分形分析的几个重要原理

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[转载]分形---自相似性

[转载]分形---⾃相似性原⽂地址：分形---⾃相似性作者：凯分形, 简单的讲就是指系统具有“⾃相似性”和“分数维度”。

所谓⾃相似性即是指物体的（内禀）形似,不论采⽤什么样⼤⼩的测量“尺度”，物体的形状不变。

如树⽊不管⼤⼩形状长得都差不多, 即使有些树⽊从来也没见过, 也会认得它是树⽊；不管树枝的⼤⼩如何，其形状都具有⼀定的相似性。

所谓分形的分数维, 是相对于欧⽒⼏何中的直线、平⾯、⽴⽅⽽⾔的, 它们分别对应整数⼀、⼆、三维，当然分数维度“空间”不同于⼈们已经习惯的整数维度空间，其固有的逻辑关系不同于整数维空间中的逻辑关系。

说起来⼀般⼈可能不相信，科学家发现海岸线的长度是不可能（准确）测量的，对⼀个⾜够⼤的海岸线⽆论采⽤多么⼩的标尺去测量其长度发现该海岸长度不趋于⼀个确定值！⽤数学语⾔来描述即是海岸线长度与测量标尺不是⼀维空间的正⽐关系，⽽是指数关系，其分形维是1.52；有理由相信海岸线的形状与这个分数维有内在关系。

⾃相似性⼜揭⽰了⼀种新的对称性，即画⾯的局部与更⼤范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。

这种对称不同于欧⼏⾥德⼏何的对称，⽽是⼤⼩⽐例的对称，即系统中的每⼀元素都反映和含有整个系统的性质和信息。

⽆论放⼤多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。

但是，注意观察上图，我们会发现：每次放⼤的图形却并不和原来的图形完全相似。

这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的⾃相似特性。

分形能够保持⾃然物体⽆限细致的特性，所以，⽆论你怎么放⼤，最终，还是可以看见清晰的细节。

周期性是⾃然界发展变化的基本规律之⼀，经济发展周期性表现为描述经济发展的数量指标“时好时坏”波浪式变化, 并不是简单的重复；总体上讲⼈类社会的经济发展是波浪式前进的, 历史是不会逆转的。

随机波动曲线具有“⾃相似性”。

价格波动曲线的分形，与海岸线同类, 都具有1.618（左右）的分形维特性，其分形形态不可能象科赫曲线⼀样表现为精确的⼏何图形，随机性是这种曲线⾛势的基本特征；曲线⾃相似性的意义是突出随机过程中的关联效应。

一、分形算法的基本原理与实现

一、分形算法的基本原理与实现1 概述超越Barnsley 编码方案的局限，Jacquin 提出了基于分块迭代函数系统(Partitioned IFS)的分形块编码算法。

这是首次利用计算机进行数字图像的分形压缩的自动算法，对分形图像压缩方法的实用化起了奠基的作用。

分形图像编码PIFS 方法，本质上是假设自然图像中不同区域间存在着跨尺度冗余——不同尺度下的冗余来实现图像压缩的。

对于自然图像，我们不难找出其不同区域间确实存在这种不同尺度下的相似性，例如照片中不同远近、不同位置的物体，如标准测试图像“boat ”中的桅杆（图1a ）。

此外，仔细观察标准测试图像“Lena ”也不难发现这个事实：肩膀处嵌套的两个区域、帽沿处的小区域与右下角的大区域，两个大区域缩小一定比例就分别与各自的小区域基本吻合（图1b ）。

2 基本原理设(R ,)N N d ×是N ×N 灰度图像空间，灰度值范围是{0, 1, 2, … , l -1}（l 一般为256，即8 bit 量化）。

因此，一幅图像I 可以表达为一个矩阵()ij N N I ×，ij I 表示图像在(i , j )处的灰度值。

d 是用作失真判据（distortion criteria ）的完备度量，在分形编码文献中常常选择为均方根（RMS ，Root Mean Square ）：1/222,11(,)RMS(,)||,,R N N N ij iji j d x y x y x y x y N ×= ==−∈ ∑ (1)为了更好地理解PIFS 编码，把灰度图像（image ）看成二元函数:z S R →，(,)(,)x y z x y a 的图象（graph ）是方便的。

其中2S R ⊂是灰度图像的支持或背景，(,)z x y 是象素点(,)x y 的亮度或灰度值，它取有限个非负值（一般为0～255）。

分形编码的任务就是要寻找一个压缩变换W ，使得W 的不动点尽可能接近待编码图像。

分形背景知识

分形谁创立了分形几何学？ 1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。

分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。

由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。

分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。

分形几何与传统几何相比有什么特点：1、从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。

例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。

2、在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。

上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。

当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。

其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。

什么是分维？康托尔三分集——最简单的分形在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。

也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。

分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。

为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。

将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。

其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。

一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：a^D=b, D=logb/loga的关系成Koch曲线立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。

分形维数浅释

分形维数(Fractal Dimension)浅释笔者：喻麟佑博士(美国亚利桑那大学物理学博士) 2012年3月于广州.、八、-刖言：最近，数学课下课后，有学生问我一个网上流传的数学问题，令很多学生困惑。

简化以后，大意可以由下图描述：三角形的两个斜边一直往下折，折了无穷次后，看起来不就是和底边一样了？那么，1 + 1不就等于.2 了？要回答类似这个问题，必须了解分形(Fractal)的原理才行。

其实这两个斜边，折了无穷次后，是一个分形的结构，和一条直线是大不相同的。

现在，我们来了解一下分形的原理。

正文：分形(Fractal)，又称“碎形”或“残形”。

这种几何形状，对很多人而言，其实并不陌生，大家或多或少都可在一些书本、杂志封面、海报或月历等地方看到过。

自从20世纪80年代开始［注一］，“混沌(chaos) ”，“奇异吸引子(strangeattractors) ”，“分形(fractal) ” ,还有与以上相关的许多新名词，如雨后春笋般呈现，且被人们所津津乐道。

无论是专业人士的讨论或一般茶余饭后的闲谈皆然。

分形几何，有若干特性，例如“自相似性(self-similarity )”等等。

本文由一个最耐人寻味的特性切入，那就是分形维数(Fractal Dimension)。

并且，也借此讨论过程，得以对分形(碎形)有更深入的了解。

首先，众所周知，一般几何所用的维数，或维度（Dime nsio n ）是整数，如一个点是0维，一条线段是1维，一个在平面上的几何图形是2维，如一个方形或一个圆形；再者，一个立方体或一个球形，则被视为 3维然而，分形，却具有非整数的维数。

