1-4 次序统计量

当 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 取值为 ( x1 , x 2 ,L , x n ) 时 , 定义 X ( k ) 取 值为 x( k ) (k = 1,2,L, n), 由此得到的 ( X (1) , X (2) ,L, X ( n ) ) 称为 次序统计量。 样本 ( X 1 , X 2 ,L , X n )的次序统计量。
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定理 设总体 X 的分布密度为 f(x)(分布函数为 F(x)), ( ),
X 1 , X 2 ,L , X n 为其样本，则次序统计量的分布密度为 为其样本，
( X (1) , X ( n ) ) 的联合分布密度为
n(n − 1)[ F ( y ) − F ( x)]n−2 f ( x) f ( y ), x < y, f ( X (1) , X ( 2 ) ) ( x, y ) = 0, x ≥ y,
而样本均值为： 而样本均值为：
1 6 x = ∑ xi = 36.5; 6 i =1
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个数， 样本均值 x 大于样本值 6 个数中的 5 个数，这 比其它值大许多， 是因为样本值 65 比其它值大许多，可见样本均值 对异常值或极端值较敏感， 对异常值或极端值较敏感，而样本中位数则不受异 常值影响，所以有时候估计总体均值用样本中位数 常值影响， 比用样本均值效果更好。 比用样本均值效果更好。
§ 1.4
一 次序统计量
次序统计量及其分布
中抽取的一个样本， 设 ( X 1 , X 2 ,L , X n )是从总体 X 中抽取的一个样本， 为样本的一个观测值， 记 ( x1 , x2 ,L , xn )为样本的一个观测值，将观测值的各 个分量按由小到大的递增序列重新排列为
x(1) ≤ x(2) ≤ L ≤ x( n ) .
由于次序统计量的每一个分量 X(k ) 都是样本
( X , X ,L, X )的函数，所以 X(1) , X(2) ,L, X(n) 也都是随机 的函数， 变量。 是相互独立的， 变量。样本( X , X ,L, X )是相互独立的，但其次序统
1 2 n 1 2 n
一般不是独立的。 计量( X(1) , X(2) ,L, X(n) ) 一般不是独立的。
1
显然有
X (1) ≤ X (2) ≤ L ≤ X ( n )
称为最小次序统计量 它的值 x(1) 是样本 最小次序统计量， 其中 X (1) = min X i 称为最小次序统计量， 1≤i≤n 值中最小的一个； 称为最大次序统计量 最大次序统计量， 值中最小的一个；而 X (n) = max X i 称为最大次序统计量， 1≤i≤n 是样本值中最大的一个。 它的值 x(n) 是样本值中最大的一个。
X 1 , X 2 ,L , X n 为其样本，则次序统计量的分布密度为 为其样本，
( X (1) , X (2) ,L, X ( n ) ) 的联合分布密度为
n n!∏ f ( yi ), y1 < y2 < L < yn f ( y1 , y2 ,L, yn ) = i =1 0, 其他
它的值为
x n +1 ， n 奇 ( ) 2 % x = 1 [ x n + x n + 1 ]， n 偶 ( ) ( ) 2 2 2
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样本中位数与样本均值一样是刻划样本位置特征的 量，而且样本中位数的计算方便并不受样本异常值 的影响，所以有时比样本均值更有代表性。 的影响，所以有时比样本均值更有代表性。
(2). 样本的众数适用于离散的总体
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表示“变差”的统计量： 2. 表示“变差”的统计量： 样本方差(或标准差) 样本方差(或标准差)、极差 样本极差定义为 样本极差定义为
R = X ( n ) − X (1) = max X i − min X i ,
1≤i ≤ n 1≤i ≤ n
它的值为
r = x( n ) − x(1) = max xi − min xi ,
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乙同学毕业后求职于一家公司。总经理说， 例 乙同学毕业后求职于一家公司。总经理说， 公司平均月薪是 3000 元。一个月后乙同学得到 工资1000元，据了解，公司共有21人，和自己 元 据了解，公司共有 人 工资 职位相同的业务员共有 10 人，每人的月薪都是 1000 元。应该如何理解乙同学的遭遇 ？ 总经理 15,000 ；两个副总经理每人 8,000 ； , , 3 个部门经理每人 4000；5 个财务等行政人员 ； 每人 2000；10 个业务员每人 1000 。 ； 一共 21 人，每月支出工资 63,000。 , 。 平均值 3000，中位数 2000，众数 1000，极差 14,000 ， ， ， ,
定理
证明
次序统计量是充分统计量。 次序统计量是充分统计量。
当给定 X (1) = x(1) ,L , X ( n ) = x( n ) 时 ， 由于 X 1 , X 2 ,L , X n
1 n!
