一类强阻尼非线性波动方程解的真空隔离性质

从推论 4，引理 3 及 4 可得定理 5。
定理 5 令 p ， ui (x) (i = 0,1) ， e,δi (i = 1,2) ，如定理 1 所定义， 0 < E(0) ≤ e 则：
( ) （1） 问题（1）-（3）所有解都在球 Bδ1 （或 ∂Bδ1 上）之内，若 u0 x ∈ Bδ0 ；
( ) （2）
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一类强阻尼非线性波动方程解的真空隔离性质
魏丽艳
哈尔滨工程大学理学院，黑龙江哈尔滨（150001）
E-mail：wly_wly2006@yahoo.com.cn
摘 要：本文研究了一类强阻尼非线性波动方程的初边值问题
utt − ∆u − α∆ut = f (u) , x ∈ Ω,t > 0
0
p +1
定义
-1-
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J (u) = 1 ∇u 2 − a u p+1
2
p + 1 p+1
及位势井
I (u ) = ∇u 2 − a u p+1 p +1
{ } W =
u
∈
H
1 0
(Ω)
I
(u)
>
0,
0
<
J
(u)
<
d
U {0}
其中
d
=
inf
J (u) ，其中 u
问题（1）-（3）所有解都在球 Bδ2 （或 ∂Bδ2 上）之外，若 u0
x
∈
Bc δ0
。
证明（1）设 u(t) 为问题（1）（- 3）的任意解，若 u0 (x)∈ Bδ0 ，则由 J (u0 ) ≤ E(0) < d (δ 0 )
知 u0 ∈Wδ0 ，即 I (u0 ) > 0 或 ∇u0 = 0 。由推论 4 知 u(t )∈Wδ1 ，从而 u(t )∈ Bδ1 。
隔离性质。
关键词：非线性波动方程，位势井族，初边值，强阻尼，真空隔离
中图分类号：O175.29
1. 引言
关于强阻尼非线性波动方程的研究始于1980年，由webb [1] 提出并研究了如下强阻尼非 线性波动方程的初边值问题
utt − α∆ut − ∆u = f (u)
α > 0, x ∈ Ω,t > 0 （4）
1
1
∇u(t )
>
⎜⎜⎝⎛
p +1 2aC*p +1
δ
⎟⎟⎠⎞ p−1,0 ≤ t
< t0 ，从而
∇u(t0 )
≥
⎜⎜⎝⎛
p +1 2aC*p+1
δ
⎟⎟⎠⎞
p−1
，得 J (u(t0 )) ≥ d(δ )
与（7）矛盾。
定理 2
令
p
满足（H），u 0
(x)
∈
H
1 0
(Ω)
，u1(x)∈ L2 (Ω) ，假设 0 < E(0) ≤
反。随着势井理论 [2] 的发展，源项为正的情形也得到了很好的解决 [3] 。并且在位势井理论
基础上随之产生位势井族理论 [4] ，该理论的发展使得该方程又凸显出以往未曾得到的解的
性质.
真空隔离性质由刘亚成教授在文献 [4] 中首先提出，用以解决半线性波动方程的初边值问题。
本文将利用这种理论研究强阻尼非线性波动方程解的真空隔离性质。其中 f (u) 满足条件
0
<
E(0)
≤
e
则
∀δ
∈
(δ1,δ 2
),
Bδ
和
Bc δ
在问题（1）-（3）的流之下是不变的。
( ) 证明
由引理 2 知当 J (u) ≤ E(0) < d (δ ) 时 u ∈ Bδ
Bc δ
⇔ u ∈Wδ (Vδ ) 由定理
3
知
Bδ
,
Bc δ
在问题（1）-（3）的流之下是不变的。
4. 真空隔离现象
（2） 若 I (u0 ) < 0 则（1）-（3）的所有解 u 满足 u ∈Vδ ,δ ∈ (δ1,δ 2 ) 。
证明 （1）令 u(t) 是问题（1）-（3）的一个解，且初始能量 E(0) = e 且 I (u0 ) > 0 或
-2-
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∇u0 = 0 ， T 为 u(t) 的 存 在 时 间 ， 则 有 u0 ∈Wδ 。 事 实 上 ， 若 I (u0 ) > 0 ，
（H） f (u) ≤ a u p ,1 < p < ∞ ，当 n = 1,2 ；1 < p ≤ n + 2 ，当 n ≥ 3 n−2
2. 定义位势井族
对问题（1）-（3）定义能量
E(t) = 1
2
ut
2 +1 2
∇u
2 − ∫Ω F(u)dx
