法向量详解

专题：法向量的详解

高中数学法向量的定义：如果向量⊥

a平面α，那么向量a叫做平面α的法向量。但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍，其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离”、“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下：

一、求点到平面的距离

设A是平面α外一点，AB是α的一条斜

线，交平面α于点B，而n是平面α

那么向量BA在n方向上的正射影长就是点A到平面α的距离h，

所以h=

⋅

=

※

例1：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的

距离。

解：如图建立空间直角坐标系，

DB＝（1，1，0），DF＝（0，

2

1，1），

1

DA＝

（1，0，1）

设平面DBEF的法向量为n＝（x，y，z），

则有：

⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DF n DB n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02

1

0z y y x 令2

111=-==z y x ，，,

取n ＝（1，－1，2

1

），则A 1到平面DBEF

的距离1==

h

注：此题A 1在平面DBEF 的射影难以确定，给求解增加难度，若利用（※）式求解，关键是求出平面DBEF 的法向量。法向量的求解有多种，根据线面垂直的判定定理，设n ＝（x ，y ，z ），通过建立方程组求出一组特解。

二、求异面直线间的距离

假设异面直线a 、b ，平移直线a 至a '，且交b 于点A ，那么直线a '和

b 确定平面α

，且直线a ∥α，设n 是平面α的法向量，那么n ⊥a ，n

⊥b 。所以异面直线a 和b 的距离可以转化为求直线a 上任一点到平面α的距离，方法同例1。

结论：12,l l 是两条异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离，则||||

CD n d n ⋅=。

例2：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求直线DA 1和AC 间的距离。

解：如图建立空间直角坐标系，

则AC ＝（－1，1，0），1DA ＝（1，0，1） 连接11C A ，则AC C A //11,设平面D C A 11的法向量为

)(z y x n ，，=，

由 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0

01DA n AC n ，解得n ＝（1，1，－1），又1AA ＝（0，0，1）

所以点A 到平面A 1C 1D

的距离为3

3=

=h ，即直线DA 1和AC 间的

距离为

3

3

。 注：这道题若用几何推理，需连结D 1B ，交△DA 1C 1和△B 1CA 分别为E 、F ，并证明△D 1DE ≌△B 1BE ，且EF 恰好等于DA 1和AC 的公垂线段长而且三等分线段D 1B ，进而求解EF ，解题过程几经转化，还需添加大量辅助线，不如用法向量求解更直接简便。

三、求直线与平面所成的角

直线AB 与平面α所成的角θ可看成是向量AB 与平面α的法向量

n

所成的锐角的余角，所以有=

=sin θ。

例3：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角。

解：如图建立空间直角坐标系，

AB ＝（0，1，0）

，1AD ＝（－1，0，1），AE ＝（0，2

1，1）

设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝（x ，y ，z ）,

由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0

01AD n AB n 可解得n ＝（1，0，1）

设直线AE 与平面ABC 1D 1

所成的角为θ，则5

10

sin ==

θ，

5

10arcsin

=∴θ

四、求二面角的大小

若αn 、βn 分别为平面βα,的法向量，则二面角l αβ--

的平面角，θn n ⋅=（或者其补角）。

例4：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1BC 1与平

面ABCD 所成的二面角的大小。

解：如图建立空间直角坐标系，11C A ＝（－1，1，0），B A 1＝（0，1，－1）

设1n 、2n 分别是平面A 1BC 1与平面ABCD 的法向量，

由⎪⎩⎪⎨

⎧=⋅=⋅0

11111C A n B A n

可解得⎪⎩⎪⎨

⎧==)

1,0,0()

1,1,1(21n n

所以，3

3==n n 所以平面A 1BC 1与平面ABCD 所成的二面角大小为3

3arccos

或

3

3

arccos

-π。

注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的

方向，取的方向不同求

出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小。

五、证明两平面平行或垂直

①若α∥β， 则 αn ∥βn ；反之也成立。

②若α⊥β， 则 αn ⊥βn ；反之也成立。

例5：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是

A 1C 1、A 1D 和

B 1A 上任一点，求证：平面A 1EF ∥平面B 1M

C 。 证明：如图建立空间直角坐标系，

则11C A ＝（－1，1，0），C B 1＝（－1，

0，－1）

D A 1＝（1，0，1）， A B 1＝（0，－

1，－1）

设111C A E A λ=，D A F A 11μ=，A B M B 11ν=（λ、μ、 νR ∈，且均不为0）

设1n 、2n 分别是平面A 1EF 与平面B 1MC 的法向量，

由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001111F A n E A n ，可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0012111D A n C A n μλ，即⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0

012111D A n C A n 解得：1n ＝（1，1，－

1）