这是怎么回事呢？为了解释清楚，我们先看看一条线段（如图一）：1 ------------------- L —1t £A11 —! L ---------------------------- 1、一飞" £L一Ti T jdJC* -■ 11 ■ --------------------- 1 -------- ——1=4 cj ■‘4—11~<—1_<—*~*—*—M 二 £是=—38** 图一如果我们把此线段分割一次，则n 1， NI 2， i -L2式中L 是一个常数，n 是分割的次数，N n 乃分割n 次后的总碎片数，第二次分割（每个线段再分割一次）：2n 2，2 4 2,第三次分割（每个线段再分割一次）：n 3，N 3 8 23，L L8 23是分割n 次后的每碎片的长度因此，我们不难知道，分割 n 次后, 总碎片数：心2n , 每一碎片大小:现在，让我们来定义一个维数 D :式一也可写成（先暂不管 n ）:L D-D n等式两边取自然对数：Dln — In N nnD In — In N nnD 哼或D In — In L In 丄nn严格来说，分割的次数n 为无穷大（n ）因为In 丄？ I nL ,我们也不难得到 nInN nIn 丄n..In N n Iim n0 I n =nnIim In no I nLnN nInn（式二）N n n (n ) （式一）式中，L 的D 次方（即维数）等于，分割 n 次后的总碎片数，乘上每一碎片长度的D 次方。

分形理论的详细介绍

（三）标度不变性
所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，
对它进行放大，这时得到的放大图形又会显示出原图的形态特性。因此,对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特点均不会变化。所以标度不变性又称为伸缩对称性。通俗一点说，如果用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看到的情形是一样的，从观察到的图象，无法判断所用放大镜的倍数。所以具有自相似特性的物体（系统），必定满足标度不变性，或者说这类物体设有特性长度。上面介绍的 koch曲线是具有严格的自相似性的有规分形，无论将它放大与缩小多少倍，它的基本几何特性都保持不变，很显然，它具有标度不变性。因此,可以看到,自相似性与标度不变性是密切相关的。自相似性和标度不变性是分形的两个重要特性。
对于“特征长度”这一名词，作一简单的说明，自然界存在的所有物体的形状和人类迄今所考虑的一切图形，大致可分为如下两种：具有特征长度的图形和不具有特征长度的图形。对于特征长度，并没有严格的定义，一般认为能代表物体的几何特征的长度，就称之为该物体的特征长度。如一个球的半径、正方体的边长、人的身高、汽车的长度，这些都是各个物体的特征长度，它们很好地反映了这些物体的几何特征。对具有特征长度的物体的形状，对它们即使稍加简化，但只要其特征长度不变，其几何性质也不会有太大的变化。如竖起一个代替人的、与人具有相同高度的圆柱，那么从远处去看，也不会有太大的差错；如果再精细一点，以小圆柱代替手和腿，以矩形代替身躯，以球代替头，那么就会很像人了。换句话说，关于这类物体,可以用几何学上熟知的矩形体、圆柱、
图1.1 布达拉宫中藏族壁画中的云的形状
图1.2 日本传统绘画中对海浪的描述
图1.3 山脉的复杂形态

