“中国剩余定理”例题
小学奥数中国剩余定理练习
练习题目的选择
01
02
03
基础题目
选择一些涉及中国剩余定 理基础概念和应用的题目， 帮助小学生理解基本原理。
难度适中
题目难度应适中，既不过 于简单也不过于复杂，适 合小学生的思维能力和理 解能力。
覆盖面广
题目应涵盖中国剩余定理 的不同应用场景，以便学 生全面了解该定理的应用 范围。
练习题目的解答过程
原理
中国剩余定理的基本思想是将同 余方程组转化为线性方程组，然 后利用线性代数的方法求解。
定理的应用范围
解决同余方程组问题
在编码理论中的应用
中国剩余定理主要用于解决同余方程 组问题，特别是当方程个数和未知数 个数相同时，它可以给出唯一解。
中国剩余定理在纠错码和编码理论中 也有广泛应用，它可以用于构造一些 特定的纠错码。
小学奥数中国剩余定理练 习
• 引言 • 中国剩余定理的基本概念 • 小学奥数中的中国剩余定理题目 • 解题技巧与策略 • 练习与巩固 • 总结与反思
01
引言
主题简介
定义
中国剩余定理是指在整数环中，给定 一组两两互质的整数，对于任意一组 不全为0的整数解，存在一个特定的 解法，使得这组解都是方程的解。
反思与总结
引导学生对解题过程进行反思和总 结，帮助他们掌握解题技巧和方法。
举一反三
通过解析一道题目，启发学生思考 类似问题的解决方法，提高他们的 思维能力和解题能力。
06
总结与反思
学习收获与体会
掌握了中国剩余定理的基本原理和应 用方法，能够解决一些复杂的数学问 题。
在学习过程中，逐渐培养了耐心和细 心，能够更好地应对挑战和困难。
通过练习，提高了自己的数学思维能 力和解题技巧，对数学有了更深入的 理解。
中国剩余定理的应用实例韩信点兵
中国剩余定理的应用实例——韩信点兵物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。
原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何?"这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。
如果三件三件地数，就会剩下两件;如果五件五件地数，就会剩下三件;如果七件七件地数，也会剩下两件。
问：这批物品共有多少件?变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2.求这个数。
这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23;23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。
如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣儿得多。
我们换一个例子;韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。
问：这队士兵至少有多少人?这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。
如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。
例如我们从用3除余2这个条件开始。
满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。
要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，…代入来试。
当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意;当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。
最后一个条件是用7除余4.8不满足这个条件。
我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。
为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。
因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3.于是我们让新数为8+15m，分别把m=1，2，…代进去试验。
当试到m=3时，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。
算法案例--中国剩余定理[上学期]--江苏教育版
