沪教版初三数学相似三角形教案

姓名王瑜上课时间2016年9月3日上午10：10-12：10 辅导科目数学年级九年级课时 3
课题名称比例线段、相似三角形
教学目标1、理解放缩与相似形的概念，掌握相似形基本特征。

2、理解比与比例及比例中项等概念，掌握比例的基本性质、合比定理和更比定理，会用它们进行
简单的比例变形；
3、理解比例线段及黄金分割的概念，理解平行线分线段成比例定理，会作第四比例项
教学重点相似三角形的判定与性质
教学难点比例的基本性质、相似三角形的判定与性及其应用
教学及辅导过程
◆考点聚焦
1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．
2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，•并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．
3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．
4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，•会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置．
◆备考兵法
1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等．
2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意．
3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练．
◆考点链接
一、相似三角形的定义
三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．
二、相似三角形的判定方法
1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________．
2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____．
E A D C
B
E
A D
C
B
A
D C
B
3. 两个角对应相等的两个三角形__________．
4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．
5. 三边对应成比例的两个三角形___________． 三、相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．
2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．
3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________． 【历年考点例析】
考点一、比例及有关概念,比例的基本性质
例1 ① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km 。

② 若
b a =32 则 b
b
a +=__________ ③某同学想利用影子的长度测量操场上旗杆的高度，在某一时刻他测得自己影子长为0.8m ，立即去
测量旗杆的影子长为5m ，已知他的身高为1.6m ，则旗杆的高度为___m 。

随堂练习
比例的基本性质、合比定理和更比定理的应用 (1)已知x ∶y ∶z =3∶4∶5，①求z
y
x +的值；②若x +y +z =6，求x 、y 、z .
(2)已知a 、b 、c 是非零实数，且k c
b a d
d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.
(3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足a
c b a b c b a c c b a ++-=+-=-+，且abc
a c c
b b a x )
)()((+++=
，求x 的值.
考点二、判断四条线段是否成比例
例1 一个钢筋三角架的三边长分别是20cm 、60cm 、50cm ，现要作一个与其相似的钢筋三角形。

因为只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，问有几种截法，并指出余料最少的截法截出的三边长各为多少？提示:分三种.有一种不成立,只有一种最少. 考点三 比例中项与黄金分割
例1 如图，已知线段AB ，点C 在AB 上，且有AC:AB=BC:AC ，则AC ：AB 的数值为______；若AB 的长度与中央电视台的演播舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_________位置最好。

A C B 考点四 相似三角形的识别(判定)方法
例1 如图，△ABC 中，P 为AB 上一点，在下列四个条件下，① ∠ACP=
∠B ；② ∠APC=∠ACB ；③ AC 2
=AP ·AB ；④ AB ·CP=AP ·CB 。

能得出△ABC ∽△ACP 的是( ) A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③
练习1: 如图18-6，在□ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，连结DE ，交AC 于点G ，交BC 于点F ，那么图中相似的三角形(不含全等三角形)共有( )
A. 6对
B. 5对
C. 4对
D. 3对
练习2:如图18-8，点D 在△ABC 的边AB 上，满足怎样的条件时，△ACD 与△ABC 相似？试说明理由。

练习3: 在直角梯形ABCD 中.AD=7 AB=2 DC=3 P 为AD 上一点,以P 、A 、B 的顶点的三角形与P 、D 、C 为顶点的三角形相似,那么这样的点P 有几个?为什么? 提示:分两种.
B
C
A
P
例1
A D
G
C
B
E
F
练习1
A
D B
C
2
1
练习2
练习3
考点五 相似三角形的特征(性质)的应用
例1如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，CD 、BE 相交于F ，且52 BF EF ，则
BC DE ＝＿＿＿，EC
AE
＝＿＿＿＿，若DE ＝6，则BC ＝＿＿。

例2如图在△ABC 中，AB=AC AD 是中线，P 是AD 上一点，过点C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 与点F ，试证明：BP 2
=PE ·PF
练习1: 如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，若AE ＝1.8，BE ＝1.2，CD ＝1.4，则BD ＝＿＿＿＿＿；若S △CDF ＝1，S △AEF ＝4，
则S □BDEF ＝＿＿＿＿
练习2 如图，正方形ABCD 的边长为2，AE ＝EB ，MN ＝1。

线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM ＝＿＿＿＿时，△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ 提示:分两种.
C
B
D A
P
F
例1
C
B
A
D
E
D
P
B
A
C
F
E
例2
E
C
B
练习1
A
D
E
A 练习2
C
D B
E N
M
C
B
A
O P
x
y
考点六 利用相似三角形解决简单的实际问题。

例1 △ABC 是一块直角三角形余料，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，现要把它加工成一个正方形形状，请你说明用下图中的哪种剪裁方法的利用率高。

