理论力学第二章 质点组力学

第二章 质点组力学
• 质心的定义与计算 • 质点组动力学基本定理及相应的守恒 定律 • 对质心的动量矩定理和动能定理 • 变质量物体的运动
§2.1 质点组
一. 质点组的定义:有相互作用的质点的集合。 例如：地球与月亮：两个质点 太阳系：许多质点；桌子：无穷个质点 二. 质点组的研究方法
1.原则上可以采用隔离法，但是质点的数目太多，则 方程太多。 2.注重质点组的整体运动规律。
i 1
n p m ii i 1
o´
i i
n n p m ii m i (o i) i 1 i 1
´
o
M o m ii Mo p
i 1

n
3.质心坐标系（S´系为为质心系）
n n p m ii M o m ii i 1 i 1
fij
i
dri drij
f ji
j
drj
若 drij 0 ,则 dW 0 ,质点间距离不变化。(刚体） 若 drij 0 ,则 dW 0 ,质点间距离变化。
四. 质心(Center of mass) n个质点，质量分别为 mi ，那么存在特殊一点，它 的运动与内力无关，只与受到的外力相关。该点就是 质心。质心坐标：
1
( M m)dx mdx
x
0
L m dx dx M m 0
5.结果
m x L M m
解法2：质心位置不变。
第二章作业-1
2.2（质心）； 2.3、2.4、2.7（动量守恒）
3.质点组的整体运动规律确定后，再确定其中质点的 运动规律。 4.本章主要讨论几个描述质点组整体运动规律的普 遍定理和守恒律。
三. 内力与外力
1.内力：质点组中质点间的相互作用力。 记为：
F (i ) i internal
2.外力：质点组外的物体作用于质点组任意质点的力。 记为： f
n
m i ri
n
质点组对质心坐标系的总动量为零
质心ห้องสมุดไป่ตู้标为零
4、动量定理 单个质点动量定理：
i Fi
i
i 1, n
对各个质点求和：
e Fi
质点组动量定理：
与内力无关
质点组的总动量对时间的导数等于外力的矢量和。 质点组动量定理的分量形式：
二、质心运动定律 质心的运动可代表质点组 的整体运动
F
(e)
e external
ji
i
j
e fi
fij
3.内力的性质 （1）质点组内力之和为零。
i
f ji
j
fij
（2）内力对某点的力矩之和为零。
r12
r12 f1
（3）内力做功之和一般不为零。
dW f ij dri f ji drj f ij ( dri drj ) f ij drij
o´ 解法1： o
x´ x
分析：人沿走的方向动量守恒 1.对象：系统（人，船） 2.参考系：地面
3.建立坐标系：s—ox,s´—o´x´固定在船上
4.用动量守恒列方程
人相对地面的速度
M船 m人 0
dx dx 其中：船 ,人 船 dt dt dx dx dx 代入（1）式: M m m 0 dt dt dt
ex dP n dpi d n Fi mi vi dt i 1 dt dt i 1 i 1 2 dv C d rC d (mv C ) m m 2 dt dt dt
n
2 ex d rC 作用在系统上的合外力等于系 F m 2 ma C 统的总质量乘以质心的加速度 dt i 1 n
M c m ii
i 1

n
其中：
n dr d i m ii m i m i ri dt dt i 1 i 1 i 1
n n
d d i1 m i n Mrc 0 mi dt i 1 i dt 1
适用于质点系或刚体,形式上与牛顿第二定律相同。
质点所受合外力为0时，运动状态保持不变； 而质点系所受合外力为0时，运动状态未必不变，但 质心的运动状态会保持不变。例如圆柱体的运动。
质心的运动可代表质点组的整体运动
【例2】
光滑
tg
【例3】水面上有一质量为M，长为L的小船（船最初静 止），船上有一质量为m的人，由船头走到船尾，问船 移动的距离为多少？（水的阻力不计，人运动的速度 不为常量）
质心速度： 质心加速度：
4. 质心的分量表示
y 2πR sin d 1 yC ydm m' 2πR 2
2
y R cosθ
yC R cos sin d R 2
π 2 0
§2.2 动量定理与动量守恒律
一、动量定理 1.质点组总动量
2.相对运动的动量表述 n S系中： p m ii S´系中：