级数练习题答案(10)
级数习题 有答案
题型一 正项级数敛散性的判定判定下列级数的敛散性.1) );0(11>⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∞=a n na nn 2) )0(!1>∑∞=a nn a n n n3) ;)cos1(1∑∞=-n n π4) ;)11ln()1(1∑∞=+-+n p n n n解 1）a n nau n n n n =+=∞→∞→1limlim ，则（1）当10<<a 时，原级数收敛； （2）当1>a 时，原级数发散； （3）当1=a 时，01)1(lim lim ≠=+=∞→∞→en n u n n n n ，原级数发散。
2） e an n a n a n n n a u u n n n n n n n n n n =+=⋅++=∞→++∞→+∞→)1(lim !)1()!1(lim lim 111 （1）当e a <<0时，原级数收敛； （2）当e a >时，原级数发散； （3）当e a =时，1)11(lim lim1=+=∞→+∞→nn n n n ne u u ，但n n )11(+是单调增趋于e 的，则1)11(1>+=+nnn neu u ，即n u 单调增，又0>n u ，则0lim ≠∞→n n u ，原级数发散。
3）由于)(21~cos 12∞→-n n n ππ，而∑∞=121n n收敛，则原级数收敛. 4）由于)(1~)11ln(∞→+n nn ，而 p pp n n n n ]111[)1(2-+=-+，nn 21~111-+则原级数与级数∑∞=+12121n pp n同敛散，故原级数在0>p 时收敛，在0≤p 时发散。
判定下列级数敛散性. 1) ∑⎰∞=+1102d 1n n x x x 2) ∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11112n n n 3) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1)11ln(1n n n解 1）由于⎰⎰=≤+<n n ndx x dx xx 10231213210， 而∑∞=1231n n收敛，则原级数收敛.2）由于232221ln 11ln 1ln ~11212n nn n n n n e n nnn=<<+-=-++，故原级数收敛. 3）方法1° 由不等式)0(,)1ln(1><+<+x x x x x知 21)1(11111111)11ln(10n n n n n n n nn n <+=+-=+-<+-<.而∑∞=121n n 收敛，则原级数收敛.设∑∞=1n n u 为正项级数,下列结论正确的是(A) 若∞→n lim 0=n nu ,则∑∞=1n n u 收敛;(B) 若存在非零常数λ,使∞→n lim λ=n nu ,则∑∞=1n n u 发散.(C) 若∑∞=1n n u 收敛,则∞→n lim 02=n u n .(D) 若∑∞=1n n u 发散,则存在非零常数λ,使得∞→n lim λ=n nu .解法1 直接法. 由0lim ≠=∞→λn n na 知，01lim ≠=∞→λna nn ，由比较法的极限形式知，级数∑∞=1n n a 与∑∞=11n n 同敛散，则∑∞=1n n a 发散，故应选（B ）.解法2排除法. 考虑n n a n ln 1=，级数∑∞=2ln 1n nn 发散.但0ln 1limlim ==∞→∞→nna n n n ，则（A ）和（D ）都不正确.考虑21n a n =，显然级数∑∞=1n n a 收敛，但01lim 2≠=∞→n n a n ，则（C ）不正确.故应选（B ）.题型二 交错级数敛散性判定判定下列级数的敛散性 (1) ∑∞=-1ln )1(n n nn(2) ∑∞=+122)sin(n a n π解 （1）本题中的级数为交错级数，且nn u n ln =，考虑函数xx x f ln )(=.由于 )0(2ln 1)(>-='x xxx xx f)(,02ln 22e x xx x ><-=又 xx xx x x 211limln lim+∞→+∞→=02lim==+∞→xx ，故nn u n ln =单调减且趋于零，由莱不尼兹准则知原级数收敛.2）由于)sin()1()](sin[)sin(222222ππππππn a n n a n n a n n -+-=-++=+ na n a n++-=222sin)1(π此时na n a ++222sin π单调减且0sinlim 222=++∞→na n a n π.由莱不尼兹准则知原级数收敛.设正项数列}{n a 单调减少,且∑∞=-1)1(n n n a 发散,试问级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+111n nn a 是否收敛?为什么?解 由于n a 单调减，且0>n a ，即下有界，则n n a ∞→lim 存在，设a a n n =∞→lim ，则0≥a ，若0=a ，由莱不尼兹准则知级数∑∞=-1)1(n n n a 收敛，这与题设矛盾，因此0>a ，此时，对正项级数∑∞=+1)11(n nn a 用根值法，得 11111lim <+=+=∞→a a u n n n n ， 则级数∑∞=+1)1(1n nna 收敛.题型三 任意项级数敛散性判定判定∑∞=12)!sin(2tann nn n π的敛散性.解 因nnn n n 2tan|)!sin(2tan|22ππ≤，又nn2~2tanππ，则级数n n n 2tan 12π∑∞=与∑∞=122n n n π同敛散.对级数∑∞=122n n n 用根值法得 1212)(limlim 2<==∞→∞→n n n n n n u . 则∑∞=122n n n 收敛，则原级数绝对收敛，故原级数收敛. 讨论∑∞=11n pn n a 是绝对收敛,条件收敛还是发散? 解 先考绝对值级数∑∞=11n pn na . 由于 an a n a pn p n n 1||)1(1lim1=++∞→，1）当1>a 时，原级数绝对收敛. 2）当10<<a 时，原级数发散。
第十二章无穷级数练习题含答案
第十二章无穷级数练习题含答案第十二章无穷级数练习1.判断下列数列的收敛性和发散性：n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n?);?n?1n!n?;n?n?1(2n?13n?2)2n?12.判断下列序列是绝对收敛、条件收敛还是发散？（？1）n？1n？1n1；[n？]3n2??n?1ncosn3n2?；N1（？1）n？11n？lnn3.求幂级数?n?0(x?1)nn?1的收敛区间。
4.证明系列？N1n！NNX何时|x |？当e是绝对收敛时，当| x |？E.1n）处的散度单调增加，而limxn？En??nn注：数列xn?(1?5.找出区间（？1,1）中的幂级数n?1xn?1n的和函数。
