人教版高一数学必修一知识点总结大全

一 集合与函数
1 集合的含义及表示*
⎧⎧⎪⎪
⎨⎪
⎪⎪⎩⎪⎪
∈∉⎨⎪
⎧⎪⎨⎪⎩
⎪⎪⎩
确定性集合中元素的特征 互异性无序性 集合与元素的关系 : 列举法 集合的表示 描述法常见的数集 N N Z Q R
2,,A B B A A B A B A A A A B A B A B οο
φ≠
⊆⊆=⎧⊆⊆⊆⎪
⎪⎨⎪⎪⊆≠⊂⎩1定义:A=B
2若且则子集： , 集合相等: 集合间的基本关系真子集： 若且 则
空集φ的特殊性: 空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集 *结论 含有n 个元素的集合，其子集的个数为2n
，真子集的个数为21n
-
3集合的基本运算{}{}{}|||U A B x x A x B A B x x A x B C A x x U x A ⎧⋃=∈∈⎪
⋂=∈∈⎨⎪=∈∉⎩
并集：或 交集：且 补集：且
在集合运算中常借助于数轴和文氏图（*注意端点值的取舍）
*结论 （1）A A A ⋃= A A A ⋂=, A A φ⋃= A φφ⋂=
（2）A B B A B ⋃=⊆若则 A B A A B ⋂=⊆若则 （3）()U A C A φ⋂= ()U A C A U ⋃=
（4）若A B φ⋂= 则A φ=或A φ≠
4函数及其表示⎧⎪
⎧⎪
⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
⎨⎪⎪⎧⎪⎪
⎪⎨⎪⎪⎩⎩
函数的定义 定义域函数的三要素对应法则值域区间的表示 解析式法函数的表示法列表法图像法
5 函数的单调性及应用
（1） 定义： 设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么:
1212,()()x x f x f x <<⇔[]1212()()()0x x f x f x -->⇔0)
()(2
121>--x x x f x f []b a x f ,)(在⇔上是增函数；
1212,()()x x f x f x <>⇔[]1212()()()0x x f x f x --<⇔
0)
()(2
121<--x x x f x f []b a x f ,)(在⇔上是减函数.
（2） 判定方法：1ο
定义法(证明题) 2ο
图像法 3ο复合法 （3） 定义法：证明函数单调性用
利用定义来证明函数单调性的一般性步骤：
1ο
设值：任取12,x x 为该区间内的任意两个值，且12x x <
2ο
做差,变形，比较大小：做差12()()f x f x -，并利用通分，因式分解，配方，有理化等方
法变形比较12(),()f x f x 大小
3ο下结论（说函数单调性必须在其单调区间上）
（4）常见函数利用图像直接判断单调性：一次函数，二次函数，反比例函数，指对数函数，幂函数，对勾函数
（5）复合法：针对复合函数采用同增异减原则
（6）单调性中结论：在同一个单调区间内：增+增=增： 增—减=增：减+减=减：减—增=增
若函数)(x f 在区间[]b a ,为增函数，则—)(x f ，
)(1
x
f 在[]b a ,为减函数 （7）单调性的应用：1ο
：利用函数单调性比较大小
2ο
利用函数单调性求函数最值（值域）
重点题型：求二次函数在闭区间上的最值问题
6 函数的奇偶性及应用
f x定义域关于原点对称
（1）定义：若()
1ο若对于任取x的，均有()()
-=则()
f x为偶函数
f x f x
2ο若对于任取x的，均有()()
f x为奇函数
-=-则()
f x f x
（2）奇偶函数的图像和性质
（3）判定方法：1ο定义法（证明题）2ο图像法3ο口诀法
（4）定义法: 证明函数奇偶性
步骤：1ο求出函数的定义域观察其是否关于原点对称（前提性必备条件）
2ο由出发()
-，寻找其与()
f x之间的关系
f x
3ο下结论（若()()
-=-则()
f x为奇
f x f x
-=则()
f x f x
f x为偶函数，若()()
函数函数）
（4）口诀法：奇函数+奇函数=奇函数：偶函数+偶函数=偶函数
奇函数⨯奇函数＝偶函数：奇函数⨯偶函数＝奇函数：偶函数⨯偶函数＝偶函数
二 指数函数与对数函数 1 指数运算公式
1οm n m n a a a +⋅= 2οm n m n a a a -÷= 3ο ()m
m m
ab a b = 4ο()m n
mn
a a
=
5ο
()m m m a a b b
= 6
ο
m
n a =7ο
m n
a
-
=
8
ο
,,a a ⎧=⎨⎩当n 为偶数时当n 为奇数时
2 对数运算公式 （1）对数恒等式
0,1a a >≠当时 ，log x
a N x N =⇔=a
log 10a = log 1a a = log a N
a N =
（2）对数的运算法则(01,0,0)a a M N >≠>>且
1ο log ()log log a a a M N M N ⋅=+ 2ο log (
)log log a a a M
M N N
=- 3ο log ()log n a a M n M =
（3）换底公式及推论 log log log c a c b
b a
=
(01,01,0)a a c c b >≠>≠>且且
推论 1ο
log log m n a a n
b b m
=
2ο
1
log log a N N a
=
3ο log log log a b a b c c =
3 指数函数与对数函数
图
像
定义
域
值域
定点
单调
性
4 指数与对数中的比较大小问题
（1）指数式比较大小
1οm a，n a
2οm a，n b
（2）对数式比较大小
1οlog
a m，log
a
n
2οlog
a m，log
b
n
5指数与对数图像
６幂函数：一般地，函数y xα
=叫做幂函数，其x中为自变量，α是常数几种幂函数的图象：
函数零点及二分法 一 函数零点的判定
(一) 函数有实数根
⇔函数的图像与轴有交点
⇔函数有零点
(二) 函数的零点的判定定理
如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像时连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，
函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程的根 二 函数二分法的应用
（一）函数二分法：对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法。

给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下： 1确定区间[],a b ，验证()()0f a f b <，给定精确度ε 2求区间的中点c 3计算()f c
（1） 若()0f c =，则c 就是函数的零点
（2） 若()()0f a f c <，则令b c =（此时零点(,)x a c ο∈） （3） 若()()0f c f b >，则令a c =（此时零点(,)x c b ο∈）
4判定是否达到精确度ε：即若a b ε-<，则得到零点近似值a （或b ）：否则重复24
（二）函数二分法及精度计算 1()2
n
L ε⋅< ()L a b =-。