工程数学积分变换第四版
积分变换4
积分变换4
积分变换大家都知道是什么吗?来看看下面的意思吧:
《工程数学·积分变换》是2003年12月高等教育出版社出版的图书,作者是张元林。
《工程数学:积分变换(第4版)》介绍Fourier变换和Laplace变换这两类积分变换的基本内容,初版于1978年,再版于1982年,三版于1989年,本次修订,其基本内容符合原国家教委1995年颁布的《工程数学课程教学基本要求》(“积分变换”部分);为方便使用,保持了第三版的系统和结构;同时也增加了一些内容,并加强了该书的实用性,以适应不同专业和不同层次的要求;书中的例题与习题也作了适量的补充和调整,书后附有Fourier变换简表和Laplace变换简表可供学习时查用,书中给出习题答案可供参考。
《工程数学:积分变换(第4版)》可供高等院校非数学专业的有关专业本科生选作教材,也可作为工科研究生的教材或教学参考书,也可供广大工程技术人员参考。
工程数学_积分变换
1 T2 j n t jn f (t ) lim T fT ( )e d e T T n 2
2p 当n取一切整数时, n =n n 所对应的点便 T 均匀分布在整个数轴上,
如图
2p 2p 2p T T T 2p T
m 1
2
T 2
T an T cos nt d t an 2 2 T 2 2 即 an T fT (t )cos nt d t T 2
T 2
2
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nt], 即
T 2 T 2
a0 fT (t )sin nt d t T sin nt d t 2 2
t
最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(t+j) 其中 A 称为振幅,=2p/T 称为角频率,j 称为初相角
t
而Asin(t+j)又可以看作是两个周期函数sint和cost 的线性组合 Asin(t+j)=asint+bcost
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一 系列的三角函数的线性组合来逼近.
T 2
T 2
一. Fourier级数
1.Dirichlet条件
若函数在区间[-T/2,T/2]上满足: 1, 连续或只有有限个第一类间断点; 2, 只有有限个极值点
则称函数满足Dirichlet条件. 注: 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
a0 fT (t ) (an cos nt bn sin nt ) (1.1) 2 n 1 为求出a0 , 计算[ fT ,1], 即
1.1 Fourier积分【VIP专享】
同理可证 :
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内函数变 化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里 叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即 在区间[T/2,T/2]上:
则可以合写为一个式子,
1
cn T
T
2 T
fT (t )e jntdt
(n 0, 1, 2,L )
2
若令
则上式可以写为
这就是Fourier级数的复指数形式,或者写为
接下来讨论非周期函数的展开问题。
任何一个非周期函数 f (t) 都可以看成是由某个 周期函数 fT(t) 当T时转化而来的。
作周期为T 的函数 fT (t), 使其在[T/2,T/2]之内 等于 f (t), 在[T/2,T/2]之外按周期T 延拓到整个数轴 上, 则T 越大, fT (t)与 f (t) 相等的范围也越大, 这就说 明当T时, 周期函数 fT(t) 便可转化为 f (t), 即有
n
n
n1
2
T
, 或T
n
,
如图
(n
nபைடு நூலகம்
n1
2
T
, 或T
n
)
{
{ { {
O 1 2 3
所以 f (t)又可写为
n-1n
当 t 固定时,
记为
,即
则有
当
是参数 n 的函数,
又
(n )
1
2
f
西安交大工程数学复变函数第四版第三章复变函数的积分
显然曲线 AEBBEAA,AAFBBFA均为封闭曲线.
因为它们的内部全含于D,
故 f (z)dz 0, AEBBEAA
CF A A F
B
f (z)dz 0.
D1 E C1 B
AAF BBFA
︵︵
D
︵
E
︵
︵ ︵ AEBBEAA AEB BB BEA AA,
︵
︵
AAFBBFA AA AFB BB BFA,
22
2 不定积分 f z 的原函数的一般表达式 F z C(其中C为 任意常数),称为 f z 的不定积分,即
f zdz Fz c (其中C为任意常数)
例如 sinzdz cos z c 其中c为任意常数
(换元积分法 分部积分法)
例 z sinzdz z d cos z z cos z cos zdz
二、复合闭路定理
设 f z在多连通域D内解析,C是D内的一条简单闭曲线,
C1, C2 , , Cn是在C内部的简单闭曲线,它们互不包含也互
不相交,且以C, C1, C2 , , Cn 为边界的区域全包含于D,
则
n
⑴
f zdz
C
k 1 Ck
f zdz
C1
n
⑵ f zdz f zdz 0
设f z在单连通域B内解析,则F z在B内是一解析函数,
且Fz f z, 即F z为f z的原函数. 证明
24
定理三
设f z在单连通域B内解析,Gz为f z的一个原函数,
则
z1 z0
f
zdz
Gz1 Gz0 .
