行星的轨道和位置
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1) 地球距太阳的最近距离 2) 地球绕太阳运转的周期 3) 在从远日点开始的第100天结
束时,地球的位置与速度
数学模型
在运动学中常采用复坐标系 设太阳中心所在位置为复平面之原点,在时刻t, 行星位于以下复数代表的点
Z (t) rei
速度为 dZ dr ei irei d ei ( dr ir d )
dt dt
dt
dt dt
加速度
d2Z dt 2
ei
(
d2r dt 2
r(
d
dt
)2 )
i(r
d 2
dt 2
2 dr dt
d
dt
)
Newton第二定律
mMG r2
ei
m
d2Z dt 2
mMG r2
ei
mei
(
d2r dt 2
r(d
比). 改进Euler法使得误差与步长的平方同阶
以一阶来自百度文库程为例 dx f (x,t) dt
xk1 xk
tk h f (x( ), )d
tk
曲边梯形面积
xk1 xk h f (xk , tk )
矩形面积
改进Euler迭代格式
xk 1
xk
1 2
h[
f
(xk ,tk )
周期 T nh
n1 2π
利用Mathematica
不仅可以算出数 值,利用Plot的有关命 令而且可以画出图形.
在确定为椭圆 后，可取t = T/4 处 r 的值为近日点，也可 以求 r的最小值作为近日点
需要取比较小的步长h
改进Euler法
Euler法简单，但误差较大，与步长同阶(正
牛顿发现万有引力定律 “自然哲学的数学原理”
天王星(1－6乐87师) (Herschel)发现的行星 (1781) 海王星－笔尖上的行星
(Adams 1845, Leverrier 1846) 冥王星－离太阳最远、未知数最多的行星
太阳系内存在其他大行星？
实际问题
地球距太阳最远处(远日点)距离为 1.521×1011 m,此时地球绕太阳运动(公转)的速 度为2.929×104 m/s,试求:
此时水星绕太阳运行的线速度为3.886×104 m/s, 画出水星绕太阳运行的轨道曲线,试求:
1) 水星绕太阳运行的周期 2) 水星到太阳的最近距离 3) 求从远日点开始的第50天(地球天)
结束时水星的位置
2. 冥王星在1989年10月处于近日点距 太阳44.4 ×1011m,此时其线速度为0.6122 ×104 m/s, 试求:
dt
)2 ) i(r
d2
dt 2
2 dr dt
d
dt
)
比较虚实部导出
r
d 2
dt 2
2 dr dt
d
dt
0
d2r dt 2
r ( d
dt
)2
MG r2
初始条件
t0 0
r
t 0
r0
d
dt
t 0
v0 r0
f
(xk*1, tk1)]
其中 xk*1 xk h f (xk ,tk )
练习
写出上面方程组的改进Euler迭代格式
k 1
k
hC1 2
(
1 rk2
1 (rk*1)2
)
rk1 rk hqk 代入上式即可
实验任务
1.水星距太阳最远处距离为0.6982×1011m,
行星、离太阳最近的行星
开普勒(1571－1630) 在第谷·布拉赫(1546-1601)的基础上
行星运行三大规律
1. 行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆;
2. 从太阳指向某一行星的线段在单位时间内 扫过的面积相同;
3.行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴的 立方之比值是不随行星而改变的常数.
数学实验
行星的轨道 和位置
上海交大数学系 乐经良
他以几乎神一般的思 维力,最先说明了行星的 运动和图象,慧星的轨道 和大海的潮汐.
─ Newton墓志铭
背景介绍
哥白尼(波兰，1473-1543) 日心说
地球－我们的家园 水星－距太阳最近的行星 金星－看起来最亮的行星 土星－最美丽的行星 木星－行星中的巨无霸 火星－离地球最近、人们最关注的
C12 r3
MG r2
还是二阶方程组， 再设
dr q dt
代入上式得
dq dt
C12 r3
MG r2
Euler迭代格式
k 1
k
C1h rk2
rk1 rk hqk
qk 1
qk
h(
C12 rk3
MG rk2
)
0 0 r0 r0 q0 0
计算到第n步 n 2π
dr dt
t 0
0
导出行星运 行第二定律
d (r2 d ) 0
dt dt
r2
d
dt
C1
tt 1 r 2 d dt C1t
t 2 dt
2
化为一阶方程组
r2
d
dt
C1
d
dt
C1 r2
代入
d2r dt 2
r ( d
dt
)2
MG r2
d2r dt 2
1) 它在什么时间到达远日点，此时它的 线速度为多少 ?