例2如图,△ABC 中，∠C=90°，BC=8cm ，5AC-3AB ＝0，点P 从B 点出发，沿BC 方向以2m/s 的速度移动，点Q 从C 出发，沿CA 方向以1m/s 的速度移动。

若P 、Q 同时分别从B 、C 出发，经过多少时间△CPQ 与△CBA 相似？提示:分两种.
考点七 相似与函数 例1如图18-16，直线y= 2
1
x+2分别交x 、y 轴于点A 、C ，P 是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴，B 为垂足，S △ABP ＝9 ① 求点P 的坐标；
② 设点R 与点P 在同一个反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 的右侧。

作RT ⊥x 轴，T 为垂足，当△BRT 与△AOC 相似时，求点R 的坐标。

B
A
C Q
P
例2
课后作业
一、选择题
1.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ）
(A)(2 5 –2)cm (B)(6-2 5 )cm (C)( 5 –1)cm (D)(3- 5 )cm
2.若D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，且AD AB =AE
AC ，那么下列各式中正确的是（ ）
(A)AD DB =DE BC (B)AB AD =AE AC (C)DB EC =AB AC (D)AD DB =AE AC
3.若b
a c a
c b c
b a k 222-=-=-=，且a +b +
c ≠0，则k 的值为（ ）
(A)-1 (B)21 (C)1 (D)- 12
4．如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ）
A ．
AD BC
DF CE
=
B ．
BC DF
CE AD
=
C ．
CD BC
EF BE
=
D ．
CD AD
EF AF
=
5.如图所示，给出下列条件：
①B ACD ∠=∠； ②ADC ACB ∠=∠； ③
AC AB CD BC
=
； ④2
AC AD AB =． 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6.已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为（ ） A ．1：2 B ．1：4 C ．2：1 D ．4：1
7.如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4. 其中正确的有：（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
A B
D C E
F
4题
A
C
D B
（第5题图）
8、如图，已知矩形OABC 的面积为1003，它的对角线OB 与双曲线k y x
=相交于点D ，且:5:3OB OD =，则k =（ ）． A ．6 B ．12 C ．24
D ．36
二、填空题
1、已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x= 。

2、已知5x+y 3x-2y =12 ，则x y = , x+y x-y = ;
3、若x 2-3xy+2y 2
=0,求y x
=
4、若25
a c e
b d f ===，求a
c b
d --= ，234234a c
e b d
f +-+-=
5、在平面直角坐标系中，ABC △顶点A 的坐标为(23)，，若以原点O 为位似中心，画ABC △的位似图形
A B C '''△，使ABC △与A B C '''△的相似比等于
1
2
，则点A '的坐标为 ． 6、如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，
直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S =△四边形，则CF
AD
= ．
7、如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△
3
（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ．
8、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．
A
E
F D
G C
B
第6题
x
y
D
C
B
O
A
9、如图，A B 、两处被池塘隔开，为了测量A B 、两处的距离，在AB 外选一适当的点C ，连接AC BC 、，并分别取线段AC BC 、的中点E F 、，测得EF =20m ，则AB =__________m ． 10、如图，直线3y x =-交双曲线k
y x
=（0x <）于点D ，点A 在直线上，且2OD AD =，过A 作AC y ∥轴交双曲线k
y x
=
（0x <）于C ，且10ACD S =△，则k =_______________． x
y
O
D C A
三、简答题
1、已知线段x 、y ，如果(x+y)∶(x-y)＝a ∶b ，求x ∶y.
2、已知：b a ＝d c ＝f e ＝3(且有b+d+f ＝0)，求证：d b c
a ++＝f d e c ++＝3.
3、如图，在ABC 中，已知DE ∥BC ，AD =4，DB =8，DE =3，
（1）求AD
AB
的值，（2）求BC 的长
A
E C
F B 第9题图
E
（第8题图）
A
B ′
C
F
B
A
C
B
D E
4、如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于
F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．
（1）求证：ABF COE △∽△；
（2）当O 为AC 边中点，2AC AB =时，如图2，求
OF
OE 的值； （3）当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出
OF
OE
的值．
5、如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ． （1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长．
B
B
A
A
C
O
E D D
E
C O F 图1
图2
F A
B
M
F
G
D
E
C
第8题图
6、如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ． （1）求证：CDF BGF △∽△；
（2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF CD ∥交AD 于点E ，若6cm 4cm AB EF ==，，求CD 的长．
7、如图，已知反比例函数k
y x
=（0x >，k 是常数）的图象经过点(14)A ，，点()B m n ，，
其中1m >，AM x ⊥轴，垂足为M ，BN y ⊥轴，垂足为N ，AM 与BN 的交点为C ． （1）写出反比例函数解析式； （2）求证：ACB NOM △∽△；
（3）若ACB △与NOM △的相似比为2，求出B 点的坐标及AB 所在直线的解析式．
x
y
O
N M
B
A
D
C F E A
B G
10题。