独立同分布， 独立同分布 ，所以
P( X i1 = x(1) ,L, X in = x( n ) ) =
此条件分布与总体分布无关，故次序统计量是充分统计量。 此条件分布与总体分布无关，故次序统计量是充分统计量。
众数定义 样本数据中出现次数最多的样本，例如： 样本数据中出现次数最多的样本，例如： 1， { 1 ，1 ，3 ，3 ，4 ，2 ，3 ，8 } 3
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Remark (1). 中位数比样本均值更为稳健，当二者相差不大时 中位数比样本均值更为稳健， 常采用样本均值表示数据平均，否则应该用中位数。 常采用样本均值表示数据平均，否则应该用中位数。
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从总体中抽取容量为6的样本 的样本， 例 从总体中抽取容量为 的样本，测得样本值为 32， 65， 28， 35， 30， 29， 由小到大排列为 28， 29， 30， 32， 35， 65； ； 则样本中位数为： 则样本中位数为：
% = 1 [ x + x ] = 31; x (3) (4) 2
特别，最小次序统计量 X (1) 和最大次序统计量 X ( n ) 的分布 和最大次序统计量 特别， 密度为
f X (1) ( x) = n[1 − F ( x)]n−1 f ( x), f X ( n ) ( x) = n[ F ( x)]n−1 f ( x).
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定理 设总来自百度文库 X 的分布密度为 f(x)(分布函数为 F(x)), ( ),
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中位数定义
设 X 1 , X 2 ,L , X n ） （ 是总体 X 中的样本 ， ( X (1) , X (2) ,L, X ( n ) ) 为其次序统计量， 为其次序统计量，则样本中位数定义为
X n +1 ， n 奇 ( ) 2 X = 1 [ X n + X n + 1 ]， n 偶 ( ) ( ) 2 2 2
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例 关于正确解释统计数据 下面是某高速公路上发生的交通事故有关数据： 下面是某高速公路上发生的交通事故有关数据： 速度 km / h 数量 小于 70 12 70 ~ 180 32 大于 180 3
丙同学由此得出结论说：统计数据显示， 丙同学由此得出结论说：统计数据显示， 在高速公路上，汽车速度越高，也就越安全。 在高速公路上，汽车速度越高，也就越安全。 实际上绝大多数的汽车行驶速度都在 70 ~ 180 ， 因此发生事故的次数也就多。 因此发生事故的次数也就多。
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3
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定理 设总体 X 的分布密度为 f(x)(分布函数为 F(x)), ( ),
X 1 , X 2 ,L , X n 为样本，则第 k 个次序统计量 X ( k ) 的分布 为样本，
密度为
n! f X ( k ) ( x) = [ F ( x)]k −1[1 − F ( x)]n−k f ( x), k = 1,2,L, n. (k − 1)!(n − k )!
米的小河中淹死了，他觉得不可思议。 平均水深为 1 米的小河中淹死了，他觉得不可思议。 这件事情是否是一个玩笑？ 这件事情是否是一个玩笑？
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思考2. 一位统计学家把一只脚放进 100℃ 的开水里， 思考 ℃ 的开水里， 另一只脚放进冰水中。然后宣布：现在， 另一只脚放进冰水中。然后宣布：现在，在平均值的 意义上，我感觉很舒服。 意义上，我感觉很舒服。
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定义
样本 X 1 , X 2 ,L , X n 按由小到大的顺序重排为
X (1) ≤ X (2) ≤ L ≤ X ( n )
为样本（ 则称 ( X (1) , X (2) ,L, X ( n ) ) 为样本（ X 1 , X 2 ,L , X n ）的次序统计 个次序统计量。 量， X ( k ) 称为样本的第 k 个次序统计量。
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1. 表示“平均”的统计量： 表示“平均”的统计量： 样本均值、中位数、 样本均值、中位数、众数 关于平均值 平均值的理解 例 关于平均值的理解 样本均值是人们采用最多的一种描述数据的方法， 样本均值是人们采用最多的一种描述数据的方法， 它反映了一组数据整体上的一些信息， 它反映了一组数据整体上的一些信息，然而容易掩盖 一些极端的情况， 一些极端的情况，所以有时候样本均值不一定合理 。 思考1. 思考 甲同学听说， 甲同学听说，有个身高 1.75 米的成年人在
1≤i ≤ n 1≤i ≤ n
样本极差与样本方差一样是反映样本值变化幅 度或离散程度的数字特征， 而且计算方便， 度或离散程度的数字特征 ， 而且计算方便 ， 所 以在实际中有广泛的应用。 以在实际中有广泛的应用。
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Remark (1). 极差计算简单，但是不如样本标准差稳健。 极差计算简单，但是不如样本标准差稳健。 (2). 对于大多数单峰对称分布，标准差大约 对于大多数单峰对称分布， 等于极差的四分之一。 等于极差的四分之一。 (3). 大多数情况下，数据基本上落在“均值±2个 大多数情况下，数据基本上落在“均值± 个 标准差”的区间内，否则这个数据就被认为是 标准差”的区间内， 异常的大或异常的小。 异常的大或异常的小。 在绝大多数情况下， 在绝大多数情况下，一组正常的数据基本上 落在“均值± 个标准差 的区间内。 个标准差” 落在“均值±3个标准差”的区间内。