∫ 其中 F (u) = u f (s)ds 由 f (u)u ≥ 0 及（H）可得 0 ≤ F(u) ≤ a u p+1
u(x,0) = u0 (x) ,ut (x,0) = u1(x), x ∈ Ω
（1） （2）
u ∂Ω = 0, t > 0
（3）
其中 Ω ⊂ Rn 为有界域. f ∈ C ，且 f (u)u ≥ 0 。结合位势井族理论研究了该方程解的性质，
得到该方程的解在
H
ห้องสมุดไป่ตู้
1 0
(Ω)
空间的一个小球内部或一个大球外部出现，该性质称为解的真空
∇u0 ≠ 0 ，由
知 J (u(t0 )) ≠ d(δ 0 ) 。
J (u(t0 )) ≤ E(t0 ) < E(0) < d(δ )
（7）
若 Jδ (u(t0 )) = 0 且 ∇u0 ≠ 0 ，由引理 5 知 J (u(t0 )) ≥ d (δ 0 ) 与（7）式矛盾。从而
u(t )∈Wδ ，δ ∈ (δ1,δ 2 ) 。 （2）令 u(t) 是问题（1）-（3）的一个解，初始能量 E(0) = e ，且 I (u0 ) < 0 。由 I (u0 ) < 0
推论 4 令 p ， ui (x) (i = 0,1) ， e,δi (i = 1,2) ，如定理 1 所定义， 0 < E(0) ≤ e 则：
（1） 若 I (u0 ) > 0 或 ∇u0 = 0 ，问题（1）-（3）的所有解都属于Wδ1 ；
-3-
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（2） 若 I (u0 ) < 0 则问题（1）-（3）的所有解都属于Vδ2 。 证明 令 u(t) 是问题（1）-（3）的任意解，且初始能量 E(0)满足 0 < E(0) ≤ e ，T 为解
（2）
设
u(t )
为问题（1）-（3）的任意解，
若
u0
(x)∈
Bc δ0
，则由
J
(u0
)
≤
E(0)
<
d
(δ
0
)
知 u0
∈ Vδ 0
，即 I (u0 ) <
0
由推论
4
知 u(t)∈Vδ2
，从而 u(t)∈
Bc δ2
即 u(t) 在球
Bδ 2
之外。
定 理 6 令 p , ui (x) (i = 0,1) , e,δi (i = 1,2) ， 如 定 理 1 所 定 义 ， 若 初 始 能 量 满 足
d (δ
)
=
1−δ 2
⎜⎜⎝⎛
p +1 2aC*p+1
δ
⎟⎟⎠⎞
p −1
由此可以定义一族位势井：
{ } Wδ
=
u
∈
H
1 0
(Ω)
Jδ
(u)
>
0,
J
(u)
<
d
(δ
)
U
{0},
0<δ
<1
{ } Vδ
=
u
∈
H
1 0
(Ω)
J
δ
(u
)
<
0,
J
(u
)
<
d
(δ
)
,
0<δ
<1
引理1 [4]
假设对于给定的 u
∈
H
1 0
3. 解的不变集合
定理
1
设
p
满足（H），
u0
(x)
∈
H
1 0
(Ω)
，
u1
(x)
∈
L2
(Ω)
，假设
0
<
e
=
E(0) < d
，
δ1 < δ 2 是方程 d (δ ) = e 的两根，则：
（1） 若 I (u0 ) > 0, ∇u0 = 0 ，则（1）-（3）的所有解 u 满足 u ∈Wδ , δ ∈ (δ1,δ 2 )；
δ
2
⎟⎟⎠⎞
p
−1
⎪ ⎬ ⎪⎭
证明 由定理 5 可得在集合U e 内无方程的任何解。
问题（1）-（3）的全部解的集合都在区域U e 之外，而且所有解被U e 隔离开。其中此
现象称之为解的真空隔离现象。真空区域U e 随 e 的减小而增大，在极端情形 e = 0 时，得到
定理 7
设
u0
(x)
∈
H
1 0
(Ω)
,
u1
(x)
∈
L2
(Ω)
,
0
<
e
<
d
，则对满足
0
<
E(0)
≤ e 的问题
（1）-（3）的所有解的集合存在一个真空区域即一个无解区域
⎧
1
1⎫
Ue
=
⎪⎨u ⎪⎩
∈
H
1 0
(Ω)⎜⎜⎝⎛
p +1 2aC*p+1
δ1
⎟⎟⎠⎞
p −1
<
∇u
<
⎜⎜⎝⎛
p +1 2aC*p+1
u(x,0) = u0 (x) ut (x,0) = u1(x)
x ∈Ω
（5）
u ∂Ω = 0
t ≥0
（6）
其中 Ω ⊂ R n (n = 1,2,3)是有界域。为了得到此问题的整体强解，webb对 f (u) 加了4个条
