第十五章分式全章小结综合复习教学设计
54第15章分式小结与复习教案
第15章分式小结与复习一、教学目标(一)知识与技能：1.理解分式定义，掌握分式有意义的条件；2.掌握分式的加减乘除运算及混合运算；3.掌握分式方程的解法，会列分式方程解决实际间题.(二)过程与方法：经历“实际问题→分式方程→整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想培养学生的应用意识.(三)情感态度与价值观：经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的，应用价值，从而提高学习数学的兴趣.二、教学重点、难点重点：分式加减乘除混合运算及分式方程.难点：列分式方程解决实际问题.三、教学过程知识梳理一、分式1.分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式.分式中，A 叫做分子，B 叫做分母.2.分式有意义的条件：当______时分式有意义；当______时分式无意义.3.分式值为零的条件：当____________时，分式的值为零.4.分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.，(C ≠0)其中A ，B ，C 是整式.5.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式.注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.约分的基本步骤(1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；(2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式.6.分式的通分：根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式(即最简公分母)，把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式的通分.为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母.二、分式的运算B A B A BA BA CBC A B A ∙∙=CB C A B A ÷÷=1.分式的乘除法则：，.2.分式的乘方法则：.3.分式的加减法则：(1)同分母：(2)异分母：4.分式的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 计算结果要化为最简分式或整式.三、分式方程1.分式方程的定义分母中含未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.(2)解这个整式方程.(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则必须舍去(增根).3.分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审:清题意，并设未知数；(2)找:相等关系；(3)列:出方程；(4)解:这个分式方程；(5)验:根(包括两方面:①是否是分式方程的根；②是否符合题意)；(6)写:答案.考点讲练考点一 分式的有关概念例1 如果分式的值为0，那么x 的值为____.针对训练1.若分式无意义，则a 的值为____.2.如果分式的值为零，则x 的值为_____.考点二 分式的性质及有关计算例2 如果把分式中的x 和y 的值都扩大为原来的3倍，则分式的值( ) A.扩大为原来的3倍 B.不变 C.缩小为原来的 D.缩小为原来的针对训练db c a d c b a ∙∙=∙c b d a c d b a d c b a ∙∙=∙=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a c b c a ±=±bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±392--x x 2-a a 15||+-x x yx x -31613.下列变形正确的是( ) A. B. C. D.例3 已知，，求的值.解：原式=当，时，原式=.针对训练4.有一道题：“先化简，再求值： ，其中”. 小玲做题时把错抄成，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？解：原式=∵ ∴ 结果与x 的符号无关例4 已知，求的值.∵ ∴ ，即∴ ∵ ∴ 针对训练5.已知x 2－4x ＋1＝0，求出的值解：由x 2－4x ＋1＝0得∴ ∴ ，即22b a b a =22a b a a b a -=-xx x x --=--1212y x xy y x 929622=-21-=x 21+=y 222211y xy x x y x y x +-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++yx y x x y x y x y x x +-=-⨯-+2)())((2221-=x 21+=y 22222121)21(21-=-=++-+--41442222-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-x x x x x 3-=x 3-=x 3=x 4444)4(44)2(22222+=++-=-⨯-+-x x x x x x x x ()()33322==-51=+aa 1242++a a a 51=+aa 2512=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 251222=++a a 23122=+a a 2412311122224=+=++=++aa a a a 2411242=++a a a 441x x +0414=+-x 41=+xx 1612=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 161222=++x x∴ ∴ ，即∴ 考点三 分式方程的解法例5 解下列分式方程：(1) (2)解：(1)去分母得 x +1+x -1=0 解得 x =0经检验x =0是分式方程的解(2)去分母得 x -4=2x +2-3解得 x =-3经检验x =-3是分式方程的解针对训练6.解分式方程：解：最简公分母为(x +2)(x -2)去分母得 (x -2)2-(x +2)(x -2)=16整理得 -4x +8=16解得 x =-2经检验x =-2是增根故原分式方程无解考点四 分式方程的应用例6从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍.(1)求普通列车的行驶路程；(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度.解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)答：普通列车的行驶路程是520千米；(2)设普通列车的平均速度是x 千米/时，则高铁的平均速度是2.5x 千米/时，根据题意得 解得x =120，经检验x =120是原方程的解.则高铁的平均速度是120×2.5=300(千米/时)答：高铁的平均速度是300千米/时.针对训练7.某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖x 米，则根据题意列出正确的方程为( )14122=+xx 1961222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 1961244=++x x 194144=+x x 01111=++-x x 13214+-=+-x x x 4161222-=-+-x x x 35.2400520=-xxA. B. C. D.8.某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支.求第一次每支铅笔的进价是多少元？解：设第一次每支铅笔进价为x 元，根据题意得解得x =4，经检验x =4原分式方程的解.答：第一次每支铅笔的进价为4元.考点五 本章数学思想和解题方法例7 已知：，求的值.解：∵ ∴ 14(2a -b )=3(a +2b )，整理可得 把代入得方法总结已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的值. 这种方法即是主元法，此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元，其余视为辅元. 那么这些辅元可以用含有主元的代数式表示，这样起到了减元的目的.针对训练9.已知xyz ≠0，且3x －4y －z ＝0，2x ＋y －8z ＝0，求的值.解：将z 看作已知数，把3x -4y -z =0与2x +y -8z =0联立得解得把代入原式=319090=--x x 390190=--x x 319090=+-x x 390190=-+xx 453045600600=-x x 14322=+-b a b a 2222b a b a -+14322=+-b a b a b a 54=b a 54=2222b a b a -+94125925412516251654542222222222-=-=-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛b b b b b b b b b b xzyz xy z y x 2222++++⎩⎨⎧=-+=--082043z y x z y x ⎩⎨⎧==zy z x 23⎩⎨⎧==z y z x 23114146264932223)2()3(22222222222==++++=∙+∙+∙++z z z z z z z z z z z z z z z z z。
新人教版数学八年级上册教案：第15章分式及其复习教案
第十五章分式 §15.1.1从分数到分式一、 教学目标1.了解分式概念.2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、教学过程1．让学生填写[思考]，学生自己依次填出：，，，.2．问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 设江水的流速为x 千米/时.轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间小时，所以=.3. 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？可以发现，这些式子都像分数一样都是 （即A ÷B ）的形式.分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母.[思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？由分数的分母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为零.注意只有满足了分式的分母不能为零这个条件，分式才有意义.即当B ≠0时，分式才有意义. 3、例题讲解P5例1. 当x 为何值时，分式 有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x 的取值范围.(补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？（1） （2） (3)710as 33200sv v+20100v-2060v +20100v-2060v+20100v-2060ass v BA1-m m 32+-m m 112+-m m 2312-+x x[分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. 4、随堂练习1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ，2. 当x 取何值时，下列分式有意义？（1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？（1） （2） (3) 5、小结： 谈谈你的收获 6、布置作业P133习题15.12、3、4、题7四、教学反思：1）.关于教材处理：认真处理教材，目的只有一个——为我的学生尽可能多地提供参与活动的机会，在本节课中主要体现在以下几点：（1）通过“合成代数式”、“赋予分式实际意义”两个活动，激发兴趣，吸引学生参与活动；（2）通过“互举例子”、“填表探究”两个活动，鼓励学生主动参与活动；（3）通过“应用新知”这个环节，促进学生参与活动。