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古玩交易 [单选,案例分析题]赵某，男，38岁。工龄为10年，为矿石厂工人，焙烧工人，近一年，逐渐出现易兴奋，震颤，口腔炎，牙龈炎症状，来院检查，血汞0.5μmol/L，尿汞0.3μmol/L。该患者的诊断为（）。A.急性汞中毒B.慢性汞中毒C.急性铅中毒D.慢性铅中毒E.镉中毒 古玩交易 [填空题]标准酒度的测量，在（）℃温度下进行。 古玩交易 [单选]三（四）等水准测量所使用的水准尺为（）、直式双面尺。A.单尺B.成对配套使用C.三根D.四根 古玩交易 [单选]（）是一种由此及彼，由已知到未知或未来的研究方法。通过它可以对事物获得新的认识。A、比较B、分析与综合法C、推理D、数据整合方法 古玩交易 [单选]病人五心烦热，盗汗，口咽干燥，颧红，舌红少津，脉细数，此为（）。A.里实热证B.里实寒证C.表实热证D.里虚热证E.表虚热证 古玩交易 [单选,A2型题,A1/A2型题]在用紫外线治疗时，其照射范围包括病灶区和相应神经根区的上下肋间的疾病是（）A.单纯疱疹B.湿疹C.带状疱疹D.变应性皮肤血管炎E.玫瑰糠疹 古玩交易 [单选]正常情况下，行驶证中核定载质量标注数最低不低于“总质量”的（）。A.二分之一B.三分之一C.四分之一D.五分之一 古玩交易 [单选]下列各项中，能使企业资产总额增加的是（）。A.支付职工工资B.计提行政部门固定资产折旧C.处置固定资产，发生的净损失D.交易性金融资产公允价值上升 古玩交易 [单选]抵御对化脓性细菌感染的非特异性免疫细胞是（）A.单核细胞B.巨噬细胞C.中性粒细胞D.TCRγδ+细胞E.肥大细胞 古玩交易 [单选]根据《建筑业企业资质管理规定》，关于我国建筑业企业资质的说法，错误的是（）。A．建筑业企业资质分为施工总承包、专业承包和劳务分包三个序列B．建筑业企业按照各自工程性质的技术特点，分别划分为若干资质类别C．各资质类别按照各自规定的条件划分为若干等级D 古玩交易 [单选]成人人工呼吸时吹气时间至少为（）A.1sB.2sC.3sD.4sE.5s 古玩交易 [单选]我国采用的资产负债表格式是（）。A.多步式B.单步式C.报告式D.账户式 古玩交易 [单选]喷锚暗挖法二次衬砌应在（）后施工。A.初期支护变形稳定B.地层变形稳定C.隧道贯通D.防水层施工完成 古玩交易 [单选]以下疾病中主要好发于婴儿且与血锌浓度降低有关的是()A．着色性干皮病B．掌跖角化病C．肠病性肢端皮炎D．急性发热性嗜中性皮病 古玩交易 [单选]保险合同的当事人是（）。A．受益人与保险人B．投保人与被保险人C．投保人与保险人D．被保险人与保险人 古玩交易 [单选,A2型题,A1/A2型题]对于一氧化碳中毒患者，皮肤黏膜呈（）.A.黑色B.青紫色C.暗红色D.樱桃红色E.苍白色 古玩交易 [问答题,简答题]现代汉语从什么时候开始？ 古玩交易 [单选]某变压器满负荷运行，此时若在负荷侧投入一组电容器，主变压器电流将是（）。A.不变B.大于额定电流C.小于额定电流 古玩交易 [单选]我国煤用振动筛的长宽比为（）。A、2：1B、3：1C、5：2D、3：2 古玩交易 [单选,A1型题]培训效果评价的三个层次包括（）A.过程评价、形成评价、效率评价B.过程评价、形成评价、效应评价C.过程评价、近期效果评价、远期效果评价D.过程评价、结局评价、效应评价E.过程评价、结局评价、效率评价 古玩交易 [单选]材料与硬的颗粒或与偶合件表面硬的突出物作相对运动时所造成的材料移动或分离叫做（）。A、粘着磨损B、磨粒磨损C、腐蚀磨损D、疲劳磨损 古玩交易 [单选,A1型题]第一类精神药品每次处方（）A.不得超过1日常用量B.不得超过2日常用量C.不得超过3日常用量D.不得超过5日常用量E.不得超过7日常用量 古玩交易 [填空题]甲醇生产用的焦炉煤气来自于（）。 古玩交易 [单选]健康城市是指（）。A.从城市规划、建设到管理各个方面都以人的健康为中心B.营造高质量的自然环境和更加舒适的生活环境C.保障广大市民健康生活和工作D.成为健康人群、健康环境和健康社会有机结合的人类社会发展整体E.以上都是 古玩交易 [单选]碎屑岩储层的非均质性分成（）类。A、2B、3C、4D、5 古玩交易 [单选]发病率、患病率与病程三者的正确关系是（）A.发病率＝患病率×病程B.患病率＝发病率×病程C.发病率＝患病率+病程D.发病率＝患病率-病程E.病程＝发病率×患病率 古玩交易 [填空题]电缆采用直埋敷设时，表面距地面的距离不应小于（）。 古玩交易 [问答题,案例分析题]某设计单位为拟建工业厂房提供三种屋面防水保温工程设计方案，供业主选择。方案一，硬泡聚氨酯防水保温材料(防水保温二合一);方案二，三元乙丙橡胶卷材(δ=2×1.2mm)加陶粒混凝土;方案三，SBS改性沥青卷材(δ=2×3mm)加陶粒混凝 古玩交易 [单选]要建立一支高效率的销售队伍，关键在于（）A、选择有能力的优秀的销售代表；B、有个好销售经理；C、有套好的销售计划；D、有个好的营销方案。 古玩交易 [单选]有毒物质“龙葵素”在绿皮马铃薯和（）马铃薯中存在，食后会中毒。A、黄皮B、红皮C、发芽D、白皮 古玩交易 [问答题,简答题]叙述凝结水系统流程。 古玩交易 [单选]骨关节炎最基本的病理改变是（）A.滑膜炎B.附着点炎C.关节软骨变性D.中、小血管炎E.关节腔炎症 古玩交易 [单选,A1型题]有关血栓闭塞性脉管炎的说法，下列不恰当的是（）A.患者多数为男性，好发于青壮年B.主要侵袭四肢，尤其是下肢的中、小动静脉，以动脉为主C.是一种累及血管的炎症和慢性闭塞性疾病D.又称Buerger病E.