件，该假设的基本模型方程为 utt − α∆ut − ∆u = − u p−1u 即源项为负，外力与位移方向相
知 Jδ0 (u0 ) < 0 且 ∇u0 ≠ 0 ，从而 Jδ (u0 ) 于区间 (δ1,δ 2 )不变号 Jδ (u0 ) < 0,δ ∈ (δ1,δ 2 )， 且 J (u0 ) ≤ E(0) < d(δ )故 u0 ∈Vδ ，δ ∈ (δ1,δ 2 ) 。
下证 u(t)∈Vδ ，δ ∈ (δ1,δ 2 )及 0 < t < T 。 反之 ∃ t0 ∈ (0,T ), δ ∈ (δ1,δ 2 ) 使 u(t0 )∈ ∂Vδ 即 Jδ (u(t0 )) = 0 或 J (u(t0 )) = d (δ )。由 （7）式知 J (u(t0 )) = d (δ )不可能。假设 t0 为第一个使 Jδ (u(t0 )) = 0 的点，则 Jδ (u(t)) < 0,0 ≤ t < t0 由 J (u) ≤ E(0) < d (δ )及引理 2 知
∈
H
1 0
(Ω
),
∇u
≠
0, I (u)
=
0
,
d
的值与文[3]中相同
d
=
1 αC*α
,
α
=
2( p +1)
p −1
，
C*
为
H
1 0
(Ω
)
空间嵌入
L
p+1
(Ω
)
的嵌入常数，即
C*
= sup
u p +1
∇u
。
进一步对于δ ∈ (0,1) ，定义
J
δ
(u
)
=
δ 2
∇u
2
−
a p +1
u
p +1 p +1
2
0 < J (u0 ) ≤ E(0) = e < d ⇒ Jδ (u0 ) 于 (δ1,δ 2 ) 不变号，由 Jδ0 (u0 ) > 0 知 Jδ (u0 ) > 0 ， δ ∈ (δ1,δ 2 ) 从而 u0 ∈Wδ 。若 ∇u0 = 0 则 u0 ∈Wδ 。
下证 u(t )∈Wδ ，δ ∈ (δ1,δ 2 ) ， 0 < t < T 。 反 证 法 ， 若 不 然 ∃t0 ,δ 0 使 u(t0 )∈ ∂Wδ0 ， 即 J (u(t0 )) = d (δ 0 ), Jδ (u(t0 )) = 0 且
u(t) 的存在时间。
首先，从能量不等式知
1 2
ut
2
+
J (u) ≤
E(0) ≤
d(δ1) (d (δ2 ))
从而 J (u) ≤ d (δ1 ) (d (δ 2 )) t ∈[0,T ) 。将时间 t ∈[0.T ) 固定，使 δ → δ1 (δ → δ 2 ) ，当
( ) Jδ (u) > 0 (Jδ (u) < 0) 时，从而得到 Jδ1 (u) ≥ 0 Jδ2 (u) ≤ 0 ， 0 ≤ t < T 。
证 明 若 u0 (x)∈Wδ ⇒ J (u) < d (δ ), Jδ (u0 ) > 0 或 ∇u0 = 0 。 于 是 有 I (u0 ) > 0 或
∇u0 = 0 。由定理 1 知 u(t)∈Wδ ，δ ∈ (δ1,δ 2 ) ，t ∈ (0,T )。即Wδ 和Vδ 在问题（1）-（3）
的流之下是不变的。
(Ω),0
<
J
(u)
<
d
成立， δ 1
<
δ2
是方程 d (δ
)
=
J (u)
的两根，则 Jδ (u)的符号于δ ∈ (δ1,δ 2 )不变。
( ) 引理2 [4] 设 J (u) < d (δ ) 则 u ∈Wδ (Vδ )当且仅当 u ∈ Bδ Bδ c 。
1
引理3 [4]
若 J (u) ≤ d (δ ) ，则 Jδ (u) > 0 当且仅当 0 <
∇u
<
⎜⎜⎝⎛
p+ 2aC*
1
p +1
δ
⎟⎟⎠⎞
p −1
1
引理4 [4]
若 J (u) ≤ d(δ ) ，则 Jδ (u) < 0 当且仅当 ∇u
>
⎜⎜⎝⎛
p+ 2aC*
1
p +1
δ
⎟⎟⎠⎞
p−1
引理5 [4]
d (δ
)
=
inf
J
(u)，其中 u
∈
H
1 0
(Ω),
∇u
≠ 0, Jδ (u) = 0 。
e<d，
δ1 < δ 2 是方程 d (δ ) = e 的两根，则：
（1） 若 I (u0 ) > 0 或 ∇u0 = 0 则问题（1）-（3）的全部解 u ∈Wδ ；
（2） 若 I (u0 ) < 0 则（1）-（3）的所有解 u 满足 u ∈Vδ 。 定理 3 令 p , ui (x) (i = 0,1) , e,δi (i = 1,2) ，如定理 1 所定义， 0 < E(0) ≤ e ，则任意 δ ∈ (δ1,δ 2 ) 有Wδ ,Vδ 在问题（1）-（3）的流之下是不变的。