6.找到这个系列吗？N21（n？1）和22 n。
一7.设a1?2,an?1?12(an?1an)（n?1,2,?）证明1）利曼存在；2）连续剧？（n？Anan？1？1）收敛。
n?18.设定一个？？40? ntanxdx1）求?n?11n(an?an?2)的值；2）验证：对于任何常数？？0系列？N1安？汇聚19.设正项数列{an}单调减少，且?(?1)nan发散，试问a?1?是否收敛？并说明理N1.N1n拜拜。
1211??11?xlndx。
10.已知1?2?2[参见教材246页]，计算??1?x3580x。
二无穷级数例题选解1.判断下列数列的收敛性和发散性：n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n21n?);n?1n!n2?;n?n?1(2n?13n?2)2n?1解决方案：1）？sin1n2和N11n收敛，由比较审敛法知2）?ln(1?1n?n?1sin1n2收敛。
)~ 1n（n？？）和N1.1n散度，由比较审敛法的极限形式知联合国？1un？N1ln（1？1n）散度。
n3）??lim?nlim(n?1)!(n?1)n?1?n??1?nlim，NN1n！Ennn？？知识收敛比1n1n!n2收敛。
14）?? 林恩？？un4？2n？1.2n？1.N林N3n？29 3n？2.2n？1.2n？1.汇聚1.从根值收敛法，我们可以知道3n？2.N1.2.判断下列序列是绝对收敛、条件收敛还是发散？N1（？1）n？1n1；[n？]3n?n?12??n?1ncosn3n2?；N1（？1）n？11n？lnn解：1）对于级数?(?1)n?1n32n，N1人？？林？|联合国？1 | | un | n？1n13.知道进展情况吗？（？1）n？1.N32n绝对收敛，n1[n?]条件收敛。
数列与级数收敛性练习题判断数列与级数的收敛性与性质
数列与级数收敛性练习题判断数列与级数的收敛性与性质数列与级数的收敛性是数学中的重要概念，在实际问题中有广泛的应用。
本文将通过一系列练习题来讨论数列与级数的收敛性与性质。
1. 判断数列的收敛性1.1 数列 {an} = 1/n，n为正整数解析：当n趋近于无穷大时，数列的值趋近于0，即lim(n→∞)1/n = 0，因此数列 {an} 收敛，收敛值为0。
1.2 数列 {bn} = (-1)^n/n，n为正整数解析：当n趋近于无穷大时，数列的值在正负1之间交替变化，即数列 {bn} 不收敛。
1.3 数列 {cn} = (2n + 3)/(3n + 1)，n为正整数解析：当n趋近于无穷大时，数列 {cn} 的值趋近于2/3，即lim(n→∞)(2n + 3)/(3n + 1) = 2/3，因此数列 {cn} 收敛，收敛值为2/3。
2. 判断级数的收敛性2.1 级数Σ(1/n)，n从1到无穷大解析：根据数列的收敛性知识，当数列 {an} = 1/n 收敛时，级数Σ(1/n)收敛。
根据前面的讨论，数列 {an} = 1/n 收敛于0，因此级数Σ(1/n)收敛。
2.2 级数Σ((-1)^(n-1)/n)，n从1到无穷大解析：该级数为调和级数的交替形式，称为莱布尼茨级数。
根据莱布尼茨判别法，该级数收敛。
且根据调和级数的性质，级数Σ((-1)^(n-1)/n)的收敛值为ln(2)。
2.3 级数Σ((2n + 3)/(3n + 1))，n从1到无穷大解析：利用比值判别法来判断级数的收敛性。
设an = (2n + 3)/(3n+ 1)，则有 an+1/an = ((2n+5)/(3n+4)) * ((3n+1)/(2n+3)) = (6n^2 + 22n+15)/(6n^2 + 22n + 12)。
当n趋近于无穷大时，(6n^2 + 22n +15)/(6n^2 + 22n + 12)趋近于1/1 = 1，即lim(n→∞)(an+1/an) = 1。
第四章级数（答案）
第四章级数（答案）复变函数练习题第四章级数系专业班姓名学号§1 复数项级数 §2 幂级数23521242211(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()2!4!2!1()2!!n n n n nn zz z z z zz z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L ⼀些重要的级数⼀、选择题:1.下列级数中绝对收敛得就是 [ ] (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ)2.若幂级数在处收敛,那么该级数在处得敛散性为 [ ](A )绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)不能确定3.幂级数在内得与函数为 [ ] (Ａ) (B) (C) (D)'100'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n nn n n nz z n n n n z z n z z z dz dz z n n z ∞∞+==∞∞++==-=-=?? ?++??--==+ +++?∑∑∑∑?? ⼆、填空题:1.设,则 0 。
2.设幂级数得收敛半径为,那么幂级数得收敛半径为3.幂级数得收敛半径就是 e 。
4.幂级数(为正整数)得收敛半径就是 1 。
三、解答题:1.判断下列数列就是否收敛？如果有极限,求出它们得极限。
(1) (2)2.判断下列级数得敛散性。
若收敛,指出就是绝对收敛还就是条件收敛。
判断绝对收敛得两种⽅法: (1)绝对级数就是否收敛(2)实部与虚部得绝对级数就是否收敛 (1)11sin ()32323322332n n nnn nnnn n n in n e e n n e e n ne e -∞∞==-==-∑∑由级数及级数收敛，可得原级数绝对收敛(4)2111(1)(1)[]ln ln 2ln(21)(1)(1)ln 2ln(21)n k kn k k kk k i i n k k k k ∞∞==∞∞==--=++--+∑∑∑∑由于和为交错级数，由莱布尼兹准则，1111ln 2ln(21)k k k k ∞∞==+∑∑级数收敛，故原级数收敛。
第十五章傅里叶级数练习题(2021