以上都对 古玩交易 [单选]下颌关节间隙正常值为（）A.1.5mmB.1.8mmC.2.0mmD.2.5mmE.3.0mm 古玩交易 [单选,A1型题]在对某个家庭暴力患者的创伤治疗方案中，治疗师给了该患者一本宣传手册，里面有关于对家庭暴力的常见误解，可求助的社会机构以及其他社会资源，这个治疗师是采用（）A.心理动力取向的治疗B.认知行为治疗C.眼动脱敏和再加工治疗D.阅读治疗E.虚拟现实治疗 古玩交易 [名词解释]三维地震 古玩交易 [单选]建立流行病学模型的最重要的基础是A．明确建模目的B．提出假设C．有适当的数学模型结构D．精通计算机技术E．已知疾病的分布特征、流行过程、主要影响因素及其相互制约关系等相关知识和理论 古玩交易 [单选]对烟酸缺乏症治疗的关键是()A．避免日晒B．补充富含烟酸的食物C．肌注烟酰胺D．去除和治疗病因 古玩交易 [单选]自动水喷淋灭火系统可分为多种方式，当前建筑物中应用最广泛的是（），它安全可靠，灭火效果好。A.湿式喷淋水灭火系统B.雨淋式喷淋灭火系统C.喷雾式喷淋灭火系统D.预作用式喷淋灭火系统 古玩交易 [单选]期刊的中观层次选题策划包括（）等内容。A.选择开本B.设计版心大小C.专题策划、作品组配D.确定刊名
小学奥数 中国剩余定理及余数性质拓展 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用 一、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233⨯+⨯+⨯=，233105128-=，12810523-=知识点拨教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c 是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115++是被3除余a b ca，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
中国剩余定理的典型例题
中国剩余定理的典型例题中国剩余定理是一个强大的数论工具，可以用来解决各种复杂的问题。
在计算机科学、统计学和密码学中都有广泛的应用。
中国剩余定理也被称为“中国余数定理”或“中国余数定理”，它源于中国古代学者Sunzi Suanjing 所著《孙子算经》，该书收录了中国古代数学家对于解决一类特殊方程的研究。
中国剩余定理的典型例题如下：1. 已知正整数a、b、m，求满足a≡x (mod m) 且b≡x (mod m)的整数x的取值范围。
由中国剩余定理可知，a≡x (mod m) 且b≡x (mod m) 等价于 a-b ≡ 0 (mod m)，即x = a-b+km, k∈Z，所以x的取值范围为x ∈ {a-b+km | k∈Z} 。
2. 已知a、b、N，求满足a≡b (mod N)的整数x的最小正整数解。
由中国剩余定理可知，a≡b (mod N) 等价于 a-b ≡ 0 (mod N)，即x = a-b+kN, k∈Z，所以最小正整数解为x = a-b+N。
3. 已知三个整数a、b、c，求满足a≡b (mod c)的整数x的最小正整数解。
由中国剩余定理可知，a≡b (mod c) 等价于 a-b ≡ 0 (mod c)，即x = a-b+kc, k∈Z，所以最小正整数解为x = a-b+c。
4. 已知三个整数a、b、N，求满足a≡b (mod N)且x>0的整数x的最小正整数解。
由中国剩余定理可知，a≡b (mod N) 等价于 a-b ≡ 0 (mod N)，即x = a-b+kN, k∈Z，所以最小正整数解为x = a-b+N，而且x > 0，所以最小正整数解为x = a-b+N，其中N > 0。
以上就是中国剩余定理的典型例题，可以看出，中国剩余定理是一个强大的数论工具，可以用来解决复杂的问题，被广泛应用于计算机科学、统计学和密码学中。
中国剩余定理
(M1,m1)=1最大公约数为1，M1’,k’为组合系数 利用辗转相除法求最大约数,然后求组合系数。
462=92*5+2 5=2*2+1 1=5-2*2
1=5-(462-92*5)*2 462*(-2)+5*(1+2*92)=1
证明:验证x满足方程
(mi,m1)=1,(mi,m2)=1,... (mi,mi-1)=1 (mi,mi+1)=1…(mi,mk)=1 (mi,m1m2...mi-1mi+1…mk)=1 ….(1) (mi,Mi)=1 故 Mix mod mi=1 有解Mi’ MiMi’ mod mi=1 从(1)可知当ji时 mj|Mi则 Mi mod mj=0
462*(-5+3)+ 5*(1+2*92)=1
462*3+5*(1+2*92-462)=1M1’=3
例3 x mod 5=1 x mod 6=5 x mod 7=4 x mod 11=10
x=(M1’M1b1+M2’M2b2+M’3M3b3 +M’4M4b4)mod m
=(462*3*1+385*1*5+330*1*4+210*1*10)mod m =6731 mod 2310=2111 mod 2310=2111
x mod 7=2
x mod 11=1 求x mod 77=?
