习题解答(第6章)

121

6（A ）

三、解答题

1. 已知总体X ～B (1，p )，X 1，X 2，…，X n 是X 的一个样本，求 (1) X 1，X 2，…，X n 的联合分布律; (2) ∑=n

i i

X

1

的分布律;

(3)

).(),(),(2S E X D X E

解：因为X 的分布律为

)10(1,0,)1(}{1<<=-==-p k p p k X P k k

且X 1，X 2，…，X n 均于X 独立同分布，所以 （1）X 1，X 2，…，X n 的联合分布律为

n

i x p p

x X P x X x X x X P i x n x n

i i i n n n

i i

n

i i

,...,2,1,1,0,

)

1(}

{},...,,{1

1

1

2211==∑-∑========-

=∏

（2）因为),(~1

p n B X Y

n

i i ∑==，所以n y p p C y Y P y

n y

y

n ,...,3,2,1,0,)

1(}{=-==-.

（3）因为，所以

,)()(p X E X E ==,)

1()()(n

p p n X D X D -==

).1()()(2p p X D S E -==

2. 从总体N (52，6.32)中随机抽取一个容量为36的样本，计算样本均值X 落在50.8到5

3.8之间的概率．

解：因为X ~N (52，6.32)，所以 ⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛363.6,

52~2

N X ， 8293.0)36

3

.6528.50(

)36

3

.6528.53(

}8.538.50{=-Φ--Φ=<

3. 某种灯管寿命X （以小时计）服从正态分布X ～ N (μ，σ 2)，X

为来自总体X 的样本均值．

(1) 求X 与μ的偏差大于

n

σ2的概率． (2) 若μ未知，σ 2 = 100，现随机取100只这种灯管，求X 与μ的偏差小于1的概率．

解：因为X ～N (μ，σ 2)，⎪

⎪⎭⎫ ⎝

⎛n N X 2

,

~σμ，),1,0(~N n

X σμ

-所以

122

(1) .

0456.09772.022)2(22)]2()2([12212122=⨯-=Φ-=-Φ-Φ-=⎪⎭⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-<--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-n X P n X P n X P n X P σμσμσμσμ (2) 因为σ 2 = 100，n=100，1=n σ

，所以

{}

.

6826.018413.02)1(221)1(2)1()1(111=-⨯=Φ-=-Φ=-Φ-Φ=⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=<-n X P n n X P X P σμσσμμ

4. 在天平上反复称量重量为w 的物体，每次称量结果独立同服从N (w ，0.04)，若以X 表示n 次称重的算术平均，则为使9

5.0}1.0{><-w X P ，n 至少应该是多少？

解：X 1，X 2，…，X n 为称重的结果，则X 1，X 2，…，X n 相互对立且均服从N (w ，0.04)，于是()1,0~2

.0N n

w X -，

欲使95.0}1.0{><-w X P ，须使95.02.01.02

.0>⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨

⎧<

-n n

w X P ，即

,95.01)5.0(25.02.0>-Φ=⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-n n n w X P 解得,975.0)5

.0(>Φn 查表得,975.0)96.1(=Φ

由于)(x Φ是递增函数，须使,96.15

.0>n 解得n>15.366,故n 至少为16.

5. 从正态总体2(,0.5)N μ中抽取样本X 1，X 2，…，X 10 (1) 已知μ = 0，求⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=10

124i i X P ； (2) μ未知，求⎭

⎬⎫⎩⎨

⎧≥-∑=10

12675.0)(i i X X P ． 解：（1）因为X i ～N (0，0.5 2)，()1,0~5

.00

N X i -，即()1,0~2N X i ,

令

∑==10

1

2

2

)

2(i i X χ，则)10(~)2(210

1

22

χχ

∑==i i X

由于

{}

1616)2(4210121012≥=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧≥=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑∑==χP X P X P i i i i

123

查表知16)10(2

1

.0=χ，所以{}

1.016421012=≥=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=χP X P i i . (2) ）因为X i ～N (μ，0.5 2)，即⎪

⎭

⎫ ⎝⎛1025.0,~μN X

，所以 ()

275.0,0~N X X i -,

()1,0~

275

.0N X X i -,

)10(~)275

.0(

210

1

2χ∑=-i i X X

⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∑=1012

675.0)(i i X X P =⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≥-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∑∑==101210124545.2)275.0(275.0675.0)275.0(i i i i X X P X X P ，

查表知45

.2)10(2

992.0≈χ，所以 992.0675.0)(1012=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧≥-∑=i i X X P 6. 已知X ~ t (n )，求证X 2 ~ F (1，n )．

证明：因为X ~ t (n )，存在Y ～ N (0，1)，Z ～ χ2(n )，Y 与Z 独立，使

n

Z Y X =

，

由于)1(~22

χY ，)(~2n Z χ，且Y 2与Z 独立，所以

),1(~2

2

n F n

Z Y X =.