,并在提炼量的纪律性的基本上形成各类有关量的推导和演算的办法.数学的思惟办法表现着它作为一般办法论的特点和性质,是物资世界质与量的同一,内容与情势的同一的最有效的表示方法.无论是定积分照样极限都离不开盘算,这就意味着它们中都蕴含着量的变更.数学照样一种理性的艺术.一般我们认为,艺术与数学是两种作风与本质都有着明显不合的事物.它们一个处于高度理性化的峰顶,另一个则位于精力世界的枢纽地带;一个是天然科学的代表,另一个则是美学的佳构.但是,在各种概况上无关甚至完整不合的现象死后却隐蔽着艺术与数学相当一致的一般意义.我们进行学术研讨纯粹是我们朝长进步以及求知欲的使令.艺术与数学都是公认的地球说话.艺术与数学在描写万事万物的进程中,还同时完美了自身的表示情势,这种表示情势最根本的载体等于艺术与数学各自奇特的说话特点.其配合特色有(1)超文化性.艺术与数学所表达的是一种带有广泛意义的人类配合的心声,因而它们可以超出时光和地域界线,实现不合文化群体之间的广泛传播和交换.(2)整体性.艺术的整体性来自于其艺术表示的广泛性和广泛性;数学的整体性来自于数学同一的符号系统,各个分支之间的有力接洽,配合的逻辑轨则和既约的表达方法.(3)简明性.它起首表示为很高的抽象程度,其次是凝冻与浓缩.(4)代表代表性可以诱发某种强烈的情绪体验,唤起某种美的享受,而意义则在于把留意力转向思维,上升为理念,成为表示人类心坎意图的方法.(5)情势性.在艺术与数学各行其是的符号与信息的寄义交换中,其配合的特点就是达到了实体与情势的分别.我们研讨的定积分在求极限中的应用,那种思惟以及符号呈现方法可被世界人悦纳.艺术与数学具有配合的精力价值.接洽关系的;艺术的价值也是不克不及以人的意志而转移.艺术与数学的价值根本上是在自身框架内被辨别,鉴赏和评价的.(2)超出性.它们可以超出时空,彰显永恒.在艺术与数学的价值超出进程中,实际得以异于其他种类文化与科学的明显特点之一.(4)多样化,物资化与广泛化.在现代技巧与贸易化的推进下,艺术与数学的价值也开端产生升华,消失了各自价值在很多范畴内的散射,渗入渗出,应用,交叉等情况.定积分在求极限中的应用,不但仅进献于数学本身,它将逐渐在其他范畴也施展必定的感化.停止语我们已经见到了定积分在求极限问题中应用的各类情势.事实上,只要我们对学过的某些概念居心的领会,并加以深入的思虑,我们就可能将其精华应用到数学的其他范畴.正如我们这里把定积分与极限联合起来,并进行了恰当推广,得到了较为知足的结论和推论.本文重要给大家介绍了定积分在求极限中应用.一开端我们就回想了定积分以及极限等大学数学进修中的重要概念.然后分析它们之间的内涵接洽,进而查找到了一种奇特的求极限的办法——借助定积分求极限.当然,这种思惟也并不是空穴来风,它是源于教材中某些例题中具有创新性思惟办法或者一些奇特的步调.因为不是所有的数学概念之间经由思虑推理,互相之间就能树立起接洽来.是以,在日常平凡的数学进修中,我们务必对教材中的根本概念加深领会,尤其是要把互相之间或多或少消失着某种关系的概念加以比较与分析.然后对其进行大胆的假设,并进行必定的逻辑证实.假如我们的假设成立,那就是我们发明的新事物,这对于我们发散思维与创新思维都是大有裨益的;假设不成立,我们也可更好地控制不合概念之间差别,这对于我们懂得常识都是有利益的.所以,在我们日常平凡的进修进程中,我们要积极去思虑,并大胆地进行某些恰当的假设,以晋升我们创新思维才能.求极限的办法可能还有更多,值得大家去思虑与发掘.愿望本文能起到抛砖引玉的目标,能激发更多的数学快活爱好者携起手来摸索出更多实用与奇妙的求极限的办法来.迎接大家对本文进行批驳与斧正.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].高级教导出版社,2001.[2]刘玉琏,刘伟等.数学分析课本习题选解.北京,高级教导出版社,2002.[3]同济大学数学教研室.高级数学[M]北京, 高级教导出版社,1997.[4]王业.关于积分在求极限中的初探[R].全国专科院校数学会,1992.[5]刘树利.盘算机数学基本.北京.高级教导出版社,2001.[6]刘利茹,孙永华.高级黉舍经济数学系列教材.北京,高级教导出版社,2004.[7]陈吉象,戴英等.文科数学基本.北京高级教导出版社,2003.[8]天津大学数学比赛(人文学科及医学等类),2005.英文摘要Abstract:In solving limit problem, we often think of the ways including the definition of limit, important limits, L’Hospital’s rule an d Taylor’s formula etc. These methods have some limitations, however the definite integral is also limit form in essentially, it is also simple in。
巧用定积分的概念求和式极限的方法技巧

1 n
,然后可变为
lni®m¥ççèæ
1+ n2 + 4
1 +L+ n2 + 16
n2
1 +
4n2
÷÷øö
然后让第一项出现 1 ,第二项出现 2 ,…。
n
n
只要分子、分母同除以 n2 即可
解: lni®m¥ççèæ
1+ n2 + 4
1 +L+ n2 + 16
n2
1 +
4n2
÷÷øö
å = lim 1 n
无论(2)式或(3)式第 i 项都必须含有 i ,其余的不能含多余的 n ,这样的和式极限就是 n
一个 [0,1] 上的一个定积分, i 就是积分中 f (x) 的 x ,所谓的规律就是,通过求出定积分
n
的值就可求出和式极限的值。
三、利用定积分概念求和式极限的实例分析
实例
1.求极限
nli®m¥ççèæ
n®¥ î n k=1 è n øþ
=
ì expílim
n
å
çæ1
+
k
÷ö
1
ü ý
în®¥ k =1 è n ø n þ
4
{ } =
exp
1
ò0
ln(1
+
x )dx
= exp{ln 4 -1} = 4 .
