正切函数的图像和性质讲义和习题
正切函数图像和性质讲解
例3、比较下列每组数的大小。
① tan 1，tan 2，tan 3
② tan( 11 ) 与 tan( 13 )
4
5
例4、根据正切函数的图象，写出
使下列不等式成立的x的取值集合
(1) tan x 1
(2) tan x 3
• 课堂小结：
• 正切函数性质的研究方法跟正弦函数和余弦 函数性质研究方法一样。主要利用函数图象 观察出函数的性质，所以三角函数图象是基 础，图象是性质的形象体现。牢记以形助记， 以形助思
1.我们分析一下正切函数 y = tan x 的周期。
解：Q f (x ) tan(x ) tan x f ( x)
y tan x 是周期函数，
是它的一个周期。
2 、3 、 、2 、3
也是 y tan x 的周期。
显然最小正周期是：
• 注意（1）单调性：利用单调性比较大小时， 应使自变量在同一单调区间内
（2）求单调性、奇偶性、周期性时要化 简，但不要忘记对定义域的讨论。
练习：书P72 1- 6
作业：P73 1- 6
源码论坛 / cpi594uyr
的图象。
2
正切函数的图象叫做正切曲线。图象特征： 二、正切函数的性质
请同学们结合图象研究正切函数的性质：定义域、值域、
周期性、奇偶性和单调性。
图象
正切函数y=tanx的性质
正切曲线
y
3
2
2
2
O
3
2
x
定义域 值域 周期性 奇偶性
单调性
{ x | x k , k Z }
22
然后,分别作出：
正切函数的性质与图像 课件
4
2
1 –/2 0 /2x
3
x
2
,
3xk来自2,k
3
k
Z
3 3 tan x 3
3
例3、比较下列每组数的大小。
(1) tan167 与tan173
（2）tan(11
4
)
与
tan(13
5
)
方法归纳： 利用诱导公式把相应的角 化到y=tanx的同一
单调区间内，再利用y=tanx的单调性解决。
例4.求下列函数的周期.
f x tanx tan x f x
∴ y tan x是周期函数， 是它的一个周期．
我们先来作一个周期内的图象。 想一想：先作哪个区间上的图象好呢？
( , )
22
二、探究用几何法作正切函数图象
问题2、如何利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
，
22
的图像？
大家试一试：利用单位圆把点（ 3
，tan
3
）
表示在直角坐标系中。
角 的终边 Y
T3
（
3
，tan
）
3
A
0
X
3
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
2
，
2
的图像:
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线
(3) 平移 (4) 连线
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
说明：函数具有奇偶性的必要条件之一是定义域 关于原点对称，故验证f（-x）=f（-x）或 f（-x）= -f（x）成立前，要先判断定义域 是否关于原点对称.
正切函数的性质与图象 课件(34张)
数学
[问题1-4] 结合正切函数的图象.你能判断一下它的单调性吗?
提示:在每一个开区间(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上都单调递增.
梳理
正切函数y=tan x的性质与图象
y=tan x
图象
数学
定义域
{x|x∈R,且 x≠kπ+ ,k∈Z}
R .
值域
周期
最小正周期为 π .
奇偶性
奇函数 .
单调性
在开区间
(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)
内递增
数学
小试身手
1.函数 y=tan 2x 的周期为( A
)
(A)
(B)π
(C)2π
(D)4π
解析:由题意可知,函数 y=tan 2x 的周期为 T= .故选 A.
数学
2.函数 f(x)=3tan(x+π)是( A
)
x 的范围即可.②若ω<0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ωx+ )中 x 的系
数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的取值范围即可.
(2)比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区
间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
数学
备用例题
数学
5.4.3
正切函数的性质与图象
数学
核心知识目标
核心素养目标
1.了解正切函数图象的画法,理解
通过利用正切函数的图象与性质
5.4.3 正切函数的性质与图象7题型分类(学生版)2025学年高一数学同步知识题型讲义(人教必修一
5.4.3 正切函数的性质与图象7题型分类一、正切函数的图象二、正切函数的性质1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ，2．值域：R3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-．5．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增三、正切函数型tan()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的性质1、定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2x k k z πωϕπ+≠+∈解得x ．2、值域：(),-¥+¥3、单调区间：（1）把“x ωϕ+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2y x x k k z ππ=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围．4、周期：T πω=（一）正切函数的定义域、值域问题(1)求正切函数定义域的方法①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z.②求正切型函数y ＝A tan (ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x . (2)求正切函数值域的方法①对于y ＝Atan (ωx ＋φ)的值域，可以把ωx ＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域．②对于与y ＝tan x 相关的二次函数，可以把tan x 看成整体，利用配方法求值域（二）正切函数的图象问题熟练掌握正切函数的图象和性质是解决与正切函数有关的综合问题的关键，需注意的是正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． 题型3：正切函数的图象及应用3-1．（2024高一上·宁夏银川·期末）函数()2tan f x x x =×（11x -<<）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3-2．（2024高二下·浙江丽水·期中）函数3()3tan f x x x =-在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3-3．（2024高一上·全国·课后作业）画出函数|tan |y x =的图象．(1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性；(2)求不等式|tan |1x £的解集．3-4．（2024高一上·广东·期末）若函数tan()(0)y x ϕϕ=-³的图象与直线πx =没有交点，则ϕ的最小值为（ ）A ．0B ．π4C ．π2D ．π3-5．（2024高一·全国·课堂例题）观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x 的集合．(1)满足tan 0x =的集合．(2)满足tan 0x <的集合．(3)满足tan 0x >的集合．（三）正切函数的单调性及其应用(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝tan(ωx ＋φ)的单调区间的方法y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．题型4：正切函数的单调性及其应用4-1．（2024高一下·全国·单元测试）函数tan 36y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调区间是（ ）A ．πππ,π()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．2,()99k k k ππ⎛⎫π-π+∈ ⎪⎝⎭Z C ．2,()3939k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．2,()3939k k k ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭Z 4-2．（2024高一·全国·课后作业）已知函数tan y x ω=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是严格减函数，则实数ω的取值范围是 ．4-3．（2024高一·全国·课堂例题）函数πtan 34y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为．4-4．（2024高三·全国·专题练习） π3tan 64x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为 .4-5．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知函数π()tan()(0)3f x A x ωω=+>，若f x （）在区间ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递减，（四）正切函数的奇偶性与周期性与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．A ．cos y x=B ．sin y x =C ．sin2y x =D ．tan2y x=6-4．（2024高一上·全国·课后作业）已知()tansin 42xf x a b x =-+（其中a b 、为常数且0ab ≠），如果()35f =，则2010()3f π-的值为（ ）A ．3-B ．3C ．5-D ．56-5．（2024高三上·陕西·阶段练习）已知函数()5tan 3f x x x =+-，且()2f m -=-，则()f m =（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．46-6．（2024高一下·山东潍坊·期中）已知()2023sin 2024tan 1f x x x =+-，()()()()()21012f f f f f -+-+++=.（五）正切函数的对称性正切曲线的对称中心为(k π2，0)(k ∈Z)，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围．题型7：正切函数的对称性7-1．（2024高一下·辽宁铁岭·阶段练习）函数1π()3tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心为.7-2．（2024高一下·辽宁·阶段练习）已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为2π3，其图像的一个对称中心的坐标为π,04⎛⎫⎪⎝⎭，则曲线()()tan g x x ωϕ=+的对称中心坐标为（ ）A ．ππ,0312k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈ZB ．ππ,0612k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈ZC ．