函数图像及其变换

1．要准确记忆一次函数、二次函数、反比 例函数、指数函数、对数函数、三角函数等 各种基本初等函数的图象． 2．掌握函数作图的两种基本方法： (1)描点法； (2)图象变换法：包括平移变换、对称变换、 伸缩变换．
3．合理处理识图题与用图题 (1)识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、 上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研 究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、 周期性，注意图象与函数解析式中参数的关 系．
B
（3）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入
一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液
体，经3分钟漏完.已知圆柱中液面上 升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落 的距离，则H与下落时间t(分)的函Baidu Nhomakorabea关系表示的 图象只可能是( B )
（4）f(x)=|4x-x2|-a与x轴恰有三个交点，
则a= 解析 4 . y1=|4x-x2|,y2=a，则两函数图象恰有三个
函数图像及其变换
1．几种函数的图像
函数
图像
一次函数 y＝kx＋b
函数
图像
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
函数
图像
指数函数 y＝ax
函数
图像
对数函数 y＝logax
基本初等函数及图象（大致图像）
函数
一次函数 y=kx+b
图像
二次函数 y=ax2+bx+c
指数函数 y=ax 对数函数 y=logax
(2)用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究 数量关系问题提供了“形”的直观性，它是 探求解题途径，获得问题结果的重要工 具．要重视数形结合解题的思想方法．常用 函数图象研究含参数的方程或不等式解集的 情况．
2．采用图象变换法时，变换后的函数图象 要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以 显示图象的主要特征，处理这类问题的关键 是找出基本函数，将函数的解析式分解为只 有单一变换的函数链，然后依次进行单一变 换，最终得到所要的函数图象．
作出下列函数的大致图像： x＋2 x3 (1)y＝ ；(2)y＝ ； |x| x－1 |x－1| (3)y＝|log2x－1|；(4)y＝2 .
不同的交点.
如图所示，当a=4时满足条件.
函数的图象形象地显示了函数的性质，为研 究数量关系问题提供了“形”的直观性，它 是探求解题途径、获得问题结果、检验解答 是否正确的重要工具，也是运用数形结合思 想解题的前提．
从图象的左右分布，分析函数的定义域；从 图象的上下分布，分析函数的值域；从图象 的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； 从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图 象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性 等．
x2 (x＞0) 【解析】 (1)y＝ ，利用二次 2 －x (x＜0) 函数的图象作出其图象，如图①.

(3)先作出y=log2x的图象，再将其图象向下平 移一个单位，保留x轴上及x轴上方的部分， 将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得 y=|log2x-1|的图象，如图③.
x－3
3．函数f(x)＝a x－b的图象如右图所示，其中 a、b为常数，则下列结论正确的是( D ) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
【解析】 因图象是递减的，故0<a<1.又图 象是将y＝ a x的图象向左平移了，故b<0
4.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]．若当 x∈[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式 f(x)<0的解集是________. 【解析】 由奇函数的图象关于原点对称， 画出x∈[-5,0]的图象，可知不等式f(x)<0的解 集是(-2,0)∪(2,5]． 【答案】 (-2,0)∪(2,5]
答案：所求函数解析式为
－x＋2 (x＜1)， 2 y＝－x ＋4x－2 (1≤x≤3)， x－2 (x＞3).
由函数图象求其解析式，要注意观察各段函 数所属的基本函数模型，常用待定系数法， 抓住特殊点，从而确定系数．
综合练习
（1）设a<b,函数
y=(x-a)2(x-b)的图象可能是 （C）
作出下列函数的图像.
1 (1) y (lg x | lg x |); 2 2x 1 (2) y ; x 1 1 |x| (3) y ( ) . 2
探究提高 （1）若函数解析式中含绝对值，可先通过讨
论去绝对值，再分段作图. （2）利用图象变换作图.
1.作函数图象的一般步骤为： (1)确定函数的定义域． (2)化简函数解析式． (3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶 性、周期性、最值、极限等)以及图象上的 特殊点(如最值点、与坐标轴的交点、间断 点等)、线(如对称轴、渐近线等)． (4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数 图象．
y＝f(x＋h)
y＝f(mx＋h)
②上下平移： k＞0时，上移k个单位 f(x)＋k y＝k＜0时，下移|k|个单位f(x) y＝_______. ――→
(2)伸缩变换
①y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上所有点的 纵坐标变为原来的 A 倍，横坐标 不变 而得到； ②y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上所有点的 横坐标变为原来的 倍，纵坐标 不变 而得到.
1． f(x)＝|x－1|的图象为如下图所示中的 ( B )
2．为了得到函数 y＝2 －1 的图象，只需 把函数 y＝2x 的图象上所有的点( A ) A．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 B．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 C．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 D．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
(3)对称变换 x轴 ①y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于______对 称； y轴 ②y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于_____对 称； 原点 ③y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于_____对 称；
(4)翻折变换 ①作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方 的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部 y＝|f(x)| 分不变，得到_________的图象； ②作出y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部 分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图 y＝f(|x|) 象，即得__________的图象．
(4)先作出y=2x的图象，再将其图象在y轴左边 的部分去掉，并作出y轴右边的图象关于y轴对 称的图象，即得y=2|x|的图象，再将y=2|x|的图 象向右平移一个单位，即得y=2|x-1|的图象， 如图④.
由图象求解析式
如图所示， 函数的图象由两条射线 及抛物线的一部分组成， 求函数解析式．
【思路点拨】 分段求函数解析式，再 合成分段函数形式，本题分别设为一次 函数和二次函数形式，应抓住特殊点 (0,2)，(1,1)，(2,2)，(3,1)和(4,2)．