级数练习题答案(10)
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10级级数练习题答案
1 写出下列级数的通项：
（1）111
1248-+-
+
解：111
(1)2
n n n u --=-，(1,2)n =
（2）1234251017+++
+
解：21n n
u n =+
(1,2)n =
（3）
23
114477101013
x x x ++++⋅⋅⋅
⋅
解：1
(32)(31)n n x u n n -=-+
(1,2)n =
（4）234
22222!3!4!
-+-
+
解：1
2(1)
!n
n n u n -=-
(1,2)n =
2设级数1
n n u ∞
=∑的第n 次部分和31
n n
S n =
+，试写出此级数，并求其和。 解：13(2),(1)n n n u S S n n n -=-=≥+而1133
1112u S ===
+⋅，113(1)n n n u n n ∞∞
==∴=+∑∑ 又3lim lim 31n n n n
S n →∞→∞==+，所以级数1n n u ∞=∑收敛，且13
n n u ∞
==∑
3判断下列级数的敛散性。若级数收敛，求其和。 （1
）0.0010.001n +++
解：1
1lim lim(
)101000n
n n n u →∞→∞==≠，所以原级数发散。 （2）234
1
23444444(1)
5555
5n
n n
--+-+
+-+
解：公比4
4,
15
5q q =-=<，所以级数收敛，和为4
45419
15
a q ==-+
（3）1357
2468
++++⋅⋅⋅
解：1
135********n n n ∞
=-++++⋅⋅⋅=∑
21
lim lim
102n n n n u n →∞→∞-==≠，所以原级数发散。
（4）1234
2345++++⋅⋅⋅
解：1
123423451n n
n ∞
=++++⋅⋅⋅=+∑
lim lim
101
n n n n
u n →∞
→∞==≠+，所以原级数发散。
（5）⋅⋅⋅+⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+2718191413121
解： 对于11()2
n n ∞
=∑，公比112q =<，所以级数收敛，和为1
211112
a
q ==--
对于11()3
n n ∞
=∑，公比113q =<，所以级数收敛，和为1
1
311213
a q ==--
所以⋅⋅⋅+⎪⎭⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+2718191413121收敛，和为13122+=
4用比较判别法判定下列级数的敛散性
（1）111
1357
+++
+
解：1
21
n u n =-
1
121lim lim lim (0,)11212
n n n n u n n n n n
→∞→∞→∞-===∈+∞-
因为1
1n n ∞
=∑发散，由比较判别法，11
21n n ∞
=-∑发散。
（2）211111
2510171
n +++++++
解：21
1
n u n =+
22222
11lim lim lim 1(0,)11
1n n n n u n n n n n →∞→∞→∞+===∈+∞+
因为211n n ∞
=∑收敛，由比较判别法，211
1
n n ∞
=+∑收敛。
（3）234
1
2222213353573579357(21)
n n -++
+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-
解：
11222
22()357(21)33
33
n n n --≤⋅=⋅⋅⋅⋅- 因为112
()3
n n ∞
-=∑收敛，由比较判别法，原级数收敛。
（4）11
ln(1)
n n ∞
=+∑
解：1
ln(1)
n u n =
+
1
1ln(1)
lim lim
lim lim lim(1)111
ln(1)1
n n n n n n u n n n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞+====+=∞++ 因为1
1n n ∞
=∑发散，由比较判别法，11
ln(1)n n
∞
=+∑发散。
（5）234
234222213335373++++⋅⋅⋅⋅
解：2(21)3
n
n n
u n =-⋅