弹性力学第3章(2)
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弹性力学与有限元程序设计--第三章
—— 对应于矩形梁的纯弯曲问题。
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-2 矩形梁的纯弯曲
应力函数取三次多项式
ay
3
M
h
M
2 2
对应的应力分量：
x 6ay y 0 xy yx 0
（a）
x
x
图
y
y
l
h
x
1
h
结论：应力函数（a）能解决 矩形梁受纯弯曲的问题。 如图，取单位宽度的梁来考察，并命每单位宽度上力偶的矩为 M 。这 里 M 的因次是[力][长度]/[长度]，即[力]。 边界条件： 上下(主要)边界：
h 2 h 2
h 2 h 2
前一式总能满足，而后一式要求：
a 2M h3
代入式（a），得：
x
12 M y y 0 xy yx 0 3 h
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-3 位移分量的求出
1. 形变分量与位移分量
（1）形变分量 由前节可知，其应力分量为：
x M y
u x l 0, v x l 0
y 0 y 0
v x
x l y 0
0
o
l
x
y
（中点不动）
u0 0
M 2 l l v0 0 2 EI
（轴线在端部不转动）
u0 0
v0 Ml 2 EI
2
代入式（f），有
代回式（f），有
u M (l x) y EI
2 x 2 fx x y
(2-25)
2 y 2 fy y x
(2-24)
（b）边界条件
弹性力学_第三章 应变
该应变状态只有体积 等向膨胀或收缩，而 没有形状畸变
x m xy xz eij yx y m yz zy z m zx 应变偏张量
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变 形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没 有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。
应变张量
应变分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 满足张量的性 质，构成一个二阶应变张量。 以 xi 记 x，y，z ; 以 ui 记 u，v，w
x m xy xz eij yx y m yz zy z m zx 应变偏张量
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变 形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没 有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。
应变张量
应变分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 满足张量的性 质，构成一个二阶应变张量。 以 xi 记 x，y，z ; 以 ui 记 u，v，w
弹性力学-第三章-应变状态分析
第三章应变状态分析位移与变形正应变纯变形位移与刚性转动位移应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组体积应变变形协调方程变形协调方程证明变形与应变分量切应变几何方程与应变张量位移增量的分解应变张量应变状态特征方程变形协调的物理意义变形协调方程的数学意义多连域的变形协调一、内容介绍本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。
因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。
由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。
对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。
因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。
这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。
当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。
应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。
假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。
这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。
在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。
二、重点1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量；2、几何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5、变形协调方程与位移边界条件。
§3.1 位移分量与应变分量几何方程学习思路:知识点由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。
这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。
变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。
弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。
由于是小变形问题，单元变形可以投影于坐标平面分析。
弹性力学__徐芝纶版第三章
4 f
y4
0
4 f 0
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤：
取满足相容方程的 f
求出应力分量 x , y , xy
根据边界条件求出面力
考察能解决什么问题
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤：
根据问题的特 点设出部分应 力分量
是 结束
否
求出应力函数 f
x
§3-3 位移分量的求出
0 u0 v0 0
y
z
u P x Eh
P x
v P y
Eh
习题
[1]写出边界条件。 解：
x x0,xb g( y h1)
0 xy x0,xb y y0 gh1, xy y0 0
y
P
hE
xy 0
u P x Eh
v P
y Eh
u v 0 y x
u
P Eh
x
f1y
v
P
Eh
y
f2 x
代入第三式得： df1 y df2 x 0
dy
dx
移项得： df1 y df2 x
u yh2 0
v yh2 0
hx1
g
b
h2
bb
y 22
FN gbh1
b
下边的等效应力边界条件： 0 y yh2 dx gbh1
b
0
xy
dx 0
y h2
b 0
y
y h2
弹性力学第3章(徐芝纶第五版)
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
4 楔形体受重力和液体压力 问题
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
fx 0, f y 1g.
o
α 2g
y
x
n
α
2
1g
用半逆解法求解。
（1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~Φ关系式，Φ应为x,y的三次式，
（3）Φ 满足相容方程 4Φ 0.