分形几何在信号滤波中的应用

分形几何在信号滤波中的应用信号滤波是数字信号处理中一个重要的环节，其主要目的是通过去除噪声和不需要的频率成分，使信号更加清晰和准确。

而分形几何是一种研究自相似性的数学理论，近年来在信号处理领域中得到了广泛的应用。

本文将探讨分形几何在信号滤波中的应用，以及其在提高信号处理质量方面的潜力。

一、分形几何的基本原理分形几何是由波兰数学家Mandelbrot于20世纪70年代提出的，它研究的是自相似性和不规则性的几何形态。

分形几何通过定义简单的几何操作和规则，可以生成自相似且无限递归的结构，这些结构能够以相似的方式出现在不同的尺度上。

分形几何的主要特点包括维度的非整数性、自相似性、局部规则性和无限递归等。

二、分形几何在信号分析中的应用1. 分形维度的估计分形维度是分形几何的重要参数，在信号分析中可以用于对信号的复杂程度进行表征。

通过计算信号的分形维度，可以定量地描述信号的自相似性和规则性。

在信号滤波中，通过估计信号的分形维度，可以帮助选择适当的滤波算法和参数，从而提高滤波效果。

2. 分形压缩分形压缩是一种基于分形几何理论的信号压缩方法，其原理是利用信号的自相似性进行编码。

通过将信号划分为多个自相似的子区域，只需要保存其中一个子区域的信息以及其在整个信号中的位置和尺度关系，即可恢复出原始信号。

分形压缩在信号滤波中的应用主要体现在去噪和降低信号冗余方面，可以有效地减小信号的数据量，提高信号传输和存储效率。

3. 分形插值分形插值是一种通过分形几何理论实现信号重构的方法。

其基本思想是利用已知的信号片段和分形几何的自相似性，来推测信号在未知区域的数值。

在信号滤波中，分形插值可以用于去除信号中的噪声和干扰，填补信号中的缺失数据，从而提高信号的质量和完整性。

三、分形几何在信号滤波中的优势和潜力分形几何在信号滤波中具有一些独特的优势和潜力。

首先，分形几何可以捕捉信号的非线性结构和自相似性，对于那些传统滤波方法难以处理的信号具有很好的适应性。

利用分形理论解释自然现象

利用分形理论解释自然现象
分形是一种几何形状，具有自相似性的特点。

它可以在不同的尺度
上重复出现，并且形状复杂多样。

分形理论被广泛应用于自然科学领域，用来解释各种自然现象。

本文将利用分形理论来解释一些常见的
自然现象，从而更好地理解自然界的奥妙。

首先，我们来看看山的形状。

山脉的轮廓线常常呈现出分形结构，
即使在不同的尺度上观察，都可以看到类似的形状。

这是因为山脉的
形成过程中，受到了地质构造和气候等多种因素的影响，形成了复杂
的结构。

分形理论可以很好地解释这种现象，帮助我们更好地理解山
脉的形成过程。

其次，我们来看看云的形状。

云的形态也常常表现出分形特征，不
论从近距离还是从远处观察，都可以看到类似的形状。

这是因为云是
由水蒸气在大气中凝结形成的，受到风力和气温等因素的影响，形成
了各种各样的形态。

分形理论可以帮助我们理解云的形成规律，进而
更好地预测天气变化。

另外，我们再来看看河流的走势。

河流的轨迹同样表现出分形结构，河岸的曲线呈现出复杂多样的形状。

这是因为河流受到地形地貌的影响，形成了不规则的河道。

分形理论可以解释河流的形成机制，帮助
我们更好地研究河流的演变过程。

总的来说，分形理论可以帮助我们理解自然界中各种复杂多样的现象。

通过分形理论的解释，我们可以更好地认识自然界的规律，探索
宇宙的奥秘。

希望本文对读者有所启发，让大家更加热爱自然，关心
环境，共同保护我们美丽的地球家园。

愿人类与自然和谐共处，共同创造美好未来。

‘分形’结构的形成原理中隐藏的‘宇宙、生命’奥秘

‘分形’结构的形成原理中隐藏的‘宇宙、生命’奥秘解开光的奥秘揭开能量波操控下的宇宙真相前文提示：第一节：初探光的本质第二节：一个全新的发现！能否彻底解开‘双缝干涉’的百年谜题？第三节：光的‘波粒’四像性第四节：‘分形’结构的形成原理中隐藏的‘宇宙、生命’奥秘当我们身处自然，你是不是经常会被自然界的‘美’所打动。

小到一片树叶，一朵花，一只蝴蝶一片雪花，一个贝壳，还有人人生厌的细菌大到一颗树，一个珊瑚，乃至我们观测到的宇宙结构当你沉醉于它们艳丽的色彩时，有没有被它们那美丽的外形深深的折服？这时你有没有发现：这美丽的外形是一个个近似或相同图案不断重复的结果，表现出明确的‘分形’特征。

提到‘分形’，大多数人会感到比较陌生，因为它是近几十年才发展起来的一门新兴学科，目前主要是通过数学的方法来研究‘分形’的规律。

‘分形’在现实生活中已被广泛应用，尤其在电影场景的特效设计中更是取得了非常巨大的成就。

利用分形原理设计出的电影场景已经达到了以假乱真的地步。

然而对于自然万物产生‘分形’的原因，能深入到原子角度进行分析的文章我还没有查到过（可能有，只是我没找到）。

所以本文将以‘雪花’的形成为切入点，以‘能量=>粒子波动论’为依托，从‘分子’结构入手，详细解读‘雪花’的形成过程和原理，然后逐步揭开世间万物产生‘分形’的背后原因，以及其中隐藏的宇宙运行规律和生命的奥秘。

1.0解析雪花的形成过程，揭开分形结构成因之谜对于雪花的形成原理，目前的科学解释是：首先是冷凝作用导致水分子的凝结，其次在凝结过程中，水分子之间的‘氢—氧’键（有的解释为‘氢—氢’键，也可能是笔误）相互结合生成晶体结构，并最终形成美丽的雪花。

但是，对于‘氢—氧’键（或‘氢—氢’键）相互结合生成晶体结构，这样的解释我认为有一个至关重要的问题它无法解答：雪花为什么会呈现出‘片状’结构形态，而非‘球型’？我们都知道，下雪要么是‘干冷空气’入侵到‘相对湿热的空气’环境造成的，要么是‘湿热的空气’侵入到‘相对干冷的空气’环境造成的。

分形理论简介ppt

进一步对形成的9条子线段作分割和“日” 字型折线框形构造，便形成81条子折线，而每条折线的长度为1/9；如此分割构造下去便得到了皮亚诺曲线。
分割次数越多，得到的皮亚诺曲线就越密。

由于皮亚诺曲线最终可以穿行（遍历）一个平面上的每一个点，因此它也被称作空间填充曲线。
例子6：谢尔宾斯基三角垫
Nr A 1/ r d
则称d为A的盒计数维数

盒维数为d，当且仅当存在一个正数k使得 lim r 0
lim log Nr A d log r log k
r 0
N r A k 1 rd
d lim
log k log N r A log N r A lim r 0 r 0 log r log r

自仿射性

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自仿射性是自相似性的一种拓展和延伸，如果局部到整体在各个方向上的变换比率是相同的，那么就是自相似性变换；而当局部到整体在不同方向上的变换比率不一定相同时，就称为自仿射性变换。自相似性变换是自仿射性变换的特例。
分形几何与欧氏几何的区别
11
两种几何学欧氏几何
描述对象人类创造的简单标准物体（连续、光滑、规则、可微）大自然创造的复杂的真实物体（不连续、粗糙、不规则、不可微）

N×r3=1
小正方体的测量数目为N(r)=r -3
分形维数：相似维数
14

线、面、体的维数为1、2、3，归纳为 N (r ) r D
两边取对数 D
log N r 1 log r

相似维数的定义：如果一个分形对象 A（整体）可以划分为 N(A,r) 个同等大小的子集（局部单元），每个子集以相似比 r 与原集合相似，则分形集 A 的相似维数 Ds 定义为

