第二类曲面积分的计算方法

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取“ 一”号 ．
⑩ Ｐ ｙ ｚ ｄｄ ＋Ｒ ｘｙ ｄｄ ＋Ｑ ｚｘ ｄｄ ，
这里 ∑是 Ｑ 的整个 边 界 曲面 的外侧 ． 例 ５ 计 算 曲面积 分
ห้องสมุดไป่ตู้
若 曲面 是 由方程 Ｙ— ｙ ｚ ） 给 出的 ， 在 （， 所 其 ｘ Ｏｚ坐标 面上 的投影 区域 为 Ｄ ， 函数 ｙ— ｙ ｚ ） （，
的下半球 面 的上侧 ．
分 析 不论用 什 么方 法求 解 ， 我们 首先 可 以把 积分 曲 面 ∑代人 被 积 函数 中 ， 即此 时 曲面 积分 变为
Ｔ 一
一
ｄｄ ｙ ｚ＋ （ ＋ Ｒ） ｄ ｄ 。ｘ ｙ
Ｊ ————— －——一 Ｊ ｚ
’
的外 侧． 的学生 认 为 ： 有 由对称 性知
为锐角 ） ， 式右端 取 “ 号 ； ∑取后侧 （ 曲面 时 公 ＋” 当 即
和 曲 面 的侧 ． 注 ３ 利 用对 称性 只是 对 具有这 种 特殊性 质 的
∑的法 向量 与 Ｘ轴 正 向的 夹角 为钝 角） ， 式右端 时 公
第 １ 第 ４期 ４卷
景 慧 丽 ， 辉 ： 二 类 曲面 积 分 的 计 算 方 法 张 第
摘
要 针 对 第 二 类 曲面 积 分 的计 算 进 行 探 讨 ， 出计 算 时 可 以把 曲面 方 程 代 入 到 被 积 函数 中 ， 可 以利 用 指 且
轮 换 对 称 性 及 奇 偶 性 来 简 化 计 算 ， 提 出 可 以利 用 公 式 法 、 斯 公 式 、 类 曲 面 积 分 之 间 的 关 系 及 合 一 投 影 法 四种 并 高 两 方 法 来 计 算 第 二 类 曲 面积 分 ．
ｆ Ｒ ｘ Ｙ ｄ ｄ Ｉ （ ， ，）ｘ ｙ—
±ｌ Ｒ Ｙｚｓｙ ］ ｄ， Ｊ ［，，（，）ｄ ｙ Ｊ Ｉ Ｄ ｃ ｘ
ｘ ｙ
ｌＲ ｘ Ｙｚｄ ｄ Ｉ （ ，，）ｘ ｙ＝ （，ｚ ￣ｙＲ－ ， ＝Ｒｘ ， ＩＩＲｘＹ ） ， （ ｘ ， ＝ （， ， ２ Ｊ ｌ Ｊ ，ｄ ｙ ＝ ｙ
分 来计算 ， 在转 化 过程 中考 虑利用 对称性 ， 并 这是基
ｚ 一『 捌 ｊ Ｉ 。
一 号
其 中 Ｑ是
本 方法 ． 因此 ， 提倡 学员 利用 奇偶 函数在对称 曲面 不 上 的积分 性质 来解 第 二 类 曲面 积分 ， 不提 倡 学员 更
死 记上述 公 式 ， 是理 解性 的应 用． 应
曲面 的侧 （ 向 ）有关 ， 以在 考 虑 它 的对 称 性 时 ， 方 所
２ 计 算 方 法
第二 类 曲面 积分 的计算 通 常也是 化为二重 积分 来 计算 的 ， 据其 自身 的特 点 ， 于第 二类 曲面积分 根 对 的计算学 员把 握住 下 面 四种 方法 即可 ．
２ １ 直 接 利 用 公 式 来 计 算 ．