解析函数的积分计算公式
证
z z0
f zdz,Gz均为f
工程数学《复变函数》(第四版)课件 3-1,2,3 西安交大
⑴
⑵
f z dz
C k 1
n
Ck
f z dz
C3
C1
C
f z dz
n
k 1 C
k
f z dz 0
C2
C
D
12
2z 1 在内的任何正 dz, 为包含圆周 z 1 例4 计算 2 z z
向简单闭曲线.
解 据复合闭路原理得
2z 1 2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 dz 2 z z z z z z c1 c2
0
0 1
C1 C2
C3
z1
2 zdz zdz zdz
C C2 1 C3 1
1 1 tdt 1 it idt i 1 i 0 0 2 2
8
三、积分的性质
i ii iii
f z dz
C
C 1
f z dz
C
4
ux t , yt xt vx t , yt yt dt
i v x t , y t x t u x t , y t yt dt
uxt , yt ivxt , yt xt iyt dt
⑴ 当 f z 是 连 续 函 数 而C 是 光 滑 曲 线 时, ⑵
C C C
C
f z 第二型曲线积分 dz一 定 存 在.
C
f z dz u iv d x iy u dx vdy i v dx udy
f z dz可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。
积分变换 东南大学 第四版第二章3节
( 2)
为 Lnz 的一单值函数 , 称为 Lnz 的主值 (主值支 )
故
Lnz = ln z + i 2kπ
(k ∈ Z )
例如 当 z = a > 0 Lnz 的主值 ln z = ln a Lnz = ln a + 2π ik k ∈ Z 当 z = a ( a > 0) Lnz 的主值 ln z = ln a + πi Lnz = ln a + ( 2 k + 1)πi 特别 a = 1 ln( 1 ) = ln 1 + π i = π i
双曲正弦和双曲余弦函数的性质
1) shz , chz 都是以 2π i为周期的函数
2)chz 偶函数 , shz 奇函数
3 ) ( chz )' = shz
( shz )' = chz
shz 和chz 在整个复平面内处处解 析
4) 由定义 shiy = i sin y chiy = cos y ch( x + iy) = chx cos y + ishx sin y
Ln ( 1 ) = ( 2 k + 1 )π i
1) w = Lnz 不仅对正数有意义 ,对一切非零 复数都有意义 .(负数也有对数)
2) 指数函数的周期性导致 了对数函数的 多值性 ,这与实函数不同 . (2) 对数函数的性质 2 1) Ln( z1 z 2 ) = Lnz 1 + Lnz 2 , 但 Lnz ≠ 2 Lnz
其它三角函数的定义(详见P51) 1 sinz cosz 1 secz = cscz = tanz = cotz = sinz cosz sinz cosz
定义
工程数学-积分变换(第四版)-高等教育出版社-课后答案(1)
再由 Fourier 变换公式得
f (t ) =
1 +∞ 1 +∞ 1 +∞ ω 2 + 2 jω t F ω e d ω = F ω cos ω t d ω = cos ω t dω ( ) ( ) 2 π ∫ −∞ π∫0 π ∫ 0 ω4 + 4 +∞ ω 2 + 2 π −t ∫ 0 ω 4 + 4 cos ω tdω = 2 e cos t
f (t) =
2 +∞ ⎡ +∞ f (τ ) sin ωτ dτ ⎤ sin ω tdω ⎢ ∫0 ⎥ ⎦ π ∫0 ⎣
=
2 +∞ ⎡ +∞ − β t sin ω tdω e sin ωτ dτ ⎤ ∫ ∫ ⎢ ⎥ 0 0 ⎣ ⎦ π
− βτ 2 +∞ ⎡ e ( β sin ωτ − ω cos ω t ) +∞ ⎤ = ∫ ⎢ ⎥ sin ω tdω π 0 ⎣ β 2 + ω2 0 ⎦
=
=
由于 a ( ω ) = a ( −ω ) , b ( ω ) = − b ( −ω ) , 所以
f (t) =
1 +∞ 1 +∞ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω tdω ∫ 2 −∞ 2 −∞
+∞ +∞ 0 0
= ∫ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω t dω 2.求下列函数的 Fourier 积分:
2 2 ⎧ ⎪1 − t , t ≤ 1 1)函数 f ( t ) = ⎨ 解: 解:1 为连续的偶函数,其 Fourier 变换为 2 0, 1 t > ⎪ ⎩
工程数学-积分变换-第四版-课后习题答案精选全文