m1=7 m2=11 m=m1*m2=77
M1=m/m1=11 M2=m/m2=7
解二 77=7*11 x=21000000,x mod 77=? x mod 7=2 x mod 11=1 求x mod 77=? m1=7 m2=11 m=m1*m2=77 M1=m/m1=11 M2=m/m2=7 M1M1’ mod m1=1 M1的逆元 M2M2’ mod m2=1 M2的逆元 11M1’ mod 7=1 M1’=2=11 (7)-1mod 7 =115 mod7 7M2’ mod 11=1 M2’=8=7 (11)-1mod 11 =79 mod11 x=(M1M1’b1+M2M2’b2)mod m=
算法案例--中国剩余定理[上学期]--江苏教育版
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[单选]高压供电系统中，计算中基准电压与系统额定电压之比为（）倍。A.1.1B.1.2C.1.15D.1.05 [单选,A2型题,A1/A2型题]透明大体标本的制作中有关填充剂及其配制，下面的描述不妥当的是（）。A.填充剂包括：明胶填充剂和乳胶填充剂B.填充剂配制时根据需要添加染料C.加染料时，边加边搅拌直到染色满意为止D.配制填充剂时，不必过滤即可使用E.配制填充剂时，通常用纱布过滤后使 [单选]按临床分类，轻度吸入性损伤指()A．伤及肺泡B．伤及咽部以上C．伤及细支气管D．伤及气管以上E．伤及喉部以上 [单选,A1型题]对头静脉不准确的描述是A．起自手背静脉网的桡侧B．借肘正中静脉与贵要静脉交通C．沿上肢外侧部上行D．注入肱静脉E．注入腋动脉或锁骨下静脉 [填空题]带变频调速的螺旋给料机在运行中突然跳停，可能的原因是（）故障、给料电动机本体（）或机械传动部分卡涩。 [单选]在下列害虫中，属于完全变态的是（）。A、黄刺蛾B、蚜虫C、蚧D、蝗虫 [单选]燃着的烟蒂可能引起()阴燃。A、常用塑料B、羊毛C、真丝聚烯烃D、棉织品 [单选]驾驶厂内机动车，应当依法取得（）A、操作上岗证B、驾驶证C、企业内部通行证 [多选]（）是引起和保持有意注意的条件和方法A．加深对活动的目标、任务和理解B．培养直接兴趣C．培养间接兴趣D．合理地组织活动 [单选]治疗肺结核咯血最有效的药物是（）A.酚磺乙胺B.止血芳酸C.垂体后叶素D.维生素K1E.云南白药 [单选,A型题]具有完整细胞壁的微生物是（）A.支原体B.衣原体C.细菌L型D.噬菌体E.人体细胞 [单选]无线列调系统中，调度员与司机间采用双工进行通话或数据传输的系统称（）系统ABC [单选,A2型题,A1/A2型题]关于湿热病邪（包括暑湿病邪）深入气分涉及病变部位的描述，错误的是？（）A.脾B.膜原C.胆腑D.肠腑E.心包 [单选,B1型题]体现了新公共健康精神的项目是（）A.预防为主B.三级预防C.强化社区行动D.人人享有卫生保健E.群众性自我保健 [单选]荧光抗体染色技术的检测方法特异性最好，敏感度最差的方法是（）A.直接法B.间接法C.补体法D.双标记抗体法E.流式细胞技术 [单选]OSI参考模型中的OSI表示的是（）anizationStandardInterconnectionC.OpenSystemInternetD.OpenSystemInterconnection [单选]《国内航行海船法定检验技术规则（2004）》对航行于港区附近距岸不超过10nmile的水域（台湾海峡及类似水域不超过5nmile），船舶满载并以营运航速航行航程不超过2h，限制蒲氏风级不超过6级，目测波高不超过2m的海况下航行。系指（）A、相当遮蔽航区营运限制B、遮蔽航区C、沿 [单选,A1型题]长于行气，燥湿，消积，兼能降气平喘的药物是（）A.苏梗B.厚朴C.砂仁D.豆蔻E.香附 [填空题]SF6的缺点是它的电气性能受电场均匀程度（）和（）影响特别大。 [单选]在下列选项中，说法错误的是（）。A.缝纫时，一般先做袋，襟，领，克夫，腰头等附件和配件，后做大身B.缝纫中每次落针和起针都要倒回针，以防线头脱散C.做大身时，先缉缝省道，褶裥和分割线，然后挖袋或做贴袋D.裁剪时，一般每层衣料都需画袋位，省位等 [单选]电源频率增加一倍，变压器绕组感应电动势也（）。A、增加一倍B、不变C、减少一倍D、略有增加 [判断题]对依法履行反洗钱职责或者义务获得的客户身份资料和交易信息，应当予以保密；非依法律规定，不得向任何单位和个人提供。A.正确B.错误 [单选]《女职工劳动保护特别规定》的适用范围是（）。A、国家机关、人民团体、企业、事业单位的女职工B、国家机关、企业、事业单位、社会团体、个体经济组织C、国家机关、企业、事业单位、社会团体、个体经济组织以及其他社会组织等用人单位D、国家机关、企业、事业单位、社会团体 [单选]母线倒闸操作，应按（）值班调度员的指令进行。A.地调B.省调C.网调D.调度管辖范围内 [单选]为加强鄱阳湖生态经济区生活污染防治，对污水处理厂出水规定要达到几级排放标准？（）A、三级B、二级C、一级 [单选]在慢性胃炎中，慢性胃体炎的主要病因是（）A.幽门螺杆菌感染B.免疫因素C.理化因素D.十二指肠液反流E.慢性右心衰竭 [单选]以下跳汰机是按入选煤的粒度加以区分的（）。A、块煤跳汰机B、单段跳汰机C、主选跳汰机D、单槽跳汰机 [单选,A2型题,A1/A2型题]红细胞镰变形试验可用于诊断下列哪种疾病（）A.HbCB.HbEC.HbHD.HbSE.HbBarts [问答题,简答题]什么是萃取精馏？ [单选]1993年美国政府提出“国家信息基础设施”建设，进而构筑“全球信息基础设施”，其中“国家信息基础设施”的英文简写是（）。A.NIIB.GIIC.ISDND.ERP [填空题]不能用电阻串，并联化简的电路叫（） [单选]胃间质瘤起源于胃壁的（）。A.浆膜层B.黏膜层C.黏膜下层D.黏膜肌层E.固有肌层 [多选]胎儿死亡的非特异性指征()A．羊水混淆B．大脑镰消失C．脑室扩大D．双顶径缩小E．胎头双环轮廓 [判断题]“一熟”即熟悉跳汰机的结构组成。A.正确B.错误 [单选]交换机的配置线（console线）应该连接在PC的哪一个端口？（）A、并口serialB、串口COMC、以太网端口Ethernet [单选,A2型题,A1/A2型题]单纯性鼻中隔偏曲最常见的病因是（）。A.鼻中隔外伤B.鼻内肿瘤压迫C.异物压迫D.腺样体肥大E.鼻中隔之骨和软骨发育不均衡 [单选]船舶对水航程SL，对地航程SG，船速VE，航时t，若SG＜SL＜VEt，则船舶航行在（）情况下。A．顺风顺流B．顶风顶流C．顺风顶流D．顶风顺流 [单选]由于（）耐磨性差，用于室内地面，可以采用表面结晶处理，提高表面耐磨性和耐酸腐蚀能力。A．瓷砖B．花岗岩C．微晶石D．大理石 [问答题,简答题]什么是加工精度？ [单选]乳腺检查的正确顺序是（）A.内上、外上、外下、内下、中央、腋窝及锁骨区B.外上、外下、内上、内下、中央、腋窝及锁骨区C.中央、内下、内上、外上、外下、腋窝及锁骨区D.外上、内上、外下、外上、中央、腋窝及锁骨区E.中央、腋窝及锁骨区、外上、内上、外下、外上