具有 奇偶性 及积 分 曲 面 具 有对 称 性 必 须 同时成 立 ，
如果 只有一 个成立 ， 不 能用 ． 则 注 ２ 利 用 对 称 性 时 一 定 要 顾 及 被 积 函 数
ｒ ｒ
±ｌ Ｐ ｚ ｙ ，，）ｄｄ ， Ｊ Ｅ （ ，）Ｙ ｚＪｙｚ
Ｊ Ｊ Ｄ
当 ∑取前侧 （ 曲面 ∑的法 向量 与 Ｘ轴 正 向的夹角 即
１ １ 曲面 方程 可 以代 入被 积 函数 中 ．
被 三坐标 面截 下 部分 的上 侧．
分 析 这 里将 变量 ｚ， 的位 置轮换 变化 ， Ｙ， 被
积表 达式 及积 分 曲面 都 不 变 化 ， 即被 积 函数 和 积 分 曲面都具 有轮 换对 称性 ， 以 所
这 点性质 是两 类 曲面 积 分 和 两 类 曲线 积分 （ 即 可 以把 积 分 曲线 代 人 被 积 函数 中）所 独 有 的 ， 和 这 重 积分 不 同． 根据 曲面 积 分 的 定 义 是很 容 易 得 到 此 结论的， 这里 不再 赘述 ． 用这 个性 质 可 以大大 简化 利
曲面积 分 的计 算 ． 例 １ 计 算 曲面 积分
＝ ，
ｙｙ一 ｄ ｆｙｄ ｚｄ ｄ ＝ ｘｚ， ￣ ｄ
因 此
Ｊ ３ｌ ｙ ｘ ｙ 一 ｌｘ ｄｄ ，
所以只须再选择合适的方法计算ｌｘ ｄｄ 即可． ｌ ｙｘｙ
１ ３ 用奇 偶 函数在 对 称 曲面上 的积 分性质计 算 ．
１， ０ Ｒ ｘ，， －－ ｘＹ２ ， ｙ －Ｒ（ ，，）
当 ∑取 上侧 （ 即曲面 ∑的法 向量 与 ｚ轴 正 向的夹 角 为锐 角） ， 时 公式 右端 取“ 号 ； ∑取 下侧 （ ＋” 当 即曲面
三的法 向量与 ｚ 正 向的夹 角为钝 角 ） ， 轴 时 公式 右端
取“ 一”号 ．
然后 再选 择合适 的计算 方 法 即可． 故 同样 也有
９ｚ 一 ， ３ｄ ０ ）Ｓ ｚ
（ １ ）
收 稿 日期 ：０ ０ ０ — ２ ； 改 日期 ：Ｏ １ ０ 一 Ｏ ． ２１ — ７ ３修 ２ ｌ — ２ ７
作 者 简 介 ： 慧丽 （ ９ ３ ） 女 ， 南平 顶 山 人 ， 士 ， 教 ， 事 最 优 景 １８ － ， 河 硕 助 从
其 中 是球 面
ｚ ＋ Ｙ 。＋ 一 Ｒ。
类 似于定 积 分 、 积分 和 曲线积 分 ， 可 以利用 重 也 奇偶 函数在对 称 曲面 上 的积分 性质 来简化 曲面 积分 的运 算 ． 先看 下面 的例题 ．
例 ３ 设 ∑是 球面
Ｘ。＋ Ｙ ＋ ｚ 一 Ｒ 。
ｄ ， ｚｄ
：，
其 中 是上 半球 面
｛ｚ Ｙ， （ ， ）ｉ ７＋ Ｙ ＋ 一 Ｒ ， ≥ ０ ． ２ ）
的外侧．
若 曲面 ∑是 由方 程 ｚ＝ ｘ ｙ，） 给出的 ， 在 ＝ （ ｚ所 ＝ 其
ｚ坐标 面上 的投 影 区域 为 Ｄ 函数 ． 一 ｘ ｙ ｚ ， ２ ７ （ ，）
计算 曲面积 分
Ｊ ｌｙｄｄ＋ｚｄｄ ＋ｘｄｄ， — ｌ ｚｙｚ ｘｚｘ ｙｘｙ