八年级数学上册-15章分式 复习教案
15章总复习【教材分析】【教学流程】综合运用例1：已知11a b+=3，求32a ab ba ab b-+++的值．解法一：由11a b+=3可得b+a=3ab．则32a ab ba ab b-+++=()3025a b aba b ab ab+-=++=0．点拨：由条件11a b+=3，可得a+b=3ab，所以需设法从待求式中寻找a+b的式子，以便代入．解法二：由ab≠0,∴32a ab ba ab b-+++＝0533121131=-=+++-abab例2：今年我国西南五省市遭遇百年不遇的旱灾牵动着全国人民的心，某中学师生自愿为灾区捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？解：设第一天捐款x人，则第二天捐款x+50.由题意列方程x4800=506000+x．化简得，4x+200=5x．解得x =200．检验：当x =200时，x(x+50)≠0，∴ x =200是原方程的解．两天捐款人数x+(x+50)=450．人均捐款x4800=24．答：两天共参加捐款的人数是450人，人均捐款教师出示例1，两同学板书，其余学生独立完成．板书学生对计算的方法和过程进行讲解，其余学生做评价，教师强调计算中的易错点及解题过程的严谨和规范．教师出示例2，学生独立思考并解答，教师注重帮助学生分析等量关系，一名学生板演．然后请学生讲解自己的解题思路和做法，其他同学补充．教师适时点拨，强调解题过程的完整性，最后教师引导学生总结解答分式方程应用题的基本思路及思想方法．教师出示例3，引导学生认真审题，充分讨论后，师生共完成解：（1）第一次购买粮食付款x100元，第二次购买粮食。
人教版八年级数学第十五章《分式》全章教案
人教版八年级数学第十五章《分式》全章教案第十五章分式15.1.1从分数到分式教学目标1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系．2．能确定分式有意义的条件．教学重、难点分式的概念教学过程设计一、创设问题，激发兴趣XXX:一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它沿江以最大航速顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？问题1顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？顺流航行的速度=轮船在静水中的速度+水流速度；逆流航行的速度=轮船在静水中的速度-水流速度．问题2这个问题的等量关系是什么？顺流航行90 km所用时间=逆流航行60 km所用时间．问题3应怎样设未知数？如何根据等量干系列出方程？解：设江水的流速为XXX.依题意得：追问式子与分数有甚么相同点和分歧点？它们与你学过的整式有甚么分歧？问题4填空：（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为cm.问题4填空：（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱描述器中，水面高度为cm；把体积为V的水倒入底面积为S 的圆柱描述器中，水面高度为.追问1上面问题中得到的式子，，，哪些不是我们学过的整式？追问2式子的特性？二、常识使用，巩固提高分式的定义：，，与以前学过的整式分歧，这些代数式有甚么配合一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那末式子叫做分式（fraction）.分式中，A叫做分子，B叫做分母.问题5我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为．要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？为什么？例1下列分式中的字母满足甚么条件时分式成心义？三、使用提高、拓展创新讲义128页操演1、2、3四、归纳小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）你能举例说明什么是分式吗？（3）如何确定分式有意义的条件？五、布置作业：教科书题15.1第1、2、3题.教后反思：15.1.2分式的基本性质（1）教学目标1．了解分式的基本性质，体会类比的思想方法．2．掌握分式的约分，了解最简分式的概念．教学重、难点分式的基本性质和分式的约分教学过程设计一、创设问题，激起兴趣问题1下列分数是否相等？追问这些分数相等的依据是什么？问题2你能叙述分数的基本性质吗？分数的根本性质：一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为的数，分数的值不变．问题3你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？问题4类比分数的根本性质，你能想出分式有甚么性质吗？分式的根本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于的整式，分式的值不变．追问1如何用式子表示分式的基本性质？二、常识使用，巩固提高追问2应用分式的基本性质时需要注意什么？（1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；（2）所乘（或除以）的必须是同一个整式；（3）所乘（或除以）的整式应该不等于零.例2填空：问题5观察上例中（1）中的两个分式在变形前后的分子、分母有甚么变化？类比分数的相应变形，你联想到甚么？像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．例3约分:追问1由上例你能归纳出在分式中，找分子和分母的公因式的方法是什么吗？追问2如果分式的分子或分母是多项式，那么该如何思考呢？三、应用提高、拓展创新教科书132页操演1四、归结小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）运用分式的根本性质时应注意甚么？（3）分式约分的关键是甚么？如何找公因式？（4）探究分式的基本性质和分式的约分的过程，你认为体现了哪些数学思想方法？五、布置作业：教科书题15.1第4、6题.教后反思：15.1.2分式的基本性质（2）教学目标1．了解最简公分母的概念，会确定最简公分母.2．经由进程类比分数的通分来探究分式的通分，能进行分式的通分，体会数式通性和类比的思想.教学重、难点正确确定分式的最简公分母教学过程设计一、创设问题，激起兴趣问题1通分：追问1分数通分的依据是什么？追问2如何确定异分母分数的最小公分母？问题2填空：像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.追问1你认为分式通分的关键是什么？分式通分的关键是找出分式各分母的公分母.追问2上面问题中的两个分式的公分母是甚么？为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.追问3两个分式的最简公分母是如何确定的？最简公分母的确定方法：取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积．分母是多项式时，最简公分母的确定方法是：先因式分解，再将每一个因式算作一个团体，最后确定最简公分母．二、知识应用，巩固提高例通分：三、应用提高、拓展创新教科书132页练1四、归结小结（1）本节课研究了哪些首要内容？（2）分式通分的关键是什么？（3）分式通分时，确定最简公分母的办法是甚么？五、布置作业：教科书题15.1第7题教后反思：15.2.1分式的乘除（1）教学目标1．理解分式的乘除法法则，体会类比的思想.2．会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理教学重、难点分式的乘除法法则的运用教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1一个水平放置的长方体，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当内的水占容积的m时，水面的高度为多少？n（1）这个长方体的高怎么表示？（2）内水面的高与内的水所占容积间有何关系？内水面的高与高的比和内的水所占容积的比相等.问题2大拖拉机m天耕地ahm2，小拖拉机n天耕地bhm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？（1）本题中出现的“工作效率”的含义是什么？（2）大拖沓机和小拖沓机的事情效率怎样表示？观察上述两个问题中所列出的式子中，其中涉及到分式的有哪些运算？你能用学过的运算法则求出结果吗？问题3计较：在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？如果将分数换成分式，那末你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？二、知识应用，巩固提高分式的乘除法法则如何用笔墨语言来描述？乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积为积的分母.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.例1计算：三、应用提高、拓展创新教科书138页练2四、归纳小结（1）本节课研究了哪些首要内容？（2）分式的乘除法运算与分数的乘除法运算有甚么区别和联系？五、布置作业：讲义第144页第1题；第145页第10、11题．教后反思：15.2.1分式的乘除（2）教学目标1．能运用分式的乘除法法则进行复杂计算．2．能运用分式的乘除法解决一些简单的实际问题.教学重、难点用分式的乘除法法则进行计较，并解决一些实践问题．教学过程设计一、创设问题，激起兴趣问题1约分:分子与分母分别是多项式的分式如何约分？问题2计较:分子与分母都是单项式的两个分式如何乘除？二、知识应用，巩固提高例1计较：分子或分母是多项式的两个分式如何乘除呢？解题战略：对于分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘除法法则，再根据分式的基本性质进行约分，将最后的结果化成最简分式．而对于分子或分母中含有多项式的两个分式相乘，为了使算式简洁，也便于找出分子与分母中的公因式，需要先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，然后利用分式的乘除法法则进行运算，利用分式的基本性质进行约分，并把最后的结果化成最简分式．例2“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 XXX．（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？考虑以下问题：①你能说出小麦的“单位产量”的含义吗？②如何表示这两块试验田的单位产量？③怎样确定哪类小麦的单位产量高？④你能列式表示（2）的问题吗？归结解题步调：（1）先根据题意分别列出表示两个量的代数式；（2）再根据题意列出相应的算式；（3）最后经由进程计较解决问题．三、使用提高、拓展创新教科书138页练3四、归纳小结运用分式的乘除法法则计算分子或分母含有多项式的分式主要步骤是什么？五、布置作业：教材第144页第2题．教后反思：15.2.1分式的乘方教学目标1.理解分式乘方的运算法则，能根据法则进行乘方运算，体会数式通性.2.能根据混合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算.教学重、难点分式的乘方及分式乘除、乘方夹杂运算教学过程设计一、创设问题，激起兴趣例1计算：2x3x.5x-325x2-95x+3练1计算:2m2n5p2q5mnp（）1；223q3pq4mn2m2-n2（n-m）m+n（2）；222m（m-n）mn16-a2a-4a-2（3）2．