ππ,0312k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈ZD ．ππ,0612k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z7-3．（2024·江苏扬州·模拟预测）以点π,0()2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z 为对称中心的函数是（ ）．A ．sin y x =B ．cos y x =C ．tan y x=D ．|tan |y x =一、单选题1．（2024高一上·福建漳州·期末）函数ππ()tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调区间是（ ）A ．512,2(Z)33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭B ．512,2(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．514,4(Z)33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．514,4(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦2．（2024高一下·内蒙古包头·期末）函数πtan 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是（ ）A ．5ππ,Z 122k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．5ππ,Z 12x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．ππ,Z 32k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．ππ,Z 3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭3．（2024高三上·山西晋中·阶段练习）函数()πtan 2xf x =的最小正周期是（ ）A ．2πB ．4πC ．2D ．44．（2024高二下·湖南·学业考试）函数tan y x =在一个周期内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2024·河南·模拟预测）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2=-+f x f x ，且函数()1f x +的图象关于()1,0-对称，当[]1,1x ∈-时，()tan =f x x .则下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 对称B ．函数()y f x =的图象关于直线()2x k k =∈Z 对称C ．函数()y f x =的最小正周期为2D ．当[]2,3x ∈时，()()tan 2f x x =-6．（2024高一下·北京·期中）函数()tan sin tan sin f x x x x x =--+-|在区间（π2，3π2）内的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2024高一·全国·课后作业）下列各式中正确的是（ ）A ．tan1tan 2>-B ．tan 735tan 800°>°C ．5π4πtantan 77>D ．9ππtantan 87>8．（2024高一下·河南平顶山·阶段练习）函数()πtan 27f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的对称中心可能是( )A ．π,07⎛⎫⎪⎝⎭B ．π,07⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．π,014⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,014⎛⎫- ⎪⎝⎭9．（2024高一下·上海·课后作业）已知函数tan y x ω=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，则ω的取值范围为（ ）A ．()2,0-B ．[)1,0-C ．(]0,1D ．[]1,210．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数()π2sin 2πZ 3=πtan πZ3x x k k f x x x k k ⎧≠+∈ïï⎨ï=+∈ï⎩，，，，，若方程()f x =在()0m ，上恰有5个不同实根，则m 的取值范围是（ ）A ．7463⎛⎤⎥⎝⎦ππ，B ．71936⎛⎤ ⎥⎝⎦ππ，C ．51336⎛⎤ ⎥⎝⎦ππ，D ．13763⎛⎤⎥⎝⎦ππ，11．（2024高三·全国·对口高考）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当()0,1x ∈时，()t πan 2f x x=，则()f x 在[0,5]上的零点个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．（2024高二下·湖南·阶段练习）若π0,3q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2tan q + ）A ．B 2+C 52D 13．（2024·宁夏银川·模拟预测）若π()tan3n f n =，（*n ∈N ），则(1)(2)(2023)f f f ++×××+=（ ）A ．BC ．0D ．-14．（2024高一下·河北衡水·阶段练习）函数()π26f x x m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在π,12n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为1-，则mn =（ ）A ．π6B ．π3C ．π6-D ．π3-15．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．CD 二、多选题16．（2024高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 的定义域为ππ,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．ππ44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减17．（2024高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数()tan 2f x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 的最小正周期是πC ．函数()f x 在ππ(,)44-上单调递增D ．函数()f x 图象的对称中心是π(,0)(Z)4k k ∈18．（2024高三上·山东·开学考试）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．π3π510f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 的定义域为ππ,Z 3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭19．（2024高一下·四川成都·期中）已知函数()ππtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列描述中正确的是（ ）．A ．函数()f x 的图象关于点1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称B ．函数()f x 的最小正周期为2C ．函数()f x 的单调增区间为514,433k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD ．函数()f x 的图象没有对称轴20．（2024高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为πC ．把()f x 向左平移π6可以得到函数()tan 2g x x =D ．()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增21．（2024高一下·辽宁沈阳·期中）已知函数()πtan 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列叙述中，正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于点0π4,⎛⎫⎪⎝⎭-对称B ．函数()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称D ．函数()y f x =是偶函数22．（2024高一下·安徽芜湖·期中）下列坐标所表示的点是函数πtan 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的对称中心的是（ ）A ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭23．（2024高一下·全国·单元测试）下列说法中正确的是（ ）A ．对于定义在实数R 上的函数()f x 中满足()()2f x f x +=，则函数()f x 是以2为周期的函数B ．函数()πtan 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为5πππ,π66k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．函数()πsin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数D ．角a的终边上一点坐标为(-，则cos a =24．（2024高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A．π6f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C ．()f x 图象的对称中心为()ππ,0Z 68k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()f x 的定义域为ππ,Z 122k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣三、填空题25．（2024高一下·辽宁锦州·期中）()tan sin 1f x x x =++，若()22f =，则()2f -= ．26．（2024高一下·广东阳江·期末）已知πtan 4a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭a = ．27．（2024高一下·上海徐汇·期中）函数2()tan tan 2,,44f x x x x ππ⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦的值域是28．（2024高二上·广西崇左·开学考试）若函数πtan 23y x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为 .29．（2024高一下·上海·课后作业）函数2tan 2tan ,,64⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ的值域为．30．（2024高一·全国·课后作业）若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是 ．31．（2024高一·上海·专题练习）函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为32．