e
注:(1)这里的数列通项为各项之积,不能只表示为积分的形式,我们可以采用对数法, 把积变为和的形式,进而将所求极限化为定积分,把被积函数转化为对数函数。
(2)如果区间不是 [0,1]而是 [a,b],只需注意分点 xi
关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结(最新整理)

n1
f
k 0
k
n
1 n
第一项是f
0
n
=f
0
, 第二项是f
n- 1
n
,
n- 1 n
0 n
n- 1 n
n
f
k 1
k
n
1 n
第一项是f
1 n
,
第二项是f
n n
,
n n
1 n
n- 1 n
n- 1 我们发现这两种方法选取的第一个点和最后的一个点自变量相减都是 ,
n
n
1
1
n
1
2
AAA
1 2n
=
1 n
n
n
1
n
n
2
AAA
n
2n
现在问题又来了,
1
感觉括号里面还是找不到对应的规律啊,因为要出来 f 0
n
x dx =l i m f n k 1
k 1
n
n
也就是说要出来 k ,说的更详细点也就是每一项要出现 0 , 1 , 2 , 3 之类的,
n
nnnn
分析:因为每一项xnk
1 k 1含有n, 所以想到定积分,但是每一项并没有 n2
出来
1 n
,
所以转化一下xnk
1 k n2
1=
1 n
n
1 k n2
1
下面我要让式子中出现 k 这个整体有关的东西,不然没法利用定积分去做 n
xnk
1 n
n
1 k n2
1
=
1 n
n
k n2
1 n n
n 1
2n
高数辅导之专题十五:利用定积分的定义求极限

专题十五本专题为利用定积分的定义求极限,定积分的定义可简单分为三步,分割、求和、取极限,故可用定积分的定义求和式的极限。
本专题节选的几道例题都是遵循一定的步骤,可仔细理解。
建议事先仔细阅读教材113-115页的两个实例。
例题1. 求)12111(lim nn n n n ++++++∞→ 。
解:∑=∞→∞→+=++++++n i n n i n n n n n 11lim )12111(lim ∑=∞→⋅+=ni n n n i 1111limdx x ⎰+=11110|)1ln(x += 2ln = 2. 求)241241141(lim nn n n n ++++++∞→ 。
解:∑=∞→∞→+=++++++n i n n in n n n n 2141lim )241241141(lim ∑=∞→⋅+=ni n n i n n 212142lim∑=∞→⋅+=ni n nni 2121221limdx x ⎰+=12110|)2ln(x += 2ln 3ln -=23ln = 3. 求)21(lim 22222nn nn n n n n ++++++∞→ 。
解:∑=∞→∞→+=++++++n i n n i n nn n n n n n n 12222222lim )21(lim ∑=∞→⋅+=ni n n in n 12221lim∑=∞→⋅+=ni n n n i 121)(11limdx x⎰+=1021110|arctan x = 4π=4. 求)12111(lim 22222nn n n n ++++++∞→ 。
解:∑=∞→∞→+=++++++ni n n i n nn n n 122222221lim )12111(lim∑=∞→⋅+=ni n n i n n1221lim∑=∞→⋅+=ni n nni 121)(11lim⎰+=1211dx x102|)1ln(x x ++=)21ln(+= 5. 求)4116141(lim 2222nn n n n ++++++∞→ 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
定积分在求极限中的应用1、知识准备绪论微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养.求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格,也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“0”型的极限和“∞∞”型极限的.泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 定积分的概念下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义:定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义,在闭区间[],a b 内任意插入n-1个分点将[],a b 分成n 个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ∆=-=L ),1[,]i i x x ξ-∀∈,作乘积()i i f x ξ∆(称为积分元),把这些乘积相加得到和式1()ni i i f x ξ=∆∑(称为积分形式)设{}max :1i x i n λ=∆≤≤,若01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑极限存在唯一且该极限值与区是[],a b 的分法及分点i ξ的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作b a()f x dx ⎰,即01()lim ()nb ai i i f x dx f x λξ→=⎰=∆∑.