（4）由 Φ求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
半逆解法
3.半逆解法 步骤：
⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
为b,如图,水的密
度为 2 ，试求
第3章_弹性力学经典变分原理
第3章 弹性力学经典变分原理3.1 弹性力学基础3.1.1 变形分析要研究物体变形首先要研究其位移如何来描述。
在数学上，我们引进物质坐标和空间坐标的概念分别来描述物体上某一点的位置变动，具体说来，先取一Descartes 坐标系做参照系，变形前物体的构形为B ，其每个质点的位置可用一组我们称之为物质坐标的坐标值来表示；变形后物体的构形变成B ’，取另一个Descartes 坐标系做参照系，我们称之为空间坐标系。
如下图，变形前任一点Ｐ在物质坐标系中的坐标为),,(321X X X ，变形后P 变化到Q 点在空间坐标系中的坐标为),,(321x x x 。
图3.1物质坐标系和空间坐标系矢量PQ 表示了质点P 的位移，记为u 。
为简单和方便起见，一般取两个参照系相重合，这时位移矢量u 的分量i u 可以用下式来表示,(1,2,3)i i i u x X i =-= (3.1.1)其中变形后质点的坐标)3,2,1(=i x i 与变形前的坐标)3,2,1(=i X i 存在着确定的关系。
我们可以把变形后质点的坐标看成是变形前质点物质坐标的函数，即123(,,),(1,2,3)i i x x X X X i == (3.1.2)也可以用其逆变换 (数学上要求Jacobi 行列式不为零) 来表述，也就是从变形后空间坐标描述的质点，来追涉变形前这一质点的坐标123(,,),(1,2,3)i i X X x x x i == (3.1.3) 如果把位移u 看作是变形前坐标、即物质坐标的函数123(,,),(1,2,3)i i u u X X X i == (3.1.4)称之为Lagrange 描述。
如果把位移u 看作是变形后坐标、即空间坐标的函数123(,,),(1,2,3)i i u u x x x i == (3.1.5)称之为Euler 描述。
我们取变形前P 点),,(321X X X 及相邻P’112233(d ,d ,d )X X X X X X +++，它们之间的长度平方为3201d d d i i i s X X ==∑ (3.1.6)它们变形后相应于Q 点),,(321x x x 及相邻Q ’112233(d ,d ,d )x x x x x x +++，其长度平方为321d d d i i i s x x ==∑ (3.1.7)根据变形前后的坐标关系有3311d d ,d d i ii j j j j jjxX x X X x i X x ==∂∂==∂∂∑∑从而有33220,11d d ()d d ij i j i j i jx x s s X X X X αααδ==∂∂-=-∂∂∑∑(3.1.8)或者33220,11d d ()d d ij i j i j i jX X s s x x x x αααδ==∂∂-=-∂∂∑∑(3.1.9)如果定义3121ij ij i j x x E X X αααδ=⎛⎫∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭∑ (3.1.10)及3121ij ij i j X X x x αααεδ=⎛⎫∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭∑ (3.1.11) 则有 220d d 2d d ij i j s s E X X -= (3.1.12)220d d 2d d ij i j s s x x ε-= (3.1.13)上述表达式中，有重复下标的,i j ，已省略了相应的求和记号3311,i j ==∑∑，称为Einstein 约定。
弹性力学有限元法详解
x
4
i1 4
Ni ( ,)xi
y
i1
Ni ( ,) yi
总体坐标系适用于整体结构，局部坐标系只适用于具体某个 单元。
常用的对于平面问题还有八节点等参元，空间问题有八节 点空间等参元，二十节点等参元等 。
第18页，共40页。
3.2 连续体离散化
5.轴对称单元
对于回转结构，如果约束条件和载荷都对称于回转轴，其 应力、应变和位移也都对称于回转轴线，这类应力应变问题称 为轴对称问题 ，通常用柱坐标来描述应力、应变和位移，单元 为实心圆环体，仅截面不同
1
2
ai
(1
0
)
ai (1 0 ) ai (1 0 )
1
2
ai
(1
0
)
(i, j,l,m)
对于平面应变问题：
E
E 1 2
1
第29页，共40页。
3.3 单元分析
2. 单元分析
由虚功原理得：
Fe
K e BT DBdxdyt A
BT DBdxdyt δe
A
Fe Keδe
单元刚度矩阵可分块表示为：
第10页，共40页。
3.2 连续体离散化
3. 薄板弯曲单元和薄板单元
A. 薄板弯曲单元
l
θxi
i
θyi
wi
m
j
四边形弯 曲单元
四边形单元有四个节点，每个节点有三个自由度，主要承 受横向载荷和绕水平轴的弯矩。
第11页，共40页。
3.2 连续体离散化
3.薄板弯曲单元和薄板单元
A. 薄板弯曲单元
m
θxi
对于平面应变问题：
E
E 1 2
西南交通大学杨帆XXXSB弹性力学第三章
平面应力问题的几何方程和位移
空间几何方程
w u w v w zx 0 zy 0 z ( x, y ) x z y z z u v v u x ( x, y ) y ( x, y ) xy ( x, y ) x y x y
平面应力问题的应力
板面的力学边界条件
t z : 2
Tx 0 Ty 0 Tz 0
zx 0 zy 0 z 0
因为板很薄，假设：板面的零应力在板内部也为零，非零 应力沿板厚不变化 t t zx zy z 0
2 z 2 :
x x ( x, y ), y y ( x, y ), xy xy ( x, y )
x
w 0 x w u zx 0 x z w v yz 0 y z
z
独立位移和应变 u ( x, y ), v( x, y ), x ( x, y ), y ( x, y ), xy ( x, y ) 独立几何方程
平面应变问题的物理方程和应力
2
1 2 独立物理方程 x E
xy 2(1 ) xy xy E
平面应变问题的平衡方程
x ( x, y ) yx ( x, y ) zx 2 u ( x, y ) Fx x y z t 2 xy ( x, y ) y ( x, y ) zy 2 v ( x, y ) Fy x y z t 2 xz yz z ( x, y ) 2w Fz 2 x y z t
平面应变问题的位移、应变和几何方程
所有横截面都是对称平面 对称面的法向位移为零 w 0