（2024高一下·上海静安·期中）函数ππtan 63y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是．33．（2024高一下·湖北·期中）已知函数()πππ,222ππtan ,22a x x x f x x x ⎧+£-³ïï=⎨ï-<<ï⎩或，若函数()3π2y f f x ⎡⎤=-⎣⎦有5个零点，则实数a 的取值范围是 ．34．（2024高一下·全国·课后作业）已知函数tan y x ω=-在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，则ω的取值范围是 ．35．（2024高一上·江苏徐州·期末）已知函数()()tan 4f x nx n π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭Z 在区间3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则n 的取值集合为 .（用列举法表示）36．（2024·全国·模拟预测）若函数tan 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为ω=.37．（2024高一下·上海浦东新·期中）若函数tan()y x ω=在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为严格减函数，则实数ω的取值范围是 ．四、解答题38．（2024高一·全国·课后作业）已知()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x ϕ+是奇函数，则ϕ应满足什么条件？并求出满足||2ϕπ<的ϕ值.39．（2024高一下·辽宁抚顺·期中）已知函数()()π2tan 08f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π2，(1)求()f x 图象的对称中心；(2)求不等式()2f x >-在5π3π,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭上的解集．40．（2024高一·全国·课堂例题）画出函数1π2tan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[0,2π] x ∈上的简图．41．（2024高一下·江西抚州·阶段练习）设函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，已知函数()y f x =的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点π,08M ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.(1)求()f x 的单调区间；(2)求不等式()1f x -££的解集.42．（2024高一·全国·课后作业）已知函数()y f x =，其中()()tan f x A x ωϕ=+，（0ω>，π2ϕ<），()y f x =的部分图像如下图．(1)求A ，ω，ϕ的值；(2)求()y f x =的单调增区间，43．（2024高一下·上海·课后作业）已知函数()()0xf x πωω=>．（1）当4ω=时，求()f x 的最小正周期及单调区间；（2）若()3f x …在,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立，求ω的取值范围．44．（2024高一·全国·课后作业）已知函数π()tan 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0ω>．(1)若2ω=，求()f x 的最小正周期与函数图像的对称中心；(2)若()f x 在[]0,π上是严格增函数，求ω的取值范围；(3)若方程()f x =在[],a b 上至少存在2022个根，且b －a 的最小值不小于2022，求ω的取值范围．45．（2024高一下·上海虹口·期末）已知函数()πtan 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0ω>.(1)若2ω=，求函数()f x 的最小正周期以及函数图象的对称中心；(2)若()f x 在闭区间[]0,π上是严格增函数，求正实数ω的取值范围.。
正切函数的图像和性质 (同步练习)(教师版)
正切函数的图像和性质 （同步练习）基础巩固训练一、选择题1．下列关于函数tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的说法正确的是( )A ．在区间5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称D ．图象关于直线6x π=成轴对称2．函数tan 1cos xy x=+的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数 3．下列各式中正确的是( )A ．43tantan77ππ> B ．1317tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．tan4tan3>D ．tan 281tan665>4．函数()tan f x x ω=()0ω>的图象的相邻两支截直线4y π=所得线段长为4π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是( ) A ．0B ．1C ．－1D.4π5．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象是( )二、填空题6．已知()sin tan 1f x a x b x =++满足75f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则995f π⎛⎫⎪⎝⎭＝________. 7．设点()00,P x y 是函数tan y x =与0x y +=，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭图象的交点，则()()2001cos21x x ++的值是________．8．若tan 216x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是________．三、解答题 9．已知44x ππ-≤≤，()2tan 2tan 5f x x x =++，求()f x 的最大值和最小值，并求出相应的x 值．10．已知函数()2tan 3f x kx π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期T 满足312T <<，求正整数k 的值，并写出()f x 的奇偶性、单调区间．提升训练1．已知函数()22tan 1f x x θ=+-f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当6πθ=-时，求函数的最大值和最小值；(2)若()y f x =在区间⎡-⎣上是单调函数，求θ的取值范围．2．设函数()()tan f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭，已知函数()y f x =的图象与x 轴相邻两个交点的距离为2π，且图象关于点,08M π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称．(1)求()f x 的解析式； (2)求()f x 的单调区间；(3)求不等式()1f x -≤≤正切函数的图像和性质 （同步练习）基础巩固训练参考答案一、选择题 1．答案 B解析 对于A ，由232k x k πππππ-<+<+，k Z ∈k ∈Z .即566k x k ππππ-<<+，k Z ∈.当0k =时，函数的单调递增区间为5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当1k =时，函数的单调递增区间为7,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，函数的最小正周期为T π=，故B 正确；对于C ，由32k x ππ+=，k Z ∈，得23k x ππ=-，k Z ∈，即函数()f x 的对称中心为()23k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈，故C 错误；对于D ，正切函数没有对称轴，故D 错误．故选B. 2．答案 A解析 要使()f x 有意义，必须满足()21cos 0x k k Z x ππ⎧≠+∈⎪⎨⎪+≠⎩即2x k ππ≠+，且322x k ππ≠+()k Z ∈，∴函数()f x 的定义域关于原点对称． 又()()()()tan tan 1cos 1cos x xf x f x x x--==-=-+-+，∴tan 1cos xy x =+是奇函数．3．答案 C解析 对于A ，4tan07π<，3tan 07π>. 对于B ，13tan tan 144ππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1722tan tan tan tan 15554ππππ⎛⎫⎛⎫-=-=-<-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝－1. ∴1317tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.对于C ，tan40>，tan30<，故tan4tan3>. 对于D ，tan 281tan101tan665tan125=<=.4．答案 A解析 由题意，可知4T π=，所以44πωπ==，即()tan 4f x x =，所以tan 4tan 044f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.5．答案 D解析 当2x ππ<<时，tan sin x x <，2tan 0y x =<，排除A ，B.当32x ππ<<时，tan sin x x >，2sin y x =，排除C.故选D. 二、填空题 6．答案 －5解析 sin tan 17555f a b πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，∴sintan655a b ππ+=.∴9920sin tan 1sin tan 155555555f f f a b a b πππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+-+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭7．答案 2 解析 ∵点()00,P x y 是函数tan y x =与y x =-()0x >的图象的一个交点，∴2200tan x x =0. ∴()()()()22200002011cos 21tan 1cos 212cos 2cos xx x x x x ++=++=⨯=.8．答案 5,26224k k x x k Z ππππ⎧⎫-<≤+∈⎨⎬⎩⎭ 解析 ∵tan 216x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， ∴526224k k x ππππ-<≤+，k Z ∈. ∴5,26224k k x x k Z ππππ⎧⎫-<≤+∈⎨⎬⎩⎭. 三、解答题 9．解 ∵()()22tan 2tan 5tan 14f x x x x =++=++，∵,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴[]tan 1,1x ∈-． ∴()min 4f x =，此时tan 1x =-，4x π=-.()min 8f x =，此时tan 1x =，4x π=.10．解 因为312T <<，所以312kπ<<，即23k ππ<<.