可编辑修改精选全文完整版工程数学 积分变换(第四版 张元林 编)课后习题答案编辑者:余小龙第一章:Fourier 变换习题一解答1、证:利用Fourier 积分变换的复数形式,有⎰⎰+∞∞--+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)( ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωτωττπωd e d j f t j )sin )(cos (121[]⎰+∞∞-+-=ωωωωωd t j t jb a )sin (cos )()(21 由于)()(ωω-=a a , )()(ωω--=b b , 所以⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=ωωωωωωtd b td a t f sin )(21cos )(21)(⎰⎰+∞+∞+=ωωωωωωtd b td a sin )(cos )(0。
注:本题也可以由Fourier 积分公式的三角形式得到证明。
2、解:(1)此题亦可写成⎩⎨⎧-=.0,1)(2t t f .1;1>≤t t 它是一个连续的偶函数,利用Euler 公式和分部积分法,由Fourier 积分公式的复数形式,有 ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ωτωττπωd e d t j 102cos )1(1ωωωττωωτωωττωωτπωd e tj 1232sin sin 2cos 2sin 1⎰∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==ωωωωωπωd e t j ⎰+∞∞--3)cos (sin 21=⎰+∞∞-+-ωωωωωωωπd t j t )sin (cos cos sin 23ωωωωωωπtd cos cos sin 403⎰+∞-= (2)函数)(t f 为一连续函数,用类似于(1)的方法,有⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωτd e d e f t f t j j )(21)(⎰⎰+∞∞-+∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωωττd e d e e t j j 02sin 21 ⎰⎰+∞∞-+∞+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ωττπωτωd e d e t j j 0)1(2sin 21 {}()()⎰∞+∞-+∞+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++--+-=ωωττωπωτωd e j j e tj j 02)1(412cos 22sin )1(21 ⎰+∞∞-+-=ωωωπωd e j tj 252212[][]⎰∞+∞-+--+---=ωωωωωωωωωπd t j t j j j )sin (cos 2)5(2)5(2)5(1222⎰∞+∞-+---++-=ωωωωωωωωωωωπd tj t j t t 222224)5(cos 2sin )5(sin 2cos )5(1⎰∞+∞-+-+-=ωωωωωωωπd tt 432625sin 2cos )5(2(3)可以看出)(t f 为奇函数,且-1,0,1为其间断点。
积分变换 东南大学 第四版第一章4-6节
3.函数的连续性
定义 若 lim f ( z ) = f ( z 0 ),则称 f ( z )在 z 0处连续 ; z→ z
0
若在区域 D 内处处连续,则称 f ( z )在 D 内连续 ; 若 z 、 z 0 ∈ C , 且 lim f ( z ) = f ( z 0 ),则称 f ( z )
z → z0
z − z0 < r 表示以 z0 为圆点,以 r 为半径的圆内所有的点 .
Re z = α , Im z = β表示分别平行于 y轴和 x轴的直线 .
Re z > 0表示右半复平面 , Im z < 0表示下半复平面 .
r1 < z − z0 < r2
表示一个圆环 , 而且是有界的 .
它的边界由两个圆周 z − z0 = r2 , z − z0 = r1组成 , 如果在其中去掉一个或 几个点, 它仍然是区域 , 只是边界增加了一个或 几个点.
z → z0
lim
u( x, y ) = u0 v ( x , y ) = v0
lim
定理2
若 lim f ( z ) = A
z → z0 z → z0
lim g ( z ) = B , 则
z → z0 z → z0 z → z0
lim [ f ( z ) ± g ( z ) ] = lim f ( z ) ± lim g ( z ) = A ± B lim f ( z ) g ( z ) = lim f ( z ) lim g ( z ) = AB
w=f(z) w o u
•复变函数的几何意义是一个映射(变换) 复变函数反映了两对变量 u,v 与 x,y 之间的对应关系,因而无法用同一平面内 的几何图形表示出来,必须看成两个复平 面上点集之间的的对应关系,以便在研究 和理解复变函数问题时,可借助于几何直 观. 以下不再区分函数与映射(变换)。
积分变换 东南大学 第四版积分变换第一章4-5节
+∞ −∞
−∞
=∫
f1 (τ )e
− jωτ
⎡ +∞ f ( t − τ )e − jω ( t −τ )d t ⎤ dτ ⎢ ∫−∞ 2 ⎥ ⎣ ⎦
= F1 (ω ) ⋅ F2 (ω )
14
3 卷积定理的应用 例4 求f ( t ) = e jω0t tu( t )的Fourier变换.