分形几何原理在材料科学中的应用

分形几何原理在材料科学中的应用材料科学是一门综合性的科学，其中涵盖了许多学科，包括物理学、化学、工程学、材料学等。

在材料科学中，采用一些先进技术和理论，可以制造出更加优秀的材料。

而分形几何原理是一种新兴的数学科学，很多研究表明，分形几何原理可以在材料科学中发挥巨大的作用。

本文将介绍分形几何原理在材料科学中的应用。

一、分形几何原理的概述分形几何是指一种几何学的研究方法，它可以研究很多看起来很复杂的形式，从而帮助我们更好地理解自然现象的规律。

尤其对那些需要用到自相似、不规则等多种特性的现象和形态进行研究。

其中最著名的分形是著名的马蒂亚·曼德博集合。

曼德博集合的表现形式是一幅经过多次变换的图片，看上去非常复杂，但是它却包含了许多简单的规律，适用于几乎所有的自然物体。

二、在材料科学中，分形几何原理主要应用于材料表面形貌的研究。

材料表面的形貌对材料的性能有很大的影响。

例如，表面粗糙度可以影响材料的摩擦、磨损和耐腐蚀性能等。

因此，研究材料表面形貌对材料的使用和生产过程具有重要意义。

1、分形几何原理在材料表面形貌分析中的应用材料表面形貌分析是材料科学中的一个重要研究领域。

分形几何原理可以对材料表面形貌进行分析和计算，获得表面微观结构的附加信息。

这种信息可以帮助材料科学家更好地了解材料的性质和特点。

许多现实中存在的材料表面都是非常复杂的，无法用均匀和简单的几何形状来描述。

因此，应用分形几何原理可以使这些不规则形状的表面变得规律和可预测，帮助科学家更好地理解和预测材料的表面性质和表观形态。

2、分形几何原理在材料表面处理中的应用在材料的加工和生产过程中，表面处理是一个非常重要的过程。

分形几何原理可以通过形貌的特征，设计不同表面处理方法以获得不同的性能和特点。

例如，分形几何原理可以被用来导向表面纳米结构的合成。

通过控制单粒子的自组装或通过分子间的作用力等实现材料表面的精细调控。

而这些方法可以获得优异的性能，如超疏水、自清洁等特殊性质，具有广泛的应用前景。

分形

（2）地震。
地震是地球内部的岩石突然断裂而引起的地球表面的动荡。地震具有多种分形性质，其中地震的次数在时间上的分布就是一种。地震研究者采取了分形几何的方法来研究地震在时间上的分布。其中就运用到了康托尔三分集。在用于地震时，研究者对康托尔三分集进行了改造，仍是把一条单位长度的直线段进行三等分，但去掉的不是中间的三分之一，而是随机地任意去掉三个线段中的一个。这样产生了无规则的康托尔三分集。利用康托尔集是为了说明地震的群集现象，并且分割不是无限次进行下去的，因为在有限的时间间隔内，地震并不是无限次的。由此计算出的分形维数可以用来描述群集的程度：群集的程度越高，分形维的值就越大。
（1）康托尔集（Cantor set）。假设一条为单位长度的线段，将其设为基本区间[0,1]，把它三等分，分点分别为1/3，2/3，去掉该线段中间的三分之一，这样留下的部分将是两段长度分别为三分之一的线段，总长度为2/3，用集合表示为[0,1/3] ∪[2/3,1]。接下去我们再把这两条线段分别去掉中间的三分之一，这时留下的部分将是四条长度各为九分之一的线段，总长度为4/9,用集合表示为[0,1/9] ∪[2/9,1/3] ∪[2/3,7/9]∪[8/9,1]。如此不断地循环操作，最终得到的点的集合就是康托尔三分集。
云不是球形的，山不是锥形的，海岸不是圆形的
纵横交错的江河流域，婉转悦耳的古琴音乐中的旋律，蜿蜒盘旋的山岳高峰，星际空间物质的分布，尘粉无规则运动的轨迹，人体复杂的血管分布，如此等等。像如此不定型的东西，在欧式几何中是无法解释分析的。因此“分形”应运而生。
分形的定义
曼德布罗:分形是由一些与其整体以某种方式相似的部分所组成的形体。
或电就的的生多胶污态又生波连走星长须状染物如活分我向云；须物的质在常布们，分宏毛，一，某见都人树布观毛不些以些的是体枝，世的断流不电分分血的等界枝因水规化形形液分等中条新中则学现的循叉；太状的，的反象。环以曲阳。沉粘树应。下系及折黑还积在枝中面统地绵子有而藻形，具中震延的微生类状电体血震的活观长植向极介管级海动世，物外附绍的的岸，界成上增近几分分线奇中为的长沉种支布，形晶带颗。积自和等河怪体有粒受的然脑；流状的许和到固

分型的基本原理有哪些

分型的基本原理有哪些分型的基本原理是一种通过观察、研究和分类来理解和描述事物的方法。

它们是基于对事物特征和属性的观察和分类，并通过这些分类创建概念和模型。

在不同领域，分型有不同的应用和原理。

以下是一些分型的基本原理：1. 相似性原理：分型的基本原理是相似性原理，它认为存在着各种各样的事物和现象，它们在某些方面是相似的。

通过观察和研究这些相似性，我们可以发现隐藏在事物背后的规律和原则。

2. 自相似性：自相似性是指一个事物的一部分或局部与整体具有相似的结构或模式。

这种自相似性可以在不同的尺度上观察到，以及在时间和空间上的不同层次上观察到。

分型通过观察和描述这种自相似性来理解事物的结构和模式。

3. 分形维度：分形维度是衡量分型结构复杂性的一种数学概念。

它是通过测量事物的分形特征来定义的。

事物的分形维度可以是一个小数，表示了事物的复杂程度。

例如，分形维度接近于1的事物是相对简单的，而分形维度接近于2的事物是相对复杂的。

4. 迭代和迭代函数系统：迭代是一种常见的分型方法，它是通过多次重复应用同一函数或操作来生成分型结构。

迭代函数系统是指一组函数和一组初始条件，通过反复应用这些函数和初始条件来生成分型。

迭代和迭代函数系统是分型模型中的重要部分，它们使我们能够观察到分型的自相似性和复杂性。

5. 分数维度和哈克定律：分数维度是用来描述分型结构复杂性和不规则性的一种数学方法。

它是通过比较局部和整体的尺度关系来定义的。

哈克定律是一个与分数维度相关的概念，它指出事物的尺度关系遵循一个幂指数分布。

这个定律说明了分型结构的普遍存在。

6. 分型结构的出现方式：分型结构可以通过随机生成、模拟和自然选择等方式出现。

在许多自然和人工系统中，分型结构可以通过简单的规则和相互作用产生。

例如，庞加莱恶魔是一个基于随机生成的分形模型，它通过迭代生成了分形结构。

7. 分型在科学中的应用：分型在许多科学领域中都有应用，如物理学、生物学、地理学和经济学等。

分形分析的几个重要原理

分形分析的几个重要原理金融市场的分形分析方法依据分形的基本原理和市场的分形特性，其方法最大的优点是可以准确完整地界定市场的主流趋势性质，也就是市场变化的稳定方向；并且可以较准确地界定市场的趋势边界以找到最好的进场位置，从而融入并顺应趋势交易。

