求通项公式的几种方法

求通项公式的几种方法

山东 徐美春 聂洪玉

数列的通项公式是研究数列的重要依据，下面介绍几种求数列通项公式的方法．

一、观察法

已知一个数列的前几项，观察其特点，写出通项公式．

例1 观察下列数的特点，写出每个数列的一个通项公式．

（1）2121325，，，； （2）2345381524

--，，，． 解：（1）21

n a n =+； （2）21(1)(1)1n n n a n +=-+-．

二、由{}n a 的前n 项和n S 与n a 间的关系，求通项

已知数列{}n a 的通项公式，可以求出{}n a 的前n 项和123n n S a a a a =++++；反过来，

若已知{}n a 的前n 项和n S ，如何求n a 呢？

1211121(2)n n n n n S a a a a S a a a n ---=++++=+++，∵≥，

当1n =时，11a S =；当2n ≥时，1n n n a S S -=-，

故11(1)(2).n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩， ≥ 此处应注意1n n n a S S -=-并非对所有的n *∈N 都成立，而只对当2n ≥且为正整数时成 立，因此由n S 求n a 时必须分1n =和2n ≥两种情况进行讨论．

例2 设数列{}n a 的前n 项和23()n S n n n *=-∈N ，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1n =时，2113112a S ==⨯-=；

当2n ≥时，22133(1)164n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-．

此式对1n =也适用．

64()n a n n *∴=-∈N ．

点评：利用数列的前n 项和n S 求数列的通项公式n a 时，要注意1a 是否也满足 1(2)n n n a S S n -=-≥得出的表达式，若不满足，数列的通项公式就要用分段形式写出．

三、利用公式求通项公式

已知一个数列是特殊的数列，只要求出首项和公差代入公式即可求出通项．

例3 等差数列的前n 项和记为n S ，已知10203050a a ==，，求通项n a ．

解：101930a a d =+=∵， ①

2011950a a d =+=， ②

②－①，得10202d d ==，．代入①，得112a =．

210n a n ∴=+．

四、利用递推关系，求通项公式

根据题目中所给的递推关系，可构造等差数列或采取叠加，叠乘的方法，消去中间项求通项公式．

例4 根据下列条件，求数列的通项公式()n a n *∈N ．

（1） 数列{}n a

中，212)n n a a a n -==+≥；

（2） 数列{}n a 中，1113n n a a a n +==-，；

（3） 数列{}n a 中，1111

n n n a a a a n +==++，． 解：（1

）因为21a a =

12a a =-=

又1n n a a --{}n a

所以(n a n =-．

（2）因为13n n a a n +-=-，所以2131a a -=-⨯，3232a a -=-⨯，4333a a -=-⨯，， 13(1)n n a a n --=--．

将上面1n -个式子叠加，得21(1)33(1231)3()22

n n n a a n n n --=-++++-=-⨯=--， 所以223331()1222

n a n n n n =--=-++． （3）由11n n n a a a n +=++，变形为121n n

a n a n ++=+， 2132

a a ∴=，321413n n a a n a a n -+==，，． 将上面的式子叠乘，得112

n a n a +=． 1(1)2

n a n ∴=+．

五、两式相减，消项求通项

例5 数列{}n a 满足12323(1)(2)n a a a na n n n +++

+=++，求n a ． 解：由题意123123(1)(1)(1)(2)n a a a n a n n n n -++++-=-+≥，

又12323(1)(2)n a a a na n n n ++++=++， 两式相减，得3(1)n na n n =+． 3(1)n a n ∴=+． 又1n =时，也适合上式，3(1)n a n ∴=+．

总之，求数列通项公式的方法有很多，同学们要在实践中注意总结，寻找解题规律．