第三章-各向异性弹性力学基础
的。
6个独立等式：
2 x 2 y 2 xy
y 2 x2 xy
2 y 2 z 2 yz
z2 y2 yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
zx
( zx xy yz ) 2 2 x
x y z x yz
( xy yz zx ) 2 2 y
y z x y zx
( yz zx xy ) 2 2 z
2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1, E2 , 21（或 12）， G12 , G（23 或 23）
即：
S11 S12 S12 0 0 0
S21 S 22 S 23
0
0
0
S021
S 23 0
S 22 0
0 S 44
0 0
0
0
0
0
0
0
S 66
0
0 0 0 0 0 S66
由工程应变形式的展开式为：
1轴沿纤维方向，并有 ij ji ，而是
ij ji 即 ij 没有对称性。
E j Ei
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有
G23
E2
1 S13 3; 2 S23 3; 3 S33 3;
4 23 0 5 31 0 6 12 S36 3
此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向伸 长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的面内 剪应变，且弹性主轴方向不变。
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面） 取 x1, x2 , x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
6个独立等式：
2 x 2 y 2 xy
y 2 x2 xy
2 y 2 z 2 yz
z2 y2 yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
zx
( zx xy yz ) 2 2 x
x y z x yz
( xy yz zx ) 2 2 y
y z x y zx
( yz zx xy ) 2 2 z
2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1, E2 , 21（或 12）， G12 , G（23 或 23）
即：
S11 S12 S12 0 0 0
S21 S 22 S 23
0
0
0
S021
S 23 0
S 22 0
0 S 44
0 0
0
0
0
0
0
0
S 66
0
0 0 0 0 0 S66
由工程应变形式的展开式为：
1轴沿纤维方向，并有 ij ji ，而是
ij ji 即 ij 没有对称性。
E j Ei
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有
G23
E2
1 S13 3; 2 S23 3; 3 S33 3;
4 23 0 5 31 0 6 12 S36 3
此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向伸 长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的面内 剪应变，且弹性主轴方向不变。
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面） 取 x1, x2 , x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
河海大学弹性力学徐芝纶版 第三章PPT课件
yx s
a
x xy s y
f , l m l f .b m
y
σy Φ fy y, 2 x
2
(d)
2 τ xy Φ . xy
Φ 0
4
a
2 .逆解法 (Inverse method)── 先满足(a),再 满足(b)。步骤:
第一节 第二节
逆解法与半逆解法 矩形梁的纯弯曲
多项式解答
第三节
第四节
位移分量的求出
简支梁受均布荷载
第五节
例题
楔形体受重力和液体压力
按Φ 求解
§3－1 逆解法和半逆解法 多项式解法
1. 当体力为常量，按应力函数 Φ 求解平面应 力问题时， 应满足 Φ ⑴ A内相容方程
Φ 0 .
4
( a )
⑵ S = S 上应力边界条件 ,
(e)
逆解法
从而得出，在面力(e)作用下的解
答，就是上述 和应力。 Φ
逆解法没有针对性，但可以积累基
本解答。
h/2 h/2
x
y 3. 由边界形状和应力分量反推边界上的 面力。 h/2 在主要边界（大边界）y 上，
l
σ y 0, y x 0 .
h/2的边界面上，无任何 因此，在 y 面力作用，即 f x f y 0.
⑶ 检验应力边界条件，原则是:
a.先校核主要边界（大边界），必须精 确满足应力边界条件。 b.后校核次要边界（小边界），若不能
精确满足应力边界条件，则应用圣维南原
理，用积分的应力边界条件代替。
主要边界
M
o l
h/2 h/2 M
x
h/2 , y 主要边界 y
a
x xy s y
f , l m l f .b m
y
σy Φ fy y, 2 x
2
(d)
2 τ xy Φ . xy
Φ 0
4
a
2 .逆解法 (Inverse method)── 先满足(a),再 满足(b)。步骤:
第一节 第二节
逆解法与半逆解法 矩形梁的纯弯曲
多项式解答
第三节
第四节
位移分量的求出
简支梁受均布荷载
第五节
例题
楔形体受重力和液体压力
按Φ 求解
§3－1 逆解法和半逆解法 多项式解法
1. 当体力为常量，按应力函数 Φ 求解平面应 力问题时， 应满足 Φ ⑴ A内相容方程
Φ 0 .
4
( a )
⑵ S = S 上应力边界条件 ,
(e)
逆解法
从而得出，在面力(e)作用下的解
答，就是上述 和应力。 Φ
逆解法没有针对性，但可以积累基
本解答。
h/2 h/2
x
y 3. 由边界形状和应力分量反推边界上的 面力。 h/2 在主要边界（大边界）y 上，
l
σ y 0, y x 0 .
h/2的边界面上，无任何 因此，在 y 面力作用，即 f x f y 0.
⑶ 检验应力边界条件，原则是:
a.先校核主要边界（大边界），必须精 确满足应力边界条件。 b.后校核次要边界（小边界），若不能
精确满足应力边界条件，则应用圣维南原
理，用积分的应力边界条件代替。
主要边界
M
o l
h/2 h/2 M
x
h/2 , y 主要边界 y
第3章 弹性力学基本知识
平面ABC上的全应力SN为：
2 2 2 S N X N YN Z N
( X l XY m ZX n) 2 ( XY l Y m ZY n)2 ( XZ l YZ m Z n)2