第十五章 傅里叶级数（2021.1）一、 填空1、若函数()f x 与()g x 在[,]a b 上正交，则,()()=⎰b a f x g x dx . 答案：02、对任意的正整数,m n ，积分,sin cos -=⎰nx mxdx ππ . 答案：03、对任意的正整数,且≠m n m n ，积分20,sin sin =⎰nx mxdx π . 答案：04、对任意的正整数,且≠m n m n ，积分20,cos cos =⎰nx mxdx π . 答案：05、 若函数)(x f 在区间[]ππ,-可积，则函数)(x f 的傅立叶系数=n b . 答案：1()sin -=⎰n b f x nxdx πππ 6、若函数)(x f 在区间[]ππ,-可积，则函数)(x f 的傅立叶系数=n a ． 答案：1()cos -=⎰n a f x nxdx πππ7、 设()x f 是周期为π2的周期函数，且()() =-<≤f x x x ππ，则()x f 的傅里叶叶系数=n a _____.答案：0=n a8、 设()x f 是周期为π2的周期函数，且()()2 =-<≤f x x x ππ，则 ()x f 的傅里叶系数=n b _____.答案：0=n b9、 设()x f 是周期为π2的周期函数，且()()3 =-<≤f x x x ππ，则()x f 的傅里叶叶系数=n a _____.答案：0=n a10、设()x f 是周期为π2的周期函数，且()() =-<≤f x x x ππ，则()x f 的傅里叶级数在=x π收敛于_____.答案：0解析：()x f 的傅里叶级数在=x π收敛于(0)(0)()022-+++-==f f ππππ 11、设f x x x x (),,=-<≤---<<⎧⎨⎪⎩⎪02220ππππ，已知S x ()是f x ()的以2π为周期的正弦级数展开式的和函数，则S 94π⎛⎝ ⎫⎭⎪=______ . 答案：S 9434ππ⎛⎝ ⎫⎭⎪= 解析：由于S x ()是f x ()的以2π为周期的正弦级数展开式的和函数，所以S x ()是以2π为周期的奇函数，从而93S S 2S S 4444424⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫πππππππ=π+==--=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12、设f x x x x (),,=≤<≤≤⎧⎨⎪⎩⎪0022πππ，已知S x ()是f x ()的以2π为周期的余弦级数展开式的和函数，则()S -3π=______ .答案：π解析：由于S x ()是f x ()的以2π为周期的余弦级数展开式的和函数，所以S x ()是以2π 为周期的偶函数，从而()()()S 3S 43S -π=π-π=π=π13、设f x x x x (),,=≤<≤≤⎧⎨⎪⎩⎪0022πππ，已知S x ()是f x ()的以2π为周期的余弦级数展开式的和函数，则S 3⎛⎫π- ⎪⎝⎭=______ . 答案：0解析：由于S x ()是f x ()的以2π为周期的余弦级数展开式的和函数，所以S x ()是以2π为周期的偶函数，从而S S 033⎛⎫⎛⎫ππ-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14、设f x x x x (),,=≤<≤≤⎧⎨⎪⎩⎪0022πππ，已知S x ()是f x ()的以2π为周期的正弦级数展开式的和函数，则8S 3⎛⎫π- ⎪⎝⎭=______ . 答案：23π- 解析：由于S x ()是f x ()的以2π为周期的正弦级数展开式的和函数，所以S x ()是以2π为周期的奇函数，从而8822S S S 3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫ππππ-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭15、设f x x x x x (),,=-≤<≤<⎧⎨⎪⎩⎪2022πππ，又设S x ()是f x ()的以2π为周期的余弦级数展开式的和函数，则()S 4=______ .答案：S(4)24=π- 解析：由于S x ()是f x ()的以2π为周期的余弦级数展开式的和函数，所以S x ()是以2π为周期的偶函数，从而S(4)S (4)S (24)24=-=π-=π- 16、设f x x x x x (),,=-≤<≤<⎧⎨⎪⎩⎪2022πππ，又设S x ()是f x ()的以2π为周期的余弦级数展开式的和函数，则()S 6=______ . 答案：S(6)82=-π 解析：由于S x ()是f x ()的以2π为周期的余弦级数展开式的和函数，所以S x ()是以2π为周期的偶函数，从而S(6)S (6)S (26)2(26)82=-=π-=-π-=-π 17、设f x x x x x (),,=-≤<≤<⎧⎨⎪⎩⎪2022πππ，又设S x ()是f x ()的以2π为周期的正弦级数展开式的和函数，则()S 6=______ .答案：S(6)28=π- 解析：由于S x ()是f x ()的以2π为周期的正弦级数展开式的和函数，所以S x ()是以2π为周期的奇函数，从而()S (6)S (6)S (26)[226]28=--=-π-=--π-=π-18、设()f x 是以2π为周期的连续函数，其傅里叶系数01=a ，1=n a n， 0(1,2,3,)==n b n ，则()=f x _______________ . 答案：111cos 2∞=+∑n nx n19、设()f x 是以2π为周期的连续函数，其傅里叶系数01=a ，()1-=n nb n ， 0(1,2,3,)==n a n ，则()=f x _______________ . 答案：()111sin 2∞=-+∑nn nx n 20、设()f x 是以2π为周期的连续函数，其傅里叶系数01=a ，1=n a n ，()1-=n n b n， (1,2,3,)=n ，则()=f x _______________ . 答案：()111cos 1sin 2∞=⎡⎤++-⎣⎦∑n n nx nx n。
高数练习题答案
高数练习题一、极限与连续1. 计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to 1} \frac{1}{\ln x}$2. 讨论函数$f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$在$x = 1$处的连续性。
3. 若$\lim_{x \to 0} f(x) = a$，$\lim_{x \to 0} g(x) = b$，求$\lim_{x \to 0} [f(x) + g(x)]$。
二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) $y = x^3 3x^2 + 2x$(2) $y = \sqrt{1 + x^2}$(3) $y = \ln(\sin x)$2. 设$f(x) = e^{2x} \sin x$，求$f'(x)$。
3. 求函数$y = \arctan \frac{1}{x}$在$x = 1$处的微分。
三、中值定理与导数的应用1. 验证函数$f(x) = x^3 3x$在区间$[1, 1]$上满足罗尔定理。
2. 设$f(x) = x^4 4x^2 + 4$，求证：存在$x_0 \in (0, 1)$，使得$f'(x_0) = \frac{f(1) f(0)}{1 0}$。