否则称()f x 在[],a b 上不可积.注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号.注2:若()b a f x dx ⎰存在,区间[],a b 进行特殊分割,分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理解.注3:定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关,即()()().b b ba a a f x dx f t dt f u du ⎰=⎰=⎰仔细观察定积分的定义,我们一定会发现定积分的极限有以下两个特征.第一,定积分是无穷项和式的极限,容易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必然趋近于零,否则和式极限不存在.第二,定积分与某一连续函数有紧密的关系,它的一般项受到这一连续函数的约束,它是连续函数在某个区间上进行了无穷的分割,各小区间上任意的函数值与区间长度的乘积的累加.对于极限,大学主要学习了数列的极限和函数的极限.数列的极限是用于解决离散的自然数的相关极限,而函数的极限则主要用于解决连续函数的相关极限.那么就让我们先一一来回忆它们吧! 极限的概念数列的极限设{}n a 为数列, a 为实数,若对任给的正数ε,总存在正整数N ,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a ,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞.(读作:当n 趋于无穷大时, n a 的极限等于a 或n a 趋于a ).由于n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞.若数列{}n a 没有极限,则称{}n a 不收敛,或称{}n a 为发散数列.注1:关于ε:①ε的任意性.定义1中的正数ε的作用在于衡量数列通项n a 与常数a 的接近程度,ε越小,表示接近得越好;而正数ε可以任意小,说明n a 与常数a 可以接近到任何程度;②ε的暂时固定性.尽管ε有其任意性,但一经给出,就暂时地被确定下来,以便依靠它来求出N;③ε的多值性.ε既是任意小的正数,那么2,3,2εεε等等,同样也是任意小的正数,因此定义1中的不等式||n a a ε-<中的ε可用2,3,2εεε等来代替.从而“||n a a ε-<”可用“||n a a ε-≤”代替;④正由于ε是任意小的正数,我们可以限定ε小于一个确定的正数.注2:关于N :①相应性,一般地, N 随ε的变小而变大,因此常把N 定义作()N ε来强调, N 是依赖于ε的;ε一经给定,就可以找到一个N ;②N 多值性N 的相应性并不意味着N 是由ε唯一确定的,因为对给定的ε,若100N =时能使得当n N >时,有||n a a ε-<,则101N =或更大的数时此不等式自然成立.所以N 不是唯一的.事实上,在许多场合下,最重要的是N 的存在性,而不是它的值有多大.基于此,在实际使用中的N 也不必限于自然数,只要N 是正数即可;而且把“n N >”改为“n N >”也无妨.函数的极限设函数()f x 在点0x 的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε(不论它有多么小),总存在某正数δ,使得当x 满足不等式00x x δ<-<时,对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<,那么常数A 就叫做函数()f x 当0x x →时的极限,记为00lim ()()()x x f x A f x A x x →=→→或当.可以看出,数列极限与函数极限定义的思想是一致的,都是相应的某个表达上的值无限地接近某个常数值.不同的是数列是离散的,数列中的项在跳跃式地接近,而函数是连续的,函数值在逐渐地接近,但二者都能与相应的常数值以任意程度地接近.2、定积分与极限定积分在求极限中应用概述不难看出,无论是数列的极限还是函数的极限,它们都与定积分的定义存在着千丝万缕的关系,那么就让我们来揭晓它们之间玄机与奥秘吧.事实上,定积分的定义中蕴含着一列数{()i i f x ξ∆}的和,并且只要i x ∆充分地小,和式1()ni i i f x ξ=∆∑就可以任意地接近确定的实数J=()b a f x dx ⎰,这正是极限思想的存在,即1lim ()J ()nb i i a n i f x f x dx ξ→∞=∆==⎰∑.这就为我们求极限提供了一种独特而有力的方法——利用定积分求极限.因为在积分学中有大量的积分公式,所以我们运用之解决众多类型的和式极限.定积分求极限中应用思想的形成先让我们看一个简单的例子:例1.