因为k N *∈，所以3k =，则()2tan 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由332x k πππ-≠+，k Z ∈得5318k x ππ≠+，k Z ∈，定义域不关于原点对称，所以()2tan 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是非奇非偶函数． 由3232k x k πππππ-<-<+，k Z ∈，得5318318k k x ππππ-<<+，k Z ∈.所以()2tan 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为5,318318k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈. 提升训练1．解 (1)当6πθ=-时，()22413f x x x x ⎛=-=-- ⎝⎭.∵x ⎡∈-⎣，∴当x =时，()f x 取得最小值43-，当1x =-时，()f x 取得最大值.(2)()()22tan 1tan f x x θθ=+--是关于x 的二次函数，它的图象的对称轴为直线tan x θ=-.∵()y f x =在区间⎡-⎣上是单调函数，∴tan 1θ-≤-或tan θ-≥即tan 1θ≥或tan θ≤又,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴θ的取值范围是,,2342ππππ⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.2．解 (1)由题意，知函数()f x 的最小正周期2T π=，即2ππω=.因为0ω>，所以2ω=.从而()()tan 2f x x ϕ=+．因为函数()y f x =的图象关于点,08M π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称， 所以282k ππϕ⎛⎫⨯-+=⎪⎝⎭，k Z ∈， 即24k ππϕ=+，k Z ∈.因为02πϕ<<，所以4πϕ=.故()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (2)令2242k x k πππππ-<+<+，k Z ∈，则32828k k x ππππ-<<+，k Z ∈， 所以函数的单调递增区间为3,2828k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈，无单调递减区间． (3)由(1)，知()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由1tan 24x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，得2443k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈.解得24224k k x ππππ-≤≤+，k Z ∈.所以不等式()1f x -≤≤,24224k k xx k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.。
高一数学正切函数的图像与性质综合同步讲义
课题 正切函数的性质与图象知识梳理：正切函数的图象和性质 （1）图象：如下图所示．（2）性质：如下表所示自主探究：仔细观察正切函数的图象，完成下列问题．（1）正切函数的图象有________条渐近线，它们的方程为x ＝__________（k ∈Z ）．相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．（2）正切函数的图象是中心对称图形，对称中心有________个，它们的坐标是__________（k ∈Z ）；正切函数的图象不是轴对称图形，不存在对称轴．（3）函数y ＝A tan （ωx ＋φ）（ω≠0）的周期是T ＝________．基础训练：1．讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质变式训练1．求函数y ＝tan2x 的定义域．值域和周期2．求函数y ＝2tan x 1－的定义域变式训练2． y3． 比较tan 27π与tan 107π的大小变式训练3． tan 65π与tan （－135π）例题分类精讲知识点一：与正切函数有关的定义域问题例1、求函数y ＝tan x ＋1＋lg （1－tan x ）的定义域。
回顾归纳 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线． 变式训练1．求下列函数的定义域．（1）y ＝11＋tan x ；（2）y ＝lg （3－tan x ）。
知识点二：正切函数的单调性及周期性例2、求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及周期．回顾归纳 y ＝tan （ωx ＋φ） （ω>0）的单调区间的求法即是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．变式训练2．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调区间及周期．例3、利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小． （1）tan ⎝⎛⎭⎫－6π5与tan ⎝⎛⎭⎫－13π7；（2）tan 2与tan 9．回顾归纳 比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可．正切函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z ．故在⎝⎛⎭⎫－π2，π2和⎝⎛⎭⎫π2，3π2上都是增函数． 变式训练3．比较下列两组函数值的大小．（1）tan （－1 280°）与tan 1 680°；（2）tan 1，tan 2，tan 3．课堂总结：1．正切函数y ＝tan x 在每段区间⎝⎛⎭⎫kπ－π2，kπ＋π2 （k ∈Z ）上是单调递增函数，但不能说正切函数在其定义域内是单调递增函数．并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间⎣⎡⎦⎤－π2＋kπ，π2＋kπ（k ∈Z ）．正切函数无单调减区间． 2．正切函数是奇函数，图象关于原点对称，并且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是⎝⎛⎭⎫kπ2，0（k ∈Z ）．正切函数的图象无对称轴，但图象以直线x ＝kπ＋π2（k ∈Z ）为渐近线．巩固训练 一．选择题1．函数y ＝2tan （34x π+）的最小正周期是 （ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π32．函数y ＝tan （123x π-）在一个周期内的图象是 （ ）3．下列函数的最小正周期为2π3的函数是 （ ）A ．y ＝tan 3xB ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫6x －π7C ．y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫23x －1D ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫32x ＋π34．下列函数中，在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，且以π为周期的偶函数是 （ ）A ．y ＝tan|x | B ．y ＝|tan x | C ．y ＝|sin 2x | D ．y ＝cos 2x5．函数f （x ）＝tan ωx （ω>0）的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是 （ ）A ．0B ．1C ．－1D ．π4二．填空题6．不等式tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－1的解集是____________。
正切函数的图像与性质(带答案)
正切函数图像及性质 知识点梳理函数y ＝tan x 的图象与性质 y ＝tan x π例1、求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝lg(3－tan x )．练习、求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.例3、求下列函数的周期（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42tan 3πx y （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=421tan 3πx y例4、求函数区间，对称中心的定义域、周期和单调⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx y练习1、求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的单调性、周期性；练习2、求函数的单调区间⎪⎭⎫⎝⎛+-=421tan 3πx y课堂练习1． 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是 ( )2.在区间(－3π2，3π2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点个数为( )A.1B.2C.3D.43．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是 ( )4.利用函数图象，解不等式－1≤tan x ≤33.5.下列说法正确的是( )A.y ＝tan x 是增函数B.y ＝tan x 在第一象限是增函数C.y ＝tan x 在每个区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数D.y ＝tan x 在某一区间上是减函数6.函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是 ( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z}C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z}D ．{x |x ≠k 2π，k ∈Z}7.直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( )A.π2B.2πC.πD.与a 值有关8.下列各式中正确的是( )A.tan 4π7＞tan 3π7B.tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＜tan ⎝⎛⎭⎫－17π5C.tan 4＞tan 3D.tan 281°＞tan 665°9.函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π4(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π2(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )10.已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为__________.11.函数y ＝2tan(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ＝________.12.若tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是________.13已知函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3.(1)求f (x )的定义域和值域.(2)讨论f (x )的周期性、奇偶性和单调性.14.求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3的值域.。
正切函数的图像和性质讲义和习题#(精选.)