余数问题之 中国剩余定理 例题+答案
例3、一堆苹果，若5个5个的数则余4个，如果7个7个的数则余5个， 问至少有多少个苹果？
余补 ÷5 4 1 ÷7 5 2
没有同余也没有同补，只能采取逐步满足 法
注意：先满足大的数字7
5×
12 × 19 √
练习3、一个数除以3的余数是2，除以,5的余数是1，问这个数除 以,15的余数是多少？
余补 ÷3 2 1 ÷5 1 4
23×7=161， 159,160,161 √
没有同余也没有同补，只能采取逐步满足 法
注意：先满足大的数字5
6×
11 √
例4、一个数除以3余2，除以,5余3，除以,7余2，求适合此条件的最 小数。
余补 ÷3 2 1 ÷5 3 2 ÷7 2 5
先满足第1,3两项是同余
[3,7]=21
21+2=23 √
练习4、有一些苹果，五个五个地数余下2个，六个六个的数余下2个， 七个七个的数少2个，这些苹果最少有多少个？
中国剩余定理
例1、一些小朋友分组做游戏，第一次分组每组4人余下2人，第二次 分组每组,5人也余下2人，问最少有多少名小朋友做游戏？
余补 ÷4 2 ÷5 2
[4,5]=20
20+2=22
练习1、一个两位数除以9余3，除以,10余3，问这个数是多少？
余补 ÷9 3 ÷10 3
[9,10]=0
90+3=93
余补 ÷5 2 3 ÷6 4 2 ÷7 5 2
先满足后两项是同补 [6,7]=42 42-2=40 × 42×2-2=82 √
例5、一批书大约300本到400本，包装成每包12本剩下11本；每包 18本，缺1本；每包15本就有7包每包各多2本。这批书有多少本？
奥数 中国剩余定理
中国剩余定理一、中国古代趣题中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
（相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
）孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（ChineseRemainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。
”诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘；五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘；七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘；除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数。
此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是2×70+3×21+2×15=233，233-105=128，128-105=23。
70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a 是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数。
中国剩余定理例题
中国剩余定理中国剩余定理，又称中国余数定理，是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。
也称为孙子定理，古有“韩信点兵”、“孙子定理”、“求一术”（宋沈括）、“鬼谷算”（宋周密）、“隔墙算”（宋周密）、“剪管术”（宋杨辉）、“秦王暗点兵”、“物不知数”之名。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
宋朝数学家秦九韶于1247年《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出了完整系统的解答。
明朝数学家程大位在《算法统宗》中将解法编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知。
这个歌诀给出了模数为3、5、7时候的同余方程的秦九韶解法。
意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后再减去105或者105的整数倍，得到的数就是答案（除以105得到的余数则为最小答案）。
比如说在以上的物不知数问题里面，使用以上的方法计算就得到。
例题1：某歌舞团200多人在大厅列队排练，若排成7排则多2人，排成5排则多4人，排成6排则多3人，问该歌舞团共有多少人?思路：和同加和(X=除数的公倍数+除数和余数的和)解析：题目中除数和余数虽然不同，但是除数和余数的和都为9，这个时候称之为和同，歌舞团人数为7、5、6的公倍数加上9，【5.6.7】=210，此时总人数可以表示为210n+9，人数为200多人，则此时歌舞团人数只能是210*1+9=219。
练习题1：1、学校五年级有若干个同学排队做操，如果11人一行余1人，7人一行余5人，8人一行也余4人。
中国剩余定理习题及答案
中国剩余定理习题：1、有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3，这个数除以12余数是什么？2、一个两位数,用它除58余2,除73余3,除85余1,这个两位数是什么？3、学习委员收买练习本的钱,她只记下四组各交的钱,第一组2.61元,第二组3.19元,第三组2.61元,第四组3.48元,又知道每本练习本价格都超过1角,全班共有多少人？4、五年级两个班的学生一起排队出操,如果9人排一行,多出一个人；如果10人排一行，同样多出一个人.这两个班最少共有多少人？5、一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余1，这个数最小是什么？6、同学们进行队列训练,如果每排8人,最后一排6人；如果每排10人，最后一排少4人.参加队列训练的学生最少有多少人？7、把几十个苹果平均分成若干份,每份9个余8个,每份8个余7个,每份4个余3个.这堆苹果共有多少个？8、一筐苹果,如果按5个一堆放,最后多出3个.如果按6个一堆放,最后多出4个.如果按7个一堆放,还多出1个.这筐苹果至少有多少个？