求极限111lim()122n J n n n→∞++=++…. 分析:此极限式的求解,不容易直接用极限的定义解决,因为该法往往是用来一边计算一边证明某个极限结果已经比较明显的问题,因此这里不适合;重要极限的结论显然也在这里没有用武之地,因为形式上根本不同;再考虑洛必达法则,它不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限,也不可能用到此法;那么泰勒公式呢?泰勒公式往往是用来解决连续函数的极限问题,通过泰勒展式往往能把非多项式形式的表达式转化成多项式形式,以简化形式从而求解,看来这里也不适用.那是不是就没有什么合适的办法了呢?答案当然是否定的,事实上,它从形式上与定积分的定义还是有一些相像的,那么就让我们尝试用定积分的办法来解决这个问题吧!解:把此极限式转化为某个积分形式,从而计算定积分.为此做如下变形:111lim 1nn i J i n n→∞==+∑.不难看出,其中的和式是函数1()1f x x=+在区间[]0,1上的一个积分和(这里取得是等量分割,11,[,],1,2,i i i i ix i n n n n nξ-∆==∈=…).所以, J=11001ln(1=ln21dx x x=++⎰). 从该例题的解法中可以看出,本题的关键是将极限和转化为积分和,从而利用了定积分将所求极限迎刃而解.于是,我们可以总结出定积分在求极限中应用的一般方法步骤:Sept1将和式极限1lim ()n n i g i →∞=∑经过变形,使其成为积分形式1lim ()ni i n i f x ξ→∞=∆∑.这里常取11,[,],1,2,i i i i i x i n n n n nξ-∆==∈=…;Sept2确定积分函数的上下限.a=lim (i n i ξ→∞取第一个值)lim (i n b i ξ→∞=取最后一个值); Sept3用x 代换i ξ,写出定积分表达式()baf x dx ⎰,并求出原极限的值.通过以上的一般方法步骤,我们在面对无穷项和式的极限问题时就有方可依,有法可循了.现在让我们再来看一个例子,并从中仔细体会以上方法步骤.例2.求极限222222111lim (12n n n n n n →∞+++++…+). 解:Sept1 化和式极限为积分形式.原极限=22211111lim lim 1(nn n n i i i n in n→∞→∞===++∑∑).显然,这里1,(i i i x n n ξ=∆=即是进行N 等分),被积函数可看成()21f x ,1,2,.1+i n x==… Sept2 确定积分函数上下限.1a lim0(,1),lim 0(,).i i n n i n ii b i n n n nξξ→∞→∞======取取n Sept3 写出积分表达式并求出积分值. 原极限=110201arctan 14dx x x π==+⎰.对于本题,我们是紧紧按照刚刚总结出的方法步骤进行的,并顺利地求出了原题的极限值.这是一个具体的例子,那么我们是否可以总结出更为一般性结论呢?答案自然是肯定的.3、应用定积分求极限一般性结论的综述及其应用至此,我们可以得出如下结论:结论1如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,将区间[],a b 进行n 等分,1[(()],i i i i b ab a b a x n n nξ--∈--∆=),,那么,1lim ()()n b i a n i b a f f x dx n ξ→∞=-=∑⎰. 事实上,连续函数一定可积,而将区间[],a b 进行n 等分也是分割T 的一种特殊情况.根据定积分的定义,上述结论成立.当然,并不是所有的用到定积分求极限的问题中都要严格用到上面总结出的三个步骤,我们可视情况灵活处理,比如无需用到某一步骤或者还需用到其他求极限的思想等.下面我们再看一组求极限的习题,以充分感受结论1的用途.习题组11) 1lim (sin +sin +sin );n n n n nπππ→∞2n-1…2)n →∞3) sinsinsinlim[]1112n n n n n n n nπππ→∞+++++2n …. 这组习题都是无穷项式子和的极限问题,都可以把定积分的思想应用到求极限中去.现在就让我们用结论1来解决这些求极限的问题,并从不同习题中寻找出异同,以加深对结论1的掌握和认识.解: (1) 分析 原极限显然可以看成()sin f x x π=在[]0,1上的定积分.故111011lim (sin +sin +sin )lim sin 12sin cos ;n n n i i n n n n n n xdx x ππππππππ→∞→∞====-=∑⎰2n-1…(2)分析 先通过恒等变形,原极限式=11lim nn i n →∞=,被积函数()f x =,积分区间是[]0,1,于是原极限值=11022(13)33x =+=⎰;(3)分析 原和式极限的通项是sin i n i n nπ+不可以看成是关于i n 的某一个函数,但是注意到: 2sinsinsin1212(sin sin sin )(sin sin sin ).11112n n n n n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ+++<+++<+++++++……… 应用结论1,上面不等式左端可以取极限,即111211lim (sin sin sin )lim sin [lim sin ][lim ]1+1+1nn n n n n i i n n i i n n n n n n n n n n n πππππ→∞→∞→∞→∞==+++=⋅⋅=⋅+∑∑…=12[sin ]1xdx ππ⋅=⎰,上面不等式右端可以取极限,即1011212lim (sin sin sin )lim sin sin n n n i n i xdx n n n n nn ππππππ→∞→∞=+++=⋅==∑⎰….