1 jω 0 t [e tu( t )] = ℱ [ f ( t )] = ℱ ℱ [e ] ∗ℱ [tu( t )] 2π 1 ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ = ⎢ 2πδ ( ω − ω 0 ) ∗ ⎜ − ω 2 + jπδ ′ ( ω ) ⎟ ⎥ 2π ⎣ ⎝ ⎠⎦
t
−t
−t
1 O
1−e−t
t
11
例3 求下列函数的卷积:
⎧ 0 f1 ( t ) = ⎨ − α t ⎩e t<0 ⎧ 0 , f2 (t ) = ⎨ − β t t≥0 ⎩e
+∞ −∞
t<0 ; α , β > 0,α ≠ β . t≥0
0 t +∞ t
解:由卷积的定义有
f1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 ( t − τ )dτ = ∫ + ∫ + ∫
§1.4
卷积
1 卷积的概念 2 卷积定理 3 卷积定理的应用
1
1.卷积的概念
若已知函数f1(t), f2(t), 则积分
+∞
∫
−∞
f1 (τ ) f 2 ( t − τ ) d τ
称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t),即
高等教育出版社《复变函数》与《积分变换》第四版课后习题参考答案
+
1 zn
= 2cos nt
;
(2) zn − 1 = 2 i sin nt zn
解 (1) zn + 1 = eint + e−int = eint + eint = 2sin nt zn
(2) zn
−
1 zn
= eint
− e−int
= eint
− eint
= 2 i sin nt
14.求下列各式的值
故 n = 4k, k = 0, ±1, ±2,"。
16.(1)求方程 z3 + 8 = 0 的所有根 (2)求微分方程 y'''+8y = 0 的一般解。
( )1
π i
(1+
2k
)
解 (1) z = −8 3 = 2e 3 ,k=0,1,2。
即原方程有如下三个解:
1 + i 3, −2, 1 − i 3 。
+
4 i)(2
2i
−
5i)⎤
⎥⎦
+
2kπ
=
2 arctan
26 7
−
π
+
2kπ
= arctan 26 + (2k −1)π ,
7
k = 0,±1,±2," .
( ) ( ) (4) i8 − 4i21 + i = i2 4 − 4 i2 10i + i = (−1)4 − 4(− )1 10i + i
34
= 1 [5x + 3y − 4]+ i(− 3x + 5y −18) = 1 + i
工程数学2012-CH06-积分变换
积分变换
6.1 傅里叶级数 6.2 傅里叶积分 6.3 傅里叶变换 6.4 拉普拉斯变换 6.5 黎曼-梅林公式 6.6 拉普拉斯变换的应用 6.7 小结
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§6.1 傅里叶级数
周期为2π函数的傅里叶级数展开
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偶函数和寄函数的傅里叶积分
对偶函数 f ( x) = f (− x), f ( x) = ∫ C (k ) cos kx dk
0 ∞
1 2 其中 C (k ) = ∫ f (ξ ) cos kξ dξ = ∫ f (ξ ) cos kξ dξ . π −∞ π0 对奇函数 f ( x) = − f (− x), f ( x) = ∫ D(k )sin kx dk
f 0.75 0.5 0.25 -3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75 1 2 3
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f 0.75
S2 0.75
0.5 0.25 -3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75 1 2 3 -3 -2 -1
∞ ∞
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证明: 在周期为2l 函数的傅里叶级数展开式中,令
nπ = kn , l
π ∆k = kn − kn−1 = . 当l → ∞,由于函数f ( x)在(−∞, ∞)上 l 绝对可积,则有 M 1 l 1 ∞ C0 = lim ∫ f (ξ )dξ ≤ lim ∫ f (ξ ) dξ = lim = 0 l →∞ 2l − l l →∞ 2l −∞ l →∞ 2l ∞ ∞ nπ nπ nπ 1 l Cn cos x =∑ ∫ f (ξ ) cos ξ dξ cos x ∑ l − l l l n =1 n =1 l 1 = ∑ ∆k n =1 π
积分变换 东南大学 第四版 第二章1-2节
使用时: i) 判别 u(x, y),v (x, y) 偏导数的连续性,
ii) 验证C-R条件. iii) 求导数:
∂u ∂v 1 ∂u ∂v f '( z) = + = +i ∂x ∂x i ∂y ∂y
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两 个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
Δ v = bΔ x + aΔ y + ρ 2Δ x + ρ 1Δ y .