9、除以3余1,除以5余2,除以7余4的最小三位数是什么？10、有一筐鸡蛋,当两个两个取、三个三个取、四个四个取、五个五个取时，筐内最后都是剩一个鸡蛋；当七个七个取出时，筐里最后一个也不剩.已知筐里的鸡蛋不足400个,那么筐内原来共有多少个鸡蛋？11、有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个?12、求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整数.13、一盒围棋子,三只三只数多二只,五只五只数多四只,七只七只数多六只,若此盒围棋子的个数在200到300之间,问有多少围棋子?14、求一数,使其被4除余2,被6除余4,被9除余8.15、韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人.求兵数.16、有一堆棋子，三个三个地数剩下2个，五个五个地数剩下4个，七个七个地数剩下6个.问这堆棋子最少有多少个?(用两种方法解)17、某数除以7余3，除以8余4，除以9余5.从小到大求出适合条件的十个数.18、某数除以5余2，除以7余4，除以11余8.求适合条件的最小数.19、一猴子数一堆桃子.两个两个地数剩下1个，三个三个地数剩下1个，五个五个地数剩下3个，七个七个地数剩下3个.问这堆桃子最少是多少个?20、一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少?21、一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生?答案：1：7因为除以3余数是1的数是1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…除以4余数是3的数是3,7,11,15,19,23,27,31…所以，同时符合除以3余数是1，除以4余数是3的数有7，19，31，…这些数除以12余数均为7.2：14用一个两位数除58余2,除73余3,除85余1,那么58-2=56, 73-3=70,85-1=84能被这个两位数整除,这个两位数一定是56、70和84的公约数.3：41(2.61 2+3.19+3.48) /0.29=41(人)将小数化成整数来考虑,为解决问题提供了方便.这里也可直接找261、319和348的公约数，但比较困难.上述解法从一定意义上说是受了辗转相除法的启示.4：91如果将两个班的人数减少1人,则9人一排或10人一排都正好排完没有剩余,所以两班人数减1是9和10的公倍数,又要求这两班至少有几人,可以求出9和10的最小公倍数,然后再加上1.所以,这两个班最少有【9 .10】+1=91(人)5：210一个数能被3,5,7整除,这个数一定是3,5,7的公倍数.3,5,7的公倍数依次为:105,210,315,420,……，其中被11除余数为1的最小数是210，所以这个最小数是210. 6：46人.如果总人数少6人,则每排8人和每排10人,均恰好排完无剩余.由此可见,人数比10和8的最小公倍数多6人,10和8的最小公倍数是40,所以参加队列训练的学生至少有46人. 7：71依题意知,这堆苹果总个数,添进1个苹果后,正好是9,8,4的倍数.因为9,8,4的最小公倍数是9 8=72,所以这堆苹果至少有9 8-1=71(个)8：148从6和7的公倍数42,84,126,……中找到除以5余3的数是378（可以先找到除以5余1的数126，再乘以3即可）9：172因为除以3余1,除以5余2的最小数是22,而3和5的最小公倍数是15,所以符合条件的数可以是22,37,52,67,…….又因为67 7=9…4，所以67是符合题中三个条件的最小数，而3，5和7的最小公倍数是105，这样符合条件的数有67，172，277，…所以,符合条件的最小三位数是172.10：301先求出2,3,4,5的最小公倍数是60,然后用试验法求出60的倍数加1能被7整除的数60*1+1=61，60*2+1=121，60*3+1=181，60*4+1=241，60*5+1=301其中301能被7整除.所以筐内原来有301个鸡蛋.11：123 如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.故8,10,12的最小公倍数是120.所以这盒乒乓球有123个.12：118由于[6,8,10]=120,所以120-2=11813：209 [3,5,7]= 105 105*2-1=209.14：无解,若该数存在必为8+18 ( 为整数),它被6除只能余2,矛盾.15：1061 MOD（（【5.66】*1*4+【5.7】*83*5+【66.7】*3*1）/【5.7.66】）=106116：104【3.5.7】-1=10417：500……【7.8.9】-4=500 504*1-4、504*2-4、……18：382【5.7.11】-3=38219：73把被2除余1与被3除余1合为被6除余1，把被5除余3和被7除余3合为被35除余3，尝试35*1+3/6 35*2+3/620：172【6.7】=42尝试42*1+4//5，42*2+4/5，42*3+4/5，42*4+4/521：53用中国剩余定理MOD（（15*4+21*3+35*2*2）/【3.5.7】）=53。
行测考试中关于剩余定理的巧妙应用
行测考试中关于剩余定理的巧妙应用中国古代着名数学着作<孙子算经>记载，"今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"此问题为中国剩余定理的原型。
下面介绍公务员行测考试中常见的集中情况和中国剩余定理的巧妙应用，以及中国剩余定理在解决实际问题中的应用。
一.基本题型【例1】以上题为例：物品的个数满足除以3余2，除以5余3，除以7余2，则物品至少有多少个？（）A 21, B23 C37 D43解析：选B. 余数问题：待入排除法，选B.【例2：层层推进解法】以上题为例：物品的个数满足除以3余2，除以5余3，除以7余2，则物品有多少个？（）解析：满足除以3余2的最小数为2，在2的基础上每次加3，直到满足除以5余3，这个最小的数为8；在8的基础上每次加3、5的最小公倍数15，直到满足除以7余2，这个数最小为23,。
所以满足条件的最小自然数为23，而3、5、7的最小公倍数为105，所以满足条件的数可以表示为105N+23(n=0,1,2,3,。
)【例3：上海2011年3月19-61.】韩信故乡淮安民间留传着一则故事-----"韩信点兵"。
秦朝末年，楚汉相争。
有一次，韩信率1500名将士与楚军交战，战后检点人数。
他命将士3人一排，结果多出2名；命将士5人一排，结果多出3名；命将士7人一排，结果又多出2名，用兵如神的韩信立刻知道尚有将士人数。