2a+8a+2a+8a+16考虑你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？（a2a3a10）=？（）=？（）=？bbba猜测：n为正整数时?b你能写出推导过程吗？试试看．你能用笔墨语言叙述得到的结论吗？分式的乘方法则：一般地，当n是正整数时，n这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方．二、常识使用，巩固提高例2计较：例3计算：分式的乘除、乘方混合运算与分数的乘除、乘方混合运算有什么联系和区别吗？练2计算：三、应用提高、拓展创新教科书139页练2四、归纳小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）运用分式乘办法则计较的步调是甚么？它与整式的乘方运算有甚么区别和联系？（3）分式的乘方与乘除夹杂运算的运算顺序是甚么？五、布置作业：教科书题15.2第3（3）（4）题．教后反思：15.2.2分式的加减教学目标1．理解分式的加减法法则，体会类比思想．2．会运用法则进行分式的加减运算，体会化归思想．教学重、难点分式的加减法法则教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲队多用3天才干完成这项工程，两队配合事情一天完成这项工程的几分之几？（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？（2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？（3）甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？问题年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年比拟，丛林面积增长率提高了多少？（1）甚么是增长率？（2）2010年、2011年的丛林面积增长率分别是多少？（3）2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．二、常识使用，巩固提高例计算：11（2）+．2p+3q2p-3q三、应用提高、拓展创新讲义141页操演1、操演2练：你能应用本节课所学知识解决“问题1”和“问题2”吗？四、归结小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）我们是怎么引出分式加减法法则的？（3）在进行分式的加减运算时要注意哪些问题？五、布置作业：教科书题15.2第4、5题．教后反思：15.2.2分式的夹杂运算教学目标1．理解分式混合运算的顺序．2．会正确进行分式的混合运算．3．体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值．教学重、难点分式的混合运算．教学过程设计一、创设问题，激起兴趣问题数的混合运算的顺序是什么？你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？分式的混合运算顺序：“从高到低、从左到右、括号从小到大”．例1计算：这道题的运算顺序是怎样的？经由进程对例1的解答，同学们有何播种？对于不带括号的分式混合运算：（1）运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；（2）计算结果要化为最简分式．二、常识使用，巩固提高例2计算：52m-4（） 1m+2+3-m；2-mx+2x-1x-4（2）-．x2-2xx2-4x+4x通过对例2的解答，同学们有何收获？对于带括号的分式夹杂运算：（1）将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计较；（2）注意处理好每一步运算中遇到的符号；（3）计算结果要化为最简分式．三、应用提高、拓展创新练1计算：四、归结小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）分式混合运算的顺序是什么？我们是怎么得到它的？（3）在进行分式混合运算时要注意哪些问题？五、布置作业：教科书题15.2第6题．教后反思：15.2.3整数指数幂教学目标1．了解负整数指数幂的意义．2．了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算．3．会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数．教学重、难点幂的性质（指数为全体整数），并会用于计算，以及用科学记数法表示一些小于1的正数．教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1你们还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质呢？将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？问题2am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那末负整数指数幂am表示甚么？（1）根据分式的约分，当a≠时，如何计较a（2）如果把正整数指数幂的运算性质中的条件m >n去掉，即假设这本性质对于像a数学中规定：当n是正整数时，a这就是说，XXXXXX33a5？（a≠，m，n是正整数，m >n）a5景遇也能使用，如何计较？1aaa是an的倒数．问题3引入负整数指数和指数后，am an am n（m，n是正整数）这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？问题4类似地，你可以用负整数指数幂或指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是不是还适用？（1）am an am n（m，n是整数）；n（am）amn（m，n是整数）（2）；（ab）ab（n是整数）（3）；mnm n（4）a a a（m，n是整数）；XXXa（5）bnann（n是整数）．b二、知识应用，巩固提高例1计算：三、应用提高、拓展创新问题5能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：（1）am an am n（m，n是整数）；n（am）amn（m，n是整数）（2）；（ab）ab（n是整数）（3）；探索：XXX110 1101.0110 21001.00110 310001.000110 40.1归纳：如何用科学记数法表示0.003 5和0.000 098 2呢？规律：对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个算起至小数点后第一个非数字前有几个，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．例2用科学记数法表示下列各数：（1）0.3；（2）-0.000 78；（3）0.000 020 09.例3纳米（nm）是非常小的长度单位，1 nm =10-9m．把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上．1mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体（物体之间的间隙忽略不计）？四、归结小结（1）本节课研究了哪些首要内容？（2）整数指数幂的运算性质与正整数指数幂的运算性质有什么区别和联系？五、布置作业：教科书题15.2第7、8、9题教后反思：15.3分式方程（1）教学目标1．了解分式方程的概念．2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．3．了解解分式方程根需要进行检验的原因．教学重、难点利用去分母的方法解分式方程教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1为了解决弁言中的问题，我们得到了方程程，未知数的位置有甚么特点？追问1方程9060．仔细观察这个XXX30v30vx2x;2;1与上面的方程有甚么共2xx3x5x25x13x 3同特征？分母中含有未知数．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．追问2你能再写出几个分式方程吗？注意：我们以前研究的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．9060吗？30v30v问题3这些解法有什么共同特点？总结：这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．思考：（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？问题2你能试着解分式方程（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？（4）这样做的依据是什么？总结：（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．（2）利用等式的性质2可以在方程双方都乘同一个式子——各分母的最简公分母．追问你得到的解v=6是分式方程二、常识使用，巩固提高问题4解分式方程：9060的解吗？30v30v110=2.x-5x-25110的解吗？该如何验证呢？x=5是原2x5x25分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．追问2上面两个分式方程的求解进程当中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为追问1你得到的解x=5是分式方程（30-v）=60（30+v）甚么整式方程90的解v=6是分式方程整式方程x+5=10的解x=5却不是分式方程9060的解，而30v30v110的解？2x5x25原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为．检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右双方是不是相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为．显然，第2种方法比较简便！问题5你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？根本思绪将分式方程化为整式方程一般步调：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．注意：因为去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，以是需要检修．三、使用提高、拓展创新例解下列方程：四、归纳小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？解分式方程应该注意什么？五、布置作业：教科书题15.3第1（1）～（4）题．教后反思：15.3分式方程（2）教学目标1．会解较复杂的分式方程和较简朴的含有字母系数的分式方程．2．能够列分式方程解决简朴的实践问题．3．经由进程研究分式方程的解法，体会转化的数学思想．教学重、难点分式方程的解法教学过程设计一、创设问题，激发兴趣例1解方程x3-1=.x-1（x-1）（x+2）解分式方程的步骤：（1）去分母，将分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）检验．用框图的方式总结为：二、知识应用，巩固提高例2解关于x的方程a+b=1（b1）.x-a例3两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？三、应用提高、拓展创新某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组工作效率高25％，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1 800个零件所用的时间少半小时，问甲、乙两组每小时各加工多少个零件？四、归结小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）解分式方程的一般步调有哪些？关键是甚么？解方程的进程当中要注意的问题有哪些？（3）列分式方程解使用题的步调是甚么？与列整式方程解使用题的进程有甚么区别和联系？五、布置作业：教科书题15.3第1（2）（4）（6）（8）、4、5题．教后反思：。