于是,由极限的迫敛性可知原极限值=2π. 这组题均典型地运用了定积分的计算,从而求出了各极限.我们发现,只要找到某个连续函数()f x ,并能把这个和式极限1lim ()nn i g i →∞=∑转化成积分形式1limf ()n i n n →∞⋅,我们就只需计算出f(x)在[0,1]上的积分值,从而确定出原极限值.这三个习题中,例题1的式子无需再进行恒等变形,因为其形式上已经是lim n →∞f(i n )1n⋅了;习题2与习题3形式上直观上不是lim n →∞f(i n )1n ⋅的形式,因为式子n →∞与式子sinsinsinlim[]1112n n n n n n n nπππ→∞+++++2n …都不含i n 的项.为此,我们需要对习题2以及习题3极限的式子进行恒等变形,通过提取公因式等手段使其出现in的因子.当然有的题可能不容易找到对应的连续函数()f x ,例如习题3,我们可以用极限的一些性质,如极限的迫敛性,从而间接地求出原和式极限的极限值. 一般性结论的深化及推广接下来,我们对结论1进行适当的推广,以得到更多形式的极限的求法.推论1如果函数(),(),()()f x g x f x g x ⋅均在[],a b 上可积,01111201[,],[,]lim ,max{,,},lim ()()()().n i i i i x nbi i i n i i i ai a x x x b a b x x x x x x x f g x f x g x dx λξηλξη-→∞-→==<<<=∆=-=∆∆∆∆=∑⎰…为区间的任意划分,小区间上任意两点,…则证明:首先, (),(),()()f x g x f x g x ⋅均在[],a b 上可积.又由于1,,i i i i n n ξη-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,0(i x n ∆→→∞当),所以,lim lim .i i n n ξη→∞→∞=于是,01lim ()()n i i i i f g x λξη→=∆∑=01lim ()()ni i i i f g x λξξ→=∆∑=()()baf xg x dx ⎰.例3.求极限:122lim [sin cos()sin cos()sin cos()]222n n n n n n n n n n n n nπππππππππ→∞-+-++-…. 解:由推论1可知,f(x)=(1)sin ()cos [0,1],[,],0,1,2,(1).2i i i i x g x x i n n n n n nπππππππ-=-∈=-及皆在上可积,且…limlim(),1,2,.2n n i i i n n n nπππ→∞→∞=-=… 于是,原极限式=1210011sin cos sin 02x xdx x ππππ=⋅⋅=⎰. 推论2设10ln ()ln ()0,1]lim.f x dx n f x e →∞⎰=在区间[上可积,则10112lim [ln ()ln ()ln ()]ln (),lim(n n f f f n n n nn f x dxe e →∞++→∞=⎰=…事实上对数的性质)(定积分的定义).例4.试求:112lim()n n n n n n n n n→∞+++⋅⋅…. 2解:直接应用推论11011ln(1)1[ln(1)ln(1)]12lim()lim (1)4.nx dx n n n n i x x x x n n n n i e n n n n e e+→∞→∞=+++-+++⎰⋅⋅=+===∏…推论3如果函数()f x 在区间[]0,1上可积,且()1()11121f x 0,lim[1+()][1+()][1+()]f x dx n nf f f e n n n n n n→∞⎰≥⋅⋅=则…. 证明:记A=11121lim[1+()][1+()][1+()]n n f f f n n n n n n →∞⋅⋅…,则11ln lim ln[1+()]n n i iA f n n →∞==∑1()()11()1011()1111lim ln[1+()]lim ln[1+()]11lim ln lim ()()A .n if i n n nf n nn n i i i nn f n n n i i f x dx i if f n n n nn n i e f f x dxn nn e ⋅→∞→∞==→∞→∞======⋅=⎰=∑∑∑∑⎰于是,例5.