同理，ΣY=0, ΣZ=0，整理，得
Hale Waihona Puke ： X N X l XY m ZX n YN XY l Y m ZY n Z l m n XZ YZ Z N
物理方程是描述应力和应变关系的方程。对各 向同性的均匀体用广义虎克定律描述。如(3-13):
xy 2(1 ) 1 xy xy x E [ x ( y z )] G E yz 2(1 ) 1 yz y [ y ( x z )] yz E G E 1 zx 2(1 ) z [ z ( x y )] zx zx G E E 这里 E 是弹性模量( modulus of elasticity)或杨氏模量，μ 是泊松比，and G 是剪切模量(shear modulus )or 刚度模量 (modulus of rigidity). 它们有如下关系:
3.2 弹性力学的几个基本概念
3.2.1 外力和内力
1．外力
外力：作用于物体的外力，通常分为表面力（面力）和体积 力。
（1）面力：指分布在物体表面上的外力，如压力容器所受 的内压，物体和物体相互之间的接触压力等。一般地，面力 是位置坐标的函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。 （2）体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的 质量成正比、且是各质点位置的函数，如重力，惯性力等。
平面ABC上的全应力SN为：
2 2 2 S N X N YN Z N
( X l XY m ZX n) 2 ( XY l Y m ZY n)2 ( XZ l YZ m Z n)2
同理，ΣY=0, ΣZ=0，整理，得
Hale Waihona Puke ： X N X l XY m ZX n YN XY l Y m ZY n Z l m n XZ YZ Z N
物理方程是描述应力和应变关系的方程。对各 向同性的均匀体用广义虎克定律描述。如(3-13):
xy 2(1 ) 1 xy xy x E [ x ( y z )] G E yz 2(1 ) 1 yz y [ y ( x z )] yz E G E 1 zx 2(1 ) z [ z ( x y )] zx zx G E E 这里 E 是弹性模量( modulus of elasticity)或杨氏模量，μ 是泊松比，and G 是剪切模量(shear modulus )or 刚度模量 (modulus of rigidity). 它们有如下关系:
3.2 弹性力学的几个基本概念
3.2.1 外力和内力
1．外力
外力：作用于物体的外力，通常分为表面力（面力）和体积 力。
（1）面力：指分布在物体表面上的外力，如压力容器所受 的内压，物体和物体相互之间的接触压力等。一般地，面力 是位置坐标的函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。 （2）体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的 质量成正比、且是各质点位置的函数，如重力，惯性力等。
平面ABC上的全应力SN为：
弹性力学第三章：应变分析
y
x
正应变
微元体棱边的相对伸长度
棱边夹角之间的变化
x y z
剪应变
z
将平行六面体 分别投影到3 个坐标面上
M A o m x a
B
y
b
z
M点在Ox轴的位移分量为
u ( x, y, z )
M点在Oy轴的位移分量为 M A o
v ( x, y , z )
B y A点和B点相应的位移分别为
u ( x dx, y, z )
2 2 z ' xl32 y m3 z n3 xyl3m3 yz m3n3 zxn3l3 3 T 3
x ' y ' 2 xl1l2 2 y m1m2 2 z n1n2 xy (l1m2 m1l2 )
dy u m’
a’ a
u x
同理
v m
o
dx
x
v y y
w z z
u
u dy y
y b
b’’
1 tan 1
v v dx v x u dx dx x
u u dx x
b’
2
dy u m’
a’’ m
o
a’
a dx
x
顺次轮换 x, y, z 和
u , v, w
可得其他两个切应变分量
yz
w v y z
xz
u w z x
当 xy , yz , zx 大于零， 表示角度缩小， 反之则表示角度扩大 综上所述。可以得到以下6个关系式
u w v x , yz x y z v u w y , zx y z x w w u z , xy z x y
弹性力学徐芝纶第三章详解
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，
z的单值连续函数
y
x
位移函数具有三阶连续导数
二、应变
对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变 二是棱边之间夹角的变化 （剪）切应变
符号规定： 伸长为正，缩短为负 直角变小为正，直角变大为负
正应力 剪应力
正应变 剪应变
v x
u y
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
上式为剪应变的几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
这六式为几何方程（柯西方程）
四、转角方程
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
3－3 一点应变状态、应变张量
一、应变张量
与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量
则，a点的位移为：
u u dx x
v v dx x
b点的位移为：
u u dy y
v v dy y
x
M
' a' 'Ma Ma
(dx
u dx) x
dx
dx
u x
(dy v dy) dy
y
M 'b''Mb Mb
y dy
v y
同理：
x
u x
y
v y
z
w z
弹性力学 第三章应变状态理论
w
w
1 2
xz
dx
1 2
yz
dy
z
dz
1 2
y
dx
1 2
xdy
§3-2 相对位移张量 转动分量
0
u u
v
v
1 2
z
w
w
1 2
y
1 2
z
0
1 2
x
1 2
y
dx
1 2
x
dy
dz
0
x
1 2
xy
1 2
xz
dx
1 2
xy
y
1 2
yz
dy
1 2
xz
1 2
yz
dz
x
u x
y
v y
z
w z
yz
w y
v z
zx
u z
w x
xy
v x
u y
1 2
yz
yz
,
1 2
zx
zx ,
1 2
xy
xy
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