2024年人教版八年级上册教学设计第十五章15.1 分式
15.1.1从分数到分式课时目标1.以描述实际问题中的数量关系为背景,抽象出分式的概念,在了解分式概念的基础上发展学生的抽象能力.2.借助从特殊到一般的的研究思路,类比分数,讨论要使分式有意义时分母应满足的条件,发展学生的推理能力.3.通过经历类比分数学习分式的过程,培养学生与人合作的意识,进一步体会类比转化、合情推理、抽象概括等学习方式,发展学生的抽象能力和推理意识.学习重点理解分式的概念,分式有意义的条件.学习难点能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件.课时活动设计回顾引入根据问题,填空:(1)长方形的面积为10 cm2,长为7 cm,宽为107cm;长方形的面积为S,长为a,宽为Sa.(2)把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中,水面高度为20033cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度为VS. 设计意图:以学生学过的分数引入分式,有利于体现知识的必然联系和循序渐进的原则;通过类比让学生解决实际问题,为新知的构建奠定基础.探究新知探究1 分式的概念问题1:请同学们看一下这四个式子,它们有什么相同点和不同点?107,S a ,20033,V S.学生先思考,再小组交流,教师请两个学生分别说出相同点和不同点. 解:相同点:这些式子有同样的形式,都是AB (即A ÷B )的形式. 不同点:107,20033分子和分母为整数,S a ,VS 分子和分母为代数式. 追问:S a ,V S 和9030+v ,6030−v 有什么相同点和不同点? 学生小组交流、讨论得出结论.解:相同点为这些式子有同样的形式,都是AB (即A ÷B )的形式,且分母都含有字母.不同点为9030+v ,6030−v 分子不含字母,S a ,VS 分子含有字母.教师说明这四个式子均为分式,并引导学生类比分数得到分式的概念:一般地,如果A ,B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子A B 叫做分式.分式AB 中,A 叫做分子,B 叫做分母.问题2:下列各式中,哪些是整式?哪些是分式? 5x -7,3x 2-1,b -32a+1,m(n+p)7,-5,x 2-xy+y 22x -1,27,45b+c ,a π,y x ,a 2+b 2a -b.解:整式:5x -7,3x 2-1,-5; 分式:b -32a+1,m(n+p)7,x 2-xy+y 22x -1,27,45b+c ,a π,y x ,a 2+b 2a -b.设计意图:通过分析问题加深学生对分式的概念的理解,从而揭示分式的概念的本质.让学生在众多的代数式中区分出整式与分式,意在加深学生对分式的概念的本质的理解,进一步巩固分式的概念.探究新知探究2 分式有意义和值为0的条件问题1:我们知道,要使分数有意义,分数中的分母不能为0,那么要使分式有意义,分式中的分母应满足什么条件?学生先思考,再小组交流,类比分数有意义的条件得到分式有意义的条件. 结论:分式中的分母表示除数,由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当B ≠0时,分式AB 才有意义.问题2:计算:03,05,07. 解:0 0 0追问:通过上述计算,你发现了什么? 解:当分子为0,分母不为0时,分数的值为0. 问题3:计算:0x 2+1,0x+1(x ≠-1),0a (a ≠0). 解:0 0 0追问:通过上述计算,你发现了什么? 解:当分子为0,分母不为0时,分式的值为0. 结论:分子为0,分母不为0,分式值为0.设计意图:掌握使分式有意义和值为0的条件,有利于学生更好地了解分式的概念.典例精讲例 下列分式中的字母满足什么条件时,分式有意义? (1)23x ; (2)1x -1; (3)15−3b ; (4)x+yx -y . 解:(1)x ≠0. (2)x ≠1. (3)b ≠53. (4)x ≠y.设计意图:让学生通过类比分数有意义的条件是分母不能为0,得到分式有意义的条件,自己发现问题、解决问题并找到关键所在,既能激发学生的求知欲望,又能让学生有效地认识新知,消化新知.巩固训练1.当x 为何值时,下列分式的值为0? (1)2x2x -6;(2)x 2-16x -4.解:(1)x =0. (2)x =-4.2.当x 为何值时下列分式无意义? (1)x -5x+5;(2)x -3(x+3)(2x -2). 解:(1)x =-5. (2)x =-3或1.设计意图:通过巩固训练,加深学生对分式有意义的条件的理解,并能正确地求出分式有意义的条件;同时让学生明白分式的值为0、有意义、无意义时必须同时满足的条件,区别“或”与“且”的用法.另外,设计“分式有意义”的变式题,意在让学生在题目具有挑战性的情况下,通过小组研究、讨论得出答案,培养学生小组合作、探究的意识以及应用所学知识解决问题的能力,在获得正确结果的情况下,增强学生学习数学知识的信心.课堂小结1.分式的概念:一般地,如果A ,B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子AB 叫做分式.分式AB 中,A 叫做分子,B 叫做分母.2.分母不为0,分式有意义;分母为0,分式无意义.3.分子为0,分母不为0,分式值为0.4.谈谈今天的收获?设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,为接下来的学习打好基础.课堂8分钟.1.教材第128,129页练习第1,2,3题.2.七彩作业.15.1.1从分数到分式一、分式的定义.二、分式有意义的条件:三、例题讲解.四、课堂评价.教学反思15.1.2分式的基本性质第1课时分式的基本性质与约分课时目标1.通过类比分数的基本性质归纳得出分式的基本性质,体验类比转化的思想方法,发展学生的推理能力.2.通过类比分数的约分得出分式的约分,从中体会“数式通性”和类比的思想方法,发展学生的抽象能力.3.经历运用分式的基本性质进行约分的过程,体会运算的原理以及最简分式的内涵,培养学生的运算意识,发展学生的运算能力.学习重点理解并掌握分式的基本性质.学习难点能运用分式的基本性质进行分式的约分. 课时活动设计情境引入有位老爷爷把一块地分给三个儿子,老大分到了这块地的13,老二分到了这块地的26,老三分到了这块地的412.老大、老二觉得自己很吃亏,于是他们就争吵起来.刚好阿凡提路过,问清争吵的原因后,哈哈大笑了起来,给他们讲了几句话,三兄弟就停止了争吵.你知道阿凡提给他们讲的是什么吗?13,26,412这三个数相等吗?设计意图:创设故事情境导入新课,激发了学生学习本课的好奇心,同时运用分数的基本性质进行分数变形,复习分数的基本性质,为类比学习分式的基本性质作铺垫.探究新知探究1 分式的基本性质师生活动:以提问的方式回顾分数的基本性质,教师黑板上板书. 由分数的基本性质可知,如果数c ≠0,那么23=2c 3c ,4c 5c =45.一般地,对于任意一个分数ab ,有a b =a·c b·c ,a b =a÷cb÷c (c ≠0),其中a ,b ,c 是数. 问题1:类比分数的基本性质,你能猜想分式有什么性质吗? 学生独立思考,小组讨论,教师引导学生进行归纳总结:分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变. 用式子表示为A B =A·C B·C ,A B =A÷C B÷C(C ≠0),其中A ,B ,C 是整式.探究2 分式的约分与最简分式问题2:联想分数的约分,你能想出如何对分式进行约分吗? 师生活动:教师在黑板上板书:4c 5c =45,让学生观察等式两边的特点.教师引导学生归纳出约分的概念:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.教师在黑板上板书:4c 5bc =45b ,让学生观察这次约分有什么不同?教师引导学生得出结论:这次约分后是分式的形式,且分子与分母没有公因式.教师归纳出最简分式的概念:分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式. 设计意图:给学生独立思考、自主探究的机会,并在研究思路上加以引导,同时渗透类比的思想方法.这样做一方面可以提高学生对分式基本性质的认识,另一方面可通过师生归纳,进一步加深学生对分式基本性质的理解.典例精讲 例 约分:(1)-25a 2bc 315ab 2c ; (2)x 2-9x 2+6x+9; (3)6x 2-12xy+6y 23x -3y.解:(1)原式=-25a 2bc 3÷(5abc)15ab 2c÷(5abc)=-5ac 23b.(2)原式=(x+3)(x -3)(x+3)2=x -3x+3.(3)原式=6(x -y)23(x -y)=2x -2y.设计意图:通过例题,进一步巩固分式的基本性质的应用条件、基本方法和需要注意的问题,使学生明确:1.找出分子和分母的公因式是约分的第一步,同时公因式应找全,约分要彻底;2.分子与分母没有公因式的分式是最简分式,使学生加深对最简分式的理解.巩固训练1.下列各式中哪一个是最简分式( D ) A.x 2-y 2x 2+y 2 B.a -bb -a C.x 2-1x+1 D.a 2+b 2a+b2.填空: (1)x -yx+y =(x 2-2xy+y 2)x 2-y 2;(2)c -b a =(c 2-bc)ac (c ≠0); (3)x 3xy =( x 2 )y,3x 2+3xy6x 2=x+y( 2x );(4)1ab =( a )a 2b,2a -b a 2=( 2ab -b 2 )a 2b(b ≠0).3.约分:(1)a 2bab 2; (2)x 2-16x 2+8x+16; (3)5x 2-10xy+5y 2x -y.解:(1)原式=a 2b÷(ab)ab 2÷(ab)=ab . (2)原式=(x+4)(x -4)(x+4)2=x -4x+4.(3)原式=5(x -y)2x -y=5x -5y.设计意图:通过巩固训练,及时巩固本节课所学知识,进一步加深学生对分式基本性质的理解.课堂小结1.本节课探究了分式的哪些问题?2.分式的基本性质:分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变. 3.把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分. 4.分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,及时查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第132页练习第1题,第133页习题15.1第3,5,6题.2.七彩作业.第1课时分式的基本性质与约分一、分式的基本性质.二、分式的变号法则.三、分式的约分→最简分式.四、例题讲解.五、课堂评价.教学反思第2课时分式的通分课时目标1.通过类比分数的通分得出分式的通分,从中体会“数式通性”和类比的思想方法,发展学生的抽象能力.2.经历用观察、类比、联想的方法探索分式通分方法的过程,体会分式通分运算的原理,培养学生的运算意识.3.理解最简公分母的内涵,能准确确定分式的最简公分母,熟练进行分式的通分.学习重点能运用分式的基本性质进行分式的通分.学习难点分式通分时最简公分母的确定.课时活动设计回顾引入问题:1.把分数78和512通分:78=2124,512=1024.2.利用分式的基本性质,把12ab 和2−b3a2化成分母都是6a2b的分式.解:12ab =1·(3a)2ab·(3a)=(3a)6a2b,2−b3a2=(2-b)·(2b)3a2·(2b)=(4b-2b2)6a2b.设计意图:让学生回忆分数的通分和分式的基本性质,并利用它解决问题,唤醒学生的知识储备,为分式通分的概念的自然引入作好铺垫.同时教学中要贯彻以学生为本的指导思想,通过具体问题,引导学生采用类比推理、合作探究等方法来探究分式通分的概念.探究新知问题:联想分数的通分,由此你能想出如何对分式进行通分吗?