已知尚有将士人数是下列四个数字中的一个。
则该数字是（）A868 B998 C1073 D1298解析：选C. 余数问题：待入排除法，选C.二：同余问题同余问题核心口诀（应先尝试代入法、试值法）同余问题：给出一个数除以几个不同的数的余数，反求这个数，称作同余问题"公倍数作周期：余同取余，和同加和，差同减差。
"1.余同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同此时该数可以选这个相同的余数，余同取余例："一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1"，则取1，表示为60n+12.和同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的和相同此时该数可以选这个相同的和数，和同加和例："一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1"，则取7，表示为60n+73.差同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的差相同此时该数可以选除数的最小公倍数减去这个相同的差数，差同减差例："一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3"，则取-3，表示为60n-3。
中国剩余定理
中国剩余定理1、余同加余【例题1】一个数除以3余2，除以7余2，求这个数。
【解析】因为这个数减去2能被3整除，能被21整除，也就是21的倍数。
所以这个数为21的倍数加上2.2、差同减差【例题2】一个数除以3余1，除以7余5，求这个数。
【解析】因为这个数加上2能被3整除，能被7整除，也就是21的倍数，所以这个数为21的倍数减去2.3、和同加和【例题3】一个数除以3余2，除以4余1，求这个数。
【解析】因为这个数除以3余2，除以4余1，最小的为5，所以这个数为12的倍数加上5.剩余定理－－巧解国考行测数学题余数问题国考真题：一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有：( )A.5个B.6个C.7个D.8个论坛里面有高手分析并且解决了余数定理的问题，可是对于我们这些新手或“低手”来说，也许说的不是很容易懂。
我在这里就献丑了——高手不用看了，跳过吧。
这是专门写给新手的：先看【一】：15÷7=2……余1，即2×15÷7=4 (2)3×15÷7=6 (3)4×15÷7=8 (4)5×15÷7=10 (5)6×15÷7=12……余6. (废话？不要急，如果是新手就要慢慢看，你也可以直接做下面的例子1－4)你得出什么规律了？比如说35/3余2，那么知道70/3余“4”，也就是余1.。
35/4余3，那么70/4余“6”，也就是余2。
接着看【二】：从758里连续减去若干个105后，求所得的要求小于105的差数，实际上就是求758除以105所得的余数.即758÷105=7……余23. （废话吧？定义来着。
）结论：从某数A中连续减去N个B后，求所得的要求小于数B的差数，实际上就是求数A除以数B所得的余数.再看【三】：“孙子问题”.“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数.”思路一：分别写出除数3、5、7的两两最小公倍数——15， 35， 21.如下所示：除以7余2的较小数——30；（3跟5的最小公倍数为15，除以7余1，由上面废话一已经知道15×2除以7余2）除以5余3的较小数——63；（21除以5余1，那么由废话一可知21×3即63，它除以5余3，下同）除以3余2的较小数——35.根据和的整除性，可知30+63+35=128一定是一个同时满足“被3除余2，被5除余3，被7除余2”的数（稍做解释：比如，63，35是7的倍数了，加起来被7除肯定是余“0”的，只有30除以7余数2还在），但是不一定是最小的.要得到满足条件的最小数，只要从中减去3、5、7的最小公倍数的若干倍，使得差数小于这个最小公倍数就是了（就是上面的废话二）. 。
中国剩余定理求解同余方程组例题
中国剩余定理求解同余方程组例题介绍如何使用中国剩余定理解同余方程组，并给出一个具体的例题演示下面是本店铺为大家精心编写的3篇《中国剩余定理求解同余方程组例题》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《中国剩余定理求解同余方程组例题》篇1中国剩余定理是一个数论中的重要定理，它可以用来求解同余方程组。
同余方程组是指一组模数不同的同余方程组成的方程组。
例如，下面这个同余方程组：x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 4 (mod 5)我们可以使用中国剩余定理来求解这个方程组。
首先，我们需要找到这个同余方程组的通解。
通解是指同余方程组中各个方程的公共解。
对于上面的方程组，我们可以使用扩展欧几里得算法求得两个方程的最小公倍数，然后找到一个通解 N，使得 N ≡ 1 (mod 3)，N ≡ 1 (mod 5)。
通过计算，我们可以得到 N = 15。
然后，我们可以将同余方程组转化为一个关于 N 的线性方程组。
具体来说，我们可以将每个方程乘以一个适当的系数，使得这些系数的和等于 N。
例如，对于上面的方程组，我们可以将第一个方程乘以3，将第二个方程乘以 5，得到以下线性方程组：3x ≡ 6 (mod 3)5x ≡ 20 (mod 5)接下来，我们可以使用克莱姆法则来求解这个线性方程组。
克莱姆法则是指，如果 A 是一个 m × n 矩阵，D 是 A 的行列式，那么A 的逆矩阵可以表示为 D 的逆矩阵除以 D 的行列式。
对于上面的线性方程组，我们可以将其写成矩阵形式，如下所示：```3 00 5```然后，我们可以计算这个矩阵的行列式，得到 D = 15。
因为 D 不等于 0，所以这个线性方程组有唯一解。
我们可以使用 D 的逆矩阵来求解这个方程组的解，即：x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 4 (mod 5)最后，我们可以将解转换回原始的同余方程组中，得到 x ≡ 29 (mod 15)。
《中国剩余定理求解同余方程组例题》篇2中国剩余定理是一种求解同余方程组的方法，它可以用于解决一些加密算法中的问题。
中国剩余定理(B级).
一、中国剩余定理——中国古代趣题1) 趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