§3-2 相对位移张量 转动分量
相对位移张量：
u u u
x
y
z
v v v
x
y
z
w w w
x y z
转动矢量：
u(x dx, y, z) u u dx
a:
x
v(x dx, y, z) v v dx x
u(x, y dy, z) u u dy
b:
y
b a
v(x, y dy, z) v v dy
弹性力学简明教程(第四版)第三章课后习题答案
③在 x=0，x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式： x=0 上 x=l 上
x向主矢：FN1 = y向主矢：FS1 = 主矩：M 1 =
h/2 -h/2
h/2
h / 2 h/2
f x dy 0, f y dy F ,
FN2 FS2
h/2
h / 2 h/2
h / 2
④在次要边界 x l 上，分布面力为
f x x l x x l f y x l xy
主矩： 弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示
M'
x x l ydy h / 2 2blydy 0 h / 2
（3） cxy
3
将应力函数代入公式（2-24） ，得应力分量表达式
x 6cxy, y 0, xy yx 3cy 2
考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得
y
在
h h h f x y bh, f y y 0 2 2 2 主要边界，上边界上，面力为
在
y
h h h f x y bh, f y y 0 2 2 2 ，下边界上，面力为
面力的主矢、主矩为 x 向主矢
Fx
x x l dy h / 2 6clydy 0 h / 2
h/2 h / 2
h/2
h/2
y 向主矢：
Fy
h/2
y x l
dy
h/2
h/2
h / 2
ch 3cy dy 1 4
2
3
主矩：
5-第三章-弹性力学平面问题的解析解法
x4 2 x2y2 y4 0
为四阶偏微分方程
三阶及以下的多项式作为应力函数，必定满足相容
方程，不论其系数如何。
应力函数表示的相容方程
4 2 4 4 0 为四阶偏微分方程
x4 x2y2 y4
三阶及以下的多项式作为应力函数，必定满足相容 方程，不论其系数如何。
1. 一次式
a bx cy
(l
x)2
与材料力学中结果相同
说明：（1） 求位移的过程：
（a）将应力分量代入物理方程
x
1 E
( x
y)
y
1 E
( y
x)
xy
xy
G
（b）再将应变分量代入几何方程
x
u x
y
v y
xy
u y
v x
（c）再利用位移边界条件，确定常数。
（2） 若为平面应变问题，则将材料常数E、μ作相应替换。
（3） 若取固定端边界条件为：
第四节 逆解法与半逆解法—多项式解答
（1）逆解法
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
假设各种满足应力函数表示相容方程的φ(x,y) 的形式；
（2）然后利用应力分量计算式求出 x , y , xy（具有待定系数）；
（3）再利用应力边界条件式，来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样
（3）对多连通问题，满足上述方程 外，还需满足位移单值条件， 才是唯一正确解。
2 y 2
2 x 2
( x
y
)
(1
)
X x
Y y
（平面应力情形）
（3）边界条件：
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
弹性力学第3章—应变
A
B
B′
O
y
x
研究物体的变形规律，只需要研究物体内各点 的相对位置变动情况，也即研究变形位移
u = u( x, y , z )
张量形式
位移函数
v = v ( x, y , z ) w = w( x , y , z )
ui = ui ( xj )
i = 1, 2, 3
j = 1, 2,3
3.1 变形与应变的概念
( (
) ( ) (
) )
O
′ , y0 ′) P0′( x0
= S + ( u − u0 )
P0 ( x0 , y0 )
x
u、 u0分别为线段起点、终点的位移，所以 其中 S 为原线段，
δ S = S′ − S = u − u0
上式写成张量分量形式，得到线段矢量分量的变化量
δSi = ui − u0i
因此，互相垂直的两个矢量变形 后夹角的改变量为
y
δ S2 x
α = 2ε12
γ xy = 2ε12
同理可得
δ S2 y
该改变量即为剪应变
′ S2
S2
γ zx = 2ε 31
O
S1
δ S1x
δ S1 y
γ yz = 2ε 23
ϕ
S1′
x
3.1 变形与应变的概念
应变张量的物理意义:
汇总
三维问题时应变张量（分量）的物理意义为
3.3 主应变、应变偏量及其不变量
主应变与主方向：
3 2 ′ε n ′ε n − I 3 ′ =0 εn − I1 − I2
上述方程的三个实根即为主应变 ε1 , ε 2 , ε 3 ，进一步可以求 得主方向，以及剪应变的三个极值。
B
B′
O
y
x
研究物体的变形规律，只需要研究物体内各点 的相对位置变动情况，也即研究变形位移
u = u( x, y , z )
张量形式
位移函数
v = v ( x, y , z ) w = w( x , y , z )
ui = ui ( xj )
i = 1, 2, 3
j = 1, 2,3
3.1 变形与应变的概念
( (
) ( ) (
) )
O
′ , y0 ′) P0′( x0
= S + ( u − u0 )
P0 ( x0 , y0 )
x
u、 u0分别为线段起点、终点的位移，所以 其中 S 为原线段，
δ S = S′ − S = u − u0
上式写成张量分量形式，得到线段矢量分量的变化量
δSi = ui − u0i
因此，互相垂直的两个矢量变形 后夹角的改变量为
y
δ S2 x
α = 2ε12
γ xy = 2ε12
同理可得
δ S2 y
该改变量即为剪应变
′ S2
S2
γ zx = 2ε 31
O
S1
δ S1x
δ S1 y
γ yz = 2ε 23
ϕ
S1′
x
3.1 变形与应变的概念
应变张量的物理意义:
汇总
三维问题时应变张量（分量）的物理意义为
3.3 主应变、应变偏量及其不变量
主应变与主方向：
3 2 ′ε n ′ε n − I 3 ′ =0 εn − I1 − I2
上述方程的三个实根即为主应变 ε1 , ε 2 , ε 3 ，进一步可以求 得主方向，以及剪应变的三个极值。
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弹性力学
第3章 平面问题的直角坐标解答
（第二讲）