师生活动:通过教学活动1中具体的例子,教师引导学生回忆前面学过的分数的通分,再利用类比的方法得出分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.为通分,要先确定各分式的公分母,一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫做最简公分母.在教学过程中,教师要引导学生通过观察、思考、类比等方法来总结归纳确定最简公分母的一般步骤:(1)找系数:如果各分母的系数都是整数,那么取它们的最小公倍数;(2)找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的多项式都要选取;(3)找指数:取分母因式中出现的所有字母或含字母的多项式中指数最大的,这样取出的因式的积,就是最简公分母.设计意图:以此活动激活学生原有的知识体系,充分体现学生的学习是在原有知识的基础上自我生成的一个过程,有利于让学生更好地掌握类比的学习方法.典例精讲例 找出下列各组分式的最简公分母并通分:(1)32a 2b 与a -b ab 2c ; (2)2x x -5与3x x+5.解:(1)最简公分母是2a 2b 2c ,32a 2b =3·bc 2a 2b·bc =3bc 2a 2b 2c, a -bab 2c =(a -b)·2a ab 2c·2a =2a 2-2ab 2a 2b 2c .(2)最简公分母是(x -5)(x +5), 2x x -5=2x(x+5)(x -5)(x+5)=2x 2+10xx 2-25, 3x x+5=3x(x -5)(x+5)(x -5)=3x 2-15xx 2-25. 设计意图:通过例题,使学生能够准确确定分式的最简公分母,熟练进行分式的通分,提高学生的教学应用能力.巩固训练指出下列分式的最简公分母并通分:(1)26a 3bc 与a -215a 2b 2d ; (2)x -2x 2+2x 与x -1(x+2)2; (3)a -1a 2+2a+1与6a 2-1.解:(1)最简公分母:15a 3b 2cd ,26a 3bc = 13a 3bc= 1·5bd 3a 3bc·5bd = 5bd 15a 3b 2-cd , a -215a 2b 2d= (a -2)·ac 15a 2b 2d·ac = a c -2ac 15a 3b 2cd . (2)最简公分母:x (x +2)2,x -2x 2+2x= x -2x(x+2) = (x -2)·(x+2)x(x+2)·(x+2) = x 2-4x(x+2)2, x -1(x+2)2= (x -1)·x (x+2)2·x = x 2-x x(x+2)2. (3)最简公分母:(a +1)2(a -1),a -1a 2+2a+1 = a -1(a+1)2 = (a -1)·(a -1)(a+1)2·(a -1) = (a -1)2(a+1)2(a -1), 6a 2-1= 6·(a+1)(a+1)(a -1)·(a+1) = 6(a+1)(a+1)2(a -1).设计意图:通过巩固训练,一是使学生注意当分母是多项式时,把分母分解因式后,再确定最简公分母;二是通过解决题目的过程,让学生反思解决问题的方法和结论,形成批判性思维和发散性思维,提高学生的总结概括能力和运算能力.课堂小结1.本节课探究了分式的哪些问题?2.分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.3.最简公分母的确定:①找系数;②找字母;③找指数.设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,为接下来的学习打好基础.课堂8分钟.1.教材第132页练习第2题,第133页习题15.1第7题.2.七彩作业.第2课时分式的通分一、分式的通分.二、最简公分母的确定:最简公分母{1.找系数2.找字母3.找指数三、例题讲解.四、课堂评价.教学反思。
最新人教版初中八年级上册数学第十五章《分式》精品教案(小结复习)
24 - 3(x 4) (x 4)(x - 4)
- 3(x - 4) (x 4)(x - 4)
- 3 x4
本题源自《教材帮》
重点解析 4
计算：
（1）
24 x2 -16
4
3 -
x
（2） a 2 - a2 a-2
解：（2）原式 (a 2)(a - 2) - a2 a-2 a-2
(a 2)(a - 2) - a2 a-2
分式
小结
知识梳理-重点解析-深化练习 人教版-数学-八年级上册
知识梳理
分式及分式的性质 分 式
分式的运算
分式的概念、分式有意 义、无意义的条件
分式的基本性质、约分 及通分
分式的乘除、乘方、 加减运算
分式的混合运算
知识梳理
分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 A 叫
做分式. 分式 A 中，A叫做分子，B叫做分母.
x2 - 4
（1）分式 (x -1)( x - 2)有意义的条件是__x_≠_1__且__x_≠__2_，值为零的条件是_x__=__-_2_. x
（2）分式 x - 3 无意义的条件是____x_=_±__3___，值为零的条件是___x_=_0___.
重点解析 2
下列等式从左到右变形一定正确的是（ C ）
(1)分子和分母同时做“乘法（或除法）”运算； (2)乘（或除以）的对象必须是同一个不等于0的整式.
用途
进行分式的恒等变形
知识梳理
分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身这三处的正负号，同时改变两处， 分式的值不变.
用式子表示： A - - A - A - A B B -B -B - A-A A --A B B -B -B
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第15章 分式(教案) 分式的基本性质教案
第十五章分式15.1 分式15.1.2 分式的基本性质一、教学目标【知识与技能】掌握分式的基本性质,会运用分式的基本性质进行相关的分式变形，并能熟练地进行分式的通分、约分.【过程与方法】经历对分式基本性质及符号法则的探究过程，在探究中获得一些探索定理性质的初步经验，渗透良好的类比联想思维习惯和思想方法.【情感、态度与价值观】通过鼓励学生进行探索和交流,培养学生的创新意识和合作精神.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】理解并掌握分式的基本性质.【教学难点】灵活应用分式的基本性质将分式变形.五、课前准备教师：课件、直尺、蛋糕结构图等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔、钢笔。
六、教学过程 （一）导入新课教师问1：什么是分数的约分呢？（出示课件2） 学生回答：约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数. 教师问2：什么是分数的通分呢？学生回答：先找分子与分母的最简公分母，再使分子与分母同乘最简公分母，计算即可.教师问3：如果把分数换为分式，又会如何呢？ （二）探索新知1.创设情境，探究分式的基本性质 观察这几个分数：23，46，812，1624，3248. 然后提出问题：教师问4：根据我们对数学的“审美标准”，上面的哪个分数最具“简约之美”？学生回答：23.教师问5：这些分数是否相等？（出示课件4） 学生回答6：相等.教师问6：那这些分数为什么相等，相等的依据是什么？ 其内容是什么？（出示课件5）学生回答：相等的依据是分数的基本性质，其内容是一个分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变．教师问7：你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？（出示课件6）学生回答：一般地，对于任意一个分数ab ，有ab=a∙cb∙c,ab=a÷cb÷c(c≠0), 其中a，b，c 是数．教师问8：下面的变形成立吗？1 a ＝22a，22a＝1a.学生回答：根据分数的基本性质可以知道，上面的变形成立。
第15章 分式 本章小结与复习(2) 教学设计(表格式)2023—2024学年人教版数学八年级上册
解：方程两边同乘最简公分母 (x + 2)(x﹣2)，得解得 x =﹣2.检验：当 x =﹣2 时，(x + 2)(x﹣2) = 0.所以 x =﹣2 不是原方程的根，故原方程无解考点四分式方程的应用例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍．(1) 求普通列车的行驶路程；(2) 若高铁的平均速度 (千米/时) 是普通列车平均速度 (千米/时) 的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，求高铁的平均速度．解析：设普通列车的平均速度是 x 千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3小时，列出分式方程，然后求解即可．针对训练7. 某施工队挖掘一条长 90 米的隧道，开工后每天比原计划多挖 1 米，结果提前 3 天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖 x 米，则依题意列出正确的方程为（）8. 某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 600 元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了 30 支.求第一次每支铅笔的进价是多少元. 想”，即把分式方程转化为整式方程求解．的基础上，尝试完成针对训练，达到巩固所学知识的目的。
巩固分式方程在工程问题中的模型作用，设计由易到难的练习，帮助学生实现例题正向的迁移考点五本章数学思想和解题方法【解析】将条件等式变形为用 b 来表示 a 的形式，可得，再代入所求分式中约分即可求值.总结归纳通过归纳总结，巩固本节课的知识点巩固反馈课本第154页的练习第2题通过课堂练习及时检测学生对本届知识点的掌握情况学生独立完成，课后作业布置必做题课本第158页复习题第7题、第8题、第9题、第10题完成总时间分钟选做题课本第159页复习题第11题完成总时间分钟实践题板书设计15章分式小结与复习（2）三、分式方程考点三分式方程的解法考点四分式方程的应用教学反思。
人教版数学八年级上册第十五章分式全章复习(第二课时)教学设计
（3）采用分组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
2.教学过程：
（1）导入：通过回顾分式的概念，引导学生思考分式在生活中的应用，为新课的学习做好铺垫。
（2）新知传授：以问题为导向，引导学生探究分式的性质和运算法则，总结解题方法。
4.能够利用分式解决一些生活中的优化问题，如折扣、百分比等，提高学生的应用能力。
（二）过程与方法
1.通过对分式的复习，培养学生自主探究、合作交流的学习习惯，提高学生分析问题和解决问题的能力。
2.引导学生运用数形结合的思想，通过绘制图像、列式分析等方法，加深对分式性质和运算的理解。
3.通过设计不同难度的练习题，让学生在解答过程中逐步掌握分式运算的技巧和方法，提高解题效率。
4.引导学生总结分式学习中的常见错误，分析原因，培养学生自我纠正和反思的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和热情，激发学生主动参与课堂活动的积极性。
2.通过分式的学习，让学生认识到数学与实际生活的紧密联系，增强学生的应用意识。
3.培养学生严谨、细致的学习态度，提高学生的逻辑思维能力和判断力。
4.鼓励学生面对困难时，保持积极的心态，培养良好的学习习惯和自主学习能力。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，充分调动学生的积极性，使学生在复习分式的过程中，既能巩固基础知识，又能提高解决问题的能力，从而达到教学目标。
二、学情分析
八年级学生在学习分式这一章节时，已经具备了一定的代数基础，掌握了整式的运算和方程求解，这为学习分式打下了基础。然而，分式的概念和运算对学生来说仍存在一定的难度，尤其是在分式的有理化、分式方程的求解等方面，学生容易产生混淆和错误。此外，学生在解决实际问题时，往往难以将分式知识灵活运用，需要教师引导和指导。
人教版八年级上册数学教案：第15章 分式总复习--教学设计
例4.计算：（1） ；（2） .
