数列概念与通项公式

n＋1 的第 C．数列 n
1 k 项为 1＋k
－
D．0,1,2,4,6,8，„可记为{2n 1}
工具
第二章 数列
栏目导引
解析： A 错，{1,3,5,7}是集合．B 错，是两个不同的 k＋1 1 数列，顺序不同． C 正确， ak ＝ ＝ 1 ＋ .D 错， an ＝ k k
工具
第二章 数列
栏目导引
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增
数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，
周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)
解析： (1)是有穷递增数列；
n－1 1 (2)是无穷递增数列因为 ＝1－ ； n n
到a3＝1 234，作差a2－a3＝4 321－1 234＝3 087.将3 087重复上 述方法得：a4＝8 730，a5＝378， 作差：a4－a5＝8 730－378＝8 352， 再重复一次：a6＝8 532，a7＝2 358，
作差：a6－a7＝8 532－2 358＝ 若再重复：a8＝7 641，a9＝1 467， 作差：a8－a9＝7 641－1 467＝
否为数列中的项，也就是说，判定某一数是否是数列中的某一
项，其实质就是看方程是否有正整数解．
工具
第二章 数列
栏目导引
(3)是无穷递减数列； (4)是摆动数列，也是无穷数列； (5)是摆动数列，是无穷数列，也是周期数列，最小正周期为 4.
答案：
工具
(1) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3)
第二章 数列
(4)(5) (5)
栏目导引
写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下 列各数： (1)3,0，－3,0,3,0，－3,0，„； (2) 3，3， 15， 21，3 3，„； (3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，„； 3 7 9 (4)2，1，10，17，„.
工具
第二章 数列
栏目导引
解析：
(1)这个数列的前 4 项都是序号的 2 倍减去 1，
所以它的一个通项公式是 an＝2n－1. (2)观察数列中的数，可以看到 0＝1－1,3＝4－1,8＝9－ 1,15＝16－1,24＝25－1，„，发现 an＝n2－1，所以它的一 个通项公式是 an＝n2－1. (3)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的 积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项 1 公式是 an＝(－1) . nn＋1
工具
第二章 数列
栏目导引
2．1
数列的概念与简单表示法
工具
第二章 数列
栏目导引
第1课时
数列的概念与通项公式
工具
第二章 数列
栏目导引
工具
第二章 数列
栏目导引
1.通过实例，了解数列概念． 2.理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型， 了解数列的几种分类．3 .了解数列与函数之间的关系，体会数列之间变量的依赖关 系.
1)k处理符号．
④对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形
式，或者利用周期函数，如三角函数等．
工具
第二章 数列
栏目导引
2.写出下列数列的一个通项公式． 1 2 3 4 (1)2，3，4，5，„； (2)－1,2，－3,4，„； (3)－1,7，－13,19，„； (4)9,99,999,9 999，„.
工具
第二章 数列
栏目导引
已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项； (2) 问－ 49 是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？ 68 是否是该数列的一项呢？
工具
第二章 数列
栏目导引
[规范作答]
(1)a4＝3×16－28×4＝－64，2 分
a6＝3×36－28×6＝－60.4 分 7 (2)设 3n －28n＝－49，解得 n＝7 或 n＝3(舍去).6 分
工具
第二章 数列
栏目导引
3．数列的分类
(1)按项的个数分类 类别
有穷 数列
含义 项数有限的数列 项数无限的数列
无穷 数列
工具
第二章 数列
栏目导引
(2)按项的变化趋势分类 含义 递增数列 从第2项起，每一项都 大于 它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都 小于 它的前一项的数列 常数列 各项 相等 的数列 类别
工具
第二章 数列
栏目导引
1.对数列概念的考查是本课的热点． 2.本课内容常与函数、不等式结合命题．
3.多以选择题、解答题的形式考查.
工具
第二章 数列
栏目导引
工具
第二章 数列
栏目导引
1．任意取一个四位数，如a1＝2 341，先把组成这个四位数
的4个数字，从大到小排列得到a2＝4 321，再从小到大排列，得
2
∴n＝7，即－49 是该数列的第 7 项，8 分 34 设 3n －28n＝68，解得 n＝ 3 或 n＝－2.10 分
2
34 * ∵ ∉N ，－2∉N*， 3 ∴68 不是该数列的项.12 分
工具
第二章 数列
栏目导引
[题后感悟] 要判断一个数是否为该数列中的项，可由通项 公式等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是
工具
第二章 数列
—出现了！
.
栏目导引
“6 174”这个神秘的数又出现了！ 这些数构成了一个特殊的数列，多神奇呀！等着你去探索
呢！
2．考察下面的问题： (1) 人们在 1740 年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔 83 年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依 次为1740,1823,1906,1989,2072，„.
工具
第二章 数列
栏目导引
(2)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺 长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之 1 1 1 1 1 棰”视为 1 份， 那么每日剩下的部分依次为 ，，， ， ， „. 2 4 8 16 32 (3)从 1984 年到 2008 年我国共参加了 7 次奥运会， 各次 参赛获得的金牌总数依次为：15,5,16,16,28,32,52. 这些问题有什么共同的特点？
an＝(－1)nn，n∈N*.
(3) 符号问题可通过 ( － 1)n 或 ( －1)n ＋ 1 表示，其各项的绝对值 的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故 通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (4)这个数列的前4项每一项加1后变成10,100,1 000，10 000. 所以它的一个通项公式是：an＝10n－1.
－
(4)0,10,20，„，1 000； (5)8,8,8，„； (6)1，－1,1，－1，„.