3. 求函数$y = x^3 3x^2 9x + 5$的单调区间。
四、不定积分与定积分1. 计算下列不定积分：(1) $\int (3x^2 2x + 1)dx$(2) $\int e^x \sin x dx$(3) $\int \frac{1}{x^2}dx$2. 计算定积分：(1) $\int_{0}^{1} (x^2 + 2x)dx$(2) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$(3) $\int_{1}^{e} \ln x dx$3. 求曲线$y = x^3$与直线$y = x$所围成的图形的面积。
高中数学练习题附带解析数列与级数的收敛与发散
高中数学练习题附带解析数列与级数的收敛与发散本文将提供一组高中数学练习题，并附有详细的解析。
主要涉及数列与级数的收敛与发散。
以下是各类题型的示例：一、选择题1. 判断下列数列的级数是否收敛。
① an = (1/2)^n② an = 1/n!③ an = n/2^nA.①收敛，②、③发散B.①、③收敛，②发散C.①、③发散，②收敛D.①、②、③均收敛分析：对于①，容易发现是一个几何级数，首项为1，公比小于1，因此收敛；对于②，题目中$n!$是$n$的阶乘，因此$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0$，由比较判别法知该级数收敛；对于③，该级数同样是一个几何级数，但是公比大于1，因此发散。
选C。
二、填空题2. 已知数列${a_n}$的通项公式为$a_n=\frac{1}{n+1}$，则$\sum\limits_{i=1}^\infty a_i=$________。
分析：将通项公式带入级数求和公式中可得：$\sum\limits_{i=1}^\infty a_i=\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{n+1}$ $=\lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{n+1}$$=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+ \cdots +\frac{1}{n+n}$$=\ln 2$因此，答案为$\ln 2$。
三、计算题3. 计算级数$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{n^2+2n}$。
分析：将被加数写成完全平方数形式，即：$n^2+2n=(n+1)^2-1$因此，$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{n^2+2n}$$=\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{(n+1)^2-1}$$=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=2}^\infty \left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)$$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}- \cdots\right)$$=\frac{1}{2}(1)$$=\frac{1}{2}$因此，答案为$\frac{1}{2}$。
数列与级数的极限计算练习题及解析
数列与级数的极限计算练习题及解析数列和级数是数学中重要的概念和工具，广泛应用于各个领域的计算与分析中。
本文将提供一些数列和级数的极限计算练习题，并给出详细的解析。
一、数列的极限计算练习题及解析1. 求数列{an}的极限，其中an = 2^n / n!。
解析：根据数列的定义，当n趋于无穷大时，数列{an}的极限即为极限值L。
计算数列的前几项可以发现：a1 = 2^1 / 1! = 2/1 = 2a2 = 2^2 / 2! = 4/2 = 2a3 = 2^3 / 3! = 8/6 = 4/3a4 = 2^4 / 4! = 16/24 = 2/3可以猜测当n趋于无穷大时，an的极限可能为0。
下面通过数学归纳法证明：首先，当n=1时，an = 2^1 / 1! = 2/1 = 2 > 0，假设当n=k时，an > 0成立。
当n=k+1时，an+1 = 2^(k+1) / (k+1)! = 2 * (2^k / k!) = 2 * an / (k+1)。
根据假设，an > 0，且k+1 > 0，所以an+1 > 0。
综上所述，an > 0对于任意正整数n成立。
再观察数列的变化：an+1 = 2 * an / (k+1) < an根据数列单调有界原理，an是一个单调递减有下界的数列，所以该数列必有极限。
设该数列的极限为L，则当n趋于无穷大时，an和an+1都趋于L，即：L = 2 * L / (k+1)解得L = 0。
因此，数列{an}的极限为0。
2. 求数列{bn}的极限，其中bn = n^n / (n!)^2。
解析：根据数列的定义，当n趋于无穷大时，数列{bn}的极限即为极限值L。
计算数列的前几项可以发现：b1 = 1^1 / (1!)^2 = 1/1 = 1b2 = 2^2 / (2!)^2 = 4/4 = 1b3 = 3^3 / (3!)^2 = 27/36 = 3/4b4 = 4^4 / (4!)^2 = 256/576 = 8/18 = 4/9可以猜测当n趋于无穷大时，bn的极限可能为0。
级数练习题及答案
级数练习题及答案一、选择题1. 下列级数中收敛的是：A. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...B. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...C. 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...D. 2 + 4 + 8 + 16 + ...答案：A2. 对于级数 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...，下列说法正确的是：A. 级数的和为1B. 级数的和为0C. 级数的和为2D. 级数为发散的答案：B3. 给定级数的前n项和Sn，当n趋向于无穷大时，若Sn趋向于一个有限的值，则称该级数为：A. 发散级数B. 收敛级数C. 无界级数D. 有界级数答案：B二、填空题1. 计算级数 2 + 4 + 8 + 16 + ... 的和。
答案：级数为等比数列，公比为2，根据等比数列求和公式，和为2^n - 2，其中^n表示累乘。
2. 求级数 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 的和。