问题4：他们涉及到哪些运算？他们的运算法则是什么？遵循怎样的运算顺序？
讨论结果：①分式的乘法法则： ；②分式的除法法则： ；
③同分母分式的加减法法则： ；④异分母分式的加减法法则： .
⑤分式的乘法法则： ；⑥负整数指数幂的运算性质：当 是正整数时， .
巩固练习：解方程： .
例6：供电局的电力维修工程要到30千米远的郊区进行电力抢修，技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果同时到达.已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求两种车的速度.
问题7：列分式方程解应用题有哪些步骤？
讨论结果：
设问：请认真读一读题，这道题蕴含着哪些等量关系？（只列出方程）
课题
第15章分式总复习
教学
目标
知识与技能
1．分式的约分2．分式的通分3．分式的乘除4．分式的混合运算5分式方程及其应用
过程与方法
经历探索分式各种性质的过程，并能结合具体情境说明
其合理性。
情感态度与价值观
能利用事物之间的类比性解决问题。
பைடு நூலகம்教学重点
列分式方程
教学难点
列分式方程
教学资源
教育网
教学过程：
一、问题引路，引起回忆
（2）验根是解分式方程中必不可少的步骤，通过验根可以把方程中产生的不适合原方程的根（即增根）去掉.
问题6：解分式方程为什么必须要检验？因为我们在去分母的变形过程中，需要乘以一个含未知数的整式（最简公分母），这样分式方程将转化为整式方程，如此一来，分式方程中分母不为0的限制被无形的取消了，使得未知数的范围扩大了，若不进行“质检”，假冒伪劣产品要混进方程解的行列，而导致我们解题的错误.
人教版八年级上册数学教案：第十五章分式复习与小结
3．分式的运算法则：
（1）乘法法则
（2）除法法则
（3）分式的乘方
（4）加减法则
4．解分式方程的步骤
各小组代表汇报小组合作学习成果，并讨论各小组提出的疑难问题。
班级集体讨论给出各种解决方案．师生共同解决疑难，记录要点。
巩
固
拓
展
练习：
P158 练习 1 ， 2 ， 3
小结：
本节课你有何收获？
课时教案
课题
复习与小结
第 1课时
总第73课时
教学目标
知识与技能：1.理解分式定义，掌握分式有意义的条件。
2.掌握分式的加减乘除运算及混合运算。
过程与方法：掌握分式方程的解法，会列分式方程解决实际问题。
情感态度与价值观：经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣.
重点
分式加减乘除混合运算及分式方程
教具
三角尺
难点
列分式方程解决实际问题
学具
三角尺
教师活动
学生活动
前
置
性
学
习
教师抽查学生的前置性作业的完成情况批改，并向老师汇报作业中存在的问题。
小
组
合
作
学
习
1.下列代数式中： , ， 是分式的有______________
2．当x满足__________时，分式 有意义。当x=__________时，分式 的值为零，当x满足____________时，分式 值为正
小组内个人展示先学成果，相互交流，明确答案。
对疑难问题，小组内共同讨论完成。
提出质疑，组长解答。
汇
报
交
15章分式复习与小结 导学案
第十四课时 第15章分式复习与小结【学习目标】1．复习整理本章的知识结构，形成知识体系．解决生活中的实际问题． 2．掌握列分式方程解决实际问题的基本方法，深化数学思想的认识． 【学习重点】建立本章知识结构，准确、熟练、灵活地进行分式的四则运算． 一、知识结构：二、熟记知识点1、若A 、B 均为_____式, 且B 中含有_________. 则式子 分式 有意义的条件是 ，值为零的条件是 ，2、分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以(或除以)___________ .分式的值________. 用式子表示:3、通分关键是找____________________,约分与通分的依据都是:______________________4、分式乘分式， ， 用式子表示： 分式除以分式， ， 用式子表示：5、同分母的分式相加减， 用式子表示：异分母的分式相加减：先 ，化为 分式，再加减。
用式子表示：6、当n 是正整数时，=-na，7、科学计数也可表示一些绝对值较小的数，将他们表示成 的形式，其中n 是 ， ≤a＜ 。
8、解分式方程的步骤：(1)___________________;(2)___________________(3)____________________.(4)三、知识应用1、当x ＝ 时，分式31－x 有意义． 2、一种病菌的直径为0.0000036m ，用科学记数法表示为 .3、某班a 名同学参加植树活动，其中男生b 名(b<a )．若只由男生完成，每人需植树15棵；若只由女生完成，每人需植树 棵．4、已知a 2－6a +9与|b －1|互为相反数,则(a b b a -)÷(a +b )=______。
5、若非零实数a ，b 满足4a 2+b 2=4ab ，则ab =_____。
6、下列各式：()xx x x y x x x 2225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（ ）个。
最新部编版人教初中数学八年级上册《第十五章(分式)全章教学设计及教学反思》精品优秀教案
最新精品部编版人教初中八年级数学上册第十五章分式优秀教学设计（全章完整版含教学反思）前言：该教学设计（教案）由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特点结合教材实际精心编辑而成。
实用性强。
高质量的教学设计（教案）是高效课堂的前提和保障。
（最新精品教学设计）第十五章分式15．1分式15．1.1从分数到分式1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．重点理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件．难点能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．一、复习引入1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？①8m＋n3；②1＋x＋y2；③a2b＋ab23；④a＋b2；⑤2x2＋2x＋1；⑥3a2＋b2；⑦3x2－42x.二、探究新知1．分式的定义(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v千米/时．轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为6030－v小时，所以9030＋v ＝6030－v. (2)学生完成教材第127页“思考”中的题．观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，V s，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？可以发现，这些式子都像分数一样都是A B(即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母．归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式． 巩固练习：教材第129页练习第2题．2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B才有意义． 学生自学例1.例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？(1)23x ；(2)x x －1；(3)15－3b ；(4)x ＋y x －y. 解：(1)要使分式23x有意义，则分母3x ≠0，即x ≠0； (2)要使分式x x －1有意义，则分母x －1≠0，即x ≠1；(3)要使分式15－3b有意义，则分母5－3b ≠0，即b ≠53； (4)要使分式x ＋y x －y有意义，则分母x －y ≠0，即x ≠y. 思考：如果题目为：当x 为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？巩固练习：教材第129页练习第3题．3．补充例题：当m 为何值时，分式的值为0?(1)m m －1；(2)m －2m ＋3；(3)m 2－1m ＋1. 思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．答案：(1)m ＝0；(2)m ＝2；(3)m ＝1.三、归纳总结1．分式的概念．2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义．3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．四、布置作业教材第133页习题15.1第2，3题．在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．15．1.2 分式的基本性质(2课时)第1课时 分式的基本性质1．了解分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行分式的变形．2．会用分式的基本性质求分式变形中的符号法则．重点理解并掌握分式的基本性质．难点灵活运用分式的基本性质进行分式变形．一、类比引新1．计算：(1)56×215；(2)45÷815. 思考：在运算过程中运用了什么性质？教师出示问题．学生独立计算后回答：运用了分数的基本性质．2．你能说出分数的基本性质吗？分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变．3．尝试用字母表示分数的基本性质：小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质，然后写出分数的基本性质的字母表达式． a b ＝a·c b·c ，a b ＝a÷c b÷c.(其中a ，b ，c 是实数，且c ≠0) 二、探究新知1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的基本性质吗？分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变． 你能用式子表示这个性质吗？A B ＝A·C B·C ，A B ＝A÷C B÷C.(其中A ，B ，C 是整式，且C ≠0) 如x 2x ＝12，b a ＝ab a 2，你还能举几个例子吗？ 回顾分数的基本性质，让学生类比写出分式的基本性质，这是从具体到抽象的过程． 学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养．2．想一想下列等式成立吗？为什么？－a －b ＝a b ；－a b ＝a －b＝－a b . 教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．例1 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号：(1)－2a －3a；(2)－3x 2y ；(3)－－x 2y . 例2 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：(1)x ＋1－2x －1；(2)2－x －x 2＋3；(3)－x －1x ＋1. 引导学生在完成习题的基础上进行归纳，使学生掌握分式的变号法则．例3 填空：(1)x 3xy ＝（ ）y ，3x 2＋3xy 6x 2＝x ＋y （ ）； (2)1ab ＝（ ）a 2b ，2a －b a 2＝（ ）a 2b.(b ≠0) 解：(1)因为x 3xy的分母xy 除以x 才能化为y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x ，即。
人教版初中八年级数学上册第十五章《分式》精品教案(小结复习)
本题源自《教材帮》
深化练习 1
若关于x的分式方程
x
3a
1
2a 无解，则a的值为____1_或__2_____.