正切函数的图像与性质【知识框架】正切函数的性质正切函数正切函数的图像1.正切函数图像画法：三点两线法2、正切函数图像与性质y t an x图像值域对称中心【典型例题】1例1.求yt an 3x 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。
例2.求函数 y 例3. 不求值比较下列各组数的大小：例4. 判断下列函数的奇偶性：t an 2 x t an x1 t an x xt an 2x x 4 y（2）（1） y 例5.例6.若函数 f (x)3y tanx t an x 2 的最值。
例7. 已知 x，求函数 2[ , ] 12 6例8. 若 x 时，例9. 函数 y的值域。
4y t an x【巩固练习】1. 函 数y =tan (2x +) 的 周 期 是6(B)2π2 42. 已 知a =tan1,b =tan2,c =tan3, 则a 、b 、c 的 大 小 关 系 是21(A) y =|tanx |tanx(C) y =tan x2x 4.函数的定义域是2(A){x |k π<x <k π+ ,k ∈Z}(B) {x |4k π<x <4k π+ ,k ∈Z}42(C) {x |2k π<x <2k π+π,k ∈Z}5.已 知 函 数 y =tan ωx 在 (- , )内 是 单 调 减 函 数 ,则 ω 的 取 值 范 围 是22α 、 β∈(,π) 且 tan α<tan β ， 那 么 必 有2( )2x 7.函数 y =2tan( -)的定义域是 3 2,周期是 ;8.函数 y =tan 2x -2tan x +3的最小值是 ; x 9.函数 y =tan( + )的递增区间是;23段 AB 长为 π；②直线 x =k π+ ,(k ∈Z)都是曲线的对称轴;③曲线的对称中心是2k( ,0),(k ∈Z),正确的命题序号为 .43 (2)tan()与 tan ( )8167x 13.求下列函数 )的周期和单调区间y t an(2 3522 B．的值域是（B．上是增函数；②为奇函数；③以，下列判断正确的个数是（是区间是区间是区间B．1C．向右平移D．向右平移个单位的一个对称中心是（C．B．0与函数B．2的最小正周期是____________．的定义域是_________．最新文件仅供参考已改成word文本。
高中数学北师大版必修4《第1章77.2正切函数的图像与性质》课件
7
思考 2：能否说正切函数在整个定义域内是增函数？ [提示] 不能．正切函数 y＝tan x 在每段区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈ Z)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．
8
1．若角 α 的终边上有一点 P(2x－1,3)，且 tan α＝15，则 x 的值为
的点都是对称中心．]
10
3．函数 y＝tan 2x 的定义域为________．
xx≠k2π＋π4，k∈Z
[由正切函数的定义知，若使 y＝tan 2x 有
意义，则 2x≠kπ＋2π(k∈Z)．解得 x≠k2π＋π4(k∈Z)．]
11
4．函数 y＝tan x，x∈0，4π的值域是________． [0,1] [函数 y＝tan x 在0，π4上是增加的，所以 ymax＝tanπ4＝1， ymin＝tan 0＝0.]
32
2．函数 f(x)＝tanx＋4π的单调递增区间 为( )
A．kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z C．kπ－34π，kπ＋π4，k∈Z D．kπ－π4，kπ＋34π，k∈Z
C [由 kπ－π2<x
＋π4<kπ＋2π，k∈Z.
解得
kπ
－
3π 4
<x<kπ＋π4，故选 C.]
35
∴当 k＝2 时，θ＝π3； 当 k＝1 时，θ＝－π6. ∴满足题意的 θ 为π3或－π6.
36
谢谢大家
14
1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即 tan α＝ba. 2．已知角终边上的一点 M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值， 或者已知角 α 的正切值，求角 α 终边上一点的坐标，都应紧扣正切函 数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．
《正切函数的图像与性质》 讲义
《正切函数的图像与性质》讲义一、正切函数的定义在直角三角形中，一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边的比值。
用数学语言表示，如果一个角为\（＼alpha\），其对边为\（a\），邻边为\（b\），那么\（＼tan\alpha ＝＼frac{a}｛b}＼）。
在平面直角坐标系中，对于任意角\（＼alpha\），如果\（＼alpha\）的终边上有一点\（（x,y)＼），那么\（＼tan\alpha ＝＼frac{y}｛x}＼）（＼（x\neq 0\））。
二、正切函数的定义域正切函数\（y ＝＼tan x\）的定义域为\（＼｛x|x ＼neq k\pi ＋＼frac{＼pi}｛2}， k ＼in Z\｝＼）。
这是因为当\（x ＝ k\pi ＋＼frac{＼pi}｛2}＼）时，角\（x\）的终边在\（y\）轴上，此时邻边\（x ＝0\），正切值\（＼tan x\）不存在。
三、正切函数的周期正切函数是一个周期函数，其最小正周期为\（＼pi\）。
这是因为\（＼tan(x ＋＼pi) ＝＼tan x\），对于任意\（x\），只要\（x ＋＼pi\）不在定义域的奇点处，这个等式都成立。
四、正切函数的奇偶性正切函数\（y ＝＼tan x\）是一个奇函数。
因为\（＼tan(x) ＝＼tan x\），满足奇函数的定义，即\（f(x) ＝ f(x)＼）。
五、正切函数的单调性正切函数在每个区间\（（k\pi ＼frac{＼pi}｛2}， k\pi ＋＼frac{＼pi}｛2}）＼），＼（k ＼in Z\）上都是单调递增的。
需要注意的是，不能说正切函数在整个定义域上是单调递增的，因为它的定义域是不连续的。
六、正切函数的图像正切函数的图像是由一系列的分支组成的。
1、渐近线正切函数的图像有无数条渐近线，其方程为\（x ＝ k\pi ＋＼frac{＼pi}｛2}＼），＼（k ＼in Z\）。
当\（x\）趋近于这些渐近线时，＼（＼tan x\）的值趋近于正无穷或负无穷。
正切函数图像和性质PPT课件.ppt
一、复习 1.正切曲线的几何做法 2.正切函数图像
二、正切函数的性质 1.