• • • • 半逆解法应用举例 半逆解法介绍 矩形梁的纯弯曲 矩形梁纯弯曲位移分量的求解 矩形梁纯弯变形与材料力学解的对比
第3章 平面问题的直角坐标解答利用给定问题的某些已知信 息，发现问题可能存在解答范畴或者解答的形式，然 后从这些已知信息推算出某个或某类具体的解答函数， 再将其代入问题的限制条件，验证它是否满足这些限 制条件，或者通过这些限制条件求解其中的未知成分， 最终使这些限制条件得到满足，并得到问题的解。
半逆解法的基本特征： 半逆解法的基本特征： (a) 它主动应用到了问题的已知条件； (b) 它仍是一种试凑方法； (c) 通过它不一定能一次就得到问题的解，但 相关信息可以为求解问题提供新的线索。
第3章 平面问题的直角坐标解答 §3.2 半逆解法应用举例
§3.2 半逆解法应用举例 针对弹性力学平面问题求解的特征，可以更具体地 给出半逆解法的定义： 所谓半逆解法，它是根据所考虑问题的边界受力情 况，假设部分或全部应力分量，由此推出应力函数 的具体形式，再考察其能否满足相容方程，若满足 则自然就是正确解答了；否则，可另作假设或改变 其中某个应力分量表达式再重复上述步骤，直到得 出其正确解答。 与逆解法的联系 和区别？
考虑到一次以下的项对应力没有贡献，略去不计， 可以给出应力函数
Φ = x( A1 y 3 + A2 y 2 + A3 y ) + B1 y 3 + B2 y 2
利用应力分量与应力函数之间的关系可以得到各 应力分量为
∂ 2Φ σ x = 2 = x(6 A1 y + 2 A2 ) + 6 B1 y + 2 B2 , ∂y ∂ 2Φ ∂ 2Φ σ y = 2 = 0, τ xy = − = −3 A1 y 2 − 2 A2 y − A3 ∂x∂y ∂x
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
考虑到上、下边界条件(τxy) y = 0 = 0，(σy) y = 0 = 0； (τxy) y = h = 0， (σy) y = h = 0；可以得到
A3 = 0, − 3 A1h 2 − 2 A2 h − A3 = 0
考虑到左、右端边界条件(τxy) x = 0 = 0和(τxy) y = l = 0，可以得到
Fx = ∫ 0 − (σ x ) x =0 dy = − ∫ 0 6bydy = −3bh 2 = − P, Fx = ∫ 0 (σ x ) x =0 dy = ∫ 0 6bydy = 3bh 2 = P
h h h h
可以解出，b = P/(3h2) 。
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
h h
h
h
− (σ x ) x =0 ydy = − ∫ 0 (6 B1 y 2 + 2 B2 ) ydy = −2 B1h 3 − B2 h 2 = −aP, ∫0
(σ x ) x =l ydy = ∫ 0 (6 B1 y 2 + 2 B2 ) ydy = 2 B1h 3 + B2 h 2 = aP ∫0
∂ 2Φ ∂x
2
= 0, τ xy = τ yx
∂ 2Φ =− =0 ∂x∂y
现在来考察这些应力分量能否满足应力边界条件， 如果能满足系数d应该取什么值。
第3章 平面问题的直角坐标解答 §3.2 半逆解法应用举例
首先考察上、下两个主要边界（占边界的绝大 部分）的条件。在上边和下边都没有面力，要求
(σ y ) y =± h / 2 = 0, (τ xy ) y =± h / 2 = 0
(v) 然而，在左、右端边界（次要边界）x = 0和x = l 上， σx还必须要满足合力矩边界条件，要求
M = ∫ 0 − (σ x ) x =0 ydy = − ∫ 0 6by 2 dy = −2bh 3 = −aP, M = ∫ 0 (σ x ) x =l ydy = ∫ 0 6by 2 dy = 2bh 3 = aP
第3章 平面问题的直角坐标解答 §3.2 半逆解法应用举例
半逆解法的具体步骤如下： 半逆解法的具体步骤如下
根据弹性体受力情况和边界条件，假定应力分量的 函数形式； 利用平衡方程的全解关系，推出应力函数Φ 的形式； 将应力函数Φ 代入相容方程，求出Φ 的具体表达式； 将Φ 代回应力的全解关系，求出对应的应力分量； 将应力代入边界条件，考察它们是否满足全部边界 条件。如果所有的条件均能满足，上述解答就是正确 的解答。否则，就要修改假设，重新进行求解。
下面就来求解这个问题。 注意：为了论述简明扼要起见，求解过程并不完全遵循
逆解法的步骤； 将应力边界条件用于求解应力函数（或应力分量） 中，而不是用于与逆解结果作对比。
具体求 解过程
【解】设所给问题的应力函数为 Φ = by3 易于验证，它满足相容方程∇4Φ = 0 ， 因此，可能成为问题的解答。
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
f1( 4) ( y ) = 0, f 2( 4) ( y ) = 0
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
求解这两个常微分方程，可得
f1 ( y ) = A1 y 3 + A2 y 2 + A3 y + A4 , f 2 ( y ) = B1 y 3 + B2 y 2 + B3 y + B4
即直接假设了一个应力函数； 下面我们通过对应力边界条件特征进行分析来寻 求应力函数。 具体求 解过程
【解】如果稍加注意，应该可以发现在 所给问题的上下表面上没有外力作用， 其中y方向的外力只与σy相关，鉴于此， 不妨设y方向的应力分量σy为0，即 σy = 0
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
x
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
如果把上面的问题作转换 ，给出的新问题为 如下图所示矩形断面长梁或矩形板，受到 如图所示外力作用，试给出其应力解答。 不难发现， 这时，我们完 全可以直接应 用上述逆解过 −6ah 程来获得问题 y 的解答。
O x h l 6ah
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
− 3 A1 y 2 − 2 A2 y − A3 = 0
由此可见，应有 A1 = A2 = A3 = 0 应用左、右端边界x = 0和x = l上 σx还须满足的 合力与力矩条件，有
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
− (σ x ) x =0 dy = − ∫ 0 (6 B1 y + 2 B2 )dy = −3B1h 2 − 2 B2 h = − P, ∫0 (σ x ) x =0 dy = ∫ 0 (6 B1 y + 2 B2 )dy = 3B1h 2 + 2 B2 h = P ∫0