本题源自《教材帮》
深化练习 3
解析：（1）设原计划每天生产 x 个零件，因为生产的总量是24000个，所以生产 时间可以用含有x的式子表示. 根据题目中相等关系“规定时间=实际时间”列方程. （2）设原计划安排的工人有 y 人. 根据题目中相等关系“工人完成的零件个数+机器人完成的零件个数=24000”列 方程.
2 综上，a的取值范围是a<2.
深化练习 3
某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件， 则在规定时间内可以多生产300个零件. （1）求原计划每天生产多少个零件？规定的时间是多少天？ （2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划生产的同时，引进5 组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零 件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%.按此测算，恰好提前两 天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人有多少人？
知识梳理
含字母的分式方程的概念：若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含 有表示已知数的字母，则该方程是含有字母的分式方程.
含字母的分式方程的解法：含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同，需 要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注 意题目中所给的限制条件.
一般情况下，解关于哪个字母的分式方程，则哪个字母表示未知数， 其余字母都作为已知数存在.
第15章《分式》小结与复习教案
第15章《分式》小结与复习教案第十五章分式复习与小结一、知识梳理1 •形如吕（A、B是_ ，且B中含有_____ ,B H 0）的式子，叫做分式.2.分式有、无意义的条件：当分母_______ 时，分式有意义；当分母______ 时，分式无意义.3.分式值为零的条件：当分式的分子_____ ，分母________ 时，分式的值为零.4.分式的基本性质是：分式的分子与分母都______ （或______ ）同一个________ 的整式，分式的值______ .5.分式的乘除法：分式乘分式，用分子的积作为积的_____________ ,分母的积作为积的________ ;分式除以分式，把除式的分子、分母________ 后，与被除式 _______ .6.分式的乘方：分式乘方，把分子、分母___________ .7.同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母_____ ，把分子________ ;异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先，变为同分母的分式，然后再8._________________ 分母中含有的方程叫做分式方程.9.解分式方程的步骤：（1）分式方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，转化为____方程；（2）解这个__ 方程；（3）检验，把方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值______ ，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，它是原方程的增根，应当舍去.10.我们规定：任何不等于零的数的零次幂都等于___ ，即a0= ____ （a工0）.11.一般地，当n是正整数时，昇= _______ （a H0）.即任何不等于零的数的n （n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的_______ .12.一般地，绝对值小于1的数可以表示成a是整数位数只有- 位a 10n的形式，其中1 |a 10，即的数；n是一个 _______ 整数.二、考点呈现考点1分式值为0的条件例1 （2013年温州）若分式 T的值为0,x 4则x 的值是( )A . x =3B . x =0C . x = —3D . x =—4解析：因为分式口的值为0,所以x — 3=0,x 4x +4疋0,所以x =3.故选A.点评：分式的值为0的条件是分子为0, 分 母不为0，这两个条件缺一不可.考点2分式的基本性质例2 （2013年淄博）下列运算中错误的是 解析：色昱吟=1, A 选项正确; (b a)(a b) ? ?壬42 j=-1 , B 选项正确；a b a b a b…_j^)— , D 选项错误.故选D.a b b a b a 点评：解“判断下列运算（或说法）错误（或正确）”类型的选择题，除了采用逐一验证四个 （ ）A. (a b)22=1B. a b =-1 (b a) a bC. 0.5a b 5a 10bD.abba 0.5a b0.2a 0.3b (0.5a b) 10 5a 10b (0.2a 0.3b) 10 2a 3b ? C 选项正确;0.2a 0.3b 2a 3b abba 2 2选项进行求解之外，还可以利用排除法选出符合 题意的答案•考点3分式的运算例3 （2013年凉山州）化简：结果为 _______ ・解析：1 — (m 1) =1 (m 1)=—^?(m m 1 m 1 m 1 m 1 的结果是（A. 2点评：分式的混合运算，要注意运算顺序： 先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号 里面的；最后结果要化成最简分式或整式.考点4分式的化简求值例5（2013年重庆）先化简，再求值： ，其中x 是不等式3x 7 1的负整数口 J =(m 1)的 1) =m 填m.例4 （2013年泰安）化简分式2 x 2 1D ・—2解析: 2 x 2 1 x+1 x 1 x+1 x 1 x+1 _2x 1 x+1 x 1 ? x 1 =2. 故选A. xx 2 4x 4x x 2 2x 2 x 1 x 4~2x x 2 x 4x 42=(x 2)(x 2) x(x 1) x 4x 4 x(x 2) x 4 =x 2 4 x 2 x (x 2)2x(x 2) x 42= x 4 (x 2) = x 2x(x 2) x 4 x '由3x 7 1，解得x 2. 又X 为负整数，所以x 1.当x 1时，原式=斗3・丿 1点评：分式的化简求值，要根据所给式子的 特点，按照分式化简的步骤化简，最后代值计算. 考点5科学记数法例6 (2013年茂名)PM2.5是指大气中直径 小于或等于 2.5卩m (0.000 002 5 m )的颗粒 物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒 物.将0.000 002 5用科学记数法表示为() A . 25X 107 B . 2.5 X 106 C. 0.25 X 10 5 D . 2.5 X 106 解析：0.000 002 5=2.5 X 10—6.故选 B. 解.解:点评：把一个数写成a X 10n的形式(其中K a V 10，n为整数)，称为科学记数法当原数的绝对值》10时，n 为正整数，n 等 于原数的整数位数减1;当原数的绝对值v 1时， n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个 非0数前0的个数（含整数位数上的0）.考点6解分式方程解：方程两边乘（x + 2）（X —2）,得x + 2 （x — 2）— x + 2.解得x — 3.检验：当 x — 3 时，（x + 2）（x — 2）工0. 所以，原分式方程的解为x — 3.点评：解分式方程的基本思想是"化分式方 程为整式方程”，解分式方程后一定要注意检验.考点7根据方程的解确定字母的值或取值 范围例8（2013年扬州）已知关于 x 的方程 竺』2的解是负数，贝I 」n 的取值范围2x 1 为 _________例7（2013年资阳）解方程 xI 2 — 1 ~2~ 解析：化简方程 3x n 2x 1 2，得 x=n — 2.根据题意，得x<0且2x+1工0,所以n —2<0 且2 （n —2）+1工0,解得n 2且n |.点评：解含有字母系数的分式方程时，通常先化为整式方程，把未知数用其他字母表示，进而求解.要注意分式方程增根的存在•考点8列分式方程解应用题例9 （2013年湘西）吉首城区某中学组织学生到距学校20 km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道"骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的解：设骑自行车学生的速度为x km/h，则汽车的速度为2x km/h.解得x =20.经检验，x =20是原方程的解，且符合题意. 答：骑自行车学生的速度为20 km/h . 点评：分析题意，弄清楚已知量与未知量之 间的关系，得到等量关系式，进而引进未知数， 列方程解决问题• 三、误区点拨易错点1分式的基本性质理解不深 例1若A B 为不等于0的整式，则下列各式成立的是（A. A 算（E为整式）B B E为整式) C A A X 21' B B x 2 1D.错解：选A 或D.剖析：分式的基本性质是分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0的 整根据题意， 得20x20 2x) B.(E式，分式的值不变•所以B选项明显不正确；A选项和D 选项中E和（x 1）2均可能为零，所以A, D选项错误；C选项中x2 i i，C选项正确.正解：选C.易错点2忽视分母不为0的条件例2若方程一o，则x —•____________________x 2x 8错解：填土 4.剖析：若分式的值为0,则分子为0且分母不为0,所以x 4 0，且x2 2x 8 0，则x 4.错解未考虑分式的分母不为0.正解：填-4.易错点3轻易约分例3 x取何值时，分式x 2有意义？x 2 x 3错解：原式丄.由x 3 0，得x 3.所以当x 3x 3时，分式x 2 x 3有意义.剖析：错解约去分母中的x 2，但无法确定x 2不为零，使得未知数x 的取值范 围扩大，导致漏解.