高中数学苏教版必修4教案：第二章 平面向量 第8课时 2.4向量的数量积(1)

第8课时 §2.4 向量的数量积（1）
【教学目标】
一、知识与技能
（1）掌握向量的数量积及其几何意义；
（2）掌握向量数量积的重要性质及运算律；
（3）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
（4）掌握向量垂直的条件.
二、过程与方法
从问题的探究和解决中感受什么是向量的数量积
三、情感、态度与价值观
通过师生互动，自主探究，交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流
【教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
【教学过程】
一、创设情景：
向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？ 二、新课讲解 引入：
物理学中，物体所做的功的计算方法：
||||cos W F s θ=（其中θ是F 与s 的夹角）．
1．向量的夹角： 已知两个向量a 和b （如图2），作OA a =，OB b = AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量
a 与
b 当0θ=时，a 与b 同向；
当180θ=时，a 与b 反向； 当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．
2．向量数量积的定义：
A a b
θ
（图）
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．
说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角
有关；
②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实 数与向量的积是一个向量；
③规定，零向量与任一向量的数量积是0 ．
3、数量积的性质：
设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①cos ||||
a b a b θ⋅=； ②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-；
特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =
⋅； ③||||||a b a b ⋅≤； ④a b ⊥0a b ⇔⋅=；
若e 是与b 方向相同的单位向量，则
⑤||cos e a a e a θ⋅=⋅=． 4．数量积的几何意义：
（1）投影的概念：
如图，OA a =，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b
θ=．
B b
1
1
1
||cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影，
当θ为锐角时，它是正值；
当θ为钝角时，它是一负值；
当90θ=时，它是0；
当0θ=时，它是||b ；
当180θ=时，它是||b -．
（2）a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积。

三、例题分析：
例1 、判断正误，并简要说明理由 ①00=⋅ ； ②00 =⋅； ③-0 ＝； ④⋅a b ||.||b a =；
⑤若0 ≠a ，则对任一非零b ,有⋅a 0≠； ⑥⋅a b =0，则a 与b 至少有一个为0； ⑦对任意向量,,都有)()(c b a c b ⋅=⋅； ⑧与是两个单位向量，则22=.
例2、已知向量与向量的夹角为θ,2||=,3||=b ,分别在下列条件下求⋅:
(1) 0135=θ； （2）060=θ； （3）∥； (4) ⊥.
例3、已知正ABC ∆的边长为2，设BC a =，CA b =，AB c =，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅
例4、已知||3a =，||3b =，||23c =，且0a b c ++=，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅
四、课时小结：1．向量数量积的概念；
2．向量数量积的几何意义；
3．向量数量积的性质。

五、反馈练习。