工程数学积分变换第四版

从而在普通导数意义下, q(t)在这一点不存在导数.
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0)
lim
t 0
q(0
t) t
q(0)
lim
t 0
1 t
问题: 在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够 表示这样的电流强度.
解决办法:引进狄拉克(Dirac)函数, 简单记成 函数.
弱收敛:
若对任何一个无穷次可微的函数f(t), 如果函数序列
j 2 2
e jt d
1
2
cost 2
sin 2
t
d
1
0
cost 2
sin 2
t
d
0 t0
因此
0
cost sint 2 2
d
f
(t)
/
2
et
t 0 t 0
例2 求函数f (t) Aet2 的Fourier变换及其积分表达式,
其中A, 0.这个函数叫做钟形脉冲函数,也是工程技
当f (t)为奇函数时,由f(t)的Fourier正弦积分公式
f (t) 2
0
0
f
( )sin
d
sin
t
d
可得,
Fs ()
f (t)sint dt
0
f(t)的Fourier正弦变换 Fs () F s[ f (t)]
f (t) 2
0 Fs ()sint d
F()的Fourier正弦逆变换
ete jtd t 0
e( j)td t e( j)t
0
j 0
1 j j 2 2
这就是指数衰减函数的Fourier变换.
现在,我们来求指数衰减函数的积分表达式.
根据(1.10)式, 有
f (t) F 1[F ()] 1 F ()ejtd
2
1
2
0 Fc ()cost d
F()的Fourier余弦逆变换 f (t) F c 1[Fc ()]
例1
求函数f
(t)
0, et ,
t 0的Fourier变换及其积分表达式, t0
其中 0.这个f (t)叫做指数衰减函数,是工程技术中常碰
到的一个函数.
f(t)
1
t
根据(1.9)式, 有
F () F [ f (t)] f (t)e jtd t
若以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
0, t 0, q(t) 1, t 0.
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
i(t) d q(t) lim q(t t) q(t)
d t t0
t
当t0时, i(t)=0.
当t=0时, q(t)在这一点不连续, 0是q(t)的第一类间断点.
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数.
有许多物理现象具有脉冲性质, 如： 在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情 况等.
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入 一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t).
0
1
sin tdt
1
0
1
sin
td(t)
1
cos
,
0
根据(1.13)式,f (t)的余弦变换为
Fc () F c[ f (t)] 0 f (t)costdt
1
costdt
1
1
costd(t)
sin
.
0
0
注意: 在半无限区间上的同一函数,其正弦变换和余 弦变换结果是不同的.
2. 单位脉冲函数及其Fourier变换
第二节 Fourier变换
一.Fourier变换的概念
二.单位脉冲函数及其Fourier 变换
三.非周期函数的频谱
1.Fourier变换的概念
我们知道, 若函数f(t)满足Fourier积分定理的条件, 则在 f(t)的连续点处, 有
f (t) 1
2
f
(
)
e
j
d
e
jt d
设 F() f ( )e jd
术中常碰到的一个函数(图见142页).
解: 根据(1.9)式,有
F () F [ f (t)] f (t)e jtd t Aet2e jtd t
2
Ae 4
e dt
t
j 2
2
2
Ae 4
1. 柯西-古萨基本定理.
2. 普阿松积分公式 et2 dt . 见复变函数课本第 170 页例 5.
{Sn}满足
b
b
lim
n
a Sn (t) f (t)d t
S(t) f (t)dt
a
则称函数列{Sn (t)}弱收敛于函数S(t).
出发点: 想办法把无法表示的函数用某个可以表
出
的函数列求弱极限来得到.
f (t) F s
1[Fs ()]
当f (t)为偶函数时, 由f(t)的Fourier余弦积分公式
f (t) 2
0
0
fFra Baidu bibliotek
(
) cos
d
cost
d
可得, Fc () 0 f (t)cost dt
f(t)的Fourier余弦变换 Fc () F c[ f (t)]
f (t) 2
(1.9)
则 f (t) 1 F () ejtd
2
(1.10)
(1.9)式叫做 f(t) 的Fourier变换式,
(1.10)式为 F() 的Fourier逆变换式,
可以看出 f(t) 与 F() 可相互转换,分别记为 F()=F [f(t)] 和 f(t)=F 1[F()]
还可以将f(t)放在左端, F()放在右端, 中间用双向
因此有
A et2
2
Ae 4
如果令=1/2, 就有
t2
2
Ae 2 2 Ae 2
可见钟形函数的Fourier变换也是钟形函数.
求钟形脉冲函数的积分表达式, 根据(1.10)式
f (t) F 1[F ()] 1 F ()ejtd
2
1
A
e
2 4
(cost
jsin t ) d
2
A
e
2 4
cost
d
0
因此,我们得到一个含参量广义积分的结果:
e
2 4
cost
d
f (t)
et2
0
A
例3 求函数
f
(t)
1, 0,
0 t 1,的正弦变换和余弦变换. t 1.
解: 根据(1.11)式,f (t)的正弦变换为
Fs () F s[ f (t)]
f (t)sintdt
箭头连接:
f(t) F()
(1.9)式右端的积分运算, 叫做f(t)的Fourier变换,
同样, (1.10)式右端的积分运算, 叫做F()的Fourier逆变换.
F()称作f(t)的象函数, f(t)称作F()的象原函数.
可以说象函数F()和象原函数f(t)构成了一个
Fourier变换对.它们有相同的奇偶性(习题二).