函数 定义域
值域
y=tanx
{x | x R且x k ,
2
k Z}
R,没有最大 值和最小值
函数
周期性 奇偶性 单调性
y=tanx
tan(x)
最小 tan x
正周 期为 奇函数 π
4
{z | z k , k Z}
2
由x z k , 可得
4
2
x k
4
所以函数 y tan(x )的定义域是
4
{x | x k , k Z}
4
练习：求函数的定义域
(1) y tan x 2
(2) y 1
分析：(1) x1ktanx
2 A.y tan x
B.y cos x
C.y tan x 2
D.y tan x
C.令 x ，则y tan
2
tan（ ） tan
即 tan（ x ） tan x
2
2
f (x 2 ) tan x 2 tan（x ） tan x f (x)
分析：观察正切函数图像
(1){x | k x k , k Z}
2
(2){x | x k , k Z}
(3){x | k x k , k Z}
2
三、例题
例1 .求函数y=tan(x+4 )的定义域
解：令z x , 那么函数y tan z的定义域是
(1 )t an 1 3 8与t an1 4 3
(完整word)必修四正切函数的性质与图象(附答案)
正切函数的性质与图象［学习目标］ 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2。
能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．知识点一正切函数的图象1．正切函数的图象:2．正切函数的图象叫做正切曲线．3．正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x＝错误!＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．思考我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图,你能类似地画出函数y＝tan x，x∈［－错误!，错误!]的简图吗？怎样画．答案能．找三个关键点:(错误!，1），(0,0）,(－错误!，－1)，两条平行线：x＝错误!，x＝－错误!.知识点二正切函数图象的性质1．函数y＝tan x（x∈R且x≠kπ＋错误!,k∈Z）的图象与性质见下表：解析式y＝tan x图象定义域{x|x∈R，且x≠kπ＋错误!，k∈Z｝值域R周期π奇偶性奇单调性在开区间错误!(k∈Z)内都是增函数2.函数y＝tan ωx（ω≠0）的最小正周期是错误!。
思考正切函数图象是否具有对称性？如果具有对称性，请指出其对称特征．答案具有对称性，为中心对称，对称中心为（错误!，0），k∈Z。
题型一正切函数的定义域例1 (1）函数y＝tan(sin x)的定义域为 ,值域为．答案R[tan（－1），tan 1］解析因为－1≤sin x≤1，所以tan(－1)≤tan(sin x)≤tan 1，所以y＝tan（sin x）的定义域为R，值域为［tan（－1），tan 1]．（2）求函数y＝tan(2x－错误!）的定义域．解由2x－错误!≠错误!＋kπ,k∈Z得，x≠错误!π＋错误!kπ，所以y＝tan（2x－错误!)的定义域为｛x|x≠错误!＋错误!kπ，k∈Z｝．跟踪训练1 求函数y＝错误!＋lg（1－tan x)的定义域．解由题意得错误!即－1≤tan x〈1.在错误!内，满足上述不等式的x的取值范围是错误!.又y＝tan x的周期为π，所以所求x的范围是［kπ－错误!，kπ＋错误!)（k∈Z)即函数定义域是错误!(k∈Z）．题型二求正切函数的单调区间例2 求函数y＝tan错误!的单调区间及最小正周期．解y＝tan错误!＝－tan错误!，由kπ－错误!〈错误!x－错误!<kπ＋错误!（k∈Z），得2kπ－错误!<x<2kπ＋错误!π，k∈Z，∴函数y＝tan错误!的单调递减区间是错误!,k∈Z.周期T＝错误!＝2π。
《正切函数的图像与性质》 讲义
《正切函数的图像与性质》讲义一、正切函数的定义在直角三角形中，对于一个锐角α，它的对边与邻边的比值叫做这个角的正切值，记作tanα。
即tanα ＝对边／邻边。
如果我们把角α放在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径作一个圆，角α的终边与单位圆相交于点 P(x,y)，那么tanα ＝ y ／ x（x≠0）。
二、正切函数的定义域正切函数tanα ＝ y ／ x（x≠0），所以正切函数的定义域为｛α ｜α ≠ kπ ＋π/2，k∈Z}。
这是因为当α ＝kπ ＋π/2 时，角α的终边在 y 轴上，此时 x ＝ 0，正切函数的定义式无意义。
三、正切函数的周期性正切函数是周期函数，其最小正周期为π。
即对于任意实数 x，都有 tan(x ＋π) ＝ tan x。
这是因为角α和角α ＋π 的终边关于点（π/2, 0) 对称，它们的正切值相等。
四、正切函数的奇偶性正切函数是奇函数。
即tan(α) ＝tanα这可以从正切函数的定义出发来理解，角α 的终边与角α 的终边关于 x 轴对称，它们的对边和邻边的绝对值相等，但符号相反，所以正切值互为相反数。
五、正切函数的单调性正切函数在每个区间（π/2 ＋kπ ，π/2 ＋kπ ）（k∈Z）上都是单调递增的。
我们可以通过观察正切函数的图像来直观地理解其单调性。
六、正切函数的图像1、首先，我们来分析正切函数图像的渐近线。
因为正切函数的定义域为｛α ｜α ≠ kπ ＋π/2，k∈Z}，所以当α趋近于kπ ＋π/2 （k∈Z）时，函数值趋近于正无穷或负无穷，此时 x ＝kπ ＋π/2 （k∈Z）就是正切函数图像的渐近线。
2、接下来，我们通过描点法来绘制正切函数的图像。
选取一些特殊的角度，如 0，π/6，π/4，π/3 等，计算出对应的正切值，然后描点连线。
当α ＝ 0 时，tan 0 ＝ 0；当α ＝π/6 时，tan π/6 ＝√3 ／ 3；当α ＝π/4 时，tan π/4 ＝ 1；当α ＝π/3 时，tan π/3 ＝√3 。
正切函数的性质与图像(基础知识+基本题型)(含解析)
5.4.3 正切函数的性质与图像（基础知识+基本题型）知识点一 正切函数的性质 1、定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ2、值域：R从单位圆上的正切线可知，当()Z k k x ∈+<ππ2且无限接近于ππk +2时，x tan 无限增大，记作+∞→x tan （x tan 趋向于正无穷大）；当()Z k k x ∈->ππ2且无限接近于时，x tan 无限减小，记作-∞→x tan （x tan 趋向于负无穷大）.因此x tan 可以取任何实数值，但没有最大值和最小值.称Zk k x ∈+-=,2ππ为正切函数图像的渐近线.3、周期性：由诱导公式可知，()Z k k x R x x x ∈+≠∈=+,2,,tan tan πππ.因此正切函数是周期函数，周期为π.拓展：函数()()0,0tan ≠≠+=ωϕωA x A y 的最小正周期ωπ=T . 4、奇偶性： 正切函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ，关于原点对称，由于()()()x x x --=-cos sin tan =x xxtan cos sin -=-，故正切函数是奇函数. 5、单调性单位圆中的正切线如图所示.