计算22212lim(1)(1)(1)333n n n n n→∞+⋅++…. 解:本题也可以直接运用推论3,10113622211211lim(1)(1)(1)lim (1).3333xdxnn n i n ie e n n n n n →∞→∞=⎰+⋅++=+⋅⋅==∏…这三个推论是对结论1的必要补充与完善.形式上我们不仅有无穷项式子和的极限,还衍生出了无穷项式子乘积的极限.它们都是顺着结论1的思路继续进行探索,从形式上丰富了定积分在求极限中应用这一思想,但从本质上讲,它们与结论1是一致的.它们都紧紧抓住了定积分概念的实质,意识到定积分是无穷项和的极限,应用数学的一些基本性质,对各式子进行恒等变形,尽量把不同形式的极限向定积分定义中的和式上去靠拢.最终通过简单明了的定积分公式,求出定积分的值来,以确定出原极限的值.由这三个推论来看,111111111lim (),lim ()(),,[,],lim [()],lim [1+()]n n nnni i i i n n n n i i i i i i i i i f f g f f n n n n n n n n ξηξη→∞→∞→∞→∞====-⋅∈∑∑∏∏对于等形式的极限,我们都有方可循,用定积分的方法容易求出其极限来.对于任何一种数学方法,只要我们仔细地观察与推究,都能将其结论或应用范围加以推广,就像结论 1.现在让我们来看一组习题,以体会以上诸推论.现在,我们已经积累了多种求和式极限的方法,它们是今后应用定积分解决极限类问题的最佳模型与范例.那就再让我们来看一组习题,以熟悉与巩固11111()(),,[,],lim [()],lim [1+()]n nn i i i i n n i i i i i if g f f n n n n n ξηξη→∞→∞==-⋅∈∏∏1111lim (),lim nnn n i i i f nn n →∞→∞==∑∑ 等形式的极限吧.下面这组习题综合用到了以上各结论与推论.习题组2用定积分的方法计算下列各极限.(1)222111lim [](1)(2)()n n n n n n →∞++++++…;(2)11111212111lim [()sin(+()sin(++()sin(]232323n n n n n n n n n n n n n n n n →∞------))…);(3)limn →∞(4)111lim(1)(1)(1)12n n n n n→∞++++++…. 解:分析 以上例题都容易恒等变形,使其满足结论1或者推论1至推论3的条件.于是,(1)122222011111111lim []();(1)(2)()(1)21n n i n dx i n n n n n x n→∞=+++===+++++∑⎰… (2)11111212111lim [()sin(+()sin(++()sin(]232323n n n n n n n n n n n n n n n n →∞------))…)=11sin ni i i nξη=⋅∑,1,[,],1,2,1i i i i i n n n ξη-∈=-…=10sin sin1cos1;x xdx =-⎰(3)1011ln(1)21limlim[(1)]2n x dx n n n i i en ππ-+→∞→∞=⎰=+⋅=∏ 22(1)ln(1)1ππ=++- ;(4)1011111111lim(1)(1)(1)(1)2121n dx x n i e i n n n n n n+→∞=⎰+++=+⋅==++++∏….定积分在求极限中应用思想的转移至此,我们已经深深的体会到了各种形式的定积分在极限中应用的作用.仅仅于此,我们尚不能满足,我们可以把定积分在求极限中的应用思想借鉴到其他方面.例如,利用这种思想方法来证明一些不等式,或者用之解决一些复杂一点的求极限问题.下面将举例说明.例 6.证明:若函数()f x 在[],a b 上连续,且对于[],x a b ∀∈,有()0f x >,则21()()()bb a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰. 证明:已知()f x 与()g x 在[],a b 上都可积.将[],a b 进行N 等分,分点是01n a x x x b =<<=…<.在第K 个区间上取1,k k k k b a x x x nξ--=-=.由算数平均不小于几何平均,有121111(()1(()()n n k n nk k k k k k k f x f x b a b a f x b a n f x n n n ====--⋅⋅⋅=-⋅⋅≥∑∑∑∑))22(()b a b a -=-) 21()()()b b a a n f x dx dx b a f x →∞≥-⎰⎰当时,有. 体会:本例恰巧反过来,将积分和转化为极限和的形式,并运用了算术平均数不小于几何平均数这一结论,将问题化繁为简.较好地认识与掌握定积分与极限之间的关系是解决本问题的关键.该例题说明,我们应该充分认识到定积分在极限中的作用,并能做到灵活变通,适当情形下,二者可以相互转化,将问题化难为易,从而达到解决问题的目的. 例7.试求极限(21)!!lim[](2)!!n m m →∞-. 