它的可信度以及客观全面的分析方法源自几个重要的原理。

其一是市场的极端最大化原理。

这主要指的是市场的自激励、自扩张、自强化作用。

这是众多的交易者可以直接从市场中经验到的作用。

作为开放系统的金融交易市场，只要有机会，只要出现明确的趋势，就会吸引交易者并活跃成交。

一个盈利者会带动3—5个交易者入市，而3—5个交易者同样会成倍数地吸引更多的交易者，使趋势不断被强化。

最后，所有对趋势有推动作用的题材和资金全部被发掘完毕，市场走到自己的反面，也就是极端最大化的地方。

在这个地方，市场对立的交易双方会进行性质截然相反的交换（交易就是交换），而迅速改变市场性质。

这就是物极必反。

但是相反的交换一旦开始，就会立即扭转为相反的趋势。

相反的交换又会产生新的自激励作用，新的趋势又开始运行了。

市场就是以这种形式寻求价值发现的。

分形是有主体和层次的。

在极端最大化的地方，分形的主体和层次会发生极其强烈的分形矛盾，市场会用分形来预示市场到了极端最大化的地方。

分形结构、分形边界、分形空间等都可以明确预示市场的极端。

但在趋势未到极端最大化之前，任何对趋势的主观臆断都是违背市场真相的。

市场是不受控制的，没有谁可以改变市场的极端最大化的作用机制。

有了这样的原理机制，就可以运用分形对市场的趋势做完整的界定，找到市场的主流趋势分形，而避免发生根本的市场错误。

其二，偏差与反偏差的必然交替原理。

趋势绝不是一条直线，市场更不是通常的线性事物。

对于主流趋势而言，市场由偏差和反偏差组成。

与趋势同方向的偏差会不断出现，也就是趋势在运行中短时间向前走得太远的偏差，或者叫正偏差。

反偏差就是向趋势相反方向出现的偏差。

反偏差相对于趋势而言是一种错误。

分形几何简介

成,有：
(1/r) ^D=N, D=lnN/ln(1/r)
的关系成立,则指数D称为相似性维数,D可以是整数,也可以是分数.
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
自然界中的分形
• 自然界中的许多研究对象在形态、功能和信息三方面或其中某1方面具有相似性,就认为该对象具有分形特征.
•
我们首先画1个线段、正方形和立方
体,它们的边长都是1.将它们的边长二等分,
此时,原图的线度缩小为原来的1/2,而将原图
等分为若干个相似的图形.其线段、正方形、
立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图源自,其中的指数1、2、3,正好等于与
图形相应的经验维数.1般说来,如果某图形
是由把原图缩小为r的相似的N个图形所组
不能说是科学上有教养的人；在将来,1个人
如果不能同样熟悉分形,他就不能被认为是
科学上有文化的人.
• 自然界中的分形具有两个明显的特征： 1、自然界中的分形仅在1定尺度范围,1定层
次中才表现出分形特征. 二、自然界的分形行为只有有限层次的嵌套,
且是具有自相似分布特征的随机对象,必须从统计的角度考虑、分析和处理.
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著名理论物理学家惠勒说过这样的话：
在过去,1个人如果不懂得“熵”是什么,就
分形几何简介
分形的概念
• 1973年,曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时,首次提出了分维和分形几何的设想.
• 曼德勃罗（1986年）对分形几何的定义是：分形是指由于各个部分组成的形态,每个部分以某种形式与整体相似.

分形

历史背景
在传统的几何学中，人们研究一个几何对象，总是习惯于在欧几里得空间（Rn,Euclidean)对其研究和度量，其中字母n表示空间的维数，通常为整数，如n分别为1、2、3时，对应的空间为线性空间、平面空间、立体空间，在相应的空间中，我们可以测得几何对象的长度、面积、体积等。但是大约在1个世纪前，在数学领域，相继出现了一些被称为数学怪物（mathematical monsters)的东西，在传统的Euclid领域，人们无法用几何语言去表述其整体或局部性质，其中，比较著名的
种类
逃逸时间系统：复迭代的收敛限界。例如：Mandelbrot集合、Julia集合、Burning Ship分形迭代函数系统：这些形状一般可以用简单的几何“替换”来实现。例如：康托集合、Koch雪花、谢尔宾斯基三角形、Peano曲线等等。吸引子：点在迭代的作用下得到的结构。一般可以用微分方程确立。例如：Lorenz吸引子。
分形是一个数学术语，也是一套以分形特征为研究主题的数学理论。分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科，是研究一类现象特征的新的数学分科，相对于其几何形态，它与微分方程与动力系统理论的更为显著。分形的自相似特征可以是统计自相似，构成分形也不限于几何形式，时间过程也可以，故而与鞅论关系密切。
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分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界普遍存在，因此分形几何学又被称为描述大自然的几何学。分形几何学建立以后，很快就引起了各个学科领域的。不仅在理论上，而且在实用上分形几何都具有重要价值。
简介
“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。”——物理学家惠勒
分形一般有以下特质：