Q lim ρ ( Δ z ) = 0
Δz → 0
Δx→ 0 Δy→ 0 Δx→ 0 Δy→ 0
∴ lim ρ 1 = lim ρ 2 = 0
= 0,
Δx → 0 Δy→ 0
⇒ lim
ρ 1Δ x − ρ 2Δ y
Δz
lim
ρ 2Δ x + ρ 1Δ y
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义, 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是
u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微,且满足 Cauchy-Riemann方程
∂u ∂v = ∂x ∂y
上述条件满足时,有
∂v ∂u =− ∂x ∂y
Δz
= 0
Δx → 0 Δy→ 0
所以u(x, y),v(x, y)在点(x, y)处 可微,且 ∂u ∂v a= = , ∂x ∂y
记忆
∂u ∂v −b= =− ∂y ∂x
定义 方程
∂u ∂x ∂v ∂x
∂u − ∂y ∂v ∂y
∂u ∂v = ∂x ∂y
∂u ∂v =− ∂x ∂y
积分变换(Fourier)课件与习题
的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的
线性组合来逼近.---- Fourier级数
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
4
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内 函数变化的情况.
T T fT (t )为T 周期函数,在 , 上满足 2 2 Dirichlet条件: fT (t )连续或仅有有限个第一类间断点; fT (t )仅有有限个极值点 则fT (t )可展开为Fourier级数,且在连续点t处成立: a0 fT (t ) an cos nt bn sin nt 2 n1
18
一般地, 对于周期T
1 T2 j n t cn T fT (t )e dt T 2 1 1 j n t e dt T 1 1 1 1 j n t j n j n e e e Tj n Tj n 1 2 sin n 2 sinc( n ) (n 0,1,2, ) T n T
cos nt
e
int
e 2
int
, sin nt
e
int
e 2i
int
6
级数化为: a0 e int e int e int e int an bn 2 n 1 2 2i a0 a n ibn int a n ibn int e e 2 n 1 2 2
1 从 而f (t ) f ( )cos (t )d d 2 1 可得 f (t ) f ( )cos (t )d d , 0 这就是f (t )的Fourier积分公式的三角形式。
积分变换 东南大学 第四版积分变换第一章2-3节
2. 单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函 数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学 中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后 产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力 作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们 要介绍的单位脉冲函数.
e jω0 t ↔ 2πδ (ω − ω0 )
3.微分性质 如果f (t)在(−∞, +∞)上连续或只有 有限个可去间断点, 且当|t|→+∞时, f(t)→0, 则 ℱ[f '(t)]=j ω ℱ[f (t)]. (4) 证 由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得
ℱ [ f ′( t )] =
∫
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能 够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进一称为 (Dirac)的函数, 简单记成δ-函数. 有 了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技 术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的 量那样, 以统一的方式加以解决.
f(t)
E
单个矩形脉冲的频谱 函数为:
F (ω ) = ∫
∞ −∞
f ( t )e
− jω t
d t = ∫−τ E e
2 2
τ
− jω t
−τ/2
τ/2
t
dt
τ
E − jω t e = − jω
2 −
τ
2
=
2E
ω
sin
ωτ
2 sin
则振幅频谱 | F (ω ) |=
2E
ωτ
2
ω
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从而在普通导数意义下, q(t)在这一点不存在导数.
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0)
lim
t 0
q(0
t) t
q(0)
lim
t 0
1 t
问题: 在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够 表示这样的电流强度.
解决办法:引进狄拉克(Dirac)函数, 简单记成 函数.
弱收敛:
若对任何一个无穷次可微的函数f(t), 如果函数序列
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数.
有许多物理现象具有脉冲性质, 如: 在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情 况等.
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入 一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t).
当f (t)为奇函数时,由f(t)的Fourier正弦积分公式
f (t) 2
0
0
f
( )sin
d
sin
t
d
可得,
Fs ()
f (t)sint dt
0
f(t)的Fourier正弦变换 Fs () F s[ f (t)]
f (t) 2
0 Fs ()sint d
F()的Fourier正弦逆变换
箭头连接:
f(t) F()
(1.9)式右端的积分运算, 叫做f(t)的Fourier变换,
同样, (1.10)式右端的积分运算, 叫做F()的Fourier逆变换.