ππk +-2利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性，可得下表：故正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2和⎪⎭⎫⎝⎛2,2上均为增函数，由周期性，可知正切函数的单调区间为⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππk k 2,2()Z k ∈.6、对称性：正切函数时奇函数，其图像关于原点对称，所以正切函数的图像是中心对称图形，不是轴对称图形，且其对称中心为().0,2Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛π 警示：正切函数x y tan =在⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππk k 2,2()Z k ∈内是单调递增函数，但不能说函数在其定义域内是单调递增函数.知识点二 正切函数的图像类比正弦函数的图像的作法，作正切函数x y tan =，⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππx 的图像的步骤：(1)所示，建立平面直角坐标系，在x 轴的负半轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆. (2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边的正切线.(3)在x 轴上，把⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ这一段分成8等份，依次确定单位圆上7个分点在x 轴上的位置.(4)把角x 的正切线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合.(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到x y tan =，⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππx 的图像.现在我们作出了正切函数一个周期上的图像，根据正切函数的周期性，把上述的图像向左、右扩展，就可以得到正切函数x y tan =，Z k k x R x ∈+≠∈,2,ππ的图像，我们把它叫做正切曲线(如图1.4—16所示).它是由被无数条直线()Z k k x ∈+=ππ2所隔开的无数支曲线组成的.【拓展】画函数⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2,tan ππx x y 上的简图时，可采用“三点两线”法，即可以先描三点(,1),(0,0),(,1)44ππ--，再画两条平行的虚线,22x x ππ=-=，最后连线. 这两条虚线实质是正切函数图像的两条渐近线.考点一 正切函数图像的应用【例1】当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈23,23ππx 时，确定方程0sin tan =-x x 的根的个数.解：将方程变形为,sin tan x x =令x y x y sin ,tan ==在同一平面直角坐标系中，首先作出x y sin =与x y tan =在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内的图像，需要明确⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时，有.tan sin x x x <<然后利用对称性作出⎪⎭⎫⎝⎛-∈23,23ππx 时的两个函数的图像，如图1.4-18所示，由图像可知它们有三个交点.所以方程有三个根.讨论方程根的个数，对于不易解答的方程，可对方程适当变形，转化为两个函数图像的交点个数问题,通过图像法求解问题,简单易行，还可以避免繁杂的运算.考点二 正切函数的定义域与值域 【例2】 (1)求函数33tan -=x y 的定义域; (2) 求函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+-=3,3,5tan 2tan 2ππx x x x f 的值域.解：(1)由题意，知6tantan π≥x .作出正切函数的图像如图所示，可知Z k k x k ∈+<≤+,26ππππ.故函数的定义域为 |,62x k x k k z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭.(2)由 [,],33x ππ∈-知tan [,],33x ππ∈- 令tan t x =，则[t ∈ ，所以原函数可化为 22()25(1)4f t t t t =-+=-+ 故当 1t = ，即4x π=，min ()=(1)=4f t f ，即()min 4f x =当t=-，即3x π=-时，()(358f t f ==+=+max ()=8f x +所以函数f(x)的值域为 [4,8+求函数的定义域一般转化为解不等式(组).而解有关三角函数的不等式一般有两种方法，一是利用三角函数线，先借助于单位圆在平面直角坐标系中找出角的区域，再求出不等式的解集；二是利用三角函数的图象，先在一个周期内求出x 的范围，再在整个定义域上求出不等式的解集，利用正切函数的图象求角的范围时，主要是利用其单调性，这是数形结合思想方法的一个具体应用.考点三 利用正切函数的单调性比较大小【例3 】不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小。
课件8： 1.4.3 正切函数的性质与图像
D.x|x≠kπ＋34π，k∈Z
解析：tan(4π－x)＝－tan(x－4π)．由 x－π4≠kπ＋4π (k∈Z)得
x≠kπ＋34π(k∈Z)，∴函数的定义域是x|x≠kπ＋34π，k∈Z.
答案：D
2．根据正切函数的图像解不等式：tan 2x≤－1.
解：在(－2π，π2)内，tan(－4π)＝－1.所以不等式 tan 2x≤－1 的解集由不等式 kπ－π2＜2x≤kπ－π4，k∈Z 确定．解得k2π－4π＜x≤k2π－π8 ，k∈Z.所以不等式 tan 2x≤－1 的解集为x|k2π－π4＜x≤k2π－π8，k∈Z.如图所示．
①定义域：x|x∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z； ②值域：[0，＋∞)；
(6 分) (7 分)
③周期性：T＝π；
(8 分)
④奇偶性：非奇非偶函数；
(10 分)
⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋2π)，k∈Z. (12 分)
[方法规律] 由函数的性质(如周期性、有界性、对称性)可指导我们画出函数的图像；
[方法规律] 求有关正切函数的定义域时，要首先考虑正切函数本身的 定义域，然后根据函数的特点确定出满足条件的三角不等式或不等式 组．另外，解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角函数线．
1．函数 y＝tan(π4－x)的定义域是 ( )
π A.x|x≠4
B.x|x≠－π4
C.x|x≠kπ＋4π，k∈Z
[例 3] (12 分)画出函数 y＝|tan x|＋tan x 的图像，并根据图像
求出函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．
[解]
由 y＝|tan x|＋tan x 其图像如图所示．
知
y＝02，tanx∈x，（x∈kπ（－kπ2π，，kkππ）＋，2π），(k∈Z)．
正切函数的性质与图象 课件
π
4
-2 的单调区间;
(2)比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小.