σx 图
σx
第3章 平面问题的直角坐标解答 §3.2 半逆解法应用举例
应力分量的求解
为了方便起见，在求解过程中可以假设梁的宽度为1，即单位宽度。
根据多项式解答所学到的知识知道，满足相 容方程的应力函数
Φ = dy 3
能够解决梁的纯弯曲问题，而相应的应力分量为
σx =
∂ 2Φ ∂y
2
= 6dy, σ y =
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
∂ 2Φ ∂ 2Φ σ x = 2 = 6ay, σ y = 2 = 0, ∂y ∂x
τ xy
∂ 2Φ =− =0 ∂x∂y
由边界形状和应力分量可以反推边界上的面力。 在上边界y = 0上，σy = 0，τxy = 0； 在下边界y = h上，σy = 0，τxy = 0； 因此，在这两个边界面上，无任何面力作用， 即px = 0，py = 0。
于是，有
∂ 2Φ σy = 2 =0 ∂x
求解这个方程，可以得到
Φ ( x, y ) = xf1 ( y ) + f 2 ( y )
再将这个应力函数代入相容方程∇4Φ = 0 ，可得
xf1( 4) ( y ) + f 2( 4) ( y ) = 0
方程左端是一个关于变量x的函数，要使其对于任 意x都等于0，必有
第3章 平面问题的直角坐标解答 §3.2 半逆解法应用举例
应用举例一：矩形梁的纯弯曲 问题的描述：设有一矩形截面长梁（长度l远大于
深度h），它的宽度远小于深度和长度（近似的平 面应力情况），或者宽度远大于深度和长度（近似 的平面应变情况），在两端受相反的力偶而弯曲， 体积力可以不计。
Θ ⊕ M O y h/2 h/2 l y M h x 1
如果再作进一步的转换，给出的问题为 下图所示矩形断面长梁或矩形板，受到如 图所示外力的作用，试求解这个问题。 显然，我们 仍然可以假设 左右两个断面 上的外力满足 上面那个问题 的线性分布情 况，即利用圣 维南原理作静 力等效力系。
O P l y
于是，逆解法的结果依然适用
h
a P
x
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
一个例题的回顾
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
【p48习题3－1】试考察应力函数Φ = ay3在图3－8所
示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不 计）。
O h l y x
【答】将应力函数Φ 代入相容方程，可见∇4Φ = 0 是满足的，Φ 有可能成为该问题的解。 将Φ 代入应力函数与应力分量之间的关系式， 得到应力分量
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
(iii) 在左、右端边界（次要边界）x = 0和x = l上， 应力边界条件py = −(τxy) x = 0 = 0和py = −(τxy) y = l = 0均 能得到满足，但关于px 的面力边界条件却无法满足， 只有应用圣维南原理给出放宽的边界条件，即积分 形式的应力（合力）边界条件。 (iv) 在左、右端边界（次要边界）上，关于σx 的积 分应力边界条件为
第3章 平面问题的直角坐标解答
（第二讲）
• • • • 半逆解法应用举例 半逆解法介绍 矩形梁的纯弯曲 矩形梁纯弯曲位移分量的求解 矩形梁纯弯变形与材料力学解的对比
第3章 平面问题的直角坐标解答利用给定问题的某些已知信 息，发现问题可能存在解答范畴或者解答的形式，然 后从这些已知信息推算出某个或某类具体的解答函数， 再将其代入问题的限制条件，验证它是否满足这些限 制条件，或者通过这些限制条件求解其中的未知成分， 最终使这些限制条件得到满足，并得到问题的解。
半逆解法的基本特征： 半逆解法的基本特征： (a) 它主动应用到了问题的已知条件； (b) 它仍是一种试凑方法； (c) 通过它不一定能一次就得到问题的解，但 相关信息可以为求解问题提供新的线索。
第3章 平面问题的直角坐标解答 §3.2 半逆解法应用举例
§3.2 半逆解法应用举例 针对弹性力学平面问题求解的特征，可以更具体地 给出半逆解法的定义： 所谓半逆解法，它是根据所考虑问题的边界受力情 况，假设部分或全部应力分量，由此推出应力函数 的具体形式，再考察其能否满足相容方程，若满足 则自然就是正确解答了；否则，可另作假设或改变 其中某个应力分量表达式再重复上述步骤，直到得 出其正确解答。 与逆解法的联系 和区别？
考虑到一次以下的项对应力没有贡献，略去不计， 可以给出应力函数
Φ = x( A1 y 3 + A2 y 2 + A3 y ) + B1 y 3 + B2 y 2
利用应力分量与应力函数之间的关系可以得到各 应力分量为
∂ 2Φ σ x = 2 = x(6 A1 y + 2 A2 ) + 6 B1 y + 2 B2 , ∂y ∂ 2Φ ∂ 2Φ σ y = 2 = 0, τ xy = − = −3 A1 y 2 − 2 A2 y − A3 ∂x∂y ∂x
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
考虑到上、下边界条件(τxy) y = 0 = 0，(σy) y = 0 = 0； (τxy) y = h = 0， (σy) y = h = 0；可以得到
A3 = 0, − 3 A1h 2 − 2 A2 h − A3 = 0
考虑到左、右端边界条件(τxy) x = 0 = 0和(τxy) y = l = 0，可以得到
Fx = ∫ 0 − (σ x ) x =0 dy = − ∫ 0 6bydy = −3bh 2 = − P, Fx = ∫ 0 (σ x ) x =0 dy = ∫ 0 6bydy = 3bh 2 = P
h h h h
可以解出，b = P/(3h2) 。
第3章 平面问题的直角坐标解答 § 3.2 半逆解法应用举例
h h
h
h
− (σ x ) x =0 ydy = − ∫ 0 (6 B1 y 2 + 2 B2 ) ydy = −2 B1h 3 − B2 h 2 = −aP, ∫0
(σ x ) x =l ydy = ∫ 0 (6 B1 y 2 + 2 B2 ) ydy = 2 B1h 3 + B2 h 2 = aP ∫0
∂ 2Φ ∂x
2
= 0, τ xy = τ yx
∂ 2Φ =− =0 ∂x∂y
现在来考察这些应力分量能否满足应力边界条件， 如果能满足系数d应该取什么值。
第3章 平面问题的直角坐标解答 §3.2 半逆解法应用举例
首先考察上、下两个主要边界（占边界的绝大 部分）的条件。在上边和下边都没有面力，要求
(σ y ) y =± h / 2 = 0, (τ xy ) y =± h / 2 = 0