F()称作f(t)的象函数, f(t)称作F()的象原函数.
可以说象函数F()和象原函数f(t)构成了一个
Fourier变换对.它们有相同的奇偶性(习题二).
f (t) F s
1[Fs ()]
当f (t)为偶函数时, 由f(t)的Fourier余弦积分公式
f (t) 2
0
0
f
(
) cos
d
cost
d
可得, Fc () 0 f (t)cost dt
f(t)的Fourier余弦变换 Fc () F c[ f (t)]
f (t) 2
第二节 Fourier变换
一.Fourier变换的概念
二.单位脉冲函数及其Fourier 变换
三.非周期函数的频谱
1.Fourier变换的概念
我们知道, 若函数f(t)满足Fourier积分定理的条件, 则在 f(t)的连续点处, 有
f (t) 1
2
f
(
)
e
j
d
e
jt d
设 F() f ( )e jd
ete jtd t 0
e( j)td t e( j)t
0
j 0
1 j j 2 2
这就是指数衰减函数的Fourier变换.
现在,我们来求指数衰减函数的积分表达式.
根据(1.10)式, 有
f (t) F 1[F ()] 1 F ()ejtd
2
1
2
{Sn}满足
b
b
lim
n
a Sn (t) f (t)d t
S(t) f (t)dt
a
则称函数列{Sn (t)}弱收敛于函数S(t).
出发点: 想办法把无法表示的函数用某个可以表
出
的函数列求弱极限来得到.
0 Fc ()cost d
F()的Fourier余弦逆变换 f (t) F c 1[Fc ()]
例1
求函数f
(t)
0, et ,
t 0的Fourier变换及其积分表达式, t0
其中 0.这个f (t)叫做指数衰减函数,是工程技术中常碰
到的一个函数.
f(t)
1
t
根据(1.9)式, 有
F () F [ f (t)] f (t)e jtd t
因此有
A et2
2
Ae 4
如果令=1/2, 就有
t2
2
Ae 2 2 Ae 2
可见钟形函数的Fourier变换也是钟形函数.
求钟形脉冲函数的积分表达式, 根据(1.10)式
f (t) F 1[F ()] 1 F ()ejtd
2
1
A
e
2 4
(cost
jsin t ) d
2
j 2 2
e jt d
1
2
cost 2Biblioteka sin 2td
1
0
cost 2
sin 2
t
d
0 t0
因此
0
cost sint 2 2
d
f
(t)
/
2
et
t 0 t 0
例2 求函数f (t) Aet2 的Fourier变换及其积分表达式,
其中A, 0.这个函数叫做钟形脉冲函数,也是工程技
(1.9)
则 f (t) 1 F () ejtd
2
(1.10)
(1.9)式叫做 f(t) 的Fourier变换式,
(1.10)式为 F() 的Fourier逆变换式,
可以看出 f(t) 与 F() 可相互转换,分别记为 F()=F [f(t)] 和 f(t)=F 1[F()]
还可以将f(t)放在左端, F()放在右端, 中间用双向
A
e
2 4
cost
d
0
因此,我们得到一个含参量广义积分的结果:
e
2 4
cost
d
f (t)
et2
0
A
例3 求函数
f
(t)
1, 0,
0 t 1,的正弦变换和余弦变换. t 1.
解: 根据(1.11)式,f (t)的正弦变换为
Fs () F s[ f (t)]
f (t)sintdt
若以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
0, t 0, q(t) 1, t 0.
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
i(t) d q(t) lim q(t t) q(t)
d t t0
t
当t0时, i(t)=0.
当t=0时, q(t)在这一点不连续, 0是q(t)的第一类间断点.
术中常碰到的一个函数(图见142页).
解: 根据(1.9)式,有
F () F [ f (t)] f (t)e jtd t Aet2e jtd t
2
Ae 4
e dt
t
j 2
2
2
Ae 4
1. 柯西-古萨基本定理.
2. 普阿松积分公式 et2 dt . 见复变函数课本第 170 页例 5.
0
1
sin tdt
1
0
1
sin
td(t)
1
cos
,
0
根据(1.13)式,f (t)的余弦变换为
Fc () F c[ f (t)] 0 f (t)costdt
1
costdt
1
1
costd(t)
sin
.
0
0
注意: 在半无限区间上的同一函数,其正弦变换和余 弦变换结果是不同的.
2. 单位脉冲函数及其Fourier变换