2) 远日点到太阳的距离； 3) 其椭圆轨道的偏心率并作图
谢谢各位！ 再见！
束时,地球的位置与速度
数学模型
在运动学中常采用复坐标系 设太阳中心所在位置为复平面之原点,在时刻t, 行星位于以下复数代表的点
Z (t) rei
速度为 dZ dr ei irei d ei ( dr ir d )
dt dt
dt
dt dt
加速度
d2Z dt 2
ei
(
d2r dt 2
r(
d
dt
)2 )
i(r
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dt 2
2 dr dt
d
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)
Newton第二定律
mMG r2
ei
m
d2Z dt 2
mMG r2
ei
mei
(
d2r dt 2
r(d
比). 改进Euler法使得误差与步长的平方同阶
以一阶来自百度文库程为例 dx f (x,t) dt
xk1 xk
tk h f (x( ), )d
tk
曲边梯形面积
xk1 xk h f (xk , tk )
矩形面积
改进Euler迭代格式
xk 1
xk
1 2
h[
f
(xk ,tk )
周期 T nh
n1 2π
利用Mathematica
不仅可以算出数 值,利用Plot的有关命 令而且可以画出图形.
在确定为椭圆 后，可取t = T/4 处 r 的值为近日点，也可 以求 r的最小值作为近日点
需要取比较小的步长h
改进Euler法
Euler法简单，但误差较大，与步长同阶(正
牛顿发现万有引力定律 “自然哲学的数学原理”
天王星(1－6乐87师) (Herschel)发现的行星 (1781) 海王星－笔尖上的行星
(Adams 1845, Leverrier 1846) 冥王星－离太阳最远、未知数最多的行星
太阳系内存在其他大行星？
实际问题
地球距太阳最远处(远日点)距离为 1.521×1011 m,此时地球绕太阳运动(公转)的速 度为2.929×104 m/s,试求:
此时水星绕太阳运行的线速度为3.886×104 m/s, 画出水星绕太阳运行的轨道曲线,试求:
1) 水星绕太阳运行的周期 2) 水星到太阳的最近距离 3) 求从远日点开始的第50天(地球天)
结束时水星的位置
2. 冥王星在1989年10月处于近日点距 太阳44.4 ×1011m,此时其线速度为0.6122 ×104 m/s, 试求:
dt
)2 ) i(r
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dt 2
2 dr dt
d
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比较虚实部导出
r
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d
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0
d2r dt 2
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MG r2
初始条件
t0 0
r
t 0
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v0 r0
f
(xk*1, tk1)]
其中 xk*1 xk h f (xk ,tk )
练习
写出上面方程组的改进Euler迭代格式
k 1
k
hC1 2
(
1 rk2
1 (rk*1)2
)
rk1 rk hqk 代入上式即可
实验任务
1.水星距太阳最远处距离为0.6982×1011m,
行星、离太阳最近的行星
开普勒(1571－1630) 在第谷·布拉赫(1546-1601)的基础上
行星运行三大规律
1. 行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆;
2. 从太阳指向某一行星的线段在单位时间内 扫过的面积相同;
3.行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴的 立方之比值是不随行星而改变的常数.
数学实验
行星的轨道 和位置
上海交大数学系 乐经良
他以几乎神一般的思 维力,最先说明了行星的 运动和图象,慧星的轨道 和大海的潮汐.
─ Newton墓志铭
背景介绍
哥白尼(波兰，1473-1543) 日心说
地球－我们的家园 水星－距太阳最近的行星 金星－看起来最亮的行星 土星－最美丽的行星 木星－行星中的巨无霸 火星－离地球最近、人们最关注的
C12 r3
MG r2
还是二阶方程组， 再设
dr q dt
代入上式得
dq dt
C12 r3
MG r2
Euler迭代格式
k 1
k
C1h rk2
rk1 rk hqk
qk 1
qk
h(
C12 rk3
MG rk2
)
0 0 r0 r0 q0 0
计算到第n步 n 2π
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t 0
0
导出行星运 行第二定律
d (r2 d ) 0
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r2
d
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C1
tt 1 r 2 d dt C1t
t 2 dt
2
化为一阶方程组
r2
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C1 r2
代入
d2r dt 2
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MG r2
d2r dt 2
1) 它在什么时间到达远日点，此时它的 线速度为多少 ?
2) 远日点到太阳的距离； 3) 其椭圆轨道的偏心率并作图
谢谢各位！ 再见！