１ 计 算 时 须 注 意 的 三 点
不 管用 什 么方 法 计 算 第 二 类 曲 面积 分 ， 先 应 首
其 中 是 平面
Ｘ ＋ Ｙ＋ 一 １
根 据第 二类 曲面 积分 的定 义及 其所 具 有 的性 质来 化 难 为易 、 化繁 为简 ． 因此 ， 计算 时 须 注意 以下三 点． 在
积 分所 用的解 题技 巧 ， 非 每个 曲面 积 分 都具 有这 并 种 特殊性 质 ．
数 关于 是奇 函数 ． 但是 曲面 积 分 （ ）是 不对 的 ， ２ 实际 上如果 利用 高斯公 式 ， 容易解 得 很
：
所 以 ， 计算第 二 类 曲面 积分 时 ， 在 如果利 用对 称 性 有 困难 ， 如先 把 它转化 为二 重积 分 ， 不 再化 为定 积
ｌ Ｐ ｘ Ｙ ｄ ｄ Ｊ （ ， ，）ｙ ｚ一
Ｐ ｘｙｚｄｄ ， （ （ ， ，）３ ｚ Ｐ ＿ ｙ 一 ， ，
诸 公式． 若 曲面 ∑是 由方 程 ２一 ｚ ｘ ） 给 出的 ， ５ （， 所 其在 ｘ ｙ坐标 面上 的投 影 区域 为 Ｄ ， Ｏ 函数 — ｚ ｘ， （ ） 在 Ｄ 上具有 一 阶连 续偏 导数 ， 被积 函数 Ｒ（ ， ， ｘ Ｙ ） 在 ∑上连续 ． 则
在 Ｄ 上具 有一 阶连续偏 导数 ， 积 函数 Ｐ（ Ｙ ｚ 被 ｘ， ，）
在 ∑上 连续 ． 则
Ｊ Ｊ Ｚ
注 １ 在利 用奇 偶 函数在 对称 曲面上 的积分性 质来 计算第 二类 曲面 积 分 时 ， 两个 条件 即被 积 函数
ＩＰ ｘ Ｙｚｄ ｄ — ｌ （ ，，）ｙｚ
还要 考虑 曲 面 的侧 ， 即要 顾 及 被 积 函数 与 曲面 ． 因
此 ， 于第二 类 曲面积 分 的对称 性有 下面 的公式 ． 对 若 曲面 关 于 ｚ坐标 面对称 ， ， ∑ 表示其 中满 足 ３≥ ０的部 分 ， ∑和 乏 所 取 的侧一 致 ， ７ 且 ， 则
直接 利 用公 式 来 计 算 就是 通 过投 影 ， 第二 类 把 曲面积分 化为 二重 积 分 来计 算 ． 以直 接 利 用下 列 可
化 理论 研 究． ｍａｌ ｉｇ ｕｌ ２ ４ １ ３ＣＩ． Ｅ ｉｊ ｈ ｉ１ １＠ ６ ． Ｏｌ ｌｎ ｉ ＇ １ 张 辉 （ ９ ２ ） 男 ， 南 新 乡 人 ， 士 ， 教 ， 事 生 物 数 学 １８ － ， 河 硕 助 从
９ｚ ｄ一 ・ ｊ ｄｙ ０ ）ｘ ＝
这 种认 识正 确 吗？
１ ２ 可 以利 用轮 换对 性简 化计 算 ．
在 此种 情 形下 ， 积 函数 和积 分 曲面 都 应具 有 被
轮换 对 称性 ．
过程 时 ， 往往 感 到束 手无 策 、 从 下手 ． 实 ， 无 其 对第 二
类 曲面 积分 的计算 可 以从 以下 几个 方 面人手 ．
例 ２ Ｃ
ｒ ｒ
Ｊ ＪＺ
｛Ｊ Ｊ
１， ０
．
． ＿ ｚ，， 一 Ｐ ｚＹ ， ， Ｙ 一 （ ，，
ｌＱ ｚ Ｙｚｄｄ ： Ｉ （ ，，）ｚｘ＝ ＝