正解：由(x+2)(x+3) 0,得x 2且x 3.所 以当x 2且x 3时，分式rrir 有意义•易错点4分式的运算顺序错误 例4计算——gx 1.x 1 x 1错解：原式=三* —x 1 x 1 x 1剖析：分式的乘除运算是同一级运算，应按 照从左向右的顺序依次计算，不可因为计 算简便而颠倒顺序，导致结果出现错误2 2正解：原式=^ — gx 1亠x 1 xx 1易错点5分式的增根认识不清 例5若关于x 的方程1 ox 1的值为 ________ .错解：原方程两边乘(x-1 ),得ax+1- (x-1 ) =0.解得x=」.a 12x 2 4x 2x 1有增根，则a因为原分式方程有增根，所以x-1工0,即x M 1.所以Y 1，解得a M -1.a 1剖析：分式方程的增根应是最简公分母分母为0的x值，即x=1而不是x丰1.正解：原方程两边乘（x-1），得ax+1-（x-1）=0.解得x=a 1因为原分式方程有增根，所以x-仁0,即x=1.所以Y 1，解得a=-1.a 1四、跟踪训练21.（2013年攀枝花）若分式J的值为0,x 1则实数x的值为 ______ .2. （2013年永州）钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4.3平方公里，最小的岛是飞濑岛, 面积约为0.000 8平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为平方公里.3. （2013年大连）化简: 2 X2 2xx 14. （2013年德阳）已知关于x的方程2x mx 2的解是正数，则m的取值范围是____________5. (2013年盘锦)小成每周末要到距离家5 千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍•设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意列方程为 ____________ .6. (2013年宁夏回族自治区)解方程亠匚1.x 2 x 3解：方程两边乘(x — 2 ) ( x+3 ),得6(x 3) x(x 2) (x 2)(x 3).解得x=彳.检验：当x=彳时，(x —2)( x+3)H 0.3所以，原分式方程的解为x= J37. ( 2013年普洱)先化简，再求值：2心旦，其中a=2013.a a a 12 22a 2 a 2a 1 a =2(a 1) a a —2a aa a2 a 1 a (a 1)2 a 1 a 1 a 1—2a a — a7. 解:a 1 a 18. (2013年三明)兴发服装店老板用 4500当a —2013时，原式=誥=2013元购进一批某款式T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完.老板又用4950元购进第二批该款式T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元.(1)第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？(2)老板以每件120元的价格销售该款式4T恤衫，当第二批T恤衫售出5时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？(利润=售价一进价)。
人教版数学八年级上册 第十五章 分式(小结与复习)课件
ab
4.计算：
（1）
x
2
4
4
x
1
2
原式=
4 ( x 2) x2 4
= 1
x2
（2）
x
2
x2
y2 2x
1
3x2 x
3 xy 1
原式= ( x y)( x y)· x 1
( x 1)2
3x( x y)
=
x y 3x( x 1)
= x y
3x2 3x
解得 : x 1 2
经检验，x 1
2
是原原分式方程的解;
练一练
(2)某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到机场 的轻轨铁路．实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提 前5个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间是多少个月．
解：设原计划完成这一工程的时间为x个月，则
练一练
1.
已知
x y
2 3
，
求 x2
x2 y2 2xy
y2
xy y2 2x2 2xy
的值.
解:
由
x2 y3
，得
x2y 3
，
x2 y2 xy y2 x2 2xy y2 2x2 2xy
(x
y)(x (x y)2
y)
2x(x y) y(x y)
本题还可以由已知 条件x=2m， y=3m.
(1 20%) 1 1 x x5
，解得: x=30.
经检验，x=30是原方程的根．
答：原计划完成这一工程的时间是30个．
专题复习
专题五 本章数学思想和解题方法
主元法
例5.(1)已知： 2a b 3 a 2b 14
人教版八年级上册第15章15.3《分式方程复习课》教学设计
《分式方程复习》教课方案南宫第二中学陈建文本节课复习的主要内容是分式方程的观点、解法及应用 ||，是对分式方程单元学习的梳理、概括、深入和稳固 .解分式方程的基本思想是经过“转变”||，将分式方程转变为一元一次方程||，所以也是对一元一次方程的复习. 分式方程是将详细问题数学化的重要模型||，经过复习能够帮助学生更好的形成成立数学模型的意识||，加强数学与生活的亲密关系.||，增根的出现也将会使学生对字母表示数有更进一步的理解||，所以本节复习可起到稳固基础||，提高认识的作用 .教课目的知识与技术会解分式方程 ||，能列分式方程解决实质问题理解增根的含义 ||，能用增根的观点解决问题.过程与方法经过详细实例 ||，联合利用分式方程解决实质问题的实例||，进一步领会方程是刻画实质问题数目关系的一种重要模型.感情态度与价值观在问题解决的过程中进一步细解转变的数学思想和训练好规范解题的习惯.浸透数学的转变思想 ||，培育学生的应企图识.经过层层深入的列分式方程解决实质问题的练习||，经历“实质问题—成立分式方程模型—求解—解说解的合理性”的过程||，发展学生剖析问题、解决问题的能力||，培育应企图识 .教课要点分式方程的解法以及列分式方程解决实质问题.教课难点对分式方程增根的理解与运用难点诊疗：其一 ||，解分式方程较之解整式方程对学生来讲难度加大 ||，在将分式方程转变为整式方程的过程中 ||，简单出现去分母时漏乘整式项、符号变化错误等 .其二 ||，学生对于解分式方程时产生增根的原由有迷惑 ||，解整式方程的思想定势对于解分式方程的步骤、查验等会有负迁徙 .复习本单元知识时 ||，将以层层深入的练习为主线 ||，经过优选典型例题 ||，裸露学生的思想 ||，发现学生在学习过程中的问题和迷惑 ||，一方面稳固基础知识||，一方面解决新问题 ||，促使学生在该知识点的发展 ||，帮助学生形成完好的知识构造||，达到复习的目的 .同时将有效利用信息技术 ||，帮助学生剖析问题 ||，指导解题方法 ||。
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第十五章分式全章小结（一）综合复习
教学设计
教学目标
1、进一步理解分式的概念，掌握分式有意义、值为零的条件。
2、进一步理解并掌握分式的基本性质。
3、能运用分式的加、减、乘、除法则正确地进行计算。
4、能力目标：进一步培养学生的运算能力及有条理地思考问题的能力。
重难点、关键
1．重点：通过理解分式的基本性质，掌握分式的运算、应用．
2．难点：分式的通分以及分式方程的“建模”．
3．关键：把握分式的基本性质，领会算理．
一、知识结构
二、重要知识与规律总结 （一）概念 1、分式：
A
B
（A 、B 为整式，B ≠0） 2、最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积。
3、分式方程：分母中含有未知数的方程。
（二）性质
1、分式基本性质：A A M A M
B B M B M
⨯÷==⨯÷（M 是不等于零的整式）
2、幂的性质：
零指数幂：0a =1（a ≠0）
负整指数幂：1
n
n
a a -=
（a ≠0，n 为正整数） 科学记数法：a ×10n ，1≤| a |＜10，n 是一个整数。
（三）分式运算法则
分式乘法：将分子、分母分别相乘，即a c ac
b d bd
= 分式除法：将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即
a c a d ad
b d b
c bc
÷=⨯= 分式的加减：（1）同分母分式相加减：a
c a c
b b b
±±= ； （2）异分母分式相加减：a c ad bc ad bc b d bd bd bd
±±=
±= 分式乘方：()n
n n a a b b
=（b ≠0）
（a≥0，b＞0）
1、解题思想：分式方程转化为整式方程。
2、转化方法：去分母（特殊的用换元法）。
3、转化关键：正确找出最简公分母。
4、注意点：注意验根。
三、学习方法点拨
1、两个整数不能整除时，出现了分数；类似地，两个分式不能整除时，就出现了分式。
因此，整式的除法是引入分式概念的基础。
2、分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似，因而在学习过程中，要注意不断地与分数的情形进行类比，以加深对新知识的理解。
3、解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉，从而将分式方程转化为整式方程来解，这时可能会出现增根，必须进行检验。
学习时，要理解增根产生的原因，认识到检验的必要性，并会进行检验。
4、由于引进了零指数幂和负整指数幂，绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示
四、布置作业：课本第15章复习题
五、教学反思：通过本节课的强化复习，首先让学生系统的综合本章
主要内容，明确重难点和考察点，了解分式的运算在本章的重要性。
从学生的作业练习中还是能发现基础原因导致的练习跟不上或是运算马虎，因此之后的教学之余要经常练，反复练。
在运算过程中，要注意部分学生将分式的运算与解分式方程混为一谈，不加思索地将分式的运算中的分母去掉，造成运算的不合理，在教学中要注意到发展学生的合情推理能力。