2) 趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘． 五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘． 七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数． 此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233⨯+⨯+⨯=，233105128-=，12810523-=知识框架为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115++是a b c被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．3)核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
小学奥数 中国剩余定理及余数性质拓展 精选例题练习习题(含知识点拨)
1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用一、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233⨯+⨯+⨯=，233105128-=，12810523-=为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a 是一个被3除余a 而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b 是被5除余b ，被3与7整除的数；同理15c 是被7除余c ，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115a b c ++是被3除余a ，被5除余b ，被7除余c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》知识点拨教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
中国剩余定理例题解法
中国剩余定理例题解法
中国剩余定理，又称“中国余数定理”，是一种中国古代数学概念，可以用来解决数学上关于模线性方程组（Modular Linear Equations）的更多复杂问题。
中文剩
余定理指的是事件发生“先后”之间的比例。
例如，“中国剩余定理”可用来解决一个名为“四个值的线性方程组”的问题。
假设有4个数：a、b、c、d，其中a + b = c + d 并且 b = a + c，则根据中国余数定理
可以求出 a、b、c、d 的值。
此时，我们可以将此等式拆分为“a ≡ c (mod b)”，并且“a ≡ d (mod c)”，也就是说a与c、d在b、c这两个数模上一定有某一关系。
在中国的古代数学中，推出了用于计算a、b、c、d的公式，可以通过让其输入求得最终
结果。
同样地，中国剩余定理也可以用来解决一些更为复杂的模数方程组，具体来说，就是可以解决多元模线性方程，这些方程组涉及数量更多，当中出现的变量也更多。
例如，对于一个4元一次模线性方程组：a + b ≡ c (mod d)，a + c ≡ d (mod b)，a + d ≡ b (mod c)，可以使用中国剩余定理推出用于求解的方法，从而可以求出a、b、c、d 的值。
除此之外，中国剩余定理还广泛应用于加密技术中，比如RSA和Elliptic
Curve Cryptography等。
一般来说，加密算法需要一个可随机改变的密钥，而中国
剩余定理可以用来在求解大数表达式的方法中来产生这种随机密钥，使得加密算法受到保护。
总之，中国剩余定理是一种具有悠久历史的中国数学概念，可以用来解决模线性方程。
它广泛应用于数学当中，也是一种重要的加密技术。
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使15被4除余1，用15×3=45；
使12被5除余1，用12×3=36。gt;60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。
?
然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，
因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。
?
一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？
题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。
为了使56被3除余1，用56×2=112；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，
因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。
?
有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？（幸福123老师问的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
?
一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。
题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。
为了使88被5除余1，用88×2=176；
使55被8除余1，用55×7=385；
使40被11除余1，用40×8=320。
有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人？（泽林老师的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105；
然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，
因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。
?
一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，
因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。