(v) 然而，在左、右端边界（次要边界）x = 0和x = l 上， σx还必须要满足合力矩边界条件，要求
M = ∫ 0 − (σ x ) x =0 ydy = − ∫ 0 6by 2 dy = −2bh 3 = −aP, M = ∫ 0 (σ x ) x =l ydy = ∫ 0 6by 2 dy = 2bh 3 = aP
第3章 平面问题的直角坐标解答 §3.2 半逆解法应用举例
半逆解法的具体步骤如下： 半逆解法的具体步骤如下
根据弹性体受力情况和边界条件，假定应力分量的 函数形式； 利用平衡方程的全解关系，推出应力函数Φ 的形式； 将应力函数Φ 代入相容方程，求出Φ 的具体表达式； 将Φ 代回应力的全解关系，求出对应的应力分量； 将应力代入边界条件，考察它们是否满足全部边界 条件。如果所有的条件均能满足，上述解答就是正确 的解答。否则，就要修改假设，重新进行求解。
下面就来求解这个问题。 注意：为了论述简明扼要起见，求解过程并不完全遵循
逆解法的步骤； 将应力边界条件用于求解应力函数（或应力分量） 中，而不是用于与逆解结果作对比。
具体求 解过程
【解】设所给问题的应力函数为 Φ = by3 易于验证，它满足相容方程∇4Φ = 0 ， 因此，可能成为问题的解答。
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f1( 4) ( y ) = 0, f 2( 4) ( y ) = 0
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求解这两个常微分方程，可得
f1 ( y ) = A1 y 3 + A2 y 2 + A3 y + A4 , f 2 ( y ) = B1 y 3 + B2 y 2 + B3 y + B4
即直接假设了一个应力函数； 下面我们通过对应力边界条件特征进行分析来寻 求应力函数。 具体求 解过程
【解】如果稍加注意，应该可以发现在 所给问题的上下表面上没有外力作用， 其中y方向的外力只与σy相关，鉴于此， 不妨设y方向的应力分量σy为0，即 σy = 0
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x
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如果把上面的问题作转换 ，给出的新问题为 如下图所示矩形断面长梁或矩形板，受到 如图所示外力作用，试给出其应力解答。 不难发现， 这时，我们完 全可以直接应 用上述逆解过 −6ah 程来获得问题 y 的解答。
O x h l 6ah
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− 3 A1 y 2 − 2 A2 y − A3 = 0
由此可见，应有 A1 = A2 = A3 = 0 应用左、右端边界x = 0和x = l上 σx还须满足的 合力与力矩条件，有
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− (σ x ) x =0 dy = − ∫ 0 (6 B1 y + 2 B2 )dy = −3B1h 2 − 2 B2 h = − P, ∫0 (σ x ) x =0 dy = ∫ 0 (6 B1 y + 2 B2 )dy = 3B1h 2 + 2 B2 h = P ∫0
σx 图
σx
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应力分量的求解
为了方便起见，在求解过程中可以假设梁的宽度为1，即单位宽度。
根据多项式解答所学到的知识知道，满足相 容方程的应力函数
Φ = dy 3
能够解决梁的纯弯曲问题，而相应的应力分量为
σx =
∂ 2Φ ∂y
2
= 6dy, σ y =
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∂ 2Φ ∂ 2Φ σ x = 2 = 6ay, σ y = 2 = 0, ∂y ∂x
τ xy
∂ 2Φ =− =0 ∂x∂y
由边界形状和应力分量可以反推边界上的面力。 在上边界y = 0上，σy = 0，τxy = 0； 在下边界y = h上，σy = 0，τxy = 0； 因此，在这两个边界面上，无任何面力作用， 即px = 0，py = 0。
于是，有
∂ 2Φ σy = 2 =0 ∂x
求解这个方程，可以得到
Φ ( x, y ) = xf1 ( y ) + f 2 ( y )
再将这个应力函数代入相容方程∇4Φ = 0 ，可得
xf1( 4) ( y ) + f 2( 4) ( y ) = 0
方程左端是一个关于变量x的函数，要使其对于任 意x都等于0，必有
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应用举例一：矩形梁的纯弯曲 问题的描述：设有一矩形截面长梁（长度l远大于
深度h），它的宽度远小于深度和长度（近似的平 面应力情况），或者宽度远大于深度和长度（近似 的平面应变情况），在两端受相反的力偶而弯曲， 体积力可以不计。
Θ ⊕ M O y h/2 h/2 l y M h x 1
如果再作进一步的转换，给出的问题为 下图所示矩形断面长梁或矩形板，受到如 图所示外力的作用，试求解这个问题。 显然，我们 仍然可以假设 左右两个断面 上的外力满足 上面那个问题 的线性分布情 况，即利用圣 维南原理作静 力等效力系。
O P l y
于是，逆解法的结果依然适用
h
a P
x
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一个例题的回顾
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【p48习题3－1】试考察应力函数Φ = ay3在图3－8所
示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不 计）。
O h l y x
【答】将应力函数Φ 代入相容方程，可见∇4Φ = 0 是满足的，Φ 有可能成为该问题的解。 将Φ 代入应力函数与应力分量之间的关系式， 得到应力分量
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(iii) 在左、右端边界（次要边界）x = 0和x = l上， 应力边界条件py = −(τxy) x = 0 = 0和py = −(τxy) y = l = 0均 能得到满足，但关于px 的面力边界条件却无法满足， 只有应用圣维南原理给出放宽的边界条件，即积分 形式的应力（合力）边界条件。 (iv) 在左、右端边界（次要边界）上，关于σx 的积 分应力边界条件为