答案：级数为几何级数，首项为1，公比为1/2，根据几何级数求和公式，和为2。
三、计算题1. 计算级数 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... 的和。
答案：级数为几何级数，首项为1/2，公比为1/2，根据几何级数求和公式，和为1。
2. 计算级数 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ... 的和。
答案：级数为几何级数，首项为1/3，公比为1/3，根据几何级数求和公式，和为1/2。
四、证明题证明级数 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 的和为2。
证明：我们可以通过求极限的方法证明。
设级数的部分和为Sn，则Sn = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n。
当n趋向于无穷大时，Sn趋向于一个有限值。
设该有限值为S，则有：S = lim(n->∞) Sn= lim(n->∞) (1 - 1/2^n) / (1 - 1/2)= 1 / (1 - 1/2)= 2所以级数的和为2。
第12章章测题(级数)
第 12 章无穷级数练习题一、填空题∞∞1. 已知级数∑u 收敛，而级数∑nn=1 n=1∞u 发散，则称级数∑u 为收敛。
n nn=1∞2. 如果幂级数∑n=0a n x 在点n1x =处收敛，那么它在点21x =−处的收敛性是。
3x x x2 3 n3. 幂级数1+x +++++（−∞<x <+∞) 的和函数是。
2! 3! n!∞4. 设常数k > 0,则级数∑(−1)nn=1 k+n2n的收敛性为。
∞15. 若级数∑n n α+1=1nnα+1收敛，则α的取值范围是。
∑∑∞−1 ( 1)∞n6. =n=0 n 0 n !!n=。
∞7．已知级数∑u 的前n 项部分和为nn=13nsn =(n = 1,2,,n) ，则此级数的通项n +1u =。
n∞n28．级数∑=0 n!n的收敛和为。
二、判断题∞1．如果∑n=1 a 收敛，则部分和nS 有界。
（）n∞2．如果lim = 0 a 收敛。
（）a ，则∑→nnn ∞n=13．设f (x) = 1− cos x ，那么( 1) (1)∞−n−1f 绝对收敛。
（）∑nn=1∞a4．设> 0 a 收敛，那么lim +1 =ρ< 1a ，如果∑n。
（）n nn→∞a n=1n∞∞5. 如果∑ a 的收敛区间是(−R, R) ，那么∑n 3n+ln x a （l 是某自然数）的收敛区间是n xn=0 n=0(−3 R,3 R) 。
（）∞6．如果∑n=0∞a 的收敛半径是R，则∑n xa 的收敛半径是R，则∑n(n n x 的收敛半径也为 R。
（）1)an −−n 2n=2三、选择题1．下列级数中，收敛的是。
1 1 1A．++++；1⋅ 3 3⋅ 5 (2n −1)(2n +1)1 1 1B．1+++++1+ 2 1+ 4 1+ 2(n −1)；1 1 1 1C．+++++2 4 6 2n；+1 1 1 +11+1D ．++++。
高数第八章无穷级数课堂练习题及答案详解
1. (1)n1 xn
n 1
n
（提示：
(1)n1
xn
x2 x
x3
x4
L
(1)n1
xn
L
）
n 1
n
234
n
解： (1) R lim an lim n 1 1 ，所以收敛半径 R 1
a n n 1
n n
当 x 1 时，级数成为 (1)n 该级数收敛；当 x 1 时，级数成为 1 该级数发散.
a n n 1
n (n 1)(n 2)
n n 2
当 x 1时， n(n 1) 与 (1)n n(n 1) 均发散，
n 1
n 1
所以幂级数 n(n 1)xn 的收敛域是 (1,1) . n 1
（2）设和函数 S (x) n(n 1)xn (1 x 1) n 1
（ (xn1) n(n 1)xn1, xn xxn1 ）
np
n 1
np
n 1
np
n 1
所以当
0
p
1时，
n 1
(1)n1 np
条件收敛；当
p
1时，
n 1
(1)n1 np
绝对收敛.
归纳得：级数 (1)n1 ，当 p 0 时发散，当 0 p 1时条件收敛；当 p 1时绝对收敛。
np
n 1
五. 求下列级数的收敛域，以及它们在收敛域内的和函数
|
(1)n1
|
1 ，因为 lim 1
1 lim n ，且 1 发散，
n1 ln(n 1) n1 ln(n 1)
n ln(n 1) n n ln(n 1)
n1 n
所以由比较判别法极限形式知
高数II-2练习题及答案
高数II-2一、单项选择1、级数为( )• A、发散• B、条件收敛但不绝对收敛• C、绝对收敛但不条件收敛• D、绝对收敛且条件收参考答案 B2、曲线在t=2处的切向量是( ）。
• A、(2，1, 4)•B、（4，3，4）•C、0•D、(−4，3, 4)参考答案 A3、在)处均存在是在处连续的（)条件.• A、充分• B、必要• C、充分必要• D、既不充分也不必要参考答案 D4、设a为常数，则级数( ）• A、绝对收敛• B、条件收敛• C、发散• D、敛散性与a的值有关参考答案 A5、二元函数的定义域是（）。
• A、• B、• C、• D、参考答案 A6、方程表示的曲面是（）。
• A、圆• B、椭球• C、抛物面• D、球面参考答案 D7、有且仅有一个间断点的函数是（)。
• A、• B、• C、• D、参考答案 B8、下列级数中,收敛级数是()• A、• B、• C、• D、参考答案 A9、按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体的温度和空气的温度之差成正比。
已知空气温度为300C,而物体在15分钟内从1000C冷却到700C，求物体冷却到400C所需的时间为（)分钟.• A、50•B、51•C、52•D、53参考答案 C10、平面4y－7z=0的位置特点是(）• A、平行于z轴• B、垂直于x轴• C、平行于y轴• D、通过x轴参考答案 D11、若满足，则交错级数。
• A、一定发散• B、一定收敛• C、可收敛也可发散• D、难以确定参考答案 C12、下列无穷级数中发散的是().• A、• B、• C、• D、参考答案 C13、下列说法正确的是（) .• A、两直线之间的夹角范围在• B、两平面之间的夹角范围在• C、两向量之间的夹角范围在• D、直线和平面之间的夹角范围在参考答案 C14、级数收敛，则参数a满足条件（)• A、a〉e•B、a〈e•C、a=e•D、a为任何实数参考答案 A15、下列方程中（）是表示母线平行于y轴的双曲柱面。
第十二章 练习题答案
第十二章 练习题一、 填空1、级数∑∞=1n n u ，一般项n u 趋于零是级数收敛的 必要 条件2、若数项级数1∞=∑n n u 收敛，则lim n n u →∞= 0 。