分形理论背后的原理

分形理论背后的原理
分形理论的原理是指存在着一种模式或结构，使得整体的形态和部分的形态相似。

具体来说，分形是指某些几何形状（例如自相似、无限重复）和某些非几何特征（如维数）的特殊组合。

分形理论的背后原理有以下几个方面：
1. 自相似性：分形物体的特点之一是自相似性，即整体结构的部分与整体具有相似的形态。

无论是放大还是缩小，分形的部分都可以找到与整体相似的结构，这种重复形态在各个尺度上都存在。

2. 维数：分形物体的维数可以是非整数、分数，甚至是小数。

例如，一条分形曲线可能具有介于一维和二维之间的维数。

这种非整数维度的特点使得分形能够描述一些复杂的现象和现实世界中的各种模式。

3. 递归和迭代：分形的构建过程通常基于递归和迭代。

通过重复地应用某种规则或函数，可以生成越来越精细的分形结构。

例如，通过反复地分割三角形的每个边，可以生成斐波那契分形。

4. 混沌与奇点：分形物体通常具有混沌性质，即微小的变化会导致整体形态的巨大变化。

这种不确定性使得分形具有一定的随机性和不可预测性。

此外，分形的一些部分可能具有奇异性质，例如无限延伸或无限尖锐。

通过以上原理，分形理论可以应用于不同领域，如图像压缩、金融市场分析、城市规划等，帮助人们理解和描述复杂系统中的模式和变化。

浅谈数学怪物——分形

浅谈数学怪物——分形1 分形理论的产生分形（Fractal）理论是当今世界的新理论、新学科，其概念是美籍数学家曼德布罗特首先提出的.大自然中物体和现象的几何形状普遍具有复杂的不规则性, 传统的欧氏几何学在描述这样的自然现象时显得苍白无力,分形学的产生就是被用来描述这些不规则的欧氏几何无法描述的几何现象和物体的,它的产生使自然景物的描绘成为可能,这也是分形几何得到高度重视的原因之一.在分形理论真正发展起来的这十几年来,其研究倍受重视,分形的理论意义及实用价值深深吸引着人们寻求新规律、新特征存在的可能性.2 分形理论的发展分形理论的发展可以分为三个阶段[1](P114-115)：第一个阶段是从1827年到1925年,在此期间,数学家们构造并且研究了很多奇遇或病态的集合及其图象,还试图对这类集合与经典集合的差别进行了详细分析.1827年,维尔斯特拉斯证明的一种在任意一点都不具有有限或无限的导数的连续函数曾引起了极大的震动,虽然人们认为此函数是极为“病态”的，但人们还是从不同方面推广了它,并且还对这类函数的奇异性质作了深入的研究.1904年，瑞典的数学家科赫通过初等方法构造出了如今称之为科赫曲线的处处不可微的连续曲线,并且还对该曲线的性质加于研究,该曲线改变了连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法,这是第一个认为构造的具有局部与整体相似结构的曲线.1883年,德国数学家康托尔构造了一类不连通的紧集s,s被称为康托尔三分集.在当时,它被认为在传统的研究中是可以忽略的,但现在它在非线性研究中却占有重要的意义.1890年,意大利数学家皮亚诺构造了能够通过某个正方形内所有点的曲线,这种奇怪的曲线曾使人们对以往的长度与面积等概念重新进行认识,并使数学界大吃一惊.在此基础上，1901年,闵可夫斯基引入了闵可夫斯基容度,1919年,豪斯道夫引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数.总之,在此阶段,人们已经提出了典型的“分形”对象和相关问题,并为研究此类问题提供了最基本的数学工具.第二阶段大致是从1926年到1975年,在此阶段,人们对分形的性质作了深入研究,特别是对维数理论的研究已获得了丰富的成果.这一阶段对第一阶段的思想进行了系统、深入的研究,不仅逐渐使其形成了理论,而且将研究范围扩大到了数学的许多分支之中.庞特里亚金、贝塞克维奇等研究的曲线的维数,分形集的局部性质,分形集的结构以及其在数论、调和分析、几何测度论中的应用,这些都极大地丰富了分形几何理论.列维在这一阶段的工作极为重要,首先,他第一个系统地研究了自相似集,现在研究的许多自相似性都可以追溯到他的工作中;其次,他建立了分数布朗运动的理论,成为随机分形理论系统研究的重要先驱者之一.在这一阶段,绝大部分从事这一领域工作的人还局限于纯的数学理论的研究,而未与其他学科发生联系.在物理、地质、天文学和工程学等学科已产生了大量与分形有关的问题的形势下,这就迫切需要新的思想与有力的工具来处理.曼德布罗特以独特的思想, 研究了海岸线的结构、具有强噪音干扰的电子通讯、月球的表面、地貌几何性质等典型的自然界的分形现象,并取得了一系列令人瞩目的结果.第三阶段是从1976 年至今,这是使分形在各个领域的应用取得全面发展,并使之形成独立学科的阶段.3 分形的特征及有关概念3.1分形的特征通常人们认为分形具有以下几个特征[1](P116):具有精细的结构,也就是说在任意小的尺度下,它总是有复杂的结构;具有不规则性,它的整体与局部不能用传统的几何语言来描述;具有自相似形式,这种自相似可以是近似的或统计意义的;一般地,分形图形在某种意义下的维数大于它的拓扑维数;在大多数情况下,分形图形可以用非常简单的方法产生.3.2有关概念概念一分形曼德勃罗最先提出的分形[2]（Fractal ）具有不规则、支离破碎等意义.他曾经为分形下过两个定义[1](P116)：（1）满足下式条件()()A A Dim dim > 的集合A ,称为分形集.其中,()A Dim 为集合A 的Hausdoff 维数（或分维数）,()A dim 为其拓扑维数.一般说来,()A Dim 不是整数,而是分数.（2）部分与整体以某种形式相似的形,称为分形.然而,经过理论和应用的检验,人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容.实际上,对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义.但是自然界中有很多分形的例子,例如:羊齿植物、菜花以及许多其他植物,它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似.大自然中的山、树、云、海岸线也都可以看成是分形.下面给出大家两个分形图形:左图是一棵厥类植物，仔细观察，我们就会发现,它的每一个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅是在尺寸上小了一些,而枝杈的枝杈也和整体相同,只是变得更加小了一些.右图是数学家们构造的Kohn （克赫）曲线.概念二维数为什么说分形是数学中的怪物呢?这是由于它的维数不是人们通常用的整数而是分数.长期以来在欧氏空间中,人们习惯于将点定义为零维,直线定义为一维,平面定义为二维,空间定义为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空.但通常人们习惯于整数的维数.分形理论把维数视为分数为了定量地描述客观事物的“非规则”程度.1919年,数学家从测度的角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数,从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限.分形维数,作为分形的定量表征和基本参数,是描述分形的重要参数,能够反映分形的基本特征,但由于侧重面不同,有多种定义和计算方法.常见的有以下几种[3](P44-46):相似维数s D 我们画一个边长都是1的线段、正方形和立方体.将它们的边长二等分,此时,原图的线段长均缩小为原来的12,而将原图等分为若干个相似的图形.其线段、正方形、立方体分别被等分为12、22和32个相似的子图形,其中的指数321、、,正好等于与图形相应的经验维数.一般说来,如果某图形是由把原图缩小为1a的相似的b 个图形所组成,有:b a s D =,a b D s ln ln =的关系成立,则指数s D 称为相似性维数,s D 可以是整数,也可以是分数.容量维数c D 容量维数是利用相同大小形状的小球或立方体包覆几何对象而定义的维数,由著名苏联数学家科尔莫哥诺夫提出的.设一几何对象s ,若用直径为ε的小球为标准去覆盖s ,所需的小球的最小数量为()εN ,则s 的容量维数为:)1ln()(ln lim 0εεεN D c →=. 豪斯道夫 (Hausdorff)维数H D 设一个整体s 划分为N 个大小和形态完全相同的小图形,每一个小图形的线度是原图形的r 倍,则豪斯道夫维数为:()⎪⎭⎫ ⎝⎛=→r r N D r H 1ln ln lim 0. 