高中数学教学论文 《高次方程的解法》

高次方程的解法

有很多中学生一谈起高次方程，就好比见天书一样。其实高次方程没什么难的，学数学应该学会举一反三。我们知道初中学了一元二次方程，有些学生只把二次方程的求根公式记住了，但这个求根公式怎么推导的呢，他没有理解。其实学数学应该学会理解，注重理解，而不在于死记公式。比如说我们学了一元二次方程，重要的不是这个求根公式，而是一元二次方程有几种解法。

一元二次方程有以下几种解法：

1、配方法（二次方程是配平方法）：这一方法虽然是很好理解的，但我通过在网上了解有很多学生对一方法根本就不懂。因为我问到他们时，他们绝大多数都是只会这个求根公式，一问起是怎么推导的，他们根本就不知道。其实二次方程的求根公式就是用配方法导出来的，配方法是解方程的里面的，尤其是解高次方程里面的最重要的一个方法。如果能够彻底理解这一方法，不仅是二次方程这块好掌握，对以后解高次方程也有很大帮助。

比如说对于二次方程ax2+bx+c=0，我们知道可用配平方（完全平方公式）法配成缺少一次项系数的二次方程，即配成关于x的一次代数式的完全平方的行式，这样就可以通过直接开平方法解出此方程。那么二次方程我们能用配方法求解，我们是不是就考虑举一反三，三次方程ax3+bx2+cx+d=0是不是也可以采取配方来解，当然对于三次方程就应该是配立方法了。通过研究对于某些特殊的三次方程是可以通过配立方法来求解的，为什么说是要特殊的三次方程呢，因为三次方程和二次方程不一样，它有三个带未知数x的项，这样用配立方法化把二次项系数去掉的同时，不一定一次项系数也同时去掉。所以对于某特殊的三次方程也适用于配方法的。比如说x3+6x2+12x+9=0，通过配立方法，可以化成完全立方的形式（x+2）3+1=0，这样就可以解得该方程有一实根X=-3，所以我们学了二次方程的配方法后，可以把这种方法推广到三次方程，甚至更高次数的方程上（例如某些四次方程可以通过配四次方法来解……）。所以如果能够举一反三，学了二次方程以后。对于某些特殊的高次方程也应该会解。

2、因式分解法：这种方法适合一些根为整数的方程。可以解一些特殊的二次方程。比如说方程x2+x-2=0，可以分解因式为（x+2）(x-1)=0，那可以解得X1=-2，X2=1。同样我们应该考虑二次以上次数的方程也有可能适用此法。比如说一元三次方程x3+18x2+72x+64=0，仔细观察这个方程，发现该方程的三次项和常数项可以组合，用立方和公式公解，18x2+72x 这一部分可以提取公因式x，那么这两个代数式分解之后有公因式（x+4），那么又可以提取公因式（x+4），从而求出该一元三次方程的根。

综上所述，二次方程的某些方法，是可以推广到某些特殊的高次方程上面的。学了二次方程，如果会举一反三，对某些高次方程应该轻而易举就会解出来的。

其实不论二次方程的配平方法或者是因式分解法，其主旨思想都是降次，把二次降为一次就解出来了。实际上解高次方程的主旨思想也是降次，如果是三次的就想办法降为一次的或两次的。关键是怎么降次，降次的方法，下面通过举例说一下某些特殊高次方程的几种解法。

1、换元法：

例如四次方程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=0，可以分成

(x+2)(x+3)和(x+1) (x+4)两个因式，

然后这两个因式分别乘出，得到

（x2+5x+6）(x2+5x+4)+1=0，

设x2+5x=y，代入方程，得：（y+6）(y+4)+1=0，

最后整理得，y2+10y+25=0，解得y1=y2=-5，

然后代入x2+5x=y，得x2+5x=-5，

再解这个二次方程，即可求出原方程的四个实数根。

2、配方法：

例如四次方程x4+6x3+13x2+12x+4=0，这个方程如果不仔细看，好像是看着很乱，找不到求解的头绪，其实如果试用配方法解，应该是很容易的。先通过配平方法将三次项式系数化掉，

即（x2+3x）2+4x2+12x+4=0，

然后观察正好后面的系数比和括号里的一样，

即（x2+3x）2+4（x2+3x）+4=0，

这样就可以用换元法，把四次方程化成二次方程，最后求出原方程的根。通过这个例子我们可以看出，对于某些最高次数为合数的N次方程，不仅可以考虑使用配N次方的方法，也可以考虑使用配N的因数次方的方法。例如四次方程可以考虑配平方的方法，六次方程可以考虑配二次方或者是三次方的方法，九次方程可以考虑配三次方的方法等等……。

3、因式分解法：

例如解三次方程x3+x2+3x+27=0，可以分解因式为

（x+3）(x2-3x+9)+x(x+3)=0，

提取公式因式(x+3)，得（x+3）(x2-2x+9)=0，

然后就通过解x2-2x+9=0、x+3=0这两个方程，

解原方程只有一个实根x=-3。

以上这些解高次方程的方法仔细想一下，都来自于解二次方程的方法。所以学数学应该学会举一反三。

下面出几道题供学生练习参考

解下列方程：

1、（x+1) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+9=0

2、 x3+8x2-4x-32=0

3、 x4+2x3-x2+2x+1=0

4、 x3+6x2+11x+6=0