3、级数11n n aq -∞∑=当q 时收敛，当q 时发散4、 级数∑+∞=-11-3)1n nn （的和为（ 41） 5、判别级数1(1)(1)nn In n ∞=-+∑的敛散性（绝对、条件或发散） 条件收敛 ．6、判别级数n11(1)n n ∞=+-∑的敛散性（绝对、条件或发散） 发散 ．7、部分和数列{}n s 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的 充要 条件8、 幂级数∑∞=-1)5(n nnx 的收敛区间是()6,4．9、 幂级数221212-∞=∑-n n n x n 的收敛区间是()2,2-．10、幂级数+++++nnx x x x 3232的收敛区间为 ()1,1- 11、 幂级数()222121nxx x nn -+++- 的收敛区间为 []1,1- 12、幂级数2323n x x x nx +++++的和函数是2,1(1)xx x <-．13、 级数()n n nx n ∑∞=--11!1的收敛半径等于∞+ .14、 函数 xx f +=21)(的麦克劳林展开式是()()2,2,2101-∈-∑∞=+x x n n n n ．15、()xe xf =的幂级数展开式为 ++++++!!3!2132n x x x x n16、函数 xx f +=31)(的麦克劳林展开式是()()3,3,3101-∈-∑∞=+x x n n n n．17、 函数x sin 的幂级数展开式为 ()()21121!n nn x n +∞=-⋅+∑18、 在),[ππ-上的()x x f =以π2为周期，则傅里叶系数=n a 0 .19、 设()x f 是周期为π2的周期函数，它在),[ππ-上的表达式为()2x x f =，则 ()x f 的傅里叶系数=n b 0 . 二、选择第一节1、 等比级数a+aq+aq 2+…+aq n-1+…(a ≠0)（ A ）A. 当|q|<1时发散；当|q|≥1时收敛B. 当|q|≤1时发散；当|q|>1时收敛C. 当|q|≤1时收敛；当|q|>1时发散D. 当|q|<1时收敛；当|q|≥1时发散 2、若0lim =∞→n n a ，则级数∑∞=1n n a （ D ）A 、一定收敛B 、一定发散C 、一定条件收敛D 、可能收敛，也可能发散3、级数∑∞=---1112)1(n n n 的和等于____D_____。
青岛版五四制四年级数的认识与运算练习题50道含答案考点(难度系数0.44)
四年级数的认识与运算（0.44）一、单选题（共15题；共30分）1.张老师带了2000元钱，要为学校购买18台同样的电话机（如图），还剩（）元钱。
A. 110B. 190C. 210【答案】A【考点】1000以上的四则混合运算2.在(27+27×27)-27÷27中，最后一步求的是( )。
A. 积B. 和C. 商D. 差【答案】 D【考点】100以内数的四则混合运算3.0.4×3用加法算式表示是：（）A. 0.4＋0.4B. 0.4＋0.4＋0.4C. 0.4＋0.4＋0.4＋0.4【答案】B【考点】小数乘整数的小数乘法4.“90×（）＜712”,最大能填（）A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】C【考点】万以内的有余数除法5.在乘法中，一个因数缩小5倍，另一个因数不变，积（）A. 扩大5倍B. 缩小5倍【答案】B【考点】积的变化规律6.下面各题中，运算顺序和32÷8×4的运算顺序一样的是（）A. 32﹣8×4B. 32÷（8+4）C. 32﹣8+4D. 32+8÷4 【答案】C【考点】不含括号的运算顺序7.如果本月收入3200元记作＋3200元，那么支出1500元就记作( )．A. +1500 元B. -1500元【考点】正、负数的意义与应用8.下列式子运算正确的是（）A. 145－29－21＝145－（29＋21）B. 372－99－1＝372－（99－1）C. 278－（87＋23）＝278－87＋23【答案】A【考点】1000以内数的连减运算9.a×75=b×108（甲乙都不等于0），那么（）A. a＞bB. a＜bC. a=bD. 不能确定【答案】A【考点】积的变化规律10.下面的温度中，最低的是( )。
A. －5℃B. －24℃C. 2℃【答案】B11.两人玩扑克牌比大小的游戏，每人每次出一张牌，各出三次赢两次者胜．小红的牌是“9”、“7”、“5”；小芳的牌是“8”、“6”、“3”．当小红出“9”时，小芳出（）才可能赢．A. 8B. 6C. 3D. 任意一张都行【答案】C【考点】优化问题：比赛问题12.一辆汽车乘坐42人，一列火车乘坐的人数是汽车的35倍．一列火车比汽车多坐（）A. 1428人B. 1470人C. 1328人D. 1228人【答案】A13.下面说法正确的是（）A. 负数到0的距离比正数到0的距离小B. 上升为正数，下降为负数C. 0大于一切负数，小于一切正数【答案】C14.小明在计算两个小数的积时，把其中的一个三位数错看成两位小数，得到的积比正确的积多67.3992，正确的积是（）A. 748.88B. 74.888C. 7.4888【答案】C【考点】除数是整数的小数除法15.钢笔一支9元，圆珠笔一支3元，明明一共买了8支笔，用了42元，圆珠笔买了（）支．A. 5B. 4C. 3【考点】鸡兔同笼问题二、填空题（共15题；共44分）16.200÷2－26×3=________【答案】22【考点】1000以内数的四则混合运算17.一只丹顶鹤的身高是1.2米，一只鸵鸟的身高是这只丹顶鹤的2.3倍．这只鸵鸟的身高是________米？【答案】2.76【考点】小数乘小数的小数乘法18.根据乘法的运算定律填上合适的数．d×(85＋64)=________×85＋d×________【答案】d；64【考点】整数乘法分配律19.4.35是由4个________、3个________、5个________组成，也可看作________个0.01组成．【答案】1；0.1；0.01；435【考点】小数的数位与计数单位20.根据乘法分配律填上合适的运算符号173×24+27×24=(173________27)________24A．× B．÷C．+ D．－【答案】C；A【考点】整数乘法分配律21.下面的数如果末尾添“0”，大小不变的数有________，(按题中数的顺序填写)0.8 12 30.0 504.07 10.5 0.215.20【答案】0.8，30.0，4.07，10.5，0.21，5.20【考点】小数的性质22.写出下列小数。
高数幂级数详解和习题
( 1)
n1
n 1
n 1
x
n
的和函数.
n
n 1
解 s( x ) ( 1)
2
x
n
,
显然 s(0) 0,
,
n
s( x ) 1 x x
1 1 x
( 1 x 1)
两边积分得
0
x
s( t )dt ln(1 x )
即 s( x ) s(0) ln(1 x )
域,
所有发散点的全体称为发散域.
