必修一幂函数(含答案)

2.7幂函数

一、幂函数定义的应用

〖例1〗已知函数f(x)=(m 2-m-1)x -5m-3,m 为何值时，f(x)：

(1)是幂函数；

(2)是幂函数，且是(0，+∞)上的增函数；

(3)是正比例函数；

(4)是反比例函数.

〖例2〗已知y=(m 2+2m-2)·211m

x -+(2n-3)是幂函数，求m 、n 的值.

二、幂函数的图象与性质

〖例1〗已知

点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．定义()()()()()()()≤⎧⎪=⎨>⎪⎩f x f x g x h x g x f x g x ，，，．

试求函数h(x)的最大值以及单调区间.

〖例2〗 已知函数2245()44

x x f x x x ++=++ （1） 求()f x 的单调区间；

（2） 比较()f π-

与(2

f -的大小

（二）幂函数的性质与应用

【例1】(1)试比较0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的大小.

(2)已知幂函数y=x 3m-9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，+∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足()()--+<-m

m

33a 132a 的a 的取值范围.

三、幂函数中的三类讨论题

〖例1〗已知函数

223()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定

()f x 的解析式．

例2已知函数2()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()

g x 在区间

(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，

上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

例3讨论函数2221()k k y k k x --=+在0x >时随着x 的增大其函数值的变化情况．

【高考零距离】

（2010陕西文数）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是

[] （）幂函数 （）对数函数 （）指数函数 （）余弦函数

【考点提升训练】

一、选择题(每小题6分，共36分)

1.(2012·西安模拟)已知幂函数y=f(x)通过点(2,22)，则幂函数的解析式为( ) ()y=212x ()y=1

2x ()y= 32x ()y=521x 2

2.函数y=1x

-x 2的图象关于( ) ()y 轴对称 ()直线y=-x 对称

()坐标原点对称

()直线y=x 对称 3.已知(0.71.3)m ＜(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是( )

()(0，+∞)

()(1，+∞) ()(0，1) ()(-∞,0) 4.已知幂函数f(x)=x m 的部分对应值如表，则不等式f(|x|)≤2的解集为( )

x 1 12

f(x) 1

22 (){x|0

(){x|－2≤x ≤2} (){x|－4≤x ≤4}

5.设函数f(x)=x 1()7,x 02,x,x 0⎧-⎪⎨⎪≥⎩

＜若f(a)＜1，则实数a 的取值范围是( )

()(-∞,-3) ()(1，+∞) ()(-3，1) ()(-∞,-3)∪(1,+∞)

6.(2012·漳州模拟)设函数f(x)=x 3,若0≤θ≤

2π时，f(mcos θ)+f(1-m)＞0恒成立，则实数m 的取值范围为( )

()(-∞,1) ()(-∞,

12

) ()(-∞,0) ()(0,1)

二、填空题(每小题6分，共18分)

7.(2012·武汉模拟)设x∈(0,1)，幂函数y=x a的图象在直线y=x的上方，则实数a的取值范围是__________.

8.已知幂函数f(x)=

1

2

x-，若f(a+1)＜f(10-2a)，则a的取值范围是_______.

9.当0

三、解答题(每小题15分，共30分)

10.(2012·宁德模拟)已知函数f(x)=x m-2

x

且f(4)=

7

2

.

(1)求m的值；

(2)判定f(x)的奇偶性；

(3)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给予证明.

11.（易错题）已知点(2，4)在幂函数f(x)的图象上，点(1

2

，4)在幂函数g(x)的图象上.

(1)求f(x)，g(x)的解析式；

(2)问当x取何值时有：①f(x)＞g(x);

②f(x)=g(x);③f(x)＜g(x).

【探究创新】

(16分)已知幂函数y=f(x)=

2

p3

p

22

x-++(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数，且是偶函数.

(1)求p的值并写出相应的函数f(x)；

(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)=-qf(f(x))+(2q-1)f(x)+1.

试问：是否存在实数q(q＜0)，使得g(x)在区间(-∞,-4]上是减函数，且在(-4，0)上是增函数；若存在，请求出来，若不存在，说明理由.