分析:该问题似乎不能直接运用结论1或推论1至推论3来求极限.因为极限的表达式不容易化成以上结论或者推论的情形.但是,该问题的解决就真用不到定积分了吗?答案是否定的.在解决该问题之前,还是先让我们看一下沃利斯公式的由来吧! 沃利斯公式:2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+. 证明:令20sin ,1,2,n n J xdx n π==⎰…,则当2n ≥时用分部积分法容易求得122222*********sin sin cos (1)sin cos (1)sin sin (1)(1.n n n nn n n n n J xdx x x n x xdx n xdx xdx n J n πππππ----==-+-=--=---⎰⎰⎰⎰)J移项并整理后可得递推公式:21, 2.n n n J J n n--=≥由于 220100,sin 1,2J dx J xdx πππ====⎰⎰重复应用上面的递推公式可得 2212123122222()2222121213m m m m J m m m m J m m π+--⎫=⋅⋅⋅⎪⎪-**⎬-⎪=⋅⋅⋅⎪+-⎭……, 又由于2122-1222000sin sin sin m m m xdx xdx xdx πππ+<<⎰⎰⎰,再将**()式代入,便可以得到 22(2)!!1(2)!!1[][](21)!!212(21)!!2m m m m A B m m m mπ=<<=-+-,因为 2(2)!!110[]0()(21)!!2(21)22m m m B A m m m m m π<-=<⋅→→∞-+,根据极限的迫敛性可知lim()0m m m B A →∞-=.而02m m m A B A π<-<-,故得沃利斯公式2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+. 现在让我们来仔细看看沃利斯公式究竟与定积分有什么关系吧!事实上,在计算定积分20sin ,1,2,n n J xdx n π==⎰…时,我们巧妙地运用了定积分的递推表达式,这样我们才正真地寻找到了解决极限问题的金钥匙,看来定积分的运算还是在其中发挥了不可低估的作用.那么就让我们直接运用该公式来探究例8问题吧! 根据沃利斯公式2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+,可知1(21)!!21lim lim 0(2)!!2m m m m m π→∞→∞-+==. 从某种程度上讲,我们利用了定积分方法解决了例8中极限的问题.倘若我们采用其方法来求这个极限,恐怕会走一些弯路.定积分在求极限中应用思想的完善我们知道反常积分也是定积分在极限下定义出来的.以上的所有求极限问题都是将极限的表达式整体转化成积分形式,从而应用了定积分巧妙地求出了原极限的结果,那么能不能把定积分在求极限中局部应用呢?现在我们再来看一个有趣的问题,以便说明此问题.例8.证明:1112lim 1ln n n n→∞++=…+. 分析:这个例题不同于前面所有的例题,前面的例题,我们都能迅速地将所求极限的表达式转化成1lim ()ni i n i f x ξ→∞=∆∑,而本例不行,但它形式上与我们讨论的定积分在求极限中应用的例子非常相像,因为式子中有无穷多项和11ni i =∑,所以我们就尝试用定积分的方法来求它吧! 把这个极限式子的分子进行适当变形11111nn i i i in n===∑∑.如果根据前面的经验,我们知道101111lim n n i dx i n x n→∞==∑⎰的.可是现在我们对两个问题有所质疑.第一,我们并没有把原极限式直接转化成积分形式;第二,即使局部用到了定积分101dx x ⎰,但我们知道101dx x =∞⎰的.事实上,原式经变形后,我们会发现分子与分母中的无穷大量是等价的.即110001111111lim(ln )lim(ln )ln 2lim lim lim 1ln ln lim ln lim ln lim ln ln n i x x n n x x x x i n dx x x n n x x n n x x x x ++=→→→∞→∞→+∞→+∞→+∞→+∞++-======∑⎰…+(这里我们统一了分子分母中的变量,统一用变量x,这里已经表示变量x 是逐步趋近,由数学分析中归结原理”,这个手段是不影响极限结果的).最后我们求得其结果,1112lim1lnnnn→∞++=…+.由此可以看到,在求极限的问题中,定积分的思想不仅可以对表达式整体使用,也可以对其进行局部使用.总之,只要我们善于思考书本上的一些概念以及分析它们之间联系,我们就往往能够游刃有余地把一种数学思想用于解决其他数学问题上.最后,让我们再来总结一下,定积分在求极限中应用时所应该注意的几个问题.第一,极限必须是无穷项和的极限,并且这些和的极限经过适当的恒等变形之后能转化为定积分的形式.第二,应用定积分求极限时,往往还需要用到其他的一些求极限的方法和手段,例如极限的迫敛性,重要极限的结论,取对数手段等.第三,求极限一类问题往往需要使用各种手段,这样才能做到事半功倍.4、论文总结再认识数学通过以上探讨,我们重新认识了数学.我们在进行推理与应用时,是有深切体会的.