＜ Ｉ （Ｙ ｄｚＱ ｚ ， Ｑ ， ， ｌ ｘ ， ２ ，， ， Ｐ， ｄ ＿ Ｙ ２ 一 ， Ｙ
【， ０ Ｑ － ，， －－Ｏ３ｙ ， ∈ ＸＹ ＇ （，， ＿ － ｃ
（ ２ ）
与计算机仿真研究． ｍａｌｚ ａ ｇ ｕ４ ５ ＠ １３ ｃｉ． Ｅ ｉ ｈ ｎ ｈ ｉ９ ８ ６ ．ｏｎ ：
分 析 这 种认 识显 然 有 问题 ． 曲面 积分 （ ）是 １
８ ８
高 等数 学研 究
对 的， 这是 因 为 曲面 ∑关 于 ｘ ｙ面 对 称 ， 被积 函 Ｏ 而
ｄ 一 ２ ｚｄ
：
要把 其 中的变 量 ｚ 为 表示 ∑的 函数 — ｚ ｘ － ， 换 （ ，） ｙ
然后 在 ∑在 ｘ ｙ坐标 面上 的投 影 区域 Ｄ 上计算 二 Ｏ
‘
重积 分 ， 考 虑到符 号 的选取 即可 ． 并 这一 过程可 总结 成 口诀 ： 一代 二投 三定 向” 类似地 ， 下述公式 ． “ ． 有
关 键 词 第 二 类 曲面 积 分 ； 算 ； 法 计 方 ０１ ２ ７ 文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０— ３ ９２ １ ）４０ ８—５ ０ ８１ ９ （０ １ ０—０ ７０ 中图分类号
在 高等数 学课 程 中 ， 关 曲面 积分 ， 有 尤其 是第 二 类 曲面 积分 （ 即对 坐 标 的 曲 面 积 分 ）的计 算 是 一 个 重点也 是一个 难 点 ， 多 学 员 在 学 习 这方 面知 识 的 许
｛ｚ Ｙ，）『 ＋ Ｙ ＋ ｚ （， ｚ 。 ≤ Ｒ ） ．
那么 ， 上述 对对称 性 的利用 为 什么是 错 的呢？ 实
际上 ， 第一类 曲面积分 （ 即对 面积 的曲 面积 分 ）与 曲 面（ 积分域 ）的侧 （ 向） 关 ， 方 无 故考 虑对 称性 比较容 易． 对第 二类 曲面积 分 （ 但 即对 坐 标 的 曲面 积 分 ） 与
第ｌ ４卷 第 ４期
２１ ０ １卑 ７月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ Ｃ０Ｌ Ｅ Ｎ ＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ ． ４， ． ｉ １ ＮＯ ４ Ｊ １ ，２ １ ｕ． ０ １
第 二 类 曲面 积分 的计 算 方 法
景 慧 丽 ，张 辉
（第 二 炮 兵 工 程 学 院 基础 部 ，陕 西 西 安 ７ ０ ２ １ ０ ５）
ｒ ｒ
若 积分 曲面 ∑关 于 ｘ （ ｘ ｙ） 标面 对称 ， 积 Ｏｚ 或 Ｏ 坐 被
这表明， 计算曲面积分ｌＲ ｘ ，）ｘｙ 只 Ｉ （ ， ｚｄｄ 时，
Ｊ一 ＝
函数 Ｐ， Ｒ 关于 Ｙ（ ｚ Ｑ， 或 ）有奇 偶性 ， 则第 二类 曲面 积 分具有 相似 的结论 ． 利用 上 面的结论 ， 容易 得 到 很