工具
第二章 数列
Байду номын сангаас
栏目导引
填充下面的表格 名称 有穷数列 无穷数列 递增数列 序号
递减数列
常数列 摆动数列
工具
第二章 数列
栏目导引
由题目可获取以下主要信息：
①注意省略号“„”及其位置； ②观察数列的项的变化趋势与规律； ③利用数列的通项公式． 解答本题要紧扣数列的有关概念完成判断．
工具
第二章 数列
栏目导引
[解题过程] (1)是无穷递减数列；
(2)是有穷递增数列；
(3)是摆动数列也是无穷数列；
(4)是有穷递增数列；
(5)是无穷常数列； (6)是无穷摆动数列． 答案： (2)(4) (1)(3)(5)(6) (2)(4) (1) (5) (3)(6) [题后感悟] 若数列{an}满足an<an＋1，则是递增数列；若数
1 2 3 4 解析： (1)这个数列的前 4 项 ， ， ， 的分子都是序 2 3 4 5 号，分母都是分子加 1，所以它的一个通项公式是 n an ＝ ，n∈N*. n＋1
工具
第二章 数列
栏目导引
(2) 这个数列的前 4 项－ 1,2，－3,4 的绝对值都是序号且奇数 项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是
工具
第二章 数列
栏目导引
工具
第二章 数列
栏目导引
[解题过程]
(1)数列的各项具有周期性，联想基本数列
nπ 1,0，－1,0，„，则 an＝3sin 2 ； (2)数列可化为 3， 9， 15， 21， 27， 即 3×1， 3×3， 3×5， 3×7， 3×9，„，每个根号里面可分解成两数之 积，前一个因式为常数 3，后一个因数为 2n－1，故原数列 的通项公式为 an＝ 3×2n－1； (3)将数列变形为 1－0.1,1－0.01,1－0.001,1－0.000 1， „ ∴an＝1－10
n－2 2 n≥2 0n＝1
.
答案：
C
工具
第二章 数列
栏目导引
2．数列2,5,11,20，x,47，„中的x等于( A．28 B．32
)
C．33
D．27
解析： ∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，依此类推， 则x－20＝12， ∴x＝32，满足47－32＝15，故选B. 答案： B
工具
－n
1 ＝1－10n；
第二章 数列
栏目导引
3 5 7 9 (4)将数列统一为2，5，10，17，„对于分子 3,5,7,9，„， 是序号的 2 倍加 1， 可得分子的通项公式为 bn＝2n＋1， 对于 分母 2,5,10,17，„联想到数列 1,4,9,16，„即数列{n2}，可得 分母的通项公式为 cn＝n2＋1， 2n＋1 ∴可得原数列的一个通项公式为 an＝ 2 . n ＋1
从第2项起，有些项 大于 它的前一项，有些项小 摆动数列 于它的前一项的数列
4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式 ．
子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式
工具
第二章 数列
栏目导引
1．下列说法中，正确的是(
)
A．数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B．数列 1,0，－1，－2 与数列－2，－1,0,1 是相同的数 列
n
工具
第二章 数列
栏目导引
(4)这个数列的前 4 项的分母都是序号加 1，分子都是分母的 n＋12－1 平方减去 1，所以它的一个通项公式是 an＝ . n＋1
工具
第二章 数列
栏目导引
工具
第二章 数列
栏目导引
已知下列数列： 1 1 1 (1)1，2，3，„，n，„； (2)1,3,32，„，363； －1n 1· n 2 3 (3)1，－ ， ，„， ，„； 3 5 2n－1
工具
第二章 数列
栏目导引
[题后感悟]
根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊
到一般的认识事物的规律．解决这类问题一定要注意观察项与 项数的关系和相邻项间的关系．
具体可参考以下几个思路：
①先统一项的结构，如都化成分数、根式等． ②分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部 分的规律与对应序号间的函数解析式． ③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－
列 {an} 满足 an>an ＋ 1 ，则是递减数列．解答本题应体现出 “ 概念 优先”原则．
工具
第二章 数列
栏目导引
1.已知下列数列： (1)2 000,2 004,2 008,2 012； n－1 1 2 (2)0，2，3，„， n ，„； 1 1 1 (3)1，2，4，„， n－1，„； 2 －1n－1· n 2 3 (4)1，－3，5，„， ，„； 2n－1 nπ (5)1,0，－1，„，sin ，„. 2
工具
第二章 数列
栏目导引
2n＋1 3 ．已知数列 {an} 的通项公式为 an ＝ 2 ，则 a4 ＝ n ＋1 11 ________，26是这个数列的第________项．
2×4＋1 9 解析： a4＝ 2 ＝17 4 ＋1 2n＋1 11 ＝ ，∴11n2－52n－15＝0. 2 n ＋1 26 3 ∴n＝5 或 n＝－ (舍去)． 11
9 答案： 17 5
工具
第二章 数列
栏目导引
4．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公 式． (1)1,3,5,7，„； (2)0,3,8,15,24，„； 1 1 1 1 (3)－ ， ，－ ， ，„； 1×2 2×3 3×4 4×5 22－1 32－1 42－1 52－1 (4) 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，„.
工具
第二章 数列
栏目导引
1．数列及其有关概念 (1)数列：按照一定 顺序 排列着的一列数称为数列． (2)项：数列中的 每个数 叫做这个数列的项，第1项通常也 叫做 首项 ，若是有穷数列，最后一项也叫做 末项 ．
2．数列的表示
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，„，an，„，简记为
{an} ，这里n是 项数 ．