3.和函数:
在收敛域上,函数项级数的和是 的函数 称 为函数项级数的和函数. ,
s( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) (定义域是?)
s( x ) 函数项级数的部分和 s n ( x ),
lim sn ( x ) s( x )
n 2 n 0
un ( x ) u1 ( x )
2.收敛点与收敛域:
如果 x 0 I ,数项级数
un ( x0 )收敛,
n 1
则称 x 0 为级数
否则称为发散点. un ( x )的收敛点,
n1
函数项级数 un ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛
n1
n
余项 rn ( x ) s( x ) sn ( x )
lim rn ( x ) 0
n
(x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题.
二、幂级数及其收敛性
1.定义: 形如 a n ( x x 0 ) n 的级数称为幂级数.
数列与级数的收敛性练习题及解析
数列与级数的收敛性练习题及解析1. 判断下列数列的收敛性：a) 数列{an}，其中an = 1/n²解析：要判断数列的收敛性，可以考虑数列的极限。
当n趋向于无穷大时，an趋向于0。
因此，数列{an}收敛于0。
b) 数列{bn}，其中bn = (-1)^n/n解析：当n为奇数时，bn = -1/n；当n为偶数时，bn = 1/n。
由于这个数列在正负之间震荡，不会趋向于一个特定的值，因此数列{bn}发散。
c) 数列{cn}，其中cn = 2^n/n!解析：当n趋向于无穷大时，2^n增长得更快，而n!增长得更慢。
因此，数列{cn}趋向于无穷大，即数列{cn}发散。
2. 判断下列级数的收敛性：a) 级数Σ(an)，其中an = 1/n解析：这是一个调和级数。
根据调和级数的性质，当n趋向于无穷大时，an趋向于0。
然而，调和级数发散，即级数Σ(an)发散。
b) 级数Σ(bn)，其中bn = (-1)^(n+1)/n解析：这是一个交错级数，其中(-1)^(n+1)表示交错项。
交错级数的收敛性可以通过柯西收敛准则判断，即交错项绝对值递减且趋向于零。
在这个级数中，当n趋向于无穷大时，|bn| = 1/n，也是一个调和级数，而调和级数满足柯西收敛准则。
因此，级数Σ(bn)收敛。
c) 级数Σ(cn)，其中cn = (1/2)^n解析：这是一个几何级数，即每一项与前一项之比等于一个常数r。
(1/2)^n的值随着n的增大而趋近于0，满足几何级数的条件。
当|1/2| <1时，几何级数收敛。
因此，级数Σ(cn)收敛。
3. 计算以下级数的和：a) 级数Σ(dn)，其中dn = 1/(2^n)解析：这是一个几何级数，每一项与前一项之比等于一个常数r =1/2。
根据几何级数的求和公式，级数Σ(dn)的和为1。
b) 级数Σ(en)，其中en = n/(3^n)解析：这是一个级数，其中每一项是n与3^n之比。
可以通过分部求和的方法来计算这个级数的和。
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10级级数练习题答案1 写出下列级数的通项：（1）1111248-+-+解：111(1)2n n n u --=-，(1,2)n =（2）1234251017++++解：21n nu n =+(1,2)n =（3）23114477101013x x x ++++⋅⋅⋅⋅解：1(32)(31)n n x u n n -=-+(1,2)n =（4）23422222!3!4!-+-+解：12(1)!nn n u n -=-(1,2)n =2设级数1n n u ∞=∑的第n 次部分和31n nS n =+，试写出此级数，并求其和。
解：13(2),(1)n n n u S S n n n -=-=≥+而11331112u S ===+⋅，113(1)n n n u n n ∞∞==∴=+∑∑ 又3lim lim 31n n n nS n →∞→∞==+，所以级数1n n u ∞=∑收敛，且13n n u ∞==∑3判断下列级数的敛散性。
若级数收敛，求其和。
（1）0.0010.001n +++解：11lim lim()101000nn n n u →∞→∞==≠，所以原级数发散。
（2）234123444444(1)55555nn n--+-++-+解：公比44,155q q =-=<，所以级数收敛，和为44541915a q ==-+（3）13572468++++⋅⋅⋅解：1135********n n n ∞=-++++⋅⋅⋅=∑21lim lim102n n n n u n →∞→∞-==≠，所以原级数发散。
（4）12342345++++⋅⋅⋅解：1123423451n nn ∞=++++⋅⋅⋅=+∑lim lim101n n n nu n →∞→∞==≠+，所以原级数发散。
（5）⋅⋅⋅+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+2718191413121解： 对于11()2n n ∞=∑，公比112q =<，所以级数收敛，和为1211112aq ==--对于11()3n n ∞=∑，公比113q =<，所以级数收敛，和为11311213a q ==--所以⋅⋅⋅+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+2718191413121收敛，和为13122+=4用比较判别法判定下列级数的敛散性（1）1111357++++解：121n u n =-1121lim lim lim (0,)11212n n n n u n n n n n→∞→∞→∞-===∈+∞-因为11n n ∞=∑发散，由比较判别法，1121n n ∞=-∑发散。
（2）2111112510171n +++++++解：211n u n =+2222211lim lim lim 1(0,)111n n n n u n n n n n →∞→∞→∞+===∈+∞+因为211n n ∞=∑收敛，由比较判别法，2111n n ∞=+∑收敛。
（3）23412222213353573579357(21)n n -+++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-解：1122222()357(21)3333n n n --≤⋅=⋅⋅⋅⋅- 因为112()3n n ∞-=∑收敛，由比较判别法，原级数收敛。
（4）11ln(1)n n ∞=+∑解：1ln(1)n u n =+11ln(1)lim limlim lim lim(1)111ln(1)1n n n n n n u n n n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞+====+=∞++ 因为11n n ∞=∑发散，由比较判别法，11ln(1)n n∞=+∑发散。