计盒维数b D 将用边长为21 的封闭正方盒子覆盖s ,若s 中包含的小方盒数量()n M ,则计盒维数为: ()2ln ln lim n n M D n b ∞→= . 除上述定义的几种分形维数外,还有信息维数、谱维数、模糊维数、拓扑维数、广义维数、微分维数、分配维数、质量维数、填充维数等.4 分形理论的应用分形的应用很广,在各个方面都有其应用,如在数学、物理学、化学、生物科学、地质科学等各个领域都已得到了极为广泛的应用.4.1 在数学中的应用例1[4](P9) 计算Koch 曲线的相似维数：则分别有：1 3ln 4ln =s D 2 232ln 2ln 4ln 8ln 23===s D 3 6ln 18ln =s D 4 4ln 7ln =s D 例2 计算Koch 曲线的容量维数：根据Koch 曲线的构造过程,如右图:第一次线段长度311=ε,只要四段即可覆盖住点集,所以()41=εN ,第二次线段长度912=ε,用十六段才可覆盖住点集,第n 次,n n 31=ε,()n n N 4=ε,因此3ln 4ln 3ln 4ln lim 3ln 4ln lim ===∞→∞→n n D n n n n c . 例3 Cantor 集[4](P2),如右图:取单位长线段[]1,0,三等分然后舍弃中间一段⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31,再将剩下两段⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,0,⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32分别三等分并舍弃中间的⎪⎭⎫ ⎝⎛92,91和⎪⎭⎫ ⎝⎛98,97两段,在剩下的四段⎥⎦⎤⎢⎣⎡91,0,⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,92,⎥⎦⎤⎢⎣⎡97,32,⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,98中用同样的办法,每一段都三等分去掉中间一段,如此继续下去直到无穷,最后所得到的点集就称为Cantor 三分集,或简称Cantor 集.在实变函数中介绍它的Hausdorff 维数是3ln 2ln =H D .现在我们来计算一下它的容量维数:根据构造过程,第一次线段长度311=ε,只要两段即可覆盖住点集,所以()21=εN ,第二次线长度2231=ε,用四段可覆盖住点集,第n 次,n n 31=ε,()n n N 2=ε,因此 3ln 2ln 3ln 2ln lim 3ln 2ln lim ===∞→∞→n n D n n n n c . 由它的构造过程我们还可以把它每一步的相似维数求出来,第一步是把原图缩小为31的相似的2个图形,所以3ln 2ln =s D ,…,第n 步是把原图缩小为n 31的相似的n 2个图形,所以 3ln 2ln 3ln 2ln 3ln 2ln ===n n D n n s . 经计算每步的相似维数得出它们都相等并且都是3ln 2ln . 猜想:相似维数用于按一定规律进行有限次的改变而形成的分形中,而容量维数则是用于按一定规律进行无限可列次的改变而形成的分形中,它通常以极限的形式出现.如对同一个图按同一个规律改变,那么每次改变后所得到的分形图形的相似维数与无限可列次的改变后所得到的分形图形的容量维数是相等的.分形将作为一门课程进入高中.其实不知不觉分形几何已进入了我们的考试中:例4[5](P44) 在2002年全国高中数学联赛试题中就有这样一道题：如下图:有一列曲线0P ,1P ,2P ,…,已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形,(1)k P +是对k P 进行如下操作得到:将k P 的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉()Λ,3,2,1=k .记 n S 为曲线n P 所围成图形的面积.(1)求数列{}n S 的通项公式;(2) 求 n n S ∞→lim .这是一道以分形几何为背景的试题,主要考查的是与数列相关的基础知识,同时考查阅读理解能力,立意新,落点实,体现了研究性学习的深入和数形结合思想的应用.随着考试改革的深化,在试题设计上,更加注重能力立意,强调对学生思维品质、创新能力和学习潜能的考查.而以分形几何为背景的试题,新颖鲜活而有创意,富有时代气息,恰好体现了这方面的要求,因此备受青睐,使“怪物”焕发出亮丽的风采.同时,也让学生感受到分形几何无穷的美学魅力,激发学生对这门新兴学科的学习兴趣.4.2 在物理学中的应用分形学的问世给物理学的研究注入了新的活力,因而分形在物理学中得到了广泛的应用,其中比较成功的应用包括以下方面.在分形凝聚[6](P81-82)方面,人们提出的具有多重分形的受限扩散凝聚(DLA)模型和动力学集团凝聚(KCA)模型;在固体物理方面,用于准晶态的扩散,薄膜的研究,如在气相物理沉淀、非晶态薄膜的晶化、溶液膜中的晶体生长、液体界面上的电解沉淀、气态电解质膜中的电击穿等过程中都可出现分形图样;分形理论已用于纳米半导体薄膜、超导薄膜、各种薄膜生长和超薄金属膜生长的研究之中.用于湍流的研究,分子光谱(分子线谱和分子能量状态具有分形结构),电磁散射(由于粗糙分形表面引起的),材料断裂表面和边界、以及碎块的大小和频度具有分形规律,材料力学行为和材料弹塑性断裂研究;在粒子物理中的应用,高能粒子碰撞中的阵发现象具有分形结构,分形理论用于解释碰撞的机制,为粒子物理打开一个新的领域;在流体粘性指进现象中的应用,粘性指进是指两种具有不同粘性的流体相遇时,在其界面形成的具有分形结构的奇特形状,该形状与受限扩散凝聚(DLA)模型相似;在放电式样研究中的应用、相变分析.超微粒及其聚集体,及其在粒径、熔化、磁性、电导及生长过程中均具有分形特征.有人对超导现象研究后发现,材料微观结构的分形维数与其超导电性密切相关.分形学也用于布朗运动分析、非晶态半导体的研究、引力波的研究、电子在固体中的散射、多孔介质中的声传播、激光全息防伪等领域.4.3 在化学中的应用[7](P207)分形理论在化学中也有很广泛的应用,如:在多相催化体系中的应用,催化剂颗粒是一个分形体,不仅疏松的衬底和分布在其上作为催化物质的颗粒表面可以用分维表征,而且起主要催化作用的颗粒的亚微观结构也具有分形特征.研究表明,在分形介质中进行分散和反应都与表面分维数有关.此外,分形理论还在生物催化方面有应用.在宏观化学动力学方面,远离平衡态的化学过程往往产生具有分数维的表面结构.在颜料表面改性方面的应用,颜料粒子的表面形貌是一个影响颜料性能的很重要的因素,研究结果表明,表面分形维数、粒子表面形貌与颜料某些性能之间确实存在很好的对应关系.目前,分数维方法在化学中各个领域的应用也正在开展之中.例如:沉积物的形成、表面吸附、高分子溶液、晶体结构以及高分子凝胶等方面.此外,薄膜分形、断裂表面分形以及超微粒聚集体分形等领域的研究已日趋活跃,在准晶和非晶态固体的描述、气固反应模型等也有应用.4.4 在生物医药中的应用[8](P423-428)分形学在药学领域的应用以药剂学最吸引人.如用分形维数表征粉粒状药物、多孔固体制剂、混悬剂和乳剂、气溶胶、微乳剂等结果,可更好地研究药剂表面结构与药物性能的关系.在生物药剂学和药物动力学也有许多潜在用途,如用分形表示药物溶出动力学曲线、分形反应维数在药物膜通透速率中的应用、吸附剂表面吸附程度以及血药水平和尿排泄曲线等.在生理学方面,各种组织和器官在微观结构上是分形的,同样组织中发生的功能性事件也具有非线性动力学特征.分形和非线性动力学的概念提供了一种描述由于疾病或药物毒性导致的功能失调以及药理学中常遇到的许多现象的灵敏方法.如药物 - 受体相互作用、细胞膜表面的分形维数及离子通道动力学模型、跨膜转运、神经系统和功能、生物反应器.另外,分形在地质科学、社会科学、人文科学以及艺术等各个领域也都有应用.分形学是一门很年轻的科学,正处在不断发展之中.其应用研究已涉及几乎所有学科领域,我们必须以科学的态度对待这一新兴学科.分形几何的创立为描述存在的不规则图形和现象提供了思想方法,为解决传统科学中的难题提出了新的思路,已成为当代科学最有影响的基本概念之一,其深远的理论意义和巨大的实用价值在众多学科领域日益凸显.。