数学本身是一门严谨的自然科学,因为它是一种思维的工具,是一种思想方法,它还是一种理性的艺术.数学是一种思维的工具.第一,数学具抽象性.数学概念是以极度抽象的形式出现的.本文中讨论的定积分以及极限更是如此.与此同时,数学的研究方法也是抽象的,这就是说数学命题的真理性不能建立在经验之上,而必须依靠于严格的证明.当数学应用于实际问题的研究时,其关键在于能建立一个较好的数学模型.我们在运用定积分求极限时,就已经拥有了较好的数学模型——函数模型.在一个较好的数学模型上展开数学的推导和计算,以形成对问题的认识,判断和预测.这就是运用抽象思维去解决现实问题的体现.第二,数学赋予科学知识以逻辑的严密性和结论的可靠性,是使认识从感性阶段发展到理性阶段,并使理性认识进一步深化的重要手段.在数学中,每一个公式,定理都要严格地从逻辑上加以证明以后才能够确立.当我们发现了“结论1”之后,相继经过严密的推理与论证后才拓展到了“推论1”至“推论3”.第三,数学是一种辅助工具和表现方式.我们在解决数学问题本身时,还必须依赖于数学中的其他相关方法思路.另外数学反映的是一种复杂而抽象事物内部关系,但是我们仍然有简明的数学符号与形象鲜明的图形等来表示它.无论是定积分还是极限,其中都用到了丰富的数学符号,离开这些数学符号,我们的表达似乎显得寸步难行.数学是一种思想方法.数学是研究量的科学.它研究客观对象量的变化,关系等,并在提炼量的规律性的基础上形成各种有关量的推导和演算的方法.数学的思想方法体现着它作为一般方法论的特征和性质,是物质世界质与量的统一,内容与形式的统一的最有效的表现方式.无论是定积分还是极限都离不开计算,这就意味着它们中都蕴含着量的变化.数学还是一种理性的艺术.一般我们觉得,艺术与数学是两种风格与本质都有着明显不同的事物.它们一个处于高度理性化的峰顶,另一个则位于精神世界的枢纽地带;一个是自然科学的代表,另一个则是美学的杰作.但是,在种种表面上无关甚至完全不同的现象身后却隐藏着艺术与数学相当一致的一般意义.我们进行学术研究纯粹是我们进取以及求知欲的驱使.艺术与数学都是公认的地球语言.艺术与数学在描绘万事万物的过程中,还同时完善了自身的表现形式,这种表现形式最基本的载体便是艺术与数学各自独特的语言特征.其共同特点有(1)超文化性.艺术与数学所表达的是一种带有普遍意义的人类共同的心声,因而它们可以超越时间和地域界限,实现不同文化群体之间的广泛传播和交流.(2)整体性.艺术的整体性来自于其艺术表现的普遍性和广泛性;数学的整体性来自于数学统一的符号体系,各个分支之间的有力联系,共同的逻辑法则和既约的表达方式.(3)简明性.它首先表现为很高的抽象程度,其次是凝冻与浓缩.(4)代表性.艺术与数学语言各自代表性可以诱发某种强烈的情感体验,唤起某种美的享受,而意义则在于把注意力转向思维,上升为理念,成为表现人类内心意图的方式.(5)形式性.在艺术与数学各自进行的符号与信息的含义交换中,其共同的特征就是达到了实体与形式的分离.我们研究的定积分在求极限中的应用,那种思想以及符号呈现方式可被世界人悦纳.艺术与数学具有共同的精神价值.其共同的特点有:(1)自律性.数学价值的自律性是与数学价值的客观性相关联的;艺术的价值也是不能以人的意志而转移.艺术与数学的价值基本上是在自身框架内被鉴别,鉴赏和评价的.(2)超越性.它们可以超越时空,彰显永恒.在艺术与数学的价值超越过程中,现实得以扩张,延伸.艺术与数学的超越性还表现为超前的价值.(3)非功利性.艺术与数学的非功利性是其价值判断异于其他种类文化与科学的显著特征之一.(4)多样化,物质化与广泛化.在现代技术与商业化的推动下,艺术与数学的价值也开始发生升华,出现了各自价值在许多领域内的散射,渗透,应用,交叉等情况.定积分在求极限中的应用,不仅仅贡献于数学本身,它将逐渐在其他领域也发挥一定的作用.结束语我们已经见到了定积分在求极限问题中应用的各种形式.事实上,只要我们对学过的某些概念用心的体会,并加以深刻的思考,我们就可能将其精髓运用到数学的其他领域.正如我们这里把定积分与极限结合起来,并进行了适当推广,得到了较为满意的结论和推论.本文主要给大家介绍了定积分在求极限中应用.一开始我们就回忆了定积分以及极限等大学数学学习中的重要概念.然后剖析它们之间的内在联系,进而寻找到了一种独特的求极限的办法——借助定积分求极限.当然,这种思想也并非空穴来风,它是源于教材中某些例题中具有创新性思想方法或者一些独特的步骤.因为不是所有的数学概念之间经过思考推理,相互之间就能建立起联系来.因此,在平时的数学学习中,我们务必对教材中的基本概念加深体会,尤其是要把相互之间或多或少存在着某种关系的概念加以比较与分析.然后对其进行大胆的假设,并进行一定的逻辑证明.如果我们的假设成立,那就是我们发现的新事物,这对于我们发散思维与创新思维都是大有裨益的;假设不成立,我们也可更好地掌握不同概念之间区别,这对于我们理解知识都是有好处的.所以,在我们平时的学习过程中,我们要积极去思考,并大胆地进行某些适当的假设,以提升我们创新思维能力.求极限的方法可能还有更多,值得大家去思考与挖掘.希望本文能起到抛砖引玉的目的,能激发更多的数学爱好者携起手来探索出更多实用与巧妙的求极限的方法来.欢迎大家对本文进行批评与指正.参考文献。