π
分析:解(1)可先用诱导公式将 x 的系数化为正数,再把 2x- 看作
4
整体,代入相应的区间,解出 x 的范围;解(2)可先把角化到一个单调区
间中,再利用单调性比较大小.
解:(1)原函数 y=-3tan 2π
π
π
π
正切函数的性质与图象
正切函数的图象与性质
(1)图象:如图所示.
π
正切函数y=tan x,x∈R,x≠ +kπ,k∈Z的图象叫做正切曲线.
2
(2)性质:如下表所示.
函数
性质
y=tan x
x x ≠ + k,k∈Z
2
定义域
值域
周期
奇偶性
单
调
性
对
称
性
R
π
奇函数
增
π
2
2
- + π, + π (k∈Z)
奇偶性、周期性.
分析:画y=tan x的图象→y=|tan x|的图象→研究性质
解:由 y=|tan x|得,
π
tan,π ≤ < π + (∈Z),
2
y=
其图象如图:
π
-tan,- + π < < π(∈Z),
2
由图象可知,函数 y=|tan x|是偶函数;
π
单调递增区间为 π, + π (k∈Z),单调递减区间为
π
π
2
2
显然- <2-π<3-π<1< ,
π π
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例5.画出函数 的图像。并指出定义域、值域、最小正周期和单调增区间。
例6.若函数 的最小正周期 满足 ，则正整数 的值是______________ 。
例7.已知 ，求函数 的最值。
例8.若 时， 的值总不大于零，求实数k的取值范围。
例9.函数 的值域。
例10.在区间 的范围内，函数 与函数 的图象的个数是（ ）
13．函数 的最小正周期是____________．
14．函数 的定义域是_________．
15．函数 的值域是__________．
16．已知函数 是以3为周期的奇函数，且 ．若 ，则 ．
三、解答题
17．试求函数 的定义域，并作出区间 上的图像．
18．已知 ．求函数 的值域．
19．求函数 的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性．
12.求函数y= 的值域.
13.求下列函数 的周期和单调区间
*14.已知α、β∈( ,π),且tan(π+α)<tan( -β),求证:α+β< .
【
一、选择题
1．函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
2．函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
A． B．0 C．1 D．－1
10．在区间 范围内，函数 与函数 的图像交点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．要得到函数 的图像，须将函数 的图像（ ）
A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位
12．函数 在一个周期 ，
∴ （ ），
∴ （ ），
∴ ，
于是 ．
∴当 （ ）时 取最小值4，当 （ ）时 取最大值5．从而函数的值域为［4，5］．
19．由 ，得 （ ），
∴所求的函数定义域为： ；值域为 ；周期为 ；
它既不是奇函数，也不是偶函数；
在区间 （ ）上是单调减函数．
20．充分性：
∵ ，
∴ 为奇函数，
必要性：∵ 是奇函数．
20．求证：函数 （ 、 ）为奇函数的充要条件是 ．
提高检测参考答案：
一、选择题
1．B 2．D 3．B 4．A 5．A 6．B
7．C 8．C 9．B 10．C 11．C 12．A
二、填空题
13． 14．
15． 16．－1
三、解答题
17．由 得函数的定义域为 ．
又当 时，
其图像如图所示．
18．由已知条件得 ，
C. 3
【
一、选择题
1.函数y=tan (2x+ )的周期是( )
(A) π(B)2π(C) (D)
2.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a、b、c的大小关系是( )
(A)a<b<c(B)c<b<a(C)b<c<a(D)b<a<c
3.在下列函数中,同时满足(1)在(0, )上递增；(2)以2π为周期；(3)是奇函数的是( )
14.∵tan(π+α)<tan( -β)∴tanα<tan( π-β),又∵ <α<π, < π-β<π
∴α与 π-β落在同一单调区间,∴α< π-β,即α+β< π
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ （ ）．
巩固练习参考答案
一、CCACBA.
二、7.（2kπ- ,2kπ+ ）(k∈Z), 2π; 8.2; 9.( 2kπ , 2kπ ) (k∈Z); 10. ③.
三、11.（1）>（2） <
12. {y|y∈R且y≠1};
13.T= =2π;由 可得
∴可得函数y= 的递减区间为[2kπ- π,2kπ+ （k∈Z）
6．函数 的图像对称于（ ）
A．原点 B． 轴 C． 轴 D．直线
7．要得到 的图像，只需把 的图像（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
8．函数 的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
9．函数 的图像相邻的两支截直线 所得线段长为 ，则 的值是（ ）
(A)y=|tanx|(B)y=cosx(C)y=tan x(D)y=－tanx
4.函数y=lgtan 的定义域是( )
(A){x|kπ<x<kπ+ ,k∈Z}(B){x|4kπ<x<4kπ+ ,k∈Z}
(C){x|2kπ<x<2kπ+π,k∈Z}(D)第一、三象限
5.已知函数y=tanωx在(- , )内是单调减函数,则ω的取值范围是( )
*10.下列关于函数y=tan2x的叙述：①直线y=a(a∈R)与曲线相邻两支交于A、B两点,则线段AB长为π；②直线x=kπ+ ,(k∈Z)都是曲线的对称轴;③曲线的对称中心是( ,0),(k∈Z),正确的命题序号为.
三. 解答题
11.不通过求值，比较下列各式的大小
（1）tan(- )与tan(- )(2)tan( )与tan ( )
正切函数的图像与性质
【知识框架】
1. 正切函数图像画法：三点两线法
2、正切函数图像与性质
图像
定义域
值域
周期性
奇偶性
单调性
对称中心
【典型例题】
例1.求 的定义域.
例2.求函数 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。
例3.不求值比较下列各组数的大小：
（1） 和 （2） 和
例4.判断下列函数的奇偶性：
(A)0<ω≤1(B)-1≤ω<0(C)ω≥1(D)ω≤-1
*6.如果α、β∈( ,π)且tanα<tanβ，那么必有( )
(A)α<β(B)α>β(C)α+β> (D)α+β<
二.填空题
7.函数y=2tan( - )的定义域是,周期是;
8.函数y=tan2x-2tanx+3的最小值是;
9.函数y=tan( + )的递增区间是;
4．下列函数中，同时满足①在 上是增函数；②为奇函数；③以 为最小正周期的函数是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 ，下列判断正确的个数是（ ）
① 是定义域上的减函数，周期为 ．
② 是区间 上的减函数，周期为 ．
③ 是区间 上的减函数，周期为 ．
④ 是区间 上的减函数，周期为 ．
A．0 B．1 C．2 D．3