（5）234234222213335373++++⋅⋅⋅⋅解：2(21)3nn nu n =-⋅21(21)3limlim lim 02221()()33nnn n n n n nu n n →∞→∞→∞-⋅===- 因为12()3n n ∞=∑收敛，由比较判别法，原级数收敛。
（6）1()21nn n n ∞=+∑解：1()()()2122n n n n n n n <=+ 因为11()2n n ∞=∑收敛，由比较判别法，原级数收敛。
（7）n ∞=解：n u =323322lim 1(0,)1n n n n u n nn →∞→∞===∈+∞ 因为3121n n∞=∑收敛，由比较判别法，n ∞=收敛。
（8）11ln(1)n n ∞=+∑ 解：1ln(1)n u n =+11ln(1)lim lim lim 1(0,)111n n n n u n n n n n→∞→∞→∞+===∈+∞ 因为11n n∞=∑发散，由比较判别法，11ln(1)n n ∞=+∑发散。
（9）111(1)n n n n n -∞+=+∑ 解：11(1)n n n n u n -+=+11111221(1)lim lim lim lim()(0,)11(1)1n n n n n n n n n n n u n n n n n en n -++++→∞→∞→∞→∞+====∈+∞++ 因为211n n∞=∑收敛，由比较判别法，111(1)n n n n n -∞+=+∑收敛。
5 用比值判别法判定下列各级数的敛散性：（1）23413572222++++解：212n n n u -=1112121212112lim lim lim lim 12122122122n nn n n n n n nn n u n n n u n n +++→∞→∞→∞→∞+++====<---原级数收敛（2）11112!3!4!++++解：1!n u n =11!1(1)!lim limlim lim 011(1)!1!n n n n n nu n n u n n n +→∞→∞→∞→∞+====<++ 原级数收敛 （3）11(21)!n n ∞=+∑解：1(21)!n u n =+11(21)!1(23)!lim lim lim lim 011(23)!(23)(22)(21)!n n n n n nu n n u n n n n +→∞→∞→∞→∞++====<++++ 原级数收敛 （4）21112(21)n n n ∞-=-∑解：2112(21)n n u n -=- 21211212112(21)1(21)12(21)limlim lim lim 112(21)4(21)42(21)n n n n n n n n nn u n n n u n n n -+++→∞→∞→∞→∞---+====<++- 原级数收敛（5）23422221000200030004000++++解：21000nn u n=11122100010001000(1)lim lim lim 2lim 2121000(1)21000(1)1000n n n n n n n n n nu n n n u n n n+++→∞→∞→∞→∞+====>++ 原级数发散。
（6）2355512!3!4!++++解：15!n n u n -=11155!!1(1)!limlim lim 5lim 5lim 015(1)!5(1)!1!nn n n n n n n n n nu n n n u n n n n +--→∞→∞→∞→∞→∞+=====<+++ 原级数收敛（7）1()!(2)!n n n ∞=∑解：!(2)!n n u n =1(1)!(1)!(2)!1(22)!lim lim lim lim 01!(22)!!(22)(21)(2)!n n n n n nn u n n n n n u n n n n n +→∞→∞→∞→∞++++====<+++ 原级数收敛（8）234222212233445++++⋅⋅⋅⋅解：2(1)nn u n n =+11122(1)(1)(2)lim lim lim 2lim 212(1)(2)22(1)n n n n n n n n n nu n n n n n u n n n n n +++→∞→∞→∞→∞+++====>++++ 原级数发散 （9）12sin3n n n π∞=∑解：2sin3n n nu π=111112sin3233lim lim 2lim 2lim 1332sin 33n n n n n n n n n n n n nnu u ππππ+++++→∞→∞→∞→∞====<原级数收敛6判定下列交错级数的敛散性：（1）1-+解：n u =1n u +=1n n u u +>，且lim 0n n n u →∞==，由交错级数的莱布尼兹判别法知级数收敛。
（2）11112!3!4!-+-+解：111,!(1)!n n u u n n +==+， 1n n u u +>，且1lim lim0!n n n u n →∞→∞==，由交错级数的莱布尼兹判别法知级数收敛。
（3）2341357-+-+解：21n nu n =-，11lim(1)lim(1)021n n n n n nu n --→∞→∞-=-≠-，由级数收敛的必要条件知级数发散。
7判定下列级数哪些是绝对收敛，哪些是条件收敛？（1）2222111113579-+-+-解：将级数的每一项添加绝对值后，1221111(1)(21)(21)n n n n n ∞∞-==-=--∑∑是正项级数， 由比值法：221221(21)(21)limlim lim 11(21)(21)n n n n nu n n u n n +→∞→∞→∞-+===+-，比值法失效，改用比较法， 2222211(21)lim lim lim (0,)11(21)4n n n n u n n n n n→∞→∞→∞-===∈+∞- 因为211n n∞=∑收敛，由比较判别法，211(21)n n ∞=-∑收敛，所以原级数绝对收敛。
（2）23411112223242-+-+⋅⋅⋅解：将级数的每一项添加绝对值后，11111(1)22n n nn n n n ∞∞-==-=∑∑是正项级数，由比值法：1111211(1)2lim lim lim lim 11(1)22122n n n n n n n n nn u n n n u n n n +++→∞→∞→∞→∞+====<++，所以112nn n ∞=∑收敛，原级数绝对收敛。
（3）11(1)ln(1)n n n -∞=-+∑解：将级数的每一项添加绝对值后，111(1)1ln(1)ln(1)n n n n n -∞∞==-=++∑∑是正项级数， 由比较判别法，11ln(1)lim lim lim lim lim(1)111ln(1)1n n n n n n u n n n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞+====+=∞++ 因为11n n∞=∑发散，所以11ln(1)n n ∞=+∑发散，而原级数1ln(1)n u n =+，11ln(2)n u n +=+1n n u u +>，且1lim lim 0ln(1)n n n u n →∞→∞==+，由交错级数的莱布尼兹判别法知级数11(1)ln(1)n n n -∞=-+∑收敛。