曲线分型维数

曲线分型维数一、曲线分型的概念与原理曲线分型是一种利用数学和统计学的方法，对曲线进行分析和分类的技术。

它的原理是通过对曲线的形态、周期、振幅、周期性、分形维度等特征进行计算和分析，将曲线分为不同的类型和类别。

根据分型的结果，可以进一步对曲线的特性和规律进行研究和解释。

曲线分型的基本思想是曲线具有自相似性和自重复性，即曲线的任意一部分都包含着整体的特征和规律。

通过对曲线进行分型，可以揭示出曲线的内在结构和规律，为曲线的分析和应用提供了有力的工具。

二、曲线分型的方法与技术1. 分形维数分析：分形维数是描述曲线复杂度的指标，通过对曲线进行分形维数的计算，可以客观地描述曲线的形态和结构。

分形维数是一种计算量较大的方法，但是它能够全面地反映曲线的特征和规律。

2. 傅立叶变换分析：傅立叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，通过对曲线进行傅立叶变换分析，可以揭示出曲线的周期性和频率成分。

这对于分析周期曲线和振荡曲线具有重要的意义。

3. 小波分析：小波分析是一种将信号分解为不同尺度的波形成分的方法，通过对曲线进行小波分析，可以揭示出曲线的局部特征和规律。

小波分析适用于对非平稳曲线和局部特征的研究。

三、曲线分型的应用领域1. 经济学：曲线分型可以用来分析金融市场的波动和周期性变化，揭示出股票价格、利率、汇率等曲线的规律和特征，为投资决策提供依据。

2. 地质学：曲线分型可以用来研究地震波、地表形态、断裂带等地质曲线的特征和规律，为地质灾害的预测和评估提供科学依据。

3. 生物学：曲线分型可以用来分析生物体的生长曲线、代谢曲线和遗传曲线的规律和特征，揭示出生物体的内在生理和生态规律。

四、曲线分型的案例分析1. 股票市场曲线分型：通过对股票价格曲线进行分型分析，可以揭示出股票市场的牛市、熊市、震荡市等不同市场形态和周期规律，为投资者提供买卖点和风险控制的参考。

2. 地震波曲线分型：通过对地震波的曲线进行分型分析，可以揭示出地震波的频率成分、波速、传播路径等特征和规律，为地震灾害的预测和防范提供科学依据。

数学模型--分形简介

5、地质：地质构造 6、天文：土星上的光环其他：计算机，经济，社会，艺术等等
2、图形迭代生成分形
• 给定初始图形 F0 ，依照某一规则 R 对图形反复作用
Fk 1 RFk , k 0,1,...
得到图形序列 F1 , F2 , ... 其极限图形是分形，作用规则 R 称为生成元。
例如，Cantor 集的生成元是
• Julia集
考虑复变函数迭代
Zn1 Z c,
2 n
n 0,1, (2)
固定复参数 c，使得迭代序列{Zn } 有界的初值 Z 0 在复平面上的分布图形称为Julia集，亦即
J c { Z0 | 迭代序列 {Z n } 有界}
• Mandelbrot集固定初值 Z0 ，使得迭代序列（2）有界的参数 c 在复平面上的分布图形称为 Mandelbrot集。即 J Z {c | 迭代序列{Zn } 有界} 记
分形音乐
• 如果我们把一首音乐的音符音阶随时间的变化看成一种波动，则音乐可归入科学中的噪音范畴。科学中的噪音的定义是指任何量Ｖ随时间t的不可预测的变化。现已发现每一种噪音的跟踪轨迹都是一条分形曲线。 • 音乐它的波动既有随机性又有一定的相关性，音乐往往会给人一种悦耳的感觉。研究发现：几乎所有的音乐节律都模仿一种噪音。
自然界中的分形几何
• 自然界存在的一些形状及其结构诸如星系、闪电、泥裂、材料断口、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、小肠绒毛、大脑皮层等等。尽是分形。
自然界中的分形几何
• 我们周围见到的最不规则而复杂的现象：山峦和云团的外形，星系在宇宙中的分布，金融市场价格的起伏等，获取这种数学描述的一条途径在于找到“模型”。需构想或发现一些数学规则，使之能对实现的某些部分做“数学上的伪造”—— 做成山峦或云团的照片、最深层空间的天体图、报纸金融版的图表等。 • 这些现象需要的几何远远不是三角形和圆。它们需要非欧几里得结构——特别是需要分形几何学。分形几何它与欧几里得几何相反，是没有规则的。它们处处无规则。而在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远处观察，还是从近处观察，分形客体看起来一个模样——自相似。整体中的小块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。